第三章 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域
课程资料：二元一次不等式(组)表示的平面区域
3.点 P（1,-1）在直线y=ax＋b的上方,则a,b满足的 关系式:（ B ） A. a＋b>-1 B. a＋b<-1 C. a＋b>1 D. a－b<-1
7.确定m的范围，使点(1，2)和点(1，1)在y 3x m 0
的异侧.
5.若不等式组
y
≥
a，
表示的平面区域是一个三角
0 ≤ x ≤ 2
形，则 a 的取值范围是（ C ）
Ａ． a 5
Ｂ． a≥7
Ｃ． 5≤a 7
Ｄ． a 5 或 a≥7
[例4] 画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＞0表示 的区域．
[解] 原不等式等价于
①xx－＋y2＋y＋4＞1＞0.0， 或
• §3.3.1二元一次不等式（组） 表示的平面区域
那么：x – y < 6或x – y形？
问题2
一条直线
直线将平面分成两部分，这与 x y ()6
有什么关联呢？
y
x –y =6
左上方区
O
域
x
右下方 区域
二元一次不等式x－y<6表示直 线x- y=6左上方的平面区域
2.有粮食和石油两种货物，可用轮船和飞机两种 方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量 如下表：
货物 轮船运输量 飞机运输量
粮食/t 300
150
石油/t 250
100
现在要在一天之内运输2 000 t粮食和1 500 t石
油，试用代数和几何两种方法表示运输工具和
运输数量满足的关系．
解：设需要 x 艘轮船，y 架飞机，代数关系式和几何描述(如
(3)
3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(一)
企业和个人贷款，希望这笔贷款至少可带来3万元的收益， 其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%.那 么，信贷部应如何分配资金呢？
x y 2500, 12 x 10 y 300 x 0, y0
1. 我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不
满足 x y 6 的点集在坐标平面上是怎样的图形？
l:x-y=6
问题一
满足 x y 6 的点集{( x, y) x y 6}在坐标平面上 是怎样的图形？
l:x-y=6
二元一次不等式 x－y＜6所表示的图形.
在直角坐标系中，所有点被直线l : x－y＜6分成三类: ①在直线l上的点;
确定.
一般地
C≠0时，常用点(0,0)确定.
C=0时，常用点(0,1)或(1,0)确定.
二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域常用 “直线定界，特殊点定域”的方法，即画线—取点—判 断.
例1. 画出x＋4y＜4表示的平面区域.
练习
教材P86练习第1、2题
x 3 y 6 0 例2. 画出 表示的平面区域. x y 2 0
l:x-y=6
问题一
满足 x y 6 的点集{( x, y) x y 6}在坐标平面上 是怎样的图形？
问题二
满足 Ax By C 0 的点集 {(x, y) Ax By C 0}
在坐标平面上是怎样的图形？
( A, B不同时为0)
问题三
满足 Ax 2 Bx C 0 的点集源自Ax 2 Bx C 0 的同
(1) x y 1
1.判断下列式子是不是二元一次不等式？ 2
(2) x y 1
数学ⅱ北师大版3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域第2课时教案
随堂练习1
1、画出不等式2 +y-6＜0表示的平面区域.
2、画出不等式组 表示的平面区域。
2.讲授新课
【应用举例】
例3某人预备投资1200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格〔以班级为单位〕：
学段
班级学生人数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45
2
26/班
2/人
高中
课题
§3.3.1二元一次不等式〔组〕与平面区域
第2课时
课型
新授课
课时
备课时间
教学目标
知识与技能
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能依照实际问题中的条件，找出约束条件；
过程与方法
经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
情感态度与价值观
结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.
重点
理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式〔组〕所表示的平面区域画出来；
难点
把实际问题抽象化，用二元一次不等式〔组〕表示平面区域
教学方法
教学过程
1.课题导入
[复习引入]
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.〔虚线表示区域不包括边界直线〕
高中数学必修5课件：第3章3-3-1二元一次不等式(组)与平面区域
数学 必修5
第三章 不等式
(3)若直线 l：Ax＋By＋C＝0，记 f(x，y)＝Ax＋By＋C，M(x1， y1)，N(x2，y2)，则
点M，N在l的同侧 ⇔ fx1，y1·fx2，y2>0 点M，N在l的异侧 ⇔ fx1，y1·fx2，y2<0
数学 必修5
第三章 不等式
1．不等式x－2y≥0表示的平面区域是( )
() A.32 4 C.3
B.23 D．34
数学 必修5
第三章 不等式
解析： 如图所示为不等式表示的平 面区域，平面区域为一三角形，三个顶点 坐标分别为(4,0)，43，0，(1,1)，所以三角 形的面积为 S＝12×4－43×1＝43.
答案： C
数学 必修5
第三章 不等式
用二元一次不等式(组)表示实际问题
数学 必修5
第三章 不等式
答案：
4x＋3y≤480， 2x＋5y≤500， x≥0， y≥0， x，y∈N*
数学 必修5
第三章 不等式
4．画出不等式组x0－≤yx≤＋1y0≤，20， 0≤y≤15，
表示的平面区域．
解析： 根据题意画出不等式组表示的平面区域，如图所
示．
数学 必修5
第三章 不等式
数学 必修5
第三章 不等式
3．一工厂生产甲、乙两种产品，生产每种1 t产品的资源 需求如下表：
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
甲
2
3
5
乙ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
5
2
该厂有工人200人，每天只能保证160 kW·h的用电额度， 每天用煤不得超过150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两 种产品允许的产量的范围．
高中数学第三章不等式3.3.1二元一次不等式组与平面区域课件新人教A版必修5
则有
该不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示
≥ 0,
≥ 0.
(含边界).
-19-
二元一次不等式(组)与
平面区域
探究一
探究二
课前篇自主预习
探究三
思维辨析
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
反思感悟用二元一次不等式组表示实际问题的步骤
1.先根据问题的需要选取起关键作用且关联较多的两个量,并用字
(1)定义:我们把含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等
式称为二元一次不等式;把由几个二元一次不等式组成的不等式组
称为二元一次不等式组.
(2)解集:满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),
所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的
解集.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是,二元一次
课堂篇探究学习
当堂检测
用二元一次不等式(组)表示实际问题
例3投资生产A产品时,每生产100 吨需要资金200 万元,需场地200
平方米;投资生产B产品时,每生产100 吨需要资金300 万元,需场地
100 平方米.现某单位可使用资金1 400 万元,场地900 平方米,用数
学关系式和图形表示上述要求.
(1,0)作为测试点.
-6-
二元一次不等式(组)与
平面区域
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
3.做一做:
(1)判断正误.
①不等式Ax+By+C>0是二元一次不等式.(
)
②点(1,3)在不等式2x-y-2<0所表示的平面区域内. (
)
3.3.1平面区域
高二数学必修五 编号：SX-05-113.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域【学习目标】1．了解二元一次不等式表示的平面区域．2．会画出二元一次不等式（组）表示的平面区域．【基础知识】1．二元一次不等式（组）的概念①含有 未知数，并且未知数的次数是 的不等式叫做二元一次不等式． ②由几个二元一次不等式组成的不等式组称为 ．2．二元一次不等式表示的平面区域①在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C>0表示直线 某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成 ，以表示区域不包括边界．②不等式Ax ＋By ＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成 ．探究点一 二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，画出直线x －y ＋2＝0，并标出以下九点：O(0,0)，A(0,2)， B(－2,0)，C(－1,1)，D(1,0)，E(0，－1)，F(－3,0)，G(－2,2)，H(0,3)．通过图象容易得出以下结论：(1)点A(0,2)，B(－2,0)，C(－1,1)的坐标满足方程 ，它们在直线x －y ＋2＝0上；(2)点O(0,0)，D(1,0)，E(0，－1)的坐标满足不等式 ，它们在直线x －y ＋2＝0的 ；(3)点F(－3,0)，G(－2,2)，H(0,3)的坐标满足不等式 ，它们在直线x －y ＋2＝0的 ．◆◆ 一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C>0与Ax ＋By ＋C<0分别表示直线Ax ＋By ＋C ＝0 (A 2＋B 2≠0)两侧的平面区域．例如，不等式 表示直线x ＋y ＋2＝0右上方的平面区域； 表示直线x ＋y ＋2＝0左下方的平面区域．即：同侧同号，同号同侧：异侧异号，异号异侧P(11,y x )、Q(22,y x )在直线Ax ＋By ＋C ＝0 同侧⇔P(11,y x )、Q(22,y x )在直线Ax ＋By ＋C ＝0 异侧⇔探究点二 二元一次不等式（组）表示平面区域的确定方法问题 在平面直角坐标系中，画出直线Ax ＋By ＋C ＝0以后，需要判断出不等式Ax ＋By＋C>0与Ax ＋By ＋C<0分别表示直线Ax ＋By ＋C ＝0的哪一侧？方法1：特殊值代入法------------直线定界，特殊点定域第一步，直线定边界：画出直线Ax ＋By ＋C ＝0（如果原不等式中带等号，那么画成实线，否则，画成虚线）.第二步：取特殊点定平面区域：一般地，当C ≠0时，常取原点（0,0）；当C=0时，常取点（1,0）或（0,1）.然后计算Ax 0＋By 0＋C 的值，得出Ax 0＋By 0＋C 的符号，则原点所在的区域和它同号，另外一侧异号。
高中数学3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域优秀教案
课时同步练3.3.1二元一次不等式〔组〕与平面区域一、单项选择题1．假设点(1,2)-在二元一次不等式10x my ++≤表示的区域中，则m 的取值范围为〔 〕 A ．1m B ．1m ≥ C ．1m < D ．1m 2．在平面直角坐标系xOy 中，与原点位于直线3x+2y+5=0同一侧的点是〔 〕 A ．〔-3，4〕 B ．〔-3，-2〕 C ．〔-3，-4〕 D ．〔0，-3〕3．不等式组4,0,0x y x y +≤⎧⎪>⎨⎪>⎩表示的平面区域为Ω，则以下坐标对应的点落在区域Ω内的是〔 〕 A ．(1,1) B ．(3,1)-- C ．(0,5) D ．(5,1)4．不等式组000x x x ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩表示的平向区域为D ，则区域D 的面积为〔 〕A． B ．2 CD5．假设不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两局部，则k 的值是〔 〕A ．73B ．37C ．43D ．346．D 是由不等式组20,{30x y x y -≥+≥所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为〔 〕A ．4πB ．2πC ．34πD ．32π 7．点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为〔 〕A ．12 B．2 CD ．18．假设0,0a b ≥≥且当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有1ax by +≤，则以,a b 为坐标的点(,)P a b 所形成的平面区域的面积是〔 〕A ．12B ．4πC ．1D ．2π 9．不等式||||3x y +<表示的平面区域内的整点个数为〔 〕A ．10B ．13C ．14D ．1710．假设不等式组1,10,20,x x ay x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩可表示为由直线围成的三角形区域〔包括边界〕，则实数a 的范围是〔 〕A ．()0,2B ．()2,+∞C ．()1,2-D ．(),1-∞-11．在平面直角坐标系中，假设不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域被直线1y ax =+分为面积相等的两局部，则a 的值为〔 〕A ．12B ．1C ．2D ．9412．设不等式组()221x y y k x ⎧+≤⎪⎨+≤+⎪⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，以下命题不正确的是〔 〕 A ．假设4S =，则k 的值唯一 B ．假设12S =，则k 的值有2个 C ．假设D 为三角形，则203k <≤ D ．假设D 为五边形，则4k >二、填空题13．坐标原点和点()1,1在直线0x y a +-=的两侧，则实数a 的取值范围是______.14．不等式组3020x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩，，表示的平面区域的面积等于____________.15．不等式组6011x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩所表示的平面区域内整点的个数是____________16．设不等式组03434x x y x y ⎧⎪+≥⎨⎪+⎩，，所表示的平面区域为D .假设直线1y a x =+（）与D 有公共点，则实数a 的取值范围是_____________.17．不等式组04032140x x y x y ≥⎧⎪-⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域被直线y =kx 分成面积相等的两局部，则k 的值为________.18．假设实数x ，y 满足约束条件210200x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则点(),A x y 构成的区域面积为________；点(),B x y x y +-构成的区域面积为________.三、解答题19．不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，〔1〕画出不等式组所表示的平面区域〔要求尺规作图，不用写出作图步骤，画草图不能得分〕； 〔2〕求平面区域的面积．20．求满足||||3x y +的整点x y （，）的个数.21．假设平面区域22(1)x y y k x ⎧+⎨++⎩，是一个三角形，求实数k 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,1A 、()2,3B 、()3,2C ，点P 在ABC ∆三边围成的区域〔含边界〕上； 〔1〕假设0PA PB PC ++=，求OP ；〔2〕设OP mAB nAC =+，求动点(),Q m n 所构成的图形的面积；。
二元一次不等式(组)与平面区域
2．点(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的右上方，则一定 有Ax0＋By0＋C>0吗？
提示：不一定．与系数B的符号有关．
3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在直线Ax＋By＋C＝0的 同侧或两侧应满足什么条件？
提示：同侧(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.异侧(Ax1＋ By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
典例导悟
类型一 二元一次不等式(组)表示平面区域 [例1] 画出下列不等式(组)表示的平面区域．
变式训练1
如图所示的阴影部分表示的区域用二元一 )
x＋y－1≤0 B. x－2y＋2≤0 x＋y－1≤0 D. x－2y＋2≥0
次不等式组表示为(
x＋y－1≥0 A. x－2y＋2≥0 x＋y－1≥0 C. x－2y＋2≤0
答案：A
类型二 [例2]
(2)不等式组的解集是x＋y≤5 ①，x－2y≥3 集的交集．
②的解
①式表示的区域是直线x＋y－5＝0左下方平面区域并 且包括直线x＋y－5＝0. ②式表示的区域是直线x－2y＝3右下方平面区域并且 包括直线x－2y－3＝0. 所以不等式组表示的区域是图(2)中的阴影部分(包括直 线)．
【点评】 画直线时容易虚实不分，若含等号应画成 实线．区域容易弄反，要注意方法．
(1)2x＋y－6<0；
x＋y≤5 (2) x－2y≥3.
[分析]
解题的关键在于正确地描绘出边界直线，然
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§3．3 二元一次不等式(组)与简单的
线性规划问题
3．3．1 二元一次不等式(组)与平面区域
一、基础过关
1．如图所示，表示满足不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0的点(x ，y )所在的平面区域为( )
2．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
4x ＋3y ≤12，x －y >－1，
y ≥0表示的平面区域内整点的个数是
( )
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
3．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，
x ≤a (a 为常数)表示的平面区域的面积是9，
那么实数a 的值为
( )
A ．32＋2
B ．－32＋2
C ．－5
D ．1
4．若平面区域D 的点(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
(x ＋1)2
＋y 2
≤1x －y ≤0
x ＋y ≤0，则平面区域D 的面积是( )
A.12＋π
2
B ．1＋π
2
C.12＋π4
D ．1＋π
4
5．若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋4
3分为面积相等的两部分，
则k 的值是
( )
A.7
3
B.37
C.43
D.34
6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤1，x －y ≤1，
－x ＋y ≤1，
－x －y ≤1
表示的平面区域的形状为___________________.
7．利用平面区域求不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥3y ≥2
6x ＋7y ≤50
的整数解．
8．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域． 二、能力提升
9．设不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，
5x －3y ＋9≤0
表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域
D 上的点，则a 的取值范围是 ( )
A ．(1,3]
B ．[2,3]
C ．(1,2]
D ．[3，＋∞)
10．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤0，y ≥0，
y －x ≤2
表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x
＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________． 11．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ≥0，2x ＋y ≤2，
y ≥0，
x ＋y ≤a
表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．
12．画出不等式|x |＋|y |≤2所表示的平面区域，并求出它的面积． 三、探究与拓展
13．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
kx －y ＋1≥0kx －my ≤0
y ≥0
表示的平面区域的面积是多少？
答案
1．B 2.C 3.D 4.B 5.A 6.正方形
7．解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．
把x ＝3代入6x ＋7y ≤50， 得y ≤32
7，又∵y ≥2，
∴整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)； 把x ＝4代入6x ＋7y ≤50， 得y ≤267
，
∴整点有(4,2)，(4,3)．
把x ＝5代入6x ＋7y ≤50，得y ≤20
7，
∴整点有(5,2)；
把x ＝6代入6x ＋7y ≤50，得y ≤2，整点有(6,2)； 把x ＝7代入6x ＋7y ≤50，得y ≤8
7
，与y ≥2不符．
∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)． 8．解
设x 、y ⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0.
(*)
在直角坐标系中完成不等式组(*)所表示的平面区域，如图阴影部分．
9．A 10.74 11.0<a ≤1或a ≥4
3
12.解 不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
x ＋y ≤2
所表示的平面区域，为如图所示的Rt △AOB
的周边及其内部．
∵|－x |＝|x |，|－y |＝|y |，∴正方形ABCD 的边长为22，故S 正方形ABCD ＝8.
13．解 P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称，故PQ 与直线x ＋y ＝0垂直，直线PQ 即为直线y ＝kx ＋1，故k ＝1；
又线段PQ 为圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ 的垂直平分线上，即为直线x ＋y ＝0，又圆心为(－k 2，－m
2
)，
∴m ＝－k ＝－1， ∴不等式组为⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0x ＋y ≤0
y ≥0
，
它表示的平面区域如图所示，直线x －y ＋1＝0与x ＋y ＝0的交点为(－12，12)，∴S △＝
1
2×1×12＝14.故面积为1
4.。