立方和与立方差公式
什么是立方和公式立方和公式与立方差公式的推导过程
什么是立方和公式立方和公式与立方差公式的推导过程
关于数学公式，你们能顺利的说出哪几个呢?我们的数学公式，真的是越学越复杂了，现在店铺就带你们去看看什么是立方和公式，感兴趣的朋友们快过来看看哦。
什么是立方和公式
立方和公式是有时在数学运算中需要运用的一个公式。
该公式的文字表达为：两数和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和;表达式为：(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³。
立方和公式与立方差公式的推导过程
这个题目其实可以从反方向去理解，就是计算下面两个乘法公式：(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³
(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³
之后反过来记忆结果就可以。
如果非要从正面推导的话，可以选用添加项的方法，
如
a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²(a+b)-b(a²-b²)=a²(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)[a²-b(a-b)]=(a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²(a-b)+b(a²-b²)=a²(a-b)+b(a+b)(a-b) =(a-b)[a²+b(a+b)]=(a-b)(a²+ab+b²)。
完全立方和立方差公式
完全立方和立方差公式完全立方公式和立方差公式是高中数学重要的代数公式，用于化简一些代数式。
这里我们分别介绍一下这两个公式的含义和用法。
1. 完全立方公式完全立方公式（也叫做三项完全平方公式）是指一个立方数加上两个积的形式，即：$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$其中，$a$、$b$、$c$为任意实数。
这个公式的含义是，将一个三次项完全展开后，将其中涉及的二次项组成一个完全平方，使得展开后的式子可以化简得更加简洁。
举例来说，我们可以用完全立方公式来计算 $2^3+3^3+4^3-3\times 2\times 3\times 4$：$=2^3+3^3+4^3-72$$=(2+3+4)((2^2+3^2+4^2)-(2\times 3+3\times 4+4\times 2))$ $=9\times(4+9+16-6-12-8)$$=9\times 3=27$因此，我们可以通过完全立方公式将一个较为复杂的表达式化简为更简单的形式。
2. 立方差公式立方差公式是指两个立方数之差的形式，即：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$其中，$a$、$b$为任意实数。
这个公式可以用来计算两个立方数之间的差值，从而简化计算。
举例来说：$5^3-2^3=(5-2)(5^2+5\times 2+2^2)=3\times 33=99$立方差公式的重要作用之一是用于计算一些多项式分解的式子。
比如，我们可以用立方差公式将 $x^6-1$ 分解为：$x^6-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1)$然后我们可以进一步将 $(x^2-1)$ 因式分解为 $(x+1)(x-1)$，得到：$x^6-1=(x+1)(x-1)(x^4+x^2+1)$这样，在计算多项式的根时，我们就可以将计算分解出来的每一部分进行单独的计算，从而简化计算。
立方和差公式口诀
立方和差公式口诀立方和：两项相加，第一平方，第二积之两乘；再乘一积之差，结果立方。
一平方之和，二积相减；再乘积之和，结果立方。
亦可约记为：(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3例子：1)2^3+3^3=(2+3)(2^2-2*3+3^2)=5*1=52)4^3+5^3=(4+5)(4^2-4*5+5^2)=9*(-6)=-54立方差：两项相减，第一平方，第二积之两乘；再乘一积之和，结果立方。
一平方之差，二积相加；再乘积之差，结果立方。
亦可约记为：(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3例子：1)6^3-4^3=(6-4)(6^2+6*4+4^2)=2*52=1042)8^3-7^3=(8-7)(8^2+8*7+7^2)=1*113=113立方和公式的推导：设(a + b)^3 = c，则展开式为c = a^3 +3a^2b + 3ab^2 + b^3、将式子视为多项式c = a^3 + b(b^2 + 3ab +3a^2)，可以发现，b(b^2 + 3ab + 3a^2)的部分其实是(b + a)^2的展开式中的(a^2 + 2ab)项。
所以，我们可以推导出立方和公式(a + b)^3 =a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3同样地，立方差公式的推导也是类似的。
设(a - b)^3 = d，则展开式为d = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3、将式子视为多项式d = a^3 -b(b^2 - 3ab + 3a^2)，可以发现，b(b^2 - 3ab + 3a^2)的部分其实是(b- a)^2的展开式中的(a^2 - 2ab)项。
所以，我们可以推导出立方差公式(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3立方和差公式在数学中有广泛的应用。
它可以帮助我们快速计算两个数的立方和或立方差，尤其在解决一些代数运算问题时非常有用。
立方和与立方差
精心整理利用立方和立方差公式进行因式分解一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+(立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=-(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 【例解：3(2)ab ，号．【例2232)()b -或23()a -解：(2)76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-强化练习1．因式分解下列各式：(1)31x - (2)338ab +(3)66xy -2．把下列各式分解因式： (1)327a +(2)38m -(3)3278x -+(4)3311864p q --(5)3318125x y -(6)3331121627x y c +(1)34xy x +(2)33n n xx y +-(3)2323()a m n a b +-(4)2232(2)y x x y-+24)c +(1)(3+2y)(9-6y+4y 2)；(2)(5a-2b 2)(25a 2+4b 4+2ab 2)； （3）（4）课堂练习 1立方和或立方差公式：(1)(x-3)()＝x 3-27；(2)(2x+3)()＝8x 3+27；(3)(x 2+2)()＝x 6+8；(4)(3a-2)()＝27a 3-8 2(1)()(a 2+2ab+4b 2)＝__________；(2)()(9a 2-6ab+4b 2)＝__________； (3)()(41-xy+4y 2)＝__________；(4)()(m 4+4m 2+16)＝__________ 3、下列等式能够成立的是????????????????????????????????????????[???]A ．(a+b)(a 2+2ab+b 2)=a 3+b 3；B ．(a-b)(a 2-ab+b 2)=a 3-b 3；C ．(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3；D ．(a-b)(a 2+2ab+b 2)=a 3-b 3．4、能够用立方和、立方差公式进行计算的是?????????????????????[???]A ．(m+n)(m 3+m 2n+n 3)；B ．(m-n)(m 2+n 2)；C ．(x+1)(x 2-x+1)；D ．(x 2+1)(x 2-x+1) 5(1)(y+3)(y 2-3y+9)；(2)(c+5)(25-5c+c 2)；(3)(2x-5)(4x 2+25+10x)22424222（5）81+（6）827- 四、已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。
完全立方和立方差公式记忆口诀
完全立方和立方差公式记忆口诀
嘿，咱来说说完全立方和立方差公式哈！
完全立方公式就是：(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³。
比如说，就像搭积木一样，a 就是那种大积木，b 就是小积木，(a+b)³就像是用大积木和小积木搭成的一个大城堡，里面有a³这个超级大的房间，还有3a²b、3ab²、b³这些不同的小空间呢！
立方差公式是：(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³。
这就好比从一个大城堡(a³)里拆掉一些小房间(3a²b、3ab²、b³)形成一个新的形状呀。
比如有个数是 8（2³），另一个数是 1（1³），那 (2-1)³不就是 1 嘛！
咱可一定要把这两个公式记好喽，以后做题那可就轻松多啦，不是吗？哎呀，是不是觉得数学也挺有意思的呀！。
立方与立方差公式
立方与立方差公式摘要：1.立方和立方差公式的定义与表示2.立方和立方差公式的性质3.立方和立方差公式的应用4.总结正文：立方和立方差公式是代数学中的基本公式之一，它们在解决各种数学问题中都有着广泛的应用。
下面，我们将详细介绍这两个公式，并探讨它们的性质和应用。
首先，我们来看立方和公式。
立方和公式是指，将一个数自乘三次，可以表示为三个相同因数的和。
具体来说，设a 为任意实数，则a 的立方和公式可以表示为：a^3 = a + a + a。
这个公式很直观，因为一个数的三次方就是该数自身加上自身两次。
接下来，我们看立方差公式。
立方差公式是指，两个数的立方差可以表示为它们的和与差的立方。
具体来说，设a 和b 为任意实数，则a 和b 的立方差公式可以表示为：(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3。
这个公式的推导需要一些代数技巧，但它在解决一些复杂的数学问题时非常有用。
那么，立方和立方差公式有哪些性质呢？首先，它们都是关于实数的恒等式，也就是说，对于任意实数，这两个公式都成立。
其次，立方和公式可以推广到多元情况，例如，四个实数的立方和可以表示为：a^3 + b^3 + c^3 +d^3 = (a + b + c + d)(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - ab - ac - ad - bc - bd - cd)。
立方和立方差公式在数学中有着广泛的应用。
例如，在微积分中，它们可以用来求解一些复杂的积分问题；在概率论中，它们可以用来求解一些复杂的概率分布问题；在物理学中，它们可以用来求解一些复杂的物理问题。
总的来说，立方和立方差公式是代数学中的基本公式，它们在解决各种数学问题中都有着广泛的应用。
3个数的立方和公式和立方差公式
3个数的立方和公式和立方差公式嘿，咱们来聊聊数学里超有趣的 3 个数的立方和公式以及立方差公式！先说说立方和公式，它就像是一个神秘的魔法咒语，能让复杂的计算变得轻松简单。
这公式是：(a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = a³ +b³ + c³ - 3abc 。
举个例子哈，比如说有三个数 2、3、4。
按照立方和公式来算，先算出 a² + b² + c² - ab - bc - ca 的值。
a = 2，b = 3，c = 4 时，a² = 4，b² = 9，c² = 16，ab = 6，bc = 12，ca = 8 。
那 a² + b² + c² - ab - bc - ca = 4 + 9 + 16 - 6 - 12 - 8 = 3 。
然后再乘以 (a + b + c) ，也就是 (2 + 3 + 4) ，结果就是 9 × 3 = 27 。
算出来 2³ + 3³ + 4³ - 3×2×3×4 正好也等于 27 ，神奇吧！再看看立方差公式，它是：(a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³。
我记得有一次给学生们讲这个公式的时候，有个小家伙一脸迷茫地看着我，说：“老师，这公式感觉好难记住啊！”我笑着跟他说：“别着急，咱们来玩个小游戏。
”我让他们把 a 和 b 当成自己喜欢的数字，然后一步步代入公式计算。
那个小家伙选了 5 和 2 ，算完之后眼睛一下子亮了，兴奋地说：“老师，我好像懂啦！”看着他那开心的样子，我心里也特别有成就感。
这两个公式在数学解题里可太有用啦！比如说遇到那种需要展开式子或者化简的题目，它们就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开解题的大门。
立方和与立方差公式的推导
立方和与立方差公式的推导立方和与立方差公式是数学中常见的两个公式，用于计算数的立方和和立方差。
它们在代数运算和数学推导中有着重要的应用。
我们来看立方和公式的推导。
假设有连续的n个数，分别为a, a+1, a+2, ..., a+(n-1)。
它们的立方和可以表示为S1= (a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 + ... + (a+(n-1))^3)。
为了推导立方和公式，我们可以先观察前几个立方和的数列，然后找出其中的规律。
当n=1时，立方和为a^3；当n=2时，立方和为(a^3 + (a+1)^3)；当n=3时，立方和为(a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3)。
根据这个规律，我们可以猜测立方和公式的一般形式。
接下来，我们来进行数学归纳法证明，以验证我们的猜测。
首先，当n=1时，立方和为a^3，符合我们的猜测。
假设当n=k时，立方和公式成立，即S1= (a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 + ... + (a+(k-1))^3)。
那么当n=k+1时，立方和为S2= (a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 + ... + (a+(k-1))^3 + (a+k)^3)。
我们可以将S2拆分为S1和(a+k)^3两部分，即S2= S1 + (a+k)^3。
根据归纳假设，S1可以用立方和公式表示，所以我们只需要将(a+k)^3加到S1中即可。
我们展开(a+k)^3的式子，可以得到(a+k)^3=a^3 + 3a^2k + 3ak^2 + k^3。
将这个式子代入S2中，可以得到S2= (a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 + ... + (a+(k-1))^3) +(a^3 + 3a^2k + 3ak^2 + k^3)。
通过整理和合并项，我们可以得到S2的简化形式，即S2= ((k+1)a^3 + 3a^2(k+1)(k/2) + 3a(k+1)(k/2)^2 + (k+1)^3(k/2)^3)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[文件] sxcdja0025.doc
[科目] 数学
[年级] 初一
[章节]
[关键词] 立方和/立方差
[标题] 立方和与立方差公式(一)
[内容]
立方和与立方差公式(一)
教学目标
1使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算；
2注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力.
教学重点和难点
重点：公式的推导.
难点：公式的正确运用.
课堂教学过程设计
一、从学生原有认知结构提出问题
前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么?
(公式1：(a+b)(a-b)＝a2-b2，公式2：(a±b)＝a2±2ab+b2，公式中的字母可以表示数、单项式，也可以表示多项式语言叙述略)
二、师生共同研究立方和与立方差公式
提问：对于(a+b)(a2-ab+b2)，(a-b)(a2+ab+b2)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢?(不能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则)
请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算
(a+b)(a2-ab+b2)
＝a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3
＝a3+b3
(a-b)(a2+ab+b2)
＝a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3
＝a3-b3
根据学生的板演提问：
1这两道多项式乘法计算的算式有什么特点?
(都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式)
2二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只有2项?(同类项合并)
3比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同?
(乘积项不一样完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘)
4等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系?
(左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积)
5比较这两个等式的异同
(两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同)
根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字
让学生看书，并让学生用语言叙述公式
三、运用举例 变式练习
例 计算：
(1)(3+2y)(9-6y+4y 2)； (2)(5a-21b 2)(25a 2+41b 4+2
5ab 2)； (3)(2x+1)(4x 2+2x+1)
第(1)题由师生共同解答，教师板演；第(2)、(3)题由学生板演
对于第(3)题，根据学生板演情况，教师正确引导，如果学生根据多项式乘法法财进行计算，那么教师给予肯定，并指出解题时一定要仔细观察算式是否符合公式的特点，若不符合公式的特点，则可用多项式乘法法则进行计算；如果学生直接用公式进行计算，那么请全体同学一起研究其错误的原因，并指出该题不能运用公式进行计算的道理；如果学生犹豫不决时，教师适当进行引导，通过同学之间互相帮助，使其顺利地完全计算
板演计算格式：
(1)解：原式＝32+(2y)3
＝27+8y 3；
(2)解：原式＝(5a)3
-(2
1b 2)3 ＝125a 3-81b 6； (3)解：原式＝8x 3+4x 2+4x 2+2x+2x+1
＝8x 3+8x 2+4x+1
课堂练习
1填空，使之符号立方和或立方差公式：
(1)(x-3)()＝x 3-27； (2)(2x+3)()＝8x 3+27；
(3)(x 2+2)()＝x 6+8； (4)(3a-2)()＝27a 3-8
思考题：在第1题中，有几种方法判断公式中的a 与b?
(有两种方法，①从二项的因式判断，②从积去判断，将积化为两数的立言和(或差)) 2填空，使之符号立言和或立方差公式：
(1)()(a 2+2ab+4b 2)＝__________； (2)()(9a 2-6ab+4b 2)＝__________；
(3)()(4
1 -xy+4y 2)＝__________； (4)()(m 4+4m 2+16)＝__________ 思考题：在第2题中，有几种方法判断公式中的a 与b?
3运用立方和与立方差公式计算：
(1)(y+3)(y 2-3y+9)； (2)(c+5)(25-5c+c 2)；
(3)(2x-5)(4x 2+25+10x)； (4)(
32a-21b)(94a 2+31ab+41b 2)； (5)(x 2-y 2)(x 4+x2y 2+y4)
四、发散思维 自编题目
由学生自编题目，要求能运用立方和与立方差公式进行计算，要求编得新颖、巧妙、与众不同针对学生编出的题目，师生共同检查
五、小结
至今为止，我们已经学习了五个乘法公式，其中立方和与立方差公式的结构特征最为和昨杂，大家一定要准确记忆、慎重使用
计算时同学们要注意两点：
1两步审查——对乘式的两个因式要分两步分别审查，即从二项式的因式判断公式中的a 与b，又从乘式的三项式看是否符合公式的使用条件，然后再运用公式
2记清运算结果是积的形式——a与b的立方和或立方差
六、作业
1运用乘法公式计算：
(1)(5-2y)(4y2+25+10y)； (2)(1+4x)(16x2+1-4x)；
(3)(2a-3b)(4a2+6ab+9b2)； (4)(-x-2y)(x2-2xy+4y2)；
(5)(y-x)(x2+xy+y2)； (6)(10-3)(9+30+100)
2计算：
(1)(x-1)(x2-x+1)； (2)(2a+b)(4a2-4ab+b2)；
(3)(b+5)(-5b+25+b2)； (4)(a-3)(a2+3a-9)
课堂教学设计说明
在上述教学设计过程中，我们充分考虑到了学生主体作用的发挥
首先，这节课的主题——立方和与立方差公式及其特点，都是由学生发现的，自己得出结论的其次，学生的活动不是停留在一种简单的、机械的操作活动上，而是立足于复杂的思维活动上就以编题来说，它要比单纯的套用公式所付出的思维劳动更多些后者的对象是在主体的眼前的，只要把对象与公式逐项比较就可完成，它可以说是看得见、摸得着的而前者，思维对象不在主体眼前，要主体根据公式特点，自己去寻找对象，发散性大，给学生创造的自由度大同时，在这过程中，一方面学生要动用他全部的知识经验；另一方面，在这过程中，要运用许多思维操作，如比较、类比、观察、想象、分析、综合等等
第三，教师随着学生的思路，及时的加以引导，而不是把学生的思路、想法，强拉到自己的思路上来为什么在数学教学中要发挥学生的主体作用?这也是由数学教学的特点决定的在数学教学中，学生学习的知识大多是前人总结的间接知识，并且在学习过程中，学生不断地发展他的认识能力，增强他们的才干这样，不管是学习知识，还是增强才干，都要学生亲自去实践、去体会，通过学生的动脑、动手，对学生来说是把未知的知识转变为已知的知识，并在这个转变过程中提高认识能力所以学生的学习过程是一个再发现、再创造的过程，这个过程只能由学生自己来完成，别人是无法取代的，而且没有学生主动、积极地活动，这个过程也是无法完成的。