2019-立方和与差公式分解-文档资料
立方和立方差公式及知识点
立方和立方差公式及知识点理解立方差公式是高中数学应用比较广泛的数学公式之一，现在笔者就为大家讲述一下这个公式的相关知识点。
下面先来做一个简单的立方差公式的推导：(a+b) (a2-ab+b2)=a3 + a2 b- a2 b-a b2 +a b2 + b3=a3 + b3 (a-b) (a2+ab +b2)=a3-a2 b+a2 b-a b2+a b2-b3=a3-b3 ，这两个公式就是我们比较常用的公式之一的表现形式，我们在实际计算中一般是以复合知识点的形式开始出题的，这是我们值得注意的、来看看实际的应用中所会出现的问题：(1)(3 + 2y) (9 - 6y + 4 y2);本章节涉及的主要知识点是(a+b)(a2-ab+b2)，(a-b)(a2 +ab+b2)这两个式子的应用，在题型中主要是这两个公式的相互转化，进而化简，从而获取最优的解答方式，就此看来，本章节的主要重点知识点还是在于关系式的相互转化这一方面，现在咱们带着这个思考方向来回顾刚刚的考题，就例一来讲：(3+2y)(9-6y+4y2);这样一个式子，在你的脑海里根本就不能明确的看出其内部存在的解放，但是我们学过这一章节的知识点后，我们就有大致的思绪了，从样式来看属于(a+b)(a2-ab+b2)这一类式子的应用，这样我们就可以轻松的与之相靠，由(a+b)(a2-ab+b2)=a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3=a3+b3进而得出32+(2y)3 然后我们得出我们需要的结果，这样来讲我们这一章节的主要问题还在于关系式的相互把握，反顾来看看例二：复杂的分式外加上较多的位置量一下子就让我们麻木了，如何解题呢?我们这是应该冷静思考，经过详细的思考不难看出这一题与上述的(a-b)(a2+ab+b2)这种形式相类似，这样就简单多了，接下来就是死板硬套的公式转化了(a -b)(a2+ab+b2)=a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3=a3-b3这样我们所需的结果就一下子呈现出来，其实在这一章节中最为关键的还是同学们自己对于公式的把握，这种把握基于自己对于公式的理解，然后就是那种敏锐度，熟练的解题技巧将是使你战胜这类题型的首胜关键，所以在平时的练习中一定要注意的是我们。
立方和差公式口诀
立方和差公式口诀立方和：两项相加，第一平方，第二积之两乘；再乘一积之差，结果立方。
一平方之和，二积相减；再乘积之和，结果立方。
亦可约记为：(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3例子：1)2^3+3^3=(2+3)(2^2-2*3+3^2)=5*1=52)4^3+5^3=(4+5)(4^2-4*5+5^2)=9*(-6)=-54立方差：两项相减，第一平方，第二积之两乘；再乘一积之和，结果立方。
一平方之差，二积相加；再乘积之差，结果立方。
亦可约记为：(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3例子：1)6^3-4^3=(6-4)(6^2+6*4+4^2)=2*52=1042)8^3-7^3=(8-7)(8^2+8*7+7^2)=1*113=113立方和公式的推导：设(a + b)^3 = c，则展开式为c = a^3 +3a^2b + 3ab^2 + b^3、将式子视为多项式c = a^3 + b(b^2 + 3ab +3a^2)，可以发现，b(b^2 + 3ab + 3a^2)的部分其实是(b + a)^2的展开式中的(a^2 + 2ab)项。
所以，我们可以推导出立方和公式(a + b)^3 =a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3同样地，立方差公式的推导也是类似的。
设(a - b)^3 = d，则展开式为d = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3、将式子视为多项式d = a^3 -b(b^2 - 3ab + 3a^2)，可以发现，b(b^2 - 3ab + 3a^2)的部分其实是(b- a)^2的展开式中的(a^2 - 2ab)项。
所以，我们可以推导出立方差公式(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3立方和差公式在数学中有广泛的应用。
它可以帮助我们快速计算两个数的立方和或立方差，尤其在解决一些代数运算问题时非常有用。
立方和差公式的推导过程
立方和差公式的推导过程立方和差公式是指两个数的立方和或者差可以表示为一些项的和或差的形式。
具体来说，立方和差公式可以表示为：1. (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3。
2. (a b)^3 = a^3 3a^2b + 3ab^2 b^3。
现在我们来推导这两个公式。
首先，我们从(a + b)^3开始推导。
我们可以使用乘法公式展开(a + b)^3，即(a + b)(a + b)(a + b)。
根据分配律，我们可以将这个表达式展开为：(a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2)。
接下来，我们使用分配律展开这个表达式：a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2)。
得到：a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3。
合并相似项，得到：a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3。
这就是(a + b)^3的展开式，也就是立方和公式的推导过程。
接下来，我们来推导(a b)^3。
我们可以使用相同的方法展开(a b)^3，即(a b)(a b)(a b)。
根据分配律，我们可以将这个表达式展开为：(a b)(a^2 2ab + b^2)。
接下来，我们使用分配律展开这个表达式：a(a^2 2ab + b^2) b(a^2 2ab + b^2)。
得到：a^3 2a^2b + ab^2 a^2b + 2ab^2 b^3。
合并相似项，得到：a^3 3a^2b + 3ab^2 b^3。
这就是(a b)^3的展开式，也就是立方差公式的推导过程。
因此，立方和差公式的推导过程就是使用乘法公式展开(a + b)^3和(a b)^3，然后使用分配律进行展开和合并相似项，最终得到立方和差的展开式。
立方和公式和立方差公式记忆口诀
立方和公式和立方差公式记忆口诀一、立方和公式的记忆口诀大家好，今天我要给大家讲一个关于立方和公式的知识。
立方和公式是一个非常重要的数学概念，它在我们的日常生活中有着广泛的应用。
那么，如何记住这个公式呢？其实，有一个非常简单易记的方法，就是“一一对应法”。
我们来看一下什么是立方和公式。
立方和公式是这样的：对于任意一个数a,有a3+a2-a+1=0。
这个公式看起来很复杂，但是只要我们掌握了它的规律，就能够轻松地记住它。
接下来，我就要给大家介绍这个公式的规律了。
我们可以把这个公式分成三部分来看：第一部分是a3,第二部分是a2,第三部分是1。
然后，我们可以发现，这三部分之间存在着一种特殊的关系。
具体来说，就是第一部分加上第二部分再减去第三部分，结果总是等于0。
这就是立方和公式的规律。
通过这种方法，我们就可以轻松地记住立方和公式了。
如果你觉得这种方法还不够直观的话，还可以自己画一个图形来帮助记忆。
比如说，你可以画一个正方形，然后把每个顶点上的数字都表示成立方和的形式。
这样一来，你就可以更直观地理解立方和公式了。
二、立方差公式的记忆口诀好了，现在我们已经知道了立方和公式，接下来我要给大家讲的是另一个非常重要的数学概念——立方差公式。
立方差公式也是一个非常有用的工具，它可以帮助我们解决很多实际问题。
那么，如何记住这个公式呢？其实，也有一个非常简单易记的方法，就是“一一对应法”。
我们来看一下什么是立方差公式。
立方差公式是这样的：对于任意三个数a、b、c,有(a-b)3=a3-3ab+3b3-b3。
这个公式看起来也很复杂，但是只要我们掌握了它的规律，就能够轻松地记住它。
接下来，我就要给大家介绍这个公式的规律了。
我们可以把这个公式分成三部分来看：第一部分是(a-b),第二部分是a3-3ab,第三部分是3b3-b3。
然后，我们可以发现，这三部分之间也存在着一种特殊的关系。
具体来说，就是第一部分的三次方加上第二部分减去第三部分的结果总是等于0。
立方和与立方差公式
3n
3n
B） x ）
y
3n
C） x3n + 75y 3n ） D） x + 125y ）
3n 3n
例2 计算 ( a 1)( a
2
a + 1)
1、对于上式的计算有以下几种说法，你认为那几 对于上式的计算有以下几种说法， 种合理（ 种合理（ ） 不符合立方和或立方差公式的特征， ①不符合立方和或立方差公式的特征，因此只能 用多项式的乘法法则进行运算。 用多项式的乘法法则进行运算。 直接用立方差公式计算， 相当于公式中的“ ②直接用立方差公式计算， a相当于公式中的“a ”， 1”相当于公式中的 ” 相当于公式中的“ “1”相当于公式中的“b 。 将第一个因式变为“ ③将第一个因式变为“ ( a + b)”后，然后用立方 和公式计算。 和公式计算。
3
2 2
B）( a b)( a + b +L) ） C） C）( a + b)( a + b +L)
2 2
Q (a b)(a + b ) = a + ab a b b
2 2 3 2 2
3
∴ (a b)(L) = a b ab
2
2
A） ）
a
B） b ） C） ab ）
) 2） ( a + b（ ）
3
x + 75
3
D） x + 125
3
例3 计算
(a 2b)(a + 2b)(a + 2ab + 4b )(a 2ab + 4b )
2 2 2 2
练习 计算 1 1）(3 x 2 y )(9 x + 6 xy + 4 y )(27 x 8 y )
立方差和立方和公式及其推导
立方差和立方和公式及其推导
（1）立方差公式及推导立方差是指数据集中的每一个数据值与平均值之差的三次方之和。
立方差公式： $$C_3=\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^3$$ 其中$x_i$表示样本数据，$\overline{x}$表示样本数据的平均值。
推导过程：设样本数据的总数为n，即：$X=(x_1,x_2,…,x_n)$ 样本数据的平均值为
$\overline{x}$，即： $\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$ 令$t_i=x_i-
\overline{x}$，则$t_i$表示样本数据 $x_i$ 与平均值 $\overline{x}$ 的差值。
根据定义，立方差由$n$个三次方和组成，即： $C_3=\sum_{i=1}^n(x_i-
\overline{x})^3 = \sum_{i=1}^nt_i^3$ （2）立方和公式及推导立方和是指数据集中每个数据值的三次方之和。
立方和公式： $$S_3=\sum_{i=1}^n
x_i^3$$ 其中$x_i$表示样本数据。
推导过程：设样本数据的总数为n，即：$X=(x_1,x_2,…,x_n)$ 根据定义，立方和由$n$个三次方组成，即：
$S_3=\sum_{i=1}^n x_i^3$。
立方和立方差公式及知识点
立方和立方差公式及知识点理解立方差公式是高中数学应用比较广泛的数学公式之一，现在笔者就为大家讲述一下这个公式的相关知识点。
下面先来做一个简单的立方差公式的推导：(a+b) (a2-ab+b2)=a3 + a2 b- a2 b-a b2 +a b2 + b3=a3 + b3 (a-b) (a2+ab +b2)=a3-a2 b+a2 b-a b2+a b2-b3=a3-b3 ，这两个公式就是我们比较常用的公式之一的表现形式，我们在实际计算中一般是以复合知识点的形式开始出题的，这是我们值得注意的、来看看实际的应用中所会出现的问题：(1)(3 + 2y) (9 - 6y + 4 y2);本章节涉及的主要知识点是(a+b)(a2-ab+b2)，(a-b)(a2 +ab+b2)这两个式子的应用，在题型中主要是这两个公式的相互转化，进而化简，从而获取最优的解答方式，就此看来，本章节的主要重点知识点还是在于关系式的相互转化这一方面，现在咱们带着这个思考方向来回顾刚刚的考题，就例一来讲：(3+2y)(9-6y+4y2);这样一个式子，在你的脑海里根本就不能明确的看出其内部存在的解放，但是我们学过这一章节的知识点后，我们就有大致的思绪了，从样式来看属于(a+b)(a2-ab+b2)这一类式子的应用，这样我们就可以轻松的与之相靠，由(a+b)(a2-ab+b2)=a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3=a3+b3进而得出32+(2y)3 然后我们得出我们需要的结果，这样来讲我们这一章节的主要问题还在于关系式的相互把握，反顾来看看例二：复杂的分式外加上较多的位置量一下子就让我们麻木了，如何解题呢?我们这是应该冷静思考，经过详细的思考不难看出这一题与上述的(a-b)(a2+ab+b2)这种形式相类似，这样就简单多了，接下来就是死板硬套的公式转化了(a -b)(a2+ab+b2)=a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3=a3-b3这样我们所需的结果就一下子呈现出来，其实在这一章节中最为关键的还是同学们自己对于公式的把握，这种把握基于自己对于公式的理解，然后就是那种敏锐度，熟练的解题技巧将是使你战胜这类题型的首胜关键，所以在平时的练习中一定要注意的是我们。
立方和差公式口诀
立方和差公式口诀立方和差公式是初中数学中比较重要的公式之一，它的应用范畴非常广泛，主要用来求某些特殊类型的多项式。
在学习和应用立方和差公式时，不仅需要记住它的公式式子，还需要灵活运用。
接下来，我将以“口诀”的形式，向大家介绍立方和差公式以及其常见应用。
一、理论基础1）$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$2）$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$在这个公式中，a和b都是表达式，可以是数字、变量或其他形式的表达式。
二、立方和差公式的口诀下面是一些有关立方和差公式的口诀，这些口诀将会帮助你记住这个公式，并且可以在日常学习中快速灵活的运用。
1）立方和差公式，两式两神奇。
2）三次方凑和减，约分有窍门。
3）和式拆括号，乘法配补全。
4）差式也不难，别忘加运算。
5）平方算成功，三次方可更进。
三、立方和差公式的常见应用1）因式分解：立方和差公式可以用于因式分解，将一个多项式拆分成一些可约简的形式，例如：$某^3 + y^3 + z^3 - 3某yz = (某 + y + z)(某^2 + y^2 + z^2 - 某y - yz - 某z)$$(某-y)^3=某^3-3某^2y+3某y^2-y^3$2）消元：立方和差公式可以用于消元，将一个多项式中的某个变量用另一个变量代替，例如：$某y(某^2+y^2)-(某^3y+某y^3)=某^3-y^3$可以用立方和差公式进行转化，先将左边的式子进行约分，再使用立方和差公式得到：$(某-y)(某^2-某y+y^2)(某y+某^2+y^2)=某^3-y^3$然后将$某^3-y^3$用立方和差公式转化为$(某-y)(某^2+某y+y^2)$，就可以将$某^3-y^3$代入式子中消元得到：$(某-y)^2(某^2-某y+y^2)(某y+某^2+y^2)=(某-y)(某^2+某y+y^2)$将式子化简即可得到：$(某-y)(某^2-某y+y^2)(某y^2-某^2y+某^3+y^3)=0$3）检验公式：立方和差公式也可以用于检验答案的正确性，例如：求证：$某^3 + y^3 + z^3 - 3某yz = (某 + y + z)(某^2 + y^2 + z^2 - 某y - yz - 某z)$首先，将右侧的括号展开：$(某 + y + z)(某^2 + y^2 + z^2 - 某y - yz - 某z) = (某^3 + y^3 + z^3) + (某y^2 + 某^2y + yz^2 + z^2y + 某z^2 + z^2某) - 3某yz$。