等腰三角形的性质练习
(完整)等腰三角形性质与判定练习题
等腰三角形性质与判定练习题一、选择题1、等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成9和12两部分，则腰长为（）A、6B、8C、10D、6或82、等腰三角形的周长为19cm，其中一边长为5cm,则该等腰三角形的底边边长为（）A、9cmB、5cmC、9cm或5cmD、10cm3、等腰三角形的腰长等于2m，面积等于1m2，则它的顶角等于（）A、150°B、30°C、150°或30°D、60°4、若等腰三角形的周长为10，一边长为4,则此等腰三角形的腰长为（）A、2B、3C、4D、3或45、下列说法中正确的是（）A、等腰三角形的两个底角的角平分线所夹的角是这个等腰三角形顶角的两倍B、在等腰三角形中“三线合一”是指等腰三角形的中线、高线、角平分线重合C、等边对等角D、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形6、等腰三角形有两条边长为3和5,则它的周长可以是（）A、12B、11C、10D、11或137、等腰三角形的对称轴有( ）A、一条B、二条C、三条D、一条或三条8、等腰三角形周长为36cm,两边长之比为4：1,则底边长为（）A、16cmB、4cmC、20cmD、16cm或4cm9、等腰三角形的周长是18cm,其中一边长为4cm，其它两边长分别为（）A、4cm，10cmB、7cm,7cmC、4cm，10cm或7cm，7cmD、无法确定10、一个等腰而非等边的三角形,它的所有的内角平分线、中线和高的条数为（)A、9B、6C、7D、311、已知等腰三角形的两边长分别为8与16,则其周长为（)A、32B、40C、32或40D、8或1612、一个等腰三角形的周长是16,其中一边长是6，另两边长分别是（）A、6和10B、6和4C、5和5D、5和5或4和613、等腰三角形ABC，其中AB=8cm，周长为20cm，则这个等腰三角形的腰长是( ）A、8cmB、4cmC、6cmD、6cm或8cm14、等腰三角形的周长为18cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（)A、4cm或10cmB、4cm或7cmC、4cmD、7cm15、如右图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，则∠A是( ）A、30°B、45°C、60°D、20°16、有下列命题说法:①锐角三角形中任何两个角的和大于90°；②等腰三角形一定是锐角三角形；③等腰三角形有一个外角等于120°，这个三角形一定是等边三角形；④等腰三角形中有一个是40°，那么它的底角是70°；⑤一个三角形中至少有一个角不小于60度．其中正确的有（）A、2个B、3个C、4个D、5个17、等腰三角形中一个角是40°,则另外两个角的度数分别是（)A、70°，70°B、40°,100°C、40°，40°D、70°，70°或40°，100°18、如右图，一钢架中,∠A=15°,焊上等长的钢条来加固钢架．若A P1=P1P2，则这样的钢条最多只能焊上（)条．A、4B、5C、6D、719、若△ABC的三边a，b,c满足(a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，那么△ABC的形状是( ）A、等腰三角形B、直角三角形C、等边三角形D、锐角三角形20、如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高,那么这个三角形一定是( ）A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形二、填空题1、一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为_______2、等腰三角形的两边长分别为4和9,则第三边长为_________ ．3、等腰三角形的对称轴最多有_________ 条．4、一个等腰三角形周长为5，它的三边长都是整数，则底边长为_________ ．5、若等腰三角形的三条边长分别为a2+1，a+1，4a﹣3,则a可以取的值为_________ ．6、等腰三角形一个底角为36°，则此等腰三角形顶角为_________ 度．7、等腰三角形的两边长为5cm,10cm，则它的周长等于_________ cm．8、一个等腰三角形的顶角是底角的2倍，则它的各个内角的度数是_________ ．9、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为_________ ．10、如图，B在AC上，D在CE上,AD=BD=BC，∠ACE=25°,∠ADE=_______度．10题图 11题图 13题图 15题图11、如图,在△ABC中，∠C=25°，AD⊥BC，垂足为D,且AB+BD=CD，则∠BAC的度数是_______ 度．12、一个三角形有两条边相等，周长为18cm，三角形的一边长为4cm，则其他两边长分别为_________ cm．13、如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC,DE∥BC，则图中等腰三角形有______个．14、在△ABC中，AD⊥BC于D，且BD=CD，若AB=3，则AC= _________ ．15、如图，在△ABC中,BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_________ cm．16、如右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有_________个.17、如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（填序号）______三、解答题1、如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．试判断△OBC的形状，并证明2、已知:如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠1=∠2．求证:OA平分∠BAC．3、已知:点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F,且BF=CE．求证：△ABC是等腰三角形．4、如图,在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上,BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．5、已知，如图△ABC中，AB=AC，D点在BC上，且BD=AD，DC=AC．求∠B的度数．6、如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC 的长为5cm，求△ABC的周长．7、△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，E在BC的延长线上，且CE=CD。
等腰三角形的性质练习(含答案)
等腰三角形的性质一、基础能力平台1．选择题：（1）等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（）A．底角大于相邻外角B．底角小于相邻外角C．底角大于或等于相邻外角D．底角小于或等于相邻外角（2）等腰三角形的一个内角等于100°，则另两个内角的度数分别为（）A．40°，40°B．100°，20°C．50°，50°D．40°，40°或100°，20°（3）等腰三角形中的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A．50°，50°，80°B．80°，80°，20°C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20°（4）如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为（）A．45°B．40°C．55°D．50°（5）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A．顶角B．顶角的一半C．顶角的2倍D．底角的一半（6）已知：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A 的度数为（）A．30°B．45°C．36°D．72°（1）（2）（3）2．填空题：（1）如图2所示，在△ABC中，①因为AB=AC，所以∠________=∠______；②因为AB=AC，∠1=∠2，所以BD=_____，_____⊥______．（2）若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为______．（3）已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为______．（4）在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1cm，这条高与底边的夹角是450，则△ABC 的面积为________．（5）如图3所示，O为△ABC内一点，且OA=OB=OC，∠ABO=20°，∠BCO=30°，则∠CAO=______．3．等腰三角形两个内角的度数比为4：1，求其各个角的度数．4．如图，已知线段a和c，用圆规和直尺作等腰三角形ABC，使等腰三角形△ABC•以a和c为两边，这样的三角形能作几个？ac5．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数．6．如图所示，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点．（1）AF与CD垂直吗？请说明理由；（2）在你接连BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个．（不要求说明理由）7．如图，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE．AH与2BD•相等吗？请说明理由．二、拓展延伸训练右下图是人字型层架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D．如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是（）A．AC和BC，焊接点B B．AB和AC，焊接点AC．AD和BC，焊接点D D．AB和AD，焊接点A三、自主探究提高如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，且DA=DB=DC．（1）已知∠A=30°，求∠ACB的度数；（2）已知∠A=40°，求∠ACB的度数；（3）试改变∠A的度数，计算∠ACB的度数，你有什么发现吗？答案：【基础能力平台】1．（1）B（2）A（3）D（4）D（5）B（6）C 2．（1）①B C•②DC（或BC）AD⊥BC（2）40°（3）80°或20°（4）12cm2（5）40°3．80°80•° 20°或120°30°30°4．略5．108°6．（1）略（2）①BE∥CD②AF•⊥BE③△ACF≌△ADF④∠BCF=∠EDF等7．说明△BCE≌△AHE，得AH=BC，由等腰三角形的“三线合一”性质得BC=2BD，所以AH=2BD【拓展延伸训练】C【自主探究提高】（1）∠ACB=90°（2）∠ACB=90°（3）猜想：不论∠A•等于多少度（小于90°），∠ACB总等于90°。
等腰三角形练习题(含答案)
等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1．已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为________．2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD平分∠BAC，则BD＝________cm.第2题图第3题图3．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为() A．35° B．45° C．55° D．60°4．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为() A．50° B．80°C．50°或80° D．40°或65°5．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，求∠C的度数．6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.第2课时等腰三角形的判定1．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，则△ABC为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形2．已知△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，AB＝5cm，则AC＝________．3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，使其可以确定△ABC为等腰三角形，则添加的条件是________．第3题图第4题图4．如图，已知△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有________个等腰三角形．5．如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE＝DF.求证：AB＝AC.6．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G.求证：△EFG是等腰三角形．13．3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定1．如图，a∥b，等边△ABC的顶点B，C在直线b上，则∠1的度数为________．第1题图第3题图2．在△ABC中，∠A＝60°，现有下面三个条件：①AB＝AC；②∠B＝∠C；③∠A＝∠B.能判定△ABC为等边三角形的有________．3．如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB＝4，则AD＝________．4．如图，△ABC是等边三角形，∠CBD＝90°，BD＝BC，连接AD交BC于点E，求∠BAD 的度数．5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD.求证：(1)△ABE≌△ACD；(2)△ADE为等边三角形．第2课时含30°角的直角三角形的性质1．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝10，则BC的长度为( ) A．3 B．4 C．5 D．6第1题图第2题图第3题图2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．73．如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，BD＝2，DE⊥BC交AB于点E，则BE的长为________．4．如图，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F，求BE＋CF的值．5．如图所示是某种帐篷支架屋顶的侧面示意图，它是底角为30°的等腰三角形．已知中柱BD垂直于底边AC，支柱DE垂直于腰AB，测得BE＝1米，求AB的长．13．4 课题学习最短路径问题1．已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA＋PB 的值最小，则下列作法正确的是( )2．如图，已知直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )A．转化思想B．三角形两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角第2题图第3题图3．如图，点P是直线l上的一点，线段AB∥l，能使PA＋PB取得最小值的点P的位置应满足的条件是( )A．点P为点A到直线l的垂线的垂足B．点P为点B到直线l的垂线的垂足C．PB＝PAD．PB＝AB4．如图，在直线l的两侧分别有A和B两点，试在直线l上确定一点P，使点P到点A和到点B的距离之和最短，并说明理由．等腰三角形第1课时 等腰三角形的性质1．80° 2.3 3.C 4.C5．解：∵AB ＝AD ，∴∠B ＝∠ADB .由∠BAD ＝40°，得∠B ＝∠ADB ＝70°.∵AD ＝DC ，∴∠DAC ＝∠C ，∴∠C ＝12∠ADB ＝35°.6.证明：如图，连接AD .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠F AD .在△AED 和△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠F AD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD (SAS)，∴DE ＝DF .第2课时 等腰三角形的判定1．A 2.5cm 3.BD ＝CD (答案不唯一) 4.35．证明：∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD .在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵DE ＝DF ，BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF (HL)，∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC .6．证明：∵FG 平分∠EFD ，∴∠GFD ＝∠EFG .∵AB ∥CD ，∴∠EGF ＝∠GFD ，∴∠EFG＝∠EGF ，∴△EFG 是等腰三角形．13．3.2 等边三角形第1课时 等边三角形的性质与判定1．60° 2.①②③ 3.2 4．解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝60°.∵BD ＝BC ，∴AB ＝BD ，∴∠BAD ＝∠BDA .∵∠CBD ＝90°，∴∠ABD ＝90°＋60°＝150°，∴∠BAD ＝12×(180°－150°)＝15°.5．证明：(1)∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60°，AB ＝AC .在△ABE 与△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，BE ＝CD ，∴△ABE ≌△ACD . (2)由(1)知△ABE ≌△ACD ，∴AE ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．第2课时 含30°角的直角三角形的性质1．C 2.D 3.44．解：∵△ABC 是边长为20的等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，∴在Rt △BED 中，∠EDB＝30°，∴BE ＝12BD .同理可得，CF ＝12CD ，∴BE ＋CF ＝12BD ＋12CD ＝12BC ＝10.5．解：∵BD ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠DEB ＝90°.∵在Rt △ABD 中，∠A ＝30°，∴∠ABD＝60°，AB ＝2BD .∴在Rt △BDE 中，∠BDE ＝30°，∴BD ＝2BE ＝2米，∴AB ＝4米．13．4 课题学习 最短路径问题1．D 2.D 3.C4．解：连接AB 与直线l 的交点即为点P ，图略．因为两点之间，线段最短．。
13.3 等腰三角形同步练习测试卷
13．3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质【课前预习】1．______________的三角形叫做等腰三角形．2．等腰三角形的两个底角______(简写成“______________”)．3．等腰三角形的________________、________________、________________相互重合(简写成“__________”)．【当堂演练】1．若等腰三角形的两边长为3 cm和4 cm，则这个等腰三角形的腰长为( )A．4 cm B．3 cm C．4 cm或3 cm D．无法确定2．等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则它的底边长为( )A．15 B．11 C．7 D．15或73．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A．40° B．50° C．60° D．70°4．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( )A．过顶点的直线 B．底边上的高C．顶角的平分线所在的直线 D．腰上的高所在的直线5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，则下列结论中错误的是( ) A．∠BAD＝∠CAD B．AD⊥BCC．∠B＝∠C D．∠BAC＝∠B第5题图第6题图6．如图，点D在AC上，AB＝AC，AD＝DB，则图中的等腰三角形有______个．7．如图，已知AB∥CD，AB＝AC，∠ABC＝68°，则∠ACD＝______．8．若等腰三角形的一个角为80°，则另两个角分别是______________．9．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∠AED＝∠AFD＝90°，AE＝AF.求证：∠1＝∠2.【课后巩固】一、选择题1．(2016·湘西州)一个等腰三角形的一边长为4 cm，另一边长为5 cm，那么这个等腰三角形的周长是()A．13 cm B．14 cmC．13 cm或14 cm D．以上都不对2．(2015·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为()A．35°B．45°C．55°D．60°第2题图第3题图3．(2015·丹东)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为()A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°4．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是()A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cmC．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10 cm5．(2016·泰安)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为()A．44°B．66°C．88°D．92°第5题图第6题图二、填空题6．如图，一张三角形纸片ABC，AB＝AC＝5.折叠该纸片使点A落在边BC的中点上，折痕交AC边于点E，则线段AE的长为______．7．等腰三角形中，一边与另一边之比为3∶4，该三角形周长为110，则腰长是________．8．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心、1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心、1为半径向右画弧交OB 于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心、1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝______.三、解答题9．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD＝BD，AD与BE交于点F，连接CF.求证：BF＝2AE.10．在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.(1)如图①，若∠A＝40°，则∠DBC＝______；若∠A＝50°，则∠DBC＝______；若∠A ＝α，则∠DBC＝______；(2)如图②，猜想：∠DBC与∠BAC之间的数量关系，并予以证明．①②第2课时等腰三角形的判定【课前预习】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也__________(简写成“____________”)．【当堂演练】1．如图，OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD的长为()A．3 cm B．4 cm C．1.5 cm D．2 cm第1题图第3题图2．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形一定是() A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形3．如图，等腰三角形的个数有()A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③BO＝OC；④OE＝OD.从上述四个条件中，选取两个条件，不能判定△ABC是等腰三角形的是()A．①②B．①③C．③④D．②③5．在△ABC中：(1)若∠B＝∠C，AB＝5，则AC＝______；(2)若∠B＝50°，∠C＝65°，则△ABC的形状是____________．6．如图，AD＝AE，BD＝CE，B，D，E，C在同一条直线上．试判断△ABC为__________三角形．第6题图第7题图7．在一次夏令营活动中，小欢同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200米到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，由此可知，B，C两地相距______米．8．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC.求证：AB＝AC.9．如图，已知锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．【课后巩固】一、选择题1．如图，在△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是()A．100°B．80°C．70°D．50°2．把两个都有一个锐角为30°且一样大小的直角三角形拼成如图所示的图形，两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB 于点M、交AC于点N.若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________．4．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P有______个．三、解答题5．如图，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．6．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．7．已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.(1)如图①，若点O在BC上，求证：AB＝AC；(2)如图②，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC；(3)若点O在△ABC外部，AB＝AC成立吗？请画图并证明你的结论．①②13．3. 2等边三角形第1课时等边三角形的性质和判定【课前预习】1．____________的三角形是等边三角形．2．等边三角形的性质：(1)等边三角形是______对称图形，且有______条对称轴，对称轴是________________；(2)等边三角形是______的等腰三角形，具有等腰三角形的性质；(3)等边三角形的三个内角都______，并且每一个角都等于______．3．等边三角形的判定定理：(1)三个角都______的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的________________是等边三角形；(3)三条边都______的三角形是等边三角形．【当堂演练】1．等边三角形的对称轴有( )A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD的度数为( )A．30° B．60° C．120° D．180°第2题图第3题图3．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是()A．180°B．220°C．240°D．300°4．如图，已知P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ.则∠ABC的度数为______°.5．已知△ABC中，AB＝AC.①若AB＝BC，则△ABC是等边三角形；②若∠A＝60°，则△ABC是等边三角形；③若∠B＝60°，则△ABC是等边三角形．上述结论中正确的有__________(填序号)．6．用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成______个等边三角形．7．如图，△ABC是等边三角形．点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的点，且AD ＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形．【课后巩固】一、选择题1．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形() A．2个B．3个C．4 个D．5个第1题图第2题图2．如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，∠2的度数为() A．60°B．45°C．40°D．30°3．若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则这个三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形二、填空题4．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF ＝DE，则∠E＝______°.第4题图第5题图5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，将三角形ABC沿着射线BC的方向平移2个单位后，得到三角形△A′B′C′，连接AA′，则四边形ABC′A′ 的周长为______．6．如图，△ABC，△ADE，△EFG都是等边三角形，点D和G分别是AC和AE的中点，若AB＝4，则多边形ABCDEFG的周长为______．第6题图第7题图7．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A 旋转后得到△ACE，则CE的长度为______．三、解答题8．如图，△ABC是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3.(1)求∠BEC的度数；(2)△DEF是等边三角形吗？请简要说明理由．9．如图，已知在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M.求证：点M是BE的中点．第2课时 30°角的直角三角形的性质【课前预习】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的______等于______的一半．【当堂演练】1．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高，∠B ＝30°，AD ＝2 cm ，则AB 的长为( )A ．2 cmB ．4 cmC ．8 cmD ．16 cm2．三角形中有一条边是另一条边的2倍，并且有一个内角为30°，这个三角形( )A ．一定是直角三角形B ．一定是钝角三角形C ．不可能是直角三角形D ．不可能是锐角三角形3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，CD 是斜边AB 上的高，则以下关系中不正确的是( )A ．CD ＝12ACB ．BD ＝12CDC ．BD ＝14AB D ．BC ＝12AB 4．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )A ．6米B ．9米C ．12米D ．15米5．△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，AB ＝10，则BC ＝______.6．如图，点D 为等边△ABC 的边BC 的中点，则AB ∶BD ＝______.第6题图 第7题图7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于D ，AB ＝4 cm ，则∠BCD ＝______，BD ＝______cm.8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于点E ，∠A ＝30°，AB ＝8，则DE 的长度是______．第8题图第9题图9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD＝______.10．如图，在△ABC中，若∠B＝15°，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN交BC于点M、交AB于点N，BM＝12 cm，求AC的长．【课后巩固】一、选择题1．如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且DE ⊥BC ，DE ＝12CD ，则∠B 的度数为( ) A ．60° B ．30° C ．20° D ．10°第1题图 第3题图2．三角形三个内角之比为1∶2∶3，最长的一边边长为16 cm ，则最短的一边边长为( )A ．8 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．10 cm3．在△ABC 中，∠C ＝90°，DE 垂直平分AB ，垂足为点D ，交BC 于点E ，BE ＝6 cm ，AC ＝3 cm ，则∠B 的度数为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°4．如图，已知∠ABC ＝60°，DA 是BC 的垂直平分线，BE 平分∠ABD 交AD 于点E ，连接CE.则下列结论：①BE ＝AE ；②BD ＝AE ；③AE ＝2DE ；④S △ABE ＝S △CBE ，其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题5．如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB ，若EC ＝1，则EF ＝______.第5题图 第6题图6．如图，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，∠C ＝30°，以顶点A 为圆心、AB 长为半径画圆弧交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E .若DE ＝a ，则BC 长为______(用含a 的代数式表示)．三、解答题7．如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE ∥AB.过点E 作EF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F.(1)求∠F 的度数；(2)若CD ＝2，求DF 的长．8．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A(0，1)，点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC.(1)求证：OB＝AC；(2)求∠BAC的度数；(3)当B点运动时，AE的长度是否发生变化？。
2021-2022学年人教版八年级数学上册等腰三角形的性质练习含答案
等腰三角形的性质一、选择题1．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°4．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝（）A．90°B．100°C．105°D．110°6．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10B．5C．4D．37．如图，将一张长方形纸按图中虚线AD对折，再沿直线l剪开，再把它展开后得到△ABC，则下列结论错误的是（）A．AD⊥BC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．AB＝CB8．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（）A．25°B．20°C．30°D．15°9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（）A．40°B．50°C．60°D．80°10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，它的顶角为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°二、非选择题11．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝度．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC 于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．13．问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA ＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝45°．思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？请加以证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？请加以证明．（3）若点D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．15．如图，∠ACB＝90°，D、E在AB上，AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．参考答案与试题解析一、选择题1．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．【解答】解：由作图知AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ACBD是菱形，∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，不能判断AB＝CD，故选：D．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据等腰三角形的性质可求∠ACB，再根据平行线的性质可求∠BCD．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ACB＝70°，∵CD∥AB，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝140°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝70°．故选：D．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，故选：D．4．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2＝20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选：B．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝（）A．90°B．100°C．105°D．110°【分析】由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，根据等边对等角的性质，可求得∠ABC 的度数，又由BD平分∠ABC，即可求得∠DBE的度数，又由等边对等角的性质，可求得∠BED的度数，根据平角的定义就可求出∠DEC的度数．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠ABC＝20°，∴∠BDE＝∠BED＝80°，∴∠DEC＝100°．故选：B．6．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10B．5C．4D．3【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．7．如图，将一张长方形纸按图中虚线AD对折，再沿直线l剪开，再把它展开后得到△ABC，则下列结论错误的是（）A．AD⊥BC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．AB＝CB【分析】由图中操作可知：AD所在直线是△ABC的对称轴，即可得出结论．【解答】解：由图中操作可知：AD所在直线是△ABC的对称轴，∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，AB＝AC，∴A，B，C正确，D错误，故选：D．8．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（）A．25°B．20°C．30°D．15°【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝∠ABC＝65°，∴∠A＝180°﹣65°×2＝50°，∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，故选：D．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（）A．40°B．50°C．60°D．80°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求得∠C＝40°，然后根据直角三角形两锐角互余，即可求得∠D＝50°．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠C＝∠B＝40°，∵DE⊥BC于点E，∴∠D＝90°﹣∠C＝50°，故选：B．10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，它的顶角为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而可分两种情况进行讨论．【解答】解：分两种情况：①当高在三角形内部时（如图1），∵∠ABD＝30°，∴顶角∠A＝90°﹣30°＝60°；②当高在三角形外部时（如图2），∵∠ABD＝30°，∴顶角∠CAB＝90°+30°＝120°．故选：D．二、非选择题11．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝40度．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝35°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝70°．∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝70°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故答案为：40．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC 于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．13．问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA ＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝45°．思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．【分析】（1）根据三角形外角的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°﹣∠BAD ＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；（2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∠DAC的度数不会改变；∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，①，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∵∠BAE＝90°，∴∠B＝90°﹣∠AED＝90°﹣2∠C，∴∠BAD＝（180°﹣∠B）＝[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°﹣∠C+∠C＝45°；（2）设∠ABC＝m°，则∠BAD＝（180°﹣m°）＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°，∵EA＝EC，∴∠CAE＝AEB＝90°﹣n°﹣m°，∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？请加以证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？请加以证明．（3）若点D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．【分析】（1）当点D在BC的中点时，DE＝DF，根据AAS证△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质推出即可；（2）连接AD，根据三角形ABC的面积＝三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（3）类似（2）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC 的面积＝三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．【解答】（1）解：当点D在BC的中点时，DE＝DF．理由：如图1中，连接AD．∵D为BC的中点，∴BD＝CD．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°．在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF．（2）解：DE+DF＝CG．证明如下：如图2，连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即AB•CG＝AB•DE+AC•DF．∵AB＝AC，∴DE+DF＝CG．（3）解：当点D在BC的延长线上时，（2）中的结论不成立，但有DE﹣DF＝CG．理由如下：如图3，延长BC至点D，连接AD，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，则S△ABD＝S△ABC+S△ACD，即AB•DE＝AB•CG+AC•DF．∵AB＝AC，∴DE＝CG+DF，即DE﹣DF＝CG．15．如图，∠ACB＝90°，D、E在AB上，AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．【分析】由AD＝AC，BC＝BE，根据等边对等角得出∠ACD＝∠ADC，∠BEC＝∠ECB，再利用三角形内角和定理得出∠A＝180°﹣2∠ADC，∠B＝180°﹣2∠DEC，而∠A+∠B＝90°，那么求出∠ADC+∠DEC＝135°，则∠DCE＝180°﹣（∠ADC+∠DEC）＝180°﹣135°＝45°．【解答】解：∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD．∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠ECB．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°．在△ACD中，∠A＝180°﹣2∠ADC，在△BCE中，∠B＝180°﹣2∠DEC，∴∠A+∠B＝180°﹣2∠ADC+180°﹣2∠DEC＝90°．∴360°﹣2（∠ADC+∠DEC）＝90°．∴∠ADC+∠DEC＝135°．∴∠DCE＝180°﹣（∠ADC+∠DEC）＝180°﹣135°＝45°．。
等腰三角形的性质练习题及答案
等腰三角形的性质练习题及答案若按边(角)是否相等分类，两边(角)相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一)，特别地，等边三角形的各边相等，各角都为60°．解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径．例题求解【例1】如图AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根．(山东省聊城市中考题)思路点拨通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值．注角是几何中最活跃的元素，与角相关的知识异常丰富，在三角形中，角又有独特的等量关系，如三角形内角和定理、内外角关系定理．等腰三角形两底角相等，利用这些定理可以找到角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系．随着知识的丰富，我们分析问题、解决问题的方法和工具随之增加，因此，在使用什么方法解决问题时，需要综合与选择．【例2】如图，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（ )A．30° D．32° C 36° D．40°(武汉市选拔赛试题)思路点拨图中有很多相关的角，用∠BAC的代数式表示这些角，建立关于∠BAC的方程．【例3】如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF，请说明理由． (安徽省竞赛题改编题)思路点拨本例是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB＝∠CDF，这一结论如何用?因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，故需构造全等三角形，而作顶角的平分线或底边上的高(中线)是等腰三角形中一条常用辅助线．【例4】如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ．求证：BD 是∠ABC 的角平分线． (北京市竞赛题)思路点拨 AE 边上的高与∠ABC 的平分线重合，联想到等腰三角形，通过作辅助线构造全等三角形、等腰三角形．注 若巳知图形中不存在证题所需的全等三角形，我们需要添加辅助战，构造全等三角形，使欲证的线段或角转移位置，最终使问题得以解决．结论探索型、条件探索型、存在性判断是探索型问题的基本形式，相应的解题策略是：(1)通过对符合条件的特例或简单情形的分析、观察、猜想结果，再给出证明；(2)假设结论成立，逆推追寻相应的条件；(3)假设在题设条件下的某一数学对象存在，进行推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定的结论．【例5】如图，在△ABC 中，已知∠C ＝60°，AC>BC ，又△ABC ′、△BCA ′、△CAB ′都是△ABC 形外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC ＝DC(1)证明：△C ′BD ≌△B ′DC ；(2)证明：△AC ′D ≌△DB ′A ；(3)对△ABC 、△ABC ′、△BCA ′、△CAB ′，从面积大小关系上，你能得出什么结论? (江苏省竞赛题)思路点拨 (1)是基础，(2)是(1)的自然推论，(3) 由角的不等，导出边的不等关系，这是探索面积不等关系的关键．学力训练1．如图，△ABC 中，已知AD ＝AC ，要使AD=AE ，需要添加的一个条件是 ． (济南市中考题)2．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为 ．3．△ABC 中，AB ＝AC ，∠A=40°，BP=CE ，BD=CP ，则∠DPF= 度．4．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC 的大小是．(烟台市中考题)5．△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是( )A．140° B．80°或100° C ．100°或140° D．80°或140°6．已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点F、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形，③SAEPF四边形= 2 1SABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的是( )A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个(苏州市中考题)7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＝AE，BC＝BF，则∠ECF＝( ) A．60° B．45° C．30° D．不确定8．如图，在等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是( )A．45° D．55° C．60° D．75°(菏泽市中考题)9．在△ABC中，已知AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，试求厶ABC各内角的度数．(广州市中考题)10．如图，已知A、D两点分别是正三角形DEF、正三角形ABC的中心，连结GH、AD，延长AD交BC于M，延长DA交EF于N，G是FD与AB的交点，H是ED与AC的交点．(1)请写出三个不同类型的、必须经过至少两步推理才能得到的正确结论（不要求写出证明过程）；(2)问FE、GH、BC有何位置关系?试证明你的结论．(江西省中考题)11．如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC，D为DC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC 交CE的延长线于点F．求证：AB垂直平分DF．(河南省中考题)12．如图，O 为等边三角形ABC 内一点，BD ＝DA ，BE ＝AB ，∠DBE ＝∠DBC ，则∠BED 的度数是 ． (河南省竞赛题)13．如图，AA ′、BB ′分别是∠EAO 、∠DBC 的平分线，若AA ′=BB ′＝AB ，则∠BAC 的度数为 ． (全国初中数学联赛题)14．周长为100，边长为整数的等腰三角形共有 种．( “华杯赛”试题)15．已知等腰三角形的两边a 、b 满足2)1332(532-+++-b a b a =0，则此等腰三角形的周长为 ．16．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于D ，且AB+BD ＝DC ，则∠C 的大小是( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．45°17．如图，在等腰直角△ABC 中，AD 为斜边上的高，以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E 、F ，连结EF 与AD 相交于G ，则∠AED 与∠AGF 的关系为( )A ．∠AED>∠AGFB ．∠AED ＝∠AGFC ．∠AED<∠AGFD ．不能确定（“学习报）公开赛试题）18．如图，直线1l 、2l 、3l 表示三条相交的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A ．一处B ．两处C ．三处D ．四处(安徽省中考题)19．△ABC 的三边为a 、b 、c ，且满足25.1225.3222b a c b a +⨯=++，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．以上答案都不对(河南省竞赛题)20．如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 底边BC 上一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ．(1)求证：PD+PE=CF ；(2)若P 点在BC 的延长线上，那么PD 、PE 、CF 存在什么关系?写出你的猜想并证明．21．如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD=AE ，AF ⊥BE 交BC 于点F ，过F 作FG ⊥CD 交BE 延长线于G ，求证：BG=AF+FG． (重庆市竞赛题)22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，O为△ABC内一点，且∠OBC=10°，∠OCA=20°，求∠BAO的度数． (天津市竞赛题)23．如图，等边△ABC中，AB=2，点P是AB边上的任意一点(点P可以与点A重合，但不与点B重合)，过点P作PE⊥BC于E，过点E作EF⊥AC于F，过点F作FQ⊥AB于Q，设BP= x，AQ＝y．(1)用x的代数式表示y；(2)当PB的长等于多少时，点P与点Q重合?(福州市中考题)24．如图，△ABC是边长为l的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个三角形，求证：△AMN的周长等于2．。
人教版八年级数学上册等腰三角形的性质同步练习题
人教版八年级数学试题13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质一．选择题（共8小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A． BD=CE B． AD=AE C． DA=DE D． BE=CD2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80° B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A． 20或16 B． 20 C． 16 D．以上答案均不对4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是（）A．60°B．70°C．75°D．80°5．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（）A． 8 B． 9 C． 10或12 D． 11或136．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°7．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A． 7 B．11 C． 7或11 D． 7或108．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120° C．60°或150° D．60°或120°二．填空题（共10小题）9．已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是_________ ．10．如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD=_________ ．第10题第11题第12题第13题11．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外角∠DAC=130°，则∠B=_________ °．12．如图，AB∥C D，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A=________°．13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=_________ ．14．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC=_________°．第14题第15题第16题第17题第18题15．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE=10cm，则AB+BD= _________ cm．16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为_________．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C=_________ ．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=_________ 度．三．解答题（共5小题）19．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：AD=AE．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：（1）△ABD≌△ACD；（2）BE=CE．21．如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．22．如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC？（用序号写出所有的情形）（2）选择（1）小题中的一种情形，说明AB=AC．23．（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？（2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想．13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质一、CBBCDCCD二、9、50°，50°或80°，20°；10、44；11、65；12、40；13、3；14、69；15、10；16、72；17、70；18、50三、19、证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ODB=∠OEC=90°．∵O是底边BC上的中点，∴OB=OC，在△OBD与△OCE中，∴△OBD≌△OCE（AAS）．∴BD=CE．∵AB=AC，∴AB﹣BD=AC﹣CE．即AD=AE．20、证明：（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△A BD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）；…（4分）（2）由（1）知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE （SAS），∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）．（其他正确证法同样给分）…（4分）21、解：OE⊥AB．证明：在△B A C和△ABD中，，∴△BAC≌△ABD（SAS）．∴∠OBA=∠OAB，∴OA=OB．又∵AE=BE，∴OE⊥AB．答：OE⊥AB．22、（1）答：有①③、①④、②③、②④共4种情形．（2）解：选择①④，证明如下：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，又∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AC=AB．②④理由是：在△BEO和△CDO中∵，∴△BEO≌△CDO，∴∠EBO=∠DCO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，23、解：（1）成立；∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠4．∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6．∴∠1=∠3，∠6=∠5．根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF，EF=CE．∴DE=DF+EF=BD+CE．故成立．（2）∵BF分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC．∵DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC．∴∠ABF=∠DFB，∴BD=DF．∵CF平分∠AC G，∴∠ACF=∠FCG．∵DF∥BC，∴∠DFC=∠FCG．∴∠ACF=∠DFC，∴CE=EF．∵EF+DE=DF，即DE+EC=BD．习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。
【基础练习】《等腰三角形》(数学沪科版八上)【含答案】
15.3 《等腰三角形》基础练习第 1 课时《等腰三角形的性质定理及推论》一、选择题1．已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（）A．40°B．70°C． 100 °D．140 °2．若等腰三角形中有两边长分别为 2 和5，则这个三角形的第三条边长为（）A．2 或5B． 3C． 4D． 53．如图，AB∥ CD， AD=CD，∠ 1=65 °，则∠ 2 的度数是（）A．50°B．60°C． 65°D．70°4．如图， AD，CE分别是△ ABC的中线和角均分线．若AB=AC，∠ CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C． 40°D． 70°5．若实数 m、n 知足等式 |m ﹣ 2|+=0，且 m、 n 恰巧是等腰△ ABC 的两条边的边长，则△ ABC的周长是（）A．12B．10C．8 D．66．若等腰三角形的一个外角等于140 °，则这个等腰三角形的顶角度数为（）A．40°B．100 °C． 40°或 70°D． 40°或 100 °7．如图，已知DE∥ BC， AB=AC，∠ 1=125 °，则∠ C 的度数是（）A．55°B．45°C． 35°D． 65°8．如图，△ ABC中， AD⊥ BC， AB=AC，∠ BAD=30°，且 AD=AE，则∠ EDC等于（）A．10°B． 12.5 °C． 15°D． 20°二、填空题9．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为．10．一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和 9cm ，则它的周长为cm．11．已知等腰三角形的一个外角为130 °，则它的顶角的度数为．12．如图，△ ABC中．点 D 在 BC边上， BD=AD=AC， E 为 CD 的中点．若∠CAE=16°，则∠ B 为度．13．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特点值”，记作k，若 k=，则该等腰三角形的顶角为度．三、解答题14．如图，点D、 E 在△ ABC 的 BC 边上， AB=AC，AD=AE．求证： BD=CE．15．如图，△ ABC是等边三角形，BD 是中线，延伸BC 至 E，CE=CD，（1）求证： DB=DE．（2）在图中过 D 作 DF⊥ BE交 BE于 F，若 CF=4，求△ ABC 的周长．第2课时一、选择题1．以以下各组数据为边长，能够组成等腰三角形的是（）A．1， 1， 2B． 1，1，3C． 2，2， 1D． 2，2，52．在△ABC 中，其两个内角以下，则能判断△ABC为等腰三角形的是（）A．∠ A=40°，∠ B=50B．∠ A=40°，∠ B=60°C．∠ A=40°，∠ B=70D．∠ A=40°，∠ B=80°AB 于点E，3．如图，在△ABC中，∠ A=36°，∠ C=72°，点 D 在AC 上， BC=BD， DE∥ BC交则图中等腰三角形共有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个4．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A， B 是两格点，假如 C 也是图中C 的个数是（）的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点A．6B． 8C．9D．105．以下条件中，不可以判断△ABC 是等腰三角形的是（）A．a=3，b=3 ，c=4B． a： b： c=2： 3： 4C．∠ B=50°，∠ C=80°D．∠ A：∠ B：∠ C=1： 1：26．已知△ ABC 的三条边长分别为3，4，6，在△ ABC所在平面内画一条直线，将△ABC切割成两个三角形，使此中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5 条B．6 条C．7 条D．8 条7．以下三角形，不必定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120 °的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形8．如图， A、B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为 1 的正方形，点 C 也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则切合条件是点C共有（）个．A．8B．9C． 10D． 11二、填空题9．如图，在△ABC中，∠ ACB=90°，∠ BAC=40°，在直线 AC上找点 P，使△ ABP 是等腰三角形，则∠ APB的度数为．10．如图已知OA=a， P 是射线 ON 上一动点，∠ AON=60°，当 OP=时，△ AOP为等边三角形．11．如图，在3× 3 的网格中有A、B 两点，任取一个格点E，则知足△EAB是等腰三角形的点 E 有个．12．在△ ABC中，∠ A=80°，当∠ B= 13．如图，以下 4 个三角形中，均有这个三角形分红两个小等腰三角形的是时，△ ABC 是等腰三角形．AB=AC，则经过三角形的一个极点的一条直线不可以够将（填序号）．三、解答题14．如图， BD 是△ ABC的角均分线，DE∥ BC 交 AB 于点 E．（1）求证： BE=DE；（2）若 AB=BC=10，求 DE 的长．15．已知：如图，AB=AC，∠ ABD=∠ ACD，求证： BD=CD．第3课时一、选择题1．如图∠ AOP=∠ BOP=15°， PC∥ OA， PD⊥ OA，若 PC=10，则 PD 等于（）A．10B．C． 5D．2.52．如图，在Rt△ ABC中，∠C=90°， AB=2BC，则∠A=（）A．15°B． 30°C． 45°D． 60°3．如图，在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=30°， BC=4cm，则 AB 等于（）A．9 cm B． 8 cm C． 7cm D． 6cm4．如图，在等边△ABC中，BD 均分∠ABC交AC于点D，过点D 作 DE⊥BC于点E，且AB=6，则 EC的长为（）A 3B 4.5C 1.5D 7.55．△ ABC中，∠A：∠ B：∠ C=1： 2： 3，最小边BC=3cm，则最长边AB 的长为（）A．9cm B． 8cm C． 7cm D． 6cm6．如图，在△ABC中，∠ ACB=90°， CD是高，∠A=30°，AB=8，则BD=（）A．2B．3C． 4D．67．某市为了美化环境，计划在以下图的三角形空地上栽种草皮，已知这类草皮每平方米售价为 a 元，则购置这类草皮起码需要（）A．450a 元B． 225a 元C．150a 元D． 300a 元8．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=6m，∠ A=30°，则 DE等于（）A．1.5m B． 2m C． 2.5m D． 3m二、填空题9．在 Rt△ ABC中，∠ A=30°，∠ B=90°， AC=10，则 BC=10．如图，在△A BC 中，∠ ACB=90°，∠ A=30°，以点 C 为圆心， CB 长为半径作圆弧，交AB 于点 D，若 CB=4，则 BD 的长为．11．如图，在Rt△ ABC 中，∠ C=90°，∠ ABC=60°， AB 的垂直均分线分别交AB 与 AC 于点 D 和点 E，若 CE=2，则 AB 的长为12．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为 8cm，则腰上的高为．13．如图，在△A BC 中，∠ B=∠ C=60°，点 D 在 AB 边上， DE⊥ AB，并与 AC 边交于点E．如果 AD=1， BC=6，那么 CE等于．三、解答题14．如图，在△A BC 中， BA=BC，∠ B=120°，线段AB 的垂直均分线MN 交 AC 于点 D，且AD=8cm．求：（1）∠ ADG 的度数；（2）线段 DC的长度．15．某轮船由西向东航行，在 A 处测得小岛 P 的方向是北偏东 75°，又持续航行 7 海里后，在 B处测得小岛 P 的方向是北偏东 60°，求：（ 1）此时轮船与小岛P 的距离 BP 是多少海里．（2）小岛点 P 方圆 3 海里内有暗礁，假如轮船持续向东履行，请问轮船有没有触礁的危险？请说明原因．参照答案第1课时1．解：∵等腰三角形的顶角为50°，∴这个等腰三角形的底角为：（ 180°﹣ 40°）÷ 2=70°，应选： B．2．解：当腰为 5 时，依据三角形三边关系可知此状况建立，这个三角形的第三条边长为5；当腰长为 2 时，依据三角形三边关系可知此状况不建立；应选： D．3．解：∵ AB∥ CD，∴∠ 1=∠ ACD=65°，∵ AD=CD，∴∠ DCA=∠ CAD=65°，∴∠ 2 的度数是： 180°﹣ 65°﹣ 65°=50°．应选： A．4．解：∵ AD 是△ ABC 的中线， AB=AC，∠ CAD=20°，∴∠ CAB=2∠ CAD=40°，∠ B=∠ ACB=（180°﹣∠ CAB）=70°．∵ CE是△ ABC的角均分线，∴∠ ACE= ∠ ACB=35°．应选： B．5．解：∵ |m ﹣ 2|+=0，∴m﹣2=0， n﹣ 4=0，解得 m=2， n=4，当 m=2 作腰时，三边为 2，2， 4，不切合三边关系定理；当 n=4 作腰时，三边为2， 4， 4，切合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．应选： B．6．解：①若顶角的外角等于140 °，那么顶角等于 40°，两个底角都等于70°；②若底角的外角等于140°，那么底角等于40°，顶角等于100°．应选： D．7．解：∵∠ 1=125 °，∴∠ ADE=180°﹣125°=55°，∵DE∥BC， AB=AC，∴AD=AE，∠ C=∠ AED，∴∠ AED=∠ ADE=55°，又∵∠ C=∠ AED，∴∠C=55°．应选：A．8．解：∵△ ABC中， AD⊥ BC， AB=AC，∠ BAD=30°，∴∠ DAC=∠BAD=30°（等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），∵AD=AE（已知），∴∠ ADE=75°∴∠ EDC=90°﹣∠ADE=15°．应选： C．9．解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2=80°，∴顶角为 80°．故填 80°．10．解：①当腰是4cm ，底边是9cm 时：不知足三角形的三边关系，所以舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm 时，能组成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．故填 22．11．解：当50°为顶角时，其余两角都为65°、 65°，当50°为底角时，其余两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角为 50°或 80°．故答案为： 50°或 80°．12．解：∵ AD=AC，点 E 是 CD 中点，∴AE⊥ CD，∴∠ AEC=90°，∴∠ C=90°﹣∠CAE=74°，∵ AD=AC，∴∠ADC=∠C=74°，∵ AD=BD，∴2∠ B=∠ ADC=74°，∴∠ B=37°，故答案为 37°．13．解：∵△ ABC中， AB=AC，∴∠ B=∠ C，“特点值”，记作k，若k=，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的∴∠ A：∠ B=1： 2，即 5∠ A=180°，∴∠ A=36°，故答案为： 36．14．证明：如图，过点 A 作 AP⊥ BC于 P．∵ AB=AC，∴BP=PC；∵ AD=AE，∴DP=PE，∴BP﹣ DP=PC﹣ PE，∴BD=CE．15．（ 1）证明：∵△ ABC是等边三角形，BD 是中线，∴∠ ABC=∠ ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵ CE=CD，∴∠ CDE=∠CED．又∵∠ BCD=∠ CDE+∠CED，∴∠ CDE=∠CED=∠ BCD=30°．∴∠ DBC=∠ DEC．∴ DB=DE（等角平等边）；（2）∵∠ CDE=∠ CED= ∠ BCD=30°，∴∠ CDF=30°，∵ CF=4，∴ DC=8，∵ AD=CD，∴ AC=16，∴△ ABC的周长 =3AC=48．第2课时1．解： A、∵ 1+1=2，∴本组数据不可以够组成等腰三角形；故本选项错误；B、∵ 1+1＜ 3，∴本组数据不可以够组成等腰三角形；故本选项错误；C、∵1+2＞2，且有两边相等，∴本组数据能够组成等腰三角形；故本选项正确；D、∵ 2+2＜5，∴本组数据不可以够组成等腰三角形；故本选项错误；应选： C．2．解；当顶角为∠A=40°时，∠ C=70°≠ 50°，当顶角为∠ B=50°时，∠ C=65°≠40°所以 A 选项错误．当顶角为∠ B=60°时，∠ A=60°≠40°，当∠ A=40°时，∠ B=70°≠ 60°，所以 B 选项错误．当顶角为∠ A=40°时，∠ C=70°=∠ B，所以 C 选项正确．当顶角为∠ A=40°时，∠ B=70°≠ 80°，当顶角为∠ B=80°时，∠ A=50°≠40°所以 D 选项错误．应选： C．3．解：∵在△ABC中， AB=AC，∠ A=36°，∴∠ ABC=∠ C==72°，△ ABC是等腰三角形，∵BD 均分∠ ABC，∴∠ABD=∠ DBC=36°，∵DE∥BC，∴∠ EDB=∠ DBC=36°，∴∠ ABD=∠ EDB=∠A，∴AD=BD， EB=ED，即△ ABD 和△ EBD是等腰三角形，∵∠ BDC=180°﹣∠ DBC﹣∠ C=72°，∴∠ BDC=∠ C，∴BD=BC，即△ BCD是等腰三角形，∵DE∥BC，∴∠ AED=∠ ABC，∠ ADE=∠ C，∴∠ AED=∠ ADE，∴AE=AD，即△ AED是等腰三角形．∴图中共有 5 个等腰三角形．应选： C．4．解：如图，分状况议论：① AB 为等腰△ ABC的底边时，切合条件的C点有 6 个；② AB 为等腰△ ABC此中的一条腰时，切合条件的 C 点有4 个．应选： D．5．解： A、∵ a=3， b=3，c=4，∴ a=b，∴△ ABC是等腰三角形；B、∵ a： b： c=2： 3： 4∴ a≠ b≠ c，∴△ ABC不是等腰三角形；C、∵∠ B=50°，∠ C=80°，∴∠ A=180°﹣∠ B﹣∠ C=50°，∴∠ A=∠ B，∴ AC=BC，∴△ ABC是等腰三角形；D、∵∠ A：∠ B：∠ C=1： 1： 2，∵∠ A=∠ B，∴ AC=BC，∴△ ABC是等腰三角形．应选： B．6．解：以下图：当 BC1=AC1， AC=CC2，AB=BC3， AC4=CC4， AB=AC5， AB=AC6， BC7=CC7时都能获得切合题意的等腰三角形．应选： C．7．解： A、依占有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B、有一个外角等于120 °的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C、三个角都相等的三角形，内角必定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项正确．应选：D．8．解：①点 C 以点 A 为标准，AB 为底边，切合点 C 的有 5 个；②点 C 以点 B 为标准， AB 为等腰三角形的一条边，切合点 C 的有4 个．所以切合条件的点C共有 9 个．应选： B．9．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=40°，∴当 AB=BP1时，∠ BAP1=∠ BP1A=40°，当 AB=AP3 时，∠ ABP3=∠AP3B= ∠ BAC= × 40°=20°，当 AB=AP4 时，∠ ABP4=∠AP4B= ×（ 180°﹣40°）=70°，当 AP2=BP2时，∠ BAP2=∠ ABP2，∴∠ AP2B=180°﹣ 40°× 2=100°，∴∠ APB 的度数为： 20°、40°、70°、 100°．故答案为： 20°或 40°或 70°或 100°．10．解：∵ AON=60°，∴当 OA=OP=a时，△ AOP 为等边三角形．故答案是： a．11．解：如图，知足△ EAB是等腰三角形的点 E 有5 个，故答案为： 5．12．解：∵∠A=80°，∴①当∠ B=80°时，△ ABC是等腰三角形；②当∠ B=（ 180°﹣ 80°）÷ 2=50°时，△ ABC 是等腰三角形；③当∠ B=180°﹣ 80°× 2=20°时，△ ABC是等腰三角形；故答案为： 80°、 50°、20°．13．解：由题意知，要求“被一条直线分红两个小等腰三角形”，①中分红的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和 36°，72°72°，能；②不可以；③明显原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°， 72， 72°和 36°， 36°， 108°，能．故答案为：②14．（ 1）证明：∵ BD 是△ ABC 的角均分线，∴∠ EBD=∠ CBD．∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD．∴∠EDB=∠ EBD．∴BE=DE．（ 2）∵ AB=BC， BD 是△ ABC 的角均分线，∴ AD=DC．∵DE∥BC，∴，∴．∴DE=5．15．证明：连结BC．∵AB=AC（已知），∴∠ 1=∠ 2（等边平等角）．又∠ ABD=∠ ACD（已知），∴∠ ABD﹣∠ 1=∠ ACD﹣∠ 2（等式运算性质）．即∠ 3=∠ 4．∴ BD=DC（等角平等边）．第3课时1．解：∵ PC∥ OA，∴∠ CPO=∠ POA，∵∠ AOP=∠ BOP=15°，∴∠ AOP=∠ BOP=∠ CPO=15°，过点 P 作∠ OPE=∠CPO交于 AO 于点 E，则△ OCP≌△ OEP，∴PE=PC=10，∵∠ PEA=∠OPE+∠ POE=30°，∴PD=10× =5．应选： C．2．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°， AB=2BC，即 BC= AB，∴∠ A=30°，应选： B．3．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=30°， BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，应选： B．4．解：∵△ ABC是等边三角形，∴∠ C=60°， AC=AB=BC=6，∵BD 均分∠ ABC交 AC 于点 D，∴CD= AC=3，∵ DE⊥BC，∴∠ CDE=30°，∵EC= CD=1.5．应选： C．5．解：设∠ A、∠ B、∠ C 分别为 k、2k、 3k，则 k+2k+3k=180°，解得 k=30°，2k=60 °，3k=90 °，∵最小边BC=3cm，∴最长边AB=2BC=2×3=6cm．应选： D．6．解：∴ CD 是高，∴∠ BDC=90°，∵∠ ACB=90°，∠ A=30°，∴∠ B=60°，BC= AB=× 8=4，∴∠ BCD=30°，∴BD= BC=2，应选： A．7．解：如图，作BH⊥ AC于 H，则∠ ABH=180°﹣∠ BAC=30°，在 Rt△ ABH 中， BH= AB=10，所以 S△ ABC=× 10× 30=150，所以购置这类草皮起码需要150a 元．应选： C．8．解：∵立柱BC、 DE 垂直于横梁AC，∴BC∥ DE，∵D是 AB中点，∴ AD=BD，∴ AE： CE=AD： BD，∴ AE=CE，∴ DE 是△ ABC的中位线，∴DE= BC，在 Rt△ ABC中， BC= AB=3，∴ DE=1.5．应选： A．9．解：∵∠ A=30°，∠ B=90°，∴BC= AC=5，故答案为： 5．10．解：如图，过 C 点作 BD 的垂直均分线交BD 于点 E，∵在△ ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=30°， BC=4，∴∠ BCE=∠ A=30°， BE=BD，∴BE=2∴BD=2BE=4故答案为： 4．11．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ ABC=60°，∴∠ A=30°，∵DE 是线段 AB 的垂直均分线，∴ EA=EB， ED⊥ AB，∴∠ A=∠ EBA=30°，∴∠ EBC=∠ ABC﹣∠ EBA=30°，又∵ BC⊥ AC， ED⊥ AB，∴DE=CE=2．在直角三角形ADE 中， DE=2，∠ A=30°，∴AE=2DE=4，∴ AD==2 ，∴ AB=2AD=4．故答案为： 4．12．解：如图，过C作CD⊥AB，交BA延长线于D，∵∠ B=15°，AB=AC，∴∠ DAC=30°，∵CD 为 AB 上的高， AC=8cm，∴CD= AC=4cm．故答案为： 4cm．13．解：∵在△ABC 中，∠ B=∠ C=60°，∴∠ A=60°，∵DE⊥AB，∴∠ AED=30°，∵AD=1，∴AE=2，∵ BC=6，∴AC=BC=6，∴CE=AC﹣ AE=6﹣ 2=4，故答案为 4．14．解：（1 ）∵在△ ABC中，已知BA=BC，∴∠ A=∠ C（等边平等角）；又∵∠ B=120°，∴∠ A=（180°﹣120°）=30°（三角形内角和定理），∴∠ ADG=90°﹣30°=60°；（ 2）连结 BD．∵ AB 的垂直均分线DG 交 AC 于点 D，∴AD=BD，∠ A=∠ABD=30°，∴∠ CBD=90°；由（ 1）知∠ A=∠ C=30°，∴BD= CD（ 30°所对的直角边是斜边的一半），∴CD=2AD=2BD，∴AC=AD+CD=AD+2AD=3AD；又∵ AD=8cm，∴DC=16cm．15．解：（1 ）过 P 作 PD⊥AB 于点 D，∵∠ PBD=90°﹣ 60°=30°且∠ PBD=∠ PAB+∠ APB，∠ PAB=90﹣ 75=15°∴∠ PAB=∠ APB，∴BP=AB=7（海里）．（ 2）作 PD⊥ AB于 D，∵ A 处测得小岛 P 在北偏东 75°方向，∴∠ PAB=15°，∵在 B 处测得小岛 P 在北偏东 60°方向，∴∠ APB=15°，∴AB=PB=7海里，∵∠ PBD=30°，∴PD= PB=3.5＞ 3，∴该船持续向东航行，没有触礁的危险．。
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等腰三角形的性质练习
一、基础能力平台
1．选择题：
（1）等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（）
A．底角大于相邻外角B．底角小于相邻外角
C．底角大于或等于相邻外角D．底角小于或等于相邻外角
（2）等腰三角形的一个内角等于100°，则另两个内角的度数分别为（）
A．40°，40°B．100°，20°
C．50°，50°D．40°，40°或100°，20°
（3）等腰三角形中的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A．50°，50°，80°B．80°，80°，20°
C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20°
（4）如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为（）
A．45°B．40°C．55°D．50°
（5）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）
A．顶角B．顶角的一半
C．顶角的2倍D．底角的一半
（6）已知：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A 的度数为（）
A．30°B．45°C．36°D．72°
（1）（2）（3）2．填空题：
（1）如图2所示，在△ABC中，①因为AB=AC，所以∠________=∠______；
②因为AB=AC，∠1=∠2，所以BD=_____，_____⊥______．
（2）若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为______．
（3）已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为______．
（4）在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1cm，这条高与底边的夹角是450，则△ABC 的面积为________．
（5）如图3所示，O为△ABC内一点，且OA=OB=OC，∠ABO=20°，∠BCO=30°，则∠CAO=______．
3．等腰三角形两个内角的度数比为4：1，求其各个角的度数．
4．如图，已知线段a和c，用圆规和直尺作等腰三角形ABC，使等腰三角形△ABC•以a和c为两边，这样的三角形能作几个？
a
c
5．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数．
6．如图所示，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点．
（1）AF与CD垂直吗？请说明理由；
（2）在你接连BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个．（不要求说明理由）
7．如图，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE．AH与2BD•相等吗？请说明理由．
二、拓展延伸训练
右下图是人字型层架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D．如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是（）
A．AC和BC，焊接点B B．AB和AC，焊接点A
C．AD和BC，焊接点D D．AB和AD，焊接点A
三、自主探究提高
如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，且DA=DB=DC．
（1）已知∠A=30°，求∠ACB的度数；
（2）已知∠A=40°，求∠ACB的度数；
（3）试改变∠A的度数，计算∠ACB的度数，你有什么发现吗？
答案：
【基础能力平台】
1．（1）B（2）A（3）D（4）D（5）B（6）C 2．（1）①B C•②DC（或BC）AD⊥BC（2）40°
（3）80°或20°（4）1
2
cm2（5）40°
3．80°80•° 20°或120°30°30°
4．略
5．108°
6．（1）略（2）①BE∥CD②AF•⊥BE③△ACF≌△ADF④∠BCF=∠EDF等7．说明△BCE≌△AHE，得AH=BC，由等腰三角形的“三线合一”性质得BC=2BD，所以AH=2BD
【拓展延伸训练】C
【自主探究提高】
（1）∠ACB=90°（2）∠ACB=90°
（3）猜想：不论∠A•等于多少度（小于90°），∠ACB总等于90°。