第十章科学计算与数学建模—— 统计预测方法及预测模型
数学建模讲座--预测模型
年份
1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973
时序 （ t） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
总额 （ yt ） 604.5 638.2 670.3 732.8 770.5 737.3 801.5 858.0 929.2 1023.3 1106.7
k
(一) 直线趋势外推法
适用条件：时间序列数据（观察值）呈直线 上升或下降的情形。 该预测变量的长期趋势可以用关于时间 的直线描述，通过该直线趋势的向外延伸 （外推），估计其预测值。 两种处理方式：拟合直线方程与加权拟合直线 方程
例 3.1 某家用电器厂 1993～2003 年利润额数据资料如表 3.1 所示。试预测 2004、2005年该企业的利润。
二 、趋势外推法经常选用的数学模型
根据预测变量变动趋势是否为线性，又分为线性趋势外推法 和曲线趋势外推法。
ˆt b0 b （一）线性模型y 1t （二）曲线模型 1.多项式曲线模型 2.简单指数曲线模型 3.修正指数曲线模型 4.生长曲线模型 （龚珀资曲线模型）
2
ˆt b0 b1t b2t bk t y 多项式模型一般形式：
预测模型简介
数学模型按功能大致分三种： 评价、优化、预测 最近几年，在大学生数学建模竞赛常常出 现预测模型或是与预测有关的题目：
1.疾病的传播； 2.雨量的预报； 3.人口的预测。
统计预测的概念和作用
（一）统计预测的概念
概念: 预测就是根据过去和现在估计未来，预测未来。 统计预测属于预测方法研究范畴，即如何利用科学的统计 方法对事物的未来发展进行定量推测.
统计预测方法及预测模型
• 运算过程：
中南大学
统 计 预 测
ˆt ) 2 离差平方和 et ( yt y
(二)统计预测的步骤
确定预测目的 搜索和审核资料
选择预测模型和方法
分析预测误差，改进预测模型
提出预测报告
10.2
10.2.1 10.2.2
趋势外推法
趋势外推法概述 多项式曲线趋势外推法
10.2.3
10.2.4 10.2.5
指数曲线趋势外推法
生长曲线趋势外推法 曲线拟合优度分析
统 计 预 测
趋势外推法的基本思想
1993 200
1994 300
1995 350
1996 400
1997 500
1998 630
1999 700
利润额 yt
y a
2002 2003
中南大学
y ae
10000
统 bt 计 预 测
总需求量（件）
9000
y a bx cx
45 45 40 40 35 35 30 30 25 25 20 20 15 15 10 10 55 00
10.2.1
趋势外推法概述
一、趋势外推法概念和假定条件
趋势外推法概念：
当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的 季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就 可以用趋势外推法进行预测。 运用趋势外推法进行预测是基于两个基本假设： 一是决定过去预测对象发展的因素，在很大程度上仍将决定其未 来的发展； 二是预测对象发展过程一般是渐进变化，而不是跳跃式变化。 趋势外推法的突出特点是选用一定的数学模型来拟合预测变量的变 动趋势，并进而用模型进行预测。
● 某些客观事物的发展变化相对于时间推移，常表现出一定的规律性：
数学建模 预测类 算法
数学建模预测类算法
数学建模是利用数学方法对实际问题进行建模和求解的过程。
预测类算法是指利用历史数据和数学模型来预测未来事件或结果的
算法。
数学建模在预测类算法中发挥着重要作用，通过建立合适的
数学模型，可以对未来事件进行预测和分析。
预测类算法可以分为
很多种类，比如回归分析、时间序列分析、神经网络、决策树、支
持向量机等。
这些算法可以应用在各种领域，如金融、医疗、气象、交通等，用来预测股票走势、疾病传播趋势、天气变化、交通拥堵等。
数学建模和预测类算法的结合可以帮助人们更好地理解和预测
未来事件，为决策提供参考依据。
在实际应用中，需要根据具体问
题的特点选择合适的数学建模方法和预测类算法，并结合计算机编
程进行实现和分析。
同时，还需要对模型进行评估和优化，以提高
预测的准确性和可靠性。
总的来说，数学建模和预测类算法为我们
提供了强大的工具，可以帮助我们更好地理解和预测未来的事件和
趋势。
掌握数据科学中的预测模型
掌握数据科学中的预测模型在当今这个数字化的时代，数据科学的重要性日益凸显。
其中，预测模型作为数据科学的一个关键领域，具有极其重要的应用价值。
无论是企业的市场预测、医疗领域的疾病预测，还是气象部门的天气预测，都离不开预测模型的支持。
那么，究竟什么是预测模型？我们又该如何掌握它呢？首先，我们来理解一下预测模型的基本概念。
简单来说，预测模型就是一种基于历史数据和相关因素，通过数学和统计学方法构建的模型，用于对未来的情况进行预测。
它就像是一个“水晶球”，能够根据过去的经验和规律，为我们揭示未来可能的发展趋势。
要掌握预测模型，第一步是要熟悉数据。
数据是构建预测模型的基石，没有高质量的数据，就无法建立准确有效的预测模型。
数据的收集应该具有广泛性和代表性，涵盖尽可能多的相关因素和样本。
同时，还要对数据进行清洗和预处理，去除噪声和异常值，以保证数据的准确性和可靠性。
在有了可靠的数据之后，接下来就是选择合适的预测方法。
常见的预测方法包括线性回归、逻辑回归、决策树、随机森林、神经网络等。
每种方法都有其适用的场景和特点。
比如，线性回归适用于变量之间存在线性关系的情况；决策树则擅长处理具有多个分类变量的问题；而神经网络在处理复杂的非线性关系时表现出色。
以线性回归为例，它假设自变量和因变量之间存在线性关系，通过最小二乘法来确定模型的参数。
假设我们要预测房屋的价格，可能会选取房屋的面积、房间数量、地理位置等因素作为自变量，房屋价格作为因变量。
通过收集大量的房屋交易数据，运用线性回归模型，就可以得到一个能够根据房屋的特征来预测价格的模型。
然而，实际情况往往比简单的线性关系复杂得多。
这时，我们可能需要用到更复杂的模型，如随机森林。
随机森林是由多个决策树组成的集成模型，通过综合多个决策树的预测结果来提高预测的准确性。
它能够处理大量的自变量，并且对于数据中的噪声和异常值具有较好的鲁棒性。
在选择了合适的预测方法后，还需要对模型进行训练和优化。
数学建模统计预测方法及预测模型
利润额yt 200 300 350 400
1200
1000
利润额 yt
500 630 700 750 850 950 1020
800
600
400
y a
200
0
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
中南大学
统计预测
y a ebt
y a1 b1x
?
中南大学
★ 最小二乘法原理 ★
• 概念：离差与离差平方
12
y6
10
e
8
yˆ6
6
e
4
2
0
1
2
3
4
5
6
统计预测
离差：et yt yˆt
n
n
离差和： et ( yt yˆt )
t 1
t 1
n
n
离差平方和 ei2 ( yt yˆt )2
t 1
t 1
最小
拟合程度最好
时序 （t）
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
总额 （ yt ） 1163.6 1271.1 1339.4 1432.8 1558.6 1800.0 2140.0 2350.0 2570.0 2849.4
统计预测方法是一种具有通用性的方法。 统计预测的三个要素：
❖ 实际资料是预测的依据； ❖ 理论是预测的基础； ❖ 数学模型是预测的手段。
2000
1000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
某商场过去9年市场需求量统计数据
科学计算与数学建模智慧树知到课后章节答案2023年下中南大学
科学计算与数学建模智慧树知到课后章节答案2023年下中南大学中南大学第一章测试1.以下哪种误差可以完全避免？答案:过失误差2.关于误差的衡量，哪个是不准确的？答案:估计误差3.进行减法运算时，要尽量做到（）？答案:避免相近的近似数相减4.算法的计算复杂性可以通过来衡量?答案:算法的时间复杂度5.在数学建模过程中，要遵循尽量采用 ( ) 的数学工具这一原则，以便更多人能了解和使用?答案:简单第二章测试1.若n+1个插值节点互不相同，则满足插值条件的n次插值多项式（）？答案:唯一存在2.三次样条函数的插值条件中，最多可以插值于给定数据点的阶导数？答案:23.当要计算的节点x 靠近给定数据点终点xn时，选择公式比较合适？答案:Newton向后插值4.n+1 个点的插值多项式，其插值余项对f（x）一直求到（）阶导数？答案:n+15.三次样条插值只需要插值节点位置即可。
答案:错第三章测试1.有4个不同节点的高斯求积公式的代数精度是答案:72.复合Simpson求积公式具几阶收敛性答案:33.答案:24.以下哪项不属于数值求积的必要性？答案:f（x）的不能用初等函数表示。
5.辛普森公式又名（）？答案:抛物线公式第四章测试1.下面关于二分法的说法哪个错误的（）？答案:只要步长足够小，用二分法可以求出方程的所有根。
2.二分法中求解非线性方程时，分割次数越多得出的根越精确？答案:错3.将化成的结果是唯一的？答案:错4.答案:(1)和(2)5.答案:第五章测试1.式Ax=b中，n阶矩阵A =（a ij）n×n为方程组的矩阵？答案:系数2.如果 L是单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵，此时是三角分解称为克劳特（Crout）分解；若 L 是下三角矩阵，而 U 是单位上三角矩阵，则称三角分解为杜利特（Doolittle）分解？答案:错3.LU分解实质上是Gauss消去法的矩阵形式。
答案:对4.若n阶非奇异矩阵A的前n-1阶顺序主子式有的为0，则可以在A的左边或右边乘以初等矩阵，就将A的行或列的次序重新排列，使A的前n-1阶顺序主子式非0，从而可以进行三角分解？答案:对5.采用高斯消去法解方程组时, 小主元可能产生麻烦,故应避免采用绝对值小的主元素？答案:对第六章测试1.运用迭代法求解线性方程组时，原始系数矩阵在计算过程中始终不变？答案:对2.迭代法不适用于求解大型稀疏系数矩阵方程组？答案:错3.迭代法可以求解出线性方程组的解析解？答案:错4.答案:5.答案:第七章测试1.答案:p2.答案:1.00003.答案:对4.当 k=0 时，Adams内插法就是Euler法。
第十章 统计预测方法及预测模型
第十章统计预测方法及预测模型预测就是根据事物发展的过去、现在预计事物发展的将来．统计预测就是以实际统计资料为基础，根据社会经济现象的特点、内在联系和发展规律，运用统计分折和数学模型等科学方法，对社会经济发展的趋势、未来状况以及与之相联系的各种因素的变化进行测算、分析、预测，从而为科学决策提供依据的行为．10.1统计预测的基本问题统计预测法（Statistical Forecast Method）是根据过去的情况和资料建立数学模型并由此对未来趋势作出预测的一种非主观方法．常用的统计预测法有比例趋势分析法、经济计量模型法、一元线性回归预测、多元线性回归预测、非线性回归预测等．10.1.1统计预测的概念和作用1. 统计预测的概念预测就是根据过去和现在估计未来、预测未来．统计预测就是根据统计资料或相关的定性资料,通过统计分析,应用统计模型,对未来不确定事件的数量方面,或数量方面的未来前景所作的预测．统计预测属于预测方法研究范畴，即如何利用科学的统计方法对事物的未来发展进行定量推测．统计预测方法是一种具有通用性的方法，它有三个要素：(1) 实际资料是预测的依据；(2) 理论是预测的基础；(3) 数学模型是预测的手段．2. 统计预测的作用在市场经济条件下，预测的作用是通过各个企业或行业内部的行动计划和决策来实现的.统计预测作用的大小取决于预测结果所产生的效益的多少．影响预测作用大小的因素主要有：(1) 预测费用的高低；(2) 预测方法的难易程度；(3) 预测结果的精确程度．10.1.2统计预测方法的分类和选择1. 统计预测方法的分类统计预测方法可归纳为定性预测方法和定量预测方法两类，其中定量预测法又可大致分为趋势外推预测法、时间序列预测法和回归预测法.按预测时间的长短可分为近期预测、短期预测、中期预测和长期预测.按预测是否重复可分为一次性预测和反复预测．2. 统计预测方法的选择选择统计预测方法时，主要考虑下列三个问题：(1) 合适性；(2) 费用；(3) 精确性．3. 定量预测定量预测也称统计预测，它是根据已掌握的比较完备的历史统计数据，运用一定的数学方法进行科学的加工整理，借以揭示有关变量之间的规律性联系，用于预测和推测未来发展变化情况的一类预测方法．常用的方法如表10-1所示.表10-1 统计预测常用方法表10.1.3统计预测的原则和步骤1. 统计预测的原则在统计预测中的定量预测要使用模型外推法，使用这种方法有两条重要的原则： (1) 连贯原则，是指事物的发展是按一定规律进行的，在其发展过程中，这种规律贯彻始终，不应受到破坏，它的未来发展与其过去和现在的发展没有什么根本的不同.(2) 类推原则，是指事物必须有某种结构，其升降起伏变动不是杂乱无章的，而是有章可循的．事物变动的这种结构性可用数学方法加以模拟，根据所测定的模型，类比现在，预测未来．2.统计预测的步骤统计预测可以按照以下步骤进行：10.2趋势外推预测10.2.1趋势外推法概述1. 趋势外推法概念和假定条件当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测．趋势外推法的两个假定：(1) 假设事物发展过程没有跳跃式变化.(2) 假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，其条件是不变或变化不大．2. 趋势模型的种类 1) 多项式曲线外推模型一次（线性）预测模型：01ˆt yb b t =+； 二次（二次抛物线）预测模型：2012ˆt yb b t b t =++； 三次（三次抛物线）预测模型：332210ˆt b t b t b b yt +++=； 一般模型形式：k k t t b t b t b b y++++= 2210ˆ. 2) 指数曲线预测模型一般形式：bt t ae y=ˆ 修正的指数曲线预测模型：t t bc a y+=ˆ； 对数曲线预测模型：t b a yt ln ˆ+=； 生长曲线趋势外推法：btt aey-+=11ˆ；皮尔曲线预测模型：ˆtb t yka =. 3. 趋势模型的选择1) 图形识别法这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时间序列的数据绘制成以时间t 为横轴，时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型．2) 差分法利用差分法把数据修匀，使非平稳序列变为平稳序列． 一阶向后差分可以表示为1--=t t t y y y ；二阶向后差分可以表示为2112---+-=-=t t t t t t y y y y y y . 差分法识别标准如表10-2所示.表10-2 差分法识别标准10.2.2多项式曲线趋势外推法 1. 二次多项式曲线模型及其应用 二次多项式曲线预测模型为2210ˆt b t b b yt ++=. 设有一组统计数据n y y y ,,,21⋅⋅⋅， 令()()()∑∑==---=-=nt nt tt ttb t b b yyyb b b Q 12122102210ˆ,,，使其取最小值，即201211123012111122340121111 , , .n n ntt t t n n n nt t t t t n n n n t t t t t y nb b t b t ty b t b t b t t y b t b t b t ===========⎧=++⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 解这个三元一次方程就可求得参数．例10.1 表10-3是我国1952～1983年社会商品零售总额（按当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额．表10-3 我国1952～1983年社会商品零售总额表 （（（ (1) 以社会商品零售总额为y 轴，年份为x 轴，对数据画折线图如 图10-1所示.图10-1社会商品零售总额(2) 从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合的模型有二次曲线和指数曲线模型．但无法确定哪一个模型能更好地拟合该曲线，所以我们将分别对这两种模型进行参数拟合． 适用的二次曲线模型为2210ˆt b t b b yt ++=； 适用的指数曲线模型为bt t ae y=ˆ. (3) 进行二次曲线拟合．首先产生序列2t ，然后运用普通最小二乘法对模型各参数进行估计，得到估计模型为229.333.4424.577ˆt t y+-=， 其中调整的()29,2290,9524.005.02F F R >==，则方程通过显著性检验，拟合效果很好，标准误差为151.7．(4) 进行指数曲线模型拟合．对模型bt t ae y=ˆ 两边取对数，得bt a yt +=ln ˆln ， 由此产生序列t yˆln ，之后进行普通最小二乘估计该模型．最终得到估计模型为 t yt 0627.069.303ln ˆln +=， 即t t e y0627.069.303ˆ⨯=， 其中调整的()30,16.632,9547.005.02F F R >==，方程通过显著性检验，拟合效果很好，标准误差为175.37．(5) 通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采用二次曲线模型拟合的效果更好．因此，运用方程229.333.4424.577ˆt t y+-=， 进行预测将会取得较好的效果．2. 三次多项式曲线预测模型及其应用 三次多项式曲线预测模型为332210ˆt b t b t b b yt +++=. 设有一组统计数据n y y y ,,,21⋅⋅⋅，令 ()()()∑∑==----=-=nt nt tt ttb t b t b b yyyb b b b Q 12133221023210ˆ,,,，使其取最小值，即23012311112340123111112234501231111133456012311111,,,.nn nnt t t n t n nnnnt t t n t t nnnnnt t t t t t n nnnnt t t t t t y nb b t b t b t ty b t b t b t b t t y b t b t b t b t t y b t b t b t b t ===================⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎪⎨⎪=+++⎪⎪=+++⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑⎪⎪解这个四元一次方程就可求得参数．10.2.3指数曲线趋势外推法 1. 指数曲线模型及其应用 指数曲线预测模型为bt t ae y=ˆ，()0>a 两边取对数，得bt a y t +=ln ln ，令ln ,ln t t Y y A a ==，则t Y A bt =+.这样，就把指数曲线模型转化为直线模型了．2. 修正指数曲线模型及其应用 修正指数曲线预测模型为t t bc a y+=ˆ. 10.2.4生长曲线趋势外推法1. 龚珀兹曲线模型及其应用 龚珀兹曲线预测模型为tb t ka y=ˆ. 对函数模型tb t ka y=ˆ作线性变换，得 ˆlg lg lg t t yk b a =+. 龚珀兹曲线对应于lg a 与b 的不同的取值范围而具有间断点，曲线形式如图10-2所示．(a)lg 0<,01b <<，其中渐进 (b)lg 0a <,1b >，其中渐进 线()k 意味着市场对某类产品的 线()k 意味着市场对某类产品的 需求已逐渐接近饱和状态 需求已由饱和状态开始下降(c)lg 0a >,1o b <<，其中渐 (d) lg 0a >,1b >，其中渐进 进线()k 意味着市场对某类产品 线()k 意味着市场对某类产品 的需求下降迅速，已接近最低水平k 的需求从最低水平k 迅速上升图10-2龚珀兹曲线对应于lga 与b 不同取值的情况2. 皮尔曲线模型皮尔曲线预测模型为btt aeL y -+=1.10.2.5曲线拟合优度分析如前所述，实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种模型，而是与几种模型接近．这时，一般先初选几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究竟用哪一种模型．拟合优度指标：评判拟合优度的好坏一般使用样本可决系数2R 或标准误差SE 来作为拟合效好坏的指标，即()()222ˆ11i iiY Y ESS RSS R TSSTSSYY-==-=--∑∑,SE =其中：T SS (Total Sum of Squares)为总体平方和()22ˆi i y Y Y=-∑∑；E SS (Explained Sum of Squares)为回归平方和()22ˆˆiiyY Y =-∑∑；R SS (Residual Sum of Squares)为残差平方和()2ˆi i Y Y -∑.10.3时间序列的确定性因素分析10.3.1 确定性因素分解传统的因素分解方法有：长期趋势(T)、循环波动(C)、季节性变化(S)、随机波动(I). 现在的因素分解方法有：长期趋势波动(T)、季节性变化(S)、随机波动(I).分解的模型有：(1) 加法模型：t t t t I T S x ++=； (2) 乘法模型：t t t t I T S x ⋅⋅=；(3) 混合模型：t t t t I T S x +⋅=，)(t t t t I T S x +=.确定性时序分析的目的：克服其他因素的影响，单纯测度出某一个确定性因素对序列的影响；推断出各种确定性因素彼此之间的相互作用关系及它们对序列的综合影响．10.3.2 趋势分析趋势分析目的：有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分析的目的就是要找到序列中的这种趋势，并利用这种趋势对序列的发展作出合理的预测．常用方法有趋势拟合法和平滑法．1. 趋势拟合法趋势拟合法就是把时间作为自变量，相应的序列观察值作为因变量，建立序列值随时间变化的回归模型的方法．其类型有线性拟合和非线性拟合．1) 线性拟合使用场合：长期趋势呈现出线形特征．其模型结构为()()⎩⎨⎧=++=t t tt I Var I E I bt a x ,0例10.2澳大利亚政府1981～1990年每季度的消费支出序列如图10-3所示，试对此序列进行拟合．图10-3澳大利亚政府1981～1990年每季度的消费支出序列线性拟合模型)()(),1,2,,400,.t t t t x a bt I t E I Var I =++⎧=⎨=⎩运用最小二乘估计，得参数估计值：12.89,69.8498^^==b a .拟合效果如图10-4所示.图10-4 澳大利亚政府1981～1990年每季度的消费支出序列拟合图2) 非线性拟合使用场合：长期趋势呈现出非线形特征.参数估计指导思想：能转换成线性模型的都转换成线性模型，用线性最小二乘法进行参数估计；不能转换成线性的，就用迭代法进行参数估计.常用非线性模型如表10-4所示.表10-4常用非线性模型表非线性拟合模型2ct bt a T t ++=作变换22t t =， 再运用线性最小二乘估计法进行参数估计．2. 平滑法平滑法是进行趋势分析和预测时常用的一种方法．它是利用修匀技术，削弱短期随机波动对序列的影响，使序列平滑化，从而显示出长期趋势变化的规律．常用平滑方法有移动平均法和指数平滑法．1) 移动平均法移动平均法的基本思想是：假定在一个比较短的时间间隔里，序列值之间的差异主要是由随机波动造成的．根据这种假定，我们可以用一定时间间隔内的平均值作为某一期的估计值．其分类有n 期中心移动平均和n 期移动平均．n 期中心移动平均为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=+-++---+--++----为偶数为奇数n x x x x x n n x x x x x n x n t nt t n t n t n t n t t n t n t ,21211,1~2121222112112121 如果采用5期中期移动平均法，则5~2112++--++++=t t t t t x x x x x x .n 期移动平均为()111~+--+⋅⋅⋅++=n t t t t x x x nx .如果采用5期移动平均法，则5~1234tt t t t x x x x x x ++++=----.移动平均期数确定的原则是事件的发展有无周期性,以周期长度作为移动平均的间隔长度，以消除周期效应的影响．对趋势平滑的要求为移动平均的期数越多，拟合趋势越平滑． 移动平均预测模型为()n I T I TI TT x x x nx -+-+-++'+⋅⋅⋅+'+'=2111~, ,,T I i TI i T I i x I ix x I i+-+-+-⎧>⎪'=⎨≤⎪⎩例10.3某一观察值序列最后4期的观察值为5，5.5，5.8，6.2，(1) 使用4期移动平均法预测 2T x+； (2) 求在2期预测值 2T x +中T x 前面的系数. 解(1) ()6.542.68.54.5541ˆ3211=+++=+++=---+T T T T T x x x x x， ()45.548.54.556.5ˆ41ˆ2112=+++=+++=--++T T T T T x x x x x(2) ()2112ˆ41ˆ--+++++=T T T T T x x x xx()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=-----213214141T T T T T T T x x x x x x x()321161165---+++=T T T T x x x x在2期预测值中T x 前面的系数等于516．2) 指数平滑法指数平滑法是布朗(Robert G.〖KG-*4〗.Brown)所提出，布朗认为时间序列的态势具有稳定性或规则性，所以时间序列可被合理地顺势推延；他认为最近的过去态势，在某种程度上会持续到最近的未来，所以将较大的权数放在最近的资料．指数平滑法是生产预测中常用的一种方法，也用于中短期经济发展趋势预测，所有预测方法中，指数平滑是用得最多的一种．简单的全期平均法是对时间数列的过去数据一个不漏地全部加以同等利用；移动平均法则不考虑较远期的数据，并在加权移动平均法中给予近期资料更大的权重；而指数平滑法则兼容了全期平均和移动平均所长，不舍弃过去的数据，但是仅给予逐渐减弱的影响程度，即随着数据的远离，赋予逐渐收敛为零的权数． 指数平滑法是在移动平均法基础上发展起来的一种时间序列分析预测法，它是通过计算指数平滑值，配合一定的时间序列预测模型对现象的未来进行预测．其原理是任一期的指数平滑值都是本期实际观察值与前一期指数平滑值的加权平均．指数平滑方法的基本思想是：对大多数随机事件而言，一般都是近期的结果对现在的影响会大些，远期的结果对现在的影响会小些．为了更好地反映这种影响作用，将考虑到时间间隔对事件发展的影响，各期权重随时间间隔的增大而呈指数衰减．其分类有简单指数平滑和Holt 两参数指数平滑．简单指数平滑的基本公式：()()⋅⋅⋅+-+-+=--22111~t t t t x x x x ααααα其等价公式为()1~1~--+=t t t x x x αα. 简单指数平滑预测方法有：1期预测值：()()⋅⋅⋅+-+-+==--+221111~ˆT T T T T x x x x xααααα； 2期预测值： ()()⋅⋅⋅+-+-+=-++121211ˆˆT T T T x x x xααααα()111ˆˆ1ˆ+++=-+=T T T x x xαα I 期预测值：2,ˆˆ1≥=++I x xT I T ； 初始值的确定：10~x x =.平滑系数的确定：一般对于变化缓慢的序列，α常取较小的值；对于变化迅速的序列， α常取较大的值；经验表明α的值介于0.05至0.3之间，修匀效果比较好．例10.4 对某一观察值序列{}t x 使用指数平滑法．已知5.10~,101==-T T x x ，平滑系数25.0=α，(1) 求2期预测值2ˆ+T x； (2) 求在2期预测值2ˆ+T x中T x 前面的系数. 解(1)3.10~75.025.0~ˆ11=+==-+T T T T x x x x ， 3.10ˆˆ12==++T T x x； (2) ()⋅⋅⋅+-+==-++1121ˆˆT T T T x x x xααα 所以，使用简单指数平滑法2期预测值中T x 前面的系数就等于平滑系数25.0=α． Holt 两参数指数平滑适用于对含有线性趋势的序列进行修匀．其构造思想为：假定序列有一个比较固定的线性趋势t t t r x x+=-1ˆˆ. 对两参数修匀：()()()()11111,1.t t t t tt t t x x xr r x x r ααγγ----=+-+⎧⎪⎨=-+-⎪⎩初始值的确定：(1) 平滑序列的初始值：10~x x =； (2) 趋势序列的初始值：nx x r n 110-=+.Holt 两参数指数平滑l 期预测值为T T T r x x⋅+=+1~ˆ1. 10.3.3季节效应分析以北京市1995～2000年月平均气温序列（如图10-5所示）为例，介绍季节效应分析的基本思想和具体操作步骤．图10-5北京市1995～2000年月平均气温时序图季节指数：所谓季节指数就是用简单平均法计算的周期内各时期季节性影响的相对数．季节指数模型为ij j ij I S x x +⋅=.季节指数的计算步骤如下： (1) 计算周期内各期平均数：1,(1,2,,)n iki k x x k m n ===⋅⋅⋅∑；(2) 计算总平均数：11n m iki k x x m n===∑∑；(3) 计算季节指数：,(1,2,,)k k x S k m x==⋅⋅⋅.季节指数的理解：季节指数反映了该季度与总平均值之间的一种比较稳定的关系，如果这个比值大于1，就说明该季度的值常常会高于总平均值；如果这个比值小于1，就说明该季度的值常常低于总平均值；如果序列的季节指数都近似等于1，那就说明该序列没有明显的季节效应．上述例子中季节指数的计算结果见表10-5.表10-5北京市1995～2000年月平均气温季节指数总平均上述例子的季节指数图如图10-6所示.图10-6北京市1995～2000年季节指数图10.4回归预测法回归预测法，是分析因变量与自变量之间相互关系，用回归方程表示，根据自变量的数值变化，去预测因变量数值变化的方法．在经济预测中，人们把预测对象当作因变量，把那些与预测对象有关的因素当作自变量，收集自变量的充分数据，应用相关分析和回归分析求得回归方程，并利用回归方程进行预测．回归预测法中的自变量，与时间序列预测法中的自变量不相同．后者的自变量是时间本身，而前者的自变量不是时间本身，而是其他的变量．回归预测法中的自变量与因变量之间，有的属于因果关系，有的屑于伴随关系．不能认为只有因果关系才能进行回归预测，实际上伴随关系也是一种相关关系，只要收集大量的足够的资料，也可以用回归预测法进行预测．在回归预测法中，自变量不是随机的或者给定的，这与相关分析中自变量有所区别．相关分析中的自变量是随机的．10.4.1基本概念 1. 变量在不同时间、空间有不同状况，取不同数值的因素称为变量．它包括： (1) 被解释变量(因变量t Y )：模型中要分析研究的变量； (2) 解释变量(自变量t x )：说明因变量变动原因的变量； (3) 滞后变量1-t Y .例10.6收入决定模型如下：121)(t t t t u T Y a a C +-+=，21321t t t t u Y b Y b b I +++=-， 31321t t t t u G c Y c c IM +++=-，t t Y T 2.0=， tt t t t t IME G I C Y -+++=.其中：消费支出C 、投资I 、进口IM 、税收T 、收入Y 是被解释(内生)变量；政府支出G 、出口E 是解释变量（通过计划、预算来确定），有两个滞后变量，作用视同解释变量.2. 数据时间序列数据：按照时间先后顺序排列的统计数据（如时期、时点指标）；截面数据：在同一时间，不同空间的某个指标组成的数列（如工业普查数据、人口普查数据、家计调查数据等）；混合数据：既有时间序列数据，又有截面数据（如居民收支调查中收集的对各个固定调查户在不同时期的调查数据）；虚拟变量数据：仅取0和1两个变量值的数据，即1D ⎧=⎨⎩事件没有发生;事件发生.10.4.2模型设定 1. 经济模型经济模型是对经济现象或过程的一种数学模拟． 设定（Specification ）就是把所研究的经济变量之间的关系用适当的数学关系式表达出来．例如，消费函数为y a bx =+.2. 构成计量经济模型的要素例如，消费函数中的要素有y a bx u =++： (1) 经济变量(),y x ；(2) 经济参数(,a b ,待估计）； (3) 随机扰动项u ；(4) 模型构成要素之说明，例如，消费函数y a bx u =++的构成要素说明如下： ① 经济变量（,y x ）：不同时间、不同空间的表现不同，取值不同，可以观测； ② 经济参数（,a b ）：比较稳定的因素，决定经济的特征．参数是计量经济模型中表现经济变量相互依存程度的因素，是一个相对稳定的量．3. 设定模型的要求(1) 要有科学的理论依据.(2) 选择适当的数学形式（单方程还是多方程，线性还是非线性的；方程应是有解的，形式尽可能简单）.(3) 模型要兼顾真实性和实用性.(4) 包含随机扰动项.(5) 方程中的变量要具有可观测性．10.4.3建模步骤(1) 经济理论或假说的陈述；(2) 建立数学（数理经济）模型；(3) 建立统计或计量经济模型；(4) 收集处理数据；(5) 模型的参数估计；(6) 检验来自模型的假说——现实意义检验；(7) 检验模型的正确性——模型的假设检验；(8) 模型的运用——预测、结构分析、政策模拟等.10.4.4估计参数一般地，参数是未知的，不可直接观测．参数要通过样本数据，选择适当的方法加以估计．（如何通过样本数据估计参数是计量经济学的核心内容．）参数估计值：所估计的参数的具体数值．参数估计式：用未知的样本数据表示的待估计参数表达式．参数估计的常用方法：普通最小二乘法（OLS）、极大似然估计法（ML）等．10.4.5模型检验检验是对模型和所估计的参数加以评定，判断在经济理论上是否有意义，在统计上是否显著．1. 检验的针对事项(1) 理论依据的充分性；(2) 统计数据或其他信息的可靠性；(3) 样本可能较小，导致结论只是抽样的某种偶然性；(4) 是否违反计量经济估计的基本假定．2. 模型的检验方式(1) 理论意义、现实意义检验：与理论、现实是否相符；(2) 统计推断检验：检验参数值是否为抽样的偶然结果；(3) 计量检验：是否符合基本假定；(4) 预测检验：将模型预测结果与现象运行的实际情况对比．10.4.6模型应用1. 结构分析分析变量之间的数量比例关系，如边际分析、弹性分析（变化率之比）、乘数分析（变化量之比）、比较静力学分析等.2. 预测预测包含动态预测和空间预测．预测对非稳定发展的过程无能为力，滞后于理论和现实的模型在应用中也会遇到障碍．3. 政策评价用模型对政策方案作模拟测算，对政策方案作评价．4. 模型形式模型形式有线性模型和非线性模型.非线性模型又分为双对数模型、半对数模型、倒数模型．非线性模型一般都要转化为线性模型来估计．1) 线性模型（对变量、参数）01122...k k Y x x x u ββββ=+++++，01122()...k k E Y x x x ββββ=++++.2) 非线性模型（被解释变量与解释变量之间、被解释变量与参数之间） 例如：μ+++=2cXbX a Y ,e aX Y μβ=.下面介绍几种常见的可线性化模型： ① 多项式函数01122...k k Y x x x u ββββ=+++++.② 双对数方程基本形式（幂函数）：ue XY 21ββ=，对数形式：μββ++=X Y ln ln ln 21， 令00ln ,ln ,ln ββ='='='X X Y Y ,则上述对数形式方程可化为 12Y X u ββ''''=++.双对数方程的斜率参数2β可以衡量因变量Y 关于解释变量X 的弹性(当X 每变动1%时，因变量Y 平均变动的百分比）．事实上，2(ln )(ln )d Y d X β=,即2dY dX YXβ=,故2dY Y dX Xβ=.③ 半对数方程u X Y ++=10ln αα或u X Y ++=ln 10ββ.在第1个方程中1(ln )()d Y dY d X YdXα==，即斜率参数1α等于Y 的相对变动dY Y与X 绝对变动d X 之比．模型叫增长模型，它可以描述某种经济现象随着时间变化而变动的趋势．第2个半对数方程的斜率系数1X dY dXβ=表示当自变量发生一个单位的相对变动时，引起的因变量Y 的平均绝对变动量. ④ 倒数变换模型 基本形式：u X Y ++=110ββ.当01<β，Y 随着X 增大而非线性地增大，最终接近一条直线为渐近线）（以00ββ=Y ； 当01>β，Y 随着X 的增加而非线性地减少． 其重要特点是：被解释变量Y 存在极限．例如，若Y 为平均成本，X 为产量，则平均成本Y 随着产量增加而不断下降，但它决不可能等于或小于0β．10.5多元线性回归模型及其假定条件现实生活中引起被解释变量变化的因素并非只有一个解释变量，可能有很多个解释变量．例如，产出往往受各种投入要素—资本、劳动、技术等的影响；销售额往往受价格和公司对广告费的投入的影响等．所以多元线性模型（解释变量个数≥ 2）更为常见．10.5.1模型的建立在实际问题中，有时一个变量受到一个或多个解释变量影响，这时就需要建立多元回归模型进行研究．假定变量i Y 与k 个变量(1,2,,)jt X j k = 存在线性关系，则多元线性回归模型表示为01122i i i k ik i Y X X X u ββββ=+++++ ,其中i Y 是被解释变量（因变量），ij X 是解释变量（自变量），i u 是随机误差项，(0,1,,)j j k β= 是回归参数（通常为未知）．这说明(1,2,)ij X j k = 是i Y 的重要解释变量，i u 代表众多影响i Y 变化的微小因素．当给定一个容量为n 的样本，样本观测值为12(,,,,)(1,2,,)i i i ik Y X X X i n = , 得1011121211201212222201122,,.k k k k nn n k nk n Y X X X u Y X X X u Y X X X u ββββββββββββ=+++++⎧⎪=+++++⎪⎨⎪⎪=+++++⎩即111211112122222212111k k n n n n nk kX X X Y u X X X Y u Y u X X X ββββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎝⎭. 令12n Y Y Y Y ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭ ，112111222212111k k n n kn X X X X X X X X X X ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，012kB ββββ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭，12n u uU u ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，则Y X B u =+.为保证用OLS 法得到最优估计量，该回归模型应满足如下假定条件：(1) 假定1：随机误差项向量u 是非自然相关的，同方差的，其中每一项都满足均值为零，方差相同（设为2σ）且为有限值，即0()00E u ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，()22100()00001TVar u E uuI σσ⎛⎫ ⎪⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭, 且 2~(0,)u N I σ.(2) 假定2：解释变量与误差项相互独立，即()0TE X u =. (3) 假定3：解释变量之间线性无关，即()()TR X X R X k ==， 其中()R A 表示矩阵A 的秩．(4) 假定4：解释变量是非随机的,且当n →∞时，TX X Q n→,其中Q 是一个有限值的非退化矩阵.10.5.2 多元线性回归模型的参数估计1. 普通最小二乘法(OLS) 最小二乘法的原理是通过求残差（误差项的估计值）平方和最小来确定回归参数估计值，这是求极值问题．用Q 表示残差平方和，求其最小值条件下的回归参数的估计值．01122i i i k ki i Y X X X u ββββ=+++++ ，01122ˆˆˆˆˆi i i k kiY X X X ββββ=++++ ， ˆi ii e Y Y =-， 0120,ˆ0,ˆ0,ˆ0.ˆkQQ Q Q ββββ∂⎧=⎪∂⎪⎪∂=⎪∂⎪⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪⎪∂⎪=⎪∂⎪⎪⎩从而得到下列方程组011221011221201122201122ˆˆˆˆ()0,ˆˆˆˆ()0,ˆˆˆˆ()0,ˆˆˆˆ()0i i i k kii i i i k ki ii i i i k ki i i ki i i k ki ki Y X X X Y X X X X X Y X X X X X Y X X X X X ββββββββββββββββ⎧-++++=⎪⎪-++++=⎪⎪-++++=⎨⎪⎪⎪-++++=⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑∑ 求参数估计值的实质就是求一个1k +元方程组．2. 正规方程011222011121211201122ˆˆˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆˆˆ.ik i i k ik i i i i i k i ik i i iki ik i ik k ik i n X X X Y X X X X X X Y Y X X X X X X Y Y ββββββββββββ⎧++++=⎪⎪++++=⎪⎨⎪⎪⎪++++=⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 令12nY Y Y Y ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 111212122212111kk n n nkX X X X X X X X X X ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 012kB ββββ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ ，12n u u U u ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，012ˆˆˆˆˆk Bββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 则11221121212i ik i i iki i i i ik iki iki iknXX X X XX XX XX X X X X XX X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑， 1i i i ik i Y X Y X Y X Y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑ ，1ˆ,ˆ().T T T T X XBX Y BX X X Y -==最小二乘法的矩阵表示为()22211ˆˆ,ˆˆ~(0,),,ˆˆˆ()()ˆˆ()()ˆˆˆˆ()ˆˆˆ2ˆ00ˆii nnii i T T TT T T T T T T T T T T T T T T YXB Y XB uU N I e Y YY XB Q YYe e Y XBY XB YBX Y XB Y Y Y XBB X Y B X XB Y Y BX Y B X XB Q X Y X XBBeσ====+=-=-==-==--=--=--+=-+∂=⇒-+=∂∑∑ ，亦即()1ˆT TB X X X Y -=.因此21Te e n k σ=--.3. 正规方程的结构ˆT T X XBX Y =, 1ˆ()T T BX X X Y -=. 其中：Y —被解释变量观测值1n ⨯阶矩阵；X —解释变量观测值（含虚拟变量(1)n k ⨯+阶矩阵）； T X X —设计矩阵（实对称(1)(1)k k +⨯+阶矩阵）；TX Y —正规方程右端(1)1k +⨯阶矩阵；ˆB—回归系数矩阵(1)1k +⨯阶； 1()TX X -—高斯乘数矩阵， 设计矩阵的逆；e —残差向量（1n ⨯阶）；T Y —被解释变量的拟合（预测）向量1n ⨯阶．4. 最小二乘估计量的性质1) 线性（估计量都是被解释变量观测值的线性组合）1ˆ()T T BX X X Y -=， 因为X 的元素是非随机的，1()TX X X -是一个常数矩阵，由上式知ˆB是Y 的线性组合，为线性估计量，具有线性特性.2) 无偏特性（估计量的数学期望=被估计的真值） 利用()0E u =，可得-1 -1-1ˆˆ ( ) [() ] [()( )] ()() .T T T T TTE BE X X X Y E X X X XB u B X X X E u B ==+=+=这里B 是ˆB的线性无偏估计量，具有无偏性． 3) 有效性（估计量的方差是所有线性无偏估计中最小的） 由于[]2()()Cov x E x E x =-，故。
统计建模与预测分析
统计建模与预测分析随着数据科学的快速发展，统计建模和预测分析已经成为了很多企业和机构进行业务决策以及市场营销的重要方法。
虽然在本质上不同于数据挖掘和机器学习，但这些方法都致力于从数据中挖掘信息，为企业提供更好的商业价值。
什么是统计建模？统计建模是一种已有数十年历史的统计学方法，在最早的应用中，它被用来探寻非线性关系以及复杂数据结构中的趋势。
现在，统计建模常常被用来解释变量之间的关系，并且进行预测。
简单来说，统计建模是一种统计学方法，需要从数据中推断出可能解释现象的模型。
统计建模包括了几种不同的方法，如回归分析、因子分析、聚类分析以及最流行的时间序列分析。
时间序列分析时间序列分析是一种时间上的数学建模方法，它是一种研究时间上变量的特性的方法。
在预测分析中，它是一种有利且常见的用于探索时间序列的变化以及趋势的工具。
时间序列分析可以为企业提供可预测的结果，并且可以帮助企业预测一种新产品是否可以在未来市场上获得成功。
因为它可以预测全球财务市场中的走势，所以对于金融行业来说，它更是一项重要的工具。
另外，时间序列分析也可以用于探索特定变量的周期性或季节性变化。
例如，如果一个季节性变化的销售业务在某一特定时间出现了明显的周期性，那么企业就可以根据这些数据来制定营销策略。
预测分析预测分析是以一定规律研究未来趋势以及模式的方法。
虽然它是一项很基础的分析方法，但是对于企业来说，它是一种强有力的工具。
预测分析可以为企业提供可靠的数据来预测未来销售趋势、生产过程以及各种关键业务决策。
在预测分析中，统计建模是一个重要的工具，可以用来分析销售趋势以及品牌推广的效果，并且可以帮助企业预测市场的需求变化以及管理供应链。
这些预测性的数据可以帮助企业避免因生产和库存管理而导致资金浪费的情况。
统计建模在现代企业中的应用对于现代企业来说，反应速度以及对于市场需求的准确定位是取得成功的关键。
统计建模提供了一种有力的工具来帮助这些企业更好地应对市场需求的变化以及在全球范围内进行品牌推广。