步态训练机器人人机系统动力学仿真
仿生四足机器人步态规划与仿真研究
仿生四足机器人步态规划与仿真研究1. 引言1.1 研究背景仿生四足机器人是一种模仿动物四足行走方式的机器人，具有良好的稳定性和适应性，被广泛用于恢复性医疗、紧急救援、军事作战等领域。
随着人工智能和机器人技术的不断发展，仿生四足机器人的研究也变得越来越重要。
在仿生四足机器人的步态规划和仿真研究中，如何设计出稳定且高效的行走模式成为研究的重点之一。
近年来，随着计算机仿真技术的不断进步，仿生四足机器人的步态规划和仿真研究取得了一系列重要进展。
通过计算机模拟仿生四足机器人的步态和动作，研究人员可以更好地了解机器人行走时的力学特性和运动规律，为机器人的控制和优化提供有力支持。
本文将对仿生四足机器人步态规划与仿真研究进行深入探讨，旨在为仿生四足机器人的设计与控制提供理论支持和实验基础。
通过对步态规划算法、仿真模型建立、实验结果分析以及研究展望和应用前景的讨论，将全面展示仿生四足机器人的发展现状和未来发展方向，为相关领域的研究工作提供有益参考。
1.2 研究目的研究目的是为了解决传统固定步态规划方法在应对复杂环境和不确定性时存在的不足之处，提高仿生四足机器人的运动稳定性和适应性。
通过研究仿生四足机器人的步态规划算法，探索其在不同地形和工作条件下的运动模式，为其设计提供更加智能和高效的运动策略。
通过建立仿真模型，验证步态规划算法的有效性，并进一步探索优化算法。
研究将通过实验结果来验证仿生四足机器人步态规划算法的可行性和有效性，为进一步开发基于仿生原理的机器人提供参考和借鉴。
通过深入研究仿生四足机器人的步态规划与仿真，探讨未来在智能机器人领域的发展方向和挑战，为该领域的研究提供新的思路和方法。
1.3 研究意义仿生四足机器人的研究意义主要体现在以下几个方面：1. 提高机器人的稳定性和适应性：仿生四足机器人可以模仿动物在不同地形上行走的方式，通过合理的步态规划算法，可以使机器人在复杂环境中保持稳定，提高其适应性和灵活性。
Rolling-Wolf轮腿式机器人动力学模型及步态仿真
A Thesis Submitted to Chongqing University in Partial Fulfillment of the Requirement for the Professional Degree
By Duan Ganlai Supervised by LI Qi-min Specialty: Mechanical Engineering
College of Mechanical Engineering of Chongqing University, Chongqing, China May, 2015
重庆大学硕士学位论文
中文摘要
摘
要
高性能移动机器人一直是国内外仿生机器人的研究热点，本文首先分别从结 构设计方面、运动规划方面和反馈控制方面分析了目前智能机器人的研究情况， 主要包括四足机器人及轮腿式机器人的发展现状。目前主流的几类机器人的特点 如下：足式机器人地形适应能力较好，但是其机构复杂，运行速度比较低；轮式 机器人运行平稳、控制比较简单，但是轮式机器人地形适应能力较差，越障能力 很受限制；而轮腿式机器人则综合了两者的优点，既有轮式机器人的高速高效运 行的特点，也有腿式机器人的越障能力，因此，轮腿式机器人已经逐渐成为国内 外学者的研究对象。 主体部分针对一种新型仿生轮腿式机器人——Rolling-Wolf 进行研究，该机器 人腿部机构由车身、大腿、小腿、电机、滑块及驱动轮组成。基于该样机，主要 进行了如下的研究工作： ①采用欧拉角和空间坐标系的齐次变换，建立了机器人的包含俯仰角和翻滚 角在内的正、逆运动学模型；然后，基于机器人微分运动变换求出了机器人的速 度雅克比矩阵，用于表示机器人关节运动和足端运动的关系。 ②基于运动学理论对 Rolling-Wolf 进行了基于抛物线过渡的线性插值方法的 步态规划，该步态不仅满足静稳定原理，而且对机构不会产生刚性冲击。然后根 据设定的初始步态参数，通过 Matlab 语言实现了足端轨迹曲线和样点的采集。 ③采用拉氏方程和虚功原理建立了 Rolling-Wolf 机器人的动力学模型， 选取了 大腿和车身夹角以及大小腿夹角作为该模型的广义坐标，同时考虑了轮子和地面 之间的接触力，该动力学模型具有良好的通用性。 ④在 ADAMS 中进行了平地慢爬步态的仿真，重点介绍了 ADAMS 仿真参数 的设置，以及通过逆运动学计算得到的滑块的驱动设置方法。仿真完毕后，对车 身质心和同侧大腿滑块的运动进行了观测和分析，并验证了理论运动学模型的正 确性。 关键词：轮腿式机器人、Rolling-Wolf、运动学、步态规划、动力学、ADAMS
液压驱动双足机器人步态规划及动力学仿真
液压驱动双足机器人步态规划及动力学仿真唐火红1，丁婧1，2，严启凡2（1.合肥工业大学机械工程学院，安徽合肥230009；2.江苏省产业技术研究院智能制造研究所，江苏南京211800）来稿日期：2019-09-06基金项目：国防科技创新特区《高越障性仿生机器人系统设计与综合集成》（合同编号：17-163-12-ZT-004-014-01）作者简介：唐火红，（1973-），男，安徽池州人，博士研究生，硕士生导师，副教授，主要研究方向：先进制造技术及其关键技术；丁婧，（1994-），女，安徽安庆人，硕士研究生，主要研究方向：先进制造技术及其关键技术1引言自机器人诞生以来，仿人双足机器人一直是专家学者们的研究热点，如何在真实环境下稳定行走是双足机器人研究中的核心问题之一[1]。
机器人步态规划是通过控制机器人的步行条件、步态参数与确保其稳态步行的约束条件，从而确立步行系统的各关节运动在时间及空间上的一种协调关系，此协调关系可由各关节的一组时间函数进行表示[2-4]。
双足机器人是一个强耦合、非线性的多自由度复杂动力学系统[5]，可通过降阶、解耦等方法简化为简单模型对其展开步态规划，譬如：连杆模型[6，7]、倒立摆模型、弹簧质量模型[8]、小车桌子模型、虚拟模型等。
倒立摆模型的研究最初源于麻省理工学院，维修[9]进一步提出线性倒立摆模型，该模型将机器人支撑脚视为是模型支点，将机器人的质心视为是倒立摆质点，将机器人的腿近似为一个可伸缩的无质量摆杆。
倒立摆运动时，通过摆杆的收缩与伸展以保证支点高度的恒定不变[8]。
建立二维倒立摆模型对双足机器人平地稳态行走进行步态规划，结合虚拟样机仿真技术，利用ADAMS [10]仿真软件对步态规划后的双足机器人进行仿真分析，验证机构设计、运动学模型、步态规划的合理性与可行性，同时获取机器人运动学相关参数，为液压驱动元件选型、样机优化提供参考依据。
2双足机器人简介所涉及的液压驱动仿人双足机器人下肢平台整体结构，如图1（a ）~图1（b ）所示。
步态训练机器人控制系统仿真研究
步态训练机器人控制系统仿真研究张立勋;王令军;王克宽;王凤良【期刊名称】《应用科技》【年(卷),期】2009(036)003【摘要】步态训练机器人是一种可以模拟在不同路况下行走的机器人.针对控制系统能够适应不同路况的要求,设计了一种适应负载、速度变化的变参数PID控制器,并建立了控制系统模型.在MATLAB环境下,对控制系统进行了仿真分析.仿真结果表明,平地行走、上楼梯和下楼梯3种步态轨迹的跟踪曲线均具有良好的运行特性;控制器适应了速度、负载变化的影响,满足机器人对不同路况模拟的各项要求.该研究为步态训练机器人对不同路况的进一步模拟研究奠定了基础.【总页数】4页(P62-65)【作者】张立勋;王令军;王克宽;王凤良【作者单位】哈尔滨工程大学机电工程学院,黑龙江,哈尔滨,150001;哈尔滨工程大学机电工程学院,黑龙江,哈尔滨,150001;哈尔滨工程大学机电工程学院,黑龙江,哈尔滨,150001;哈尔滨工程大学机电工程学院,黑龙江,哈尔滨,150001【正文语种】中文【中图分类】TP242.3【相关文献】1.主动腰部四足机器人控制系统与跳跃步态研究 [J], 赵东升;谭跃刚;黄林考;李彰2.减重活动平板步态训练和传统步态训练对脑卒中偏瘫患者平衡功能和步行能力的影响 [J], 李博阳;陈守强;姜宏博3.功能性电刺激及减重步态训练同步与分离治疗对脑卒中患者步态功能影响的对照研究 [J], 程华军;陈尚杰;许琼瑜;朱芬;冯德荣;李海;黄石钊;刘恒4.减重活动平板步态训练和传统步态训练对脑卒中偏瘫患者平衡功能和步行能力的影响 [J], 李博阳;陈守强;姜宏博5.机器人辅助步态训练联合综合康复训练对脑卒中患者步态及生活质量的影响 [J], 王寒明;杨傲然;王欢;王丛笑;耿久军;薛亚峰;郄淑燕因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
仿生四足机器人步态规划与仿真研究
仿生四足机器人步态规划与仿真研究摘要：机器人的仿生学研究可以使机器人更具有生物特征，走向更自然、智能化的方向。
本文以四足机器人为例，探讨了步态规划与仿真研究的方法。
首先介绍了四足机器人步态的基本形式，然后分析了步态的运动学和动力学特征。
接着，提出了一种基于遗传算法的步态规划方法，并通过仿真实验展示了该方法的优越性。
引言仿生学是一门研究生物学智慧，将其应用于机器人技术中，使机器人更具有生物特征的学科。
仿生学研究可以提高机器人的移动性能、环境适应性和自主控制等方面，进一步推动机器人技术的发展。
其中，步态规划是四足机器人研究中的关键问题之一。
如何使四足机器人的步态更加自然、高效，成为研究的重点。
本文以四足机器人为例，综合运用遗传算法等方法，探讨了步态规划与仿真研究的方法及其实现。
一、四足机器人步态的基本形式四足机器人通常采用三种步态：慢步态、快步态和跑步态。
慢步态是指四足机器人在缓慢行走时的步态，步幅小、稳定性高；快步态是指四足机器人在相对高速行走时的步态，步幅较大，能够应对复杂环境；跑步态是指四足机器人在快速奔跑时的步态，能够快速、稳定地通过复杂地形。
四足机器人的步态可以分为从一个支撑阶段到下一个支撑阶段的过渡过程和支撑阶段两个部分。
其基本形式如下：图1 四足机器人步态示意图其中，1、2、3、4分别为机器人的四只脚，S1、S2、S3、S4分别为四只脚的支撑状态，T为过渡状态。
二、步态运动学和动力学特征分析四足机器人的步态规划必须遵循其运动学和动力学特征。
具体分析如下：1. 步态运动学特征四足机器人的步态运动学特征主要有步幅、步频和支撑相位等。
步幅是机器人在一次步态过程中从一支撑脚到另一支撑脚的水平距离；步频是机器人在一分钟内完成的步态次数；支撑相位是机器人各腿相对支撑状态的时间差。
四足机器人的步态动力学特征主要包括质心加速度、质心高度和地面反作用力等。
质心加速度是机器人在步态过程中质心的加速度；质心高度是机器人在步态过程中质心的高度变化；地面反作用力是机器人与地面的接触力，直接影响机器人的稳定性。
全方向康复步行训练机器人具有人机交互力的跟踪控制
机器人运动学建模与动力学仿真分析
机器人运动学建模与动力学仿真分析机器人一直以来是人类最喜欢的机械产物之一。
它们已经在许多领域中得到了广泛应用，从工业生产到医疗，从军事到普通家庭，都有机器人的身影。
然而，机器人的行为不可能只受简单的人工指令控制，在设计和创建机器人时，必须考虑它们如何使用传感器和算法自主进行运动控制。
这就需要对机器人进行运动学建模和动力学仿真分析。
机器人的运动学模型描述了机器人的位置和方向，以及机器人在三维空间中运动的方式。
运动学模型通常由连接在一起的“关节”组成，每个关节提供机器人在空间中运动的自由度。
一个典型的机器人通常由多个关节组成，在每个关节处都有一个旋转或平移关节。
关节的旋转和平移由马达或气动驱动器等装置控制，以允许机器人进行复杂运动，从而能完成其指定的任务。
机器人的运动学模型可以用数学的方法来表示，其中一个广为人知的方法是丹尼·德文波特的变换题。
这个题的思想是将机器人从其基本位置（被定义为零位）旋转和移动，函数将这个位置映射到全局坐标系统中。
对于机器人中每个关节，将“关节空间”中的变化转换为“工作空间”中的直线和角度转换，从而得到机器人的整体位置和方向。
机器人的动力学模型描述了运动学之外的一些物理特性，如质量、惯性、摩擦力等，从而解释与力学和动力学相关的运动。
这是在机器人仿真系统中进行动力学仿真分析的关键所在之一。
通常情况下，机器人的惯性和摩擦力对动力学非常重要，它们直接影响机器人的运动和位移。
在设计机器人时，考虑这些因素是至关重要的，否则机器人可能会无法完全精确地执行指定的任务。
了解机器人的运动学和动力学模型有许多好处。
首先，它们可以帮助设计师更好地理解机器人的基本运动和设计风格。
其次，运动学和动力学模型也可以用于控制机器人的运动。
例如，运动学模型可以将圆轴坐标转换为笛卡尔坐标，并为控制器提供所需的坐标信息，以使机器人在空间中移动。
同时，动力学模型可以帮助设计师制定适当的控制器 PID（位置、积分、微分）参数，以保证机器人的稳定性和运动精度。
步行训练机器人虚拟样机协同仿真方法研究
步行训练机器人虚拟样机协同仿真方法研究冯治国【期刊名称】《贵州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(030)001【摘要】研究SolidWorks、ADAMS和MATLAB协同仿真方法,建立步行训练机器人虚拟样机三维实验平台,实现对步行训练的动态特性和控制系统的仿真验证,其结果证明虚拟样机协同仿真的方法确切有效地分析步行训练机器人运动特性,为研发步行机器人的物理样机提供主要参考.%Solidworks, Adams andMatlab/Simulink were integrated to be used to establish united simulation platform for the gait training robot. Kinematics and dynamics simulation of the gait training robot, the control laws were done in collaborative simulation platform. The results indicate that the dynamic properties of the gait training robot were analyzed correctly and efficiently. A reliable solution was proposed for the entire design of gait training robot.【总页数】5页(P55-58,83)【作者】冯治国【作者单位】贵州大学机械工程学院,贵州贵阳550025【正文语种】中文【中图分类】TP24【相关文献】1.基于虚拟样机技术的双足步行机器人联合动力学仿真 [J], 余朝举;魏世民;郭磊2.减重步行机器人训练对脑卒中患者步行能力的影响探析 [J],3.KineAssist机器人步行训练提高脑卒中患者步行能力的临床研究 [J], 马启寿;廖燕锬;李中元;陈美云;刘燕平4.基于虚拟样机的双足机器人步行联合仿真 [J], 史耀强;李建;顿向明;陈卫东;杨军5.仿生膝关节虚拟样机与协同仿真方法研究 [J], 王斌锐;金英连;徐心和因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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、
， 丝杠对滑块的
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， 则根据牛顿定律可列出杆的动力学方程
绕 （ ， 右支架约 、 ! ， 阻 !#"
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图。左支架受左滑块约束力为 ! 束力为 ! 、 ! 力矩为 " ， 重力为 的动力学方程为
式中： 、 分别为左、 右脚的足底力； 为人的体
张立勋等： 步态训练机器人人机系统动力学仿真
左侧动力学模型为式 （ ） ， 需要输入的数据为 FLF 、FL 、ML 。 模 型 中 相 关 参 数 有：! FLB 、 ， ! ABP ， h ， I ， m ， ， m 。 ， l ，R ，I ，m ， l ，h ， l ，I ，m ， m
机器人跟踪人在平地行走的步态轨迹， 见图 。 为了便于观察， 姿态角未显示， 左、 右步态轨迹与期 望轨迹基本重合。
图! 正常人的步态特征
左、 右步态轨迹的起点坐标均为 （ ） ， 首先启动左步态机构， 步态周期为 动至 时， 到达图
，
， 当其运
人机系统动力学仿真模型与仿真曲线
动力学仿真模型结构见图 。下角标 L 和 R 分 别代表左、 右步态机构。以左步态机构为例说明： xOL 、 }OL 、 !OL 为轨迹规划生成的机器人末端的期望 移动关节 位置， 通过逆运动学 L L 求得移动关节 、 和转动关节 处的电机转角输入 gL i 、 gL i 和 gL !i ；
， 则根据牛顿定律可列出杆的
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， 驱动力矩为
， 重力为
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则" ! ! ， 列出杆的动力学方程为 （ " （ " （ "
则根据牛顿定律可 ! ， （ ） （ ） ! ）
将机器人每个杆取分离体进行受力分析， 并将 每个分离体应用牛顿定律列写动力学方程， 从而构 成 方程组。机器人右侧机构各杆件受 力 分析简图如图 所示。 图（ ） 为左支架受力简
—
—
高技术通讯
年
月 第
卷 第
期
［ ］ ， ， ， ： ， ［ ］ ， ： ， ， ， ［ ］ ， ［ ］ ， ，（ ） ： ， ， ，（ ） ： ， ’ ［ ］蔡自兴 机器人学 北京： 清华大学出版社， ［ ］訾斌， 段宝岩， 杜敬利等 柔性 模与控制 高技术通讯， ［ ］董玉红， 张立勋 基于 平台的动力学建 的合作机器人 （ ， （ ）： ） 动 ， ， ， ，
・ （ ） 便 于 矩 阵 求 逆 等 运 算， 故可用 ・ ， 的输出即为各关节和杆的 （角） 加速度及约束反 力等参数。式 （ ） 输出的是机器人左步态机构的动 力学参数， 同理可得右步态机构的动力学参数。 语言编写 函数来求解
叠。把步态周期进行归一化处理， 足底力模型可做
正常人步态特征
正常步态是指健康人在自我感觉最自然、 最舒 适的状态下行走时的步态， 具有稳定性、 周期性、 协 调性以及个体差异性。正常的步态周期可分为两个 相位： 支撑期与摆动期。支撑期指下肢接触地面及 承受重力的时间， 约占整个步态周期的 约占整个步态周期的 — — 。摆动 期指足离开地面向前迈步到再次落地之间的时间， ， 支撑期和摆动期时间在 步态周期中所占的百分比反映了下肢在一个步态周
， 具有代表性的步 和日本的
综合了外骨骼机器人和跑步 。 能够进行平地行走训
［ ］
机的特征， 能够进行平地行走训练、 上下楼梯训练和 练、 上下楼梯训练和转弯训练 。目前国内外对机
脚踏板转动。三者协调运动， 带动受试者右腿在平 面内做步态训练。左、 右步态机构按照一定的协调 关系运动， 就能模拟人在不同路况下的步态轨迹。 如平地行走运动， 上下楼梯运动等。 在图 中， 为机座 （编号为 ） ， 左滑块编号 为 ， 左支架编号为 ， 姿态机构 （脚踏板） 编号为 ， 右支架编号为 ， 右滑块编号为 。规定各杆件加速 度沿 、 轴正方向为正， 角度沿逆时针方向为正。 ! ! ! ，" !； ，! ，" 杆 、 杆 ! 的长度均为 为 ； 杆 的长度为 ； 杆 的长度 ； 矢量 " 、 "、 " 与水平线的夹角分别为 ! 、 杆 与水平线的夹角为 ； 杆 和矢量 !、 !； 脚踏板与水平线的夹角为 ! ； 脚踏板 " 夹角为!； 与杆 垂直。
［ ］
法， 基于 ， 在引入人在平
地行走时双足对地面的压力模型的基础上， 搭建了 人机系统动力学仿真模型， 并对机器人跟踪人在平 地行走的步态轨迹进行了仿真研究， 为实现机器人 的控制提供了理论基础。
" !
国家自然科学基金 （ ） 和国家博士点基金 （ ） 资助项目。 男， 生，教授， 博士生导师； 研究方向： 康复机器人， 人机合作机器人； 联系人， （收稿日期： ）
L
中 点， 此时启动右步态机构， 度。支撑期为 阶 段。 FL 、 FR、 和
以确保两步态机构的相位差为 阶 段， 摆动期为
FLB 、 FRB 的相位关系见图 。 FL 、 FL 、 FR 、 FLF 、 FRF 的 相位关系见图 。在运动启动时刻， FRB 、 FLF 、 F LB 、 这是由加减速度的突变引起的， FRF 均发生了突变， 这个现象可以通过变加速来改善。 FL 与 FR 、 FLB 与 这与 FRB 与 FRF 的变化均具有周期性和协调性， FLF 、 摆动期、 支撑期的交替变化特征是一致的。步态训 练机器对人的双足负载做相应的周期性调整， 为机 器人的动力学性能改善提供理论依据。
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步态训练机器人人机系统动力学仿真
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 张立勋， 王令军， 王凤良， 王克宽， 高峻， Zhang Lixun， Wang Lingjun， Wang Fengliang， Wang Kekuan， Gao Jun 哈尔滨工程大学机电工程学院,哈尔滨,150001 高技术通讯 CHINESE HIGH TECHNOLOGY LETTERS 2009,19(11)
将右支架的质心位置方程为求二阶导数得 （ ）（ ） （# （ ） （ ） （ ） ） ! ）
） " （ ）
其中， 由 其中，
（ ） " （ ） # （ ） 约束矩阵方程 （ ） （! ! ） ， （! ， （ ， （!
!
， 并将此式求两次导数得
令 ， （
#
，
（ ） 。
， （! （ ）
引 言
步态训练机器人可以模拟人在不同路况下的步 态， 属于健身或医疗机器人领域 态训练机器人有德国的 。 力量 训 练
［ ］ ［ ］
机器人动力学建模
方程组 步态训练机器人有 个自由度， 带动人的左腿 运动的机构称为左步态机构， 带动人的右腿运动的 机构称为右步态机构， 并且两者对称。步态训练机 器人左步态机构简图如图 所示。关节 、 为由 为转动关节， 带动 线性模组构成的移动关节， 关节
! ） ! ）
! （ !
!） （ ）
其中， ! 为姿态机构的绝对角加速度； ! 为左支架 绕 点转动的角加速度； ! 为姿态机构相对 点的 角加速度。 图（ ） 为右滑块受力简图。有机座约束力为 ， 右支架的约束力为 推力 ， 重力为 动力学方程为 （ ） （ ） 图（ ） 为右支架受力简图。右支架受右滑块 约束力为 力为 为 （ ） （ ）
参考文献 ［ ］张济川， 金德闻 我国康复工程事业发展面临的机遇和 挑战 中国康复医学杂志， ，（ ） ：
，（ ）：
力学仿真 哈尔滨工程大学学报， 高技术通讯， ，（ ）：
［ ］夏泽洋， 陈恳， 熊繰等 仿人机器人运动规划研究进展 ［ ］张今瑜， 王岚， 张立勋 基于多传感器的实时步态检测 研究 哈尔滨工程大学学报， ，（ ） ：
高技术通讯
：
年 第
卷 第
期：
步态训练机器人人机系统动力学仿真 !
张立勋! 王令军 王凤良 王克宽
哈尔滨
高
峻
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（哈尔滨工程大学机电工程学院
摘 应用
要
基于
对
自由度步态训练机器人的人机系统进行了动力学仿真研究。 ， ） ； 分析了正常人在平地行走时的步态特征， 并给 工具箱建立了人机系统动力学仿
法， 推导了机器人的运动约束方程和动力学方程， 构成了机器人的约束
：
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高技术通讯
年
月 第
卷 第
期 （ ） ［ （ ） （ ） （ ） （! ） ］
（ ） ! 图（ ） 为左滑块受力简图。有机座约束力为 ， 左支架的约束力为 力为 ， 重力为 动力学方程为 （ ） （ ） 图（ ） 为姿态机构受力简图。有左支架约束 力为
图! 机器人左步态机构闭环矢量图
、
， 丝杠对滑块的推
图
!" 、 !# 、 !"! 、 !#! 的相位关系
结 论
应用 法， 基于 对步态 训 练机器人人机进行了动力学仿真分析。通过列写机 器人的运动约束方程和动力学方程， 构成了机器人 的 ， 结合双足对地面的压力模型， 利用 工具箱建立了机器人人机动力学仿真模型。对机器 人跟踪人在平地行走的步态轨迹进行了仿真分析， 仿真结果表明， 该人机模型对人的双足负载具有良 好的调节能力， 实现了对人在平地行走步态的模拟， 为实现机器人的控制及性能改进提供了理论依据。
、 !
， 姿态机构约束力为 !
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运动约束方程组 由图 列写闭环矢量方程得 将此式向 、 轴投影并两次求导得末端 点 !
， 则根据牛顿定律可列出杆 （ ） （ ）