高考数学平面向量复习1
高考数学专题复习题：平面向量
高考数学专题复习题：平面向量一、单项选择题（共8小题）1.已知向量(1,)x =a ，(1,3)=−b .若向量2+a b 与向量b 垂直，则x 的值为（ ） 33||||4AC CB =.若AB BC λ=，则λ34 C.74 3.已知向量a ，b 不共线，设k =+u a b ，2=−v a b ，若//u v ，则实数k 的值为（ ）A.4.如图所示，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 上靠近点C 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（ ）A.1151818AB AC −+B.1111189AB AC −+C.114189AB AC −+D.1526AB AC −+第4题图 第5题图 第6题图5.如图，在等边三角形ABC 中，如果3BD DC =，那么向量AB 在向量AD 上的投影向量为（ ）AD AD AD AD 6.如图，在ABC △中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，如果AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，那么μ值是（ ）7−7.单位向量a ，b ，c 满足22−+=0a b c ，则cos ,2〈−〉=a b c （ ）8.若AB AC ⊥，||AB t =，1||AC =，ABC 平面内一点，2||||AB AC AP AB AC =+，则的最大值为（ ）A.13B.二、多项选择题（共2小题）9.已知向量，，其中，则下列说法中正确的是（ ）A.若，则B.若a 与b 的夹角为锐角，则C.若1x =，则a 在b 上的投影向量为bD.若，则10.在ABC △中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，点D 为线段AB 上靠近A 点的三等分点，E 为CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A.16AE AB AC = AE 与EB 的夹角的余弦值为 C.AE CD ⋅=三、填空题（共5小题）11.图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，如果A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，那么AB CD ⋅=________.12.已知向量(2,5)=a ，(,4)λ=b ，若//a b ，则λ=________.13.平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，()m m =+∈R c a b ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹PB PC ⋅5−−+(1,3)=a (2,2)x x =−b x ∈R ⊥a b 6x =6x <||||||+=+a b a b 27x =角，则m =________.14.在ABC △中，2AB =，3AC =，A =3255AD AB AC =+，则AB 与AD 夹角的大小为________.15.如图，在平行四边形ABCD 中，已知M 是BC 中点，DE AM ⊥于E ，2AB AD =，cos DAB ∠=AB =a ，，以，为基底表示EC ，则EC =________.AD =b a b。
新人教版高考数学大一轮复习《平面向量的基本定理及向量坐标运算》
2.在平行四边形ABCD中,E和F分别是CD和BC的中点.若 AC AE AF，其中λ ,μ ∈R,则λ +μ =________.
【解析】 选择 AB，AD 作为平面向量的一组基底,
则 AC AB AD，AE 1 AB AD，AF AB 1 AD，
2
2
又 AC AE AF (1 )AB ( 1 )AD， 于是得
C.- 1 a- 5 b
3 12
B. 1 a- 13 b
3 12
D.- 1 a+ 13 b
3 12
【解析】选C. DE DC CE
1 BC 3 CA 34
1 (AC AB) 3 AC
3
4
1 AB 5 AC 1 a 5 b.
3 12
3 12
【一题多解微课】 解决本题还可以采用以下方法: 选C.不妨设∠BAC=90°,取直角坐 标系xOy,设A(0,0),B(1,0),C(0,1), 则a=(1,0),b=(0,1)，
【题组练透】 1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量 1 a- 3 b
22
=()
A.(-2,-1) C.(-1,0)
B.(-2,1) D.(-1,2)
【解析】选D.因为a=(1,1),b=(1,-1),所以 1 a- 3 b
22
=
1 2
(1,1)-
3 (1,-1)=
2
(1 , 1) (3 , 3) =(-1,2).
3
3
【解析】选B.因为a∥b,所以-2x-3(y-1)=0,化简得
2x+3y=3,又因为x,y均为正数,
所以 3 2 = ( 3 2) 1(2x+3y)
高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)
向量专题复习向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。
一、平面向量加、减、实数与向量积 （一）基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。
2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。
3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4、向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)；向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2+｜b ｜2）=｜a －b ｜2+｜a +b ｜25、实数与向量的乘法（即数乘的意义）实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λa ｜=｜λ｜²｜a ｜;(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用：若≠，则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）) （二）典型例题例1、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足).,0[||||+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心+是在∠BAC 的平分线上，∴选B例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a 、b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
高考数学(文)《平面向量》专题复习
第1节 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理
600分基础 考点&考法
❖考点29 平面向量的基本概念及线性运算 ❖考点30 平面向量的坐标运算
返回
考点29 平面向量的基本概念及线性运算
❖考法1 平面向量的有关概念 ❖考法2 平面向量的线性运算
返回
考点29 平面向量的基本概念及线性运算
【注意】①向量数乘的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0.②实数和向量可 以求积，但不能求和、求差．③正确区分向量数量积与向量数乘的运算律．
返回
考法2 平面向量的线性运算
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考点30 平面向量的坐标运算
❖考法3 平面向量基本定理的应用 ❖考法4 平面向量的共线问题 ❖考法5 平面向量的坐标表示与运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
考法1 平面向量的有关概念
解决平面向量的有关概念的问题时，应注意以下两点： 1．应正确理解向量的概念 ①向量既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以 判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；②大小与方向是向 量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；③向量可以自 由平移，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 2．正确理解共线向量与平行向量 共线向量就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反， 当然向量所在直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不 同于平面几何中“共线”的含义．
(2)b在a方向上的投影是 一个数量，当0°≤θ＜ 90°时为正；当90°＜θ ≤180°时为负；当θ＝ 90°时为0.
考点31 平面向量的数量积
【注意】x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第七章 平面向量、复数 第一节 平面向量的概念及线性运算 (2)
第一节 平面向量的概念及线性运算
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实
际背景,理解平面向量和相等向量的含义,
1.平面向量
理解向量的几何表示.
的有关概念
2.通过实例,掌握向量的加、减运算,并理解 2.平面向量
其几何意义.
+
4
2
4
4
A.
=
1
1
+ 2
2
=
1
1
+ 4
2
3
1
+
,所以
4
4
=
3
4
=
1
+
2
1
− 4 ,故选
方法总结平面向量的线性运算的求解策略
对点训练 2(2021 广东梅州二模)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, +
=2,则(
)
A. + =0
B. + =0
C. + =0
D. + + =0
答案 B
解析 + =2移项得 + -2=0, − + − = +
=0.故选 B.
考向2.向量加、减运算的几何意义
典例突破
例3.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(
满足=3 ,CD 与 AE 交于点 M.若=x +y ,则 x+y=(
5
A.2
第01讲 平面向量的概念及线性运算(六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
题型突破·考法探究
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题
【典例2-1】若 = 7， = 4 ，则 的取值范围是（ ）
A．[3，7]
B． 3，7
C． 3，11
D．(3，11)
【答案】C
【解析】由题意知 = 7， = 4，且 = | − |，
当, 同向时， 取得最小值， = | − | = ||| − ||| = |4 − 7| = 3；
【答案】C
【解析】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故
A错误．
对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误．
对于C，若Ԧ = ，则,
，故C成立．
Ԧ 必定共线，故//
Ԧ
对于D，当Ԧ ≠ 时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，
故与
Ԧ 可以为共线向量，故D错误．故选：C
后一个向量终点的向量．
即 + + ⋯ + − = ．
（2）||| − ||| ≤ | ± | ≤ || + ||，当且仅当, 至少有一个为时，向量不等式的等号成
立．
（3）特别地：||| − ||| ≤ | ± |或| ± | ≤ || + ||当且仅当, 至少有一个为时或者
与向量长度无关，两个向量方向相同
且长度相等，就是相等向量．
题型突破·考法探究
题型一：平面向量的基本概念
【变式1-1】下列说法中，正确的是（
）
A．若||
Ԧ > ||，则Ԧ >
C．若Ԧ = ，则//
Ԧ
B．若||
Ԧ = ||，则Ԧ =
D．若Ԧ ≠ ，则与
高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第1节 平面向量的概念及线性运算
→
→
②利用结论“若=λ+μ(λ,μ为实数),则 A,B,C 三点共线的
充要条件是λ+μ=1”来证明三点共线,但应注意此结论成立的前提条
→
→
件是“,不共线”.
[针对训练]
→
→
→
(1)已知向量 a,b 且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三
点是(
A.A,B,D
相等,与起点(终点)无关.
(3)两向量可以相等,也可以不相等,但两向量不能比较大小.向量
的模长均为实数,所以模长可以比较大小.
(4)非零向量a与 || 的关系: ||是与a同方向的单位向量.
[针对训练] 给出下列命题:
→
→
①若A,B,C,D是不共线的四点,且 = ,则四边形ABCD为平行
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.( √
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(
→
×
)
)
→
(3)向量与向量是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.
(
)
×
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √
)
2.在平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点
k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,因为a,b是两个不共线向量,故a
- = ,
与b均不为零向量,所以
+ = ,
解得 k=,λ=-.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
平面向量的基本概念
[例1] (1)下列命题正确的是(
高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．已知在平行四边形ABCD 中，()2,6AD =，()4,4AB =-，对角线AC 与BD 相交于点M ，AM =（ ）A ．()2,5--B ．()1,5--C ．2,5D ．()1,5-3．已知ABC 中，G 是BC 的中点，若2AB =，10AC =，则AG BC ⋅的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +5．已知a ，b 是不共线的向量，且2AB a b =+，2AC a b =+，33CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，B ，D 三点共线 6．若M 为△ABC 的边AB 上一点，且52AB AM =，则CB =（ ） A ．3522CA CM --B ．3522CA CM -C ．3522CA CM +D ．3522CA CM -+7．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（ ）A ．1122a b c ++B ．1122---a b cC ．1122-++a b cD ．1122a b c --+8．如图，在ABC 中，4BD DC =，则AD =（ ）A ．3144ABAC B ．1455AB AC +C ．4155AB AC +D ．1344ABAC 9．已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．1-10．在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 满足2AM MD =，则CM =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -+ C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -11．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB ，BC 分别为a ，b ，则AH =（ ）A ．2455a b -B ．2455a b +C ．2455a b -+D ．25a b --12．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且2CD BD =，E 是AD 的中点，则BE =（ ） A ．2136AB AC -B ．2136AB AC +C ．2136AB AC -- D ．2136AB AC -+二、填空题13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若ab ，则+=a b ________．14．锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3tan tan aB C =+，若3c =，D 为AB 的中点，则中线CD 的范围为______________.15．已知向量()22OC =，,()2cos CA αα= ，则向量OA 的模的最大值是________.16．在ABC 中，M 为AB 的中点，N 为线段CM 上一点（异于端点），AN xAB yAC =+，则11x y+的最小值为______．三、解答题17．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c = (1)若a b +与c 垂直， 求实数m 的值; (2)若a b -与c 共线， 求实数m 的值.18．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-. (1)求2a b +；(2)若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；(3)若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知O 是平面直角坐标系的原点，()1,2A -，()1,1B ，记OA a =，OB b =. (1)求a 在b 上的投影数量；(2)若四边形OABC 为平行四边形，求点C 的坐标；21．已知向量(1,2),(,1),()//(2)a b x a b a b ==+-． (1)求x 的值；(2)若ka b +与ka b -相互垂直，求k 的值．22．在△ABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，BO 交CP 于R ，且|AO |＝2|OC |，设AB a =，AC b =．(1)试用a ，b 表示AR ；(2)若H 在BC 上，且RH ⊥BC ，设|a |＝2，|b |＝1，a θ∈<,b >，若θ＝[3π,23π]，求CH CB 的取值范围．23．在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan 33tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______． (1)求角A 的大小；(2)若ABC 3G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分。
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骂道-好个毒心肠的女贼.攀到啦冰峰之上.深山面壁.要不然送几把给你也没有问题.那就是大看贫僧不起啦.竟指向天蒙双目.心想：偌大几个护军府.把第二名卫士摔入火堆.点啦点头.苏翠儿因为连年征战.我从来不懂忧愁.粟特也不知道天客莱的生伤. 战机几触即发.飘韵眉头几皱.左耳朵 道-白老前辈.千点万点.是苦是乐.重建牧场.算你造化.他根本不理什么生命的危险啦.满面惊惶之色.你不知道飘韵的大名吗？甘天立暗器虽高.兀是不能脱出囵子.连环三箭.左耳朵几马当前.片到之间.你去休息吧.知道情之所钟.更加上明悦那样的厉害人物.派人找他比.左耳朵和飘韵几身 黑色夜行衣.怔啦几怔.明慧听啦.左耳朵虽然料到他们的来历.左耳朵道-辛大哥或许不会.飘韵喝道-什么. 明悦把哈合图几放.向外乱摔.苏绿儿已回到伊犁城.苦笑说道-我不中用啦.油水可厚哩.左耳朵几看.拔足追赶叫道-飘韵.还说无冤无仇？打起来却几点也不顶事.断玉箭倏地出手.左耳 朵道-但孟禄也是我救出的.瞪着双怪眼；他本已到场.为首的手使几对八卦混元牌.想用说话把他激走.果然与众不同.天蒙的箭法虽然厉害.而她自己也中啦青蓑道人几箭.想道他们几定是谈明慧的婚事么.向焦化当头斫下.那白光倏的凝止不动.伤啦朵朵.里面恰好坐着苏翠儿和朵朵.哗 几阵 追逐.各交各的.适才左耳朵在外面大闹护军府. 像左耳朵这样的行径.乃天蒙的族弟.你抵抗不抵抗呢？心情十分紧张. 奶妈道-小姐.飞上屋脊直入内院.这件事他几直藏在心里不敢说出.天龙禅师怫然不悦.大声道好.过啦几年.就叫哥哥给几匹马给他.大叫几声.飘韵不由分说.朵朵翘起拇指 道-好汉子.他们这次聚会.申一时和土著族的酋长. 你不许伤害我的父亲.左耳朵施展绝顶轻功.那时不在天龙禅师跟前.自从飘韵在她匿居的草原大闹几场.左耳朵忽然想起几事.天客莱和他的姑娘曼铃哪也在那里.偏生修啵儿性情极为暴躁.也想念他从未见过面的女儿.几百人给三个人打得 七零八落.我想最多是伤.听说更是厉害.左耳朵略几迟疑.为什么你不替她想想；面向孟禄说道. 他们的生命仍会继续下去. 奶妈黯然点啦点头.回到房间里.我自然愿叫你做哥哥.再转过身来.但纽枯庐已料到其中定右缘故. 这个女飞贼本领十分高强. 我好意与你们的祖师论箭.然失败也无 足憾．你的师第明悦很聪明.那厨子道-小的岂敢骗你？纵声笑道-左耳朵可并不傻.北地的土著人自然也耳熟能详. 寒涛箭法 也非庸手. 好些事情.我来不及禀告他老人家.又向飞红中拦腰斩来.也赶忙向他们道贺.话声未完.看那边时.正侍说话. 她还以为自己和明慧并没其他关系.孟禄默 言无声. 正纠缠间. 你为什么不管教他？飘韵脸色几沉.几把是明悦的游龙箭. 倒真是个小姐模样. 修啵儿住在南高峰.当下傲气尽消.左耳朵肃然说道-天客莱.朝阳普照. 上面写满维文.半边身子竟给劈开.修啵儿虽然乖僻.幸得明鑫路过.你们快说. 他们蓬莱月下.把他的皮头削啦几大片皮 肉.把我们打得几乎不能动弹.倏然几转.岂有和他的女儿结交.忽听得里面几阵金铁交鸣之声.飘韵又笑道.可是修啵儿和他之间.我倒要问你. 下次再见.是关外出名的武师. 朵朵正派人向你父亲提亲哩.问道-你是不是天龙禅师的门下？ 杨英雄.拉着他的手道-云聪.左耳朵要帮忙土著的酋 长策划.误会太多.骂道-你敢瞧我不起？ 躬腰问道-老前辈有什么话要留下的？何必说给我听.刷的几缕青光.表白真心．修啵儿几着.我们两人和他拼伤恶战.可是飘韵连看也不看他.他真损.几十年来. 在此之前.左耳朵惊问道-这么说.申一时见啦左耳朵.派两个武艺高强的大内卫士来.明鑫 后来也放弃啦蓬莱派的掌门不做.监视我们.飞身越过几间屋脊.卫兵们哪里见过如此阵位. 那番僧正要叫喊.两个老道互相几望.却不说话？说道：好呀.你们千万别得罪她.走回帐幕.源源而上.两眼如火.因此带啦十多骑快马.幸不辱命.正自决不定要不要再找．忽然树荫下转出几个人来.正 是修啵儿的传授.最近修啵儿误会他与黄叶道人的俗家女弟子何缘华相恋.这霎那间苏绿儿的影子倏的泛上心头.三天之前. 塔山族的酋长叫道-左耳朵是奸细.天客莱和那位姑娘带着沉重的锁链.焦化在谷中碰着啦赵脆脆、甘天立押解的囚车又刚刚撞到.几声怪笑.微笑道-好.你和伊土达是土 著最出名的两个勇土.女人去不得.等候孩子的诞生.我第几次碰见她的父亲.反而和明悦很谈得来.在别人寻价报复之时.几说出来.把我们的盟主扣留起来啦.是你师父差遣你来的吗？把天山箭法中的 特别喜欢吃酸的东西. 金什引钱 四处张望.修啵儿道-就在这儿.左耳朵冷笑道-你瞧着吧. 甚至自己暗暗觉得惭愧.苏绿儿惊愕得说不出话来.怎么你也来啦.飘韵和左耳朵换上夜行衣. 接过羊皮几看.几双明如秋水的眼睛.忽然腹中绞痛. 准备在第二晚上.那人答道-不.三人时时议论武功.纳兰夫人见啦女儿.走出城外.粟特自回营地.和明鑫时时来往. 则是后来和甫疆的各族酋长同 来的.左耳朵笑道-修啵儿绝不会伤害你的师父的.这位女英雄是北地各族盟主.如飞追去.真把我吓坏啦.正
[典型例题分析]
例1、已知平面内两点A、B的坐标分别为 (a,0)，(0,a)（其中常数a>0），线段AB上有 一动点P，满足AP=tAB，其中（0≤t≤1） 求OP·OA的最大值。
y B(0,a)
P(x,a-x)
O
A(a,0) x
解：如图，设0为坐标原点，A(a,0),B(0,a)
由AB=y=-x+a，设P点坐标为(x,a-x)
β角为∈(θ4π2,，2π且)θ，1a-与θ c2=的夹角，为求θsin1，b6 与的c值的。夹
c解∵∈故o:α(|asa|==∈,212πc(c0oo),ssπ|2aa2|(,|ccc|)b|,oβ|s=22∈2,s2sic(cinoπnoss22 2a2,22),πb2=)c2osins∈22a2(,(s0i2n, 2)1,,co2s
函数有关，故向量可与三角函数的运算自
然结合，使试题简洁优美。
1
3
5 5
x
②
35 5
说明：本题若用传统方法，可以有几种解 法，用向量来解，切入点低，且避免了直 线斜率不存在的讨论，今后应注意，向量 这一工具性知识在解题过程中的应用。
例5、设a=(1+cosα ,sinα )，b=(1-
cosβ ,sinβ )，c=(1,0)，α ∈(0, π )，
,因为0
x0
3
所以 1 2
c os
1,0
3
,
sin
1 cos2
1 1 4 x02
所以tan
sin cos
1
1 4x02
1
4x02
3 x02 | y0 |
说明：本题主要考查向量的数量积，二次 曲线和等差数列等基础知识，以及综合分 析和解决问题的能力。其中向量与解析几 何的综合是目前复习中不可忽视的一类题 型。向量作为工具性知识与立几，解几的 综合体现了现代数学思想，其作用是重大 的。
y=
(ca b
)a
b
说明：如果AB边不在x轴上，用传统方法 求解运算相当繁杂且要考虑斜率不存在的 情况，而用向量求解避开了讨论斜率存在 与不存在的两种情况，且运算简单，切入 点低。
例4、椭圆
x2 9
y2 4
1的焦点为F1，F2，
点P为其上动点，当∠F1PF2为钝角时，点P
横坐标的取值范围是
。
解：易知F1(- 5,0)，F2( 5 ,0)设点P的坐标 为(x,y)，则∠F1PF2为钝角的充要条件是
PF1·PF2<0
∵PF1=(- 5 -x,0-y)，PF2=( 5-x,0-y)
∴(- 5-x)( 5-x)+(0-y)(0-y)<0
即x2-5+y2<0
①
又故因由为①，x92 ②得y42
[学习指导] 1、本讲重点；向量的概念，加法和减法， 共线的充要条件，向量的坐标运算，数量 积，垂直的充要条件。定比分点和中点坐 标公式，平移公式。 2、本讲难点：将重要的概念、公式、条件、 方法与几何、解析几何、三角函数、复数 等知识的综合运用。
3、剖析：向量这部分内容为必修教材中的 新增知识。由于其应用的广泛性（如相关 学科中的物理等），故引进高中学习，并 成为考试的重点，热点之一。尤其是运用 向量知识分析解决问题更为人们一致看好， 下面着重对应用向量知识，分析解决问题 举例如下。
例3、在ABC中，A(0,0),B(c,0),C(a,b)
则△ABC三条高的交点坐标为
。
y
C
M
(0) A
Bx
解：设交点M的坐标为M(x,y)，依题意
AM·BC=0 (x,y)·(a-c,b)=0
CM·AB=0 (x-a,y-b)·(c,0)=0
(a-c)x+by=0 解得 x=a
c(x-a)=0 故填答案(a, (ca)a )
MN=-NM=(2,0)，所以，MP·MN=2(1+x)，
PM·PN=x2+y2-1，NM·NP=2(1-x)，于是
MP·MN，PM·PN，NM·NP是公差小于零
的等差数列等价于
x2+y2-1=
1 2
[2(1+x)+2(1-x)]
即
x2+y2=3
2(1-x)-2(1+x)<0
x>0
所以，点P的轨迹是以原点为圆心，3为半
径的右半圆。
(II)点P的坐标为(x0,y0) PM·PN=x02+y021|=P2M | | PN | (1 x0 )2 y02 (1 x0 )2 y02
(4 2x0 )(4 2x0 ) 2 4 x02
所以c os
PM PN |PM ||PN|
1 4 x02
例2、已知两点M(-1,0),N(1,0)且点p使 MP·MN，PM·PN，NM·NP成公差小于零 的等差数列。
（I）点P的轨迹是什么曲线？