乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中常见的概念和工具。
它们在各个数学领域都有广泛的应用，尤其是在代数和方程中。
本文将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、原理和应用。
一、乘法公式乘法公式是指将两个或多个数相乘所遵循的规则。
在代数中，乘法公式往往涉及到字母表示的变量和表达式。
以下是常见的乘法公式：1. 两个数的乘积等于它们的因数相乘：a * b = b * a。
2. 两个数相乘再乘以另一个数等于每个因数分别乘以这个数再相乘：(a * b) * c = a * (b * c)。
3. 任何数与1相乘等于它本身：a * 1 = a。
4. 任何数与0相乘等于0：a * 0 = 0。
乘法公式在解决方程、计算等多个数学问题中起着重要作用。
它们能够简化计算过程、发现规律、推导定理等。
二、因式分解因式分解是将一个数或表达式分解成多个因数相乘的过程。
它是乘法公式的逆运算。
因式分解在求解方程、因式的化简和分析函数图像等方面具有重要意义。
1. 将一个数分解成质因数的乘积是因式分解的基本思想。
质因数是指只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等。
例如，将12分解成质因数的乘积等于2 * 2 * 3。
2. 除法和因式分解之间有密切的关系。
将一个数分解成两个因数相乘，可以使用除法的思想。
例如，用因式分解的方法将24分解成2 * 12，相当于24除以2得到12。
3. 多项式的因式分解需要应用乘法公式的原理。
对于多项式，我们可以先找出公因式，然后使用乘法公式将多项式分解为多个因式相乘的形式。
例如，将x^2 - 4分解成(x - 2)(x + 2)。
因式分解不仅在代数中有重要应用，也在数论、几何等数学分支中有广泛的运用。
它能够帮助我们更好地理解数学问题，简化运算，并发现问题的规律和性质。
三、乘法公式与因式分解的应用乘法公式和因式分解在数学中有广泛的应用。
以下列举其中几个常见的应用：1. 方程的求解：通过应用乘法公式和因式分解，我们可以将方程进行变形和化简，从而更容易求得方程的解。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中重要的概念和方法。
乘法公式是指计算两个或多个数的乘积的规则，而因式分解是将一个多项式分解为其因子的过程。
在本文中，我将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、应用和相关的数学知识。
一、乘法公式乘法公式是数学中常用的计算乘积的方法。
常见的乘法公式包括加法乘法公式、减法乘法公式、平方差公式和立方差公式等。
1. 加法乘法公式加法乘法公式是指将一个数的乘积转化为一系列加法运算的规则。
例如，对于两个数a和b，它们的乘积可以表示为(a+b)(a-b)=a^2-b^2。
这个公式可以通过展开括号和合并同类项来证明。
2. 减法乘法公式减法乘法公式是指将一个带有减法的乘积转化为一系列加法运算的规则。
例如，对于两个数a和b，它们的乘积可以表示为(a-b)(a+b)=a^2-b^2。
这个公式可以通过展开括号和合并同类项来证明。
3. 平方差公式平方差公式是指将一个数的平方差转化为一个差的平方的规则。
例如，对于两个数a和b，它们的平方差可以表示为(a-b)(a+b)=a^2-b^2。
这个公式可以通过展开括号和合并同类项来证明。
4. 立方差公式立方差公式是指将一个数的立方差转化为一个差的立方的规则。
例如，对于两个数a和b，它们的立方差可以表示为(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3。
这个公式也可以通过展开括号和合并同类项来证明。
二、因式分解因式分解是将一个多项式分解为其因子的过程。
在因式分解中，我们要找到多项式中的公因式，然后将多项式分解为公因式和余项的乘积。
因式分解在解方程、求极值和简化计算等方面具有重要的应用。
常见的因式分解方法包括公因式提取法、配方法和因式定理等。
1. 公因式提取法公因式提取法是指将多项式中的公因式提取出来，然后将多项式分解为公因式和余项的乘积。
例如，对于多项式4x+8，我们可以提取公因式4，然后将这个多项式分解为4(x+2)。
2. 配方法配方法是指将一个多项式分解为两个因子的乘积的规则。
整式乘法、乘法公式、化简求值、因式分解(一)
整式乘法、乘法公式、因式分解（一）1．因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）＝．2．如果x+y＝5，xy＝﹣3，则x2y+xy2＝，x2+y2＝．3．分解因式：2x2y﹣12xy+18y＝．4．若a＝2，a﹣2bc＝3，则2a2﹣4abc的值为．5．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b 均为整数，则a+3b＝．6．分解因式：4a2﹣25b2＝．7．分解因式9（a+b）2﹣（a﹣b）2＝．8．因式分解：16x3y﹣4xy＝．9．多项式3x﹣12x3分解因式的结果是．10．分解因式：3x2﹣12xy+12y2＝．12．因式分解：3x3﹣12x＝．13．把代数式4a2b﹣3b2（4a﹣3b）进行因式分解得：．14．分解因式：a2﹣b2+2b﹣1＝．15．如果多项式9x2﹣axy+4y2﹣b能用分组分解法分解因式，则符合条件的一组整数值是a ＝，b＝．16．分解因式：x2+4xy+4y2+x+2y﹣2＝．17．因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝．18．已知多项式x2﹣8x+m因式分解得（x+n）（x﹣6），则m+n＝．19．若x2﹣3x﹣28＝（x+a）（x+b），则a+b＝，ab＝．20．若x2﹣3x﹣10＝（x+a）（x+b），则a＝，b＝．22．已知x2﹣5x+m＝（x﹣2）（x﹣n），则m＝，n＝．23．分解因式：x2﹣7x+10＝．24．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．24．若a2+a＝0，求2a2+2a+2015的值．25．﹣4x3+16x2﹣26x．28．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）请问：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的A．提取公因式法B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．29．因式分解：（1）xy（x﹣y）﹣x（x﹣y）2（2）（a2+b2）2﹣4a2b2．30．分解因式：（1）x4﹣1；（2）a2+4ab+4b2．。
乘法公式与因式分解试题精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版乘法公式与因式分解测试题填空题1、已知：x 2－6x +k 可分解为只关于x －3的因式，则k 的值为 （ ）2、若x 2－6x y+9y 2=0，则13--y x 的值为（ ） 3、已知：x 2+4x y=3，2x y+9y 2=1。
则x +3y 的值为4、x m －x m －4分解因式的结果是 （ ）5、若y 2－8y+m －1是完全平方式，则m= （ ） 6.（a 2+b 2）2－4a 2b 2分解因式结果是（ ）7、若－b ax x -+221分解成)7)(4(21+--x x ，则a 、b 的值为（ ）8.若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（ ） 9．已知7)(2=+b a ,3)(2=-b a ,则22b a +与ab 的值分别是（ ），（ ）10．若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2a b -= ]11．多项式9x ²+1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方，请你写出一个．．符合条件的单项式 12.已知多项式n mx --与2x -的乘积中不含x 项，则m 、n 满足的条件是__________. 13. 1纳米＝0．000000001米，则3．5纳米＝___________米．(用科学计数法表示)14．若4)2)((2-=++x x b ax ，则ba ＝_________________．选择题1. 若2422549))(________57(y x y x -=--，括号内应填代数式( )A 、y x 572+B 、y x 572--C 、y x 572+-D 、y x 572- 2. ．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m的值为 （ ）A ．5-B ．5C ．2-D ．23.已知2264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( ) A 、8 B 、±8 C 、±16 D 、±324. 如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）A 、 –3B 、3C 、0D 、15. .若10=4,10=7x y ，则210x y -的值为（ ）. (A) 449 (B) 494 (C) 167 (D) 7166.下列各式中，运算结果是22169b a -的是( ) A 、)43)(43(b a b a --+- B 、)34)(34(a b a b --+-C 、)34)(34(a b a b -+D 、)83)(23(b a b a -+7. 计算：1.992－1.98×1.99+0.992得（ ）A 、0B 、1C 、8.8804D 、3.9601 8.22)213()213(-+a a 等于( )A 、4192-a B 、161814-aC 、161298124+-a aD 、161298124++a a9、对于任何整数m ，多项式9)54(2-+m 都能（ ） A 、被8整除 B 、被m 整除 C 、被m －1整除 D 、被（2m -1）整除10、若a 为正整数，且x 2a ＝5，则（2x 3a ）2÷4x 4a 的值为（ ）（A ）5 （B ）25（C ）25 （D ）11、把216a +-分解因式，结果是（ ）A.)8)(8(+-a aB.)4)(4(-+a aC.)2)(2(+-a a D 2)4.(-a 12、下列多项式中，能用公式进行因式分解的是（ ） A ．22b a -- B.422++x x C. 22)(b a --- D.412+-x x 13、用分组分解法将x y xy x 332-+-分解因式，下列的分组方式中不恰当的是（ ）A ．)3()3(2xy y x x -+- B.)33()(2x y xy x -+- C.)33()(2x y xy x -+- D.y x xy x 3)3(2+-- 14、把多项式1222+--y x xy 分解因式的结果是（ ） A ．)1)(1(+-+-x y y x B.)1)(1(---+x y y x C.)1)(1+--+y x y x D..)1)(1(--+-y x y x 15、把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是（ ）A.)2)(4(+---y x y xB.)8)(1(----y x y xC.)2)(4(--+-y x y xD.)8)(1(--+-y x y x 16、多项式3222315520m n m n m n +-的公因式是( ) A 、5mn B 、225m n C 、25m n D 、25mn 17、xy y x 2122--+解因式的结果是（ ） A.)2)(4(+---y x y x B.（x-y+1）(x-y-1) C.)2)(4(--+-y x y x D.)8)(1(--+-y x y x 18、20062+3×20062–5×20072的值不能．．被下列哪个数整除（ ）A 、3 B 、5 C 、20062 D 、2005219、一个正方形的边长增加了cm 2，面积相应增加了232cm ，则这个正方形的边长为( ) A ．6cm B ．5cm C ．8cm D ．7cm 20、下列各式中,能运用平方差分式分解因式的是（ ）A 、21x +- B 、22y x + C 、42--x D 、()22b a --- 21、若m x x +-82是完全平方式, 则m 的值为（ ） A 、4 B 、8 C 、16 D 、32 22.计算题⑴ x (9x －5)－(3x + 1) (3x －1)⑵ (a + b －c) (a －b + c)⑶)49)(23)(23(22b a b a b a ++-⑷ (2x －1) (2x + 1)－2(x －2) (x + 2)5） 22)()(y x y x +- （6）22)35()35(y x y x ++-（7）))((c b a c b a +--+ （8） 2222)2()4()2(++-t t t23.分解因式（9）2244x xy y -+- （10）224520bxy bx a -（11）(1)(3)1x x --+ （12） 22)(16)(9n m n m --+13）x 4－12x +32 （14）5x 2－125y 415）4x 2－12x y+9y 2 （16）.（m+n ）2－4（m+n －1）17）.22(1)(1)x a y a -+- （18）－81x 2+y 2（19）221222x xy y ++ （20）221424a ab b ++24、已知x + y = a , xy = b ,求(x －y) 2 ， x 2 + y 2， x 2－xy + y 2的值25、已知22==+ab b a ，，求32232121ab b a b a ++的值26、先分解因式，再求值：655222++-+-b a b ab a ，其中92,96==b a27. 对于任意自然数n ，()()2257--+n n 是否能被24整除，为什么？28、利用分解因式进行简便运算 1、已知2a －b=3,求－8a 2+8ab －2b 2 的值。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中重要的概念和操作，它们在代数运算、方程求解、多项式的化简等方面具有广泛的应用。
本文将介绍乘法公式和因式分解的概念、性质以及应用。
一、乘法公式乘法公式是指在对两个或多个数进行乘法运算时，有一些特定的规律可以简化运算过程。
其中，常见的乘法公式包括：1. 乘法交换律：a × b = b × a乘法交换律指出，两个数的乘积与它们的顺序无关。
2. 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)乘法结合律指出，三个数相乘时，可以按照不同的顺序进行运算，最终结果相同。
3. 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c乘法分配律指出，一个数与括号中的和相乘，等于这个数分别与和中的每个数相乘之后再相加。
以上三个乘法公式是数学运算中常用的基本规律，能够简化计算过程，提高效率。
二、因式分解因式分解是将一个数或者多项式表示为两个或多个因子的乘积的过程。
因式分解有助于化简复杂的表达式、解方程和求极限。
1. 常见因式分解公式(1) 完全平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)该公式表示一个完全平方式减去另一个完全平方式的结果可以被分解为两个因子的乘积。
(2) 三项平方差公式：a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)该公式表示一个立方形式减去另一个立方形式的结果可以被分解为两个因子的乘积。
2. 因式分解的应用(1) 化简表达式：通过因式分解，可以将复杂的代数表达式转化为简单的因式乘积形式，便于计算和理解。
(2) 解方程：因式分解是求解一元高次方程的重要方法之一。
通过将方程进行因式分解，可以将原方程化简为多个一次方程的乘积形式，从而找到方程的解。
(3) 求极限：在一些复杂的极限求解问题中，通过因式分解可以将被极限运算影响的部分拆分为若干个因子，从而简化运算过程。
一乘法公式与因式分解
第一章 乘法公式与因式分解§1.1 乘法公式我们知道：222()2a b a ab b +=++，将公式左边的指数变为3，又有什么结论呢？ 即3()a b += .由于3222()()()(2)()a b a b a b a ab b a b +=++=+++=32222332232233a a b ab a b ab b a a b ab b +++++=+++因此得到和的立方公式 3()a b +=322333a a b ab b +++将公式中的b 全部改为－b ，又得到差的立方公式：3()a b -=322333a a b ab b -+-上述两个公式称为完全立方公式，它们可心合写为：3()a b ±=322333a a b ab b ±+±【例1】化简：32(1)(33)x x x x +-++【解】原式=3232331331x x x x x x +++---=由完全立方公式可得3()a b +2233a b ab --=33a b +，即：2()[()3]a b a b ab ++-=33a b +由此可得立方和公式： 22()()a b a ab b +-+=33a b +将公式中的b 全部改为－b ，又得到立方差公式：22()()a b a ab b -++=33a b -〖数学方法归纳〗上述得到立方差公式和差的立方公式过程中，使用了将b 改变－b 的方法，这种方法称为代换法.是代数中广泛使用的一种方法.应用代换法可扩展公式的形式，拓宽公式的使用范围.【例2】对任意实数a ，试比较22(1)(1)(1)(1)a a a a a a -+++-+与1的大小.【分析】观察式子22(1)(1)(1)(1)a a a a a a -+++-+的结构特征，可联想立方和（差）公式进行化简.【解】22(1)(1)(1)(1)a a a a a a -+++-+=22(1)(1)(1)(1)a a a a a a -+++-+=336(1)(1)1a a a -+=-因为61a -－1=6a -，对任意实数a ，6a -≤0所以22(1)(1)(1)(1)a a a a a a -+++-+≤1通过将完全平方公式222()2a b a ab b +=++中的指数2推广到3，我们得到了完全立方公式，还可以把指数推广到4，5，…，以至一般()n a b +.另一方面：我们也可以从项数的角度推广：三项和的平方：2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++甚至还可以推广到n 项和的平方（在此省略）灵活使用上式，可为代数变形及求值带来方便.〖数学思想方法归纳〗以上从完全平方公式出发，从两个角度：指数和项数进行了推广，这种思维方法称为由特殊到一般的思想.人们对很多问题的认识，往往是先从特殊情况出发，发现一些信息，然后进行一般化，进而发现一般规律.【例3】已知：0a b c ++=，12ab bc ca ++=-，求下列各式的值 （1）222a b c ++；（2）444a b c ++.【分析】突破问题的关键在于寻找已知式与未知式的联系，联想三项和的平方公式，可得到（1）的解法，进而反复操作可推进到（2）.【解】（1）由2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++可得：2222()2()1a b c a b c ab bc ca ++=++-++=（2）由12ab bc ca ++=-得：22222221()2()4ab bc ca a b b c c a abc a b c ++=+++++=所以：222222112()44a b b c c a abc a b c ++=-++=而444a b c ++=2222()a b c ++-2222222()a b b c c a ++=12. 【例4】已知210x x +-=，求证：33(1)(1)86x x x +--=-【证法一】3332322(1)(1)331(331)62x x x x x x x x x +--=+++--+-=+由已知得：21x x =-，故2626(1)286x x x +=-+=-，因此：33(1)(1)86x x x +--=-【证法二】3322(1)(1)(11)[(1)(1)(1)(1)]x x x x x x x x +--=+-++++-+-=22222(21121)62x x x x x x +++-+-+=+以下同证法一.【归纳总结】以上两种证法都用到了整体代换的方法，即2x 换为1x -；方法二中又把(1),(1)x x +-分别看作一个整体使用立方差公式.这种整体代换的方法常可找到解题的突破口，并使运算简便.【例5】已知1x y +=，求333x y xy ++的值.【解】33222223()()32()1x y xy x y x xy y xy x xy y x y ++=+-++=++=+=.【例6】已知0abc ≠，且0a b c ++=，求222a b c bc ca ab++的值. 【解】33222333()3()a b c ab a b a b c a b c bc ca ab abc abc++-+++++== ∵0a b c ++=，∴a b c +=-；∴上式=33()33c c abc abc-++=. 习题 1.1 1．若8,2a b ab +==，则33a b +=（ ）A ．128 B.464 C.496 D.512 2．若0x y z ++=，则333x y z ++=（ ）A ．0B ．222x y y z z x ++C ．222x y z ++D ．3xyz 3．设()33311,6A n B n n n =+=++，对于任意n > 0，则A ，B 的大小关系为 （ ） A ．A ≥B B ．A>B C ．A ≤B D ．不一定 4．2(5)(255)x x x -++= .5．观察下列各式的规律：22()()a b a b a b -+=-2233()()a b a ab b a b -++=-322344()()a b a a b ab b a b -+++=-可得到11()()n n n n a b a a b ab b ---++++= .6．求函数33(2)y x x =--的最大值.7．当x =()223111242x x x x x ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭的值. 8．已知a 、b 、c 为非零实数，2222222()()()a b c x y z ax by cz ++++=++，求证：y x z a b c==. 9．如果37,3511x y x y +=-=，求2244x xy y -+的值.10．已知21()()()4b c a b c a -=--且0a ≠，求b c a+的值. §1.2 因式分解因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形.因式分解在将来学习解方程、解不等式、判断代数式的符号等问题中都要用到.多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，是我们解决许多数学问题的有力工具．主要的方法有____________、____________、___________和____________．把一个多项式因式分解，如果多项式的各项有公因式，就先提取公因式，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式；比如：把()()()()()z y x y y x z x y x n n n --+----+22122分解因式为__________________；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式或用十字相乘法分解；比如：把()222224b a b a -+分解因式为________________________、把2243b ab a --分解因式为________________________；常用的公式有：（1）22a b -=____________． （2）222a ab b ±+=____________．（3）33a b +=____________． （4）33a b -=____________．（5）222222a b c ab bc ca +++++=____________．（6）3333a b c abc ++-=____________． （7）322333a a b ab b ±+±=____________．如果还不能分解，就试用分组分解法或其他方法，比如：添项法、拆项法、待定系数法、换元法等等；添、拆项法是在分解因式时，常要对多项式进行适当的变形，使其能分组分解．添项和拆项是两种重要的变形技巧，所谓添项，就是在要分解的多项式中加上仅仅符号相反的两项的和（实际上是加上0，并不改变原多项式的值），如把44+a 添上)4(422a a -+，得________________________，从而可将原多项式分解因式．拆项是把多项式中某一项拆成两项或多项的代数和（相当于整式加法中合并同类项的逆运算），再通过适当分组，达到分解因式的目的；换元法是对有些复杂的多项式，如果把其中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可使原式得到简化，而且能使式子的特点更加明显．这样先进行换元，再将含“新字母”的多项式分解因式，最后将“新字母”用原换的式子代回去，得到原多项式的因式分解结果，这种方法就是因式分解中的换元法，或者说是换元法在因式分解中的应用；待定系数法就是有的多项式虽不能直接分解因式，但可由式子的最高次数与系数的特点断定其分解结果的因式形式．如只含一个字母的三次多项式分解的结果可能是一个一次二项式乘以一个二次三项式，也可能是三个一次因式的积．于是，我们可以先假设要分解因式的多项式等于几个因式的积，再根据恒等式的性质列出方程（组），进而确定其中的系数，得到分解结果，这种方法就称为待定系数法我们已学习过两种分解因式的方法：提取公因式法与公式法.下面我们继续学习一些分解因式的方法：十字相乘法、分组分解法、求根法及待定系数法. 十字相乘法我们知道，形如2()x p q x pq +++的二次三项式，它的特点是二次项系数是1，常数项pq 与一次项系数p + q 可以通过如图的“十字相乘，乘积相加”方式建立联系，得到1 1pq2()x p q x pq +++=()()x p x q ++.这种方法能否推广呢？如果要对2273x x -+分解因式，我们把二次项系数2分解为1×2，把常数项3分解成1×3或（－1）×（－3），按下列图的运算方式，也用“十字相乘，乘积相加”验算.可以发现图中第四个对应的结果1×（－1）+2×（－3）= －7，恰好等于一次项系数－7.由于(3)(21)x x --=2273x x -+，从而2273x x -+=(3)(21)x x --.像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法. 形如2ax bx c ++ (0)a ≠的多项式分解因式：方法及原理：若：21122()()ax bx c a x c a x c ++=++ 通常借助十字交叉：12a a 121221c c a c a c b⋅+⋅=. 【例1】将下列各式分解因式：（1）223x x +-； （2）2675a a -++ 【分析】（1）把二次项系数2分解为1×2，常数项－3有两种分解：（－1）×3和1×（－3），然后按十字辅助线凑配验证可得.（2）当二次项系数为负时，二次项系数分解成的两个因数异号，则十字辅助图的各种可能性就会更多.因此先把负号提到括号外面，即2675a a -++=2(675)a a ---，然后再对2675a a --进行分解.【解】 1 2 1 31 1 1 1 32 2 2 －1 －3 －3 －1（1）223x x +-=(1)(23)x x -+（2）2675a a -++=(21)(35)a a -+-【例2】分解因式：222()()2x x x x ----【分析】先将2x x -视为一个整体，通过两次十字相乘法得到解决.【解】222()()2x x x x ----=222(2)(1)(2)(1)(1)x x x x x x x x ---+=-+-+【归纳总结】使用“十字相乘法”关键要进行“凑配”，即要调整二次项系数、常数项的分解方式和十字线上各数的位置.它的原理是多项式乘法的法则.关于凑配的技巧有调整符号，调整大小等，需在实践中体会.提高：有些二次三项式中含有两个或三个字母，这样的式子又怎样分解呢？【例3】分解因式：223()x a a x a +++【例4】分解因式：2256x xy y -+【例5】分解因式：22(1)n x xy ny ++- 分组分解法观察多项式xm xn ym yn +++，它的各项并没有公因式，因此不能用提取公因式来分解因式；这是一个四项式，因此也不能直接用公式法或十字相乘法来分解因式.观察多项式各项，前两项有公因式x ，后两项有公因式y ，分别提取后得到()x m n ++()y m n +.这时又有了公因式（m+n ），因此能把多项式xm xn ym yn +++分解：分解过程为：xm xn ym yn +++=()x m n ++()y m n +=()()m n x y ++.一般地，如果把一个多项式的项适当分组，并提出公因式后，各组之间又出现新的公因式，那么这个多项式就可以用分组方法来分解因式.【例1】将下列各式分解因式（1）321x x x -+-（2）224(1)4x xy y +-+ 【解】（1）解法一：321x x x -+-=322()(1)(1)(1)x x x x x -+-=-+解法二：321x x x -+-=322()(1)(1)(1)x x x x x +-+=+-（2）222224(1)4444(2)4x xy y x xy y x y +-+=++-=+-=(22)(22)x y x y +++-【注】本题第（2）小题的解法是先分组，再用公式法分解因式.先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法.用这种方法分解因式，分组时应预见到下一步分解的可能性.【例2】已知3223220,0x x y xy y x y --+=>>，化简：21xz yz -+【解】32232222(2)(2)()()(2)x x y xy y x x y y x y x y x y x y --+=---=+-- ∵0x y >>∴0,0x y x y +≠-≠，即只有20x y -=∴21xz yz -+=(2)11z x y -+=.求根分解法结论一：若已知关于x 的二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根为12,x x ，则关于x 的二次三项式可分解为：212()()(0)ax bx c a x x x x a ++=--≠.结论二：若方程11100n n n n a x a x a x a --++++= 有一个根为0x ，则多项式：1110n n n n a x a x a x a --++++ 有一个因式为0()x x -.用以上方法可对一些较复杂的因式进行分解.【例1】在实数范围内分解因式：（1）221x x +-；（2）2244x xy y +-. 【例2】分解因式：334x x +-. 添、拆项法【例1】 分解因式444b a +（添项）分析：444b a +是二项式，无法直接分解，若添上__________这一项后，就成了()2222b a +，为保持式子的恒等，需要减去____________这时式子正好符合____________公式，因此达到因式分解的目的．解：44422422222224444(2)4a b a a b b a b a b a b +=++-=+-2222(22)(22)a ab b a ab b =++-+【例2】 分解因式443234---+x x x x （拆项）分析：当最高项的次数是偶次时，往往通过拆项（或添项）进行配方，本题把23x -拆成____________，然后再分组，就可利用____________、____________进行分解．解：443234---+x x x x 4322244x x x x x =+----()()222244x x x x x =+--++ ()()()22212x x x x =+--+()()3222x x x x =+---()()32211x x x x =+---- ()()()2212x x x x =+++-或者443234---+x x x x 4322444x x x x x =++---()()222141x x x x x =++-++ ()()2214x x x =++-()()()2212x x x x =+++-．【例2】 分解因式：334x x +-.【解】：333234331(1)(33)(1)(4)x x x x x x x x x +-=+--=-+-=-++【方法总结】在因式分解中，我们有时根据需要，也可能添上仅符号不同的两项，使它能够使用公式法或提取公因式法继续分解．拆项分组分解法的灵活性较大，解法往往不唯一，分解时要根据题目的具体特点，选择简捷的分解方法．待定系数法【例题1】 分解因式：12423++-x x x ．分析：对于一个三次多项式，它首先可以分解成一个一次式与一个二次式的乘积．待定系数法实际是假设多项式分解后，通过整式的乘法，利用代数式相等的因素来建立方程，解这个方程，从而找到相应的参数．解：令原式＝()()c bx x a x +++2＝()()ac x c ab x b a x +++++23， ⎪⎩⎪⎨⎧==+-=+124ac c ab b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=131c b a ，所以()()322421131x x x x x x -++=---．【例题2】分解因式：22282143x xy y x y +-++-．分析：本题是一个二次多项式，它只能分解成两个一次多项式的乘积，同时要考虑到式子中有两个字母．解：设原式=()()x ay b x cy d ++++()()()22x a c xy acy ad bc y b d x bd =++++++++，所以：281423a c ac ad bcb d bd +=⎧⎪=-⎪⎪+=⎨⎪+=⎪=-⎪⎩，解得：4a =、1b =-、2c =-、3d =．原式=()()4123x y x y +--+．说明：本题采用待定系数法，计算量比较大，还可以采用双十字相乘法，计算比较简单．因为()()222842x xy y x y x y +-=+-，所以有：原式=()()4123x y x y +--+．【方法总结】待定系数法体现了整式乘法与因式分解之间的相互关系，为我们解决高次多项式的因式分解问题提供了有效的方法．这个方法中，建立的方程组不能按照一般的方法去解，我们只需求它的整数解．整理思想的应用整体思想是中学数学中的一种重要的数学思想，在因式分解中常体现这一思想．【例题1】分解因式：()()y z x c y x z b z y x a +------+)(．分析：在用提公因式法分解因式时要注意整体思想的运用，本例题就是把()z y x -+这一整体作为公因式提出．解：原式=()()x y z a b c +-+-．【例题2】分解因式：()()()c b b a a c ----42．分析：设a b x -=，b c y -=得a b x y -=-． 原式＝()()2224y x y y x x -=--＝()22c b a +-．说明：通过“整体换元”分解因式简单明了．【方法总结】整体思想主要体现在下面几个方面：“提”整体、“当”整体、“凑”整体、“拆”整体、“换”整体．请同学们对照看一看，上面的两个例题和三个练习题分别是哪种情况？习题1.21、对多项式2242x x y y +--用分组分解法分解因式，下面分组正确的是（ ） A 、22(42)()x x y y +-+ B 、224(2)x x y y +--C 、22(4)(2)x y x y -+-D 、22(4)(2)x y x y -+-2、要使二次三项式26x x m -+在整数范围内可分解，m 为正整数，那么m 的取值可以有（ ）A 、2个B 、3个C 、5个D 、6个 3、把多项式2221ab a b +--分解因式，结果是（ ）A 、(1)(1)a b b a +--+B 、(1)(1)a b b a -+-+C 、(1)(1)a b a b +--+D 、(1)(1)a b a b -+--4、4242221____1(___)(___)m m m m m m ++=+-+=++5、将下列各式分解因式：（1）243x x -- ；（2）2232x ax a +-.6、将下列各式分解因式：（1）3322x y x y xy --+；（2）2222a b ab a b -+-+7、已知,,m x y n xy =-=试用m ，n 表示332()x y +8、当x =－1时，322560x x x +--=.请根据这一事实，将32256x x x +--分解因式.提高部分：1．将下列各式分解因式： （1）21x ax a -+-；（2）2221x mx m -+-；（3）212x +（4）3333a b c abc ++-.2．若223894613M x xy y x y =-+-++（x 、y 是实数），则M 的值一定是（）A ．正数B ．负数C ．零D ．非负数3．分解因式42201120102011x x x +++． 4．分解因式：42134x x -+ 5．分解因式：343m m -+6．分解因式：2223914320x xy y x y +-+-+． 7．分解因式：4322x x x -++． 8．分解因式：()22)2(924b a b a +--．9．分解因式：()()2222b a cd d c ab +++． 10．分解因式：()()()()246816x x x x ----+．第一章测试题（注：满分100分，考试时间45分钟）一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 1．多项式2232y yx x --+分解因式的结果是（ ） A 、()(3)y x y x -++ B 、()(3)x y x y +-C 、()(3)y x y x ---D 、()(3)x y x y +-2．若3322331a b a b ab -=-+，其中a ，b 为实数，则a b -=（ ）A 、0B 、－1C 、1D 、±13．若多项式227x x m ++分解因式的结果中有因式x + 3，则此多项式分解因式的结果中另一因式为（）A 、2x －1B 、2x + 1C 、x + 1D 、x － 14．若13a a +=，则234234111a a a a a a +++++=（ ）A 、7B 、25C 、47D 、725．多项式2242x xy y ---分解因式的结果是（ ）A 、(2)(2)x y x y ++--B 、(2)(2)x y x y ++-+C 、(1)(4)x y x y ++--D 、(1)(4)x y x y -+++6．若3,3x y z yz xy xz --=--=，则222x y z ++=（ ）A 、0B 、3C 、9D 、－1二、填空题（本题有3小题，每小题8分，共24分）7．若322468126x x y xy y +++可分解为3(2)m x y +，则m = . 8．若关于x 的二次三项式239ax x +-的两个因式的和为3x ，则a = . 9．2211114(___)(___)x x x x xx x x +++-=+++-.三、解答题（本题有3小题，第10，11题各15分，第12题16分，共46分） 10．分解因式：（1）3256x x x -+；（2）341m m +-.11．已知210x x --=，求543233x x x x x --++的值.12．已知2222961(3)(3)a x xy y a x ay xy -+-=+-+，求证：6y x =.答案： 习题1．1 1．B 2．D ． 3．A ． 4．125－x 3．5．11n n ab ++-．6．－2． 7．24．8．由已知得222222222222222222a x a y a z b x b y b z c x c y c z ++++++++ =222222222a x b y c z abxy acxz bcyz +++++. 即222()()()0bx ay xy bz az cx -+-+-=. 因为222()0,()0,()0bx ay xy bz az cx ---≥≥≥所以,,..bx ay y x z cy bz a b c az cx =⎧⎪===⎨⎪=⎩即9．由37,3511x y x y +=⎧⎨-=⎩相加得29x y -=，则22244(2)81x xy y x y -+=-=.10．由已知得：21()()()4c b a b c a -=--，进而有2[()()]4()()c a a b a b c a -+-=--∴2[()()]0c a a b ---=， ∴2c b a +=，∴2b c a+=.习题1．2 1．C ．2．B ． 3．B ．4．22m ，1m +，1m -．5．（1）(1)(43)x x -+；（2）()(3)x a x a +-． 6．（1）22()()x y x y -+；（2）(1)(2).a b a b +-- 7．222(4)().m n m n ++8．(1)(2)(3)x x x +-+.提高部分：1．（1）(1)(1)x a x -+-；（2）(1)(1)x m x m ---+；（3）2(x ； （4）3333223322333333a b c abc a a b ab b c a b ab abc ++-=++++--- =33()3()a b c ab a b c ++-++=22()[()()3]a b c a b a b c c ab +++-++- =222()()a b c a b c ab bc ca ++++--- 2．A ，提示：M = 2222(2)(2)(3)x y x y -+-++. 3．22(1)(2011)x x x x ++-+ 4．22(32)(32)x x x x +--- 5．2(1)(3)m m m -+- 6．(234)(35)x y x y -+++ 7．22(22)(1)x x x x -+++ 8．(8)(47)a b a b --+ 9．()()ad bc ac bd ++ 10．22(1020)x x -+第一章测试题1．B ． 2．C ． 3．B 4．D ． 5．A ． 6．B ． 7．2． 8．2 9．3，2． 10．（1）(2)(3)x x x --；（2）2(21)(21).m m m -++ 11．112．略.。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解一、知识点1.幂的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即，am·an＝am＋n（m、n为正整数）。
例如：(－2a)2(－3a2)3 = 4a2·-27a6 = -108a8.2.幂的乘方性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即，a(mn)＝(am)n（m、n为正整数）。
例如：(－a5)5 = (-1)5·a25 = a25.3.积的乘方性质：积的乘方等于各因式乘方的积。
即，(ab)n = an·bn（n为正整数）。
例如：(－a2b)3 = (-1)3·a6·b3 = -a6b3.4.幂的除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即，a/m ÷ a/n = a(m-n)（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）。
例如：(1) x8÷x2 = x6；(2) a4÷a = a3；(3) (ab)5÷(ab)2 = a3b3.5.零指数幂的概念：a0 = 1（a≠0）。
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1.例如：若(2a-3b)0=1成立，则a,b满足任何条件。
6.负指数幂的概念：a-p = 1/ap（a≠0，p是正整数）。
任何一个不等于零的数的-p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。
例如：(m/n)-2 = n2/m2.7.单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：(1) 3a2b·2abc·abc2 = 6a4b2c3；(2) (-m3n)3·(-2m2n)4 = -8m14n7.8.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
例如：(1) 2ab(5ab+3ab) = 16a2b2；(2) (ab2-2ab)·ab = a2b3-ab2.9.多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式、多项式与因式分解1.乘法公式1.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$（和的平方）2.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$（差的平方）3.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$（平方差）4.$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$（乘法分配律）5.$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$（三项和的平方）6.$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$（和的立方）7.$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$（差的立方）8.$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$（立方和）9.$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$（立方差）10.$(a+ab+b)(a-ab+b)=a^3+b^3$（立方和）2.求值公式：1.$a+b=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab$若已知$a+b$和$ab$，欲求$a-b$时，需先算出$(a-b)^2$，再用平方根来求）2.$x+\frac{1}{2}x^2=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$3.$a+b+c+ab+bc+ca=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\le ft(c+a\right)^2$4.$a+b=(a-b)+4ab$5.$a-b=(a+b)-4ab$3.乘法公式的应用与式子的展开：1.$(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$2.$(ax+b)^2=a^2x^2+2abx+b^2$3.$(ax-b)^2=a^2x^2-2abx+b^2$4.$(ax+b)(ax-b)=a^2x^2-b^2$5.$(-ax+b)^2=(ax-b)^2$；$(-ax-b)^2=(ax+b)^2$主题二：多项式1.多项式的定义：由数和文字符号$x$进行加法和乘法运算所构成的式子。
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乘法公式、多項式與因式分解
主題一：乘法公式的判別與求值
1. 乘法公式
1.2222)(b ab a b a ++=+（和的平方）
2.2222)(b ab a b a +-=-（差的平方）
3.22))((b a b a b a -=-+ （平方差）
4.(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd （乘法分配律）
5.
ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++（三項和的平方） 6.3223333)(b ab b a a b a +++=+（和的立方）
7.3223333)(b ab b a a b a -+-=-（差的立方）
8.3322))((b a b ab a b a +=+-+（立方和）
9.3322))((b a b ab a b a -=++-（立方差）
10.42242222))((b b a a b ab a b ab a ++=+-++
2. 求值公式：
（1） a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ＝（a －b ）2＋2ab
【若已知a ＋b 及ab ，欲求a －b 時，須先算出（a －b ）2，再用平方根來求】
（2） x 2＋x
21＝（x ＋x 1）2－2＝（x －x 1）2＋2 （3） a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝
2
1〔（a ＋b ）2＋（b ＋c ）2＋（c ＋a ）2〕 （4） （a ＋b ）2＝（a －b ）2＋4ab （5） （a －b ）2＝（a ＋b ）2－4ab
3.乘法公式的應用與式子的展開：
（1）（ax ＋b ）（cx ＋d ）＝acx 2＋＋ad x ＋bcx ＋bd
（2）（ax ＋b ）2＝（ax ）2＋2×ax ×b ＋b 2＝a 2x 2＋2abx ＋b 2
（3）（ax －b ）2＝（ax ）2－2×ax ×b ＋b 2＝a 2x 2－2abx ＋b 2
（4）（ax ＋b ）（ax －b ）＝（ax ）2－b 2＝a 2x 2－b 2
（5）（-ax ＋b ）2＝（ax －b ）2；（-ax －b ）2＝（ax ＋b ）2
主題二：多項式
1. 多項式的定義：由數和文字符號x 進行加法和乘法運算所構成的式子。
多項式的文字x 不可在分母、指數、根號內與絕對值內，且須為有限項。
例：231
+X ，
22-X ，5-X ，.....12+++X X 不是X 的多項式。
2.多項式的次數：
（1） 只含一個文字的多項式，以文字的最高次數為此多項式之次數。
（2） 含二個或二個以上文字的多項式，以各項中文字的次數總和的最高次數為此多項式之次數。
（3） 常數多項式，包含零次多項式（只有常數項，且不為0）及零多項式（就是0）。
（4） 若ax 2+bx+c=px 2+qx+r ，則a=p ，b=q ，c=r 。
（5） 多項式的排列方式：○
1升冪排列：按照次數大小由小到大 ○
2降冪排列：按照次數大小由大到小 （6）設f(x)表x 的多項式，當x=a 時，多項式f(x)之值為f(a)→即多項式所有x 均以a 值代替所得的
值，叫做f(x)的值。
（7）若012211)(a x a x a x a x a X f n n n n +++⋅⋅⋅++=--，n a a a f +⋅⋅⋅⋅++=21)1(為各項係數的和。
3. 多項式的加減運算：
（1） 各單項中，文字和其次數相同者，稱為同類項。
（2） 多項式的加減運算：同類項的係數相加減，文字和其次數不變。
（3） 在一多項式中，其文字用指定的數代入後，所得的數稱為多項式的值。
（4） 若兩多項式f （x ）與g （x ）的次數分別為m 與n （m ≥n ），則f （x ）± g （x ）的次數至多為m
次。
4. 多項式的乘法：
（1）單項式乘以單項式：把係數相乘，文字符號也相乘，再把係數寫在前面。
（2）單項式乘以多項式：利用分配律展開。
a ×（b+c ）＝a ×b ＋a ×c
（3）多項式乘以多項式：○
1橫式運算法 ○2直式運算法 ○3分離係數法 5.多項式的除法：
（1） 單項式除以單項式：將它化成分式，約分即可。
（2） 多項式除以單項式：○
1化成分式 ○2利用長除法。
（3） 多項式除以多項式：○
1長除法 ○2分離係數法 （4） 長除法應注意事項：○
1降冪排列 ○2缺項補0 6.除法關係式：被除式＝除式×商式＋餘式
若多項式A 除以多項式B ，得到商式Q ，餘式R ，則
（1） A ＝B ×Q + R
B A ＝Q + B R
（2） B A ＝Q + B R aB A ＝a
Q ＋aB R （除式變成a 倍，但餘式不變，還是R ） （3） 餘式R 的次數必小於除式B 的次數。
（4） 「B 除A 」就是「A 除以B 」：A 為被除式，B 為除式
7. 因式定理：
（1） 若多項式f （x ）含有（x －a ）的因式，則f （a ）＝0
（2） 若多項式f （x ）含有（ax+b ）的因式，則f （－
a
b ）＝0 8. 餘式定理：
（1） 多項式f （x ）除以（x －a ）的餘式＝f （a ）
（2） 多項式f （x ）除以（ax+b ）的餘式＝f （－
a b ）
主題三：因式分解
1.因式與倍式：設A 、B 、Q 代表三個多項式，若A ＝B ×Q （其中B 、Q 都不是零多項式），則B 或Q 為A 的因式，A 為B 或Q 的倍式。
2.因式的判別：
（1） 利用除法：若A ÷B 能整除，則B 為A 的因式。
（2） 因式定理：若多項式f （x ）含有（x －a ）的因式，則f （a ）＝0
（3） 利用乘法公式：a 2－b 2＝（a+b ）（a －b ）
3.因式分解：把一個多項式寫成幾個多項式的乘積的過程叫做因式分解。
4.因式分解括號變換應用：
（1） b －a ＝－（a －b ） （2）（b-a ）2＝（a-b ）2 （3）（b-a ）3＝－（a-b ）3
（4）（b －a ）奇數＝－（a －b ）奇數 （5）（b-a ）偶數＝（a-b ）偶數
5.因式分解的方法：
（1） 各項提出公因式：ma ＋mb －mc ＝m （a ＋b －c ）
（2） 分組提出公因式：ma ＋mb ＋na ＋nb ＝（ma ＋mb ）＋（na ＋nb ）
＝m （a ＋b ）＋n （a ＋b ）
＝（a ＋b ）（m ＋n ）
（3） 利用乘法公式做因式分解：
○1平方差分解法：a 2－b 2＝（a+b ）（a －b ）
○
2和的平方公式：a 2+2ab+b 2＝（a ＋b ）2 ○
3差的平方公式：a 2－2ab+b 2＝（a －b ）2 （4） 十字交乘法做因式分解：
○
1最高次項係數為1的二次三項式分解 x a x 2＋（a ＋b ）x ＋ab ＝（x ＋a ）（x ＋b ） x b
ax ＋bx ＝（a ＋b ）x
○
2最高次項係數不為1的二次三項式分解 ax b acx 2＋（bc ＋ad ）x ＋bd cx d
＝（ax ＋b ）（cx ＋d ） adx ＋bcx ＝（ad ＋bc ）x
（5） 進行因式分解時，若x 2項的係數為負數時，習慣上先將負號提出再分解。
（6） 觀察各項是否存在公因式，或各項係數間有大於1的公因數。
若有，則先提出公因。