数学问题解决教学

(4)转化策略 所谓转化策略，就是当我们所碰到的问题， 难以下手时，通过某种转化过程，将其归结为 另一个比较熟悉，较易解决的问题，或转向问 题的反面，以达到解决原问题的目的．在数学 中，这种转化过程经常使用的方法有：映射方 法、数学模型方法、换元法、RMI原理等等．
有关知识、技巧和方法
教师精心 设计问题

（6）问题的表述应当简单易懂，容易接近。 即问题解决入口处不需要多少形式的背景、特 殊的知识和方法，教师用不着去提供很多的背 景信息，学生也不会被复杂的背景所限制。这 就如同希尔伯特所指出的：“这里对数学理论 所坚持的清晰性和易懂性，我想更应以之作为 一个堪称完美的数学问题的要求。”
学生活动的设计
数学问题的类型



我国的学者主张将数学问题分成四种类型：综 合题、数学模型、开拓—研究问题、开放型问 题． 综合题：这是我国教科书中常见的问题．涉及 到的知识包含数学中多个单元或几何、三角、 代数等各个学科．在解题的策略方面，常常需 要某些独特的思想方法． 数学模型：这是以自然和社会为背景的实际问 题．在中学数学教科书中常见的数学模型，大 多与相关学科知识有关．如路程公式：s=vt；
实践 观察
探索 猜想
逻辑 论证
肯定
答案 结果
否定
教师指导
运用
图6-1
数学问题解决教学的设计

1、情境的设计 创设情境是数学问题解决教学过程的重要环节， 情境的设计要有利于激发学生的求知欲,有利 于培养学生的探索精神,有利于培养学生的自 信心，有利于培养学生的合作精神。常见的有 以下几种情境:
（1）问题情境


开拓探究问题：这类问题，一是将原问题的某些具 体条件用更一般化的条件替代，或是转化为逆问题， 使问题能够推广或扩充到各种情形；二是这类问题的 解决策略，通常不包含在问题的陈述之中，需要学生 去思考、探索，寻求解决的方法． 开放型问题：开放型问题是相对于数学课本中有明确 条件和明确结论的封闭型问题而言的．这类问题不必 有解，答案也不一定唯一，所给的条件也可能有多余 的．但是开放型的问题并不等于随意性的问题，结论 仍然要求确定、精确．
问题1 在一个长4m，宽3m的矩形荒地 上，开辟一个花坛，使花坛的面积是 原荒地面积的一半，问如何设计？



就问题认识的主体——学生而言，问题又必 须具有以下三个特征： 1)接受性：学生对问 题感到兴趣乐意思考，并具有思考它的知识 和能力； 2)障碍性：学生不能一下子获得解决问 题的策略和一眼看出答案，必须经过反复思 考，甚至进行多次尝试才能达到目的． 3)探究性：学生不能按现成的方法、程 序或算法去解决，而需要进行探索研究．
怎样进行问题解决的教学



1)要紧扣教材的教学内容，按照教学大纲的要 求，进行精心选择和编制问题 . 2)在问题解决教学中，注意归纳提炼问题解决 的思维策略，注意培养创造性思维能力． (1)目标策略 这种策略，要求根据题设的条件或提供的 问题情景，有目标地进行思维活动，在思维活 动中，要善于抓住问题的关键及难点，有目的 地予以突破，使未知问题转化为已经解决或易 解决的问题来解决．


教师要为学生创造一个适合自己寻找知识的意境,使学生经常处于 “愤”和“悱”的状态,引导学生,自己去做力所能及的事。教学过 程中，先与学生一起对问题进行观察和磋商，逐渐造成这种情 况——这个问题学生急于解决,但仅利用已有的知识和技能却又无 法解决,形成认知冲突，这就激发了他们的求知欲。这个“问题” 可以来自数学知识内部,也可以来自数学知识外部,尤其可以来自现 实生活。在设计时,可根据所教的知识内容和学生的实际情况来拟 定问题,要比较多地关注发生在学生身边的问题,融生活趣味和知识 趣味于一体的问题。 问题情境必须与学生在数学上和文化上的成熟程度和经验相适应。 在设计时,要让学生去体验真正的问题，真正的问题是一种情境,它 是比较复杂，具有一定的挑战性的尚未解决的问题；同时，还要 注意层次性,使对简单情境下的探究会推广到另一个情境,或可用多 种水平加以处理。问题情境还可以用口头、文字、事物、图画、 图像形式以及计算机方法进行模拟。




数学问题解决教学强调的是学生的自主学习活动。在整堂课中， 什么时候让学生独立思考、独立操作,什么时候技学生讨论、交流 信息，怎样组织讨论和交流等,教师在设计时都要做精心的安排。 （1）活动的顺序 学生活动通常可以这样进行安排: ①理解问题，可由学生自己读题和理解,也可以师生一起观察和磋 商。 ②寻找问题与已有知识的联系 ③讨论和个体探究,可先个体探究后讨论,也可先讨论后个体探究,也 可以个体 探究和讨论一起进行. ④交流结果和心得。 探究活动可以通过听、看、读、思考、动笔、利用计算器和计算 机等方式进行。

(2)模式识别策略 使用这种策略的关键，主要在于会辨别题 目的类型，使得与已有的知识、技能发生联 系．善于识别、辨认问题的情景，选择有用的 信息加以应用，则是采用这种策略的前提． (3)特殊化策略 这种策略主要遵循从特殊到一般，从简单 到复杂，从具体到抽象，从部分到整体的思维 规律．



2、问题的设计


（1）一个“好”的数学问题应当具有较强的 探索性，它要求人们具有某种程度的独立见解、 判断力、能动性和创造性。 （2）具有一定的 现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系， ห้องสมุดไป่ตู้趣味和魅力。 （3）具有多种不同的解法或 多种可能的解答，即开放性。 （4）具有一定 的发展余地，可以推广或扩充到各种情形。 （5）具有一定的启示意义，蕴涵重要的数学 思想方法。
（3）教室环境

教师应当创设教室环境以利于培养学生的数学才能， 这样的教室环境应该是：尊重和重视学生的想法和观 念,为探索和掌握数学思想和数学知识提供必要的时间； 为数学技能的培养提供必要的相关资料；鼓励学生每 一个微小的进步,而切忌责怪学生；鼓励学生独立地学 习；鼓励学生积极参与小组或班级学习活动,使班级形 成一个彼此合作的智力团体。在课堂教学中,教师应当 扮演成顾问、辩论会主席和对话人等的角色,而不只是 讲授者和权威；教师应当鼓励学生用口头或书面的形 式表达他们自己的想法，学会以合作的方式解决问题。
（2）教学形式的选择

①全班的教学形式。③小组的教学形式。 ②个别的教学形式。

问题都含有3个基本成分：（1） 给定：问 题的起始状态；（2） 目标：问题要求的答 案或目标状态；（3） 障碍：给定与目标之 间的隔阂物，通过思维可以寻求解决的方法；







数学问题的特征:“问题是数学的心脏。”就一 个数学问题本身来讲，它应有以下的某些特征： 1)在问题和解答中包含着数学知识和数学 技能； 2)在学生已有的知识和能力范围内有多种 方法解决； 3)能用学生已有的知识和方法进行推广， 或推导出相类似的问题； 4)包含的数据能组合、分类、制表和分析； 5)能借助于模型或图象解决； 6)能激发学生兴趣并具有智力挑战．
（2）情绪情境

创设情绪情境能培养学生的意志和自信心。当学生不 能解决所提问题时，可-先设计一些他们当时能解的 问题让他们做,并在他们取得初步成功时积极鼓励他们, 这时体验到的喜悦,可以激励学生为取得即将到来的胜 利喜悦而克服新的困难。当一些学生不想解题,甚至不 愿正确理解这个问题时，教师要设法激之起学生的好 奇心，给他某种解题愿望，同时应当给学生一些时间, 使他下定决心来解决问题；当学生求解那些对他来讲 并不太容易的问题时,要让他学会败而不馁,学会赞赏 微小的进展,学会开拓思路并积极进取。
数学问题解决的学习
“问题解决”是数学教育的又一个热门话题．它是 对“新数运动”以及“现代数学教育改革”的反 思和调整之后，于1980年由美国全国教师联合会 公布的《关于行动的议程》的文件中首先提出 的．在英国，认为教育的核心是培养解决问题的 能力，强调数学只有在能应用的情况下，才是有 用的在日本，数学教育界认为教育的重点应放在 培养数学思考能力上，并提出“问题解决”的教 育与适应性的教育应成为日本数学教育的两个研 究焦点．