福建省宁德市部分一级达标中学2018-2019学年高二下学期期中联考数学(文)试题 含解析
福建省宁德市2018_2019学年高二数学下学期期末质量检测试题文(扫描版)
宁德市2018—2019学年度第二学期高二期末质量检测数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1、本解答给出了每题要考察的主要知识和能力和一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。
2、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程 度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算。
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1. B2. B3. A4. D5. C6. C7. D8. B9. C 10.D 11.A12.B二、填空题 ：本题考查基础知识和基本运算。
本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. [0,)+∞ 14. 乙 15. 1 16. {}2x x < 三、解答题：本大题 共6小题，共70分。
（一）必考题：共60分。
17.本题主要考查集合、复数的运算等基本知识。
体现运算能力、逻辑推理等数学核心素养。
满分12分。
解：（Ⅰ）依题意1030m m +>⎧⎨-<⎩， ………………………………2分 解得13m -<<， 即{}13M m m =-<<. …………………… 4分（Ⅱ）由1(1)ix --<(1)i x -+< ………………………………5分即222(1)1x -+<，化简得220x x -< ………………………………7分 解得：02x <<，即{}02N x x =<<， ………………………………8分 所以{}02R N x x x =≤≥或ð …………………………………10分 故{}1023R M N x x x =-<≤≤<或ð …………………………………12分18、本题主要考查函数的性质等基本知识。
2018-2019学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试高二文数
2018～2019学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试高二数学试题(文科)(满分:150分; 时间:120分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚.2.每小题选出答案后，填入答案卷中.3.考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在极坐标系中，点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭与2,6π⎛⎫-⎪⎝⎭的位置关系是 A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．重合D ．关于直线(R)2πθρ=∈对称 2．欧拉公式cos sin i e i θ=θ+θ（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，10i e π+=是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根 据欧拉公式可知，复数3i e π的虚部为3. 用反证法证明命题“设a ，b ，c 为实数，满足3a b c ++=，则a ，b ，c 至少有一个数不小于1”时，要做的假设是A ．a ，b ，c 都小于2B ．a ，b ，c 都小于1C ．a ，b ，c 至少有一个小于2D ．a ，b ，c 至少有一个小于14．函数()2()2sin f x ex x =+的导数是A ．()4cos f x ex x '=+B ．()4cos f x ex x '=-C ．2()8cos f x e x x '=+D ．2()8cos f x e x x '=-5. ====2a b +的值分别是A ．79B ．81C ．100D ． 986．曲线312()33f x x x =-++在点(2,(2))f 处的切线与坐标轴围成的三角面积为 A ． 6 B ．32 C ．3 D ．12 7．函数()3ln f x x x =+的单调递减区间是A ．1(,)e eB ．1(0,)eC ．1(,)e -∞D ．1(,)e+∞8. 2018年4月,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙；妈妈:冠军一定不是乙和丙；孩子:冠军是丁或戊.比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是A ．甲B ．丁或戊C ．乙D ．丙 9．函数2()x x x f x e+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．10. 用长为30 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架（即12条棱长总和为30cm ），要求长方体的长与宽之比为3：2，则该长方体最大体积是A ．24B ．15C ．12D ．611．若12>>1x x ，则A. 1221x x x e x e >B. 1221x x x e x e <C. 2112l n l n x x x x >D. 2112ln ln x x x x <12．对0x ∀>，不等式ln 2a x ex x ≥-+恒成立，则实数a 的取值范围为 A.2(,)e -∞- B.(,2)e -∞- C.2(,]e -∞- D. (,2]e -∞-第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．若复数(1)(2)z m m i =-++对应的点在直线10x y ++=上，则实数m 的值是_______．14．在极坐标系中，已知两点(3,)3A π，(4,)6B π-，则A ，B 两点间的距离为_______． 15．设等边ABC 的边长为a ，P 是ABC 内的任意一点，且P 到三边AB 、BC 、CA 的距离分别为1d 、2d 、3d ，则有123d d d ++为定值2a ；由以上平面图形的特性类比 空间图形：设正四面体ABCD 的棱长为3，P 是正四面体ABCD 内的任意一点，且P 到四个面ABC 、ABD 、ACD 、BCD 的距离分别为1d 、2d 、3d 、4d ，则有1234d d d d +++ 为定值_______．16．已知函数31()32x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数．若2()(2)0f a f a +-<，则实数a 的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)在极坐标系下，已知圆C ：θθρsin cos +=和直线:20l x y -+=，（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．18．(本小题满分12分)（Ⅰ）已知m R ∈，复数22(45)(215)z m m m m i =--+--是纯虚数，求m 的值； （Ⅱ）已知复数z 满足方程(2)=0z z i +-，求z 及2i z +的值．19．(本小题满分12分)设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3，（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围.20．(本小题满分12分) 已知函数1()42x f x =+， （Ⅰ）分别求(0)(1)f f +，(1)(2)f f -+，(2)(3)f f -+的值； （Ⅱ）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．21．(本小题满分12分)已知函数()ln f x x =，2()()(0,)g x a x x a a R =-≠∈，()()()h x f x g x =- （Ⅰ）若1a =，求函数()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围．22．(本小题满分12分)设函数()2x f x e ax =--．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，'()()10x k f x x -++>，求k 的最大值．。
2018-2019学年福建省宁德市部分一级达标中学高二(下)期中数学试卷(文科)
2018-2019 学年福建省宁德市部分一级达标中学高二 （下）期中数学试卷（文科）副标题题号 一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.在极坐标系中，点与的位置关系是（）A. 关于极轴所在直线对称B. 关于极点对称C. 重合D. 关于直线对称i θ2.欧拉公式 e =cos θ+isin θ（ e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是瑞士著名数学家i π欧拉发明的， e+1=0 是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之 一．根据欧拉公式可知，复数的虚部为（）A.B. C. D.3.用反证法证明命题“设 a ， b ， c 为实数，满足 a+b+c=3，则 a ， b ， c 至少有一个数不小于 1”时，要做的假设是（）A. a ， b ， c 都小于 2B. a ， b ， c 都小于 1C. a ， b ， c 至少有一个小于 2D. a ， b ， c 至少有一个小于 14. 函数 f （ x ） =（ 2ex ） 2+sinx 的导数是（）A. f'（ x ） =4ex+cosxB. f'（ x ） =4ex-cosxC. f'（ x ） =8e 2x+cosxD. f'（ x ） =8e 2x-cosx5. 已知，，， ，依此规律，若，则 a+2b 的值分别是（）A. 79B. 81C. 100D. 986.曲线 2 f 2（）在点（ ，（ ））处的切线与坐标轴围成的三角面积为A. 6B.C. 3D. 127. 函数 f x =3+ xlnx的单调递减区间是（ ）（ ）A. （ ， e ）B. （0， ）C. （-∞， ）D. （ ，+∞）8. 2018 年 4 月，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛结 束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是（）A.甲B.丁或戊C.乙D.丙A. B.C. D.10.用长为30cm的钢条围成一个长方体形状的框架（即12 条棱长总和为30cm），要求长方体的长与宽之比为3： 2，则该长方体最大体积是（）A. 24B.15C. 12D. 611.若 x1＞ x2＞ 1，则（）A. B.C. x2lnx1＞x1lnx2D. x2lnx1＜ x1l nx212.对 ? x＞0，不等式 lnx≥恒成立，则实数 a 的取值范围为（）A. （）B. （]C. （-∞，2-e）D. （-∞，2-e]二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）13.z= m-1 +m+2i x+y+1=0上，则实数m的值是______若复数（）（）对应的点在直线．14.在极坐标系中，已知两点，A B两点间的距离为______．，则，15.ABC的边长为a，P ABC内的任意一点，且P到三边AB、BC、CA的设等边△是△距离分别为d1、d2、d3，则有 d1+d2+d3为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD 的棱长为3，P 是正四面体 ABCD 内的任意一点，且P 到四个面 ABC 、 ABD、 ACD、 BCD 的距离分别为 d1、 d2、 d3、 d4，则有 d1+d2+d3+d4为定值 ______．16.已知函数，其中e是自然对数的底数．若f a +f a2（）（-2）＜ 0，则实数 a 的取值范围是 ______．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.在极坐标系下，已知圆C：ρ =cos θ +sin θ l：x-y+2=0，和直线（Ⅰ）求圆 C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）求圆 C 上的点到直线l 的最短距离．2218. （Ⅰ）已知 m∈R，复数 z=（ m -4m-5） +（ m -2m-15） i 是纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）已知复数 z 满足方程 z+（ z-2） i=0，求及||的值．319.设函数f（x）=x -6x+5，x∈R（Ⅰ）求 f（ x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x 的方程 f（ x） =a 有 3 个不同实根，求实数 a 的取值范围．20.已知函数，（Ⅰ）分别求f（0） +f（ 1）， f（ -1） +f（ 2）， f（ -2） +f（ 3）的值；（Ⅱ）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．21.已知函数 f（ x） =lnx， g（ x） =a（ x2-x）（ a≠0， a∈R）， h（ x） =f（ x） -g（ x）（Ⅰ）若 a=1，求函数 h（ x）的极值；（Ⅱ）若函数y=h（ x）在 [1， +∞）上单调递减，求实数 a 的取值范围．22.设函数 f（ x） =e x-ax-2．（Ⅰ）求 f（ x）的单调区间；（Ⅱ）若 a=1，k 为整数，且当 x＞ 0 时，（ x-k）f′（ x）+x+1＞ 0，求 k 的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：在极坐标系中，点与如图，则点与的位置关系是关于极轴所在直线对称．故选：A．在极坐标系中画出两点得答案．本题考查极坐标系中点的极坐标，是基础题．2.【答案】B【解析】i θ解：根据欧拉公式 e =cosθ +isin，θ可得，=，∴的虚部为：．故选：B．利用欧拉公式直接求解即可．本题考查了欧拉公式和三角函数求值，属基础题．3.【答案】B【解析】解：a，b，c 至少有一个数不小于1 的对立面就是 a，b，c 三个都小于 1．故选：B．根据“至少有一个”的对立面为“一个也没有“可得．本题考查了反证法，属基础题．4.【答案】C22 2解：根据题意，f （）x=（2ex ）+sinx=4e x +sinx ，导 f ′（x 2 2 2其 数 ）=（4e x ）′+（sinx ）′=8ex+cosx ，故选：C ．根据 题 导 计 算公式 计算即可得答案．意，由 数的本 题 考 查导 数的 计 键 导 数的 计 算公式，属于基 础题 ．算，关 是掌握 【答案】 D5.【解析】解：由，，， ，依此规 律 =n，n ≥2，则，可得 b=9，a=92-1=80，故 a+2b=80+18=98， 故选：D ．仔细观察已知等式的数字可 发现：=n，n ≥2，根据此规律解题即可本题是一道找 规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．6.【答案】 A【解析】解：f （x ）=-x 2+1 的导数为 f ′（2）=-3，f （2）=0可得在点点（2，0）处的切线斜率为：-3，即有切线的方程为 y=-3（x-2）．分别令 x=0，y=6 可得 y ，x 轴上的截距 为 6，2．即有围成的三角形的面 积为： ×6×2=6．故选：A ．求出函数的 导数，可得切线的斜率，可得切线的方程，求得 x ，y 轴的截距，运本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及直线方程的运用，正确求导是解题的关键，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：f ′（x）=lnx+1 ，令 f ′（x）＜0，解得：0＜ x＜，故选：B．先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．8.【答案】D【解析】解：假设爸爸的猜测是对的，则冠军是丙；假设妈妈的猜测是对的，不合题意；假设孩子的猜测是对的，则妈妈的猜测也对，不合题意．故选：D．分别假设三个人的猜测是对的，另外两个的猜测是错的，分析可得．本题考查了简单的合情推理，属中档题．9.【答案】C【解析】解：函数y=的导数为，令 y′=0，得x=，时，y′＜0，时，y′＞0，时，y′＜0．∴函数在（-），（递递）减，在（）增．且 x=0 时，y=0，故选：C．利用导数求出单调区间，及 x=0 时，y=0，即可求解．本题考查函数图象问题，函数的导数的应用，考查计算能力．属于中档题，10.【答案】 B【解析】解：设该长方体的宽是 x 米，由题意知，其长是米，高是 =米，（0＜x ＜3）则该长方体的体 积 V （x ）=x?x?（ ）=-x 3+ x 2，V ‘（x ）=- + ，由 V ′（x ）=0，得到x=2，且当 0＜x ＜2 时，V ′（x ）＞0；当 2＜x ＜3 时，V ′（x ）＜0，即体积函数 V （x ）在x=2 处取得极大 值 V （2）=15，也是函数 V （x ）在定义域上的最大 值 ．所以该长方体体积最大值是 15．故选：B ．根据题意知，长方体的所有棱 长和是 30m ，故可设出宽，用宽表示出长和高，将体积表示成宽的函数，用导数来求其最大 值即可．本小题主要考查长方体的体 积及用导数求函数最 值等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理 论证能力和运算求解能力，是中档 题．11.【答案】 A【解析】解：① 令 f （x ）= 则＞ 0，（x ＞1）， f'（x ）=∴f （x ）在（1，+∞）上单调递 增，∴当 x 1＞x 2＞ 1 时， ，即，故A 正确．② 令 g （x ）=则g'（x ）=，（x ＞1）， 令 g （x ）=0，则 x=e ，∴g （x ）在（1，e ）上单调递 增，在（e ，+∞）上单调递 减，易知 C ，D 不正确，故选：A ．构造函数 f （x ）= （x ＞1）和g （x ）= （x ＞ 1）然后根据f （x ）和g （x ）的单调性即可比较大小．本题考查了利用函数的 单调性比较大小，关键是构造函数，属基础题．12.【答案】 B【解析】解：由lnx ≥2（x ＞0）恒成立可得 a ≤xlnx+ex-2x （x ＞ 0）恒成立，令 f （x ）=xlnx+ex 2-2x （x ＞0），则 f ′（x ）=lnx+2ex-1，显然 f ′（x ）在（0，+∞）上单调递增，又 f ′（ ）=-1+2-1=0，∴当 0＜ x ＜ 时，f （′x ）＜0，当x ＞时，f （′x ）＞0，∴当 x=时，f 值f （ ）=- ．（x ）取得最小 ∴a ≤- ．故选：B ．类2导 侧 单调 分 参数得出 a ≤xlnx+ex-2x 数判断右 函数的 性，求出其最小，利用值即可得出 a 的范围．本题考查了导数与函数 单调性的关系，函数恒成立与函数最 值的计算，属于中档题．13.【答案】 -1【解析】解：∵复数 z=（m-1）+（m+2）i 对应的点在直 线 x+y+1=0 上，∴（m-1）+（m+2）+1=0， 解得 m=-1．故答案为：-1．直接把 z 的坐标代入直 线 x+y+1=0 求解实数 m 的值 ．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．14.【答案】5【解析】解：由两点，，得 A ，B 两点的直角坐标分别为 A （，），B（，-2），由两点间的距离公式得：|AB|==．故答案为：5．化 A ，B 的极坐标为直角坐标，再由两点间的距离公式求解．本题考查点的极坐标化直角坐标，考查两点间距离公式的应用，是基础题．15.【答案】【解析】设为则BO=× =解：底面三角形 BCD 的中心O，锥=．，故棱的高 AO=∴正四面体的体积 V==．又V=VP-ABC+VP-ABD+VP-ACD+VP-BCD=×），（d1+d2+d3+d4∴d1+d2+d3+d4=．故答案为：．根据棱锥的体积不变即可求出答案．本题考查了棱锥的体积计算，棱锥的结构特征，属于中档题．16.【答案】（-2，1）【解析】解：函数，则 f（-x）=-f（x），∴函数 f（x）在R 上为奇函数．f ′（x）=9x 2x≥2≥0∴函数 f （x ）在R 上单调递增．∵f （a ）+f （a 2-2）＜0，∴f （a 2-2）＜-f （a ）=f （-a ），∴a 2-2＜ -a ，交点 -2＜a ＜1．则实数 a 的取值范围是（-2，1）．故答案为：（-2，1）．函数，先判断其奇偶性，利用导数研究函数的 单调性即可解出．本题考查了利用导数研究函数的 单调性，方程与不等式的解法、函数的奇偶性，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题．17.【答案】 解：（ Ⅰ ）圆 C ： ρ =cos θ +sin ， θ2即 ρ=ρ cos θ +ρ，sin θ圆 C 的直角坐标方程为：即 x 2+y 2-x-y=0； 直线 l ： x-y+2=0 ，则直线 l 的极坐标方程为x 2+y 2=x+y ，ρ cos θ-ρsin θ+2=0．（ Ⅱ ）由圆 C 的直角坐标方程为 x 2+y 2-x-y=0 可知圆心 C 坐标为，圆心 C 到直线的距离为，因此圆 C 上的点到直线 l 的最短距离为 ．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系求出 结果．（Ⅱ）利用点到直线的距离的公式的 应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐 标方程之间的转换，点到直线的距离公式的 应用，主要考察学生的运算能力和 转换 能力，属于基础题型．18.【答案】 解：（ Ⅰ ） ∵z 为纯虚数，∴，∴m=-1；（Ⅱ），∴，∴【解析】（Ⅰ）根据z 为纯虚数，得 z 的实部为零，虚部不为零，建立方程即可；（Ⅱ）根据方程求出z，然后求出 z 的共轭复数和即可．本题考查了复数的模和复数的运算，属基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）∴当，∴f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是当；当（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，∴当的图象有 3 个不同交点，即方程 f（ x）=α有三解．【解析】（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可y=f知（x）图象的大致形状及走向，可知函数图象的变化情况，可知方程 f （x）=a有 3 个不同实根，求得实数 a 的值．考查利用导数研究函数的单调性和图象，体现了数形结合的思想方法．本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论．属中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）；同理；．（Ⅱ）由此猜想：当x1+x2=1 时，．证明：设x1+x2=1，则，故猜想成立．【解析】（Ⅰ）利用条件，求f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3），（Ⅱ）归纳猜想一般性结论，利用指数的性质给出证明．本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳猜想是关键．21.【答案】解：（Ⅰ）根据题意可知y=h（ x）的定义域为（0， +∞），，故当 x∈（ 0， 1）时， h'（x）＞ 0，故 h（ x）单调递增；当 x∈（ 1，+∞）时， h'（ x）＜ 0，故 h（ x）单调递减，所以当 x=1 时， h（ x）取得极大值 h（ 1）=0，无极小值．（Ⅱ）由 h（ x） =lnx-a（ x2-x）得，若函数 y=h（ x）在 [1，+∞）上单调递减，此问题可转化为对 x≥1恒成立；，只需，当 x≥1时， 2x2-x≥1，则，，故 a≥1，即 a 的取值范围为 [1，+∞）．【解析】（Ⅰ）根据题意可知 y=h（x）的定义域为（0，+∞），，可得其单调性与极值．h（x）=lnx-a（x2-x）得，若函数 y=h（x）在[1∞（Ⅱ）由，+）上单调递减，此问题可转化为对 x≥1恒成立；，只需，即可得出范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（I）函数f（x）=e x-ax-2的定义域是R， f′（ x） =e x-a，若 a≤0，则 f′（ x） =e x-a≥0，所以函数f（ x） =e x-ax-2 在（ -∞， +∞）上单调递增．x若 a＞ 0，则当 x∈（ -∞， lna）时， f′（ x） =e -a＜ 0；x当 x ∈（ lna ，+∞）时， f ′（ x ） =e -a ＞ 0；所以， f （ x ）在（ -∞， ln a ）单调递减，在（ lna ，+∞）上单调递增．（ II ）由于 a=1，所以，（ x-k ） f ′（ x ） +x+1=（ x-k ） （ e x -1）+x+1故当 x ＞ 0 时，（ x-k ） f ′（ x ）+x+1＞ 0 等价于 k ＜（ x ＞ 0）①令 g （ x ）=，则 g ′（ x ） =由（ I ）知，当 a=1 时，函数 h （ x ） =e x -x-2 在（ 0 ，+∞）上单调递增， 而 h （ 1）＜ 0， h （2）＞ 0，所以 h （ x ） =e x -x-2 在（ 0，+∞）上存在唯一的零点，故 g ′（ x ）在（ 0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为 α，则有 α∈（ 1， 2）当 x ∈（ 0，α）时， g ′（ x ）＜ 0；当 x ∈（α，+∞）时， g ′（ x ）＞ 0；所以 g （ x ）在（ 0，+∞）上的最小值为g （α）．αg （ α） =α +1∈（2， 3 ）又由 g ′（ α） =0，可得 e =α +2所以 由于①式等价于 k g α k 的最大值为 2 ．＜ （ ），故整数 【解析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母 a ，故应按 a 的取值范围进行分类讨论研究函数的 单调性，给出单调区间；（II ）由题设条件结合（I ），将不等式，x （-k ）f ′（x ）+x+1＞0 在 x ＞ 0 时成立转化为k ＜ （x ＞ 0）成立，由此问题转化为求 g （x ）=在 x ＞ 0 上的最小值问题，求导，确定出函数的最小 值，即可得出 k 的最大值；本题考查利用导数求函数的最 值及利用导数研究函数的 单调性，解题的关键是第一小 题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小 值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错．。
福建省宁德市部分一级达标中学高二数学下学期期中联考试题文
福建省宁德市部分一级达标中学2019-2019学年高二数学下学期期中联考试题文(扫描版)第I卷选if越(立E掘芫12小曲*,毎小聰$廿，共60井.在每小粗粘出的呂亍竦项中・有且只有一个选顼提苻合SSH鶴衆的)1•已知i为诡敷单位.刚尸"毎丁乩i B. -i C, I 乩一12,若蛤出緬绎IftFI的"二廉论X大就提弋“两个夏数可以比大小I小湘捉；"2十Ll*i都是艮救I结论「2十2丨杠二那么14T推理*・大前獎错富E•小號挠帯溟# C.推理勝武不正瞧X第絶正确乱若丸曲点的視坐标甘剔为冲』)叫4〒［则线般皿的中直的展坐标为2知嗨数"0的$说数为八E 址禍足川划=2^(1)+1" •则/(1)w于札 2 氐 1 C. -2 D- -I5.若曲数/(r) = x-?-2'*抵往点Ml I®处切鏡的斜率为5 -2h】2・则丹的值为氐已知函数/Cr) = ^3-3x + lnx,则函数.“切的单调谨增区间是 A. (0, —X(l,+°o)B- (^0)—)?(1,+50)C” (0,牙)，亿+00)D.■«■ itr»TT JI7.若函数尸如m •-处在卜亍寸上是减函数，则实数m 的取值范宙是i£f 吕A. (y’T]'乩｛Y °,1)C. (1,+®)D. [L+W )a 下列函数中x 三0是极值点的函数是A* f(x )一 *B. /(J )=X 2 + 2A + 3C. e r -x D+ f(h) = sinx~x山吹心与饷的图象如下图林则函蘇心宁的递駆间为A. (叫0),(1卫)B. (-oo,0), (1.4)C. (0.2), (14)D. (0J).(4,+«)10”设有下面四个命题恥若复数r 满足-€R,则施R ;11”甲、乙.丙、丁四位同学一起去向老师询问数学竞赛的成绩.老卿说「'你们四人中育2位"L■'优畀，2位良好，我现在给甲疽丁的成绩，给丙看乙的成绩，给丁看乙、丙的成绩「看后丁 对大家说：“我还是不知道我的成绩「根据以上信恩，则 A +甲可以知道四人的成绸 乩丙可以知遭四人的成绩 C.甲、丙可以知道对方的成绩D.甲*丙可以知道自己的成绩数尊｛文科」试題第2页共4页(护Pj ：若复数二满足则R ； 其中的宜命題为Ar P]"卩* B 由 p| , Pj几；若复数r 满足二R,则zeRM& P2->P3* 卩2,卩4血已轨函f（x） = In X + X - 4的零点为盯，烈工）斗严击兀一4的零点为丘•则函数- xln|xj + «+ £?的檄值之和为■ 』4A. 8 B, 4 匚4e U.-c第II卷二、填空题（本大題共4小题，彎小题矗分.共20分.将答案填在答题卡中的瓶线上）13. 已知点（：的•扱坐标为（Z彳｝・则以点〔、为圆心，以2为半径的圜的极坐称方程为 _ ■14. 已知f（x）=卜―十+册有3个零鼠则实数旳的取值范围为_________________ ■15. 已知f t（x）= sinx-casx, Zr+iO 是X W 的导函数，即f2（x）=f l t（^J >.A 厲）二几‘仗），…，打］（刃=X；（工）’ /J £ N'> 则血19 ⑴=一™. ------ •詬.已知曲践与血线口：+ 若两条曲线在交点处有拍同的切线.则实数。
福建省宁德市部分一级达标中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理201905130327
学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试高二数学（理科）试题（满分分；时间分钟）注意事项：.答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚 .每小题选出答案后，填入答案卷中•.考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留第卷（选择题共分）、选择题：本小题共小题，每小题分，共分•在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的••若复数z 满足z （2 - i ） = 4 +3i （i 为虚数单位），则z 为（ ）•已知函数 f (x) = sin(2x+P )+1，则 f'(0)=6• 、、3做的假设是x 2 3y =7-ln2x 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为（2x1 n x • x 2• ax • 3 一 0对x • （0,匸：）恒成立，则实数a 的最小值是（• -4x的大致图象是（• 2i • 1 -2i • 1 2i•用反证法证明命题“设 a , b ,c 为实数，满足 a+b+c = 3贝U a ， b ，c 至少有一个数不小于1”时，要c 都小于2 • a , b , c 都小于1 c 至少有一个小于2• a , b , c 至少有一个小于1•已知曲线 •若不等式2•下面使用类比推理，得到的结论正确的是( )•直线a,b,c ,若a b , b e ，则a c .类比出：向量一 ，若⑴汽 ,则•.•同一平面内，直线a, b,c ,若a A c, b A c 则a b .类比出：空间中，直线a,b,c ,若a A c,b A c ,则a b .•以点 '为圆心，为半径的圆的方程为， .类比出：以点"为球心/为半径的球面的方程为•实数 ,若方程=-曲- '人有实数根，则• 1■-.类比出：复数」,若方程-m - - 有实数根则：;.•已知函数f (x) = x 3 +3ax 2 +bx +a 2，在x = -1时有极值0，则a 的值为( )• 1• 2• 1或 2• 1 或 32 2已知双曲线C :冷-每=1：的右支与抛物线 x 2=4y 交于代B 两点，F 是抛物线的焦点,a bO 是坐标原点，且 AF + BF =6 OF ，则双曲线匚的离心率为()•有一天，宁德市的某小区发生了一起数额较大的盗窃案• 失主报案后，经过侦察，查明作案人肯定是甲、 乙、丙、丁四人中的一人.经过审讯，这四个人的口供如下: 甲：被盗的那天，我在福安市，所以我不是罪犯. 乙：丁是罪犯•丙：乙是盗窃犯，当天，我看见他出入小区• 丁：乙同我有仇，有意诬陷我•因口供不一致，无法判断谁是罪犯.经过测谎知道，这四人只有一个人说的是真话，那么罪犯是()乙• 丙• 丁In x已知函数f (x)=厂，若方程f (x)- a = 0恰有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是(x•设函数f (x)在R 上的导函数是f '(x)，对-x R,f (x) :::x ，若f (1 -a) - f(a) < --a ，则实数a 的2取值范围是(• a —11 a < - 2e12e2 c 2a < — • 0<a <-ee第卷(非选择题共分)二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分•把答案填在答题卡相应位置. •计算2. (sin x +cosx)dx =•飞• “： AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线，AC 、BD 互相垂直•”以上推理的大前提是.ax +1f(x)=在区间(-2, +?)上为减函数，则x+2 \/•设. 是函数的导数，：'是函数：'的导数，若方程= •有实数解 ，则对称点’•任何一个三次函数 小|「川昇于门；都有拐点，任何1 2 3 2019f (2020) f (2020) f(2020)"" ”2020)=三、解答题：本大题共小题，共分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (本小题满分分)已知复数二宀:在复平面内对应的点分别为 F匸；.且i " 上.(1)求•的值；(H)若7二】，求 ：的最大值.•(本小题满分分) 观察以下3个等式1 1 ；1创3= 2 1+1 ' 1 1 2 + =1 创3 3 5 2?2 1 1 1 13 + + =—1 创3 3 5 5创72 3+1•已知函数a 的取值范围是.为函数••的拐点，经过探究发现: 个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数33 21f (X )= x 3 x 2x 1，利用上述探究结果2 2 计算:(I)按照以上式子规律，写出n=4 , (n)用数学归纳法证明上述所猜想的第n=5的等式，并猜想第n个等式(n? N*)；n个等式成立(n ? N ).2.（本小题满分分）宁德市某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销 •经调查，每年投入广告费t （百万元），可增加的销售额为-t 2+5t （百万元）（0 #t 3 ）.（I ）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益销售额投入费用）（n ）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费 x （百1 | Q Q万元），可增加的销售额约为 --X +x +3x （百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共3同产生的收益最大•.（本小题满分分）如图，直三棱柱 ABC-ABQ 中，？ACB 120且AC 二BC 二AA , = 2 , E 是棱CC ,上的动点，F 是 棱AB 的中点•（I ）当E 是棱CC 1的中点时，证明： CF 平面AEB 1 ；（n ）在棱CG 上是否存在一点 E ,使得平面 AEB 1与平面ABC 所成锐二面角为 P ，若存在，求出 CE 的长，若不存在，请说明理由6（本小题满分分）右顶点分别为 A 、B •过点F 的直线交C 于D 、E 两点，直线 AD 、AE 与直线I 分别相交 M 、N 两 占八、、♦（I ）求C 的方程；（n ）以MN 为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由..（本小题满分分）已知函数 f （x ） = me x - ln x -1.x1 2(I)若 g(x) =me +§ax - (a+1)x- 1(a >0)，讨论 h(x) = f(x)- g(x)的单调性;已知椭圆C :2 X 2a2b 2=1（a b 0）的一个焦点为1F （1,0），离心率e，定直线I :x = 4，椭圆的左、2C 1(n)当m31 时，证明：f (x) >1 .学年第二学期期中考试高二数学（理科）试题答案卄^ f 1 ）• 2 .菱形对角线互相垂直.i-：-,I 2丿三.解答题：本大题共小题，共分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. .（本小题满分分）已知复数| 在复平面内对应的点分别为*』土住三】.且-（I）求「的值；（n）若•，求的最大值.解：（I）由复数的几何意义可知：z1 = -2,z^a 2i乙—Z2I = —2—a—2i| = J(—a—2$十(一2$ =2 .................................................. 分a 2. .......................................................... 分(n)法一：设z = m ni (m, n R) ................................................................................... 分由z=〔得m+n=1 , ....................................................................................................... 分故复数z对应的点轨迹是以原点为圆心，为半径的圆........................ 分Z-Z1表示圆上的点到的距离二Z—乙的最大值为................................................................ 分法二：设z = m ni(m, n R) ............................................................................................. 分由z =1 得m2+ n2 =1(—1 兰m 兰1) .......................................................................... 分二z_ 乙=(m+2)+ni , z_ 乙 | = J(m+2(+ n2=』5 + 4m 兰3 .......................... 分。
福建省宁德市部分一级达标中学高二数学下学期期中联考试题 文
与当今〝教员〞一称最接近的〝教员〞概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问«示侄孙伯安»诗云：〝伯安入小学，颖悟特殊貌，属句有夙性，说字惊教员。〞于是看，宋元时期小学教员被称为〝教员〞有案可稽。清代称主考官也为〝教员〞，而普通学堂里的先生那么称为〝教员〞或〝教习〞。可见，〝教员〞一说是比拟晚的事了。如今体会，〝教员〞的含义比之〝教员〞一说，具有资历和学问水平上较低一些的差异。辛亥革命后，教员与其他官员一样依法则任命，故又称〝教员〞为〝教员〞。
福建省宁德市一级达标学校五校联考2018-2019学年高二下学期期中数学试卷(理科)有解析
福建省宁德市一级达标学校五校联考2018-2019学年高二下学期期中数学试卷（理科）有解析注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．关于复数，给出下列判断：①3＞3i；②16＞（4i）2；③2+i＞1+i；④|2+3i|＞|2+i|．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠A和∠B都是锐角”的过程中，应该假设（）A．∠A和∠B都不是锐角B．∠A和∠B不都是锐角C．∠A和∠B都是钝角D．∠A和∠B都是直角3．函数f（x）=e x﹣4x的递减区间为（）A．（0，ln4）B．（0，4）C．（﹣∞，ln4） D．（ln4，+∞）4．若直线y=4x是曲线f（x）=x4+a的一条切线，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45． cosxdx=dx（a＞1），则a的值为（）A．B．2 C．e D．36．已知函数f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）是f（x）的导函数，则f（x）的极值点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．57．下列四个类比中，正确得个数为（）（1）若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在R 上可导，则该函数的导函数为偶函数．（2）若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2．将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为．（3）若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为．将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1．（4）在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，将此结论类比到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8．A．1 B．2 C．3 D．48．有下列一列数：，1，1，1，（），，，，，…，按照规律，括号中的数应为（）A．B．C．D．9．一拱桥的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h，宽为b，此抛物线拱的面积为S，若b=3h，则S等于（）A．h2B． h2C． h2 D．2h210．已知复数z=x+（x﹣a）i，若对任意实数x∈（1，2），恒有|z|＞|+i|，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，）C．[，+∞）D．（，+∞）11．设数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），则S10等于（）A．90 B．100 C．110 D．12012．若函数f（x）满足：x3f′（x）+3x2f（x）=e x，f（1）=e，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A．f（1）＜f（3）＜f（5）B．f（1）＜f（5）＜f（3）C．f（3）＜f（1）＜f（5）D．f（3）＜f（5）＜f（1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．复数在复平面内对应的点位于第象限．14．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为℃/h．15．已知表示不大于x的最大整数，设函数f（x）=，得到下列结论：结论1：当1＜x＜2时，f（x）=0；结论2：当2＜x＜4时，f（x）=1；结论3：当4＜x＜8时，f（x）=2；照此规律，得到结论10：．16．若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点，则a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知复数z满足，|z|=5．（1）求复数z的虚部；（2）求复数的实部．18．已知函数f（x）=e2x﹣1﹣2x．（1）求f（x）的极值；（2）求函数g（x）=在上的最大值和最小值．19．用数学归纳方法证明：22+42+62+…+（2n）2=n（n+1）（2n+1）（n∈N*）．20．已知函数f（x）=x3+x．（1）求函数g（x）=f（x）﹣4x的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数F（x）=f（x）﹣ax2在（0，3]上递增，求a的取值范围．21．现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB分别交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域．已知OA=1km，∠AOB=，∠EOF=θ（0＜θ＜）．（1）若区域Ⅱ的总面积为，求θ的值；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？22．已知函数f（）=﹣x3+x2﹣m（0＜m＜20）．（1）讨论函数f（x）在区间上的单调性；（2）若曲线y=f（x）仅在两个不同的点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））处的切线都经过点（2，lg），其中a≥1，求m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．关于复数，给出下列判断：①3＞3i；②16＞（4i）2；③2+i＞1+i；④|2+3i|＞|2+i|．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】A2：复数的基本概念．【分析】①③两个复数如果不完全是实数，则不能比较大小；②利用复数的运算法则即可判断出结论；④利用复数的模的计算公式即可判断出结论．【解答】解：①两个复数如果不完全是实数，则不能比较大小，因此3＞3i不正确；②∵（4i）2=﹣16，因此正确；③道理同①，不正确；④|2+3i|==，|2+i|=，因此|2+3i|＞|2+i|正确．其中正确的个数为2．故选：B．2．在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠A和∠B都是锐角”的过程中，应该假设（）A．∠A和∠B都不是锐角B．∠A和∠B不都是锐角C．∠A和∠B都是钝角D．∠A和∠B都是直角【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设命题的反面成立，求出要证明题的否定，即为所求．【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，而命题：“∠A和∠B都是锐角”的否定是∠A和∠B不都是锐角，故选：B．3．函数f（x）=e x﹣4x的递减区间为（）A．（0，ln4）B．（0，4）C．（﹣∞，ln4） D．（ln4，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：f′（x）=e x﹣4，令f′（x）＜0，解得：x＜ln4，故函数在（﹣∞，ln4）递减；故选：C．4．若直线y=4x是曲线f（x）=x4+a的一条切线，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用切线的斜率，设出切点坐标，列出方程求解即可．【解答】解：设切点坐标为：（m，4m），∵f′（x）=4x3，∴f′（m）=4m3=4，解得m=1，∴14+a=4，解得a=3．故选：C．5． cosxdx=dx（a＞1），则a的值为（）A．B．2 C．e D．3【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解： cosxdx=sinx|=，dx=lnx|=lna，∴lna=，∴a=故选：A6．已知函数f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）是f（x）的导函数，则f（x）的极值点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】3O：函数的图象．【分析】根据极值点的定义和f′（x）的图象得出结论．【解答】解：若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0，且f′（x）在x0两侧异号，由f′（x）的图象可知f′（x）=0共有4解，其中只有两个零点的左右两侧导数值异号，故f（x）有2个极值点．故选A．7．下列四个类比中，正确得个数为（）（1）若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在R 上可导，则该函数的导函数为偶函数．（2）若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2．将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为．（3）若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为．将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1．（4）在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，将此结论类比到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据类比推理的一般步骤是：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想），判断命题是否正确．【解答】解：对于（1），若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在R上可导，则该函数的导函数为偶函数，命题正确；对于（2），若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2；将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为，命题正确；对于（3），若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为；将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1，命题正确；对于（4），在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，将此结论类比到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8，命题正确．综上，正确的命题有4个．故选：D．8．有下列一列数：，1，1，1，（），，，，，…，按照规律，括号中的数应为（）A．B．C．D．【考点】82：数列的函数特性．【分析】由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，即可得出．【解答】解：，，，，（），，，，，…，由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，故括号中的数应该为，故选：B9．一拱桥的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h，宽为b，此抛物线拱的面积为S，若b=3h，则S等于（）A．h2B． h2C． h2 D．2h2【考点】K8：抛物线的简单性质；69：定积分的简单应用．【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，将点代入抛物线方程，即可求得抛物线方程，根据定积分的几何意义，即可求得S．【解答】解：以抛物线的最高点为坐标原点，以抛物线的拱的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程y=ax2，a＜0，由抛物线经过点（，﹣h），代入抛物线方程：﹣h=a（）2，解得：a=﹣，S=h×3h﹣（﹣2ax2dx），=3h2﹣2××x3=2h2，故选D．10．已知复数z=x+（x﹣a）i，若对任意实数x∈（1，2），恒有|z|＞|+i|，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，）C．[，+∞）D．（，+∞）【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求出复数的模，把|z|＞|+i|，转化为a＜x（1＜x＜2）恒成立，再求出x﹣的范围得答案．【解答】解：∵z=x+（x﹣a）i，且|z|＞|+i|恒成立，∴＞，两边平方并整理得：a＜x﹣．∵x∈（1，2），∴x﹣∈（，）．则a．∴实数a的取值范围为（﹣∞，]．故选：A．11．设数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），则S10等于（）A．90 B．100 C．110 D．120【考点】8E：数列的求和．【分析】由题意可得4S3=3（a3+7），4S2=2（a2+a3），4S1=a1+a2，运用数列的递推式可得a1=1，a2=3，a3=5，进而得到a n=2n﹣1，，即可得到所求值．【解答】解：由数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），可得4S3=3（a3+7），4S2=2（a2+a3），4S1=a1+a2，∴a2=3a1，a3=5a1，从而4×9a1=3（5a1+7），即a1=1，∴a2=3，a3=5，∴4S4=4（a4+a5），∴a5=9，同理得a7=13，a8=15，…，a n=2n﹣1，∴，经验证4S n=n（a n+a n+1）成立，∴S10=100．故选：B．12．若函数f（x）满足：x3f′（x）+3x2f（x）=e x，f（1）=e，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A．f（1）＜f（3）＜f（5）B．f（1）＜f（5）＜f（3）C．f（3）＜f（1）＜f（5）D．f（3）＜f（5）＜f（1）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】首先由已知的等式构造′=0，由题意求出c，得到f（x）的解析式，从而得到答案．【解答】解：由x3f′（x）+3x2f（x）=e x，得到'=0，设x3f（x）﹣e x=c，因为f（1）=e，所以c=0，∴x=0不满足题意，x≠0时，f（x）=，f′（x）=，所以f（3）＜f（5）＜f（1）．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．复数在复平面内对应的点位于第四象限．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解： ===1﹣i在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故答案为：四．14．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为﹣5 ℃/h．【考点】61：变化的快慢与变化率．【分析】导函数即为原油温度的瞬时变化率，利用导数法可求变化的快慢与变化率．【解答】解：由题意，f′（x）=2x﹣7，当x=1时，f′（1）=2×1﹣7=﹣5，即原油温度的瞬时变化率是﹣5℃/h．故答案为：﹣515．已知表示不大于x的最大整数，设函数f（x）=，得到下列结论：结论1：当1＜x＜2时，f（x）=0；结论2：当2＜x＜4时，f（x）=1；结论3：当4＜x＜8时，f（x）=2；照此规律，得到结论10：当29＜x＜210时，f（x）=9 ．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据前3个结论，找到规律，即可得出结论．【解答】解：结论1：当1＜x＜2时，即20＜x＜21，f（x）=1﹣1=0；结论2：当2＜x＜4时，即21＜x＜22，f（x）=2﹣1=1；结论3：当4＜x＜8时，即22＜x＜23，f（x）=3﹣1=2，通过规律，不难得到结论10：当29＜x＜210时，f（x）=10﹣1=9，故答案为：当29＜x＜210时，f（x）=9．16．若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点，则a的取值范围是．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值以及端点值，根据函数的零点求出a的范围即可．【解答】解：若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a，则f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在（﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，）递增，故f（x）极大值=f（﹣1）=7﹣a，f（x）极小值=f（1）=3﹣a，而f（﹣3）=﹣13﹣a，f（）=﹣a，故或，解得：a∈，故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知复数z满足，|z|=5．（1）求复数z的虚部；（2）求复数的实部．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】（1）设复数z=a+bi（a，b∈R），可得=a﹣bi，利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．（2）利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【解答】解：（1）设复数z=a+bi（a，b∈R），∴=a﹣bi，∴，∴a=3．∴⇒b=±4，即复数z的虚部为±4．（2）当b=4时， ==，其实部为．当b=﹣4时， ==，其实部为．18．已知函数f（x）=e2x﹣1﹣2x．（1）求f（x）的极值；（2）求函数g（x）=在上的最大值和最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．【解答】解：（1）f′（x）=2e2x﹣1﹣2，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，故f（x）在（﹣∞，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）min=f（）=0，无极大值；（2）g（x）==﹣，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞e，令g′（x）＜0，解得：x＜e，故g（x）在递减，在（e，e2]递增，故g（x）min=g（e）=﹣，∵g（1）=0，g（e2）=﹣，∴g（x）max=0．19．用数学归纳方法证明：22+42+62+…+（2n）2=n（n+1）（2n+1）（n∈N*）．【考点】RG：数学归纳法．【分析】用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等式成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．【解答】证明：①n=1时，左边=4，右边=4，等式成立；②假设n=k时等式成立，即22+42+62+…+（2k）2=k（k+1）（2k+1）那么，当n=k+1时，22+42+62+…+（2k）2+2，=k（k+1）（2k+1）+2，=（k+1）（2k2+k+6k+6），=（k+1）（k+2）（2k+3），=（k+1），等式成立．由①②可知，等式对任何正整数n都成立．20．已知函数f（x）=x3+x．（1）求函数g（x）=f（x）﹣4x的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数F（x）=f（x）﹣ax2在（0，3]上递增，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程，求出三角形的面积即可；（3）问题转化为2a≤（3x+）min，根据不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解：（1）g（x）=x3﹣3x，g′（x）=3（x+1）（x﹣1），令g′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令g′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）f′（x）=3x2+1，f（1）=2，f′（1）=4，故切线方程是：y﹣2=4（x﹣1），即y=4x﹣2，令x=0，解得：y=﹣2，令y=0，解得：x=，故S△=×2×=；（3）由题意得F′（x）=3x2+1﹣2ax≥0在（0，3]恒成立，故2a≤（3x+）min，∵3x+≥2，∴2a≤2，a≤．21．现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB分别交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域．已知OA=1km，∠AOB=，∠EOF=θ（0＜θ＜）．（1）若区域Ⅱ的总面积为，求θ的值；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）推导出OD=OC，DE⊥OB，CF⊥OA，从而Rt△ODE≌Rt△OCF，进而∠DOE=∠COF=，由此得到S区域Ⅱ=（0＜θ＜），从而能求出θ．（2）由S区域Ⅰ=，求出S区域Ⅲ=S总﹣S区域Ⅰ﹣S区域Ⅱ=cosθ．记年总收入为y万元，则y=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜），y'=5（1﹣2sinθ），令y'=0，则θ=．由此利用导数性质求出当θ=时，年总收入最大．【解答】解：（1）∵BD=AC，OB=OA，∴OD=OC．∵∠AOB=，DE∥OA，CF∥OB，∴DE⊥OB，CF⊥OA．又∵OE=OF，∴Rt△ODE≌Rt△OCF．∴∠DOE=∠COF=，又OC=OF•cos∠COF∴S△COF=•OC•OF•sin∠COF=cosθ∴S区域Ⅱ=（0＜θ＜）．由，得cosθ=，∵0＜θ＜，∴θ=．（2）∵S区域Ⅰ=，∴S区域Ⅲ=S总﹣S区域Ⅰ﹣S区域Ⅱ=cosθ．记年总收入为y万元，则y=30×cosθ=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜），所以y'=5（1﹣2sinθ），令y'=0，则θ=．当0＜θ＜时，y'＞0；当时，y'＜0．故当θ=时，y有最大值，即年总收入最大．22．已知函数f（）=﹣x3+x2﹣m（0＜m＜20）．（1）讨论函数f（x）在区间上的单调性；（2）若曲线y=f（x）仅在两个不同的点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））处的切线都经过点（2，lg），其中a≥1，求m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得f（x）=﹣x3+mx2﹣m，求出导数，讨论当≥6即9≤m＜20时，当2＜＜6，即为3＜m＜9时，当≤2，即0＜m≤3时，可得f（x）的单调性；（2）求出f（x）的导数，可得A，B处的切线方程，代入点（2，﹣lga），可得x1，x2为方程﹣lga﹣（﹣x3+mx2﹣m）=（﹣3x2+2mx）（2﹣x）的两个不等实根，化简整理可得，2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m+lga=0，令g（x）=2x3﹣（m+6）x2+4mx ﹣m+lga，求出导数和极值点，由题意可得g（x）必有一个极值为0，对m讨论，结合a≥1，解不等式即可得到所求m 的范围．【解答】解：（1）函数f（）=﹣x3+x2﹣m，可得f（x）=﹣x3+mx2﹣m，f′（x）=﹣3x2+2mx=﹣x（3x﹣2m），当≥6即9≤m＜20时，函数f（x）在区间上的单调递增；当2＜＜6，即为3＜m＜9时，f（x）在递减；当≤2，即0＜m≤3时，函数f（x）在区间上的单调递减；（2）f′（x）=﹣3x2+2mx，可得A处的切线方程：y﹣（﹣x13+mx12﹣m）=（﹣3x12+2mx）（x﹣x1），同理可得B处的切线方程：y﹣（﹣x23+mx22﹣m）=（﹣3x22+2mx）（x﹣x2），代入点（2，﹣lga），可得x1，x2为方程﹣lga﹣（﹣x3+mx2﹣m）=（﹣3x2+2mx）（2﹣x）的两个不等实根，化简整理可得，2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m+lga=0，令g（x）=2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m+lga，g′（x）=6x2﹣2（m+6）x+4m=2（3x﹣m）（x﹣2），由0＜m＜20，可得g′（x）=0，可得x=2或x=．g（2）=3m﹣8+lga，g（）=﹣m3+m2﹣m+lga，由题意可得g（x）必有一个极值为0，（Ⅰ）若m＜2，即0＜m＜6，由g（2）=0，g（）＞0，可得lga=8﹣3m≥0，即m≤，则g（）=﹣m3+m2﹣m+8﹣3m=﹣（m﹣6）3＞0成立，即有0＜m≤；①由g（2）＜0，g（）=0，可得lga+3m﹣8＜0，﹣ m3+m2﹣m+lga=0，由lga≥0，可得0≤m≤9﹣3或m≥9+3，由g（2）=m3﹣m2+m﹣8+3m=（m﹣6）3＜0，解得m＜6，即有0＜m≤9﹣3；②（Ⅱ）若m＞2，即6＜m＜20，由g（2）=0，g（）＜0，可得lga=8﹣3m≥0，即m≤，则m无解；③由g（2）＞0，g（）=0，可得lga+3m﹣8＞0，﹣ m3+m2﹣m+lga=0，由lga≥0，可得0≤m≤9﹣3或m≥9+3，由g（2）=m3﹣m2+m﹣8+3m=（m﹣6）3＞0，解得m＞6，即有9+3≤m＜20，④综上可得，0＜m≤或9+3≤m＜20．。
福建省宁德市部分一级达标中学2018-2019学年高二年下学期期中考试题word版数学(理)试题1
yxO yxO2018-2019学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试高二数学（理科）试题(满分:150分; 时间:120分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚.2.每小题选出答案后，填入答案卷中.3.考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z 满足(2)43z i i (i 为虚数单位)，则z 为（ ）A ．2i -B ．2iC ．12i -D ．12i + 2．已知函数()sin(2)16f x x，则'(0)f （ ）A ．12B．1 C ．2 D3．用反证法证明命题“设a ，b ，c 为实数，满足3a b c 则a ，b ，c 至少有一个数不小于1”时，要做的假设是（ ）A ．a ，b ，c 都小于2B ．a ，b ，c 都小于1C ．a ，b ，c 至少有一个小于2D ．a ，b ，c 至少有一个小于1 4．已知曲线2ln 22x yx 的一条切线的斜率为32，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．12-C ．2D ．12-或2 5．若不等式22ln 30x x x ax +++≥对(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值是( ) A ．4- B ．0 C ．2D ．46．函数2()xx xf x e +=的大致图象是（ ）A ． C ． D7．下面使用类比推理，得到的结论正确的是（ ）A ．直线,,a b c ,若a //b ，b //c ，则a //c .类比出:向量a ⃗ ,b ⃗⃗ ,c ⃗，若a ⃗//b ⃗⃗,b ⃗⃗//c ⃗，则a ⃗//c ⃗.B ．同一平面内,直线,,a b c ,若,ac b c 则a //b .类比出:空间中,直线,,a b c ,若,a c b c ,则a //b .C ．以点(0,0)为圆心,r 为半径的圆的方程为x 2+y 2=r 2.类比出:以点(0,0,0)为球心,r 为半径的球面的方程为x 2+y 2+z 2=r 2.D ．实数a,b ,若方程x 2+ax +b =0有实数根,则a 2≥4b .类比出:复数a,b ,若方程x 2+ax +b =0有实数根,则a 2≥4b . 8．已知函数322()3f x x ax bx a ，在1x 时有极值0，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．1或39. 已知双曲线C ：22221x y a b (a >0,b >0)的右支与抛物线24x y 交于,A B 两点，F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，且6AF BF OF ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．32B ．2C ．10．有一天，宁德市的某小区发生了一起数额较大的盗窃案．失主报案后，经过侦察，查明作案人肯定是甲、乙、丙、丁四人中的一人．经过审讯，这四个人的口供如下： 甲：被盗的那天，我在福安市，所以我不是罪犯． 乙：丁是罪犯．丙：乙是盗窃犯，当天，我看见他出入小区． 丁：乙同我有仇，有意诬陷我．因口供不一致，无法判断谁是罪犯．经过测谎知道，这四人只有一个人说的是真话，那么罪犯是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 11．已知函数2ln ()xf x x ，若方程()0f x a 恰有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12ae B ．102a e C ．2a e D ．20a e12．设函数()f x 在R 上的导函数是'()f x ，对,'()x R f x x ∀∈<，若1(1)()2f a f a a --≤-，则实数a 的取值范围是（ ） A ． 12a ≤B ．102a ≤≤C ．12a ≥D ．112a ≤≤第II 卷 （非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．计算22(sin cos )x x dx ππ-+=⎰ .14．“AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线，AC 、BD 互相垂直．”以上推理的大前提是________．15．已知函数1()2ax f x x 在区间2,上为减函数，则a 的取值范围是________．16．设f′(x)是函数f(x)的导数，f′′(x)是函数f′(x)的导数，若方程f′′(x)=0有实数解x 0，则对称点(x 0，f(x 0))为函数f(x)的拐点，经过探究发现：任何一个三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +d(a ≠0)都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数3231()122f x x x x =-++，利用上述探究结果计算：1232019()()()()2020202020202020f f f f ++++= . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知复数z 1,z 2在复平面内对应的点分别为A(−2,0),B(a,2)．且|z 1−z 2|=2. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若|z |=1，求|z −z 1|的最大值.18． (本小题满分12分)观察以下3个等式11=13211；112+=1335221； 1113++=133557231；（Ⅰ）按照以上式子规律，写出=4n ，=5n 的等式，并猜想第n 个等式*()nN ；（Ⅱ）用数学归纳法证明上述所猜想的第n 个等式成立*()n N .19．(本小题满分12分)宁德市某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t（百万元），可增加的销售额为25t t （百万元）（03t ）.（Ⅰ）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）（Ⅱ）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费x （百万元），可增加的销售额约为32133x x x （百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.20．(本小题满分12分) 如图，直三棱柱111ABC A B C 中，120ACB 且12ACBCAA ，E 是棱1CC 上的动点，F 是棱AB 的中点.（Ⅰ）当E 是棱1CC 的中点时，证明：CF //平面1AEB ；（Ⅱ）在棱1CC 上是否存在一点E ，使得平面1AEB 与平面ABC 所 成锐二面角为6，若存在，求出CE 的长，若不存在，请说明理由.21．(本小题满分12分)已知椭圆:C )0(12222>>=+b a b y a x 的一个焦点为)0,1(F ，离心率21=e ，定直线4:=x l ，椭圆的左、右顶点分别为A 、B ．过点F 的直线交C 于D 、E 两点，直线AD 、AE 与直线l 分别相交M 、N 两点． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．22．(本小题满分12分) 已知函数()ln 1x f x me x .1A（Ⅰ）若21()(1)1(0)2xg x me ax a x a ，讨论()()()h x f x g x 的单调性；（Ⅱ）当1m 时，证明：()1f x .2018-2019学年第二学期期中考试高二数学（理科）试题答案一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 2 14．菱形对角线互相垂直 15．1-,2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭16．2019 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知复数z 1,z 2在复平面内对应的点分别为A(−2,0),B(a,2)．且|z 1−z 2|=2 （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若|z |=1，求|z −z 1|的最大值.解：（Ⅰ）由复数的几何意义可知：122,2z z a i =-=+ ······································ 1分12222z z a i -=---== ·············································· 4分2a ∴=-. ································································································· 5分 （Ⅱ）法一：设(,)z m ni m n R =+∈ ····························································· 6分 由1z =得221m n +=， ············································································· 7分 故复数z 对应的点轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆 ······································· 8分∴1z z -表示圆上的点到A 的距离 ································································ 9分 ∴1z z -的最大值为3 ·············································································· 10分法二：设(,)z m ni m n R =+∈ ······································································ 6分 由1z =得221(11)m n m +=-≤≤ ································································ 7分∴()12z z m ni -=++，13z z -==≤ ······················· 9分∴1z z -的最大值为3 ·············································································· 10分18． (本小题满分12分)观察以下3个等式11=13211；112+=1335221； 1113++=133557231；（Ⅰ）照以上式子规律，写出=4n ，=5n 的等式，并猜想第n 个等式*()nN ；（Ⅱ）用数学归纳法证明上述所猜想的第n 个等式成立*()n N .解：（Ⅰ）当=4n 时，11114+++=133******** ································ 1分当=5n 时，111115++++=13355779911251······················· 2分 故对任意*nN ,111+++=1335212121nn n n ··························· 4分 （Ⅱ）证明：①当=1n 时，左边=11=133 ，右边=11=2113左边=右边，所以等式成立。
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2018-2019学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.在极坐标系中，点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭与2,6π⎛⎫-⎪⎝⎭的位置关系是（ ） A. 关于极轴所在直线对称 B. 关于极点对称 C. 重合 D. 关于直线()2R πθρ=∈对称【答案】A 【解析】 【分析】结合坐标系确定两点位置关系. 【详解】在极坐标系中，点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭与2,6π⎛⎫-⎪⎝⎭如图，则点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭与2,6π⎛⎫-⎪⎝⎭的位置关系是关于极轴所在直线对称． 故选：A ．【点睛】本题考查极坐标中点的位置关系，考查基本分析判断能力，属基础题.2.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，10i e π+=是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数3i e π虚部为（ ）A. C. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意代入化简即得复数3i e π，再根据虚部概念得结果【详解】根据欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，可得3cossin33ie i πππ=+122=+， ∴3i e π故选：B ．【点睛】本题考查复数运算以及概念，考查基本分析求解能力，属基础题.3.用反证法证明命题“设a ，b ，c 为实数，满足3a b c ++=，则a ，b ，c 至少有一个数不小于1”时，要做的假设是（ ）A. a ，b ，c 都小于2B. a ，b ，c 都小于1C. a ，b ，c 至少有一个小于2D. a ，b ，c 至少有一个小于1【答案】B 【解析】 【分析】假设就是求结论的否定.【详解】a ，b ，c 至少有一个数不小于1的对立面就是a ，b ，c 三个都小于1． 故选：B ．【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本分析判断能力，属基础题.4.函数()()22sin f x ex x =+的导数是（ ） A. ()'4cos f x ex x =+ B. ()'4cos f x ex x =- C. ()2'8cos f x e x x =+D. ()2'8cos f x e x x =-【答案】C 【解析】 【分析】根据导数运算法则求解即可.【详解】根据题意，()()2222sin 4sin f x ex x e x x =+=+， 其导数()()()222'4'sin '8cos f x e xx e x x =+=+，故选：C ．【点睛】本题考查导数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.5.====2+a b 的值分别是（） A. 79 B. 81C. 100D. 98【答案】D 【解析】 【分析】先根据规律确定,a b ，再计算即得结果.====，2n ≥=9b =，29180a =-=， 故2801898a b +=+=， 故选：D ．【点睛】本题考查归纳类比，考查基本分析求解能力，属基础题.6.曲线()31233f x x x =-++在点()()2,2f 处的切线与坐标轴围成的三角面积为（ ） A. 6 B. 32C. 3D. 12【答案】A 【解析】 【分析】先求导数得切线斜率，再根据点斜式得切线方程，最后求切线与坐标轴交点，计算面积. 【详解】()21f x x =-+的导数为()'23f =-，()20f =，可得在点()2,0处的切线斜率为：-3，即有切线的方程为()32y x =--. 分别令0x =，0y =可得切线在y ，x 轴上的截距为6，2．即有围成的三角形的面积为：16262⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属基础题.7.函数()3ln f x x x =+的单调递减区间是（ ） A. 1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭, B. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先求导数，再解不等式得结果.【详解】()'ln 1f x x =+，令()'0f x <，解得：10x e<<， 故选：B ．【点睛】本题考查利用导数求单调区间，考查基本分析求解能力，属基础题.8.2018年4月，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是（ ） A. 甲 B. 丁或戊 C. 乙 D. 丙【答案】D 【解析】 【分析】根据猜测分类讨论确定冠军取法.【详解】假设爸爸的猜测是对的，即冠军是甲或丙，则妈妈的猜测是错的，即乙或丙是冠军，孩子的猜测是错的，即冠军不是丁与戊，所以冠军是丙；假设妈妈猜测是对的，即冠军一定不是乙和丙；孩子的猜测是错的，即冠军不是丁与戊，则冠军必为甲，即爸爸的猜测是对的，不合题意；假设孩子的猜测是对的，则妈妈的猜测也对，不合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查利用合情推理，考查基本分析判断能力，属基础题.9.函数2xx xy e +=的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】()()()()()222222111x xxxxxx e x x e x x e x x y e e e +-+-++-+'+===，则函数在⎝⎭上单调递增，在⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减， 且()()110f f -== 故选C10.用长为30cm 的钢条围成一个长方体形状的框架（即12条棱长总和为30cm ），要求长方体的长与宽之比为3:2，则该长方体最大体积是（）A. 24B. 15C. 12D. 6【答案】B 【解析】 【分析】设该长方体的宽是x 米，根据题意得长与宽，根据体积公式列函数关系式，最后根据导数求最值. 【详解】设该长方体的宽是x 米，由题意知，其长是32x 米，高是301015542x x--=米，（03x <<）则该长方体的体积()32315515452244x V x x x x x -⎛⎫=⋅⋅=-+ ⎪⎝⎭，()24590'44V x x x =-+，由()'0V x =，得到2x =， 且当02x <<时，()'0V x >； 当23x <<时，()'0V x <，即体积函数()V x 在2x =处取得极大值()215V =，也是函数()V x 在定义域上的最大值．所以该长方体体积最大值是15． 故选：B ．【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查基本分析求解能力，属中档题.11.若121x x >>，则（ ） A. 1221xxx e x e > B. 1221x xx e x e < C. 2112ln ln x x x x > D. 2112ln ln x x x x <【答案】A 【解析】 【分析】根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小.【详解】①令()()1x e f x x x =>，则()()21'0x x e f x x-=>，∴()f x 在()1,+?上单调递增，∴当121x x >>时，1212x x e e x x >，即1221x x x e x e >，故A 正确．B 错误. ②令()()ln 1x g x x x =>，则()21ln 'x g x x-=，令()0g x =，则x e =， 当1x e <<时，()'0g x >；当x e >时，()'0g x <，∴()g x 在()1,e 上单调递增， 在(),e +∞上单调递减，易知C ，D 不正确， 故选：A ．【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.12.对0x ∀>，不等式ln 2ax ex x≥-+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. 2,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 2,e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C. (),2e -∞-D. (],2e -∞-【答案】B 【解析】 【分析】先分离变量，再利用导数研究新函数单调性与最值，即得结果. 【详解】由()ln 20ax ex x x≥-+>恒成立可得()2ln 20a x x ex x x ≤+->恒成立， 令()()2ln 20f x x x ex x x =+->，则()'ln 21f x x ex =+-， 显然()'f x 在()0,+?上单调递增，又1'1210f e ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，∴当10x e<<时，()'0f x <，当1x e >时，()'0f x >，∴当1x e=时，()f x 取得最小值12f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∴2a e ≤-.故选：B ．【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数()()12z m m i =-++对应的点在直线10x y ++=上，则实数m 的值是______． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据复数几何意义得点坐标，代入直线方程解得结果.【详解】∵复数()()12z m m i =-++对应的点在直线10x y ++=上， ∴()()1210m m -+++=，解得1m =-． 故答案为：-1．【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.14.在极坐标系中，已知两点3,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,6B π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则A ，B 两点间的距离为______．【答案】5 【解析】 【分析】先化直角坐标，再根据两点间距离求解.【详解】由两点3,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,6B π⎛⎫- ⎪⎝⎭，得A ，B 两点的直角坐标分别为32A ⎛ ⎝⎭，()2B -， 由两点间的距离公式得：AB=5==. 故答案为：5．【点睛】本题考查极坐标化直角坐标以及两点间的距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题.15.设等边ABC ∆的边长为a ，P 是ABC ∆内的任意一点，且P 到三边AB 、BC、CA 的距离分别为1d 、2d 、3d ，则有123d d d ++为定值2a ；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD 的棱长为3，P是正四面体ABCD 内的任意一点，且P 到四个面ABC 、ABD 、ACD 、BCD 的距离分别为1d 、2d 、3d 、4d ，则有1234d d d d +++为定值______． 【解析】 【分析】根据类比思想以及正四面体体积公式，结合分割法求结果. 【详解】设底面三角形BCD 的中心为O，则223BO =⨯=AO ==∴正四面体的体积19344V =⨯=又P ABC P ABD P ACD P BCD V V V V V ----=+++()1234193d d d d =⨯+++， ∴1234d d d d +++=．【点睛】本题考查类比思想、正四面体体积公式以及分割法求体积，考查综合分析求解能力，属中档题.16.已知函数()3132xx f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数．若()()220f a f a +-<，则实数a 的取值范围是______． 【答案】()2,1- 【解析】 【分析】先研究函数奇偶性与单调性，再根据函数性质化简不等式，最后解一元二次不等式得结果. 【详解】因为函数()3132xx f x x x e e=-+-， ()33113232x x x x f x x x e x x e e e---=-++-=-++-则()()f x f x -=-，∴函数()f x 在R 上为奇函数． 因为()221'929220xx f x x e x e=-++≥-+≥. ∴函数()f x 在R 上单调递增．∵()()220f a f a +-<，∴()()()22f a f a f a -<-=-，∴22a a -<-，交点21a -<<.则实数a 的取值范围是()2,1-． 故答案为：()2,1-．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及利用导数解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在极坐标系下，已知圆C ：cos sin ρθθ=+和直线l ：20x y -+=. （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程； （Ⅱ）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．【答案】（Ⅰ）C :220x y x y +--=，l :cos sin 20ρθρθ-+=；（Ⅱ）2【解析】 【分析】（Ⅰ）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=进行直角坐标与极坐标互化，（Ⅱ）根据圆心到直线距离减去半径得结果.【详解】（Ⅰ）圆C ：cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+， 圆C 的直角坐标方程为：22x y x y +=+，即220x y x y +--=； 直线l ：20x y -+=，则直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=.（Ⅱ）由圆C 的直角坐标方程为220x y x y +--=可知圆心C 坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2，因为圆心C 到=C 上的点到直线l=【点睛】本题考查直角坐标与极坐标互化以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.18.（Ⅰ）已知m R ∈，复数()()2245215z m m m m i =--+--是纯虚数，求m 的值； （Ⅱ）已知复数z 满足方程()20z z i +-=，求z 及2z i +的值． 【答案】（Ⅰ）1m =-；（Ⅱ）1zi =-【解析】 【分析】（Ⅰ）根据纯虚数概念列方程，解得结果，（Ⅱ）解复数方程z ，再根据共轭复数概念以及模的定义的结果.【详解】（Ⅰ）∵z 为纯虚数，∴2251450532150m m m m m m m m ⎧==-⎧--=⇒⎨⎨≠≠---≠⎩⎩或且，∴1m =-； （Ⅱ）()()()2121111i i iz i i i i -===+++-，∴1z i =-， ∴()2121z i i i i +=-+=+=【点睛】本题考查纯虚数、共轭复数以及复数运算，考查基本分析求解能力，属基础题.19.设函数()365f x x x =-+，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x 的方程()f x a =有3个不同实根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）55a -<<+【解析】【分析】（1）求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间，根据单调性可求得函数的极值；（2）根据单调性与极值画出函数的大致图象，则关于x 的方程()f x a =有三个不同的实根等价于直线y a =与()y f x =的图象有三个交点，结合图象从而可求出a 的范围.【详解】（1）()()2'32f x x =-，令()'0f x =，得12x x ==，x ∴<x >()'0f x >；当x <<()'0f x <，()f x 的单调递增区间(,-∞和)+∞，单调递减区间(，当x =()f x 有极大值5+当x =()f x 有极小值5-（2）由（1）可知()y f x =的图象的大致形状及走向如图所示，∴当55a -<<+y a =与()y f x =的图象有三个不同交点，即当55a -<<+()f x a =有三解.【点睛】单本题主要考查利用导数研究函数的调性与极值，以及函数的零点与函数图象交点的关系，属于中档题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.20.已知函数()142x f x =+， （Ⅰ）分别求()()01f f +，()()12f f -+，()()23f f -+的值；（Ⅱ）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．【答案】详见解析.【解析】 试题分析：通过计算发现每两个数的和都是12，故猜想()()112f x f x +-=，通过计算证明上式是成立的. 试题解析： ()()11101362f f +=+=；同理()()()()1112,2322f f f f -+=-+=⋯ 由此猜想()()112f x f x +-= 证明：()()()()11114142411424242424422224224x x x x x x x x x x f x f x -++-=+=+=+==++++⋅+++ 故猜想成立.21.已知函数()ln f x x =，()()()20,g x a x x a a R =-≠∈，()()()h x f x g x =-.（Ⅰ）若1a =，求函数()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =在[)1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）极大值()10h =，无极小值；（Ⅱ）[)1,+∞【解析】【分析】（Ⅰ）先求导数，再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定极值，（Ⅱ）根据题意得()'0h x ≤对1x ≥恒成立，再利用变量分离法转化为对应函数最值，最后根据函数最值得结果.【详解】（Ⅰ）根据题意可知()ln f x x =的定义域为()0,+?，()()()2111'21x x h x x x x+-=-+=-， 故当()0,1x ∈时，()'0h x >，故()h x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()'0h x <，故()h x 单调递减，所以当1x =时，()h x 取得极大值()10h =，无极小值．（Ⅱ）由()()2ln h x x a x x =--得()()1'21h x a x x=--， 若函数()y h x =在[)1,+∞上单调递减，此问题可转化为()()1'210h x a x x=--≤对1x ≥恒成立； ()211121212x a x x x x x≥==---，只需2max 12a x x ⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭， 当1x ≥时，221x x -≥，则21012x x <≤-，2max112x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 故1a ≥，即a 的取值范围为[)1,+∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数极值以及利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.22.设函数()2x f x e ax =--. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()'10x k f x x -++>，求k 的最大值．【答案】（1）若0a ≤，()f x 在（-∞，+∞）上单调递增；若0a >，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增；（2）2【解析】(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝e x －a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.所以，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．(2)由于a＝1时，(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(e x－1)＋x＋1.故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于k<11xxe+-＋x(x>0) ①令g(x)＝11xxe+-＋x，则g′(x)＝()()211xxx ee---＋1＝()()221x xxe e xe---.由(1)知，函数h(x)＝e x－x－2在(0，＋∞)上单调递增，又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－4>0.所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点．故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，得eα＝α＋2, 所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k<g(α)，故整数k的最大值为2.此处有视频，请去附件查看】。