2013年(广东卷)高考数学(理科A)
2013年广东省高考数学试卷(理科)附送答案
2013年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}2．（5分）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．（5分）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4） B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）4．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E（X）=（）A．B．2 C．D．35．（5分）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A．4 B．C．D．66．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β7．（5分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．8．（5分）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）不等式x2+x﹣2＜0的解集为．10．（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=．11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为．12．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=．13．（5分）给定区域D：．令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定条不同的直线．14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为．15．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=cos（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（﹣）的值；（Ⅱ）若cosθ=，θ∈（，2π），求f（2θ+）．17．（12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．18．（14分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．（1）证明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x ﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．2013年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•广东）设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}【分析】根据题意，分析可得，M={0，﹣2}，N={0，2}，进而求其并集可得答案．【解答】解：分析可得，M为方程x2+2x=0的解集，则M={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，N为方程x2﹣2x=0的解集，则N={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合M∪N={0，﹣2，2}，故选D．2．（5分）（2013•广东）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可．【解答】解：y=x3的定义域为R，关于原点对称，且（﹣x）3=﹣x3，所以函数y=x3为奇函数；y=2x的图象过点（0，1），既不关于原点对称，也不关于y轴对称，为非奇非偶函数；y=x2+1的图象过点（0，1）关于y轴对称，为偶函数；y=2sinx的定义域为R，关于原点对称，且2sin（﹣x）=﹣2sinx，所以y=2sinx为奇函数；所以奇函数的个数为2，故选C．3．（5分）（2013•广东）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4） B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）【分析】由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．【解答】解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），故选C．4．（5分）（2013•广东）已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E（X）=（）A．B．2 C．D．3【分析】利用数学期望的计算公式即可得出．【解答】解：由数学期望的计算公式即可得出：E（X）==．故选A．5．（5分）（2013•广东）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A．4 B．C．D．6【分析】由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可．【解答】解：几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形，棱台的高为2，并且棱台的两个侧面与底面垂直，四楼台的体积为V==．故选B．6．（5分）（2013•广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n 异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D．7．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．【分析】设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F（3，0），离心率为，建立方程组，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴双曲线方程为．故选B．8．（5分）（2013•广东）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S【分析】特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项，即得答案．【解答】解：方法一：特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D 均错误；只有B成立，故选B．直接法：根据题意知，只要y＜z＜w，z＜w＜y，w＜y＜z中或x＜y＜w，y＜w＜x，w＜x ＜y中恰有一个成立则可判断（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．∵（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，∴x＜y＜z…①，y＜z＜x…②，z＜x＜y…③三个式子中恰有一个成立；z＜w＜x…④，w＜x＜z…⑤，x＜z＜w…⑥三个式子中恰有一个成立．配对后有四种情况成立，第一种：①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第二种：①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第三种：②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第四种：③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．综合上述四种情况，可得（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．故选B．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）（2013•广东）不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．【分析】先求相应二次方程x2+x﹣2=0的两根，根据二次函数y=x2+x﹣2的图象即可写出不等式的解集．【解答】解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2，1，且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上，所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．10．（5分）（2013•广东）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=﹣1．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k 的值．【解答】解：由题意得，y′=k+，∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，∴k+1=0，得k=﹣1，故答案为：﹣1．11．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为7．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入4，可得：进入循环的条件为i≤4，即i=1，2，3，4．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，S=4+4﹣1=7；当i=5时，退出循环，输出S=7；故答案为：7．12．（5分）（2013•广东）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=20．【分析】根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）．【解答】解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故答案为：20．13．（5分）（2013•广东）给定区域D：．令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定6条不同的直线．【分析】先根据所给的可行域，利用几何意义求最值，z=x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可，从而得出点集T中元素的个数，即可得出正确答案．【解答】解：画出不等式表示的平面区域，如图．作出目标函数对应的直线，因为直线z=x+y与直线x+y=4平行，故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3）或（0，4）时，直线的纵截距最大，z最大；当直线过（0，1）时，直线的纵截距最小，z最小，从而点集T={（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），（0，1）}，经过这六个点的直线一共有6条．即T中的点共确定6条不同的直线．故答案为：6．14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）．【分析】先求出曲线C的普通方程，再利用直线与圆相切求出切线的方程，最后利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得其极坐标方程即可．【解答】解：由（t为参数），两式平方后相加得x2+y2=2，…（4分）∴曲线C是以（0，0）为圆心，半径等于的圆．C在点（1，1）处的切线l的方程为x+y=2，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入x+y=2，并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，即或，则l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）．…（10分）故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）．15．（2013•广东）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=．【分析】利用AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，进而得到△CED∽△ACB，利用相似三角形的性质即可得出．【解答】解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．∴△CED∽△ACB．∴，又CD=BC，∴．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2013•广东）已知函数f（x）=cos（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（﹣）的值；（Ⅱ）若cosθ=，θ∈（，2π），求f（2θ+）．【分析】（1）把x=﹣直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值以及sin2θ，然后将x=2θ+代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．【解答】解：（1）（2）因为，所以所以，所以=17．（12分）（2013•广东）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．【分析】（1）茎叶图中共同的数字是数字的十位，这是解决本题的突破口，根据所给的茎叶图数据，代入平均数公式求出结果；（2）先由（1）求得的平均数，再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率．【解答】解：（1）样本均值为；（2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人；（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，所以，即恰有1名优秀工人的概率为．18．（14分）（2013•广东）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．（1）证明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．【分析】（1）连接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，AD=AE=，CO=BO=3．分别在△COD与△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可证明∠A′OD=∠A′OE=90°，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F．利用（1）可知：A′O ⊥平面BCDE，根据三垂线定理得A′F⊥CD，所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．【解答】（1）证明：连接OD，OE．因为在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，CO=BO=3．在△COD中，，同理得．因为，．所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2．所以∠A′OD=∠A′OE=90°所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O．所以A′O⊥平面BCDE．（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F因为A′O⊥平面BCDE．根据三垂线定理，有A′F⊥CD．所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在Rt△COF中，．在Rt△A′OF中，=．所以．所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为．方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则O（0，0，0），A′（0，0，），C（0，﹣3，0），D（1，﹣2，0）=（0，0，）是平面BCDE的一个法向量．设平面A′CD的法向量为n=（x，y，z），．所以，令x=1，则y=﹣1，．所以是平面A′CD的一个法向量设二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ，且所以所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为19．（14分）（2013•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．【分析】（1）利用已知a1=1，，n∈N*．令n=1即可求出；（2）利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）即可得到na n+1=（n+1）a n+n（n+1），可化为，．再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法（n≥2）即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，，解得a2=4（2）①当n≥2时，②①﹣②得整理得na n=（n+1）a n+n（n+1），即，+1当n=1时，所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列所以，即所以数列{a n}的通项公式为，n∈N*（3）因为（n≥2）所以=．当n=1，2时，也成立．20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．【分析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线PA的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．21．（14分）（2013•广东）设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．【分析】（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；（2）利用导数的运算法则求出f′（x），令f′（x）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．【解答】解：（1）当k=1时，f（x）=（x﹣1）e x﹣x2，f'（x）=e x+（x﹣1）e x﹣2x=x（e x﹣2）令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：0（0，ln2）ln2（ln2，+∞）x（﹣∞，0）f'（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）（2）f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2，x∈[0，k]，．f'（x）=xe x﹣2kx=x（e x﹣2k），f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k）令φ（k）=k﹣ln（2k），，所以φ（k ）在上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ，∴1﹣ln2≤φ（k ）＜＜k．即0＜ln（2k）＜k所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，ln（2k））ln（2k）（ln（2k），k）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗f（0）=﹣1，f（k）﹣f（0）=（k﹣1）e k﹣k3﹣f（0）=（k﹣1）e k﹣k3+1=（k﹣1）e k﹣（k3﹣1）=（k﹣1）e k﹣（k﹣1）（k2+k+1）=（k﹣1）[e k﹣（k2+k+1）]∵，∴k﹣1≤0．对任意的，y=e k的图象恒在y=k2+k+1下方，所以e k﹣（k2+k+1）≤0所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0）所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）e k﹣k3．。
2013年高考数学全国卷1答案与解析
2013年理科数学全国卷Ⅰ答案与解析一、选择题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<，则 ( ) A.A∩B=∅ B.A ∪B=R C.B ⊆AD.A ⊆B考点 ：集合的运算 解析：A=(-,0)∪(2,+), ∴A ∪B=R.答案：B2.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为()A .4-B .45-C .4D .45考点 ：复数的运算 解析：由题知===，故z 的虚部为.答案：D3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ()A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样考点 ：抽样的方法解析：因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样.答案：C 4.已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为A.B.C.12y x =±D.考点 ：双曲线的性质解析：由题知，，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为.答案：C5.运行如下程序框图，如果输入的，则输出s 属于A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]- 考点 ：程序框图 解析：有题意知，当时，，当时，，∴输出s 属于[-3,4]. 答案：A6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A .35003cm π B .38663cm π C. 313723cm π D. 320483cm π 考点 ：球的体积的求法解析：设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则，解得R=5，∴球的体积为35003cm π=. 答案：A7.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( ) A .3B .4C.5D.6考点 ：等差数列解析：有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，= -=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5.答案：C8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 考点 ：三视图解析：由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为=.答案：A 9.设m 为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若137a b =，则m = ( )A .5B.6C.7D.8考点 ：二项式的展开式 解析：由题知=，=，∴13=7，即=，解得=6.答案：B10.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点。
2013年广东高考理科数学试题及答案解析(图片版)
2013年广东高考理科数学试题与答案解析2013年普通高等学校招生全国统一考试〔广东卷〕数学〔理科〕参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. DC CA BD BB二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分9. (-2,1) 10.k =-1 11. 7 12.20 13.614.sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭15.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．〔本小题满分12分〕[解析](Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭. 17．〔本小题满分12分〕[解析](Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.向量法图(Ⅲ) 设事件A:从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A=1148212C CC 1633=.18．〔本小题满分14分〕[解析](Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD===连结,OD OE,在OCD∆中,由余弦定理可得OD==由翻折不变性可知A D'=,所以222A O OD A D''+=,所以A O OD'⊥,理可证A O OE'⊥, 又OD OE O=,所以A O'⊥平面BCDE.(Ⅱ) 传统法:过O作OH CD⊥交CD的延长线于H,连结A H',因为A O'⊥平面BCDE,所以A H CD'⊥,所以A HO'∠为二面角A CD B'--的平面角.结合图1可知,H为AC中点,故2OH=,从而2A H'==所以cos5OHA HOA H'∠==',所以二面角A'的平面角的余弦值为.向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系O-则()0,0,3A',()0,3,0C-,()1,2,0D-所以(CA'=,(1,DA'=-设(),,n x y z=为平面A CD'的法向量,则n CAn DA⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020yx y⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,解得yz=⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x=,得(1,1,n=-由(Ⅰ) 知,()0,0,3OA'=为平面CDB的一个法向量,所以3cos,3n OAn OAn OA'⋅'==⋅'即二面角A CD B'--19．〔本小题满分14分〕[解析](Ⅰ) 依题意,12122133S a=---,又111S a==,所以24a=；(Ⅱ) 当2n≥时,32112233n nS na n n n+=---,()()()()321122111133n nS n a n n n-=-------两式相减得()()()2112213312133n n na na n a n n n+=----+---整理得()()111n nn a na n n++=-+,即111n na an n+-=+,又21121a a-=故数列nan⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a=,公差为1的等差数列,所以()111n a n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.20．〔本小题满分14分〕[解析](Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设A (x 1,y 1), B (x 2,y 2) (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点P (x 0,y 0),所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点P (x 0,y 0)在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭ 所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 21．〔本小题满分14分〕 [解析](Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令f'(x )=0,得0x =,ln 2x = 当x 变化时, f'(x ), f (x )的变化如下表:f (x ) 极大值极小值右表可知,函数f (x )的递减区间为(0,ln2),递增区间为(-∞,0), (ln2,+∞). (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令f'(x )=0,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增,所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈所以当()()0,ln 2x k ∈时, f'(x )<0；当()()ln 2,x k ∈+∞时, f'(x )>0；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1kM f f k k e k ==--- 令()()311kh k k e k =--+,则()()3kh k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以φ(k )在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e e ϕϕ⎛⎫⎛⎫⋅=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, φ(k )>0, 当()0,1k x ∈时, φ(k )<0, 所以φ(k )在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为1170228h e ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=〞.综上,函数f (x )在[0,k ]上的最大值()31kM k e k =--.。
2013年广东省高考解析几何研究
2 3
, 且 椭 圆 C 上 到 点 Q 0 , 2） （
最 多 ？ 若 存 在 ， 求 出 点 M 的 坐 标 及 AOB的 面 积 ； 若 不 存 在，请说明理由.
关于第一问，要提醒学生：最值问题含有参数，需讨论。
第二问实质是根据三角形AOB面积取得最大值时， 确定m,n满足的一个方程，由点M在椭圆上，解方 程组求M坐标，难点是怎样求最大值.
三 、后阶段解析几何的训练重点
（一）练好小题（填空） 突出直线和圆，圆锥曲线的定义、标准方程和简单 几何性质的综合计算 （二）做好求轨迹方程的专题训练 （1）常见的求轨迹方程的方法：直接法，定义法， 待定系数法，相关点法，交轨法，参数法. （2）求出轨迹后要思考：多了那些点，少了那些点， 变量范围是什么.
（2）点的坐 标
涉及知识点，基本方法
利用圆的几何性质：圆到切线的距离等于圆 半径且圆心和切点所成的直线的斜率与 切线斜率相乘为-1
求两圆交点：两式相减得相交弦方程 抛物线（二次函数）求导，再利用点斜式得 过抛物线某点的切线方程 垂直向量数量积为0 求交点和中点（可用韦达定理）；相关点法 求轨迹方程，要注意x的范围。 利用圆的几何性质：圆心到直线的距离不大 于半径，则圆与直线有交点。
2； 求 p 的
在处理第二问时
结合图形解决 问题
方法１：考虑Ａ和Ｂ关于Ｆ对称，求出Ａ的坐标 方法２：A、B、F三点在同一直线m上,所以 AB为圆F的直径,∠ADB=90°.又由抛物线定 义知|AD|=|FA|=（１／２）|AB|, ∴∠ABD=30°,直接得到m的斜率。
实例2（2009广东高考理19）
2
(1)点 M 的轨迹方程为
y 2x
2
2013广东高考数学卷评析'稳中求变、变中求实'
稳中求变、变中求实2013年广东高考数学试卷分文、理两卷，试题整体稳中求新、难易适中，贴近考生，有利于素质教育和高校选拔新生；充分体现了考基础、考能力、考素质、考潜能和以考生发展为本的考试目标，对今后中学数学教育改革有良好的推动与导向作用。
现从以下三个方面对试卷进行解析：一、试题特点（1）题型稳定,保持风格2013年高考数学试卷(广东卷理科)和2012年高考数学试卷(广东卷理科)犹如双胞胎,其考查的知识内容、题型和整体难易程度与2012年基本一致,保持了高考命题的连续性、稳定性。
（2）注重基础,重视教材试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,无偏题、怪题,这对中学数学教学有很好的导向作用,让战斗在高三第一线的师生从满天飞舞的资料与题海中解脱出来,做到求真务实,抓纲务本。
整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.很多题目考查的都是现行高中教材中最基本且重要的数学知识,所用到的方法也是通性通法,这样考查既体现了高考的公平、公正,也对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用,这对引导中学数学教学用好教材有一定的助推作用。
高等教育进入“大众化”的时代，2013年试题基础题的的比例达到110多分，让考生感到入手容易，信心倍增。
近三年基础知识点分值分布表：主要知识点文科理科2011 2012 2013 2011 2012 2013复数运算第1题（5分）第1题（5分）第3题（5分）第1题（5分）第1题（5分）第3题（5分）集合运算第2题（5分）第2题（5分）第1题（5分）第2题（5分）第2题（5分）第2题（5分）向量运算第3题（5分）第3题（5分）第3题（5分）第3题（5分）函数基本性质第4题（5分）第4题（5分）第2题（5分）第4题（5分）第4题（5分）第2题（5分）线性规划第6题（5分）第5题（5分）第13题（5分）第5题（5分）第5题（5分）概率第6题（5分）第7题（5分）三视图第9题（5分）第7题（5分）第6题（5分）第7题（5分）第6题（5分）第5题（5分）解不等式第5题（5分）第9题（5分）第9题（5分）第9题（5分）二项式定理第10题（5分）第10题（5分）数列基本运算第11题（5分）第12题（5分）第11题（5分）第11题（5分）第11题（5分）第12题（5分）第19题（8分）导数基础应用第12题（5分）第12题（5分）第12题（5分）第10题（5分）第21题（6分）程序框图第9题（5分）第5题（5分）第13题（5分）第11题（5分）选考题第14题第15题（5分）第14题第15题（5分）第14题第15题（5分）第14题第15题（5分）第14题第15题（5分）第14题第15题（5分）三角函数 第16题（12分） 第6题（5分）第5题（5分） 第16题（12分）第16题（12分） 第16题（12分） 第16题（12分）概率统计 第13题（5分） 第13题（5分） 第17题（12分） 第17题（12分） 第17题（12分）第4题（5分） 第17题（12分） 立体几何 第18题（14分） 第18题（14分）第8题（5分） 第18题（14分） 第18题（14分） 第18题（14分）第6题（5分） 第18题（14分） 解析几何 第8题（5分）第8题（5分）第20题（14分） 第9题（5分）第20题（14分）第20题（6分）第7题（5分） 第20题（6分）合计98分106分117分98分110分116分（3）突出重点,考查全面2013年数学试卷所考查知识点的大致分布如下表.《考试说明》所指出的三角函数、平面向量、圆锥曲线、立体几何、概率与统计、数列、函数与导数等是中学数学的主干知识,其中的核心模块概率与统计、三角函数、立体几何、圆锥曲线、数列、函数与导数在今年试卷的解答题部分均得到较高的体现。
2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置． 参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差nx x x x x x s n 22221)()()(-++-+-=其中x 为样本平均数球的面积公式24R S π=第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数ii++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23 B ．21C ．3D ．1 2.已知R 是实数集，{}11,12+-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=x y y N x xM ，则=M C N R A ．)2,1(B ．[]2,0C .∅D ．[]2,13.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=24S S A ．5 B ．8 C ．8- D ．15 5.已知函数)62sin()(π-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a的值是A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 6.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 （1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β （4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）7.已知平面上不共线的四点C B A O ,,,，若||,23BC AB OC OB OA -=等于A ．1B ．2C ．3D ．4 8.已知三角形ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是A ．18B ．21C ．24D ．15 9.函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是 A ．(]1,0 B ．(]10,1 C ．(]100,10 D ．),100(+∞ 10.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为A ．22 B ． 223 C ．210 D ．211.已知函数b ax x x f 2)(2-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率是A ．43 B ．41 C ．83D ．8512.已知双曲线的标准方程为116922=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若0=⋅FN FM ,则a 的值为A ．916 B ．59 C ．925 D ．516题图第13第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其在一个球面上，则该球的表面积为__________.15.地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为)4.11(lg 32-=E R ．2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的 倍． 16.给出下列命题： ①已知,,a b m都是正数，且bab a >++11，则a b <； ②已知()f x '是()f x 的导函数，若,()0x R f x '∀∈≥，则(1)(2)f f <一定成立； ③命题“x R∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题； ④“1,1≤≤y x 且”是“2≤+y x ”的充要条件.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)第14题图三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量),2cos 2sin 3()2cos ,1(y xx b x a +==→→与共线，且有函数)(x f y =．（Ⅰ）若1)(=x f ，求)232cos(x -π的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,,的对边分别是c b a ,,，且满足b c C a 2cos 2=+，求函数)(B f 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .已知四棱锥BCDE A -，其中1====BE AC BC AB ，2=CD ，ABC CD 面⊥，BE∥CD ，F 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ； （Ⅱ）求证：面ACD ADE 面⊥； （III ）求四棱锥BCDE A -的体积.20.（本小题满分12分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y 关于x 的线性回归方程26139134ˆ+=x y，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．AB CDEF已知函数1)(2++=x bax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立.22.（本小题满分14分）实轴长为34的椭圆的中心在原点，其焦点1,2,F F 在x 轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A ,且12AF AF ⊥，△12AF F 的面积为3. （Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点A 作直线l 分别与抛物线和椭圆交于C B ,,若AB AC 2=,求直线l 的斜率k .参考答案及评分标准一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）B D B A D B B D BC C B二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．2 14.π31915. 2310 16. ①③三．解答题17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵→a 与→b 共线∴yxx x 2cos 2cos2sin 31=+21)6sin()cos 1(21sin 232cos 2cos 2sin 32++=++=+=πx x x x x x y …………3分∴121)6sin()(=++=πx x f ，即21)6sin(=+πx …………………………………………4分211)6(sin 21)3(cos 2)3(2cos )232cos(22-=-+=--=-=-ππππx x x x…………………………………………6分 （Ⅱ）已知b c C a 2cos 2=+由正弦定理得：CA C A C C A C ABC C A sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2)sin(2sin 2sin cos sin 2+=++==+∴21cos =A ，∴在ABC ∆中 ∠3π=A …………………………………………8分 21)6sin()(++=πB B f∵∠3π=A ∴320π<<B ,6566πππ<+<B …………………………………………10分∴1)6sin(21≤+<πB ,23)(1≤<B f ∴函数)(B f 的取值范围为]23,1( …………………………………………12分18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………2分 解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………4分 1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………6分(Ⅱ)13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………7分 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………9分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴nn n T 3⋅= …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点∴FG ∥CD,且FG=21DC=1 ．∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等∴EF ∥BG ． ……………………………2分ABC BG ABC EF 面面⊂⊄,∴EF ∥面ABC ……………………………4分 （Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥AC 又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BGABCDEF G∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，∴BG ⊥面ADC ． …………………………………………6分 ∵EF ∥BG ∴E F ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …………………………………………8分 （Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．43631232313114331=+=⨯⨯+⨯⨯=+=---ACD E ABC E BCDE A V V V ．………………………12分另法：取BC 的中点为O ，连结AO ，则BC AO ⊥，又⊥CD 平面ABC ,∴C CD BC AO CD =⊥ , , ∴⊥AO 平面BCDE ，∴AO 为BCDE A V -的高，43232331,2321)21(,23=⨯⨯=∴=⨯+==-BCDE A BCDE V S AO ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A 包含的基本事件有10种． …………………………………………3分所以321510)(==A P ．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是32． ………………………6分(Ⅱ) 当10=x 时，;2|1026219|,262192613910134ˆ<-=+⨯=y……………………………………9分 当30=x 时，;2|1626379|,263792613930134ˆ<-=+⨯=y所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ∴211)1(-=+-=-ab f ，化简得4-=-a b ． …………………………………………2分 222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+='12424)(22)1(-===-+=-'bb a b a f ． …………………………………………4分解得：2,2-==b a∴122)(2+-=x x x f ． …………………………………………6分 （Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立化简得22ln )1(2-≥+x x x即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立 ． …………………………………………8分 设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ∵1≥x ∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ． …………………………………………10分 ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立 ． …………………………………………12分22．（本小题满分14分）解（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12,AF m AF n ==由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+6344222mn n m c n m …………………………………………2分解得92=c ，∴39122=-=b ．∴椭圆的方程为131222=+y x …………………………………………4分 ∵3=⨯c y A ，∴1=A y ,代入椭圆的方程得22=A x ，将点A 坐标代入得抛物线方程为y x 82=． …………………………………………6分（2）设直线l 的方程为)22(1-=-x k y ，),(),,(2211y x C y x B2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)- 11 - / 11 由AB AC 2= 得)22(22212-=-x x ， 化简得22221=-x x …………………………………………8分 联立直线与抛物线的方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=-yx x k y 8)22(12， 得0821682=-+-k kx x ∴k x 8221=+① …………………………………………10分 联立直线与椭圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-124)22(122y x x k y 得0821632)2168()41(2222=--+-++k k x k k x k ∴22241821622kk k x +-=+② …………………………………………12分 ∴2222418216)228(222221=++---=-kk k k x x 整理得：0)4121)(2416(2=+--k k k ∴42=k ，所以直线l 的斜率为42 ． …………………………………………14分。
近两年高考数学(广东卷)数列题巧解
近两年高考数学（广东卷）数列题巧解作者：刘品德来源：《广东教育·综合》2014年第09期数列是一类定义在正整数集或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的特殊函数，可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.新课程下高考（广东卷）更加突出数列是特殊函数的本质考查，在解答这类题时架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们间的内在联系，就能轻松作答.本文以近两年高考（广东卷）的数列题为例，先对试题作出分析，再介绍其巧解方法.一、高考真题例1（2013广东，理19）设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，=an+1-n2-n-， n∈N？鄢.（1）求a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+例2（2014广东，理19）设数列{an}的前项n和为Sn，满足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N？鄢，且S3=15.（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式.二、试题分析近年广东高考数列解答题，常与不等式证明结合作为压轴题的形式出现，这类问题既需要证明不等式的基本思想和方法，又要结合数列本身的结构和特点，有着较强的技巧性，能综合考查考生的逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.因此有关数列不等式的证明是一个常考不衰的题型，用“放缩法”证明数列不等式更是历年高考命题的热点，对“放缩法”的巧妙运用往往能体现出创造性，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果.但2014年就一改常态，不考不等式证明，考归纳推理、数学归纳法，这让很多考生不适应，完全在意料之外，整个题切入似乎比较难，导致广东今年数学高考成绩的平均分比去年低10多分.两道题的常见解法：例题1解答一：（1）解：∵ =an+1-n2-n-， n∈N？鄢.∴当n=1时，2a1=2S1=a2--1-=a2-2又∵ a1=1∴ a2=4（2）解：∵ =an+1-n2-n-， n∈N？鄢.∴ 2Sn=nan+1-n3-n2-n=nan+1- ①∴当n≥2时，2Sn-1=（n-1）an- ②由①-②，得2Sn-2Sn-1=nan+1-（n-1）an-n（n+1）∵ 2an=2Sn-2Sn-1∴ 2an=nan+1-（n-1）an-n（n+1）∴ -=1∴数列是首项为=1，公差为1的等差数列.∴ =1+1×（n-1）=n，∴ an=n2（n≥2）当n=1时，上式显然成立.∴ an=n2，n∈N？鄢.（3）证明：由（2）知，an=n2，n∈N？鄢①当n=1时，=1②当n=2时， +=1+③当n≥3时，∵ n2>（n-1）·（n+1），∴∴ ++…+=++…+=1+（-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）=1+（-+-+-+…+-+-）=1+（+--）=+（--）当n≥3时，原不等式亦成立.综上所述，对一切正整数n，有++…+例题2解答一：解：⑴由题意得：S2=4a3-20，S3=S2+a3=5a3-20又S3=15∴ a3=7，S2=4a3-20=8又S2=S1+a2=（2a2-7）+a2=3a2-7∴ a2=5，a1=S1=2a2-7=3综上知a1=3，a2=5，a3=7.（2）由（1）猜想an=2n+1，下面用数学归纳法证明.①当n=1时，结论显然成立.②假设当n=k（k≥1）时，ak=2k+1则Sk=3+5+7+（2k+1）=×k=k（k+2）又Sk=2kak+1-3k2-4k∴ k（k+2）=2kak+1-3k2-4k，解得2ak+1=4k+6∴ ak+1=2（k+1）+1即当n=k+1时，结论成立.由①②知，？坌n∈N？鄢，an=2n+1.三、试题评价从试题的设计来看，第一道数列试题充分体现了考基础、考能力、考素质、考潜能和以考生发展为本的考试目标.试题的第（1）问比较常规，属于送分题，学生比较容易上手，以增加学生解决综合题和战胜困难的信心；第（2）问利用递推关系求数列通项公式，这应该是学生比较熟悉的，这样可以让他们能够心平气和地思考问题，但在思维的层次上和运算能力上作了一个适当的提升，对中等偏下的学生设置了障碍；第（3）问是为一些优秀学生提供了充分展示自己智力的平台，让这些学生能够脱颖而出.这样，逐步增加试题思维的难度，达到通过数列压轴题增加试卷区分度的目的，对今后中学数学教育改革有良好的推动与导向作用.第二道数列题，第（1）问求数列的前三项，通过解方程组可以求出；第（2）问不少考生还是试图通过公式an=Sn-Sn-1（n≥2）去求，也是平时备考复习做得比较多的题型，发现做不下去，很少考生能发现第（1）问的提示作用，利用归纳推理，先猜后证，再用数学归纳法证明，这也与平时教学有关. 从评卷情况来看，数列解答题虽然一看题目似乎是可以用“通性通法”求解，但很多考生的思维定势比较明显，不能做到灵活变通，导致对数列题的解答“会而不对”.四、试题巧解笔者深入分析这两道题发现：事实上都是考查数列是特殊函数的本质，也就说可以从函数的角度来分析作答，如果能够先求出函数Sn = f（n）（n∈N？鄢）的表达式，再由公式an=Sn-Sn-1（n≥2）去求an就是水到渠成的事了.下面根据题目条件的特点，用待定系数先求Sn再求an.例题1解答二：（1）解略.（2）解：由题意可设Sn=an3+bn2+cn+d（a≠0）则an+1=Sn+1-Sn=[a（n+1）3+b（n+1）2+c（n+1）+d]-（an3+bn2+cn+d）=3an2+（3a+2b）n+a+b+c由条件=an+1-n2-n-，即2Sn=nan+1-n3-n2-n可得：2an3+2bn2+2cn+2d=（3a-）n3+（3a+2b-1）n2+（a+b+c-）n对？坌n∈N？鄢成立.∴ 2a=3a-，2b=3a+2b-1，2c=a+b+c-，d=0.又a1=S1=a+b+c+d=1，解得a=，b=，c=，d=0.∴ Sn=n3+n2+n，n∈N？鄢当n≥2时an=Sn-Sn-1=（n3+n2+n）-[（n-1）3+（n-1）2+（n-1）]=n2∴ an=n2，n∈N？鄢.（3）解略.例题2解答二：（1）解略（2）解：由题意可设Sn=an2+bn+c（a≠0）则an+1=Sn+1-Sn=[a（n+1）2+b（n+1）+c]-（an2+bn+c）=2an+a+b由条件Sn=2nan+1-3n2-4n，可得an2+bn+c=（4a-3）n2+2（a+b-2）n对？坌n∈N？鄢成立∴ 4a-3=a，2a+2b-4=b，c=0，解得 a=1，b=2，c=0，∴ Sn=n2+2n，n∈N？鄢当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+2n）-[（n-1）2-2（n-1）]=2n-1当n=1时，上式显然成立.∴ an=2n-1，n∈N？鄢.以上介绍的待定系数法求Sn，揭示数列是特殊函数的本质，思路清晰，真正体现“数学是自然的”，达到化繁为简、化难为易的效果.五、教学启示今年高考数学（广东卷），考生普遍反映后几道大题难度有些大.从阅卷反馈情况来看：无法动笔的空白卷很少，但得分却不够理想.也就是说，人人都能动笔解答，却很少考生全做对，大多是只做了第一问，第二问就空白了，不知道循着题意“抢分”，这也给我们的教学带来一些启示.（1）构建知识网络，基于知识形成过程理解知识这两道题涉及的知识点比较基础，考查函数方程、不等式、归纳推理、数学归纳法、待定系数法、放缩法等，涉及函数与方程思想，转化与化归思想，数形结合思想等，无论是知识点还是数学思想方法都是课标中要求的最基本和应该掌握的重要内容.但测试效果并不如意，这说明平时的教学光死记硬背是不行的，应该让学生构建知识网络，把握知识间的内在联系，讲清知识的来龙去脉，让学生基于知识形成过程去理解知识，这样学生才能学得“活”.（2）注重教材例习题的再创造，回归课本探源课程改革非常反对题海战术，而强调对教材资源的开发和利用.教材中的例习题都是经典题目，能反映本节重点知识及知识的运用过程，这也是高考题的主要素材来源.如果教师平时注重对教材的发掘和再创造，不仅对高考题目命制的出发点有所了解，自身的教学教研能力也会得到很大的提升.如前文例题2，应用待定系数法解答会显得比较容易，简直不敢相信高考题竟会如此常规，但几乎没有考生这样去解答.（3）注重数学本质的理解，培养灵活变通能力在高三数学复习备考中，教师注重方法、题型、规律的总结，让学生记题型、背套路，类似于英语作文中的“模版”，缺乏对数学本质的提示，题目稍作变式学生就不适应.因此，教师在总结解题方法时，不应该流于题目的形式，更应该针对题目的内涵，从考察的知识点、隐含的数学思想等方面加以拓展，才能让学生对问题的本质有所了解，从而对不同的题目采用切实高效的解答策略.如本文的两道数例题，只记公式an=Sn-Sn-1（n≥2）的惯性思维，而在平时不注意归纳、猜想思维的培养，学生就不会想到用数学归纳法去解答. 如果在学习等差数列前n和时理解待定系数法，学生就能够想到求出函数Sn = f（n）（n∈N？鄢）的表达式，再求an，就有助于对数列本质的认识，进而克服思维定势的负面影响.责任编辑罗峰。
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)含解析
2013高考试题解析分类汇编（理数）5：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,,则满足（）A． B． C． D．D．【解答】作图知，只有，其余均有，故选D．2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知点（）A． B． C． D．A，所以，所以同方向的单位向量是，选A.3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有.则（）A． B． C． D．D以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0）则BP0=1，A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0）所以=（1，0），=（2﹣x，0），=（a﹣x，b），=（a﹣1，b）因为恒有所以（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立整理可得x2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立所以△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a2≤0所以a=0，即C在AB的垂直平分线上所以AC=BC故△ABC为等腰三角形故选D4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））在四边形ABCD中,,,则四边形的面积为（）A． B． C．5 D．10C由题意，容易得到．设对角线交于O点，则四边形面积等于四个三角形面积之和即S= ．容易算出，则算出S=5．故答案C5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是（）A． B． C． D．D.在本题中，.建立直角坐标系，设A(2,0),所以选D6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上,,,.若,则的取值范围是（）A． B． C． D．D【命题立意】本题考查平面向量的应用以及平面向量的基本定理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
绝密★启用前 试卷类型：A
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学（理科）
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟
注意事项：1. 答卷前,考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场
号、座位号填写在答题卡上·用2B 铅笔讲试卷类型（A ）填涂在答题卡相应的位置上·将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”·
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上·
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液·不按以上要求作答的答案无效·
4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点,再作答·漏涂、错涂、多涂的,答案无效·
5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试题与答题卡一并交回· 参考公式：台体的体积公式V=(S 1+S 2+
)h,其中S 1,S 2分别表示台体的上、下底面积,h
表示台体的高·
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M={x ∣x 2+2x=0,x ∈R},N={x ∣x 2-2x=0,x ∈R},则M ∪N= A. {0} B. {0,2} C. {-2,0} D {-2,0,2}
2.定义域为R 的四个函数y=x 3,y=2x ,y=x 2
+1,y=2sinx 中,奇函数的个数是 A. 4 B.3 C. 2 D.1
3.若复数z 满足iz=2+4i,则在复平面内,z 对应的点的坐标是 A. （2,4） B.（2,-4） C. (4,-2) D(4,2)
4.已知离散型随机变量X 的分布列为
则X 的数学期望E （X ）= A.
B. 2
C.
D 3
5．某四棱太的三视图如图1所示,则该四棱台的体积是
A．4 B．C．D．6
6．设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是A．若α⊥β,mα,nβ,则m⊥ n B．若α∥β,mα,nβ,则m∥n
C．若m⊥ n,m α,n β,则α⊥βD．若m α,m∥n,n∥β,则α⊥β7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3,0）,离心率等于,则C的方程是
A．= 1B．= 1C．= 1D．= 1
8.设整数n≥4,集合X=｛1,2,3……,n｝·令集合S=｛（x,y,z）|x,y,z∈X,且三条件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立｝,若（x,y,z）和（z,w,x）都在s中,则下列选项正确的是A.（y,z,w）∈s,（x,y,w）S B.（y,z,w）∈s,（x,y,w）∈S
C. （y,z,w）s,（x,y,w）∈S
D. （y,z,w）s,（x,y,w）S
二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分·
（一）必做题（9~13题）
9.不等式x2+x-2<0的解集为·
10.若曲线y=kx+lnx在点（1,k）处的切线平行于x轴,则k= ·
11.执行如图2所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为·
12,在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=___
13．给定区域：.令点集T=|(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点,则T中的点共确定____条不同的直线·
（二）选做题（14-15题,考生只能从中选做一题）
14（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为（t为参数）,C在点
（1,1）处的切线为L,一座标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标,则L的极坐标方程为_______.
15.（几何证明选讲选做题）如图3,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D是BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E·若AB=6,ED=2,则BC=______.
三、解答题：本大题共6小题,满分80分,解答需写出文字说明·证明过程和演算步骤·
16.（本小题满分12分）
已知函数f（x）=cos（x-）,XER·
（1）求f（-）的值；
（2）若cosθ=,θE（,2π）,求f（2θ+）·
17．（本小题满分12分）
某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示,其中茎为十位数,叶为个位数·
（1）根据茎叶图计算样本均值；
（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人·根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
（3）从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率
18（本小题满分4分）
如图5,在等腰直角三角形ABC中,∠A =900 BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=
A’-BCDE,其中A’O=?3
所示的四棱椎
,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图6
（1）证明：A’O⊥平面BCDE；
（2）求二面角A’-CD-B的平面角的余弦值
19.（本小题满分14分）
设数列｛a n｝的前n项和为S n,已知a1=1,=a n+1-n2 – n - ,n∈N·.
（1）求a2的值
（2）求数列｛a n｝的通项公式a1
（3）证明：对一切正整数n,有+…＜
20.(本小题满分14分)
已知抛物线c的顶点为原点,其焦点F（0,c）（c＞0）到直线L:x-y-2=0的距离为. 设P为直线L上的
点,过点P做抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点·
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P（）x0,y0）为直线L上的定点时,求直线AB的方程；
（3）当点P在直线L上移动时,求|AF|·|BF|的最小值
21.（本小题满分14分）
设函数f（x）=（x-1）e x-kx2（k∈R）.
(1)当k=1时,求函数f（x）的单调区间；
(2) 当k∈（1/2,1]时,求函数f（x）在[0,k]上的最大值M.。