二次函数与根的判别式的关系
二次函数与根的判别式的关系
没有交点
没有实数根
结合前面的问题填表：
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象和x轴的交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个交点 有两个相异的实数根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的 判别式Δ=b2-4ac
b2-4ac &g个相等的实数根 没有实数根
b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
(1)抛物线与x轴有 一 个
交点，它们的横坐标
是2
；
y x 2 4x 4
(2)当x取交点的横坐标 时，函数是 0 ；
(3)所以方程x 2 4x 4 0的根是
x1=x2=2 .
2.已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有交 点，求k的取值范围.
解：由△=（－7）2－4×k×（－7）=49＋28k＞0， 得k＞－ 7 ． 4
观察判断下列图象哪个有可能是函数y x2 2x 3 的图象？
y
y
A.
O
B.
x
O
x
y
C.
O
y
√D.
O
x
x
一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛
起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关
系如图所示，观察并思考下列问题：
h/m
（3）何时小球离地面的高度
是60m？你是如何知道的？
解 : 令h 60 5t2 40t 60 t2 8t 12 0 (t 2)(t 6) 0 t/s t1 2，t2 6
一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛
起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关
系如图所示，观察并思考下列问题：
北师大版数学九年级下册《二次函数与根的判别式的关系》教案2
北师大版数学九年级下册《二次函数与根的判别式的关系》教案2一. 教材分析《二次函数与根的判别式的关系》这一节的内容，主要让学生了解二次函数的根与判别式之间的关系，掌握判别式的计算方法，并能运用判别式判断二次方程的根的情况。
内容安排合理，由浅入深，既注重了知识的形成过程，又培养了学生的动手操作能力、归纳推理能力、数学语言表达能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的相关知识，对二次函数的图象和性质有一定的了解。
但根与判别式的关系这一概念较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，我将以学生已有的知识为基础，引导学生通过观察、操作、归纳等方法，理解并掌握根与判别式之间的关系。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次方程的根与判别式之间的关系，能运用判别式判断二次方程的根的情况。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、归纳等方法，让学生体会数学知识的形成过程，培养学生的动手操作能力和归纳推理能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学生对数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的根与判别式之间的关系。
2.难点：理解判别式的计算方法和运用判别式判断二次方程的根的情况。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：引导学生观察、操作、归纳，发现二次函数的根与判别式之间的关系。
3.讲解法：在学生理解的基础上，进行讲解，使学生掌握知识。
4.练习法：通过适量练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数的图象和性质。
2.练习题：准备一些有关二次函数与根的判别式的练习题。
七. 教学过程导入（5分钟）1.利用生活实例引入二次函数的概念，让学生回顾二次函数的图象和性质。
2.提出问题：二次函数的根与判别式之间有什么关系？呈现（10分钟）1.利用课件展示二次函数的图象，引导学生观察二次函数的根与判别式之间的关系。
二次函数的根与判别式
二次函数的根与判别式二次函数是数学中常见的一类函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
二次函数的根是指函数f(x) = 0的解，即使得f(x)等于零的x值。
而判别式则是用来判断二次函数的根的性质和个数的重要工具。
本文将详细介绍二次函数的根与判别式的概念、计算方法以及相关性质。
一、二次函数的根二次函数的根即是使得f(x) = 0的x值。
为了求解二次函数的根，我们可以使用求根公式。
求根公式有两种形式，分别适用于一般形式和标准形式的二次函数。
1. 一般形式的二次函数对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用以下求根公式来求解其根：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，“±”表示两个解，即一个解为加号，另一个解为减号。
求根公式中的判别式b^2 - 4ac在后文中将详细介绍。
2. 标准形式的二次函数对于标准形式的二次函数f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标，我们可以通过移项和开平方的方式求解其根。
具体步骤如下：1) 将二次函数转化为一般形式：展开平方并化简得到f(x) = ax^2 + bx + c的形式；2) 根据一般形式的求根公式求解二次函数的根。
二、二次函数的判别式二次函数的判别式是用来判断二次函数的根的性质和个数的重要工具。
判别式的值可以分为三种情况：1. 判别式大于0（Δ > 0）当判别式大于0时，二次函数有两个不相等的实根。
也就是说，方程f(x) = 0有两个不同的实数解。
2. 判别式等于0（Δ = 0）当判别式等于0时，二次函数有两个相等的实根。
也就是说，方程f(x) = 0有且仅有一个实数解。
3. 判别式小于0（Δ < 0）当判别式小于0时，二次函数没有实根。
也就是说，方程f(x) = 0没有实数解。
三、二次函数根与判别式的关系二次函数的根与判别式之间存在着紧密的关系。
二次方程与根的关系
二次方程与根的关系二次方程是一个数学概念，通常表示成 ax^2 + bx + c = 0 的形式，其中 a、b、c 是已知的实数系数，而 x 是未知数。
二次方程在数学中有着广泛的应用，特别是在物理学、工程学和经济学等领域。
二次方程的一条重要性质是它与根的关系。
根是指使方程成立的解，即满足方程的 x 的值。
二次方程的根可能有两个、一个或没有，具体取决于方程的判别式（b^2 - 4ac）的值。
当判别式大于零时，二次方程有两个不相等的实根。
这意味着方程在坐标平面上表示的是一个开口向上或向下的抛物线与 x 轴相交于两个不同的点。
这两个实根可以通过求解二次方程来得到，公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中 "±" 表示加号或减号，表示两个不同的解。
当判别式等于零时，二次方程有一个实根。
这意味着方程在坐标平面上表示的是一个与 x 轴相切于一个点的抛物线。
这个实根可以通过求解二次方程来得到，公式为：x = -b / (2a)当判别式小于零时，二次方程没有实根。
这意味着方程在坐标平面上表示的是一个没有与 x 轴相交的抛物线，也就是抛物线在 x 轴上方或下方。
在这种情况下，解是虚数，表示为 a+bi 或 a-bi 的形式，其中a 和b 都是实数，而 i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
二次方程与根的关系在数学和实际应用中都非常重要。
它们帮助我们解决许多问题，例如找出物体在重力影响下的运动轨迹、计算交通工具的加速度以及确定经济模型中的最优解等。
二次方程还与二次函数紧密相连，可以用来研究函数的性质和图像。
除了与根的关系，二次方程还有其他一些重要特性。
例如，二次方程的对称轴是一个垂直于 x 轴的直线，它通过抛物线的顶点。
对称轴的方程可以通过将二次方程转化为顶点的标准形式来获得。
二次方程还有极大值或极小值，这些值对应于抛物线的顶点。
在实际问题中，我们经常需要解决二次方程的一些特定情况。
分析二次函数的根与判别式
分析二次函数的根与判别式二次函数是代数学中常见的一种函数形式，其一般表达式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
根据二次函数的一般表达式，我们可以推导出二次函数的判别式：Δ = b^2 - 4ac其中，Δ代表判别式。
在讨论二次函数的根的情况时，判别式起到了关键作用。
接下来，我们将分析二次函数的根与判别式之间的关系。
1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根。
在这种情况下，判别式Δ大于0，意味着二次函数的图像与x轴有两个交点，即函数方程f(x) = 0有两个不相等的实根。
这意味着二次函数的抛物线与x轴相交于两个不同的点，图像呈现出凹向上的形状。
2. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实根。
当判别式Δ等于0时，二次函数的图像与x轴有且仅有一个交点，这意味着函数方程f(x) = 0有两个相等的实根。
此时，二次函数的抛物线在x轴上切于一个点，图像呈现出一种特殊的情况，即对称轴与x轴重合。
3. 当Δ < 0时，二次函数没有实根。
如果判别式Δ小于0，那么二次函数的图像与x轴没有交点，函数方程f(x) = 0没有实根。
这种情况下，二次函数的抛物线完全位于x轴的上方或下方，图像呈现出凹向上或凹向下的形状。
通过分析二次函数的根与判别式，我们可以更好地理解二次函数的图像特征和解析特点。
判别式Δ的正负性决定了二次函数的根的情况，进而影响了函数的图像形状。
在应用中，我们可以利用二次函数的根与判别式来解决实际问题，如求解方程、优化问题等。
总之，判别式Δ在二次函数中的作用是决定了函数的根的情况，从而影响了函数的图像以及解析特征。
通过分析判别式Δ的正负性，我们可以准确地得知二次函数的根的情况，为进一步的数学研究和实际应用提供了便利。
二次函数的根与判别式
二次函数的根与判别式二次函数在数学中占据着重要的地位，在各种实际问题中都有广泛的应用。
而要了解二次函数的性质和解法，首先需要了解二次函数的根以及与之相关的判别式。
本文将详细介绍二次函数的根与判别式的概念、计算方法以及应用。
一、二次函数的根二次函数是一种形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
我们知道，二次函数的图像一般呈现出抛物线的形状，而二次函数的根即为使得函数值等于零的x值。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，它的根可以通过求解方程f(x) = 0来得到。
根据一元二次方程的求解公式可知，二次函数的根的计算公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根的取值可能性，√表示开平方根。
根据这个公式，我们可以计算出二次函数的根，进而对二次函数在坐标轴上的位置和特性进行进一步的分析。
二、二次函数的判别式为了更好地了解二次函数的性质，我们引入判别式的概念。
二次函数的判别式是一个用来判断二次函数根的性质的参数，通过判别式的值可以判断二次函数的根的情况。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，它的判别式D的计算公式为：D = b² - 4ac根据判别式的值可以得到以下结论：1. 当D > 0时，二次函数有两个不相等的实根；2. 当D = 0时，二次函数有两个相等的实根；3. 当D < 0时，二次函数没有实根，但可能有复数根。
通过判别式，我们可以进一步了解和分析二次函数的根的情况，从而更好地解决实际问题。
三、二次函数根与判别式的应用二次函数的根与判别式在应用中具有重要的作用。
以下是一些相关的应用场景：1. 求解方程：通过计算二次函数的根，可以解决各种与二次函数相关的方程问题。
2. 几何性质：通过分析二次函数的根和判别式，可以得到二次函数在坐标轴上的位置和形态。
二次函数与根的判别式的关系6
4.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=-2 ，
x2=
5，那么二次函数
3
y=
3
x2+x－10与x轴的交点坐标
是＿(-＿2，＿0＿) ＿( ＿＿，＿0. )
5.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3 B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2x2 － 4x － 5
6、如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平 距离x（m）之间的函数关系式y=－ 1 x2+ 2 x+ 5 ，则
12 3 3
该运动员此次掷铅球的成绩是___1_0_____。
总结提高
通过本节课的学习，你有哪些收获？ 还有什么疑惑？说给老师或同学听听. ①二次函数与一元二次方程的关系. ②二次函数与一元二次方程根的情况之间的 关系. ③事物是普遍联系的，运用方程知识可以解
写成点的坐标.
y=x2+2x与x轴交点 （-2，0）和（0，0）
y=x2-2x+1与X轴 的交点 （1，0）
y=x2-2x+2与x 轴无交点
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
议一 议、取长补短
观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2x²+ bx + c = 0
二次函数与一元二次方 程根的判别式的关系
y ax2 bx c
一、温故知新
（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为 （－2，0 ）
一元一次方程x＋2＝0的根为__X_=_－_2___ （2） 一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为
二次函数的根与判别式
二次函数的根与判别式二次函数是数学中常见的一类函数形式，可以表示为$y=ax^2+bx+c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是常数，且 $a\neq0$。
在解析几何和代数学中，研究二次函数的根和判别式是非常重要的内容。
本文将系统地介绍二次函数的根的概念、求根公式以及判别式的含义和应用。
一、二次函数的根的概念在解析几何中，我们说 $x_0$ 是二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的根，是指当 $x=x_0$ 时，函数的值 $y=ax_0^2+bx_0+c$ 等于零。
换句话说，$x_0$ 是函数图像与 $x$ 轴的交点的横坐标。
二次函数的根可以分为以下三种情况：1. 当判别式 $D=b^2-4ac>0$ 时，方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个不相等的实根；2. 当判别式 $D=b^2-4ac=0$ 时，方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个相等的实根；3. 当判别式 $D=b^2-4ac<0$ 时，方程 $ax^2+bx+c=0$ 没有实根，但有两个虚根。
二、求根公式求解二次函数根的常用方法是利用求根公式。
二次函数的求根公式为：\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]其中，$\pm$ 表示可以选择取正号或者负号，这取决于具体的方程和问题。
三、判别式的含义与应用判别式 $D=b^2-4ac$ 是判断二次函数根的重要指标。
它可以用来确定方程的根的性质，并在实际应用中起到重要的作用。
1. 当判别式 $D>0$ 时，方程有两个不相等的实根。
这意味着二次函数的图像与 $x$ 轴有两个交点，函数在这两个交点处取零值。
在实际中，我们可以利用这两个实根来求解问题，例如求解物体运动的时间、距离等。
2. 当判别式 $D=0$ 时，方程有两个相等的实根。
这意味着二次函数的图像与 $x$ 轴有一个交点，函数在该点处取零值。
在实际中，这种情况常常出现在对称性问题中，例如求解抛物线的对称轴。
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b2-4ac<0 无实数根 与x轴无交点
【典型例题】
关于x的二次函数 的图象与x轴有交点，则m的范围是（ ）
A.
B.
且m≠0
C.
D.
且m≠0
【典型例题】
∵二次函数 y=2mx2+(8m+1)+8m 的图象与x轴有交点
∴△≥0 2m≠0
【典型例题】
关于x的二次函数 的图象与x轴有交点，则m的范围是（ B ）
A.
B.罗先利名师工作室 北师大版初中数学九年级下册
罗先利名师工作室
课题：二次函数与一元二次方程(1)
主讲:
吴蓉
北师大版初中数学九年级下册
二次函数与一元二次方程
△=b2-4ac
ax2+bx+c=0( a≠0)
y=ax2+bx+c( a≠0)
b2-4ac>0
有两个不相等 的实数根
与x轴有两个 交点
b2-4ac=0
有两个相等 的实数根
与x轴有一个 交点