福建省龙岩市一级达标校2019-2020学年高一下学期期末质检数学试题

9．A
【解析】
【分析】
先算出 ，设 ，由 确定 的轨迹，则 的最大值可求.
【详解】
解：显然 ，设 ， ，
由 ，
所以 ，表示以 为圆心，半径为1的圆，
表示 到 的距离，
所以 的最大值是 .
故选：A
【点睛】
考查向量的运算以及向量模的几何意义，基础题.
10．B
【解析】
【分析】
由平面 平面 ，可推得以 为邻边的矩形的另一顶点设为 是四棱锥 外接球的球心，利用勾股定理求出球的半径，代入球的表面积公式可得答案．
．
则异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面的关系、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．D
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的几何体的三视图，可以判断其为正三棱柱，根据数据求得底面边长和棱柱的高，利用柱体体积公式求得结果.
【详解】
由三视图可知这个几何体为正三棱柱，
底面正三角形的高为 ，则 ，
解得底面正三角形的边长为 ，
正三棱柱的高为4，所以所求几何体的体积为
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关几何体的问题，涉及到的知识点有几何体的三视图，根据三视图求几何体的体积，属于基础题目.
7．D
【解析】
【分析】
根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.
【详解】
（1）设 与 的交点为 ，连接 ．
底面 为菱形， 为 的中点．
又 为 的中点， ．
又 平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2） 底面 为菱形， ，
又 平面 ， ，
又 ， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 ．
【点睛】
本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间线面、面面间的位置关系判定定理、性质定理等知识，是中档题，解题中需要能熟练应用判定、性质定理．
【详解】
对于A，当 为 内与 垂直的直线时，不满足 ，A错误；
对于B，设 ，则当 为 内与 平行的直线时， ，但 ，B错误；
对于C，还有一种可能就是 ，C错误.
对于D，由 ， 知： ，又 ， ，D正确；
故选：D.
【点睛】
本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.
18．（1）2；（2）6．
【解析】
【分析】
（1）由向量数量积的定义及正弦定理易求 的值.
（2）先求出 ，由余弦定理以及基本不等式易求 周长的最大值．
【详解】
解;（1）由已知及正弦定理得， ，
又 ，即 ，则 ， ．
（2） ，角 成等差数列，则 ，
又 ，
则 ，
又 ，故 ， ， 周长的最大值为6，
当且仅当 时等号成立．
20．（1） ；（2）当月产量 时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为5600元．
【点睛】
考查正余弦定理、向量数量积的定义以及基本不等式求最值，中档题.
19．（1） ；（2）分类讨论，答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意利用根与系数的关系列方程求出 、 的值；
（2）不等式化为 ，求出对应方程的解，利用分类讨论写出不等式的解集．
【详解】
（1）由题意知： 且 和 是方程 的两根，
对 ．根据 ， ，取 ，则 不成立，，属基础题．
2．D
【解析】
【分析】
由正弦定理可得 ，利用余弦定理表示出 ，即可求出角 ．
【详解】
由正弦定理可得 ，
由余弦定理可得： ，
， ，
，
又 在 中， ，
，
故答案选D．
【点睛】
本题考查利用正弦定理进行边角互化以及余弦定理的简单应用，属于基础题．
（2）令 ，求数列 的前 项和 ；
（3）若数列 满足 ，且不等式 对任意的 都成立，求 的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据每个选项的条件取特殊值或利用不等式的基本性质判断即可．
【详解】
对 ．取 ，则 不成立，故 错误；
对 ．当 ， 时， 不成立，故 错误；
对 ． ， ， ， ，故 正确；
设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得：
即 ，解得
故答案为：12
【点睛】
此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．
15．35
【解析】
【分析】
仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数．
【详解】
解：第一个有1个实心点，
【详解】
由正弦定理 ，
得 ，
，
，B是等腰 的底角， ，
是等边三角形，A正确；
B不正确：若 四点共圆，则四边形对角互补，
由A正确知 ，
但由于 时，
，
∴B不正确．
C正确，D不正确：
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，∴C正确，D不正确；
故选：AC.．
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
16．锐角 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，则 的取值范围是______．
17．如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）证明：平面 平面 ．
18． 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若角 ， ， 成等差数列，求 周长的最大值．
【详解】
连 交于 ，设 中点 ，连 ，则 面 ，设 是 的中心，且 ，则以 为邻边的矩形的另一顶点设为 ，则 是四棱锥 外接球的球心
边长为
， ，
， 设外接球半径为
则
故选：
【点睛】
本题考查四棱锥外接球的半径与棱长的关系，球的表面积公式的应用，属于中档题．
11．AD
【解析】
【分析】
由 求出 ，即 ，由此表示出 、 、 、 ，可判断C、D两选项；当 时， ， 有最小值，故B错误.
第二个有 个实心点，
第三个有 个实心点，
第四个有 个实心点，
第 个有 个实心点，即 ．
故当 时， 个实心点．
故答案为：35， ．
【点睛】
本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察每个图形并从中找到通项公式．
16．
【解析】
【分析】
利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角 ， 的关系，由 为锐角三角形得到角 的范围，进而利用二倍角公式得出 的取值范围．
福建省龙岩市一级达标校2019-2020学年高一下学期期末质检数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．下列命题正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
2．在△ABC中，已知 ， ，则A等于( )
15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作 ，第2个五角形数记作 ，第3个五角形数记作 ，第4个五角形数记作 ，…，若按此规律继续下去，得到数列 ，则 ___________；对 ， ______．
8．C
【解析】
【分析】
由题意利用等差数列的定义和性质求得 ，再利用基本不等式求得 ，根据题意， ，由此求得 的范围．
【详解】
解： 两个正实数 ， 满足 ， ， 成等差数列，
， ， ， ．
不等式 恒成立，即 恒成立，
即 恒成立．
，求得 ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．
由根与系数的关系有 ，
解得 ．
（2）不等式 可化为 ，
即 ．
其对应方程的两根为 ，
①当 即 时，原不等式的解集为 ；
②当 即 时，原不等式的解集为 ；
③当 即 时，原不等式的解集为 ；
综上所述：当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查运算求解能力，求解时注意进行分类讨论．
【详解】
如下图所示：
.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用基底表示平面向量，考查计算能力，属于基础题.
5．C
【解析】
【分析】
连结 ， ，由 ，得到 是异面直线 与 所成角，然后利用余弦定理能求出异面直线 与 所成角的余弦值．
【详解】
解：在长方体 中，底面 为正方形， ，
连结 ， ，则 ， ， ，
异面直线 与 所成角，
3．D
【解析】
【分析】
根据 求出公比，再把首项和公比代入等比数列求和公式即可.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，则 ，由 ，
得 ， ，
因为 ，所以 ，整理得 ，由 得 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式与等比数列求和公式.
4．B
【解析】
【分析】
利用平面向量的加法法则可得出 ，由此可得出 关于 、 的表达式.
13．
【解析】
【分析】