[讲解]立方和与立方差公式
立方和立方差公式及知识点
立方和立方差公式及知识点理解立方差公式是高中数学应用比较广泛的数学公式之一，现在笔者就为大家讲述一下这个公式的相关知识点。
下面先来做一个简单的立方差公式的推导：(a+b) (a2-ab+b2)=a3 + a2 b- a2 b-a b2 +a b2 + b3=a3 + b3 (a-b) (a2+ab +b2)=a3-a2 b+a2 b-a b2+a b2-b3=a3-b3 ，这两个公式就是我们比较常用的公式之一的表现形式，我们在实际计算中一般是以复合知识点的形式开始出题的，这是我们值得注意的、来看看实际的应用中所会出现的问题：(1)(3 + 2y) (9 - 6y + 4 y2);本章节涉及的主要知识点是(a+b)(a2-ab+b2)，(a-b)(a2 +ab+b2)这两个式子的应用，在题型中主要是这两个公式的相互转化，进而化简，从而获取最优的解答方式，就此看来，本章节的主要重点知识点还是在于关系式的相互转化这一方面，现在咱们带着这个思考方向来回顾刚刚的考题，就例一来讲：(3+2y)(9-6y+4y2);这样一个式子，在你的脑海里根本就不能明确的看出其内部存在的解放，但是我们学过这一章节的知识点后，我们就有大致的思绪了，从样式来看属于(a+b)(a2-ab+b2)这一类式子的应用，这样我们就可以轻松的与之相靠，由(a+b)(a2-ab+b2)=a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3=a3+b3进而得出32+(2y)3 然后我们得出我们需要的结果，这样来讲我们这一章节的主要问题还在于关系式的相互把握，反顾来看看例二：复杂的分式外加上较多的位置量一下子就让我们麻木了，如何解题呢?我们这是应该冷静思考，经过详细的思考不难看出这一题与上述的(a-b)(a2+ab+b2)这种形式相类似，这样就简单多了，接下来就是死板硬套的公式转化了(a -b)(a2+ab+b2)=a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3=a3-b3这样我们所需的结果就一下子呈现出来，其实在这一章节中最为关键的还是同学们自己对于公式的把握，这种把握基于自己对于公式的理解，然后就是那种敏锐度，熟练的解题技巧将是使你战胜这类题型的首胜关键，所以在平时的练习中一定要注意的是我们。
什么是立方和公式立方和公式与立方差公式的推导过程
什么是立方和公式立方和公式与立方差公式的推导过程
关于数学公式，你们能顺利的说出哪几个呢?我们的数学公式，真的是越学越复杂了，现在店铺就带你们去看看什么是立方和公式，感兴趣的朋友们快过来看看哦。
什么是立方和公式
立方和公式是有时在数学运算中需要运用的一个公式。
该公式的文字表达为：两数和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和;表达式为：(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³。
立方和公式与立方差公式的推导过程
这个题目其实可以从反方向去理解，就是计算下面两个乘法公式：(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³
(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³
之后反过来记忆结果就可以。
如果非要从正面推导的话，可以选用添加项的方法，
如
a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²(a+b)-b(a²-b²)=a²(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)[a²-b(a-b)]=(a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²(a-b)+b(a²-b²)=a²(a-b)+b(a+b)(a-b) =(a-b)[a²+b(a+b)]=(a-b)(a²+ab+b²)。
完全立方和立方差公式
完全立方和立方差公式完全立方和立方差公式是数学中常见的两个公式，它们在代数和数论等领域有广泛的应用。
本文将为大家介绍这两个公式，并探讨它们的应用和意义。
一、完全立方公式完全立方公式是指一个整数的立方是由连续奇数相加得到的。
具体来说，一个整数n的立方可以写成n^3 = a + b + c + ...，其中a，b，c，...是连续的奇数。
例如，8的立方是8^3 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15，其中1到15是连续的奇数。
完全立方公式的应用非常广泛。
首先，在数论中，完全立方公式可以用来研究整数的性质和关系，如整数的分解和因子等。
其次，在代数中，完全立方公式可以用来求解一元三次方程，解决一些复杂的代数问题。
此外，在几何学中，完全立方公式可以用来计算和推导一些几何图形的性质，如立方体的体积和表面积等。
二、立方差公式立方差公式是指两个整数的立方之差可以用一些数的立方来表示。
具体来说，如果有两个整数a和b，那么它们的立方之差可以表示为a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)。
这个公式可以通过展开(a - b)(a^2 + ab + b^2)来验证。
立方差公式的应用也非常广泛。
首先，在因式分解中，立方差公式可以用来分解一个立方差，将其转化为更简单的因式。
其次，在代数中，立方差公式可以用来求解一些方程和不等式，简化计算过程。
此外，在几何学中，立方差公式可以用来计算和推导一些几何图形的性质，如立方体的对角线长度等。
三、完全立方和立方差公式的意义完全立方和立方差公式在数学中有重要的意义。
它们不仅可以帮助我们理解和解决一些数学问题，还可以拓展我们的思维和推理能力。
通过学习和应用这些公式，我们可以培养逻辑思维和数学思维，提高解决问题的能力。
完全立方和立方差公式的应用也不仅局限于数学领域。
在生活和工作中，我们也经常会遇到需要应用这些公式的情况，如物理学、工程学和计算机科学等领域。
立方和差公式口诀
立方和差公式口诀立方和：两项相加，第一平方，第二积之两乘；再乘一积之差，结果立方。
一平方之和，二积相减；再乘积之和，结果立方。
亦可约记为：(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3例子：1)2^3+3^3=(2+3)(2^2-2*3+3^2)=5*1=52)4^3+5^3=(4+5)(4^2-4*5+5^2)=9*(-6)=-54立方差：两项相减，第一平方，第二积之两乘；再乘一积之和，结果立方。
一平方之差，二积相加；再乘积之差，结果立方。
亦可约记为：(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3例子：1)6^3-4^3=(6-4)(6^2+6*4+4^2)=2*52=1042)8^3-7^3=(8-7)(8^2+8*7+7^2)=1*113=113立方和公式的推导：设(a + b)^3 = c，则展开式为c = a^3 +3a^2b + 3ab^2 + b^3、将式子视为多项式c = a^3 + b(b^2 + 3ab +3a^2)，可以发现，b(b^2 + 3ab + 3a^2)的部分其实是(b + a)^2的展开式中的(a^2 + 2ab)项。
所以，我们可以推导出立方和公式(a + b)^3 =a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3同样地，立方差公式的推导也是类似的。
设(a - b)^3 = d，则展开式为d = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3、将式子视为多项式d = a^3 -b(b^2 - 3ab + 3a^2)，可以发现，b(b^2 - 3ab + 3a^2)的部分其实是(b- a)^2的展开式中的(a^2 - 2ab)项。
所以，我们可以推导出立方差公式(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3立方和差公式在数学中有广泛的应用。
它可以帮助我们快速计算两个数的立方和或立方差，尤其在解决一些代数运算问题时非常有用。
初高中数学衔接第一讲---立方和与立方差公式
第一讲 立方和立方差公式【知识讲解】练习1 计算: 22()()a b a ab b +-+于是，我们得到：【立方和公式】3322))((b a b ab a b a +=+-+两个数的和．乘以它们的平方和与它们积的差．，等于这两个数的立方和．．．． 【例1】计算(1) 2(2)(24)x x x +-+（2）)416)(4(2m m m +-+(3) 22(25)(41025)a b a ab b +-+练习2 计算：))((22b ab a b a ++-我们得到：【立方差公式】3322))((b a b ab a b a -=++-两个数的差．乘以它们的平方和与它们积的和．，等于这两个数的立方差．．．． 【例2】计算：(1) 2(21)(421)x x x -++ (2) 22()()32964a b a ab b -++ 说明：在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【课堂小结】【立方和公式】 2233()()+-+=+a b aab b a b 【立方差公式】 2233()()a b a ab b a b -++=- 这就是说，两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)，等于这两个数的立方和(差)．【例3】计算：)164)(2)(2(24++-+a a a a1．填空，使之符合立方和或立方差公式：(1)(x －3)( )＝x 3－27；(2)(2x ＋3)( )＝8x 3＋27；(3)(x 2＋2)( )＝x 6＋8；(4)(3a －2)( )＝27a 3－8．2．填空，使之符合立方和或立方差公式：(1)( )(a 2＋2ab ＋4b 2)＝____ _________ ；(2)( )(9a 2－6ab ＋4b 2)＝___ ________ ；(3)（ ）221(4)4x xy y -+＝____ _______ ；(4)( )(m 4＋4m 2＋16)＝____ ________ 。
立方和与立方差的公式
立方和与立方差的公式立方和与立方差，这可是数学里的一对好朋友，绝对值得咱们好好聊聊。
说到立方，大家可能会想到那些满天星斗的数字，哦，真是让人眼花缭乱。
但是别担心，咱们不需要变成数学天才，只要掌握几个公式，就能轻松搞定这些立方的游戏。
先说说立方和的公式，简单明了，听着就像在说家常话：a³ + b³ = (a + b)(a² ab + b²)。
哎呀，这里有个加法，跟咱们日常生活中的聚会一样，大家一起来，热热闹闹。
想象一下，a和b就像是两个老友，彼此相聚，聊聊生活，顺便做点小生意。
哦，生意怎么做呢？把他们加在一起，得出个总数，然后再把各自的小故事展开来。
一个a 的平方，一个b的平方，再来个ab，这个组合就像是把老友的各种趣事汇聚成一本书，真是热闹非凡。
然后说说立方差，这个有点儿意思，给人一种神秘感。
公式是：a³ b³ = (a b)(a² + ab + b²)。
哦，这里有个减法，就像是两个朋友因为意见不合，暂时冷战了一下。
没关系，他们还是好朋友，只不过暂时在角落里发发牢骚。
然后他们又恢复了，接着把各自的平方和合在一起，这一小段感情的起伏，简直就是生活的真实写照。
咱们可以想象一下，生活中总有这样的时刻，朋友之间有欢笑有泪水，甚至因为一点小事闹别扭。
不过，回过头来，还是会一起分享快乐。
这就像是数学中的立方和与立方差，永远存在着相辅相成的关系。
生活也是如此，不是吗？开心和烦恼交替着，让我们的人生多姿多彩。
讲到这里，我想说，立方和与立方差的公式不仅是数学上的工具，更是生活中的哲理。
它们教会我们，合作与冲突，欢笑与泪水，都是人生的一部分。
就像是每一个方程式背后的故事，蕴藏着无尽的智慧。
听着，这些公式并不只是冰冷的数字，而是承载着生活百态的宝藏。
再想想，生活中每一次选择，就像是立方和与立方差之间的转变。
有时你需要和谐的立方和，把各种元素融为一体，有时又需要直截了当的立方差，清晰地划分出界限。
和立方公式与差立方公式
和立方公式与差立方公式立方公式和差立方公式是数学中常见的公式，用于计算数的立方和差的立方。
它们在代数运算和解析几何中具有广泛的应用。
在本文中，我们将详细介绍立方公式和差立方公式，并且探讨它们的应用和证明。
立方公式是指两个数的和的立方可以展开为两个数的立方和三倍两数的平方和六倍两数的乘积。
设两个数分别为a和b，则立方公式可以表示为：(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3这个公式可以用于计算两个数的和的立方。
它可以展开为四项之和，每一项分别代表一个数的立方和与两数乘积的乘积。
例如，如果a = 2，b = 3，则(a + b)^3 = 5^3 = 125、这可以很容易地通过计算a^3 +3a^2b + 3ab^2 + b^3的值得到。
差立方公式是指两个数的差的立方可以展开为两个数的立方差三倍两数的平方和六倍两数的乘积的负值。
设两个数分别为a和b，则差立方公式可以表示为：(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3这个公式可以用于计算两个数的差的立方。
它也可以展开为四项之和，每一项分别代表一个数的立方减去两数乘积的乘积的负值。
例如，如果a = 5，b = 2，则(a - b)^3 = 3^3 = 27、同样，这可以通过计算a^3 -3a^2b + 3ab^2 - b^3的值得到。
立方公式和差立方公式在代数运算中非常有用。
它们常用于化简表达式、计算多项式以及展开和因式分解方程。
通过应用这些公式，我们可以简化复杂的代数运算，并得到更简单的结果。
除了在代数运算中的应用之外，立方公式和差立方公式还在解析几何中发挥着重要的作用。
例如，当我们考虑一个立方体的体积时，可以使用立方公式来计算它的体积。
假设立方体的边长为a，则它的体积为a^3、类似地，当我们考虑一个立方体的表面积时，也可以使用立方公式来计算它的表面积。
假设立方体的边长为a，则它的表面积为6a^2、通过应用立方公式，我们可以快速计算出立方体的体积和表面积，而无需进行复杂的计算。
立方和、立方差公式
一、【立方和與立方差】我們可利用分配律來展開22()()a b a ab b +-+即可得到：22()()a b a ab b +-+= 322223a a b ab a b ab b -++-+= 33a b +因此，得到立方和公式：【範例】利用公式1展開下列各式：(1) 2(2)(24)x x x +-+ (2) 22(25)(41025)a b a ab b +-+【解】 (1) 由2(2)(24)x x x +-+=22(2)(22)x x x +-⋅+，與公式1比較可知，以x 取代a ，以2取代b ，可得2(2)(24)x x x +-+=332x +=38x +。
(2) 22(25)(41025)a b a ab b +-+=22(25)[(2)(2)(5)(5)]a b a a b b +-+=33(2)(5)a b +=338125a b +同樣的，我們可以展開22()()a b a ab b -++並經合併化簡後，而得到立方差公式：其實，只要把公式1中的b 以-b 代入，即可得公式2。
【範例】利用公式2展開下列各式：(1) 2(21)(421)x x x -++ (2) 22()()32964a b a ab b -++ 【解】 (1) 2(21)(421)x x x -++=22(21)[(2)(2)11]x x x -+⋅+=33(2)1x -=381x - (2) 22()()32964a b a ab b -++=22()[()()]323322a b a a b b -+⋅+ =33()()32a b - =33278-a b【類題練習】 (1) 試展開225(5)(25)224b ab b a a -++。
(2) 試展開2222(3)(2)(24)(39)x y x y x xy y x xy y -+-+++。
(3) 已知32x =，求2(3)(39)x x x -++的值。
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[讲解]立方和与立方差公式
[文件] sxcdja0025.doc
[科目] 数学
[年级] 初一
[章节]
[关键词] 立方和/立方差
[标题] 立方和与立方差公式(一)
[内容]
立方和与立方差公式(一) 教学目标
1 使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算;
2 注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力. 教学重点和难点
重点:公式的推导.
难点:公式的正确运用.
课堂教学过程设计
一、从学生原有认知结构提出问题
前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么?
2222(公式1:(a+b)(a-b),a-b，公式2:(a?b),a?2ab+b，公式中的字母可以表示数、单
项式，也可以表示多项式语言叙述略)
二、师生共同研究立方和与立方差公式
2222提问:对于(a+b)(a-ab+b)，(a-b)(a+ab+b)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢?(不能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则) 请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算
22(a+b)(a-ab+b)
322223,a+ab-ab-ab+ab+b
33,a+b 22(a-b)(a+ab+b)
322223,a-ab+ab-ab+ab-b
33,a-b
根据学生的板演提问:
1 这两道多项式乘法计算的算式有什么特点? (都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式)
2 二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只有2项?(同类项合并)
3 比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同? (乘积项不一样完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘)
4 等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系? (左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积)
5 比较这两个等式的异同
(两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个
负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同)
根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字
让学生看书，并让学生用语言叙述公式
三、运用举例变式练习
例计算:
2 (1)(3+2y)(9-6y+4y);
1152242(2)(5a-b)(25a+b+ab); 2422(3)(2x+1)(4x+2x+1)
第(1)题由师生共同解答，教师板演;第(2)、(3)题由学生板演对于第(3)题，根据学生板演情况，教师正确引导，如果学生根据多项式乘法法财进行计算，那么教师给予肯定，并指出解题时一定要仔细观察算式是否符合公式的特点，若不符合公式的特点，则可用多项式乘法法则进行计算;如果学生直接用公式进行计算，那么请全体同学一起研究其错误的原因，并指出该题不能运用公式进行计算的道理;如果学生犹豫不决时，教师适当进行引导，通过同学之间互相帮助，使其顺利地完全计算板演计算格式:
23(1)解:原式,3+(2y) 3 ,27+8y;
1323(2)解:原式,(5a)-(b) 2
136 ,125a-b; 8322(3)解:原式,8x+4x+4x+2x+2x+1
32 ,8x+8x+4x+1
课堂练习
1 填空，使之符号立方和或立方差公式:
33(1)(x-3)(),x-27; (2)(2x+3)(),8x+27; 263(3)(x+2)(),x+8; (4)(3a-
2)(),27a-8 思考题:在第1题中，有几种方法判断公式中的a与b? (有两种方法，?从二项的因式判断，?从积去判断，将积化为两数的立言和(或差))
2 填空，使之符号立言和或立方差公式: 2222(1)()(a+2ab+4b),__________;
(2)()(9a-6ab+4b),__________;
1242(3)()( -xy+4y),__________; (4)()(m+4m+16),__________ 4
思考题:在第2题中，有几种方法判断公式中的a与b? 3 运用立方和与立方差公式计算:
22(1)(y+3)(y-3y+9); (2)(c+5)(25-5c+c);
21411222(3)(2x-5)(4x+25+10x); (4)(a-b)(a+ab+b);32934
2242(5)(x-y)(x+x2y+y4)
四、发散思维自编题目
由学生自编题目，要求能运用立方和与立方差公式进行计算，要求编得新颖、巧妙、与众不同针对学生编出的题目，师生共同检查
五、小结
至今为止，我们已经学习了五个乘法公式，其中立方和与立方差公式的结构特征最为和昨杂，大家一定要准确记忆、慎重使用
计算时同学们要注意两点:
1 两步审查——对乘式的两个因式要分两步分别审查，即从二项式的因式判断公式中的a与b，又从乘式的三项式看是否符合公式的使用条件，然后再运用公式
2 记清运算结果是积的形式——a与b的立方和或立方差六、作业
1 运用乘法公式计算:
22(1)(5-2y)(4y+25+10y); (2)(1+4x)(16x+1-4x);
2222(3)(2a-3b)(4a+6ab+9b); (4)(-x-2y)(x-2xy+4y);
22(5)(y-x)(x+xy+y); (6)(10-3)(9+30+100) 2 计算: 222(1)(x-1)(x-x+1);
(2)(2a+b)(4a-4ab+b);
22(3)(b+5)(-5b+25+b); (4)(a-3)(a+3a-9)
课堂教学设计说明
在上述教学设计过程中，我们充分考虑到了学生主体作用的发挥首先，这节课的主题——立方和与立方差公式及其特点，都是由学生发现的，自己得出结论的其次，学生的活动不是停留在一种简单的、机械的操作活动上，而是立足于复杂的思维活动上就以编题来说，它要比单纯的套用公式所付出的思维劳动更多些后者的对象是在主体的眼前的，只要把对象与公式逐项比较就可完成，它可以说是看得见、摸得着的而前者，思维对象不在主体眼前，要主体根据公式特点，自己去寻
找对象，发散性大，给学生创造的自由度大同时，在这过程中，一方面学生要动用他全部的知识经验;另一方面，在这过程中，要运用许多思维操作，如比较、类比、观察、想象、分析、综合等等
第三，教师随着学生的思路，及时的加以引导，而不是把学生的思路、想法，强拉到自己的思路上来为什么在数学教学中要发挥学生的主体作用?这也是由数学教学的特点决定的在数学教学中，学生学习的知识大多是前人总结的间接知识，并且在学习过程中，学生不断地发展他的认识能力，增强他们的才干这样，不管是学习知识，还是增强才干，都要学生亲自去实践、去体会，通过学生的动脑、动手，对学生来说是把未知的知识转变为已知的知识，并在这个转变过程中提高认识能力所以学生的学习过程是一个再发现、再创造的过程，这个过程只能由学生自己来完成，别人是无法取代的，而且没有学生主动、积极地活动，这个过程也是无法完成的。