《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修 正态分布

本 课 时 栏 目 开 关
§2.6
【学习要求】 1．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所 表示的意义．
本 课 时 栏 目 开 关
2．了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ， μ＋3σ)的概率大小． 3．会用正态分布去解决实际问题． 【学法指导】 正态分布在自然界中最常见，可以结合正态密度曲线理解正 态分布的性质，利用 3σ 原则求一些事件的概率.
§2.6
跟踪训练 2 若随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1)，已知 P(ξ＜ －1.96)＝0.025，则 P(|ξ|＜1.96)＝________. 0.950
解析
本 课 时 栏 目 开 关
由随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1)，
得 P(ξ＜1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)． 所以 P(|ξ|＜1.96)＝P(－1.96＜ξ＜1.96)＝P(ξ＜1.96)－P(ξ≤
于是概率密度函数的解析式是 1 －x－20 P(x)＝ e ，x∈(－∞，＋∞)， 4 2 π
2
总体随机变量的期望是 μ＝20，方差是 σ2＝( 2)2＝2.
研一研·问题探究、课堂更高效
§2.6
小结 利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象实质 1 本 性的两点：一是对称轴 x＝μ，另一个是最值 2πσ.这两点确
课 时 栏 目 开 关
定以后，相应参数 μ，σ 便确定了，代入 P(x)中便可求出相 应的解析式．
研一研·问题探究、课堂更高效
§2.6
跟踪训练 1 下面给出了三个正态总体的函数表示式，请找 出其均值 μ 和标准差 σ. 1 －x2 (1)P(x)＝ e 2 ，x∈(－∞，＋∞)； 2π 1 －x－12 (2)P(x)＝ e 8 ，x∈(－∞，＋∞)； 2 2π 2 －2(x＋1)2 (3)P(x)＝ e ，x∈(－∞，＋∞)． 2π
(6)当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越小，曲线越“尖 陡”；σ 越大，曲线越“扁平”．
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 4 何为正态分布？标准正态分布？
答
本 课 时 栏 目 开 关
§2.6
若 X 是一个随机变量， 则对任给区间(a， P(a＜X≤b) b]，
恰好是正态密度曲线下方和 x 轴上(a，b]上方所围成的图 形的面积， 我们就称随机变量 X 服从参数为 μ 和 σ2 的正态 分布，简记为 X～N(μ，σ2)． 正态分布 N(0,1)称为标准正态分布．
问题 2 正态分布在实际问题中有何应用？
答 利用正态分布的对称性，结合 3σ 原则，可以求相应的 概率，帮助我们作出决策．
研一研·问题探究、课堂更高效
例3
§2.6
在某次数学考试中， 考生的成绩 ξ 服从一个正态分布，
即 ξ～N(90,100)． (1)试求考试成绩 ξ 位于区间(70,110)上的概率是多少？ (2)若这次考试共有 2 000 名考生，试估计考试成绩在
总体取值小于 x0 的概率，即 Φ(x0)＝P(ξ＜x0)．
问题 2
1 若 x～N(μ，σ2)，则 P(x＞μ)＝________. 2
研一研·问题探究、课堂更高效
例2 子中，能表示图中阴影部分面积的有________．
§2.6
(1)如图是正态分布 N(0,1)的正态曲线图，下面 4 个式
本 课 时 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
§2.6
[课堂引入]
本 课 时 栏 目 开 关
常言道“瘦死的骆驼比马大”，尽管骆驼本身
有胖有瘦，有大有小，但总体上，一个成年骆驼的身高与 体重是在某个范围内变化的，那么为什么骆驼一般不会比 马更小呢？这就是一种随机变量的特殊分布问题，骆驼的 大小是服从正态分布的．本节课我们就来研究该问题．
小结 解此类问题一定要把握服从 N(μ，σ2)的随机变量 X 在 三个特殊区间的取值概率，将所求问题向 P(μ－σ＜x<μ＋σ)， P(μ－2σ<x<μ＋2σ)，P(μ－3σ<x<μ＋3σ)转化，然后利用特定 值求出相应概率．同时，要充分利用正态曲线的对称性和曲 线与 x 轴之间的面积为 1 这些特殊性质．
1 1 ① －Φ(－a)；②Φ(－a)；③Φ(a)－ ； 2 2 1 ④ [Φ(a)－Φ(－a)]，其中 Φ(－a)＝P(x≤－a)． 2 解析 ∵Φ(－a)＝P(x≤－a)表示 x 不大于－a 的概率，
∴①正确，②错误． ∵Φ(a)＝1－Φ(－a)，∴③正确． 1 1 ∵2[Φ(a)－Φ(－a)]＝2[1－2Φ(－a)] 1 ＝2－Φ(－a)，与①相同．∴④正确．
§2.6
1. 如图是当 σ 取三个不同值 σ1、 2、 3 的三种正态曲线 N(0， σ σ
本 课 时 栏 目 开 关
σ2)的图象，那么 σ1、σ2、σ3、0、1 的大小关系是 0<σ1<σ2＝1<σ3 __________________．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
§2.6
2．把一个正态曲线 a 沿着横轴方向向右移动 2 个单位，得 到新的一条曲线 b.下列说法中不正确的是________． (填 ④ 序号)
本 课 时 栏 目 开 关
(80,100)间的考生大约有多少人？
解 ∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝ 100＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是 0.954，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝ 90＋2×10＝110， 于是考试成绩 ξ 位于区间(70,110)内的概率 就是 0.954.
§2.6
3．设 X～N(0,1)． ①P( － ε<X<0) ＝ P(0<X<ε) ； ②P(X<0) ＝ 0.5 ； ③ 已 知
本 课 时 栏 目 开 关
P(|X|<1)＝0.683，则 P(X<－1)＝0.158 5；④若 P(|X|<2) ＝0.954，则 P(X<2)＝0.977；⑤若 P(|X|<3)＝0.997，则
本 课 时 栏 目 开 关
①曲线 b 仍然是正态曲线； ②曲线 a 和曲线 b 的最高点的纵坐标相等； ③以曲线 b 为概率密度曲线的总体的均值比以曲线 a 为 概率密度曲线的总体的均值大 2； ④以曲线 b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 a 为 概率密度曲线的总体的方差大 2.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
研一研·问题探究、课堂更高效
§2.6
(2)已知随机变量 X 服从正态分布 N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84， 则 P(X≤0)＝________. 0.16
本 课 时 栏 目 开 关
解析
由 X～N(2，σ2)，可知其正态曲线
如图所示，对称轴为 x＝2，则 P(X≤0)＝ P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.
解 (1)μ＝0，σ＝1； (2)μ＝1，σ＝2； 1 (3)μ＝－1，σ＝2.
本 课 时 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效

§2.6
探究点二 么意义？
本 课 时 栏 目 开 关
利用正态曲线的对称性求概率
问题 1 在标准正态分布表中相应于 x0(x0＞0)的值 Φ(x0)有什
答 在标准正态分布表中相应于 x0(x0＞0)的值 Φ(x0)是指
本 课 时 栏 目 开 关
§2.6
面积 ， 我们就称随机变量 X 服从参数为 μ 和 σ2 的正态分布，
简记为 X～N( μ，σ2)． 4．正态分布 N(0,1) 称为标准正态分布． 5．若 X～N(μ，σ2)，则 X 取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率 约为 68.3% ,落在区间(μ－2σ， μ＋2σ)上的概率约为 95.4% ， 落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为 99.7% . 6．在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变 量的分布都将趋近于正态分布，这就是 中心极限定理 .
填一填·知识要点、记下疑难点
§2.6
本 课 时 栏 目 开 关
1 －x－μ 1．正态密度曲线的函数表达式是 P(x)＝ e 2σ ，x∈R， 2πσ
2 2
这里有两个参数 μ 和 σ，其中 μ 是随机变量 X 的 均值 ，σ2 是随机变量 X 的 方差 ，且 σ>0，μ∈R.不同的 μ 和 σ 对应 着不同的正态密度曲线． 2．正态密度曲线图象具有如下特征 (1)当 x＜μ 时，曲线 上升 ；当 x＞μ 时，曲线 下降 ；当 曲线向左右两边无限延伸时，以 x 轴 为渐近线； (2)正态曲线关于直线
2 2
μ，σ 有何意义？
本 课 时 栏 目 开 关
答 正态曲线方程中含有两个参数 μ 和 σ，其中 μ 可取任意 实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝μ；σ>0 表示标准差， V(X)＝σ2.一个正态曲线方程由 μ， 惟一确定， 和 e 为常数， σ π x 为自变量，x∈R.
研一研·问题探究、课堂更高效
－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ＜－1.96) ＝1－2×0.025＝0.950.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点三 正态分布的实际应用
§2.6
问题 1 实际生活中有哪些现象服从正态分布？
答 正态分布是自然界中最常见， 应用最广泛的一种分布，
本 课 时 栏 目 开 关
如人的身高、体重，学生的学习成绩，产品的尺寸，长度 测量的误差，都近似地服从正态分布．
研一研·问题探究、课堂更高效
例1 如图是一个正态曲线， 试根据图象写
§2.6
出其正态分布的概率密度函数的解析式， 并求出总体随机变量的期望和方差．
本 课 时 栏 目 开 关
解 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线 x＝20 对 1 称，最大值是 ， 2 π 1 1 所以 μ＝20，且 ＝ ，解得 σ＝ 2. 2π· 2 π σ