乘法公式和因式分解练习题(汇编)

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八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点题库(带答案)

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点题库单选题1、要使多项式(x+p)(x−q)不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．乘积为−1答案：A分析：计算乘积得到多项式，因为不含x的一次项，所以一次项的系数等于0，由此得到p-q=0，所以p与q 相等.解：(x+p)(x−q)=x2+(p−q)x−pq∵乘积的多项式不含x的一次项∴p-q=0∴p=q故选择A.小提示：此题考查整式乘法的运用，注意不含的项即是该项的系数等于0.2、下列分解因式正确的是（）A．a3−a=a(a2−1)B．x3+4x2y+4xy2=x(x+2y)2C．−x2+4xy−4y2=−(x+2y)2D．16x2+16x+4=(4x+2)2答案：B分析：根据分解因式的方法进行分解，同时分解到不能再分解为止；A、a3−a=a(a2−1)=a(a+1)(a−1)，故该选项错误；B、x3+4x2y+4xy2=x(x2+4xy+4y2)=x(x+2y)2，故该选项正确；C、−x2+4xy−4y2=−(x2−4xy+4y2)=−(x−2y)2，故该选项错误；D、16x2+16x+4=4(4x2+4x+1)=4(2x+1)2，故该选项错误；故选：B．小提示：本题考查了因式分解，解决问题的关键是掌握因式分解的几种方法，注意因式分解要分解到不能再分解为止；3、若x 2+ax ＝（x +12）2+b ，则a ，b 的值为（） A ．a ＝1，b ＝14B ．a ＝1，b ＝﹣14 C ．a ＝2，b ＝12D ．a ＝0，b ＝﹣12答案：B分析：根据完全平方公式把等式右边部分展开，再比较各项系数，即可求解．解：∵x 2+ax ＝（x +12）2+b =x 2+x +14+b ， ∴a =1，14+b =0， ∴a ＝1，b ＝﹣14，故选B ．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．4、下列因式分解正确的是（）A ．a 4b ﹣6a 3b ＋9a 2b ＝a 2b （a 2﹣6a ＋9）B ．x 2﹣x ＋14＝（x ﹣12）2C ．x 2﹣2x ＋4＝（x ﹣2）2D ．x 2﹣4＝（x ＋4）（x ﹣4）答案：B分析：直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．解：A 、a 4b ﹣6a 3b ＋9a 2b ＝a 2b （a 2﹣6a ＋9）＝a 2b （a ﹣3）2，故此选项错误；B 、x 2﹣x ＋14＝（x ﹣12）2，故此选项正确；C 、x 2﹣2x ＋4，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；D 、x 2﹣4＝（x ＋2）（x ﹣2），故此选项错误；故选：B ．小提示：本题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法进行解题．5、如下列试题，嘉淇的得分是（）姓名：嘉淇得分：将下列各式分解因式（每题20分，共计100分）①2xy−4xyz=2xy(1−2z)；②−3x−6x2=−3x(1−2x)；③a2+2a+1=a(a+2)；④m2−4n2= (m−2n)2；⑤−2x2+2y2=−2(x+y)(x−y)A．40分B．60分C．80分D．100分答案：A分析：根据提公因式法及公式法分解即可．①2xy−4xyz=2xy(1−2z)，故该项正确；②−3x−6x2=−3x(1+2x)，故该项错误；③a2+2a+1=(a+1)2，故该项错误；④m2−4n2=(m+2n)(m−2n)，故该项错误；⑤−2x2+2y2=−2(x+y)(x−y)，故该项正确；正确的有：①与⑤共2道题，得40分，故选：A．小提示：此题考查分解因式，将多项式写成整式乘积的形式，叫做将多项式分解因式，分解因式的方法：提公因式法、公式法，根据每道题的特点选择恰当的分解方法是解题的关键．6、在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是（）．A．−a2−9B．a2−9C．a2−4b D．a2+9答案：B分析：直接利用平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)，进而分解因式判断即可．A、−a2−9，无法分解因式，故此选项不合题意；B、a2−9=(a+3)(a−3)，能用平方差公式分解，故此选项符合题意；C、a2−4b，无法分解因式，故此选项不合题意；D、a2+9，无法分解因式，故此选项不合题意．故选B．小提示：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．7、若2a+3b−3=0，则4a×23b的值为（）A．23B．24C．25D．26答案：A分析：先利用已知条件2a+3b−3=0，得2a+3b=3，再利用同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方将原式变形得出答案．解：∵2a+3b−3=0，∴2a+3b=3，∵4a×23b=（22）a×23b=22×a×23b=22a+3b，∴原式=4a×23b=（22）a×23b=22×a×23b=22a+3b=23，故选：A．小提示：本题主要考查了同底数幂的乘法运算和幂的乘方，正确将原式变形是解题关键．8、下列因式分解正确的是（）A．a2+b2＝(a+b)2B．a2+2ab+b2＝(a−b)2C．a2−a=a(a+1)D．a2−b2=(a+b)(a−b)答案：D分析：根据因式分解的方法，逐项分解即可．A. a2+b2，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；B. a2+2ab+b2＝(a+b)2故该选项不正确，不符合题意；C. a2−a=a(a−1)，故该选项不正确，不符合题意；D. a2−b2=(a+b)(a−b)，故该选项正确，符合题意．故选D．小提示：本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．9、计算(x+1)(x+2)的结果为( )A．x2+2B．x2+3x+2C．x2+3x+3D．x2+2x+2答案：B解：原式=x2+2x+x+2=x2+3x+2.故选B.10、已知2n=a，3n=b，12n=c，那么a、b、c之间满足的等量关系是（）A．c=ab B．c=ab3C．c=a3b D．c=a2b答案：D分析：直接利用积的乘方、幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．A选项：ab=2n⋅3n=6n≠12n，即c≠ab，A错误；B选项：ab3=2n⋅(3n)3=2n⋅33n=2n⋅27n=54n≠12n，即c≠ab3，B错误；C选项：a3b=(2n)3⋅3n=8n⋅3n=24n≠12n，即c≠a3b，C错误；D选项：a2b=(2n)2⋅3n=4n⋅3n=12n=c，D正确．故选：D．小提示：本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．填空题11、计算：(√5-2)2018(√5+2)2019的结果是_____.答案：√5+2分析：逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.(√5-2)2018(√5+2)2019=(√5-2)2018×(√5+2)2018×(√5+2)=[(√5-2)×(√5+2)]2018×(√5+2)=(5-4)2018×(√5+2)=√5+2，故答案为√5+2.小提示：本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.12、若|a|=2，且(a−2)0=1，则2a的值为_______．答案：1##0.254分析：根据绝对值的意义得出a=±2，根据(a−2)0=1，得出a−2≠0，求出a的值，即可得出答案．解：∵|a|=2，∴a=±2，∵(a−2)0=1，∴a−2≠0，即a≠2，∴a=−2，∴2a=2−2=1．4．所以答案是：14小提示：本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出a=−2，是解题的关键．13、已知x−y=3，xy=10，则(x+y)2=______．答案：49分析：根据（x+y）2=（x-y）2+4xy即可代入求解．解：（x+y）2=（x-y）2+4xy=9+40=49．所以答案是：49．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．14、分解因式：am+an−bm−bn=_________________答案：(m+n)(a−b)分析：利用分组分解法和提取公因式法进行分解因式即可得．解：原式=(am+an)−(bm+bn)=a(m+n)−b(m+n)=(m+n)(a−b)，所以答案是：(m+n)(a−b)．小提示：本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．15、若x−y−3=0，则代数式x2−y2−6y的值等于______．答案：9分析：先计算x-y的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将x-y的值代入化简计算，再代入计算即可求解．解：∵x−y−3=0，∴x−y=3，∴x2−y2−6y=(x+y)(x−y)−6y=3(x+y)−6y=3x+3y−6y=3(x−y)=9所以答案是：9．小提示：本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键．解答题16、化简：3（a﹣2）（a+2）﹣（a﹣1）2．答案：2a2+2a-13分析：根据平方差公式和完全平方公式去括号，再计算加减法．解：3（a﹣2）（a+2）﹣（a﹣1）2=3（a2-4）-（a2-2a+1）=3a2-12-a2+2a-1=2a2+2a-13．小提示：此题考查了整式的乘法计算公式，整式的混合运算，正确掌握平方差公式和完全平方公式的计算法则是解题的关键．17、爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若a m=a n(a>0，且a≠1，m、n都是正整数），则m= n，例如：若5m=54，则m=4．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：(1)如果2×4x×32x=236，求x的值；(2)如果3x+2+3x+1=108，求x的值．答案：(1)x=5(2)x=2分析：（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解；（2）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，即可求解．（1）因为2×4x×32x=236，所以2×22x×25x=236，即21+7x=236，所以1+7x=36，解得：x=5；（2）因为3x+2+3x+1=108，所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，即3x+1=33，所以x+1=3，解得：x=2．小提示：本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．18、阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，试判断△ABC的形状．答案：（1）③，忽略了a2−b2=0的情况；（2）见解析分析：（1）根据题意可直接进行求解；（2）由因式分解及勾股定理逆定理可直接进行求解．解：（1）由题意可得：从第③步开始错误，错的原因为：忽略了a2−b2=0的情况；故答案为③；忽略了a2−b2=0的情况；（2）正确的写法为：c2(a2−b2)＝(a2+b2)(a2−b2)c2(a2−b2)−(a2+b2)(a2−b2)＝0(a2−b2)[c2−(a2+b2)]＝0当a2−b2=0时，a=b；当a2−b2≠0时，a2+b2=c2；所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．小提示：本题主要考查勾股定理逆定理及因式分解，熟练掌握勾股定理逆定理及因式分解是解题的关键．解析：解：因为a2c2−b2c2=a4−b4，①所以c2(a2−b2)=(a2−b2)(a2+b2)②所以c2=a2+b2③所以△ABC是直角三角形④请据上述解题回答下列问题：（1）上述解题过程，从第______步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为______；（2）请你将正确的解答过程写下来．。

12章乘法公式和因式分解练习题

12乘法公式和因式分解练习题一、选择题1.已知2264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( )A 、8B 、±8C 、±16D 、±322.如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( )A 、 2xyB 、－2xyC 、4xyD 、－4xy3.下列可以用平方差公式计算的是( )A 、(x －y) (x + y)B 、(x －y) (y －x)C 、(x －y)(－y + x)D 、(x －y)(－x + y)4.下列各式中，运算结果是22169b a -的是( )A 、)43)(43(b a b a --+-B 、)34)(34(a b a b --+-C 、)34)(34(a b a b -+D 、)83)(23(b a b a -+5、下列各式中,能运用平方差分式分解因式的是（）A 、21x +-B 、22y x +C 、42--xD 、()22b a ---6、若m x x +-82是完全平方式, 则m 的值为（）A 、4B 、8C 、16D 、327.计算（x +2）2的结果为x 2+□x +4,则“□”中的数为（）A ．－2B ．2C ．－4D ．4 8、把多项式1222+--y x xy 分解因式的结果是（）A ．)1)(1(+-+-x y y x B.)1)(1(---+x y y xC.)1)(1+--+y x y xD..)1)(1(--+-y x y x8.已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于（）A ．64B ．48C ．32D ．169.若949)7(22+-=-bx x a x ，则b a +之值为何？A ．18B ．24C ．39D ． 4510.已知8)(2=-n m ，2)(2=+n m ，则=+22n m （）A ．10B ．6C ．5D ．311.把多项式a 2－4a 分解因式，结果正确的是( )A ．a (a －4)B ．(a +2)(a －2)C ．a (a +2) (a －2)D ．(a －2)2－4A ．32-xB ．92+xC ．38-xD ．318-x13.下列计算正确的是Ａ．()222x y x y +=+B ．()2222x y x xy y -=-- C ．()()22222x y x y x y +-=-D ．()2222x y x xy y -+=-+ 14.下列各因式分解正确的是（）A.)2)(2()2(22+-=-+-x x xB.22)1(12-=-+x x xC.22)12(144-=+-x x xD.)2)(2(42-+=-x x x x x15.下列分解因式正确的是（） A ．）（23a 1-a a a -+=+B ．2a-4b+2=2（a-2b ）C ．()222-a 4-a =D ．()221-a 1a 2-a =+ 16.下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（）A ．x 2 +1B .x 2+2x －1C .x 2+x +1D .x 2+4x +417.下面的多项式中，能因式分解的是（）A ．m 2+nB ．m 2﹣m+1C ．m 2﹣nD ．m 2﹣2m+118. a 4b －6a 3b ＋9a 2b 分解因式的正确结果是A ．a 2b (a 2－6a ＋9)B ．a 2b (a ＋3) (a －3)C ．b (a 2－3)2D ．a 2b (a －3)26. 4. 19.分解因式(x －1)2 －2(x －1)+1的结果是 ( )A ．(x －1)(x －2)B ． x 2C ．(x +1)2D ． (x －2)220.已知a -b =1，则代数式2a -2b -3的值是A ．-1B ．1C ．-5D ．5 21.将代数式262++x x 化成q p x ++2)(的形式为（）A. 11)3(2+-xB. 7)3(2-+xC. 11)3(2-+xD. 4)2(2++x22.计算222(a+b)(a b)+a a b -等于（）A ．4aB ．6aC ．22a bD ．22a b - 23.如图，边长为(m +3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（）A ．m +3B ．m +6C ．2m +3D ．2m +624.图（1）是一个长为2m ，宽为2n （m>n)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A.2mnB.(m+n)2C.(m-n)2 D .m 2 -n 2二、填空题1.若2a －b =5，则多项式6a 一3b 的值是．2.整式A 与m 2﹣2mn+n 2的和是（m+n ）2，则A= ．3．(x ＋1)(x －1)(1＋x )＝4.已知x + y =—5 ，xy =6 ，则x 2 + y 2=_______.5.二次三项式29x kx -+是一个完全平方式，则k 的值是 .6.将4个数a 、b 、c 、d 排成两行、两列，两边各加一条竖线记成a b c d，定义a c b d =a d －bc ，上述等式就叫做二阶行列式．若 1 181 1x x x x +-=-+，则x = ． 7.写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：．8.分解因式：25x x - =________ ．9.分解因式：=-822x ___________________10.分解因式：ab 3－4ab = ．11.分解因式：a －6ab ＋9ab 2＝ .12.分解因式：=+-22363n mn m _______ .13.分解因式:22331212x y xy y ++=14.若2m n -=，5m n +=，则22m n -的值为．15.若622=-n m ，且2m n -=，则=+n m ．16.有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图. 3a b 2b a 1如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、4张、4张，可拼成一个正方形（不重叠无缝隙）那么这个正方形的边长是三、解答题1.化简：)2()12+-+x x x （ 2.化简：1)1()1(2-++-a a a3.先化简，再求值：(x+3)(x-3)-x (x-2)，其中x=4.4. 先化简，再求值：22b ＋(a ＋b )(a －b )－(a －)2b ，其中a ＝－3，b ＝12.5.先化简，再求值：()()()x x x -+++2232，其中2-=x6.已知y x A +=2，y x B -=2，计算22B A -7.先化简，再求值：()222a b b --，其中2,3a b =-=8、已知x + y = a , xy = b ,求(x－y) 2 ， x 2 + y 2 ， x 2－xy + y 2的值x=-时，求代数式(2x+5)(x+1)-(x-3)(x+1)的值．9．当710.观察下列算式：① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1 ② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ④……（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．。

第14章整式的乘法与因式分解单元测试(含答案)

第十四章整式的乘法与因式分解(90分钟　100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(2020·朝阳中考)下列运算正确的是(　C　)A．a3·a2＝a6B．(a3)2＝a5C．2a3÷a2＝2a D．2x＋3x＝5x2【解析】A.a3·a2＝a5，故不正确；B.(a3)2＝a6，故不正确；C.2a3÷a2＝2a，正确；D.2x＋3x＝5x，故不正确．2．(2020·眉山中考)下列计算正确的是(　C　)A．(x＋y)2＝x2＋y2B．2x2y＋3xy2＝5x3y3C．(－2a2b)3＝－8a6b3D．(－x)5÷x2＝x3【解析】A.原式＝x2＋2xy＋y2，不符合题意；B.原式不能合并，不符合题意；C.原式＝－8a6b3，符合题意；D.原式＝－x5÷x2＝－x3，不符合题意．3．下列运算正确的是(　B　)A．a2·a4＝a8B．210＋(－2)10＝211C．(－1－3a)2＝1－6a＋9a2D．(－3x2y)3＝－9x6y3【解析】A.a2·a4＝a6，故本选项不符合题意；B．210＋(－2)10＝210＋210＝(1＋1)×210＝2×210＝211，故本选项符合题意；C．(－1－3a)2＝1＋6a＋9a2，故本选项不符合题意；D．(－3x2y)3＝－27x6y3，故本选项不符合题意．4．下列因式分解正确的是(　D　)A．x2－y2＝(x－y)2B．－x2－y2＝－(x＋y)(x－y) C．x2－2xy＋4y2＝(x－2y)2D．－x2－2xy－y2＝－(x＋y)2【解析】A.x2－y2＝(x－y)(x＋y)，故此选项错误；B．－x2－y2，无法分解因式，故此选项错误；C．x2－2xy＋4y2，不是完全平方式，故此选项错误；D.－x2－2xy－y2＝－(x＋y)2，正确．5．(2021·厦门期末)运用公式a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2直接对整式4x2＋4x＋1进行因式分解，公式中的a可以是(　C　)A．2x2B．4x2C．2x D．4x【解析】∵4x2＋4x＋1＝(2x)2＋2×2x＋1＝(2x＋1)2，∴对上式进行因式分解，公式中的a可以是2x.6．如图①，边长为a的大正方形中有四个边长均为b的小正方形，小华将阴影部分拼成了一个长方形(如图②)，则这个长方形的面积为(　A　)A.a2－4b2B．(a＋b)(a－b)C．(a＋2b)(a－b) D．(a＋b)(a－2b)【解析】根据题意得：(a＋2b)(a－2b)＝a2－4b2.7．为了用乘法公式计算(2x－3y－4z)( 2x－3y＋4z)，甲乙丙丁四位同学分别对它们进行了变形，其中变形正确的是(　B　)A．[2x－(3y＋4z)][2x－(3y－4z)] B．[(2x－3y)－4z][(2x－3y)＋4z] C．[(2x－4z)－3y][(2x＋4z)－3y] D．[(2x－4z)＋3y][(2x－4z)－3y] 【解析】观察(2x－3y－4z)( 2x－3y＋4z)，符号相同的是2x，－3y，符号相反的是－4z和4z，把符号相同的放在一起，符号相反的放在一起．8．若x2＋(m－1)x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为(　D　)A．－3 B．1 C．－3，1 D．－1，3【解析】∵x2＋(m－1)x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，∴m－1＝±2，解得m＝－1或m＝3.9．(2021·娄底期末)如果(x－3)(2x＋4)＝2x2－mx＋n，那么m，n的值分别是(　C　)A．2，12 B．－2，12C．2，－12 D．－2，－12【解析】∵(x－3)(2x＋4)＝2x2－2x－12＝2x2－mx＋n，∴－m＝－2，n＝－12，解得m＝2，n＝－12.10．(2021·长沙期末)定义：若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，那么就称这个正整数为“明德数”．如：1＝12－02，3＝22－12，5＝32－22，因此1，3，5这三个数都是“明德数”．则介于1到200之间的所有“明德数”之和为(　A　)A．10 000 B．40 000 C．200 D．2 500【解析】介于1到200之间的所有“明德数”之和为：(12－02)＋(22－12)＋(32－22)＋…＋(992－982)＋(1002－992)＝12－02＋22－12＋32－22＋42－32＋…＋992－982＋1002－992＝1002＝10 000.二、填空题(每小题3分，共24分)11．(2020·丹东中考)因式分解：mn3－4mn＝__mn(n＋2)(n－2)__．【解析】原式＝mn(n2－4)＝mn(n＋2)(n－2).12．(2020·咸宁中考)因式分解：mx2－2mx＋m＝__m(x－1)2__．【解析】mx2－2mx＋m＝m(x2－2x＋1)＝m(x－1)2.13．计算：(π－3)0＋|－2 021|＝__2__022__．【解析】原式＝1＋2 021＝2 022.14．(2020·十堰中考)已知x＋2y＝3，则1＋2x＋4y＝__7__．【解析】∵x＋2y＝3，∴2(x＋2y)＝2x＋4y＝2×3＝6，∴1＋2x＋4y＝1＋6＝7.15.如果(m2＋n2＋1)与(m2＋n2－1)的乘积为15，那么m2＋n2的值为__4__．【解析】∵(m2＋n2＋1)与(m2＋n2－1)的乘积为15，∴(m2＋n2＋1)(m2＋n2－1)＝15，∴(m2＋n2)2－1＝15，即(m2＋n2)2＝16，解得m2＋n2＝4(负数舍去).16．已知a3n＝5，b2n＝3，则a6n·b4n的值为__225__．【解析】a6n·b4n＝a3n×2·b2n×2＝(a3n)2·(b2n)2＝52·32＝225.17．把一根20 cm长的铁丝分成两段，将每一段围成一个正方形，若这两个正方形的面积之差是5 cm2，则这两段铁丝的长分别为__12__cm和8__cm__．【解析】设其中较长的一段的长为x cm(10<x<20)，则另一段的长为(20－x)cm.则两个小正方形的边长分别为1x cm和41(20－x)cm.4∵两正方形面积之差为5 cm2，∴(14x)2－[14（20－x）]2＝5，解得x＝12.则另一段长为20－12＝8(cm).∴两段铁丝的长分别为12 cm和8 cm. 18．观察、分析、猜想：1×2×3×4＋1＝52；2×3×4×5＋1＝112；3×4×5×6＋1＝192；4×5×6×7＋1＝292；n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝__[n(n＋3)＋1]2__．(n为整数)【解析】∵1×2×3×4＋1＝[(1×4)＋1]2＝52，2×3×4×5＋1＝[(2×5)＋1]2＝112，3×4×5×6＋1＝[(3×6)＋1]2＝192，4×5×6×7＋1＝[(4×7)＋1]2＝292，∴n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝[n(n＋3)＋1]2.三、解答题(共46分)19．(6分)(1)计算：[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷3x2y.(2)计算：(2x－3y)2－(y＋3x)(3x－y).(3)已知x m＝3，x n＝2，求x3m＋2n的值.(4)解方程：4(x－2)(x＋5)－(2x－3)(2x＋1)＝11.【解析】(1)[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷3x2y＝(x3y2－x2y－x2y＋x3y2) ÷3x2y＝(2 x3y2－2x2y) ÷3x2y＝2 x3y2÷3x2y－2x2y÷3x2y＝23xy－23.(2)(2x－3y) 2－(y＋3x)(3x－y)＝4x2－12xy＋9y2－(9x2－y2)＝4x2－12xy＋9y2－9x2＋y2＝－5x2－12xy＋10y2.(3)因为x m＝3，x n＝2，所以x3m＋2n＝x3m×x2n＝(x m)3×(x n)2＝33×22＝108.(4)4(x2＋5x－2x－10)－(4x2＋2x－6x－3)＝4(x2＋3x－10)－(4x2－4x －3)＝11，4x2＋12x－40－4x2＋4x＋3＝11，移项合并同类项得16x＝48，x＝3.20．(6分)某同学化简a(a＋2b)－(a＋b)(a－b)出现了错误，解答过程如下：原式＝a2＋2ab－(a2－b2) (第一步)＝a2＋2ab－a2－b2(第二步)＝2ab－b2 (第三步)(1)该同学解答过程从第____步开始出错，错误的原因是______________；(2)写出此题正确的解答过程．【解析】(1)该同学解答过程从第二步开始出错，错误的原因是去括号时没有变号．答案：二　去括号时没有变号(2)原式＝a2＋2ab－(a2－b2)＝a2＋2ab－a2＋b2＝2ab＋b2.21(8分)甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：(2x＋a)(3x＋b).甲由于把第一个多项式中的“＋a”看成了“－a”，得到的结果为6x2＋11x－10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2－9x ＋10.(1)求正确的a，b的值．(2)计算这道乘法题的正确结果．【解析】(1)(2x－a)(3x＋b)＝6x2＋2bx－3ax－ab＝6x2＋(2b－3a)x－ab＝6x2＋11x－10.(2x＋a)(x＋b)＝2x2＋2bx＋ax＋ab＝2x2＋(2b＋a)x＋ab＝2x2－9x＋10.∴{2b－3a＝11，2b＋a＝－9，解得{a＝－5，b＝－2.(2)这道乘法题的正确结果为：(2x－5)(3x－2)＝6x2－4x－15x＋10＝6x2－19x＋10.22．(8分)已知a，b，c分别是△ABC的三边．(1)分别将多项式ac－bc，－a2＋2ab－b2进行因式分解．(2)若ac－bc＝－a2＋2ab－b2，试判断△ABC的形状，并说明理由．【解析】(1)ac－bc＝c(a－b)，－a2＋2ab－b2＝－(a2－2ab＋b2)＝－(a －b)2.(2)∵ac－bc＝－a2＋2ab－b2，∴c(a－b)＝－(a－b)2，c(a－b)＋(a－b)2＝0，(a－b)(c＋a－b)＝0，∵a，b，c分别是△ABC的三边，满足两边之和大于第三边，即c＋a－b＞0，∴a－b＝0，即a＝b，故△ABC的形状是等腰三角形．23.(8分)有一个边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，对于方案一，小明是这样验证的：a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．【解析】由题意可得，方案二：a2＋ab＋(a＋b)b＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；方案三：a2＋[a＋（a＋b）]b2＋[a＋（a＋b）]b2＝a2＋ab＋12b2＋ab＋12b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.24．(10分)(2021·潍坊期末)阅读下列材料，并回答问题：若一个正整数x能表示成a2－b2(a，b是正整数，且a＞b)的形式，则正整数x称为“明礼崇德数”．例如：因为7＝2×3＋1＝32＋2×3＋1－32＝(3＋1)2－32＝42－32，所以7是“明礼崇德数”；再如：因为12＝4×3＝32＋2×3＋1－32＋2×3－1＝(3＋1)2－(32－2×3＋1)＝(3＋1)2－(3－1)2＝42－22，所以12是“明礼崇德数”；再如：M＝x2＋2xy＝x2＋2xy＋y2－y2＝(x＋y)2－y2(x，y是正整数)，所以M也是“明礼崇德数”．问题1：2 021是“明礼崇德数”吗？说明理由；问题2：2 020是“明礼崇德数”吗？说明理由；问题3：已知N＝x2－y2＋4x－6y＋k(x，y是正整数，k是常数，且x ＞y＋1)，要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．【解析】问题1：2 021是“明礼崇德数”．理由如下：2 021＝2×1 010＋1＝1 0102＋2×1 010＋1－1 0102＝1 0112－1 0102 ；问题2：2 020是“明礼崇德数”．理由如下：2 020＝4×505＝(5052＋2×505＋1)－(5052－2×505＋1)＝5062－5042；问题3：∵N＝x2－y2＋4x－6y＋k＝(x2＋4x＋4)－(y2＋6y＋9)＋k＋5＝(x＋2)2－(y＋3)2＋k＋5，∴当k＋5＝0时，N＝(x＋2)2－(y＋3)2为“明礼崇德数”，此时k＝－5，故当k＝－5时，N为“明礼崇德数”．关闭Word文档返回原板块。

乘法公式与因式分解试题精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版乘法公式与因式分解测试题填空题1、已知：x 2－6x +k 可分解为只关于x －3的因式，则k 的值为（）2、若x 2－6x y+9y 2=0，则13--y x 的值为（） 3、已知：x 2+4x y=3，2x y+9y 2=1。

则x +3y 的值为4、x m －x m －4分解因式的结果是（）5、若y 2－8y+m －1是完全平方式，则m= （） 6.（a 2+b 2）2－4a 2b 2分解因式结果是（）7、若－b ax x -+221分解成)7)(4(21+--x x ，则a 、b 的值为（）8.若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（） 9．已知7)(2=+b a ,3)(2=-b a ,则22b a +与ab 的值分别是（），（）10．若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2a b -= ]11．多项式9x ²+1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方，请你写出一个．．符合条件的单项式 12.已知多项式n mx --与2x -的乘积中不含x 项，则m 、n 满足的条件是__________. 13. 1纳米＝0．000000001米，则3．5纳米＝___________米．(用科学计数法表示)14．若4)2)((2-=++x x b ax ，则ba ＝_________________．选择题1. 若2422549))(________57(y x y x -=--，括号内应填代数式( )A 、y x 572+B 、y x 572--C 、y x 572+-D 、y x 572- 2. ．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m的值为（）A ．5-B ．5C ．2-D ．23.已知2264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( ) A 、8 B 、±8 C 、±16 D 、±324. 如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（）A 、 –3B 、3C 、0D 、15. .若10=4,10=7x y ，则210x y -的值为（）. (A) 449 (B) 494 (C) 167 (D) 7166.下列各式中，运算结果是22169b a -的是( ) A 、)43)(43(b a b a --+- B 、)34)(34(a b a b --+-C 、)34)(34(a b a b -+D 、)83)(23(b a b a -+7. 计算：1.992－1.98×1.99+0.992得（）A 、0B 、1C 、8.8804D 、3.9601 8.22)213()213(-+a a 等于( )A 、4192-a B 、161814-aC 、161298124+-a aD 、161298124++a a9、对于任何整数m ，多项式9)54(2-+m 都能（） A 、被8整除 B 、被m 整除 C 、被m －1整除 D 、被（2m -1）整除10、若a 为正整数，且x 2a ＝5，则（2x 3a ）2÷4x 4a 的值为（）（A ）5 （B ）25（C ）25 （D ）11、把216a +-分解因式，结果是（）A.)8)(8(+-a aB.)4)(4(-+a aC.)2)(2(+-a a D 2)4.(-a 12、下列多项式中，能用公式进行因式分解的是（） A ．22b a -- B.422++x x C. 22)(b a --- D.412+-x x 13、用分组分解法将x y xy x 332-+-分解因式，下列的分组方式中不恰当的是（）A ．)3()3(2xy y x x -+- B.)33()(2x y xy x -+- C.)33()(2x y xy x -+- D.y x xy x 3)3(2+-- 14、把多项式1222+--y x xy 分解因式的结果是（） A ．)1)(1(+-+-x y y x B.)1)(1(---+x y y x C.)1)(1+--+y x y x D..)1)(1(--+-y x y x 15、把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是（）A.)2)(4(+---y x y xB.)8)(1(----y x y xC.)2)(4(--+-y x y xD.)8)(1(--+-y x y x 16、多项式3222315520m n m n m n +-的公因式是( ) A 、5mn B 、225m n C 、25m n D 、25mn 17、xy y x 2122--+解因式的结果是（） A.)2)(4(+---y x y x B.（x-y+1）(x-y-1) C.)2)(4(--+-y x y x D.)8)(1(--+-y x y x 18、20062+3×20062–5×20072的值不能．．被下列哪个数整除（）A 、3 B 、5 C 、20062 D 、2005219、一个正方形的边长增加了cm 2，面积相应增加了232cm ，则这个正方形的边长为( ) A ．6cm B ．5cm C ．8cm D ．7cm 20、下列各式中,能运用平方差分式分解因式的是（）A 、21x +- B 、22y x + C 、42--x D 、()22b a --- 21、若m x x +-82是完全平方式, 则m 的值为（） A 、4 B 、8 C 、16 D 、32 22.计算题⑴ x (9x －5)－(3x + 1) (3x －1)⑵ (a + b －c) (a －b + c)⑶)49)(23)(23(22b a b a b a ++-⑷ (2x －1) (2x + 1)－2(x －2) (x + 2)5） 22)()(y x y x +- （6）22)35()35(y x y x ++-（7）))((c b a c b a +--+ （8） 2222)2()4()2(++-t t t23.分解因式（9）2244x xy y -+- （10）224520bxy bx a -（11）(1)(3)1x x --+ （12） 22)(16)(9n m n m --+13）x 4－12x +32 （14）5x 2－125y 415）4x 2－12x y+9y 2 （16）.（m+n ）2－4（m+n －1）17）.22(1)(1)x a y a -+- （18）－81x 2+y 2（19）221222x xy y ++ （20）221424a ab b ++24、已知x + y = a , xy = b ,求(x －y) 2 ， x 2 + y 2， x 2－xy + y 2的值25、已知22==+ab b a ，，求32232121ab b a b a ++的值26、先分解因式，再求值：655222++-+-b a b ab a ，其中92,96==b a27. 对于任意自然数n ，()()2257--+n n 是否能被24整除，为什么？28、利用分解因式进行简便运算 1、已知2a －b=3,求－8a 2+8ab －2b 2 的值。

整式乘法与因式分解500题

D． a6÷a2=a3
5．下面是一名学生所做的 4 道练习题：①（-3）0=1；②a3+a3=a6；③4m-4= ；④（xy2）3=x3y6，他做对的个数是（）
A． 0
B． 1
C．2
D． 3
6．下列计算中，结果正确的是（）
A． a2•a3=a6
B．（2a）•（3a）=6a
C．（a2）3=a6 D．a6÷a2=a3
17．下列运算丌正确的是（）
A．（a5）2=a10
B． 2a2•（-3a3）=-6a5
C． b•b3=b4
D． b5•b5=b25
18．下列计算正确的是（）
A． x2+2x2=3x4
B． a3•（-2a2）=-2a5
C．（-2x2）3=-6x6
D． 3a•（-b）2=-3ab2
19．下列计算正确的是（） A．（2x3）•（3x）2=6x6
2×（22）3 中，结果等于 66 的是（）
A． ①②③
B． ②③④
C．②③
D． ③④
3．下列运算正确的是（）
A． 6a-5a=1
B．（a2）3=a5
C．3a2+2a3=5a5 D．2a2•3a3=6a5
4．下列运算中，正确的是（） A．（a2）3=a5 B．2a•3a=6a2
C． 2a-a=2
14．下列计算中正确的是（）
A． a5-a2=a3
B． |a+b|=|a|+|b|
C．（-3a2）•2a3=-6a6
D．a2m=（-am）2（其中 m 为正整数）
15．下列计算正确的是（）
A． a2•a3=a6
B．（-2a）3=8a3 C．a+a4=a5

整式乘法与因式分解全章热门考点专练(2个概念3个运算2个公式3个应用4个技巧3种思想)解析版

第9章整式乘法与因式分解全章热门考点专练（2个概念3个运算2个公式3个应用4个技巧3种思想）【知识导图】【知识清单】2个概念【例题1】（22-23八年级上·山东威海·期末）多项式2324223126x y x y x y --的公因式是（）A ．23x y B ．233x y C ．223x y D ．3xy【答案】C【分析】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．【详解】解：多项式2324223126x y x y x y --的公因式是223x y ，故选C【变式1】（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）把多项式33128ab a b +分解因式，应提的公因式是（）A ．abB ．4abC ．2abD ．24a b【答案】B【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为4ab ，据此可得答案．【详解】解：()3322128432ab a b ab b a +=+，则多项式33128ab a b +分解因式，应提的公因式是4ab ，故选：B【变式2】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）把多项式32612x x y -分解因式，应提取的公因式是．【答案】26x 【分析】本题考查了公因式，提公因式26x ，即可求解．【详解】解：把多项式32612x x y -分解因式，应提取的公因式是26x ，故答案为：26x 【变式3】（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）()218b a b -与()312a b -的公因式是．【答案】()26a b -【分析】本题考查了公因式；根据公因式的定义，找出系数的最大公约数6，相同因式的最低指数次幂，即可确定公因式．【详解】解：∵18和12的最大公约数是6，∴()218b a b -与()312a b -的公因式是()26a b -，故答案为：()26a b -【例题2】（2023·江苏无锡·模拟预测）下列因式分解正确的是（）A ．2243(2)1x x x -+=--B ．2232(2)()x xy y x y x y -+=--C ．42224(2)(2)x x x x x x -=+-D ．3244(2)x x x x ++=+【答案】B【分析】此题考查了十字相乘法因式分解，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．根据十字相乘因式分解，提公因式法与公式法因式分解逐项因式分解判断即可．【详解】解：A 、243(1)(3)x x x x -+=--，故本选项不符合题意；B 、2232(2)()x xy y x y x y -+=--，故本选项符合题意；C 、24222(4)(2(2)4)x x x x x x x =--=+-，故本选项不符合题意；D 、无法因式分解，故本选项不符合题意；故选：B【变式1】（2024·甘肃兰州·一模）因式分解：24a -=（）A ．()()44a a +-B ．()()42a a +-C ．()()24a a +-D ．()()22a a +-【答案】D【分析】本题考查了因式分解的定义以及运用平方差公式进行因式分解，把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式，据此即可作答．【详解】解：24a -=()()22a a +-故选：D【变式2】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（）A ．()22326x x x x-=-B ．221234m n m n=⋅C ．22111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．()()22x y x y x y -=+-D 、()()22x y x y x y -=+-，是因式分解，故本选项符合题意；故选：D【变式3】（2024·广东中山·一模）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）A ．()2a ab a ab+=+B ．()233a ab a a b +-=+-C ．()222824ab a a b -=-D ．()()22824a a a a --=+-【答案】D【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，根据因式分解的定义逐项判断即可．【详解】解：A ．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B ．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；C ．()()()222824222ab a a b a b b -=-=+-，分解不彻底，故本选项不符合题意；D ．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．故选：D3个运算1.单项式乘单项式【例题3】（2024年上海市普陀区中考二模数学试题）下列运算正确的是（）A ．234a a a +=B ．32a a -=C ．233a a a ⋅=D ．32a a a÷=【答案】C【分析】本题主要考查合并同类项，单项式乘以单项式以及单项式除以单项式，运用相关运算法则求出各选项的结果，再进行判断即可【详解】解：A.34a a a +=，原选项计算错误，不符合题意；B.32a a a -=，原选项计算错误，不符合题意；C.233a a a ⋅=，计算正确，符合题意；D.33a a ÷=，原选项计算错误，不符合题意；故选：C【变式1】（23-24九年级下·甘肃庆阳·阶段练习）计算：()()326ab a --=．【答案】336a b 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，直接根据运算法则进行计算即可．【详解】解：()()326ab a--()()()23=61a a b -⨯-⋅⋅⋅336a b =，故答案为：336a b 【变式2】（23-24七年级下·浙江·期中）计算：223a b a ⋅=．【答案】36a b【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案．【详解】解：23236a b a a b ⋅=．故答案为：36a b【变式3】（2024·甘肃陇南·一模）计算：232x x ⋅=．【答案】52x 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：23522x x x ⋅=，故答案为：52x2.单项式乘多项式【例题4】（2024·陕西汉中·一模）计算()()3221m m -⋅+的结果是（）A ．762m m --B ．662m m -+C ．752m m --D ．652m m --【答案】A【分析】本题考查了幂的乘方以及单项式乘多项式，先算幂的乘方，再算单项式乘多项式，即可作答．【详解】解：()()3221m m -⋅+()626m m =-+6621m m m =-⋅-⋅762m m =--，故选：A【变式1】（22-23七年级下·广西崇左·期中）计算：()21x x -=（）A ．31x -B ．3x x -C ．3x x+D ．2x x-【答案】B【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据单项式乘多项式法则（单项式与多项式的每一项都相乘）计算即可．【详解】解：()231x x x x-=-故选：B【变式2】（23-24七年级下·江苏泰州·期中）计算()2323⋅-=x x ．计算：()31x x -=．【答案】518x 233x x -/233x x -+【分析】此题考查了积的乘方和单项式乘以单项式运算，单项式乘以多项式运算，应用积的乘方和单项式乘以单项式运算法则进行计算；利用单项式乘以多项式运算法则求解即可．【详解】()2323x x ⋅-3229x x =⋅518x =；()31x x -233x x =-．故答案为：518x ，233x x-【变式3】（2024七年级下·江苏·专题练习）计算()()223235a ab ab =-⋅-．【答案】3233610a b a b -+【分析】根据单项式乘多项式的运算法则（把多项式的每一项都与单项式相乘），即可求解，本题考查了单项式与多项式的乘法，掌握计算法则是解题的关键．【详解】解：()()2233233235610a ab ab a b a b -⋅-=-+．故答案为：3233610a b a b -+．3.多项式乘多项式【例题5】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）定义()*1a b b a =+，例如()()()2*11121x x x x x x +=++=++．则()()2*2x x -+=（）A ．24x -B ．244x x +-C ．24x x +-D ．22x x +-【答案】D【分析】本题考查新定义运算，多项式乘多项式，根据定义()*1a b b a =+将()()2*2x x -+变形为()()221x x +-+，再按照多项式乘多项式运算法则计算即可．【详解】解：()()()()2*2221x x x x -+=+-+()()21x x =+-222x x x =-+-22x x =+-，故选D【变式1】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）下列计算错误的是（）A ．()()21454x x x x ++=++B ．()()2236m m m m -+=+-C ．()()245920y y y y +-=+-D ．()()236918x x x x -=--+【答案】C【分析】本题主要考查多项式乘法的运算，掌握多项式乘法的运算法则是解题的关键．根据运算法则，逐一对选项进行分析即可．【详解】解：A ．2(1)(4)54x x x x ++=++，正确，故该选项不符合题意；B ．()()2236m m m m -+=+-，正确，故该选项不符合题意；C ．2(4)(5)20y y y y +-=--，错误，故该选项符合题意；D ．()()236918x x x x --=-+，正确，故该选项不符合题意．故选：C【变式2】．（22-23七年级下·四川成都·期中）若()()221222x x x mx -+=+-，则m 的值是．【答案】3【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，根据多项式与多项式的乘法法则把等号左边化简，然后与右边比较即可求解．【详解】解：∵()()22221224223222x x x x x x x x mx -++--=+-=+-＝，∴3m =．故答案为：3【变式3】（2024七年级下·江苏·专题练习）计算：()()34a b a b +-=．【答案】2212a ab b +-【分析】本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．根据多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加解答．【详解】解：2222(3)(342)1412a b a b a ab ab b a ab b +-=++=---故答案为：2212a ab b+-2个公式1.平方差公式【例题6】（22-23七年级下·四川成都·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式进行计算的是（）A ．()()22a b b a +-B ．()()m n m n -+-C ．()()22x y x y -+D ．()()11n n ++【答案】A【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是根据平方差公式()()22a b a b a b +-=-，逐项进行判断即可．【详解】解：A ．()()22224a b b a b a +-=-，则A 符合题意；B ．()()m n m n -+-不能用平方差公式计算，则B 不符合题意；C ．()()22x y x y -+不能用平方差公式计算，则C 不符合题意；D ．()()11n n ++不能用平方差公式计算，则D 不符合题意；故选：A【变式1】（20-21七年级下·浙江杭州·期中）一个长方形的宽为2x y -，长为2x y +，则这个长方形的面积是（）A ．224x y -B ．224x y +C ．222x y -D ．222x y +【答案】A【分析】本题主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据长方形的面积公式进行计算即可．【详解】解：由长方形的面积公式可得，22(2)(2)4x y x y x y +-=-．故选：A【变式2】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如果一个数()()222121a n n =+--，那么我们称这个数a 为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（）A ．56B ．82C ．94D ．126【答案】A【分析】本题考查了平方差公式的应用，首先化简()()2221218a n n n =+--=，再看四个选项中，能够整除8的即为答案．理解“奇差数”的定义，正确化简是解题关键．【详解】解： ()()()()222121212121218a n n n n n n n =+--=++-+-+=，∴“奇差数”是8的倍数，A ，7856=÷，能够被8整除，因此56是“奇差数”；B ，828102÷= ，不能够被8整除，因此82不是“奇差数”；C ，948116÷= ，不能够被8整除，因此94不是“奇差数”；D ，1268156÷= ，不能够被8整除，因此126不是“奇差数”；故选：A【变式3】（23-24九年级下·山东聊城·阶段练习）下列计算正确的是（）A ．235a b ab +=B ．()()22a b a b a b+-=-C ．2236a b ab ⋅=D ．()235a a =【答案】B【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式，幂的乘方的法则，逐一进行计算，判断即可．【详解】解：A 、2,3a b ，不是同类项，不能合并，不符合题意；B 、()()22a b a b a b +-=-，符合题意；C 、22236a b a b ⋅=，不符合题意；D 、()236a a =，不符合题意；故选：B2.完全平方公式【例题7】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）下列计算正确的是（）A ．236a a a ⋅=B ．326()x x -=C ．632a a a ÷=D ．222()x y x y +=+【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，完全平方公式；根据以上运算法则进行计算即可求解．【详解】解：A.235a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意；B.326()x x -=，故该选项正确，符合题意；C.633a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；D.222()2x y x xy y +=++，故该选项不正确，不符合题意；故选：B【变式1】（23-24八年级下·山东威海·期中）不论x ，y 取何实数，代数式224614x x y y -+-+总是（）A ．非负数B ．正数C ．负数D ．非正数【答案】B【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式把原式变形为()()22231x y -+-+，据此可得答案．【详解】解：224614x x y y -+-+()()2244691x x y y =-++-++()()22231x y =-+-+，∵()()222030x y -≥-≥，，∴()()222311x y -+-+≥，∴224614x x y y -+-+总是正数，故选：B【变式2】（23-24九年级下·河南郑州·期中）下列计算正确的是（）A ．321a a -=B ．()2236m m -=C ．2=D ．()222244a b a ab b -=-+【答案】D【分析】本题考查了完全平方公式，合并同类项，积的乘方等运算法则，熟练掌握这些法则是解此题的关键．根据合并同类项的法则、积的乘方、完全平方公式进行计算即可．故选D【变式3】（2024·广西桂林·一模）下列运算正确的是（）A ．()22420x x -=B ．()236x x x -⋅=C ．()222x y x y +=+D 92=故选：A 3个应用1.应用因式分解解决整除问题【例题8】（2024·浙江嘉兴·一模）若k 为任意整数，则()()222122k k +--的值总能（）A ．被2整除B ．被3整除C ．被5整除D ．被7整除【答案】B【分析】本题主要考查了因式分解的意义，利用平方差公式把()()222122k k +--因式分解为()341k -，据此可得答案．【详解】解：()()222122k k +--()()()()21222122k k k k =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()341k =-∵k 为任意整数，∴()341k -为整数，∴()341k -一定能被3整除，∴()()222122k k +--的值总能被3整除，故选：B【变式1】（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）对于任何整数()0a a ≠，多项式()2354a +-都能（）A ．被9整除B ．被a 整除C ．被1a +整除D ．被1a -整除【答案】C【分析】此题考查了因式分解，利用平方差公式分解，即可做出判断，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．【详解】解：原式()()()()3523523371a a a a =+++-=++，则对于任何整数a ，多项式()2354a +-都能被1a +整除．故选：C【变式2】（2024·河南郑州·一模）对任意整数n ，2(21)25n +-都能（）A ．被3整除B ．被4整除C ．被5整除D ．被6整除【答案】B【分析】根据平方差公式，分解因式后判断，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．【详解】∵()()()()()()2222125215215215432n n n n n n +-=+-=+++-=+-，∴故一定能被4整除，故选B【变式3】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知()()844414141-=+-= ，则按此规律推算841-的结果一定能（）A ．被12整除B ．被13整除C ．被14整除D ．被15整除【答案】D【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式进行因式分解，即可求解．【详解】解：()()()()()()()84442242414141414141414115-=+-=++-=++⨯，故选：D2.应用因式分解解决几何问题【例题9】（23-24七年级下·全国·假期作业）已知,,a b c 为三角形ABC 的三边长，且满足222244b c a c a b -=-，则三角形ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形【答案】A【详解】因为222244b c a c a b -=-，即()()()2222222c b a a b a b -=+-，所以()()()22222220a b a b c b a +---=，()()222220a b a b c -++=，()()()2220a b a b a b c +-++=．因为,,a b c 是三角形的三边长，所以2220,0a b a b c +>++>，所以0a b -=，即a b =，所以三角形ABC 为等腰三角形【变式1】（2024八年级·全国·竞赛）已知ABC 的三边为a 、b 、c ，且满足1111a b c a b c-+=-+，则ABC 的形状为．()()()0a b b c a c ∴--+=，∴a b =或b c =．故答案为：等腰三角形【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）若a ，b ，c 是三角形的三边长，且满足关系式2222a bc c ab -=-，试判断这个三角形的形状．（2）若a ，b ，c 是ABC 的三边长，且满足2220a b c ab bc ac ++---=，则ABC 是什么形状？【答案】（1）三角形是等腰三角形；（2）ABC 是等边三角形【分析】本题考查因式分解的应用；（1）把2222a bc c ab -=-通过因式分解求值即可；（2）通过把2222222220a b c ab bc ac ++---=配方后根据非负数的性质判断即可．【详解】（1）∵2222a bc c ab -=-，∴()22220a c ab bc -+-=，∴()()()20a c a c b a c +-+-=，∴()()20a c a c b -++=．∵20a c b ++≠，∴0a c -=，即a c =，∴这个三角形是等腰三角形．（2）∵2220a b c ab bc ac ++---=，∴2222222220a b c ab bc ac ++---=．∴()()()2222222220a b ab b c bc c a ac +-++-++-=，即222()()()0a b b c a c -+-+-=．∴0a b -=，0b c -=，0a c -=，∴a b =，b c =，a c =，∴a b c ==，∴ABC 是等边三角形【变式3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）已知ABC 的三边长a ，b ，c 满足22661830a b a b c +--++-=，试判断ABC 的形状．（2）已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，且满足2212852a b a b +=+-，求c 的取值范围．∴3.应用因式分解进行简便计算【例题10】（20-21八年级下·陕西汉中·期末）利用因式分解简便计算6999329999⨯+⨯-正确的是（）A ．()996932991019999⨯+=⨯=B ．()9969321991009900⨯+-=⨯=C ．()99693219910210098⨯++=⨯=D ．()99693299992198⨯+-=⨯=【答案】B【分析】利用提公因式分法将99提公因式进行计算即可判断．【详解】解：69×99+32×99-99=99（69+32-1）=99×100=9900．故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解【变式1】（22-23八年级下·贵州贵阳·期中）利用因式分解可以简便计算：5799449999⨯+⨯-分解正确的是()A ．()995744⨯+B ．()9957441⨯+-C ．()9957441⨯++D ．()99574499⨯+-【答案】B【分析】利用提取公因式法分解因式即可得．【详解】解：原式57994499199=⨯+⨯-⨯()9957441=⨯+-，故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题关键【变式2】（22-23九年级上·广东惠州·开学考试）利用因式分解简便运算：2252.847.2-＝．【答案】560【分析】利用平方差法进行因式分解，再进行计算；【详解】原式＝()()52.847.252.847.2+⨯-＝100 5.6⨯＝560．故答案为：560．【点睛】本题考查利用公式法因式分解进行简便运算．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键【变式3】（22-23七年级下·湖南怀化·期中）利用因式分解进行简便运算：(1)443424.7 1.365555-⨯+⨯-⨯；(2)22899202899101+⨯+【答案】(1)24-(2)610【分析】（1）运用提公因式法进行因式分解即可求解；（2）运用公式法进行因式分解即可求解．【点睛】本题主要考查因式分解，懂得运用提公因式法和公式法进行因式分解来进行简便运算是解题的关键4个技巧1.巧用乘法公式计算【例题11】（22-23八年级下·河南平顶山·阶段练习）代数式22494610x y x y ++-+中x ，y 取何值时代数式值最小？最小值是多少？【点睛】此题考查了配方法求最值，原式可化为两个完全平方式和一个常数和的形式．利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值，熟练掌握配方法是解题的关键【变式】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）已知2610A x x =-+．(1)当2x =-、0、3时，分别求出A 的值；(2)证明：无论x 取什么值，A 的值都不小于1．【答案】(1)当2x =-时，26A =；当0x =时，10A =；当3x =时，1A =(2)见解析【分析】（1）根据题意可得()2261031A x x x =-+=-+，将2x =-、0、3，分别代入代数式，即可求解；（2）根据题意可得()2261031A x x x =-+=-+，根据平方的非负性，可得1A ≥,即可得证．【详解】（1）解：∵()2261031A x x x =-+=-+∴当2x =-时，()223125126A =--+=+=；当0x =时，()203110A =-+=；当3x =时，()23311A =-+=；（2）证明：∵()2261031A x x x =-+=-+，()230x -≥∴1A ≥,【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键2.先分组在分解【例题12】（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如22424x y x y -+-，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：22424x y x y-+-()()22424x y x y =-+-…分组()()()2222x y x y x y =-++-…组内分解因式()()222x y x y =-++…整体思想提公因式这种分解因式的方法叫分组分解法．根据以上材料，解答下列问题：(1)按上述方法因式分解：①22428x y y x --+；②323927m m m --+；(2)已知a ，b ，c 为ABC 的三边，且2222b ab c ac +=+，试判断ABC 的形状并说明理由．【答案】(1)①()()()222y x x --+；②()2(3)3m m -+；(2)ABC 是等腰三角形，理由见解析；【分析】（1）①本题考查因式分解，根据例题分组提取公因式，再结合公式法因式分解即可得到答案；②本题考查因式分解，根据例题分组提取公因式，再结合公式法因式分解即可得到答案；（2）本题考查因式分解的应用，将2222b ab c ac +=+因式分解即可得到积等于0，即可得到答案；【详解】（1）解：①原式()()22424y x x =---()()()()22222y x x x x =-+--+()()()222y x x =--+；②原式()()2393m m m =---()()239m m =--()2(3)3m m =-+；（2）解：ABC 是等腰三角形，理由如下，2222b ab c ac +=+ ，22220b c ab ac ∴-+-=，()()()20b c b c a b c -++-=，()()20a b c b c ++-=，∵a ，b ，c 为ABC 的三边，0a ∴>，0b >，0c >，20a b c ∴++≠，0∴-=b c ，即b c =，ABC ∴ 是等腰三角形【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）因式分解：2221a ab b -+-．【答案】()()11a b a b -+--【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式，先根据完全平方公式进行因式分解，然后再用平方差公式进行因式分解．【详解】解：2221a ab b -+-()21=--a b ()()11a b a b =-+--【变式2】（23-24八年级上·四川眉山·期中）因式分解(1)224x y -；(2)2291839x xy y x y -++-．【答案】(1)()()22x y x y +-(2)()()363x y x y -++【分析】本题考查了因式分解：（1）运用平方差公式进行因式分解，即可作答．（2）先分组分解，再进行提公因式，即可作答．【详解】（1）解：224x y -()()22x y x y =+-（2）解：2291839x xy y x y-++-222693939x xy y x y xy y =++--++()()()233333x y x y y x y=+-+++()()3333x y y x y =+-++()()363x y x y =-++【变式3】（23-24八年级上·四川眉山·期中）因式分解：(1)2321025xy y x y -++；(2)3223a a b ab b +--．【答案】(1)2(5)y x y -(2)2()()a b a b +-【分析】本题考查的因式分解，熟知分组分解法与提取公因式法、公式法分解因式是解题的关键．（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（2）利用分组分解法因式分解即可．【详解】（1）解：2321025xy y x y-++22(1025)y xy y x =-++2(5)y x y =-；（2）解：3223a ab ab b +--3223()()a ab ab b =+-+22()()a ab b a b =+-+22()()a b a b =+-2()()a b a b =+-3.拆项后用公式法【例题13】（22-23八年级上·贵州黔西·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法和十字相乘法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法，等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法.例如：()()()2222222424()222x xy y x xy y x y x y x y -+-=-+-=--=-+--．②拆项法，将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法.例如：()()()()222223214(1)2121213x x x x x x x x x +-=++-=+-=+-++=-+(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）22441x x y +-+；②（拆项法）268x x -+；(2)已知：a ，b ，c 为ABC 的三条边，222446170a b c a b c ++---+=，求ABC 的周长．【答案】(1)()()2121x y x y ++-+①；()()42x x --②(2)ABC 的周长为7【分析】本题主要考查公式法因式分解：（1）①将22441x x y +-+组成为()22441x x y ++-分解即可．②将268x x -+拆项为()2691x x -+-分解即可；（2）分组拆项配成完全平方式的和形式()()()2226944440a b a b c c ++--+++=-，利用非负性计算即可．【详解】（1）22441x x y +-+①()22441x x y =++-2221()x y =+-()()2121x y x y =++-+268x x -+②2691x x =-+-2(3)1x =--()()3131x x =---+()()42x x =--（2）222446170a b c a b c ++---+=Q ，()()()2224444690a a b b c c ∴-++-++-+=．222(2)(2)(3)0a b c ∴-+-+-=．2a ∴=，2b =，3c =．2237a b c ∴++=++=．ABC ∴ 的周长为7【变式1】（23-24八年级上·山东济宁·期末）观察下面因式分解的过程：432233x x x x +++-4322333x x x x x =+-++-()()222131x x x x x =+-++-()()2231x x x =++-上面因式分解过程的第一步把22x 拆成了223x x -+，这种因式分解的方法称为拆项法．请用上面的方法完成下列题目：(1)22268a b a b -++-；(2)42231x x -+．【答案】(1)()()24a b a b +--+(2)()()221515x x x x +++-【分析】本题考查因式分解，理解题中拆项法是解答的关键．（1）将8-拆成19-，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）将223x -拆成22225x x -，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：22268a b a b -++-222619a b a b =-+++-()()222169a a b b =++--+()()2213a b =+--()()1313a b a b =++-+-+()()24a b a b =+--+；（2）解：42231x x -+2242251x x x =+-+()4222125x x x =++-()()22215x x =+-()()221515x x x x =+++-【变式2】（23-24八年级上·河北张家口·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：()()()()2222222424222x xy y x xy y x y x y x y -+-=-+-=--=---+．②拆项法：例如：()()()()()22222321412121213x x x x x x x x x +-=++-=+-=+-++=-+．仿照以上方法分解因式：(1)22441x x y +-+；(2)2223x xy y +-．(3)解决问题：已知a 、b 、c 、为ABC 的三边长，2254210a b ab b +--+=，且ABC 为等腰三角形，求ABC的周长．【答案】(1)()()2121x y x y +++-(2)()()3x y x y +-(3)ABC 的周长是5【分析】本题考查因式分解及其应用，分组分解法，拆项法因式等知识，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．（1）运用分别分组分解法将2441x x ++看出一组，再用平方差公式因式分解即可；（2）运用拆项法将23y -拆成224y y -，再运用（1）的方法因式分解即可；（3）将2254210a b ab b +--+=化成平方和等于0的形式，从而求出a 、b ，再运用等腰三角形的定义分类讨论即可得解．【详解】（1）解：22441x x y +-+22441x x y =++-()2221x y =+-()()2121x y x y =+++-；（2）2223x xy y +-22224x xy y y =++-()224x y y =+-()()22x y y x y y =+++-()()3x y x y =+-；（3）2254210a b ab b +--+= ，22244210a ab b b b --∴+++=，22(2)(1)0a b b ∴-+-=，20a b ∴-=，10b -=，2a ∴=，1b =，ABC 是等腰三角形，c 2∴=或1c =(不符合三角形三边关系，舍去)ABC ∴ 的周长2215=++=【变式3】（2023八年级上·全国·专题练习）利用拆项法，解决下列问题：(1)分解因式：265x x -+；(2)分解因式：2245a ab b +-．【答案】(1)()()15x x --；(2)()()5a b a b +-．【分析】（1）将5拆解成94-，再根据完全平方公式得()2232x --，然后利用平方差公式进一步分解；（2）将25b -拆解成2249b b -，再根据完全平方公式得()2229a b b +-，然后利用平方差公式进一步分解．【详解】（1）原式2694x x =-+-，()2232x =--，()()3232x x =---+，()()15x x =--；（2）原式222449a ab b b =++-，()2229a b b =+-，()()2323b a b a b b =+++-，()()5a b a b =+-．【点睛】此题考查了因式分解的应用，解题时要注意在拆项变形的过程中不要改变式子的值4.换元法【例题14】（23-24八年级上·福建福州·期中）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小胡同学用换元法对多项式()()2221234x x x x ---++进行因式分解的过程．解：设22x x y -=，原式()()134y y =-++（第一步）221y y =++（第二步）()21y =+（第三步）()2221x x =-+（第四步）请根据上述材料回答下列问题：(1)小胡同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______；A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法(2)老师说，小胡同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果；(3)请你用换元法对多项式()()22661881x x x x ++++进行因式分解．【答案】(1)C(2)()41x -(3)()43x +【分析】（1）根据利用完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±分解因式即可得；（2）括号里面可以再次用完全平方公式进行因式分解；（3）设26y x x =+，利用换元法和完全平方公式分解因式即可得．【详解】（1）解：()22211y y y ++=+，则第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法，故选：C ．（2）解：原式()2221x x =-+()221x ⎡=⎤⎣⎦-()41x =-，故答案为：()41x -；（3）解：设26y x x =+，()()22661881x x x x ++++则原式()1881y y =++21881y y =++()29y =+()2269x x =++()223x ⎡⎤=+⎣⎦()43x =+．【点睛】本题考查了因式分解——换元法和完全平方公式法，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键【变式1】（23-24八年级上·全国·课时练习）因式分解：(1)（添项）44x +；(2)（拆项）3234x x -+；(3)（换元）()()2221224x y x y +-+-+．【答案】(1)()()222222x x x x ++-+(2)()()221x x -+(3)()()2268x y x y +-+-【分析】根据分解因式的方法求解即可．【详解】（1）原式()2222222222x x x =+⨯+-⨯()()22222x x =+-()()222222x x x x =++-+．（2）方法一：原式32224x x x =--+()()32224x x x =---()()()2222x x x x =--+-()()222x x x =---()()()221x x x =--+()()221x x =-+．方法二：原式32244x x x =+-+()()()21411x x x x =+--+()()2144x x x =+-+()()212x x =+-．（3）设2x y a +=，则原式()()21224a a =--+21448a a =-+()()68a a =--()()2268x y x y =+-+-．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等【变式2】（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）【积累经验】小明在分解因式22(21)(23)4x x x x +-+++时，提出了如下的思路：小明：我发现223x x ++比221x x +-多4，若设221x x m +-=，那么223x x ++就可以表示为m +4.则222(21)(23)4(4)444x x x x m m m m +-+++=++=++=2(2)m +．因为221x x m +-=，所以原式=224(21)(1)x x x ++=+．在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫做换元法．换元法的关键是设元．上述问题中，不仅能设221x x m +-=，也可以将22x x +或223x x ++或……设为n ．请你任选一种设元的方法，分解因式；【灵活应用】（1）()()12320222342023A =+++⋯++++⋯+，()()1232023232022B =+++⋯+++⋯+，探究A 与B 的数量关系，并说明理由；(2)如图，一户人家有一块长方形土地ABCD ，30AB =，24AD =，其内部有一条宽度为a 的L 型种植区域①，其余部分(长方形)AEFG 为种植区域②，测量区域②的面积为340；阿凡提有两块正方形的土地AGHI 与AJKE 跟这户人家的种植区域②相邻，正方形土地的边长分别为AG 与AE ．这户人家对阿凡提的两块地垂涎已久，提出要将自己的土地与阿凡提交换，阿凡提有没有损失呢？请你运用所学的数学知识进行解释．【答案】积累经验：4(1)x +；灵活运用：(1)2023A B -=；(2)没有损失，见解析【分析】积累经验：可以设22x x n +=，将原式中的22x x +全部用n 表示，然后分解因式即可；灵活运用：(1)设2342022a +++⋯+=，把A 、B 各部分用a 表示，然后作差，即可求出A 、B 的关系；(2)设AE x =，AG y =，用含a 的式子分别表示出AE 、AG ，然后根据()2222x y x y xy +=+-表示出交换之后土地的面积，在进行比较即可求解．【详解】积累经验：解：设22x x n +=，则2211x x n +-=-，那么2233x x n ++=+.原式()()134n n =-++=2234n n +-+=2(1)n +因为22x x n +=，所以原式224(21)(1)x x x =++=+灵活运用：解：（1）设2342022a +++⋯+=()()21202320242023A a a a a =++=++()2120232024B a a a a=++=+所以2023A B -=.（2）由题意得，设30AE a x =-=，24AG a y =-=，.则6x y =-，340.xy =所以()222236680716x y x y xy +=+=+=-，即阿凡提的两块土地面积之和为716，而四边形ABCD 的面积为3024720716⨯=>.所以交换土地对阿凡提来说没有损失．【点睛】本题考查了因式分解—换元法、完全平方公式的应用，看懂和理解题例是求解的关键【变式3】（22-23八年级下·山东济南·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应任务：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式()()2241479x x x x +++++进行因式分解的过程．解：设24x x y +=，则原式()()179y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）()24y =+（第三步）()2244x x =++（第四步）请根据上述材料回答下列问题：(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；请你用换元法对多项式()()229639614x x x x -+-+-进行因式分解．【答案】(1)C(2)()42x +，()431x -【分析】（1）根据利用完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±分解因式即可得；（2）利用完全平方公式分解因式即可得出最后结果；设296x x y -=，利用换元法和完全平方公式分解因式即可得．【详解】（1）解：()228164y y y ++=+，则第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法，故选：C ．（2）解：设24x x y +=，则原式()()179y y =+++2816y y =++()24y =+()2244x x =++()222x ⎡⎤=+⎣⎦()42x =+，故答案为：()42x +．对多项式()()229639614x x x x -+-+-，设296x x y -=，则原式()()314y y =+-+2234y y =+-+221y y =++()21y =+()22961x x -=+()2231x ⎡⎤=-⎣⎦()431x =-．【点睛】本题考查了因式分解——换元法和完全平方公式法，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键3种思想1：整体思想【例题15】（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：()()221x y x y ++++．解：将“()x y +”看成整体，令()x y A +=，则原式()22211A A A =++=+．再将“A ”还原，得原式()21x y =++．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：因式分解：()()44a b a b ++-+．【答案】()22a b +-【分析】本题主要考查整体思想的方法进行因式分解，掌握乘法公式，整体思想的方法是解题的关键．根据材料提示，令a b M +=，再结合完全平方公式进行因式分解即可求解．【详解】解：()()44a b a b ++-+令a b M +=，∴原式()44M M =-+。

乘法公式和因式分解练习题资料

乘法公式和因式分解练习题乘法公式和因式分解练习题一、选择题1.已知2264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( )A 、8B 、±8C 、±16D 、±322.如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( )A 、 2xyB 、－2xyC 、4xyD 、－4xy3.下列可以用平方差公式计算的是( )A 、(x －y) (x + y)B 、(x －y) (y －x)C 、(x －y)(－y + x)D 、(x －y)(－x + y)4.下列各式中，运算结果是22169b a -的是( )A 、)43)(43(b a b a --+-B 、)34)(34(a b a b --+-C 、)34)(34(a b a b -+D 、)83)(23(b a b a -+5、下列各式中,能运用平方差分式分解因式的是（）A 、21x +-B 、22y x +C 、42--xD 、()22b a ---6、若m x x +-82是完全平方式, 则m 的值为（）A 、4B 、8C 、16D 、327.计算（x +2）2的结果为x 2+□x +4,则“□”中的数为（）A ．－2B ．2C ．－4 D．4 8、把多项式1222+--y x xy 分解因式的结果是（）A ．)1)(1(+-+-x y y x B.)1)(1(---+x y y xC.)1)(1+--+y x y xD..)1)(1(--+-y x y x8.已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于（）A ．64B ．48C ．32D ．169.若949)7(22+-=-bx x a x ，则b a +之值为何？A ．18B ．24C ．39D ． 4510.已知8)(2=-n m ，2)(2=+n m ，则=+22n m （）A ．10B ．6C ．5D ．311.把多项式a 2－4a 分解因式，结果正确的是( )A ．a (a －4)B ．(a +2)(a －2)C ．a (a +2) (a －2)D ．(a －2)2－412.化简)23(4)325x x -+-（的结果为（）A ．32-xB ．92+xC ．38-xD ．318-x13.下列计算正确的是Ａ．()222x y x y +=+ B ．()2222x y x xy y -=--C ．()()22222x y x y x y +-=-D ．()2222x y x xy y -+=-+14.下列各因式分解正确的是（）A.)2)(2()2(22+-=-+-x x xB.22)1(12-=-+x x xC.22)12(144-=+-x x xD.)2)(2(42-+=-x x x x x15.下列分解因式正确的是（）A ．）（23a 1-a a a -+=+B ．2a-4b+2=2（a-2b ）C ．()222-a 4-a =D ．()221-a 1a 2-a =+16.下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（）A ．x 2 +1 B.x 2+2x －1 C.x 2+x +1 D.x 2+4x +417.下面的多项式中，能因式分解的是（）A ．m 2+nB ．m 2﹣m+1C ．m 2﹣nD ．m 2﹣2m+118. a 4b －6a 3b ＋9a 2b 分解因式的正确结果是A ．a 2b (a 2－6a ＋9)B ．a 2b (a ＋3) (a －3)C ．b (a 2－3)2D ．a 2b (a －3)26. 4. 19.分解因式(x －1)2 －2(x －1)+1的结果是 ( )A ．(x －1)(x －2)B ． x 2C ．(x +1)2D ． (x －2)220.已知a - b =1，则代数式2a -2b -3的值是A ．-1B ．1C ．-5D ．521.将代数式262++x x 化成q p x ++2)(的形式为（）A. 11)3(2+-xB. 7)3(2-+xC. 11)3(2-+xD. 4)2(2++x22.计算222(a+b)(a b)+a a b -等于（）A ．4aB ．6aC ．22a bD ．22a b -23.如图，边长为(m +3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（）A ．m +3B ．m +6C ．2m +3D ．2m +624.图（1）是一个长为2m ，宽为2n （m>n)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A.2mnB.(m+n)2C.(m-n)2 D .m 2 -n 2二、填空题1.若2a －b =5，则多项式6a 一3b 的值是．2.整式A 与m 2﹣2mn+n 2的和是（m+n ）2，则A= ．3．(x ＋1)(x －1)(1＋x )＝4.已知x + y =—5 ，xy =6 ，则x 2 + y 2=_______.m +3 m3m n 图图5.二次三项式29x kx -+是一个完全平方式，则k 的值是 .6.将4个数a 、b 、c 、d 排成两行、两列，两边各加一条竖线记成a b c d，定义a c b d =ad －bc ，上述等式就叫做二阶行列式．若 1 181 1x x x x +-=-+，则x = ． 7.写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：．8.分解因式：25x x - =________ ．9.分解因式：=-822x ___________________10.分解因式：ab 3－4ab = ．11.分解因式：a －6ab ＋9ab 2＝ .12.分解因式：=+-22363n mn m _______ .13.分解因式:22331212x y xy y ++=14.若2m n -=，5m n +=，则22m n -的值为．15.若622=-n m ，且2m n -=，则=+n m ．16.有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图.3a 2a 1如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、4张、4张，可拼成一个正方形（不重叠无缝隙）那么这个正方形的边长是三、解答题1.化简：)2()12+-+x x x （ 2.化简：1)1()1(2-++-a a a3.先化简，再求值：(x+3)(x-3)-x (x-2)，其中x=4.4. 先化简，再求值：22b ＋(a ＋b )(a －b )－(a －)2b ，其中a ＝－3，b ＝12.5.先化简，再求值：()()()x x x -+++2232，其中2-=x6.已知y x A +=2，y x B -=2，计算22B A -7.先化简，再求值：()222a b b --，其中2,3a b =-=8、已知x + y = a , xy = b ,求(x －y) 2 ， x 2 + y 2 ， x 2－xy + y 2的值9．当7x =-时，求代数式(2x +5)(x +1)-(x -3)(x +1)的值．10.观察下列算式：① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1 ② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ④……（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．。

《第14章整式的乘法与因式分解》单元测试题(含答案).doc

(第10题图)第十四章整式的乘法与因式分解一、选择题1.下列各式由左边到右边的变形为因式分解的是( )A.a 2-b 2+1=(a+b)(a-b)+1B.m 2-4m+4=(m-2)2C.(x+3)(x-3)=x 2-9D.t 2+3t-16=(t+4)(t-4)+3t2.分解因式:x 3-x,结果为( )A.x(x 2-1)B.x(x-1)2C.x(x+1)2D.x(x+1)(x-1)3.下列因式分解正确的是( )A.16m 2-4=(4m+2)(4m-2)B.m 4-1=(m 2+1)(m 2-1)C.m 2-6m+9=(m-3)2D.1-a 2=(a+1)(a-1)4．下列多项式能因式分解的是（）A.m 2+n B ．m 2-m+1 C ．m 2-2m+1 D ．m 2-n5．计算（2x 3y ）2的结果是（）A ．4x 6y 2B ．8x 6y 2C ．4x 5y 2D ．8x 5y 26．已知a+b=3，ab=2，计算：a 2b+ab 2等于（）A ．5B ．6C ．9D ．17、下列运算中结果正确的是（）A 、633·x x x =；B 、422523x x x =+；C 、532)(x x =；D 、222()x y x y +=+.8、ab 减去22b ab a +-等于 ( )。

A 、222b ab a ++；B 、222b ab a +--；C 、222b ab a -+-；D 、222b ab a ++-9、已知x 2+kxy+64y 2是一个完全式，则k 的值是（）A 、8B 、±8C 、16D 、±1610、如下图（1），边长为a 的大正方形中一个边长为b小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）。

这一过程可以验证（）A 、a 2+b 2－2ab=(a －b)2 ；B 、a 2+b 2+2ab=(a+b)2 ；C 、2a 2－3ab+b 2=(2a －b)(a －b) ；D 、a 2－b 2=(a+b) (a －b)二、填空题11.若单项式-3x 4a-b y 2与3x 3y a+b 是同类项,则这两个单项式的积为 . 图1 图212.已知(x-1)(x+2)=ax2+bx+c,则代数式4a-2b+c的值为.13.若16b2+a2+m是完全平方式,则m= .14．分解因式：x3﹣x= ．15．因式分解：43a﹣122a+9a= ．16、若4x2＋kx＋25＝(2x－5)2，那么k的值是三、解答题17.(8分)因式分解:(1)3a2-27b2; (2)x2-8(x-2).18. (10分)计算:(1)已知a+b=3,ab=-2,求a2+b2和a2-ab+b2的值;(2)已知(x+y)2=1,(x-y)2=49,求x2+y2和xy的值;(3)已知a-b=1,a2+b2=25,求ab的值.19.已知一个长方形的周长为20,其长为a,宽为b,且a,b满足a2-2ab+b2-4a+4b+4=0,求a,b的值.20、李老师给学生出了一道题：当a=0.35，b= －0.28时，求3323323a ab a b a a b a b a-+++--的值．题目出完后，小聪说：“老师给76336310的条件a=0.35，b= －0.28是多余的．”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理？为什么？21、如图为杨辉三角表，它可以帮助我们按规律写出（a+b）n（其中n为正整数）•展开式的系数，请仔细观察表中规律，填出（a+b）4的展开式中所缺的系数．（a+b）1=a+b；（a+b）2=a2+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+_____a3b+_____a2b2+______ab3+b4答案BDCCA BACDD11.-9x 6y 412.013.±8ab14．x （x+1）（x ﹣1）．15．a 2(23)a -16．－20；17.解 (1)3a 2-27b 2=3(a 2-9b 2)=3(a+3b)(a-3b);(2)x 2-8(x-2)=x 2-8x+16=(x-4)2.18 (1)a 2+b 2=(a+b)2-2ab=32-2×(-2)=13;a 2-ab+b 2=(a+b)2-3ab=32-3×(-2)=15.(2)∵(x+y)2=x 2+y 2+2xy=1,(x-y)2=x 2+y 2-2xy=49,即解得(3)∵a-b=1,∴(a-b)2=a 2+b 2-2ab=1.∵a 2+b 2=25,∴25-2ab=1,解得ab=12.19.解 ∵长方形的周长为20,其长为a,宽为b,∴a+b=20÷2=10.∵a 2-2ab+b 2-4a+4b+4=0,∴(a-b)2-4(a-b)+4=0.∴(a-b-2)2=0.∴a-b-2=0,由此得方程组解得 20．原式=332(7310)(66)(33)0a a b a b +-+-++-=，合并得结果为0，与a 、b 的取值无关，所以小明说的有道理．21．4；6；4；。

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乘法公式和因式分解练习题
一、选择题
1.已知2264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( )
A 、8
B 、±8
C 、±16
D 、±32
2.如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( )
A 、 2xy
B 、－2xy
C 、4xy
D 、－4xy
3.下列可以用平方差公式计算的是( )
A 、(x －y) (x + y)
B 、(x －y) (y －x)
C 、(x －y)(－y + x)
D 、(x －y)(－x + y)
4.下列各式中，运算结果是22169b a -的是( )
A 、)43)(43(b a b a --+-
B 、)34)(34(a b a b --+-
C 、)34)(34(a b a b -+
D 、)83)(23(b a b a -+
5、下列各式中,能运用平方差分式分解因式的是（）
A 、21x +-
B 、22y x +
C 、42--x
D 、()22b a ---
6、若m x x +-82是完全平方式, 则m 的值为（）
A 、4
B 、8
C 、16
D 、32
7.计算（x +2）2的结果为x 2+□x +4,则“□”中的数为（）
A ．－2
B ．2
C ．－4 D
．4
8、把多项式1222+--y x xy 分解因式的结果是（）
A ．)1)(1(+-+-x y y x B.)1)(1(---+x y y x
C.)1)(1+--+y x y x
D..)1)(1(--+-y x y x
8.已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于（）
A ．64
B ．48
C ．32
D ．16
9.若949)7(22+-=-bx x a x ，则b a +之值为何？
A ．18
B ．24
C ．39
D ． 45
10.已知8)(2=-n m ，2)(2=+n m ，则=+22n m （）
A ．10
B ．6
C ．5
D ．3
11.把多项式a 2－4a 分解因式，结果正确的是( )
A ．a (a －4)
B ．(a +2)(a －2)
C ．a (a +2) (a －2)
D ．(a －2)2－4
12.化简)23(4)325x x -+-（的结果为（）
A ．32-x
B ．92+x
C ．38-x
D ．318-x
13.下列计算正确的是
Ａ．()222x y x y +=+ B ．()2222x y x xy y -=--
C ．()()22222x y x y x y +-=-
D ．()2222x y x xy y -+=-+
14.下列各因式分解正确的是（）
A.)2)(2()2(22+-=-+-x x x
B.22)1(12-=-+x x x
C.22)12(144-=+-x x x
D.)2)(2(42-+=-x x x x x
15.下列分解因式正确的是（）
A ．）（23a 1-a a a -+=+
B ．2a-4b+2=2（a-2b ）
C ．()222-a 4-a =
D ．()221-a 1a 2-a =+
16.下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（）
A ．x 2 +1 B.x 2+2x －1 C.x 2+x +1 D.x 2+4x +4
17.下面的多项式中，能因式分解的是（）
A ．m 2+n
B ．m 2﹣m+1
C ．m 2﹣n
D ．m 2﹣2m+1
18. a 4b －6a 3b ＋9a 2b 分解因式的正确结果是
A ．a 2b (a 2－6a ＋9)
B ．a 2b (a ＋3) (a －3)
C ．b (a 2－3)2
D ．a 2b (a －3)26. 4.
19.分解因式(x －1)2 －2(x －1)+1的结果是 ( )
A ．(x －1)(x －2)
B ． x 2
C ．(x +1)2
D ． (x －2)2
20.已知a - b =1，则代数式2a -2b -3的值是
A ．-1
B ．1
C ．-5
D ．5
21.将代数式262++x x 化成q p x ++2)(的形式为（）
A. 11)3(2+-x
B. 7)3(2-+x
C. 11)3(2-+x
D. 4)2(2++x
22.计算222(a+b)(a b)+a a b -等于（）
A ．4a
B ．6a
C ．22a b
D ．22a b -
23.如图，边长为(m +3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（）
A ．m +3
B ．m +6
C ．2m +3
D ．2m +6
24.图（1）是一个长为2m ，宽为2n （m>n)的长方形，
用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块
形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼
成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）
A.2mn
B.(m+n)
2 C.(m-n)2 D .m 2 -n 2 二、填空题
1.若2a －b =5，则多项式6a 一3b 的值是．
2.整式A 与m 2﹣2mn+n 2的和是（m+n ）2，则A= ．
3．(x ＋1)(x －1)(1＋x )＝
4.已知x + y =—5 ，xy =6 ，则x 2 + y 2=_______.
5.二次三项式29x kx -+是一个完全平方式，则k 的值是 .
6.将4个数a 、b 、c 、d 排成两行、两列，两边各加一条竖线记成a b c d ，定义a c b d
=ad －bc ，上述等式就叫做二阶行列式．若 1 181 1
x x x x +-=-+，则x = ． 7.写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：．
8.分解因式：25x x - =________ ． 9.分解因式：=-822x ___________________ 10.分解因式：ab 3－4ab = ． 11.分解因式：a －6ab ＋9ab 2＝ .
m +3 m
3
m n 图（1）图（2）
12.分解因式：=+-22363n mn m _______ .
13.分解因式:22331212x y xy y ++=
14.若2m n -=，5m n +=，则22m n -的值为．
15.若622=-n m ，且2m n -=，则=+n m ．
16.有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图
.
3a 2b a 1
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、4张、4张，可拼成一个正方形（不重叠无缝隙）那么这个正方形的边长是
三、解答题
1.化简：
)2()12+-+x x x （ 2.化简：1)1()1(2-++-a a a
3.先化简，再求值：(x+3)(x-3)-x (x-2)，其中x=
4.
4. 先化简，再求值：22b ＋(a ＋b )(a －b )－(a －)2b ，其中a ＝－3，b ＝
12
.
5.先化简，再求值：()()()x x x -+++2232，其中2-=x
6.已知y x A +=2，y x B -=2，计算22B A -
7.先化简，再求值：()22
--，其中2,3
2a b b
=-=
a b
8、已知x + y = a , xy = b ,求(x－y) 2 ， x 2 + y 2 ， x 2－xy + y 2的值9．当7
x=-时，求代数式(2x+5)(x+1)-(x-3)(x+1)的值．
10.观察下列算式：
① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1 ② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1
③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ④
……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．。