立方和与立方差乘法公式与因式分解
最详细的立方和公式
立方和公式a A3+b A3=(a+b) (a A2-ab+b A2 )•立方差公式aA3-bA3=(a-b) (aA2+ab+bA2 )-3项立方和公式aA3+bA3+cA3-3abc=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac)推导过程：aA3+bA3+cA3-3abc=(aA3+3aA2 b+3abA2+bA3+cA3 ) - (3abc+3aA2 b+3abA2 )=[(a+b)A3+cA3]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(aA2+bA2+2ab-ac-bc+cA2 ) -3ab(a+b+c)=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2+2ab-3ab-ac-bc)=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac)文字表达•立方和，差公式两数和(差)，乘它们的平方和与它们的积的差(和)，等于这两个数的立方和(差)-3项立方和公式三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍(1+2+3+••…+N)+N=(N+1 ) A4-1公式证明1.迭代法:我们知道:0次方和的求和公式 工 N A 0=N 即 1人0+2人0+...+n A 0=n1次方和的求和公式 工 2仁N(N+1 ) /2 即 1A1+2A1+...+nA 仁n(n +1 ) /2 工 NA2=N(N+1 ) ( 2N+1 ) /6 即 1人2+2人2+ …+n 人2=n(n+1/6 ——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式( x+1)人3处3=3乂人2+3乂+12次方和的求和公式 )(2n+1 ) ，迭代即 取公式：(X+1 )人4咲人4=4 X XA3+6X XA2+4X X+1系数可由杨辉三角形来确定那么就得出:(N+1 ) A4- NA4=4NA3+6NA2+4N+1NA4-(N-1 ) A4=4(N-1 ) A3+6(N-1 ) A2+4(N-1 ) +1(N-1 ) A4-(N-2 ) A4=4(N-2 ) A3+6(N-2 ) A2+4(N-2 ) +12人4-1人4=4 X 1A3+6 X 1A2+4 X 1 + 1 ..... ( n)于是⑴+⑵+⑶+ ....... +(n )有左边=(N+1 ) A4-1右边=4 (1人3+2人3+3人3+……+NA3 (1+2+3+••…+N)+N所以呢把以上这已经证得的三个公式代入)+6 (1人2+2人2+3人2+……+NA2 ) +4 4 (1人3+2人3+3人3+ +NA3 ) +6 (1人2+2人2+3人2+ +NA2 ) +4得 4( 1A3+2A3+3A3+……+N A3 )+N(N+1 ) (2N+1 )+2N(N+1 ) +N=N A4+4N A3+6N A2+4N移项后得 1人3+2人3+3人3+……+NA3=1/4(NA4+4NA3+6NA2+4N-N-2NA2-2N-2NA3-3NA2-N)等号右侧合并同类项后得1人3+2人3+3人3+……+NA3=1/4 (24+223+22 )即1人3+2人3+3人3+ ……+NA3= 1/4 [N(N+1 )]人2大功告成！立方和公式推导完毕1A3+ 2A3+3A3+ ……+NA3= 1/4 [N(N+1 )]人22.因式分解思想证明如下：aA3+bA3=aA3+aA2 x匕+匕人3七人2 xb=aA2(a+b)-b(aA2-bA2 ) =aA2(a+b)-b(a+b)(a-b)=(a+b)[aA2-b(a-b)]=(a+b)(aA2-ab+bA2 )公式延伸正整数范围中 1A3 + 2A3 + ……门人3 = [n(n+1 ) / 2]人2= (1+2+……+n )人2几何验证I ■川I透过绘立体的图像，也可验证立方和。
完全立方和立方差公式
完全立方和立方差公式完全立方公式和立方差公式是高中数学重要的代数公式，用于化简一些代数式。
这里我们分别介绍一下这两个公式的含义和用法。
1. 完全立方公式完全立方公式（也叫做三项完全平方公式）是指一个立方数加上两个积的形式，即：$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$其中，$a$、$b$、$c$为任意实数。
这个公式的含义是，将一个三次项完全展开后，将其中涉及的二次项组成一个完全平方，使得展开后的式子可以化简得更加简洁。
举例来说，我们可以用完全立方公式来计算 $2^3+3^3+4^3-3\times 2\times 3\times 4$：$=2^3+3^3+4^3-72$$=(2+3+4)((2^2+3^2+4^2)-(2\times 3+3\times 4+4\times 2))$ $=9\times(4+9+16-6-12-8)$$=9\times 3=27$因此，我们可以通过完全立方公式将一个较为复杂的表达式化简为更简单的形式。
2. 立方差公式立方差公式是指两个立方数之差的形式，即：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$其中，$a$、$b$为任意实数。
这个公式可以用来计算两个立方数之间的差值，从而简化计算。
举例来说：$5^3-2^3=(5-2)(5^2+5\times 2+2^2)=3\times 33=99$立方差公式的重要作用之一是用于计算一些多项式分解的式子。
比如，我们可以用立方差公式将 $x^6-1$ 分解为：$x^6-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1)$然后我们可以进一步将 $(x^2-1)$ 因式分解为 $(x+1)(x-1)$，得到：$x^6-1=(x+1)(x-1)(x^4+x^2+1)$这样，在计算多项式的根时，我们就可以将计算分解出来的每一部分进行单独的计算，从而简化计算。
因式分解所有公式
因式分解所有公式因式分解是数学中常用的一种运算方法，它可以将一个复杂的代数式分解成更简单的乘积形式。
在代数学中，我们经常需要对各种公式进行因式分解，以便更好地理解和运用它们。
一、平方差公式的因式分解平方差公式是一种常见且重要的公式，它用于将两个完全平方数的差分解为两个因数的乘积。
平方差公式的一般形式为：a² - b² = (a + b)(a - b)。
其中，a和b可以是任意实数或变量。
这个公式可以用来解决各种代数问题，比如求解方程、简化算式等。
二、完全平方公式的因式分解完全平方公式是将一个二次多项式进行因式分解的方法。
它的一般形式为：a² + 2ab + b² = (a + b)²。
这个公式可以用来求解二次方程、简化算式等。
通过将二次多项式转化为完全平方形式，我们可以更方便地进行计算和推导。
三、差的平方公式的因式分解差的平方公式是平方差公式的逆运算，它用于将两个因数的乘积分解为两个完全平方数的差。
差的平方公式的一般形式为：a² - 2ab + b² = (a - b)²。
这个公式可以用来求解二次方程、简化算式等。
通过将乘积转化为差的平方形式，我们可以更方便地进行计算和推导。
平方根公式是将一个二次方程进行因式分解的方法。
它的一般形式为：x² - a² = (x + a)(x - a)。
这个公式可以用来求解二次方程、简化算式等。
通过将二次方程转化为平方根形式，我们可以更方便地进行计算和推导。
五、立方差公式的因式分解立方差公式是一种用来分解两个立方数之差的公式。
它的一般形式为：a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)。
这个公式可以用来求解立方方程、简化算式等。
通过将立方数之差分解为两个因数的乘积，我们可以更方便地进行计算和推导。
六、立方和公式的因式分解立方和公式是立方差公式的逆运算，它用于将两个因数的乘积分解为两个立方数的和。
立方和差公式口诀
立方和差公式口诀立方和差公式是初中数学中比较重要的公式之一，它的应用范畴非常广泛，主要用来求某些特殊类型的多项式。
在学习和应用立方和差公式时，不仅需要记住它的公式式子，还需要灵活运用。
接下来，我将以“口诀”的形式，向大家介绍立方和差公式以及其常见应用。
一、理论基础1）$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$2）$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$在这个公式中，a和b都是表达式，可以是数字、变量或其他形式的表达式。
二、立方和差公式的口诀下面是一些有关立方和差公式的口诀，这些口诀将会帮助你记住这个公式，并且可以在日常学习中快速灵活的运用。
1）立方和差公式，两式两神奇。
2）三次方凑和减，约分有窍门。
3）和式拆括号，乘法配补全。
4）差式也不难，别忘加运算。
5）平方算成功，三次方可更进。
三、立方和差公式的常见应用1）因式分解：立方和差公式可以用于因式分解，将一个多项式拆分成一些可约简的形式，例如：$某^3 + y^3 + z^3 - 3某yz = (某 + y + z)(某^2 + y^2 + z^2 - 某y - yz - 某z)$$(某-y)^3=某^3-3某^2y+3某y^2-y^3$2）消元：立方和差公式可以用于消元，将一个多项式中的某个变量用另一个变量代替，例如：$某y(某^2+y^2)-(某^3y+某y^3)=某^3-y^3$可以用立方和差公式进行转化，先将左边的式子进行约分，再使用立方和差公式得到：$(某-y)(某^2-某y+y^2)(某y+某^2+y^2)=某^3-y^3$然后将$某^3-y^3$用立方和差公式转化为$(某-y)(某^2+某y+y^2)$，就可以将$某^3-y^3$代入式子中消元得到：$(某-y)^2(某^2-某y+y^2)(某y+某^2+y^2)=(某-y)(某^2+某y+y^2)$将式子化简即可得到：$(某-y)(某^2-某y+y^2)(某y^2-某^2y+某^3+y^3)=0$3）检验公式：立方和差公式也可以用于检验答案的正确性，例如：求证：$某^3 + y^3 + z^3 - 3某yz = (某 + y + z)(某^2 + y^2 + z^2 - 某y - yz - 某z)$首先，将右侧的括号展开：$(某 + y + z)(某^2 + y^2 + z^2 - 某y - yz - 某z) = (某^3 + y^3 + z^3) + (某y^2 + 某^2y + yz^2 + z^2y + 某z^2 + z^2某) - 3某yz$。
1-十字相乘法-立方和、立方差公式淮安
第一讲 十字相乘法 立方和、立方差公式教学目标1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax 2+bx+c 的二次三项式因式分解；2. 理解掌握立方和、立方差公式；3．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。
教学过程（一）十字相乘法我们知道：ab x b a x b x a x +++=++)())((2.因此在分解因式中有))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++，注意观察式中的系数.一般地我们有：对于二次项系数是1的二次三项式q px x ++2来说，如果它的常数项可以看作两个数a 与b 的积，而一次项系数恰是a 与b 的和，它就可以分解为(x+a)(x+b)，即p ＝a+b ，q ＝ab 时，))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++.借助画十字交叉线写成：这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到一次项系数.像这样，利用画十字交叉线分解系数，来把二次三项式分解因式的方法叫十字相乘法.用此方法分解因式的关键在于确定a 与b 的值.例1 分解因式：（1）652+-x x ；（2）2142--x x .例2 分解因式:（1）8224--x x ；（2）3)(4)(2++-+b a b a .例3 分解因式:（1）2223y xy x +-；（2）2222242153y a xy a x a --.例4 分解因式：（1）3722+-x x ；（2）22224954y y x y x --. 例5 分解因式：（1）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（2）a ax x x 51522---+.例6已知：关于x 的方程07x 14mx 2=--的两个实数根21x x 和，关于y 的方程0n 2n y )1n (2y 22=-+--有两个实数根21y y 和，且4y y 221≤<≤-。
当21x x 2+－014)y y 2(2x x 622121=+-+时，求m 的取值范围。
完全立方和公式和完全立方差公式
完全立方和公式和完全立方差公式
完全立方和公式是数学中的一个重要概念，它涉及到多项式的因式分解和展开。
在代数学中，我们将一个完全立方定义为一个多项式，其每个术语都是某个数的立方。
公式则是用于计算完全立方的模式或规则。
完全立方可以通过利用完全立方公式来进行因式分解。
完全立方公式是指将一
个完全立方多项式分解为两个立方的差。
它的一般形式可表示为：
a^3 ± b^3 = (a ± b)(a^2 ∓ ab + b^2)
其中，a和b可以是任意实数或负数。
这个公式的应用非常广泛，它可以用来分解和简化复杂的多项式，以及求解二
次方程和三次方程。
通过将多项式分解为完全立方的差，我们可以更容易地进行后续计算和推导。
除了完全立方公式，还存在完全立方差公式。
完全立方差公式是指将两个完全
立方多项式的差表示为一个立方和三个立方的乘积。
它的一般形式可表示为：
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
同样，a和b可以是任意实数或负数。
完全立方差公式在求解多项式的差、计算立方根以及推导复杂公式时非常有用。
它提供了一种将多项式差表达为立方和乘积的有效方法，从而简化了问题的求解过程。
在数学中，完全立方和公式以及完全立方差公式是重要的工具和概念。
它们为
求解多项式和解决代数问题提供了便利。
熟练掌握这些公式，可以帮助我们更好地理解和应用代数学中的各种数学概念和技巧。
和立方公式与差立方公式
和立方公式与差立方公式立方公式和差立方公式是数学中常见的公式，用于计算数的立方和差的立方。
它们在代数运算和解析几何中具有广泛的应用。
在本文中，我们将详细介绍立方公式和差立方公式，并且探讨它们的应用和证明。
立方公式是指两个数的和的立方可以展开为两个数的立方和三倍两数的平方和六倍两数的乘积。
设两个数分别为a和b，则立方公式可以表示为：(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3这个公式可以用于计算两个数的和的立方。
它可以展开为四项之和，每一项分别代表一个数的立方和与两数乘积的乘积。
例如，如果a = 2，b = 3，则(a + b)^3 = 5^3 = 125、这可以很容易地通过计算a^3 +3a^2b + 3ab^2 + b^3的值得到。
差立方公式是指两个数的差的立方可以展开为两个数的立方差三倍两数的平方和六倍两数的乘积的负值。
设两个数分别为a和b，则差立方公式可以表示为：(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3这个公式可以用于计算两个数的差的立方。
它也可以展开为四项之和，每一项分别代表一个数的立方减去两数乘积的乘积的负值。
例如，如果a = 5，b = 2，则(a - b)^3 = 3^3 = 27、同样，这可以通过计算a^3 -3a^2b + 3ab^2 - b^3的值得到。
立方公式和差立方公式在代数运算中非常有用。
它们常用于化简表达式、计算多项式以及展开和因式分解方程。
通过应用这些公式，我们可以简化复杂的代数运算，并得到更简单的结果。
除了在代数运算中的应用之外，立方公式和差立方公式还在解析几何中发挥着重要的作用。
例如，当我们考虑一个立方体的体积时，可以使用立方公式来计算它的体积。
假设立方体的边长为a，则它的体积为a^3、类似地，当我们考虑一个立方体的表面积时，也可以使用立方公式来计算它的表面积。
假设立方体的边长为a，则它的表面积为6a^2、通过应用立方公式，我们可以快速计算出立方体的体积和表面积，而无需进行复杂的计算。
立方差公式因式分解
立方差公式因式分解立方差公式因式分解是数学学习中的一个重要知识点，对于咱们同学来说，掌握它可不容易，但一旦学会了，那就是解题的利器！咱们先来说说立方差公式到底是啥。
立方差公式就是：a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) 。
看起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢拆解。
比如说，有一道题是这样的：分解 x³ - 8 。
这时候咱们就可以把 8 看成 2³，那这道题就变成了 x³ - 2³。
然后根据立方差公式，就可以写成 (x - 2)(x² + 2x + 4) 。
是不是感觉挺神奇的？我还记得之前给一个学生讲这部分内容的时候，那孩子一脸懵，怎么都理解不了。
我就给他举了个特别有趣的例子。
我说啊，这就好比咱们盖房子。
a³就像是一个大房子，b³是一个小房子。
要把大房子拆了，减去小房子，那咱们得先找到它们的连接点，也就是 (a - b) 。
然后剩下的部分 (a² + ab + b²) 就像是房子的各种零部件，组合起来才能完整地把大房子减去小房子的过程表示清楚。
那孩子听了之后，眼睛一下子亮了，好像突然就开窍了。
再比如说，分解 27x³ - 1 。
咱们把 27x³看成 (3x)³，1 看成 1³，所以这就可以写成 (3x - 1)((3x)² + 3x + 1) ，也就是 (3x - 1)(9x² + 3x + 1) 。
立方差公式因式分解在解决一些复杂的代数问题时特别有用。
比如在求解方程、化简代数式等方面。
就像有一次考试，有一道题是化简一个很长很长的代数式，好多同学都被难住了。
但有个同学聪明地运用了立方差公式进行因式分解，一下子就把式子变得简单了，轻松就解出了答案。
咱们在运用立方差公式的时候，一定要注意符号别搞错了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(a b)(a 2 ab b 2 ) a3 b3
(a b)(a 2 ab b 2 ) a3 b3 x6 y 6
利用立方和或立方差公式，因式分解下列各式：
x3 1
1 27
a3 8b3
x3
8a 3 125b 3
a6 64b6
2
②
(2x-5)(4x2+25+10x)；
2 1 4 1 1 ( a- b)( a2+ ab+ b2)； 3 2 9 3 4
（1）项数特征：两项乘三项→积为二项， （2）符号特征：二项的因式若两项都为"+"，则三项的因式符号为+，-，+， 积的符号与二项因式的符号相同， 二项的因式符号若为"+"，"-"，则三项的因式符号为+，+，+， 积的符号与二项因式的符号相同， 即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的"立方和"还是两 数的"立方差"，主要看乘积中第一个乘式是"两数和"，还是"两数差"。 【因式分解的立方和与立方差】 把立方和、立方差公式逆运用即可得到：
(a b)(a 2 ab b 2 ) = a3 a 2b ab2 a 2b ab2 b3 = a3 b3
因此，得到立方和公式： (a b)(a 2 ab b 2 ) = a b
3 3
①
我们再来计算：
( x 2)( x 2 2 x 4)
(2 x 1)(4 x 2 2 x 1)
(a b)( a 2 ab b 2 )
( x y )( x 2 xy y 2 )
(a b)( a 2 ab b 2 ) = a 3 a 2b a 2b a 2b ab2 b3 = a 3 b3
1
鸡西市第十九中学初三数学组
因此，得到立方差公式： (a b)( a 2 ab b 2 ) = a 3 b 3 其实，只要把公式 1 中的 b 以 b 代入，即可得公式②。 【练习】 运用立方和与立方差公式计算： (y+3)(y2-3y+9)； (c+5)(25-5c+c2)；
【乘法公式的立方和与立方差】 我们根据多项式乘以多项式 (a b)(m n) am an bm bn ，计算：
( x 2)( x 2 2 x 4)
(2 x 1)( 4 (a 2 ab b 2 )
( x y)( x 2 xy y 2 )
鸡西市第十九中学初三数学组
鸡西市第十九中学学案
学科 时间 学习 目标 重点 难点 班级 姓名 数学 课题 “十字相乘”法分解因式 课型 新课 2013 年 月 日 人教版 八年级上 理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算； 注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力. 公式的推导. 公式的正确运用. 学习内容