武汉理工大学大一上04年05年高数试卷

武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸 | 课程名称：高等数学（上）（ A 卷） |一、单项选择题（每题3分，共15分）1.D ;2.C ;3.C ;4.B ;5.B . |二、填空题（每题3分，共15分） | 1.21dx x+； 2.1(1)(1)!n n ---； 3. arctan(sin )x c + 4. 2； 5. 8k .|三、计算极限（每题7分，共14分） | 1.23tan tan limlimtan x x x x x xx xx→→--==原式 ------------------------------------3分2222sec 1tan 1limlim333x x x x xx→→-===---------------------------------------------------7分 2.22ln cos ln cos exp{lim}exp{lim}ln(1)x x x x x x→→==+原式 --------------------------------------3分120sin cos exp{lim }2x xx e x-→-== ---------------------------------------------------------------7分 |四、计算导数（每题7分，共14分） | 1.解 原方程两边对x 求导，得：sin cos 0y ydy dy e x e x dxdx⋅⋅+⋅+= --------4分| 解得：cos sin 1yy dy e x dxe x =-+ -----------------------------5分| 当0x =时，1y =； 故 0x dy e dx==- ------------------------------------7分2.解sin sin (cot)(1cos )1cos 2dy a t t t dxa t t===-- ----------------------------------------------3分22222cos (1cos )sin 1(1cos )(1cos )(1cos )t t td y t dxa t a t ---==---------------------------------------7分五、计算下列积分（每题7分，共21分） | 1.解 1ln 2xdx=-⎰原式 ---------------------------------------------2分ln 2(2)x dxxx x =---⎰ -----------------------------------------4分ln 1[]222x dx dx xx x=-+--⎰⎰------------------------------------5分l n 1ln222x x c xx=-+-- --------------------------------------7分| 2.解 23322sec cos tan tan sec sin tdt tdt x tt ttππππ==⋅⎰⎰44原式-------------------------4分341sin 3tππ=-=分3.解 11211()x x edx e -+∞-=+⎰原式 ------------------------------------------4分11arctan 4x eπ-+∞==-----------------------------------------7分|六、应用题(本题11分) | 解（1）122120()()aaS S S ax x dx x ax dx =+=-+-⎰⎰-----------------------4分3111323a a =-+---------------------------------------------6分（2）21022dS a a da=-==由，得（负值舍去） ----------------------9分2220a a d S ada==>又所以当2a =时，S 取极小值，而驻点唯一，故所以当2a =时，S 取最小值，最小值为26- ---11分七、证明题（每题5分，共10分） 1.证明 设21()ln(1)2f x x x x=+-+ ------------------------------------2分21()10,011xf x x x xx'=-+=>>++ ---------------------------3分(0)0f =又，0()(0)0x f x f >>=则当时， ----------------4分故当0x > 时，21ln(1)2x x x -<+ -------------------------------5分2.证明 设1()()()xxF x f t dt g t dt =⎰⎰ --------------------------------------2分显然在[0,1]上连续，在(0,1)内可导又(0)(1)0F F == ------------------------------------------------3分 由罗尔定理知，(0,1)ξ∃∈，使()0F ξ'= --------------------------4分 而 1()()()()()xxF x g x f t dt f x g t dt '=-⎰⎰所以 1()()()()g f x dx f g x dx ξξξξ=⎰⎰.-----------------------------5分武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称 高等数学（ A 卷） 2006.01.12一 1 0 ；2 ),(+∞-∞ ； 3 0 ； 4 dx ； 5 2ln 23- 。

二 B ; A ; A ; A ; A 三 1 )1(1lim)111(lim 0---=--→→xxx xx e x x e e x(2分) =21limxxe xx --→（4分）=xe xx 21lim-→（6分） =21（7分）2 )]arctan 2ln(lim exp[)arctan 2(lim x x x x xx ππ+∞→+∞→=（1分）=]1)arctan 2ln(limexp[xx x π+∞→（2分）=]tan arg )1(limexp[22xx xx +-+∞→（5分） =π2-e（7分）四 设圆桶的半径为r ，则侧面积为 rr r S ππ63)(2+=（2分） 266)(rr r S ππ-='（4分）解0)(='r S 得1=r ，又0)1(>''S （6分） 所以1=r 时，成本最底。

（7分） 五 1 x e x x y )2(2+='（2分） x e x x y )24(2++='' （4分）x n n e C nx x y)22(22)(++=（6分） )1()0()(-=n n y n （7分） 2)(,)(t f dtdx t f t dtdy ''=''=（2分）t dxdy =（4分）)(122t f dxdt dxy d ''==（7分）3 0)1(cos )(=-'---x et t x （3分）t ex t x cos 1)(-+='（4分） 1)0(=x （6分）e x +='1)0(（7分）六 1 ⎰⎰⎰-+-=--12)2)(1(x dxx dxx x dx （3分）=C x x +---2ln 1ln =C x x +--21ln（7分）2 dx x x dx x x cos sinsinsin0353⎰⎰=-ππ（2分）=xdx x xdx x cos sincos sin2323⎰⎰-πππ（4分）=πππ225225sin52sin52xx-（6分） =54（7分）3 ⎰⎰⎰+-=e ee exdx xdx dx x 1111ln ln ln （2分）=⎰⎰-++---e eeedx x x dx xx 1111ln ln 11（5分）=)11(2e-（7分）七（1） 令x e x f x G -=)()(（1分）则0)()(()(=-'='-x e x f x f x G （2分）x e x f G x G =⇒==)(1)0()(（3分）（2） 令⎰=xdt t p e x f x F 0)()()(（4分） 0))()()(()(0)(>⎰+'='xdtt p e x f x p x f x F （5分）)(x F 单调增0>⇒x 有0)(0)(>⇒>x f x F （6分）所以)(0)()()(x f x f x p x f ⇒>->'在),0[+∞上单调增（7分。