高考数学大一轮总复习第六章不等式、推理与证明计时双基练基本不等式文北师大创新
高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明课件文北师大版
[导学心语] 1．加强不等式基础知识的复习．不等式的基础知识是进行推理和解不等式 的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式是 解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次不等 式问题． 2．强化推理证明和不等式的应用意识．从近年命题看，试题多与数列、函 数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强 化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．
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3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条 件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函 时容易走神，常常听着听着心思就不知道溜到哪里去了；有的学生，虽然留心听讲，却常常“跟不上步伐”，思维落后在老师的讲解后。这两种情况都 不能达到理想的听课效果。听课最重要的是紧跟老师的思路，否则，教师讲得再好，新知识也无法接受。如何跟上老师饭思路呢？以下的听课方法值得同学们学习：
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
二、同步听课法
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式学案文北师大版
第一节 不等式的性质与一元二次不等式[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．(对应学生用书第78页)[基础知识填充]1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＞0⇔a ＞b a ，b ∈R ，a －b ＝0⇔a ＝b a ，b ∈R ，a －b ＜0⇔a ＜b a ，b ∈R ；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a ＞b a ∈R ，b ＞0，ab ＝1⇔a ＝ba ∈R ，b ＞0，a b ＜1⇔a ＜ba ∈R ，b ＞0.2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(单向性)(5)乘方法则：a >b >0⇒a n>b n(n ≥2，n ∈N )； (6)开方法则：a >b >0⇒na >nb n ≥2，n ∈N )．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a >0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1 或x >x 2}{x |x ≠x 1} Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2} ∅ ∅[知识拓展] 1．有关分数的性质 若a ＞b ＞0，m ＞0，则 (1)b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －ma －m(b －m ＞0)(2)a b ＞a ＋mb ＋m ；a b ＜a －mb －m(b －m ＞0)2．一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a ＞0且Δ＜0； (2)不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a ＜0且Δ＜0. 3．简单的分式不等式 (1)f xg x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0，g x ≠0；(2)f xg x ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ＞0，g x ≠0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( ) (2)a >b >0，c >d >0⇒a d >b c.( )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( ) ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ；④a >b >0⇒1a 2>1b2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知ac <bd ，故②不正确；因为函数y ＝x 13是单调递增的，所以③正确；对于④，由a >b >0可知a 2>b 2>0，所以1a 2<1b2，所以④不正确．]3．(2018·洛阳模拟)若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2>b 2B ．a b>1 C ．2a>2bD ．lg(a －b )>0C [取a ＝－1，b ＝－2，排除A ，B ，D ．故选C ．]4．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)(－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]5．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________． [0,1) [①当m ＝0时，1>0显然成立；②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1，由①②知0≤m <1.](对应学生用书第79页)不等式的性质及应用A ．1x －1y>0B ．sin x －sin y >0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0D ．ln x ＋ln y >0(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．(1)C [函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x >y >0⇒xy >0⇒/ ln(xy )>0⇒/ ln x ＋ln y ＞0，故D 错误． (2)由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2B ．设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值范围为[5,10]．][规律方法] 1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．2．判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．3．由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d 求F (x ，y )的取值范围，要利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．[变式训练1] (1)(2018·衡阳模拟)若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |(2)若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( ) 【导学号：00090185】A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 (1)D (2)B [由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D错误，选D ．(2)∵－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又∵α<β，∴α－β<0， 从而－3π2<α－β<0.]一元二次不等式的解法(1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.[解] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}. 6分(2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1).12分[母题探究] 将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)，求不等式的解集．[解] 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.3分所以当a >1时，解集为1a<x <1；当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解集为1<x <1a.10分综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. 12分 [规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数．(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法． (3)写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[变式训练2] (1)(2018·沈阳模拟)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是() 【导学号：00090186】A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<x <12D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12(2)解不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )B [(1)∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. (2)原不等式可化为12x 2－ax －a 2＞0 即(4x ＋a )(3x －a )＞0 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3＞0 当a ＞0时，－a 4＜a3，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－a 4或x ＞a3； 当a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，－a 4＞a3，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜a 3或x ＞－a4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－a 4或x ＞a3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜a 3或x ＞－a4.]一元二次不等式恒成立问题角度1 f x x (2018·张掖模拟)不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________________．(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立，当a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4a －22＋16a －2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2.综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．] 角度2 形如f (x )≥0()x ∈[a ，b ]求参数的范围设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立.3分有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；7分当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 12分法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.7分因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 12分角度3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的范围对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．{x |x <1或x >3} [对任意的k ∈[－1,1]，x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.][规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．。
高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 计时双基练40 综合法与分析法、反证法 理 北师大版
计时双基练四十综合法与分析法、反证法A组基础必做1．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2 D.ab<a＋1 b＋1解析在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立。
答案 B2．用反证法证明命题“若a＋b＋c为偶数，则自然数a，b，c恰有一个偶数”时正确反设为( )A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析由于“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数”，故选D。
答案 D3．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a、b、c的大小顺序是( )A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．a>c>b解析∵a＝3－2＝13＋2，b＝6－5＝16＋5，c＝7－6＝17＋6，又∵7＋6>6＋5>3＋2>0，∴a>b>c。
答案 A4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R 上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0。
答案 A5．要使 3a － 3b < 3a －b 成立，则a ，b 应满足( ) A ．ab <0且a >b B ．ab >0且a >b C ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b 解析 要使 3a － 3b < 3a －b 成立， 只要(3a －3b )3<(3a －b )3成立， 即a －b －33a 2b ＋33ab 2<a －b 成立， 只要 3ab 2< 3a 2b 成立，只要ab 2<a 2b 成立， 即要ab (b －a )<0成立，只要ab >0且a >b 或ab <0且a <b 成立。
高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 重点强化
重点强化训练(三) 不等式及其应用A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) C [取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，排除D.] 2．(2016·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17B [由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小． 又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.]3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的射影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6C [由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以可行域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段的长|AB |即为|CD |.易得C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝＋2＋－2－2＝3 2.故选C.]4．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．[－∞，0)∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)B [①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，解得x ≥4； ②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4， 解得0≤x <2.综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]5．(2015·山东高考)若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x＋12x －a .化简可得a ＝1，则2x＋12x －1＞3，即2x＋12x －1－3＞0，即2x＋1－x－2x－1>0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C.]二、填空题6．(2016·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]7．设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为__________． 32 [令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2a ＋b ＋＝9＋2a ＋b ＋≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝72，b ＝32.∴t max ＝18＝3 2.]8．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为__________.【导学号：66482299】⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π [由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos2α≤0，化简得cos2α≥12.又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π， 解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π.]三、解答题 9．已知不等式ax －1x ＋1>0(a ∈R )． (1)解这个关于x 的不等式；(2)若x ＝－a 时不等式成立，求a 的取值范围．[解] (1)原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)>0. 1分 ①当a ＝0时，由－(x ＋1)>0，得x <－1；②当a >0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)>0.解得x <－1或x >1a；3分③当a <0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)<0；若1a <－1，即－1<a <0，则1a<x <－1；若1a ＝－1，即a ＝－1，则不等式解集为空集； 若1a>－1，即a <－1，则 －1<x <1a. 5分综上所述，当a <－1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －1<x <1a ； 当a ＝－1时，原不等式无解；当－1<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1a<x <－1；当a ＝0时，解集为{x |x <－1}；当a >0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >1a . 6分 (2)∵x ＝－a 时不等式成立， ∴－a 2－1－a ＋1>0，即－a ＋1<0，10分 ∴a >1，即a 的取值范围为(1，＋∞). 12分10．(2016·全国卷Ⅰ改编)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，试求在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为多少元．[解] 设生产产品A x 件，产品B y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.5分目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知a ，b 为正实数，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y >m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )【导学号：66482300】A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)D [因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫a x ＋by＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bx y，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．]2．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是__________.【导学号：66482301】－52 [法一：由于x >0，则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立， 而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52，∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.法二：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则其对称轴为x ＝－a2.①若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上递减，此时应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0，从而－52≤a ≤②若－a 2<0，即a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上递增，此时应有f (0)＝1>0恒成立，故a >0. ③若0≤－a 2<12，即－1<a ≤0时，则应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24－a22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a ≤0.综上可知a ≥－52，故a 的最小值为－52.]3．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，f m ＋ f nm ＋n>0.(1)用定义证明f (x )在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围.【导学号：66482302】[解] (1)证明：任取x 1<x 2，且x 1，x 2∈[－1,1]，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f x 1＋ f －x 2x 1－x 2·(x 1－x 2). 2分∵－1≤x 1<x 2≤1，∴x 1－x 2<0. 又已知f x 1＋ f －x 2x 1－x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在[－1,1]上为增函数，4分 (2)∵f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，x ＋12<1x －1，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －32≤x <－1. 8分(3)由(1)可知f (x )在[－1,1]上为增函数，且f (1)＝1，故对x ∈[－1,1]，恒有f(x )≤1，∴要f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，即要t 2－2at ＋1≥1故t2－2at≥0，记g(a)＝－2ta＋t2. 10分对a∈[－1,1]，g(a)≥0恒成立，只需g(a)在[－1,1]上的最小值大于等于0，∴g(－1)≥0，g(1)≥0，解得t≤－2或t＝0或t≥2.∴t的取值范围是{t|t≤－2或t＝0或t≥2}. 12分。
高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 计时双基练39 合情推理与演绎推理 理 北师大版
计时双基练三十九 合情推理与演绎推理A 组 基础必做1．(2016·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，而是复合函数，所以小前提不正确。
答案 C2．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数为奇函数，故g (－x )＝－g (x )。
答案 D3．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14。
推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.127解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127。
答案 D4．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析 由选项A 可知其为椭圆的定义；由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，归纳出数列的前n 项和S n 的表达式，选项B 属于归纳推理；由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πab ，选项C 是类比推理；科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇，选项D 属于类比推理。
2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 计时双基练36 基本不等式 文 北师大版
计时双基练三十六 基本不等式A 组 基础必做1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值0B ．最小值0C ．最大值－4D ．最小值－4解析 ∵x <0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号。
答案 C2．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析 对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，即lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0≤1x 2＋1≤1，故不成立。
答案 C3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析 ∵0<x <1，∴1－x >0。
∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34。
当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号。
答案 B4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4解析 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2。
∵x >2，∴x －2>0。
∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2 x －1x －2＋2＝4。
当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立。
又f (x )在x ＝a 处取最小值。
高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 计时双基练37 简单线性规划 文 北师大版
计时双基练三十七 简单线性规划A 组 基础必做1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0。
即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24。
答案 B2．(2015·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4 B.235 C ．6D.315解析 作出题中约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x ＋2y 可得y ＝－32x ＋z 2。
z2指的是直线y ＝－3x x ＋z2在y 轴上的截距，根据图形可知当直线y ＝－32x ＋z 2通过点A 时，可使z2取得最小值，即z 取得最小值。
易知点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45，所以z min ＝3×1＋2×45＝235。
答案 B3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处取得最大值，即z max ＝2。
故选D 。
答案 D4．(2015·福建质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤1，x ＋y ≤1，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－2，1]B ．[－1,1]C ．[－2，2]D ．[－1，2]解析 因为x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤1，x ＋y ≤1，y ≥0，可行域如图所示。
高考数学大一轮复习-第六章 不等式与推理证明 第4课时 基本不等式课件 理 北师大版
(2) 依 题 意 得 ， P→A ·(P→B ＋ P→C ) ＝ 2 P→A ·P→D ＝ － 2| P→A |·| P→D |≥ － 2|P→A|＋2 |P→D|2＝－|A→2D|2＝－12，当且仅当|P→A|＝|P→D|＝12时取等号， 因此P→A·(P→B＋P→C)的最小值是－12，选 D.
0＜x≤16， (2)由限制条件知0＜16x2≤16， ∴1018≤x≤16. 设 g(x)＝x＋10x01018≤x≤16， 由函数性质易知 g(x)在1018，16上是增函数， ∴当 x＝1018时此时16x2＝16，
g(x)有最小值，即 f(x)有最小值 1 296×1018＋88010＋12 960＝38 882(元)． ∴当长为 16 米，宽为 1018米时，总造价最低，为 38 882 元．
主干回顾 夯基固源 考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
第4课时 基本不等式
1．了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．基本不等式
如果 a、b 都是正数，那么a＋2 b≥
ab，当且仅当a＝b 时，等 a＋b
号成立，称上述不等式为基本不等式．其中 2 称为 a、b 的算
答案：D
2．已知 x>0，y>8.
证明：∵x>0，y>0，z>0，
∴yx＋xz≥2 xyz>0，xy＋yz≥2 yxz>0，
xz＋yz≥2 zxy>0，
∴yx＋xzxy＋yzxz＋yz≥8
yz· xz· xyz
xy＝8.
当且仅当 x＝y＝z 时等号成立．
的条件．
解析 当x＝12时，x2＋14＝x即lgx2＋14＝lgx，故A不正确． 运用基本不等式时需保证一正、二定，三相等，而当x≠kπ(k ∈Z)时，sin x正负不定，故选项B不正确． 由x2＋1＝(|x|)2＋1≥2|x|可知选项C正确． 当x＝0时，x2＋1 1＝1，故D错． 答案 C
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计时双基练三十六 基本不等式A 组 基础必做1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值0B ．最小值0C ．最大值－4D ．最小值－4解析 ∵x <0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －x ＋1 －x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号。
答案 C2．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析 对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，即lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0≤1x 2＋1≤1，故不成立。
答案 C3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析 ∵0<x <1，∴1－x >0。
∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34。
当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号。
答案 B4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4解析 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2。
∵x >2，∴x －2>0。
∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2 x －2 ·1x －2＋2＝4。
当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立。
又f (x )在x ＝a 处取最小值。
∴a ＝3。
答案 C5．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析 ∵x >1，∴x －1>0。
∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2 x －1 ＋3x －1＝ x －1 2＋2 x －1 ＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2x －13x －1＋2＝23＋2。
当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时取等号。
答案 A6．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a ，∴当1＋a ＋2a ≥9时不等式恒成立，故a ＋1≥3，a ≥4。
答案 B7．已知2x ＋2y＝1(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为________。
解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx＝8。
当且仅当x y ＝y x，即x ＝y ＝4时取等号。
答案 88．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处。
解析 设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20x，y 2＝0.8x 。
费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时“＝”成立。
答案 59．(2016·南昌模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________。
解析 由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，又∵t >0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6。
答案 610．已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1。
求证：1a ＋1b ＋1c≥9。
证明 ∵a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号。
11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20。
求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y的最小值。
解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy 。
∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，取等号。
因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10。
∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1。
∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1。
(2)∵x >0，y >0， ∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20 ＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，取等号。
由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103。
∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020。
B 组 培优演练1．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4 B.92 C ．8D ．9解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)， AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)，若A ，B ，C 三点共线， 则有AB →∥AC →，∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0。
∴2a ＋b ＝1。
又∵a >0，b >0，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a＋2ab≥5＋2 2b a ×2ab＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时取等号。
故选D 。
答案 D2．已知0<x <1，则1x ＋11－x 的最小值是________。
解析 ∵0<x <1，∴0<1－x <1。
∴1x ＋11－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋11－x (x ＋1－x )＝2＋x 1－x ＋1－x x ≥4，当且仅当x ＝12时，取等号。
故1x ＋11－x的最小值是4。
答案 43．(2015·重庆卷)设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________。
解析 因为a ，b >0，a ＋b ＝5，所以(a ＋1)＋(b ＋3)＝9。
令x ＝a ＋1，y ＝b ＋3，则x ＋y ＝9(x >1，y >3)，于是a ＋1＋b ＋3＝x ＋y ，而(x ＋y )2＝x ＋y ＋2xy ≤x ＋y ＋(x ＋y )＝18，所以x ＋y ≤32，此时x ＝y ，即a ＋1＝b ＋3，结合a ＋b ＝5可得a ＝3.5，b ＝1.5，故当a ＝3.5，b ＝1.5时，a ＋1＋b ＋3的最大值为32。
答案 3 24．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4<x ≤10。
若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和。
由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用。
(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值(精确到0.1，参考数据： 2取1.4)。
解 (1)因为一次喷洒4个单位的净化剂， 所以浓度f (x )＝4y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x －4，0≤x ≤4，20－2x ，4<x ≤10。
当0≤x ≤4时，由648－x －4≥4，解得0≤x ≤8，所以此时0≤x ≤4。
当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8， 所以此时4<x ≤8。
综上可得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天。
(2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天，浓度g (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x ＋a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－ x －6 －1＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a 14－x －a －4≥214－x ·16a14－x－a －4＝8a －a －4。
因为14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4。
令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6。