立方和与立方差乘法公式与因式分解
最详细的立方和公式
立方和公式a A3+b A3=(a+b) (a A2-ab+b A2 )•立方差公式aA3-bA3=(a-b) (aA2+ab+bA2 )-3项立方和公式aA3+bA3+cA3-3abc=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac)推导过程：aA3+bA3+cA3-3abc=(aA3+3aA2 b+3abA2+bA3+cA3 ) - (3abc+3aA2 b+3abA2 )=[(a+b)A3+cA3]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(aA2+bA2+2ab-ac-bc+cA2 ) -3ab(a+b+c)=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2+2ab-3ab-ac-bc)=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac)文字表达•立方和，差公式两数和(差)，乘它们的平方和与它们的积的差(和)，等于这两个数的立方和(差)-3项立方和公式三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍(1+2+3+••…+N)+N=(N+1 ) A4-1公式证明1.迭代法:我们知道:0次方和的求和公式 工 N A 0=N 即 1人0+2人0+...+n A 0=n1次方和的求和公式 工 2仁N(N+1 ) /2 即 1A1+2A1+...+nA 仁n(n +1 ) /2 工 NA2=N(N+1 ) ( 2N+1 ) /6 即 1人2+2人2+ …+n 人2=n(n+1/6 ——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式( x+1)人3处3=3乂人2+3乂+12次方和的求和公式 )(2n+1 ) ，迭代即 取公式：(X+1 )人4咲人4=4 X XA3+6X XA2+4X X+1系数可由杨辉三角形来确定那么就得出:(N+1 ) A4- NA4=4NA3+6NA2+4N+1NA4-(N-1 ) A4=4(N-1 ) A3+6(N-1 ) A2+4(N-1 ) +1(N-1 ) A4-(N-2 ) A4=4(N-2 ) A3+6(N-2 ) A2+4(N-2 ) +12人4-1人4=4 X 1A3+6 X 1A2+4 X 1 + 1 ..... ( n)于是⑴+⑵+⑶+ ....... +(n )有左边=(N+1 ) A4-1右边=4 (1人3+2人3+3人3+……+NA3 (1+2+3+••…+N)+N所以呢把以上这已经证得的三个公式代入)+6 (1人2+2人2+3人2+……+NA2 ) +4 4 (1人3+2人3+3人3+ +NA3 ) +6 (1人2+2人2+3人2+ +NA2 ) +4得 4( 1A3+2A3+3A3+……+N A3 )+N(N+1 ) (2N+1 )+2N(N+1 ) +N=N A4+4N A3+6N A2+4N移项后得 1人3+2人3+3人3+……+NA3=1/4(NA4+4NA3+6NA2+4N-N-2NA2-2N-2NA3-3NA2-N)等号右侧合并同类项后得1人3+2人3+3人3+……+NA3=1/4 (24+223+22 )即1人3+2人3+3人3+ ……+NA3= 1/4 [N(N+1 )]人2大功告成！立方和公式推导完毕1A3+ 2A3+3A3+ ……+NA3= 1/4 [N(N+1 )]人22.因式分解思想证明如下：aA3+bA3=aA3+aA2 x匕+匕人3七人2 xb=aA2(a+b)-b(aA2-bA2 ) =aA2(a+b)-b(a+b)(a-b)=(a+b)[aA2-b(a-b)]=(a+b)(aA2-ab+bA2 )公式延伸正整数范围中 1A3 + 2A3 + ……门人3 = [n(n+1 ) / 2]人2= (1+2+……+n )人2几何验证I ■川I透过绘立体的图像，也可验证立方和。
完全立方和立方差公式
完全立方和立方差公式完全立方公式和立方差公式是高中数学重要的代数公式，用于化简一些代数式。
这里我们分别介绍一下这两个公式的含义和用法。
1. 完全立方公式完全立方公式（也叫做三项完全平方公式）是指一个立方数加上两个积的形式，即：$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$其中，$a$、$b$、$c$为任意实数。
这个公式的含义是，将一个三次项完全展开后，将其中涉及的二次项组成一个完全平方，使得展开后的式子可以化简得更加简洁。
举例来说，我们可以用完全立方公式来计算 $2^3+3^3+4^3-3\times 2\times 3\times 4$：$=2^3+3^3+4^3-72$$=(2+3+4)((2^2+3^2+4^2)-(2\times 3+3\times 4+4\times 2))$ $=9\times(4+9+16-6-12-8)$$=9\times 3=27$因此，我们可以通过完全立方公式将一个较为复杂的表达式化简为更简单的形式。
2. 立方差公式立方差公式是指两个立方数之差的形式，即：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$其中，$a$、$b$为任意实数。
这个公式可以用来计算两个立方数之间的差值，从而简化计算。
举例来说：$5^3-2^3=(5-2)(5^2+5\times 2+2^2)=3\times 33=99$立方差公式的重要作用之一是用于计算一些多项式分解的式子。
比如，我们可以用立方差公式将 $x^6-1$ 分解为：$x^6-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1)$然后我们可以进一步将 $(x^2-1)$ 因式分解为 $(x+1)(x-1)$，得到：$x^6-1=(x+1)(x-1)(x^4+x^2+1)$这样，在计算多项式的根时，我们就可以将计算分解出来的每一部分进行单独的计算，从而简化计算。
因式分解所有公式
因式分解所有公式因式分解是数学中常用的一种运算方法，它可以将一个复杂的代数式分解成更简单的乘积形式。
在代数学中，我们经常需要对各种公式进行因式分解，以便更好地理解和运用它们。
一、平方差公式的因式分解平方差公式是一种常见且重要的公式，它用于将两个完全平方数的差分解为两个因数的乘积。
平方差公式的一般形式为：a² - b² = (a + b)(a - b)。
其中，a和b可以是任意实数或变量。
这个公式可以用来解决各种代数问题，比如求解方程、简化算式等。
二、完全平方公式的因式分解完全平方公式是将一个二次多项式进行因式分解的方法。
它的一般形式为：a² + 2ab + b² = (a + b)²。
这个公式可以用来求解二次方程、简化算式等。
通过将二次多项式转化为完全平方形式，我们可以更方便地进行计算和推导。
三、差的平方公式的因式分解差的平方公式是平方差公式的逆运算，它用于将两个因数的乘积分解为两个完全平方数的差。
差的平方公式的一般形式为：a² - 2ab + b² = (a - b)²。
这个公式可以用来求解二次方程、简化算式等。
通过将乘积转化为差的平方形式，我们可以更方便地进行计算和推导。
平方根公式是将一个二次方程进行因式分解的方法。
它的一般形式为：x² - a² = (x + a)(x - a)。
这个公式可以用来求解二次方程、简化算式等。
通过将二次方程转化为平方根形式，我们可以更方便地进行计算和推导。
五、立方差公式的因式分解立方差公式是一种用来分解两个立方数之差的公式。
它的一般形式为：a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)。
这个公式可以用来求解立方方程、简化算式等。
通过将立方数之差分解为两个因数的乘积，我们可以更方便地进行计算和推导。
六、立方和公式的因式分解立方和公式是立方差公式的逆运算，它用于将两个因数的乘积分解为两个立方数的和。
立方和差公式口诀
立方和差公式口诀立方和差公式是初中数学中比较重要的公式之一，它的应用范畴非常广泛，主要用来求某些特殊类型的多项式。
在学习和应用立方和差公式时，不仅需要记住它的公式式子，还需要灵活运用。
接下来，我将以“口诀”的形式，向大家介绍立方和差公式以及其常见应用。
一、理论基础1）$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$2）$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$在这个公式中，a和b都是表达式，可以是数字、变量或其他形式的表达式。
二、立方和差公式的口诀下面是一些有关立方和差公式的口诀，这些口诀将会帮助你记住这个公式，并且可以在日常学习中快速灵活的运用。
1）立方和差公式，两式两神奇。
2）三次方凑和减，约分有窍门。
3）和式拆括号，乘法配补全。
4）差式也不难，别忘加运算。
5）平方算成功，三次方可更进。
三、立方和差公式的常见应用1）因式分解：立方和差公式可以用于因式分解，将一个多项式拆分成一些可约简的形式，例如：$某^3 + y^3 + z^3 - 3某yz = (某 + y + z)(某^2 + y^2 + z^2 - 某y - yz - 某z)$$(某-y)^3=某^3-3某^2y+3某y^2-y^3$2）消元：立方和差公式可以用于消元，将一个多项式中的某个变量用另一个变量代替，例如：$某y(某^2+y^2)-(某^3y+某y^3)=某^3-y^3$可以用立方和差公式进行转化，先将左边的式子进行约分，再使用立方和差公式得到：$(某-y)(某^2-某y+y^2)(某y+某^2+y^2)=某^3-y^3$然后将$某^3-y^3$用立方和差公式转化为$(某-y)(某^2+某y+y^2)$，就可以将$某^3-y^3$代入式子中消元得到：$(某-y)^2(某^2-某y+y^2)(某y+某^2+y^2)=(某-y)(某^2+某y+y^2)$将式子化简即可得到：$(某-y)(某^2-某y+y^2)(某y^2-某^2y+某^3+y^3)=0$3）检验公式：立方和差公式也可以用于检验答案的正确性，例如：求证：$某^3 + y^3 + z^3 - 3某yz = (某 + y + z)(某^2 + y^2 + z^2 - 某y - yz - 某z)$首先，将右侧的括号展开：$(某 + y + z)(某^2 + y^2 + z^2 - 某y - yz - 某z) = (某^3 + y^3 + z^3) + (某y^2 + 某^2y + yz^2 + z^2y + 某z^2 + z^2某) - 3某yz$。
1-十字相乘法-立方和、立方差公式淮安
第一讲 十字相乘法 立方和、立方差公式教学目标1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax 2+bx+c 的二次三项式因式分解；2. 理解掌握立方和、立方差公式；3．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。
教学过程（一）十字相乘法我们知道：ab x b a x b x a x +++=++)())((2.因此在分解因式中有))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++，注意观察式中的系数.一般地我们有：对于二次项系数是1的二次三项式q px x ++2来说，如果它的常数项可以看作两个数a 与b 的积，而一次项系数恰是a 与b 的和，它就可以分解为(x+a)(x+b)，即p ＝a+b ，q ＝ab 时，))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++.借助画十字交叉线写成：这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到一次项系数.像这样，利用画十字交叉线分解系数，来把二次三项式分解因式的方法叫十字相乘法.用此方法分解因式的关键在于确定a 与b 的值.例1 分解因式：（1）652+-x x ；（2）2142--x x .例2 分解因式:（1）8224--x x ；（2）3)(4)(2++-+b a b a .例3 分解因式:（1）2223y xy x +-；（2）2222242153y a xy a x a --.例4 分解因式：（1）3722+-x x ；（2）22224954y y x y x --. 例5 分解因式：（1）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（2）a ax x x 51522---+.例6已知：关于x 的方程07x 14mx 2=--的两个实数根21x x 和，关于y 的方程0n 2n y )1n (2y 22=-+--有两个实数根21y y 和，且4y y 221≤<≤-。
当21x x 2+－014)y y 2(2x x 622121=+-+时，求m 的取值范围。
完全立方和公式和完全立方差公式
完全立方和公式和完全立方差公式
完全立方和公式是数学中的一个重要概念，它涉及到多项式的因式分解和展开。
在代数学中，我们将一个完全立方定义为一个多项式，其每个术语都是某个数的立方。
公式则是用于计算完全立方的模式或规则。
完全立方可以通过利用完全立方公式来进行因式分解。
完全立方公式是指将一
个完全立方多项式分解为两个立方的差。
它的一般形式可表示为：
a^3 ± b^3 = (a ± b)(a^2 ∓ ab + b^2)
其中，a和b可以是任意实数或负数。
这个公式的应用非常广泛，它可以用来分解和简化复杂的多项式，以及求解二
次方程和三次方程。
通过将多项式分解为完全立方的差，我们可以更容易地进行后续计算和推导。
除了完全立方公式，还存在完全立方差公式。
完全立方差公式是指将两个完全
立方多项式的差表示为一个立方和三个立方的乘积。
它的一般形式可表示为：
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
同样，a和b可以是任意实数或负数。
完全立方差公式在求解多项式的差、计算立方根以及推导复杂公式时非常有用。
它提供了一种将多项式差表达为立方和乘积的有效方法，从而简化了问题的求解过程。
在数学中，完全立方和公式以及完全立方差公式是重要的工具和概念。
它们为
求解多项式和解决代数问题提供了便利。
熟练掌握这些公式，可以帮助我们更好地理解和应用代数学中的各种数学概念和技巧。
和立方公式与差立方公式
和立方公式与差立方公式立方公式和差立方公式是数学中常见的公式，用于计算数的立方和差的立方。
它们在代数运算和解析几何中具有广泛的应用。
在本文中，我们将详细介绍立方公式和差立方公式，并且探讨它们的应用和证明。
立方公式是指两个数的和的立方可以展开为两个数的立方和三倍两数的平方和六倍两数的乘积。
设两个数分别为a和b，则立方公式可以表示为：(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3这个公式可以用于计算两个数的和的立方。
它可以展开为四项之和，每一项分别代表一个数的立方和与两数乘积的乘积。
例如，如果a = 2，b = 3，则(a + b)^3 = 5^3 = 125、这可以很容易地通过计算a^3 +3a^2b + 3ab^2 + b^3的值得到。
差立方公式是指两个数的差的立方可以展开为两个数的立方差三倍两数的平方和六倍两数的乘积的负值。
设两个数分别为a和b，则差立方公式可以表示为：(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3这个公式可以用于计算两个数的差的立方。
它也可以展开为四项之和，每一项分别代表一个数的立方减去两数乘积的乘积的负值。
例如，如果a = 5，b = 2，则(a - b)^3 = 3^3 = 27、同样，这可以通过计算a^3 -3a^2b + 3ab^2 - b^3的值得到。
立方公式和差立方公式在代数运算中非常有用。
它们常用于化简表达式、计算多项式以及展开和因式分解方程。
通过应用这些公式，我们可以简化复杂的代数运算，并得到更简单的结果。
除了在代数运算中的应用之外，立方公式和差立方公式还在解析几何中发挥着重要的作用。
例如，当我们考虑一个立方体的体积时，可以使用立方公式来计算它的体积。
假设立方体的边长为a，则它的体积为a^3、类似地，当我们考虑一个立方体的表面积时，也可以使用立方公式来计算它的表面积。
假设立方体的边长为a，则它的表面积为6a^2、通过应用立方公式，我们可以快速计算出立方体的体积和表面积，而无需进行复杂的计算。
立方差公式因式分解
立方差公式因式分解立方差公式因式分解是数学学习中的一个重要知识点，对于咱们同学来说，掌握它可不容易，但一旦学会了，那就是解题的利器！咱们先来说说立方差公式到底是啥。
立方差公式就是：a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) 。
看起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢拆解。
比如说，有一道题是这样的：分解 x³ - 8 。
这时候咱们就可以把 8 看成 2³，那这道题就变成了 x³ - 2³。
然后根据立方差公式，就可以写成 (x - 2)(x² + 2x + 4) 。
是不是感觉挺神奇的？我还记得之前给一个学生讲这部分内容的时候，那孩子一脸懵，怎么都理解不了。
我就给他举了个特别有趣的例子。
我说啊，这就好比咱们盖房子。
a³就像是一个大房子，b³是一个小房子。
要把大房子拆了，减去小房子，那咱们得先找到它们的连接点，也就是 (a - b) 。
然后剩下的部分 (a² + ab + b²) 就像是房子的各种零部件，组合起来才能完整地把大房子减去小房子的过程表示清楚。
那孩子听了之后，眼睛一下子亮了，好像突然就开窍了。
再比如说，分解 27x³ - 1 。
咱们把 27x³看成 (3x)³，1 看成 1³，所以这就可以写成 (3x - 1)((3x)² + 3x + 1) ，也就是 (3x - 1)(9x² + 3x + 1) 。
立方差公式因式分解在解决一些复杂的代数问题时特别有用。
比如在求解方程、化简代数式等方面。
就像有一次考试，有一道题是化简一个很长很长的代数式，好多同学都被难住了。
但有个同学聪明地运用了立方差公式进行因式分解，一下子就把式子变得简单了，轻松就解出了答案。
咱们在运用立方差公式的时候，一定要注意符号别搞错了。
利用立方和立方差公式进行因式分解
利用立方和立方差公式进行因式分解利用立方和和立方差公式进行因式分解在第一讲中，我们研究了乘法公式中的立方和和立方差公式：a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 (立方和公式)a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 (立方差公式)因为因式分解和整式乘法是互为逆操作，所以我们可以反过来写整式乘法公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)这意味着，两个数的立方和（差）等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的差（和）。
使用这两个公式，我们可以分解形式为立方和或立方差的多项式。
例1：使用立方和或立方差公式分解以下多项式：1) 8+x^32) 0.125-27b^3分析：在(1)中，8可以写成2，(2)中0.125可以写成0.5，27b^3可以写成(3b)^3.解：(1) 8+x^3=2+x^3=(2+x)(4-2x+x^2)2) 0.125-27b^3=0.5-(3b)^3=(0.5-3b)(0.25+1.5b+9b^2)说明：在使用立方和（差）公式分解因式时，我们通常要逆用幂运算法则，例如8a^3b^3=(2ab)^3，这里使用了法则(ab)^n=a^n b^n；在使用立方和（差）公式分解因式时，一定要注意因式中各项的符号。
例2：分解以下因式：1) 3ab-81b^32) a-ab^2分析：在(1)中，我们应该先提取公因式再进一步分解；在(2)中，提取公因式后，括号内出现了a-b，可以看成(a)-(b)或(a)+(b)。
解：(1) 3ab-81b^3=3b(a-27b)=3b(a-3b)(a+3ab+9b)2) a-ab^2=a(a-b)=a(a+b)(a-b)强化练：1.分解以下各式的因式：1) x^3-12) a^3+8b^33) x^6-y^62.分解以下各式的因式：1) a^3+272) 8-m^33) -27x^3+84) -p^3/8+q/645) 8x^3y^3-1/1256) x^3y^3/216+c^3/27为了分解以下各式的因式，请使用因式分解法：1) $xy^3+x^4$我们可以将两个项中的 $x$ 提取出来，得到 $x(y^3+x^3)$。
解题基本技巧之因式分解
解题基本技巧之因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式)2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()a b a b a ab b +=+-+3322()()a b a b a ab b -=-++这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 38x + (2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==．解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+ 2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab - 分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+- 22222222()()()()()()()()a a b a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式． 分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a 与b -，这时另一个因式正好都是5x y -，这样可以继续提取公因式．解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．【例4】把2222()()ab c d a b cd ---分解因式． 分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+2222()()abc a cd b cd abd =-+- ()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．2．分组后能直接运用公式【例5】把22x y ax ay -++分解因式． 分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式． 分析：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．三、十字相乘法1．2()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．【例7】把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 解：(1)6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-2 76[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--．(2) 3649,4913=⨯+= 2 1336(4)(9)x x x x ∴++=++说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．【例8】把下列各式因式分解： (1) 2524x x +- (2) 2215x x -- 解：(1)24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+(2) 15(5)3,(5)32-=-⨯-+=- 2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．【例9】把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +- (2) 222()8()12x x x x +-++ 分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-(2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+- (3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．【例10】把下列各式因式分解： (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +- 解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+ 324 1-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+- 1 254y y -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．四、其它因式分解的方法1．配方法 【例11】分解因式2616x x +-解：222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．2．拆、添项法【例12】分解因式3234x x -+ 分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．解： 323234(1)(33)x x x x -+=+--22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+-- 22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x -拆成224x y -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+． 一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．因式分解的十二种方法 : 把一个多项式化成几个整式的积的形式；这种变形叫做把这个多项式因式分解。
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(a b)(a 2 ab b 2 ) a3 b3
(a b)(a 2 ab b 2 ) a3 b3 x6 y 6
利用立方和或立方差公式，因式分解下列各式：
x3 1
1 27
a3 8b3
x3
8a 3 125b 3
a6 64b6
2
②
(2x-5)(4x2+25+10x)；
2 1 4 1 1 ( a- b)( a2+ ab+ b2)； 3 2 9 3 4
（1）项数特征：两项乘三项→积为二项， （2）符号特征：二项的因式若两项都为"+"，则三项的因式符号为+，-，+， 积的符号与二项因式的符号相同， 二项的因式符号若为"+"，"-"，则三项的因式符号为+，+，+， 积的符号与二项因式的符号相同， 即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的"立方和"还是两 数的"立方差"，主要看乘积中第一个乘式是"两数和"，还是"两数差"。 【因式分解的立方和与立方差】 把立方和、立方差公式逆运用即可得到：
(a b)(a 2 ab b 2 ) = a3 a 2b ab2 a 2b ab2 b3 = a3 b3
因此，得到立方和公式： (a b)(a 2 ab b 2 ) = a b
3 3
①
我们再来计算：
( x 2)( x 2 2 x 4)
(2 x 1)(4 x 2 2 x 1)
(a b)( a 2 ab b 2 )
( x y )( x 2 xy y 2 )
(a b)( a 2 ab b 2 ) = a 3 a 2b a 2b a 2b ab2 b3 = a 3 b3
1
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因此，得到立方差公式： (a b)( a 2 ab b 2 ) = a 3 b 3 其实，只要把公式 1 中的 b 以 b 代入，即可得公式②。 【练习】 运用立方和与立方差公式计算： (y+3)(y2-3y+9)； (c+5)(25-5c+c2)；
【乘法公式的立方和与立方差】 我们根据多项式乘以多项式 (a b)(m n) am an bm bn ，计算：
( x 2)( x 2 2 x 4)
(2 x 1)( 4 (a 2 ab b 2 )
( x y)( x 2 xy y 2 )
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鸡西市第十九中学学案
学科 时间 学习 目标 重点 难点 班级 姓名 数学 课题 “十字相乘”法分解因式 课型 新课 2013 年 月 日 人教版 八年级上 理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算； 注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力. 公式的推导. 公式的正确运用. 学习内容