最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列的前n项和》教材习题点拨

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高中数学必修5(人教A版)第二章数列2.3知识点总结含同步练习及答案

{ a = 7, 或 { a = 7, d = 4, d = −4.
因为数列{an }为单调递增的数列，所以 d > 0．因此
{ a = 7, d = 4.
所以
an = 4n − 1.
在等差数列{an }中，前 n 项和为 S n ：（1）a2 = 1 ，a4 = 5 ，求数列{an }的前 5 项和 S 5 ；（2）S 5 = 25，a8 = 15 ，求 a21 ．解：（1）因为 {an }为等差数列，所以 a2 + a4 = 2a3 = 6 ，即 a3 = 3 ．所以
S5 =
（2）设首项为 a1 ，公差为 d ，则
5(a1 + a5 ) 5 × 2a3 = = 15. 2 2
5×4 ⎧ d = 25, S 5 = 5a1 + ⎨ 2 ⎩ a8 = a1 + 7d = 15. { a1 = 1, d = 2.
解方程组，得
所以a21 = a1 + 20d = 41 ．在等差数列 {an } 中，a1 = 25 ，S 17 = S 9 ，求前 n 项和 S n 的最大值．解：因为 a1 = 25 ，S 17 = S 9 ，所以
四、课后作业
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1. 在等差数列 {an } 中，已知 a5 + a7 = 10，S n 是数列 {an } 的前 n 项和，则 S 11 = ( A．45
答案： C 解析：
)
B．50
C．55
D．60
S 11 =
10 a1 + a11 a + a7 × 11 = 5 × 11 = × 11 = 55. 2 2 2 )
25 × 17 +

最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列的前n项和》

数学人教B 必修5第二章2.2.2 等差数列的前n 项和1．理解等差数列前n 项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列前n 项和公式，并能利用前n 项和公式解决有关等差数列的实际问题． 3．熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中的三个量求另外的两个量．1．(1)倒序相加法是解决等差数列求和问题的基本方法，利用倒序相加法可以推出等差数列的前n 项和公式．(2)等差数列的前n 项和公式有两个，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方法就是解方程组．(3)当已知首项a 1和末项a n 及项数n 时，用公式S n ＝n (a 1＋a n )2来求和，用此公式时常结合等差数列的性质．(4)当已知首项a 1和公差d 及项数n 时，用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 来求和．【做一做1－1】已知数列{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( )． A ．33 B ．34 C ．35 D ．36【做一做1－2】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19的值为( )． A ．55 B ．95C ．100D ．不能确定2．等差数列前n 项和公式与函数的关系由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，当d ≠0时，此公式可看做二次项系数为d 2，一次项系数为(a 1－d2)，常数项为0的________，其图象为抛物线y ＝d 2x 2＋(a 1－d2)x 上的点集，坐标为(n ，S n )(n ∈N ＋)．因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当d ＞0时，S n 有最____值；当d ＜0时，S n 有最____值．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用．【做一做2－1】已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则{a n }的前________项和最大．【做一做2－2】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－12n ，则当n 等于________时，S n 最小．一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题剖析：(1)当等差数列{a n }有偶数项时，设项数为2n ，设S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ，① S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1，② ①－②，得S 偶－S 奇＝nd . ①＋②，得S 偶＋S 奇＝S 2n .①②，得S 偶S 奇＝n2(a 2＋a 2n )n2(a 1＋a 2n －1)＝2a n ＋12a n ＝a n ＋1a n .(2)当等差数列{a n }有奇数项时，设项数为2n ＋1，设S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1，③ S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ，④③－④，得S 奇－S 偶＝a 1＋nd ＝a n ＋1.③＋④，得S 偶＋S 奇＝S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1. ③④，得S 奇S 偶＝n ＋12(a 1＋a 2n ＋1)n 2(a 2＋a 2n )＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n .综上，等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质： (1)项数为2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶＋S 奇＝S 2n ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.(2)项数为2n ＋1时，S 奇－S 偶＝a 1＋nd ＝a n ＋1，S 偶＋S 奇＝S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 奇S 偶＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n .熟练运用这些性质，可以提高解题速度．除了上述性质外，与前n 项和有关的性质还有：①等差数列的依次连续每k 项之和S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…组成公差为k 2d 的等差数列． ②若S n 为数列{a n }的前n 项和，则{a n }为等差数列等价于{S nn }是等差数列．③若{a n }，{b n }都为等差数列，S n ，S n ′为它们的前n 项和，则a m b m ＝S 2m －1S 2m －1′.二、教材中的“？”如果仅利用通项公式，能求出使得S n 最小的序号n 的值吗？剖析：如果仅利用通项公式，也可求出最小序号n 的值．因为该数列的通项公式为a n＝4n －32，其各项为－28，－24，…，－4,0,4，…，可以看出，所有负数或非正数的项相加其和最小时，n 的值为7或8.三、教材中的“思考与讨论”1．如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？剖析：确定了，由公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2来求解，求解时注意要分类讨论，然后对n ＝1的情况进行验证，能写成统一的形式就将a 1合进来，否则保留分段函数形式．2．如果一个数列的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？剖析：等差数列前n 项和公式可以变形为S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n .当d ≠0时，是关于n 的二次函数，如果一个数列的前n 项和公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ，n ＝1，2an －a ＋b ，n ≥2.只有当c ＝0时，a 1＝a ＋b ＋c 才满足a n ＝2an －a ＋b .因此，当数列的前n 项和公式为S n ＝an 2＋bn 时，所确定的数列才是等差数列，这时，等差数列的公差d ＝2a .题型一等差数列的前n 项和公式的直接应用【例1】在等差数列{a n }中，(1)已知a 10＝30，a 20＝50，S n ＝242，求n ； (2)已知S 8＝24，S 12＝84，求a 1和d ； (3)已知a 6＝20，S 5＝10，求a 8和S 8； (4)已知a 16＝3，求S 31.分析：在等差数列的前n 项和公式中有五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，只要已知任意三个量，就可以求出其他两个量．反思：在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，均可化成有关a 1，d 的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)合理利用等差数列的有关性质．题型二 S n 与a n 的关系问题【例2】已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n ＞1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N ＋，求{a n }的通项公式．分析：由a 1＝S 1，求a 1.由a n ＋1＝S n ＋1－S n 确定a n ＋1与a n 的关系，再求通项a n .反思：利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求a n 时，切记验证n ＝1时的情形是否符合n ≥2时a n 的表达式．题型三等差数列前n 项和性质的应用【例3】项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．分析：已知等差数列的奇、偶数项的和，求特殊项与项数，可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系．反思：在等差数列{a n }中，(1)若项数为2n ＋1(n ∈N ＋)，则S 奇S 偶＝n ＋1n ，其中S 奇＝(n ＋1)a n＋1，S 偶＝n ·a n ＋1；(2)若数列项数为2n (n ∈N ＋)，则S 偶－S 奇＝nd .题型四等差数列前n 项和的最值问题【例4】在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求S n 的最大值．分析：本题可用二次函数求最值或由通项公式求n ，使a n ≥0，a n ＋1＜0或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项．反思：本例四种解法从四个侧面求解前n 项和最值问题，方法迥异，殊途同归．解等差数列的前n 项和最大(最小)问题的常用方法有：(1)二次函数法：由于S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次式，因此可用二次函数的最值来确定S n 的最值，但要注意这里的n ∈N ＋.(2)图象法：可利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 达到最大(或最小)． (3)通项法：由于S n ＝S n －1＋a n ，所以当a n ≥0时，S n ≥S n －1；当a n ≤0时，S n ≤S n －1，因此当a 1＞0且d ＜0时，使a n ≥0的最大的n 的值，使S n 最大；当a 1＜0，d ＞0时，满足a n ≤0的最大的n 的值，使S n 最小．题型五易错辨析【例5】若数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n 2－2n ＋1，求数列{a n }的通项公式，并判断它是否为等差数列．错解：∵a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ＋1)－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5， ∴a n ＋1－a n ＝[6(n ＋1)－5]－(6n －5)＝6(常数)． ∴数列{a n }是等差数列．错因分析：本题忽略了a n ＝S n －S n －1成立的条件“n ≥2”．【例6】已知两个等差数列{a n }与{b n }，它们的前n 项和的比S n S n ＝n ＋3n ＋1，求a 10b 10.错解：设S n ＝k (n ＋3)，S n ′＝k (n ＋1)，则a 10b 10＝S 10－S 9S 10′－S 9′＝k (10＋3)－k (9＋3)k (10＋1)－k (9＋1)＝1. 错因分析：本题由于错误地设出了S n ＝k (n ＋3)，S n ′＝k (n ＋1)，从而导致结论错误．1已知在等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )． A ．100 B ．210 C ．380 D ．400 2已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 3等于( )．A ．120B ．124C ．128D ．1323等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )． A ．130 B ．170 C ．210 D ．2604设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )． A ．S 4＜S 5 B ．S 4＝S 5 C ．S 6＜S 5 D ．S 6＝S 5 5设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2－2·3n ，则通项公式a n ＝________. 6设公差不为零的等差数列{a n }，S n 是数列{a n }的前n 项和，且S 23＝9S 2，S 4＝4S 2，则数列{a n }的通项公式为____________．答案：基础知识·梳理 1．n (a 1＋a n )2 na 1＋n (n －1)2d【做一做1－1】D 由公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得到35n ＋n (n －1)2(－2)＝0，即n 2－36n＝0，解得n ＝36或n ＝0(舍去)．【做一做1－2】B 2．二次函数小大【做一做2－1】9 【做一做2－2】6 典型例题·领悟【例1】解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∵S n ＝242，∴12n ＋n (n －1)2×2＝242.解得n ＝11或n ＝－22(舍去)． ∴n ＝11.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ S 8＝8a 1＋28d ＝24，S 12＝12a 1＋66d ＝84，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝2.∴a 1＝－4，d ＝2.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＝a 1＋5d ＝20，S 5＝5a 1＋10d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝6.∴a 8＝a 6＋2d ＝32，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝88.(4)S 31＝a 1＋a 312×31＝a 16×31＝93.【例2】解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2，由已知a 1＝S 1＞1，知a 1＝2. 又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n ，因a n ＞0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去．因此a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项为a n ＝3n －1.【例3】解：设等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，则奇数项有(n ＋1)项，偶数项有n 项，中间项是第(n ＋1)项，即a n ＋1.∴S 奇S 偶＝12(a 1＋a 2n ＋1)×(n ＋1)12(a 2＋a 2n )×n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n ＝4433＝43，得n ＝3.∴2n ＋1＝7.又∵S 奇＝(n ＋1)·a n ＋1＝44，∴a n ＋1＝11. 故这个数列的中间项为11，共有7项．【例4】解：解法一：由S 17＝S 9，得25×17＋172(17－1)d ＝25×9＋92(9－1)d ，解得d ＝－2，∴S n ＝25n ＋n2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169，由二次函数的性质得当n ＝13时，S n 有最大值169. 解法二：先求出d ＝－2(解法一)．∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ＜0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ＞1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 解法三：先求出d ＝－2(同解法一)．由S 17＝S 9，得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0，而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14，故a 13＋a 14＝0.∵d ＝－2＜0，a 1＞0， ∴a 13＞0，a 14＜0.故n ＝13时，S n 有最大值169.解法四：先求出d ＝－2(同解法一)得S n 的图象如图所示，由S 17＝S 9知图象的对称轴n ＝9＋172＝13，∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.【例5】正解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ＋1)－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.∴数列{a n }不是等差数列．【例6】正解1：利用等差数列的性质，得a 10b 10＝192(a 1＋a 19)192(b 1＋b 19)＝S 19S 19′＝19＋319＋1＝1110. 正解2：设S n ＝kn (n ＋3)，S n ′＝kn (n ＋1)，所以a 10b 10＝S 10－S 9S 10′－S 9′＝k ·10(10＋3)－k ·9(9＋3)k ·10(10＋1)－k ·9(9＋1)＝1110.随堂练习·巩固1．B d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，a 1＝3，所以S 10＝210.2．A3．C 令m ＝1，则S m ＝S 1＝a 1＝30，S 2m ＝S 2＝a 1＋a 2＝100，则有a 1＝30，a 2＝70，d ＝40，则a 3＝110，故S 3m ＝S 3＝S 2＋a 3＝100＋110＝210.4．B 方法一：设该等差数列的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋7d ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2. 从而有S 4＝－20，S 5＝－20，S 6＝－18.从而有S 4＝S 5.方法二：由等差数列的性质知a 5＋a 5＝a 2＋a 8＝－6＋6＝0，所以a 5＝0，从而有S 4＝S 5.5．－4·3n －1 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－2·31＝－4.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2－2·3n )－(2－2·3n －1)＝－4·3n －1.此时对n ＝1，有a 1＝－4·31－1＝－4，也适合．综上，对n ∈N ＋，a n ＝－4·3n －1.6．a n ＝49(2n －1) 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，首项为a 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧(3a 1＋3d )2＝9(2a 1＋d )，4a 1＋6d ＝4(2a 1＋d ).解得a 1＝49，d ＝89或a 1＝d ＝0(舍去)．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝49＋(n －1)×89＝49(2n －1)．。

人教版高中数学必修五数列知识点及习题详解

人教版数学高中必修5数列习题及知识点第二章数列1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )．A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )．A ．33B ．72C ．84D ．1893．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )．A ．a 1a 8＞a 4a 5B ．a 1a 8＜a 4a 5C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 54．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则｜m －n ｜等于( )．A ．1B ．43C ．21D ． 83 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ).A ．81B ．120C ．168D ．1926．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )．A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．4 0087．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )．A ．－4B ．－6C ．－8D ．－108．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．41 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．A ．38B ．20C ．10D ．9二、填空题11．设f (x )＝221+x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 .12．已知等比数列{a n }中，(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝．(2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝．(3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝ .13．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为． 14．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则此数列前13项之和为 .15．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ .16．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝；当n ＞4时，f (n )＝．三、解答题17．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求证数列{a n }成等差数列.(2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证a c b +，b a c +，cb a +也成等差数列. 18．设{a n }是公比为 q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由．19．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n n 2+S n (n ＝1，2，3…)．求证：数列{nS n }是等比数列． 20．已知数列{a n }是首项为a 且公比不等于1的等比数列，S n 为其前n 项和，a 1，2a 7，3a 4成等差数列，求证：12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列.第二章数列参考答案一、选择题1．C解析：由题设，代入通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，即2 005＝1＋3(n －1)，∴n ＝699．2．C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意得a 1＋a 2＋a 3＝21，即a 1(1＋q ＋q 2)＝21，又a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84．3．B ．解析：由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除C ．又a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d )＝a 12＋7a 1d ，∴a 4·a 5＝(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝a 12＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8．4．C解析：解法1：设a 1＝41，a 2＝41＋d ，a 3＝41＋2d ，a 4＝41＋3d ，而方程x 2－2x ＋m ＝0中两根之和为2，x 2－2x ＋n ＝0中两根之和也为2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4，∴d ＝21，a 1＝41，a 4＝47是一个方程的两个根，a 1＝43，a 3＝45是另一个方程的两个根． ∴167，1615分别为m 或n ， ∴｜m －n ｜＝21，故选C ．解法2：设方程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝2，x 1·x 2＝m ，x 3·x 4＝n ．由等差数列的性质：若γ＋s ＝p ＋q ，则a γ＋a s ＝a p ＋a q ，若设x 1为第一项，x 2必为第四项，则x 2＝47，于是可得等差数列为41，43，45，47， ∴m ＝167，n ＝1615， ∴｜m －n ｜＝21．5．B解析：∵a 2＝9，a 5＝243，25a a ＝q 3＝9243＝27， ∴q ＝3，a 1q ＝9，a 1＝3，∴S 4＝3－13－35＝2240＝120． 6．B解析：解法1：由a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，知a 2 003和a 2 004两项中有一正数一负数，又a 1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2 003＞a 2 004，即a 2 003＞0，a 2 004＜0.∴S 4 006＝2＋006400641)(a a ＝2＋006400420032)(a a ＞0， ∴S 4 007＝20074·(a 1＋a 4 007)＝20074·2a 2 004＜0，故4 006为S n ＞0的最大自然数. 选B ．解法2：由a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，同解法1的分析得a 2 003＞0，a 2 004＜0，∴S 2 003为S n 中的最大值．∵S n 是关于n 的二次函数，如草图所示，∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，∴20074在对称轴的右侧．根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B 的左侧，4 007，4 008都在其右侧，S n ＞0的最大自然数是4 006．7．B解析：∵{a n }是等差数列，∴a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6，又由a 1，a 3，a 4成等比数列，∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8，∴a 2＝－8＋2＝－6．8．A(第6题)解析：∵59S S ＝2)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ⋅⋅＝59·95＝1，∴选A ． 9．A解析：设d 和q 分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d 且－4＝(－1)q 4，∴d ＝－1，q 2＝2， ∴212b a a -＝2q d -＝21． 10．C解析：∵{a n }为等差数列，∴2n a ＝a n －1＋a n ＋1，∴2n a ＝2a n ，又a n ≠0，∴a n ＝2，{a n }为常数数列，而a n ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19，∴n ＝10．二、填空题11．23．解析：∵f (x )＝221+x ， ∴f (1－x )＝2211+-x ＝x x 2222⋅+＝xx 22221+， ∴f (x )＋f (1－x )＝x 221+＋x x 22221+⋅＝x x 222211+⋅+＝x x 22)22(21++＝22．设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)，则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋[f (－5)＋f (6)]＝62，∴S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝32．12．（1）32；（2）4；（3）32．解析：（1）由a 3·a 5＝24a ，得a 4＝2，∴a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝54a ＝32．（2）9136)(324222121=⇒⎩⎨⎧=+=+q q a a a a ， ∴a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)q 4＝4．（3）2＝＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q qS S a a a S a a a a S ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅， ∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 4q 16＝32．13．216．解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与38，227同号，由等比中项的中间数为22738⋅＝6，∴插入的三个数之积为38×227×6＝216． 14．26．解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 13＝2a 10，∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4，∴S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝2413⨯＝26． 15．－49．解析：∵d ＝a 6－a 5＝－5，∴a 4＋a 5＋…＋a 10 ＝2＋7104)(a a ＝25＋＋－755)(d a d a ＝7(a 5＋2d )＝－49．16．5，21(n ＋1)(n －2)．解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f (k )＝f (k －1)＋(k －1)．由f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4＝9，……f (n )＝f (n －1)＋(n －1)，相加得f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝21(n ＋1)(n －2)．三、解答题17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．证明：（1）n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，n ＝1时，亦满足，∴a n ＝6n －5(n ∈N*)．首项a 1＝1，a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)(n ∈N*)，∴数列{a n }成等差数列且a 1＝1，公差为6．（2）∵a 1，b 1，c 1成等差数列， ∴b 2＝a 1＋c1化简得2ac ＝b (a ＋c )． a c b ＋＋c b a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·bc a ＋， ∴a c b ＋，b a c ＋，cb a ＋也成等差数列． 18．解：（1）由题设2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或－21．（2）若q ＝1，则S n ＝2n ＋21－)(n n ＝23＋2n n ．当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝22＋1－))((n n ＞0，故S n ＞b n ．若q ＝－21，则S n ＝2n ＋21－)(n n (－21)＝49＋－2n n ．当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝4－11－)0)((n n ，故对于n ∈N +，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；当n ＝10时，S n ＝b n ；当n ≥11时，S n ＜b n ．19．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝nn 2＋S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1) S n ，所以1＋1＋n S n ＝n S n 2．故{nS n }是以2为公比的等比数列． 20．证明：由a 1，2a 7，3a 4成等差数列，得4a 7＝a 1＋3a 4，即4 a 1q 6＝a 1＋3a 1q 3，变形得(4q 3＋1)(q 3－1)＝0，∴q 3＝－41或q 3＝1(舍)．由3612S S ＝qq a q q a ----1)1(121)1(3161＝1213q +＝161； 6612S S S -＝612S S －1＝qq a q q a ----1)1(1)1(61121－1＝1＋q 6－1＝161；得3612S S ＝6612S S S -． ∴12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+-等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+前n 项和()()11122n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有 nd S S =-奇偶，1+=n n a a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q .注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.。

高中数学必修五人教版(教师用)第二章§2.3 等差数列的前n项和(二)Word版含答案

学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式.2.会解等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .知识点一数列中a n 与S n 的关系思考已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，怎样求a 1，a n?答案 a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又n ＝1时也适合上式，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.梳理对任意数列{a n }，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2，n ∈N *).知识点二等差数列前n 项和的最值思考我们已经知道当公差d ≠0时，等差数列前n 项和是关于n 的二次函数S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？何时有最小值？答案由二次函数的性质可以得出：当a 1＜0，d >0时，S n 先减后增，有最小值；当a 1＞0，d <0时，S n 先增后减，有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．梳理等差数列前n 项和的最值与{S n }的单调性有关．(1)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．(2)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(3)若a 1>0，d >0，则{S n }是递增数列，S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则{S n }是递减数列，S 1是{S n }的最大值．类型一已知数列{a n }的前n 项和S n 求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1，n ∈N *)，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －＝2n －12， ① 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12. 故数列{a n }是以32为首项，2为公差的等差数列．引申探究例1中前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求通项公式．解当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋12n ＋1)－＝2n －12. ①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12＋1＝52不符合①式． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52，n ＝1，2n －12，n ≥2，n ∈N *. 反思与感悟已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求得a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示．跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n . 解当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1.当n ＝1时，代入a n ＝2·3n －1得a 1＝2≠3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3， n ＝1，2·3n －1，n ≥2，n ∈N *.类型二等差数列前n 项和的最值例2 已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值．解方法一由题意知，等差数列5,427，347，…的公差为－57，所以S n ＝5n ＋n (n －1)2(－57)＝－514(n －152)2＋112556. 于是，当n 取与152最接近的整数即7或8时，S n 取最大值．方法二 a n ＝a 1＋(n －1)d＝5＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－57 ＝－57n ＋407. 令a n ＝－57n ＋407≤0，解得n ≥8，且a 8＝0，a 9<0. 故前n 项和是从第9项开始减小又S 7＝S 8，所以前7项或前8项和最大．反思与感悟在等差数列中，求S n 的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于S n 为关于n 的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．跟踪训练2 在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值．解方法一 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12，d ＝2.∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<….∴当n ＝6或n ＝7时，S n 取到最小值．易求S 6＝S 7＝－42，∴(S n )min ＝－42.方法二 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n －1322－1694.∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最小，且(S n )min ＝－42.类型三求等差数列前n 项的绝对值之和例3 若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 解 ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4) ＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n )＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2) ＝56＋2n 2－15n .∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2，n ≤4，n ∈N *，2n 2－15n ＋56，n ≥5，n ∈N *. 反思与感悟求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n 项的绝对值之和．跟踪训练3 已知数列{a n }中，S n ＝－n 2＋10n ，数列{b n }的每一项都有b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和T n 的表达式．解由S n ＝－n 2＋10n 得a n ＝S n －S n －1＝11－2n (n ≥2，n ∈N *)．验证a 1＝9也符合上式．∴a n ＝11－2n ，n ∈N *.∴当n ≤5时，a n >0，此时T n ＝S n ＝－n 2＋10n ；当n >5时，a n <0，此时T n ＝2S 5－S n ＝n 2－10n ＋50.即T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －n 2＋10n ，n ≤5，n ∈N *，n 2－10n ＋50，n >5，n ∈N *.。

人教新课标版数学高二-数学必修5训练 2.3.2等差数列的前n项和

数学·必修5(人教A版)2．3.2等差数列的前n项和(习题课)►基础达标1．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为()A．30B．31C．32D．33解析：中间项为a n＋1.S奇＝(a1＋a2n＋1)2·(n＋1)＝(n＋1)a n＋1＝512.S偶＝a2＋a2n2·n＝n·a n＋1＝480.∴a n＋1＝S奇－S偶＝512－480＝32.故选C. 答案：C2．等差数列{a n}的公差d＝12且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为()A．52.5 B．72.5 C．60 D．85解析：设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y，则x＋y ＝S 100＝145，y －x ＝50d ＝25.解得x ＝60，y ＝85.故选C.答案：C3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12为( ) A.310 B.13 C.18 D.19解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，构成一个新的等差数列，∵S 3＝1，S 6－S 3＝3－1＝2，∴S 9－S 6＝3，S 12－S 9＝4.∴S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝1＋2＋3＋4＝10.∴S 6S 12＝310. 答案：A4．等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1≠d ，若前20项的和S 20＝10M ，则M 的值为( )A ．a 3＋a 5B ．a 2＋2a 10C ．a 20＋dD ．a 12＋a 9解析：∵S 20＝a 1＋a 202×20＝10(a 1＋a 20)，∴M ＝a 1＋a 20＝a 12＋a 9.故选D.答案：D5．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，S n ＝155，则n ＝________.解析：(a 1＋a 2＋a 3)＋(a n ＋a n －1＋a n －2)＝3(a 1＋a n )＝15＋78，∴a 1＋a n ＝31.又S n ＝n (a 1＋a n )2＝155，∴31n 2＝155⇒n ＝10. 答案：10►巩固提高6．给定数列1,2＋3＋4,5＋6＋7＋8＋9,10＋11＋12＋13＋14＋15＋16，…，则这个数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝2n 2＋3n －1B ．a n ＝n 2＋5n －5C ．a n ＝2n 3－3n 2＋3n －1D ．a n ＝2n 3－n 2＋n －2解析：当n ＝1时，a 1＝1，排除A 、D.当n ＝3时，a 3＝5＋6＋7＋8＋9＝35.而B 中，a 3＝32＋5×3－5＝19.故选C.答案：C7. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.解析：⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 成等差数列，又S 1010＝10，S 100100＝110， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为－11100 ∴S 110110＝S 100100＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－11100＝－1， ∴S 110＝－110.答案：－1108．把正整数以下列方法分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设S n 表示第n 组中所有各数的和，那么S 21等于( )A ．1 113B ．4 641C ．5 082D ．53 361分析：第21组共有21个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20组的最后一个数大1，所以先求前20组一共有多少个数．解析：因为第n 组有n 个数，所以前20组一共有1＋2＋3＋…＋20＝210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S 21＝21×211＋21×202×1＝4641，故选B. 答案：B9．在等差数列{a n }中，已知S 8＝48，S 12＝168，求a 1和d .解析：⎩⎨⎧ 8a 1＋28d ＝48，12a 1＋66d ＝168⇒a 1＝－8，d ＝4.10．(1)已知{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，求{a n }的通项公式．(2)已知{a n }中，a n ＋1＝n n ＋2a n ，且a 1＝2，求数列{a n }的通项公式．解析：(1)a n －a n －1＝2(n －1)，a n －1－a n －2＝2(n －2)，a n －2－a n －3＝2(n －3)，…a 3－a 2＝2×2，a 2－a 1＝2×1.将上述式子相加，可得 a n －a 1＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＝n 2－n ，所以a n ＝n 2－n ＋1，当n ＝1时也成立．(2)∵a n ＋1＝n n ＋2a n ， ∴a n ＋1a n ＝n n ＋2，∴a n a n －1＝n －1n ＋1，… ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·n －4n －2·…·35·24·13·2 ＝4n (n ＋1)(n ∈N *)．1．等差数列的前n 项和的性质：(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．(3)若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)且S 偶－S 奇＝nd .S 偶S 奇＝a n ＋1a n . 若等差数列的项数为2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n 且S 奇－S 偶＝a n ，S 偶S 奇＝n －1n . (4)若S n 为数列{a n }的前n 项和，则{a n }为等差数列等价于⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值有两种方法：(1)由二次函数的最值特征得解．S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝d 2212d a n d ⎡⎤-⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦－2⎛⎫- ⎪⎝⎭12d d a 2 ＝d 22⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11a n 2d －d 2(12－a 1d )2 . 由二次函数的最大值、最小值知识及n ∈N *知，当n 取最接近 12－a 1d的正整数时，S n 取到最大值(或最小值)．值得注意的是最接近 12－a 1d 的正整数有时是1个，有时是2个． (2)根据项的正负来定．若a 1＞0，d ＜0，则数列的所有正数项之和最大；若a 1＜0，d ＞0，则数列的所有负数项之和最小．。

高中数学第二章数列 2.3.2 等差数列前n项和的性质与应用课后作业(含解析)新人教A版必修5-

第2课时等差数列前n项和的性质与应用1.已知某等差数列共有20项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( )A.1B.C.2D.解析:∵S奇=a1+a3+…+a19=15,S偶=a2+a4+…+a20=30,∴S偶-S奇=10d=15.∴d=.答案:B2.等差数列{a n}的前n项和记为S n,若a2+a4+a15的值为确定的常数,则下列各数中也是常数的是( )A.S7B.S8C.S13D.S15解析:a2+a4+a15=a1+d+a1+3d+a1+14d=3(a1+6d)=3a7=3×S13.于是可知S13是常数.答案:C3.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )A.63B.45C.36D.27解析:a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列.所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.答案:B4.已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和之比为(n∈N*),则等于( )A. B. C. D.解析:设数列{a n}的前n项和为S n,数列{b n}的前n项和为T n,则=.答案:C5.已知等差数列的前n项和为S n,若S13<0,S12>0,则此数列中最大的S n是( )A.S5B.S6C.S7D.S8解析:∵S13<0,且S13=13a7,∴a7<0.∵S12>0,且S12=6(a6+a7),∴a6+a7>0.∴a6>-a7.∵a7<0,∴a6>0,d<0.∴前6项的和最大.答案:B6.已知等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,a k+a4=0,则k=.解析:∵S9=S4,∴a5+a6+a7+a8+a9=0,∴a7=0,从而a4+a10=2a7=0,∴k=10.答案:107.一个有11项的等差数列,奇数项之和为30,则它的中间项为.解析:由条件知a1+a3+a5+a7+a9+a11=30,又∵a1+a11=a3+a9=a5+a7,∴a5+a7=2a6=10.∴a6=5,即中间项a6=5.答案:58.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若,则=.解析:∵,∴设S3=k,则S6=3k.∴S3=k,S6-S3=2k,S9-S6=3k,S12-S9=4k.∴S12=k+2k+3k+4k=10k,∴.答案:9.在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图),最高层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,请问:(1)第9圈共有多少块石板?(2)前9圈一共有多少块石板?解:(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{a n},由题意可知{a n}是等差数列,其中a1=9,d=9,n=9.由等差数列的通项公式,得第9圈有石板a9=a1+(9-1)·d=9+(9-1)×9=81(块).(2)由等差数列前n项和公式,得前9圈一共有石板S9=9a1+d=9×9+×9=405(块).故第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板.10.等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解:等差数列{a n}的公差d==3,∴a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n<0,得3n-63<0,即n<21.∴数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n,S n'分别表示数列{a n},{|a n|}的前n项和,当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n;当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+×3-2×=n2-n+1260.∴数列{|a n|}的前n项和为S n'=。

最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列》(附答案)

2.2 等差数列2．2.1 等差数列1．等差数列的前4项依次是a －1，a ＋1,2a ＋3，2b －3，则a ，b 的值为( ) A ．1,2 B ．－1,4 C ．0,4 D ．2，－22．在等差数列{a n }中，a 3＋a 12＝60，a 6＋a 7＋a 8＝75，则其通项公式为( ) A ．a n ＝10n ＋45 B ．a n ＝6n －24 C ．a n ＝10n －45 D ．a n ＝6n ＋243．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，则tan(A ＋C)＝________.4．若a ，x 1，x 2，x 3，b 与a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 均为等差数列，则x 3－x 1y 3－y 1＝__________.答案：1．C 方法一：依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋2a ＋3＝2(a ＋1)，a ＋1＋2b －3＝2(2a ＋3)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝4.方法二：由(a ＋1)－(a －1)＝2可得d ＝2，再利用通项公式可得a ，b 的值．方法三：采用特殊值代入法求解．2．C ∵a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝75，∴a 7＝25. 又∵a 3＋a 12＝a 7＋a 8＝60， ∴a 8＝35，d ＝a 8－a 7＝10.∴a n ＝a 8＋(n －8)d ＝35＋10×(n －8)＝10n －45. 3．－ 3 ∵∠A 、∠B 、∠C 成等差数列， ∴2∠B ＝∠A ＋∠C .∴∠A ＋∠B ＋∠C ＝3∠B ＝180°. ∴∠B ＝60°.∴∠A ＋∠C ＝120°. ∴tan(A ＋C )＝tan120°＝－ 3. 4.32∵a ，x 1，x 2，x 3，b 成等差数列， ∴其公差d 1＝b －a4.又∵a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 成等差数列，∴其公差d 2＝b －a6.∴x 3－x 1y 3－y 1＝2d 12d 2＝d 1d 2＝b －a 4×6b －a ＝32.课堂巩固 1．已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．92．(2009辽宁高考，文3){a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－2B ．－12 C.12D ．23．等差数列的首项为125，第10项为开始比1大的项，则公差d 的取值范围为( )A ．d ＞875 B.875＜d ≤325 C ．d ＜325 D.875＜d ＜3254．(2009山东高考，文13)在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝__________. 5．若lg2，lg(2x －1)，lg(2x ＋3)成等差数列，则x 的值为__________．6．已知1a ，1b ，1c成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋c)，lg(a－c)，lg(a ＋c －2b)也成等差数列．7．等差数列{a n }中，已知a 59＝70，a 80＝112，求a 101.答案：1．B 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝8，2m ＋n ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝2. ∴m 和n 的等差中项是3.2．B 方法一：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1，∴a 1＝1.∴a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0.∴d ＝－12.方法二：∵a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d )＝－a 3＋2d ＝2d ＝－1，∴d ＝－12.3．B 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 125＋9d >1125＋8d ≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧d >875d ≤325⇒875<d ≤325. 4．13 等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5－a 2＝6， ∴3d ＝6.∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋6＝13.5．log 25 2lg(2x －1)＝lg2＋lg(2x＋3)，所以可得(2x －1)2＝2(2x＋3)，即(2x )2－4·2x－5＝0.解之，得2x ＝5或2x＝－1(舍)．所以x ＝log 25.6．证明：由已知1a ，1b ，1c成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c .∴2b ＝a ＋c ac. ∴2ac ＝ab ＋bc .∴－2ac ＝2ac －2b (a ＋c )．∴－2ac ＋a 2＋c 2＝2ac －2b (a ＋c )＋a 2＋c 2.∴(a －c )2＝(a ＋c )(a ＋c －2b )．又∵a －c ，a ＋c ，a ＋c －2b 都是正数， ∴2lg(a －c )＝lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )．∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列． 7.解法一：设首项为a 1，公差为d ，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋58d ＝70，a 1＋79d ＝112. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－46，d ＝2.∴a 101＝a 1＋100d ＝－46＋100×2＝154.解法二：设公差为d ，则a 80＝a 59＋(80－59)d ＝a 59＋21d ，即112＝70＋21d ， ∴d ＝2.∴a 101＝a 80＋(101－80)d ＝112＋21×2＝154.解法三：∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，其图象是直线上的点， ∴点(59，a 59)，(80，a 80)，(101，a 101)共线． ∴a 80－a 5980－59＝a 101－a 80101－80，即112－7021＝a 101－11221. ∴a 101＝154.1．在数列{a n }中，a 1＝－2,2a n ＋1＝2a n ＋3，则a 11等于( ) A.272B ．10C ．13D ．19 1．答案：C 由2a n ＋1＝2a n ＋3得a n ＋1－a n ＝32，∴{a n }是等差数列．a 1＝－2，d ＝32，a 11＝13.2.(2009安徽高考，文5)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．7 2．答案：B 设其公差为d ，∵a 1＋a 3＋a 5＝105， ∴3a 3＝105.∴a 3＝35.同理，由a 2＋a 4＋a 6＝99，得a 4＝33. ∴d ＝a 4－a 3＝－2.∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1.3．已知等差数列{a n }的公差为d ，若c ≠0，且c 为常数，则数列{ca n }是( ) A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为cd 的等差数列 C ．不是等差数列 D ．不能判断 3．答案：B 因为a n ＋1－a n ＝d ，所以ca n ＋1－ca n ＝cd . 所以数列{ca n }是公差为cd 的等差数列．4．设{a n }是递增的等差数列，其前三项的和为12，前三项的积为48，则数列{a n }的首项为( )A ．1B ．2C ．4D ．6 4．答案：B 方法一：设首项为a ，公差为d ，则由题意知：d >0，且⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝12，a (a ＋d )(a ＋2d )＝48，解得a ＝2.方法二：设三数为：a －d ，a ，a ＋d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧d >0，a －d ＋a ＋a ＋d ＝12，(a －d )·a ·(a ＋d )＝48，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝2.∴a －d ＝2.5．等差数列{a n }单调递增且a 3＋a 6＋a 9＝12，a 3·a 6·a 9＝28，则此数列的通项公式a n ＝__________.5．答案：n －2 ∵a 3＋a 9＝2a 6，a 6＝4， ∴a 3＋a 9＝8，a 3·a 9＝7.∴a 3、a 9是一元二次方程x 2－8x ＋7＝0的两个根．又∵{a n }单调递增， ∴a 3＝1，a 9＝7，d ＝1.从而a n ＝a 3＋(n －3)d ＝1＋(n －3)＝n －2.6．已知方程(x 2－2x ＋m)(x 2－2x ＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n|等于________．6. 答案：12 设a 1＝14，a 2＝14＋d ，a 3＝14＋2d ，a 4＝14＋3d ，而方程x 2－2x ＋m ＝0中的两根之和为2，方程x 2－2x ＋n ＝0中的两根之和也为2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4.∴d ＝12.因此a 1＝14，a 4＝74是一个方程的两根，a 2＝34，a 3＝54是另一个方程的两个根．∴m ，n 分别为716，1516.∴|m －n |＝12.7．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； (2)2012年伦敦奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？7．答案：解：(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1 896为首项，4为公差的等差数列．这个数列的通项公式为a n ＝1 896＋4(n －1)＝1 892＋4n (n ∈N ＋)．(2)假设a n ＝2 012，由2 012＝1 892＋4n ，得n ＝30. 假设a n ＝2 050,2 050＝1 892＋4n 无正整数解，即所求通项公式为a n ＝1 892＋4n (n ∈N ＋),2012年伦敦奥运会是第30届奥运会，2050年不举行奥运会．8．已知f(x)＝x a(x ＋2)，且方程x ＝f(x)有唯一解，且f(x 0)＝11 005，f(x n －1)＝x n ，n ＝1,2,3，….(1)问数列{1x n}是否是等差数列？(2)求x 2 009的值．8．答案：解：(1)由f (x )＝x 得x a (x ＋2)＝x ，即x [1－1a (x ＋2)]＝0.解得x ＝0或x ＝1a－2.∵方程x ＝f (x )有唯一解， ∴1a －2＝0.∴a ＝12.∴f (x )＝2x x ＋2. 又x n ＝f (x n －1)＝2x n －1x n －1＋2，∴1x n ＝1x n －1＋12.∵x 1＝f (x 0)＝11 005，∴{1x n }是首项为1 005，公差为12的等差数列． (2)由(1)知1x n ＝1x 1＋(n －1)12＝1 005＋(n －1)12＝2 009＋n2，∴x n ＝22 009＋n.∴x 2 009＝22 009＋2 009＝12 009.9．如下图，三个正方形的边AB 、BC 、CD 的长组成等差数列，且AD ＝21 cm ，这三个正方形的面积之和是179 cm 2.(1)求AB 、BC 、CD 的长； (2)以AB 、BC 、CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？ 9．答案：解：(1)设公差为d (d >0)，BC ＝x ，则AB ＝x －d ，CD ＝x ＋d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝21，(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝179，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，d ＝－4(舍去)．所以AB＝3(cm)，BC＝7(cm)，CD＝11(cm)．(2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{a n}，所以a10＝3＋(10－1)×4＝39.a210＝392＝1 521(cm2)．所求正方形的面积为1 521 cm2.。

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教材习题点拨
练习
1.解:(1)S 8＝882
)184(82)(881-=--⨯=+a a ; (2)5.6047.0)1(5.14327.02)2(5.14)1(2)1(11=⇒⎪⎩⎪⎨⎧⨯-+=⨯-+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=n n n n S n n n S d
n a a d n n na S . 点拨:利用等差数列的求和公式及通项公式求解.
2.解:n ＝1时，a 1＝S 1＝
12
47， n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝41n 2＋32n ＋3－［41(n －1)2＋32(n －1)＋3］＝1256+n , 所以a n ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+=.2,12
56,1,1247n n n 点拨:利用公式a n ＝⎩⎨⎧≥-=-2,,1,11n S S n S n n
求解. 3.解:∵m ＝2n －1，n ∈N *，且m <60，
∴2n －1<60⇒n 2
61.∴n 最大＝30. ∴共有30项，且d ＝2，a 1＝1.
∴S 30＝na 1＋2)1(-n n d ＝30×1＋2
2930⨯×2＝900. 点拨:从集合中可以看出：当n 从小到大取值时对应的m 值成等差数列，利用等差数列的求和公式求解.
习题2.3
A 组
1.解:(1)正整数列前n 个偶数成等差数列，且a 1＝2，d ＝2，设和为S 偶.
∴S 偶＝na 1＋2)1(-n n d ＝2n ＋2
)1(-n n ×2＝n 2＋n ＝n (n ＋1). (2)正整数列前n 个奇数成等差数列，且a 1＝1，d ＝2，设和为S 奇.
∴S 奇＝na 1＋2)1(-n n d ＝n ＋2
)1(-n n ×2＝n 2. (3)在三位正整数的集合中，从小到大排成等差数列，且a 1＝105，d ＝5，a n ＝995， a n ＝a 1＋(n －1)d ⇒995＝105＋(n －1)×5⇒n ＝180.
S 180＝985502
)995105(1802)(1801=+⨯=+n a a . (4)在正整数的集合中，所有三位数从小到大排成等差数列，且a 1＝100，d ＝1，a n ＝999， a n ＝a 1＋(n －1)d ⇒999＝100＋(n －1)×1⇒n ＝900.
S 900＝4945502
)999100(9002)(9001=+⨯=+n a a . 点拨:利用等差数列的求和公式求解. 2.(1)d ＝
1317,n ＝27;(2)a 1＝11,a n ＝23;(3)n ＝15,a n 23-;(4)a 1＝－38,S n ＝－360. 点拨:将已知数据分别代入等差数列的通项公式与求和公式，联立方程组求解.
3.解:依题意，每天所跑长度成等差数列，且a 1＝5 000，d ＝500，n ＝7,
∴S 7＝na 1＋2)1(-n n d ＝7×5 000＋2
67⨯×500＝4.55×104(m). 点拨:本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种方法比较烦琐,现提供两个证明方法供参考.
4.解:此多边形的边数为n ，S n ＝158，a n ＝44，d ＝3， ∴43)1(4432)1(158)1(2)1(1111=⇒⎪⎩⎪⎨⎧⨯-+=⨯-+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=n n a n n na d
n a a d n n na S n n . 点拨:利用等差数列的求和公式求解.
5.解:依题意，得a 1＝2，a n ＝93，d ＝7， ∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧⨯-+=⨯-+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=.665,147)1(29372)1(2)1(2)1(11n n n n S n n n n n S d
n a a d n n na S 点拨:利用等差数列的求和公式和通项公式求解.
6.解:这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成的数列为等差数列，且a 1＝2，a n ＝182，d ＝12，
147212)1(21822)1822()1(2)(11=⇒⎪⎩⎪⎨⎧⨯-+=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+=+=n n n n n S n n S d
n a a a a n S
点拨:利用等差数列的求和公式和通项公式求解.
B 组
1.解:由题意a n ＝2(n －1)＋500可知a 1＝502，d ＝2，5年后共花费60×502＋2
5960⨯×2＋500 000，所以每天的费用为29230
6050000022596050260=⨯+⨯⨯+
⨯(元). 点拨:每个月的维修费实际上是等差数列，代入等差数列前n 项和公式，求出5年内的总共的维修费，再加上购买费，除以天数即可.
2.本题的证法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种方法比较烦琐.现提供两个证明方法. 证法一：由S 6＝6a 1＋15d ,
S 12＝12a 1＋66d ,
S 18＝18a 1＋153d ,
可得S 6＋(S 18－S 12)＝2(S 12－S 6).
证法二：S 12－S 6＝(a 1＋a 2＋…＋a 12)－(a 1＋a 2＋…＋a 6)
＝a 7＋a 8＋…＋a 12
＝(a 1＋6d )＋(a 2＋6d )＋…＋(a 6＋6d )
＝(a 1＋a 2＋……＋a 12)＋36d
＝S 6＋36d ,
同样可得S 18－S 12＝S 6＋72d .
因此S 6＋(S 18－S 12)＝2(S 12－S 6).
3.解:(1)首先求出最后一辆车出发的时间是4时20分；所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.
(2)先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分，各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前n 项和公式，这个车队所有车的行驶时间为
S ＝2
85152321
4=⨯+ h, 乘以车速60 km/h ，得行驶总路程为2 550 km.
点拨:利用等差数列的求和公式求解.
4.解:数列{)1(1+n n }的通项公式为a n ＝1
11)1(1+-=+n n n n , 所以S n ＝(2111
-
)＋(3121-)＋(4131-)＋…＋(1
11+-n n ) ＝1－111+=+n n n . 类似地，我们可以求出通项公式为a n ＝)11(1)(1k
n n k k n n +-=+的数列的前n 项和. 点拨:一个数列的通项公式能分解成两项的差，求每一项的减数恰是后一项的被减数，常常采用裂项相消求和.。