3.4 微分与微分技术
微分和导数
第2章 微分和微分法·导数的简单应用经典微积分大致分为微分学和积分学两大部分.微分学中两个最基本的概念就是函数的微分和导数，而求函数微分或导数的方法称为微分法.微分法是微分学中最基本的运算方法.§2-1 微分和导数函数的微分和导数就像是一对儿“双胞胎”，是同时存在的，而且两者有密切的关系.自柯西以来，几乎所有的教科书中都是先讲导数，后讲微分.许多学生学完微积分后，熟悉导数却不熟悉微分.实际上，微分运算和导数运算是平行的，即每一个微分运算都对应于一个相当的导数运算，反过来也是如此.本书将把函数的可微性作为起始概念，并同时导出函数的微分和导数这两个概念，以便能够体现出它们两者之间的“孪生兄弟”关系.1.从例子说起(函数局部线性化) 假若函数)(x y y =随自变量x 的变化是均匀的，譬如函数b kx y +=. 用0x x x ∆=-表示自变量x 在点0x 的增量，则函数b kx y += 的增量为00[()][]y k x x b kx b k x ∆=⋅+∆+-+=⋅∆ (图2-1)显然，y ∆与自变量增量x ∆成正比，即函数增量y ∆是关于自变量增量x ∆的线性函数.可是，另有些函数，例如函数2x y =(图2-2)在点0x (相应于自变量增量x ∆)的增量为222000()2()y x x x x x x ∆=+∆-=∆+∆显然，函数2x y =在点0x 近旁的变化不是均匀的，即y ∆与x ∆不成正比.但是，y ∆能够被分离出一部分02x x ∆，它与x ∆成正比；而余下的部分2()x ∆与x ∆相比较，当0→∆x 时，是高阶无穷小量，即)0)(()(2→∆∆=∆x x o x .于是，函数2x y =在点0x 的增量就可表示成02()(0)y x x o x x ∆=∆+∆∆→我们将把“与x ∆成正比”或“关于x ∆为线性”的那一部分02x x ∆，称为函数2x y =在点0x 的微分；而把比例系数02x 称为函数2x y =在点0x 的导数.与一次函数y kx b =+不同，函数2xy =图2-2b +图2-1x ∆§2-1 微分和导数 61在点0x 的微分和导数都与点0x 有关.不过，两者的微分都是关于自变量增量的线性函数.2.可微·微分和导数 一般情形下，设有函数)(x y y =定义在区间,a b 上.当自变量x 在点0,x a b ∈有增量0x x x ∆=-(0>∆x 或0<∆x )时，函数)(x y y =就会相应地有增量00()()y y x x y x ∆=+∆- (图2-3)其中记号“y ∆”作为一个整体，将表示x ∆的函数.确切地说，应当把y ∆记成0()(,)y x x ∆∆，而y ∆就像一个函数记号(x ∆是自变量).⑴ 自变量x 的增量x ∆称为自变量x 的微分，记成x d ； ⑵ 若有与x ∆无关的常数0()k k x =，使()y k x o x ∆=∆+∆ (2-1)其中00()limlim 0x x o x y k xx x∆→∆→∆∆-∆==∆∆则称函数)(x y y =在点0x 为可微分；并称k x ∆为函数)(x y y =在点0x 的微分，记成0d |x x y =或0d ()y x ；其中0()k k x =关于0x 是唯一的①，称它为函数)(x y y =在点0x 的导数，记成0()x x y x ='或0()y x '.因此，微分0d ()y x 0()y x x '=∆0()d y x x '=.①根据式（2-1），()y o x k x x∆∆=+∆∆，于是0lim x yk x ∆→∆=∆.根据极限的基本性质1（见§1-5），所以0()k k x =关于0x 是唯一的.注意，当把d x x ∆=看成有限量时，微分是有限量；而在极限过程0x ∆→中，微分又是无穷小量.因此, 为了能够满意地解释微积分中的一些记号和运算, 我们把微分既看成有限量, 又看成无穷小量.这就像物理学中关于光的“两象性”解释(“粒子说”和“波动说”)一样.根据本节开始的讨论，一次函数y kx b =+和二次函数2y x =在任意点0(,)x ∈-∞+∞都可微分，且（微分）0d()d x x kx b k x =+=, （导数）0()x x kx b k ='+=;（微分）020d()2d x x x x x ==, （导数）020()2x x x x ='=.特别，对于常值函数()()y x c x ≡-∞<<+∞，因为0y ∆≡，所以d 0c ≡，0c '≡.上述导数记号0()y x '是后来的法国数学家拉格朗日(Lagrange, 1736—1813)引用的，而莱布0(y x +(y00 图2-3尼茨当初把函数)(x y y =在点0x 的的导数记成0d x. 这样，按照莱布尼茨的说法， 导数就是函数的微分除以自变量微分的商 (简称微商)（*）.若函数)(x y y =在点0x 可微分，根据式(2-1)，则有lim 0x y ∆→∆= 或 000lim ()()x y x x y x ∆→+∆=即函数)(x y y =在点0x 连续.这说明：函数连续是函数可微分的必要条件；或者说，函数可微分是函数连续的充分条件.在以下的例子中．．．．．．．，注意．．x ∆是自变量．．．．（而把x 暂时看成常量，就像上面的0x ）. 例1 函数n y x =(n 为正整数)的可微性 当自变量在任意点(,)x ∈-∞+∞有一个无穷小增量x ∆时，函数nx y =在点x 的增量为122(1)()()()()2n n n n n n n n n y x x x x nx x x x x x ---⎡⎤∆=+∆-=+∆+∆++∆-⎢⎥⎣⎦1221(1)()()()2n n n n n n nx x x x x nx x o x ----⎡⎤=∆+∆++∆=∆+∆⎢⎥⎣⎦[方括号内为()o x ∆]因此，根据定义[即式(2-1)]，函数n x y =在任意点(,)x ∈-∞+∞可微分且微分为1d()d n n x nx x -=（其中d x x =∆）而函数n x y =在点(,)x ∈-∞+∞的导数为1()n n x nx -'=.例2 函数sin y x =和cos y x =的可微性 对于任意点(,)x ∈-∞+∞，设有增量x ∆，则函数的增量为2sin()sin 2cossin 22x x xy x x x +∆∆∆=+∆-= 其中，当0x ∆→时，根据定理1-1（因为cos x 是连续函数），则有2coscos cos (1)22x x x x x o +∆∆⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 又根据sin (0)x x x ≈→，则sin(0)22x x x ∆∆≈∆→，于是有 sin ()22x x o x ∆∆=+∆ [ sin 2x ∆与2x ∆相差一个高阶无穷小量]因此，[]2cos (1)()cos ()2x y x o o x x x o x ∆⎡⎤∆=++∆=⋅∆+∆⎢⎥⎣⎦即函数sin y x =在任意点(,)x ∈-∞+∞可微分，而且，（*）可见，莱布尼茨当初把函数的微分作为起始概念，而导数是从属概念。
微积分中的微分与微分中值定理
微积分是数学中的一门重要分支，也是高等数学的基础课程之一。
微积分的研究对象涉及到函数的极限、连续性、导数、积分等内容。
微积分中的微分概念以及与之相关的微分中值定理是微积分理论的重要内容之一。
微分是微积分的基础概念之一，它指的是函数在某一点处的变化率。
具体来说，若函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，则函数在$x_0$处的导数$f'(x_0)$即为函数在该点的微分。
微分可以看作是函数在某一点的局部线性近似，通过微分可以描述函数在某点的斜率以及近似的变化情况。
微分的概念是微积分中的关键，它是导数概念的先导。
微分中值定理是微分学中的重要定理之一，它是基于连续性与导数的基本性质而得出的。
微分中值定理的核心思想是通过函数的导数找到函数在某一区间内某一点的切线斜率与函数在此区间内任意两点连线斜率相等的点。
根据微分中值定理，若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在区间$(a,b)$内可导，那么在区间$(a,b)$内一定存在一点$c(a<c<b)$，使得$f'(c)$等于函数在区间$[a,b]$的平均变化率$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
微分中值定理的重要性在于它使得我们可以通过求解导函数在某一区间内的零点来研究原函数的性质。
根据微分中值定理，如果某函数在某点的导数为零，则说明函数在该点附近的斜率相等；如果某函数在某区间内的导数始终大于零（或小于零），则说明函数在该区间上是递增（或递减）的。
基于微分中值定理，我们可以研究函数的最值点、驻点、拐点等重要特性。
微积分中的微分与微分中值定理是微积分理论的重要组成部分，它们是求解导数与研究函数性质的基础。
微分的概念通过对函数的局部线性近似描述了函数的变化情况，而微分中值定理则通过导数的性质来研究函数的性质，为进一步探索函数的极值、最值等提供了基础。
在实际应用中，微积分的概念与微分中值定理常常被用于求解函数的最优化问题，如优化经济学中的最大化与最小化问题，物理学中的最速下降与最接近问题，工程学中的最优设计问题等等。
微分的定义、计算和应用领域
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目录
微分的定义
微分的计算
微分的应用领域
微分在数学建模 中的应用
微分在经济学中 的应用
微分的定义
微分表示曲线在某一点的切线斜率 微分可以理解为函数值随自变量变化的近似值 微分的大小表示函数图像在相应点的变化率 微分的正负号表示函数图像在相应点的增减性
微分是一种数学运算，表示函数在某一点的变化率 微分由函数在该点的导数定义，记作f'(x) 微分运算可以用线性近似的思想来理解，即用线性函数近似非线性函数 微分是高等数学中的基本概念之一，是研究函数变化规律的重要工具
线性方程：通过微分法将线性方程转化为可解的形式 非线性方程：利用微分法寻找方程的根 微分方程：通过微分法求解微分方程，得到函数的变化规律 积分方程：通过微分法将积分方程转化为可解的形式
概率分布函数的导数：描述随机变 量的变化趋势
随机变量的方差和协方差：计算随 机变量的变异程度和相关性
添加标题
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随机变量的概率密度函数：计算概 率密度函数的值
大数定律和中心极限定理：研究随 机变量的极限性质和分布规律
微分在经济学中的 应用
定义：微分在经济学中用于描述函数边际变化的概念。
计算方法：通过求导数来计算边际值。
应用领域：边际分析常用于企业决策、市场分析等领域，帮助决策者了解经济变量的变化趋势 和影响。
求导
参数式函数的 微分：导数的
线性主部
参数式函数的 微分法则：适 用于参数式函 数数是指函数关系由一 个等式来表示，而非显式地给出自 变量和因变量之间的函数关系。
应用领域：隐式函数的微分法则在数 学、物理、工程等多个领域都有广泛 应用，例如解决物理问题、优化问题、 控制系统等领域。
周建伟微分几何讲义
周建伟微分几何讲义一、微分几何概述1.1 什么是微分几何微分几何是研究曲线、曲面及高维空间中的几何性质的数学分支。
它通过引入微分、积分和向量等工具，研究切向量、曲率、曲率线等概念，揭示了几何对象与微分方程之间的密切关系。
1.2 微分几何的应用领域微分几何在很多领域有广泛的应用，例如物理学中的广义相对论、机器学习中的降维算法、计算机图形学中的曲面建模等。
它为解决实际问题提供了数学工具和理论基础。
二、微分流形2.1 流形的定义流形是具有良好局部欧几里德结构的空间。
它可以用参数化局部坐标系来刻画，并且能够通过坐标变换进行衔接。
2.2 流形的分类根据维度的不同，流形可以分为一维曲线、二维曲面和高维流形。
高维流形的研究对于理解现实世界中的复杂结构具有重要意义。
2.3 流形上的切空间切空间是流形上每一点处切向量的集合，它与流形的局部变换相联系。
切空间的研究是微分几何的重要内容之一，可以用来描述曲线的切线、曲面的切平面等。
2.4 流形上的度量度量是流形上定义的一种距离概念，用于测量流形上两点之间的距离。
在微分几何中，度量可以用来定义曲线的长度、曲率等重要概念。
三、微分几何的基本概念3.1 曲率曲率是刻画流形弯曲程度的量度。
在一维曲线上，曲率即为曲线的弯曲程度；在二维曲面上，曲率包括高斯曲率和平均曲率等。
3.2 平行性平行性是流形上切向量平行的概念。
通过引入仿射联络，可以在流形上定义平行性的概念，从而研究平行移动、测地线等重要概念。
3.3 高斯-博内定理高斯-博内定理是微分几何中的重要定理之一。
它描述了曲面上的曲率和曲面内外几何关系之间的联系，对于研究曲面的性质具有重要意义。
3.4 微分形式微分形式是微分几何中的关键工具，用于描述切向量场和流形局部性质。
微分形式的引入使得微分几何与微分方程能够建立起联系。
四、微分几何的应用案例4.1 物理学中的应用微分几何在物理学中有广泛的应用，例如广义相对论中的时空曲率、黑洞的几何性质等。
1chapter3(4)微分技术
t
方法 2. 利用复合函数的求导法则,有 dy
dy dx
dy dt dt dx
dt dx
(t) . (t )
dt
dy
注意:
(1)
dy dx
dt dx
dy dt
dt dx
dt
(2)
求
d d
2 2
y x
时,
x (t)
根据
dy dx
(t (t
)求得, )
即
d (t)
d2y dx2
d dx
(t) (t)
两边求导 1 y v( x) ln u( x) v( x) u( x) ,
y
u( x)
y u( x)v( x) v( x) ln u( x) v( x) uu((xx)).
ex4.设y ( x2 1)sin x , 求y.
Solution. ln y sin x ln(x2 1),
y
e
y
(
y)2 xey
2
y
2 xy
2 ye y y2e ( x e y )3
y
2. 对数求导法 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
求导方法求出导数.
适用范围: 多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形.
设 y u( x)v( x) , 求 dy . dx
Solution. 首先, 两边取对数 ln y v( x) ln u( x),
y
1 5
ln( x
5)
1 5
ln(
x2
2),
d dx
(ln
y)
d dx
1 5
ln(
x
5)
大一高数微分学知识点
大一高数微分学知识点微分学是数学中的一个重要分支，是研究函数的变化率与函数的性质的学科。
在大一阶段的高数课程中，微分学是其中的一个重要内容。
下面将介绍一些大一高数微分学的知识点。
一、函数的导数函数的导数是描述函数变化率的概念，在微分学中有着重要的地位。
设函数y=f(x)，当x在某一点x0附近发生微小变化Δx时，函数值y也会相应地发生变化Δy，那么函数f(x)在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)也可以写作：f'(x0) = dy/dx |(x=x0)其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数，Δx表示自变量的增量，Δy表示函数值的增量。
导数描述了函数在某一点的瞬时变化率。
二、导数的计算导数的计算分为几种常见的情况。
1. 常数的导数：若常数k，f(x)=k，则f'(x)=0。
2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，则f'(x)=n*x^(n-1)。
3. 指数函数的导数：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数，则f'(x)=a^x*ln(a)。
4. 对数函数的导数：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数，则f'(x)=1/(x*ln(a))。
5. 三角函数的导数：常见的三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)等的导数分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)。
三、微分的概念微分是导数的一种应用，是微分学中一个重要的概念。
给定函数f(x)，它在某一点x0处的微分df表示函数值的微小增量与自变量的微小增量之间的关系，可以用以下公式表示：df = f'(x0) * dx其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数，dx表示自变量的微小增量。
微分描述了函数在某一点附近的变化情况。
四、常见的微分法则在微分学中，有一些常见的微分法则可以用于计算各种函数的微分。
微分的概念和计算
微分的概念和计算微分在数学中是一个重要的概念，它是微积分的基础之一。
微分的概念和计算是求导数的过程，通过微分，我们可以研究函数在某一点的变化率和曲线的斜率。
本文将详细介绍微分的概念和计算方法。
一、微分的概念微分是数学中一个基本的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
对于一个函数f(x)，我们可以将其在某一点处的微分表示为df(x)或者dy。
微分可以表示函数在该点附近的线性逼近。
在微分的概念中，有一个非常重要的概念叫做导数。
导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，可以用来表示函数图像上某一点的切线的斜率。
导数是微分的计算结果。
二、微分的计算方法微分的计算方法主要包括两种，一种是基于极限的方法，另一种是基于公式的方法。
1. 基于极限的方法基于极限的方法是微分的基本思想，通过求极限来计算微分。
对于一个函数f(x)，它在x点的导数可以表示为f'(x)，即f(x)在x点的瞬时变化率。
导数的计算公式如下：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h在计算导数时，我们可以根据具体的函数形式进行具体的计算方式，如常见的幂函数、指数函数、对数函数等等。
2. 基于公式的方法基于公式的方法是一种更加简单和快捷的计算微分的方法，它利用了一些函数的特定规律和性质。
对于常见的函数，我们可以利用一些已知的微分公式进行计算。
例如，对于多项式函数f(x) = ax^n，它的导数可以表示为f'(x) =nax^(n-1)。
这是一个常用的微分公式，可以简化我们的计算过程。
三、微分的应用微分作为微积分的基本概念，被广泛应用于各个领域。
以下是微分的一些常见应用：1. 曲线的切线和法线：通过微分，我们可以准确地求得曲线在某一点处的切线和法线。
这在物理学、工程学等领域中是非常重要的应用。
2. 极值问题：通过导数的计算，我们可以找到函数的极值点，即函数的最大值和最小值。
这在经济学、物理学等领域中有着广泛的应用。
高等数学微分公式
高等数学微分公式微分作为高等数学中的重要概念，在数理分析以及其他数学领域中发挥着关键作用。
微分是研究函数局部变化的工具，它通过近似线性化的思想，描述了函数在某一点附近的变化规律。
微分的基本思想源于极限的概念，因此我们可以根据微分的定义推导出许多重要的微分公式。
本文将介绍一些高等数学中常见的微分公式，包括基本初等函数的微分、常用函数的微分、复合函数的微分法则以及微分中的链式法则等内容。
1. 基本初等函数的微分在高等数学中，基本初等函数是指一些常见的函数，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数在微分过程中有着简单而规律性的变化规律，可以通过微分法则来求导。
下面是一些基本初等函数的微分公式：•多项式函数微分公式：对于函数 $y = f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \\cdots + a_1x + a_0$，它的导数为 $y' = f'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \\cdots + a_1$。
•指数函数微分公式：对于函数y=y(y)=y y，它的导数为 $y' = f'(x) = \\ln(a) \\cdot a^x$，其中y>0,y yy1。
•对数函数微分公式：对于函数 $y = f(x) =\\log_a(x)$，它的导数为$y' = f'(x) = \\frac{1}{x\\ln(a)}$，其中y>0,y yy1。
•三角函数微分公式：对于正弦函数 $\\sin(x)$ 和余弦函数 $\\cos(x)$，它们的导数分别为 $\\cos(x)$ 和 $-\\sin(x)$。
2. 常用函数的微分除了基本初等函数外，高等数学中还有一些常用函数，它们的导数求解也具有一定的规律性。
下面是一些常用函数的微分公式：•幂函数微分公式：对于函数y=y(y)=y y，它的导数为y′=y′(y)=yy y−1，其中y为实数。
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注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
按幂函数求导公式
按指数函数求导公式
y
o
x0
x
x0 x
三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则
(一)基本初等函数的微分公式(见教材P.111) (二)微分运算法则: 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) du dv
vdu udv
5. 复合函数的微分 分别可微 ,
则复合函数
的微分为
f (u ) ( x) dx d y f (u ) du
du
微分形式不变
例3.4.1 解: 令u = 2x+1，则
求
d y d (sin u ) cos udu cos( 2 x 1)d (2 x 1) cos(2 x 1) 2dx 2 cos( 2 x 1)dx
例3.4.2 解:
求
dy
1 1 ex 1 1 e 1 1 ex
dy
x x0
x x0
df ( x) x x0 A x
与df ( x0 )的区别。教材上用后者，是
注意, df ( x)
不对的。
重要结论： 定理3.4.1 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是
处可导, 且 即
dy
已知
x x0
f ( x0 )x
在点 可微 , 则
证: “必要性”
两边取对数
u ( ln u ) u
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
1 y lim 1 f ( x0 ) x 0 x
所以 x 0 时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x 很小时, 有近似公式
y dy
x x0
2 若函数f (x)在区间I内点任一点都可导,则在I内
任意点x的微分记为
d y f ( x) x.
规定自变量x的微分为自变量的改变量,即
故 y f ( x0 ) x x f ( x0 ) x o( x)
线性主部
即 dy
x x0
f ( x0 ) x
说明: 1. y f ( x0 ) x o( x), d y
x x0
f ( x0 )x
当 f ( x0 ) 0 时 , y y lim lim x 0 f ( x0 ) x x 0 d y
1 x
证明: 令 f ( x) (1 x)
得 f (0) 1, f (0)
当 x 很小时,
x x
1 x
x
微分在估计误差中的应用
某量的精确值为 A , 其近似值为 a ,
称为a 的绝对误差
称为a 的相对误差
若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
2 xe 1 ex
2 2
d(1 e )
x2
x2
e d (x2 )
e
dx
x2
x2
2 xdx
x2
2
例3.4.3 解: d y d (e13 x cos x)
求
cos xd(e13 x ) e13 x d (cos x) cos x e
13 x
d (1 3x) e
3.4.3 由参数方程确定的函数的导数
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数 则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
13 x
( sin x)dx
cos x e e
13 x
13 x
(3)dx e
13 x
( sin x)dx
(3 cos x sin x)dx
3.4.2 隐函数的微分法
若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 .
3.4微分与微分技术
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运
算法则
四、微分在近似计算中的应用
3.4.1 微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少?
2 设薄片边长为 x , 面积为 S , 则 S x , 当 x 在 x0 取 得增量 x 时, 面积的增量为 x0 x (x) 2 x
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
即
例3.4.6 求 解: 两边取对数 , 化为隐式
的导数 .
两边对 x 求导
1 cos x ln x sin x y y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
说明:
dx x,
则有 从而有
d y f ( x)d x.
dy f (x) dx
即,函数微分与自变量微分之商等于函数的导数.
二、几何意义 微分的几何意义
当 x 很小时, y d y
切线纵坐标的增量
d y f ( x0 )x tan x
dy
y
y f (x)
3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
四、 微分在近似计算中的应用(略)
y f ( x0 )x o( x)
当 x 很小时, 得近似等式:
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
2. 微分运算法则
微分形式不变性 : d f (u ) f (u ) d u ( u 是自变量或中间变量 ) 3. 微分的应用 近似计算
估计误差
即
例3.4.9
计算由摆线的参数方程（图见教材P.117）
x a(t sin t ) y a(1 cos t )
所确定的函数 的二阶导数。
解
y
a
t o 2pa
pa
x
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
令 x x0 x
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 ) 使用原则: 1) f ( x0 ) , f ( x0 ) 好算 ;
2) x 与x0 靠近 .
特别当 x0 0 , x 很小时,
f ( x) f (0) f (0)x
常用近似公式: ( x 很小)
确定的隐函数 解 方程
解之得
（3.4.3） 也是
将方程（3.4.2）两端再对x求导，注意到 x 的函数，得
将（3.4.3）代入上式，得
补例 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y y 3 3 y3 3
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
y o(x) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
故
在点
的可导, 且
“充分性” 已知
在点
的可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) ( lim 0 ) x 0 x
(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中
则由它确定的函数
二阶可导, 且 可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) 2 d d y dx d y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
(t ) (t ) (t ) (t ) 3 (t )
例3.4.8
已知椭圆的参数方程为
x a cos t y b sin t.
求椭圆在 相应点处的切线方程。
解
当
时， 椭圆上的相应点M0 的坐标是
曲线在M0 的切线斜率为
代入点斜式方程，即得椭圆在点M0 处的切线方程
故
关于△x 的 x 0 时为 线性主部 高阶无穷小
x0
2 A x0
x0 x
称为函数在 x0 的微分
一、微分的定义
定义3.4.1 若函数
在点 x0 的增量可表示为
A x o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y f (x) 在点 的微分, 记作 可微, 而 A x 称为 即
误差传递公式 : 若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为 x ,
按公式
计算 y 值时的误差
d y f ( x) xFra bibliotek故 y 的绝对误差限约为 y f ( x) x