江苏省南通市2017-2018学年高三数学考前最后一练 Word版含解析
江苏省南通市2017-2018学年高三下学期第三次调研考试数学试题 Word版含解析
2017-2018学年一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}{}1,0,1,2,1,1,2U A =-=-，则U C A = . 【答案】{}0 【解析】试题分析：{0}.U C A = 考点：集合的补集2.已知复数()22z i =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 . 【答案】34i + 【解析】试题分析：()22=34,34.z i i z i =--=+ 考点：复数的概念3.如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 .【答案】2 【解析】试题分析：由于甲、乙两位同学的平均数均为90，所以甲、乙两位同学的方差分别为1122(41014)2,(1010110)2,555++++=++++=>故成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为2. 考点：方差4.如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 .【答案】3 【解析】试题分析：第一次循环：11,3S n ==；第二次循环：8,5S n ==；第三次循环：3,5S n ==；结束循环，输出 3.S = 考点：循环结构流程图5.已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b ，若它们的体积相等，则33:a b的值为 .【答案】π 【解析】考点：柱的体积6.将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为,m n ，则点(),P m n 在直线12y x =下方的概率为 . 【答案】16【解析】试题分析：一颗骰子连续抛掷2次，共有36种基本事件，其中满足12m n <有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)6种基本事件，故所求概率为61.366= 考点：古典概型概率7.函数()f x =的定义域为 .【答案】(【解析】试题分析：由题意得112lg 12000lg 1lg lg 2x x x x x --≥⇒≥⇒<≤⇒<≤即定义域为(考点：函数定义域，解简单分式不等式8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y a-=与抛物线212y x =-有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为 .【答案】4y x =± 【解析】试题分析：由题意得219a a +=⇒=而双曲线2221x y a-=渐近线的方程为1,y x a =±即y x = 考点：双曲线渐近线9.已知两曲线()()cos ,,0,2f x x g x x x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭相交于点A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点，则线段BC 的长为 .【解析】试题分析：由题意得cos tan 0,.326x x x x x ππ⎛⎫=⇒=∈∴= ⎪⎝⎭Q 又()sin ,()f x x g x x ''=-=所以切线斜率分别为13,6262f g ππ⎛⎫⎛⎫''=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，方程分别为13(),()2626y x y x ππ=--=-，与x 轴交点横坐标分别为66x x ππ=+=，故线段BC (= 考点：导数几何意义10.如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC ==，则()()AP AQ AB AC +⋅-的值为 .【答案】-16 【解析】 试题分析：()()()()()()()()22AP AQ AB AC PQ AQ AB AC AQ AB AC AB AC AB AC+⋅-=+⋅-=⋅-=+-uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r2292516.AB AC =-=-=uu u r uuu r考点：向量数量积11.设数列{}n a 满足()()()111,111n n a a a n N ++=-+=∈，则()10011k k k a a +=∑的值为 . 【答案】100101【解析】试题分析：()()11111111101n n n n n n n na a a a a a a a ++++-+=⇒-+-=⇒-=，因此数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1，公差为1的等差数列，即11,n n n a a n==，因此()100100100111111111001.(1)1101101k k k k k a a k k kk +===⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 考点：数列通项，裂项相消法求和12.已知函数()()()()()2',0,,0f x x f x x ax a Rg x f x x ≥⎧⎪=+∈=⎨<⎪⎩（()'f x 为()f x 的导函数）.若方程()()0g f x =有四个不等的实根，则a 的取值范围是 . 【答案】0a <或2a > 【解析】考点：函数零点13.如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点,C D 在函数()10y x x x=+>的图像上.记,AB m BC n ==，则2mn 的最大值为 .【答案】14【解析】试题分析：设1122(,),(,)C x y D x y ，则由12y y =得121211x x x x +=+，因为12x x ≠，所以121x x =，因此22122222222211.1144()()x x x x m t n t x x x x --===≤=+++其中2210,t x x =->当且仅当2t =时取等号 考点：基本不等式求最值14.在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=，圆()()2221:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线,,PA PB 切点为,A B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是 .【答案】1,3⎡+⎣【解析】试题分析：设()P x y ，，设PA ，PB 的夹角为2θ． △ABP 的面积S=22111sin 212PA PA PA PC θ==．32212PC PA ==+，解得PA 所以12PC =，所以点P 在圆22(1)4x y -+=上．所以22m m -+，解得13m +≤≤．考点：直线与圆相切，圆与圆位置关系二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）已知ABC ∆是锐角三角形，向量()cos ,sin ,cos ,sin 33m A A n B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且m n ⊥.（1）求A B -的值； （2）若3cos ,85B AC ==，求BC 的长.【答案】（1）6A B π-=（2）3BC =【解析】试题分析：（1）先利用向量数量积得cos cos sin sin 33m n A B A B ππ⎛⎫⎛⎫⋅=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据两角差余弦公式得cos 03A B π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，最后根据范围5,366A B πππ⎛⎫⎛⎫+-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得6A B π-=（2）已知两角一边，求另一边，应利用正弦定理进行解决：先求BC 所对角的正弦值：sin sin 6A B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，再根据正弦定理，得3BC = 试题解析：（1）因为m n ⊥，所以cos cos sin sin cos 0333m n A B A B A B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5,366A B πππ⎛⎫⎛⎫+-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以32A B ππ+-=，即6A B π-=； （2）因为3cos 5B =，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5B = 所以sin sin sin cos cos sin 666A B B B πππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭4313525210=⋅+⋅=由正弦定理，得sin 1083sin 5ABC AC B=⋅=⨯=.考点：正弦定理，两角差余弦公式16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面PAD ，,22,,AB CD CD AB BC M N ==分别是棱,PA CD 的中点.（1）求证：PC 平面BMN ； （2）求证：平面BMN ⊥平面PAC.【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与证明，往往需结合平面几何条件，如本题利用三角形中位线性质定理得MO PC （2）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，需多次利用线面垂直的判定与性质定理：先由平行四边形ABCN 为菱形得BN AC ⊥，再由PC ⊥平面PAD 得PC AD ⊥，即BN PC ⊥，从而得BN ⊥平面PAC试题解析：（1）设A C B N O ⋂=，连结,MO AN ，因为1,2AB CD AB CD =，N 为CD 的中点，所以,AB CN AB CN =，所以四边形ABCN 为平行四边形，所以O 为AC 的中点，所以MO PC又因为MO ⊂平面BMN ，PC ⊄平面BMN ，所以PC 平面BMN .（2）（方法一）因为PC ⊥平面PDA ，AD ⊂平面PDA所以PC AD ⊥，由（1）同理可得，四边形ABND 为平行四边形，所以AD BN ，所以BN PC ⊥因为BC AB =，所以平行四边形ABCN 为菱形，所以BN AC ⊥，因为PC AC C ⋂=AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BN ⊥平面PAC因为BN ⊂平面BMN ，所以平面BMN ⊥平面PAC .（方法二）连结PN ，因为PC ⊥平面PDA ，PA ⊂平面PDA ，所以PC PA ⊥因为PC MO ，所以PA MO ⊥，因为PC ⊥平面PDA ，PD ⊂平面PDA ，所以PC PD ⊥ 因为N 为CD 的中点，所以12PN CD =，由（1）12AN BC CD ==，所以AN PN = 又因为M 为PA 的中点，所以PA MN ⊥因为MN MO M ⋂=，MN ⊂平面BMN ，MO ⊂平面BMN所以PA ⊥平面BMN ，因为PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面BMN .考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为2，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆222x y a +=于相异两点,P Q .（1）若直线l 的斜率为12，求AP AQ的值；（2）若PQ AP λ=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）56AP AQ =（2）01λ<< 【解析】试题分析：（1）先利用待定系数法确定椭圆方程及圆的方程22142x y +=、224x y +=，再联立方程组解直线与椭圆，直线与圆的交点纵坐标，最后利用=PQy AP AQ y 求比值（2）设直线():2l y k x =+，联立方程组解直线与椭圆，直线与圆的交点纵坐标，利用11Q Py AQ AP y λ=-=-得函数关系式2111k λ=-+，最后根据函数值域得实数λ的取值范围.试题解析：解（1）由条件，222242a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为22142x y +=，圆的方程为224x y +=（方法一）直线l 的方程为()122y x =+，由()2212224y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得：23440x x +-=解得22,3A p x x =-=，所以24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以AP ==，又因为原点O 到直线l的距离d =所以5AQ ==56AP AQ == （方法二）由222224x y x y =-⎧⎨+=⎩得2340y y -=，所以85P y = 所以455386AP AQ =⨯=; （2）（方法一）若PQ AP λ=，则1AQAPλ=- 设直线():2l y k x =+，由()22242x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得，()22221840k x k ++-=即()()()22221420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以22242,21A P k x x k -=-=+，得222244,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以()22222222224416162212121k k k AP k k k ⎛⎫-+⎛⎫=++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，即221AP k =+，同理AQ =所以21111k λ=-=-+，由题意：20k >，所以01λ<<. （方法二）由方法一知，2241111114121Q P k y AQ k k AP y k k λ+=-=-=-=-++ 由题意：20k >，所以01λ<<.考点：直线与椭圆的交点18.（本小题满分14分）某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口. （1）若窗口ABCD 为正方形，且面积大于214m （木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；（2）若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值.【答案】（1）x <2）274m 【解析】试题分析：（1）长度与面积关系问题，可以考虑利用解不等式求范围，先根据直线与圆位置关系得弦长与圆心到直线距离（即正方形边长一半）关系，再根据面积大于214m 得一根木条长范围，注意四根木条将圆分成9个区域的隐含条件：x >2）思路为长度一定，求面积最值，可以考虑利用基本不等式求最值，设AB 所在木条长为am ，CD 所在木条长为bm ，则3a b +=，而圆中垂径定理得AB BD ==，因此()()2228872224ABCDa b a b S +--+==≤≤=矩形试题解析：解（1）设一根木条长为xcm，则正方形的边长为= 因为14ABCD S >四边形，所以2144x ->，即2x <又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x >所以x <（2）（方法一）设AB 所在木条长为am ，则BC 所在木条长为()3a m - 因为()()0,2,30,2a a ∈-∈，所以()1,2a ∈ABCD S ==矩形设()43262420f a a a a a =-++-，()()()()'3241822421234f a a a a a a a =-++=+--令()'0fa =，得32a =，或1a =-（舍去），或4a =（舍去） 列表如下：所以当32a =时，()max 349216f xf ⎛⎫==⎪⎝⎭，即max74S =（方法二）设AB 所在木条长为am ，CD 所在木条长为bm 由条件，2+26a b =，即3a b +=因为(),0,2a b ∈，所以()30,2ba =-∈，从而(),1,2ab ∈由于AB BD ==，ABCD S ==矩形()()2228872224a b a b +--+≤≤=当且仅当()31,22a b ==∈时，74ABCD S =矩形 答：窗口ABCD 面积的最大值为274m考点：直线与圆位置关系，基本不等式求最值19.（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()11n n n a b S n N ++=+∈.（1）若11,2n na b ==，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{}n b λ+为等比数列； （3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 【答案】（1）48a =（2）详见解析（3）详见解析 【解析】试题分析：（1）将条件化到项之间关系：当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=，直接依次计算：2344,6,8a a a ===（2）先化简条件11n n n a b S +=+：11111n nn q q b q a q=+---，解出1111111nn b q a q q⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，要使{}n b λ+为等比数列，可取11q λ=-，此时11n n b b q λλ-+=+（3）先将条件化到{}n a 项之间关系：当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=，()1n n n n n a b a b d a +--=，11n n n n b a d a a +=--，从而1111n n n n n n a a da a a a d-+--=---，再从充分性及必要性两方面进行论证，充分性证明实质根据1111n n n n n n a a a a a a -+--=--，利用叠加法求通项，必要性证明实质是由11dd=-求值 试题解析：解（1）由11,2n na b ==，知2344,6,8a a a ===（2）（方法一）因为11n n n a b S +=+，所以()11111n n n a q a q b q-=+-所以11111n nn q q b q a q =+---，即1111111nn b q a q q ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭所以存在实数11q λ=-，使得11111nn b q a q λ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 又因为0n b λ+≠（否则{}n b 为常数数列与题意不符）所以当2n ≥，11n n b b qλλ-+=+，此时{}n b λ+为等比数列所以存在实数11qλ=-，是{}n b λ+为等比数列； （方法二）因为11n n n a b S +=+① 所以当2n ≥时，111n n n a b S --=+② ①-②得，当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=③ 由③得，当2n ≥时，111111n n n n n n n a a b b b a a q q--++=+=+ 所以111111n n b b q q q -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，又因为101n b q +≠-（否则{}n b 为常数数列与题意不符）所以存在实数11qλ=-，是{}n b λ+为等比数列； （3）因为{}n b 为公差为d 的等差数列，所以由③得，当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--= 即()()11n n n n a a b d a +-=-，因为{}n a ，{}n b 各项均不相等，所以10,10n n a a d +-≠-≠ 所以当2n ≥时，11n nn nb a d a a +=--④ 当3n ≥时，1111n n n n b a d a a ---=--⑤ 由④-⑤，得当3n ≥时111111n n n n n n n n a a b b da a a a d d--+---==----⑥先证充分性：即由12d =证明23,,,,n a a a 成等差数列因为12d =，由⑥得1111n n n n n n a a a a a a -+--=--所以当3n ≥时，1111n n n n n n a a a a a a -+-+=--又0n a ≠，所以11n n n n a a a a +--=- 即23,,,,n a a a 成等差数列；再证必要性：即由23,,,,n a a a 成等差数列证明12d =因为23,,,,n a a a 成等差数列，所以当3n ≥时，11n n n n a a a a +--=-所以由⑥得，11111111n n n n n n n n n n n n a a a a da a a a a a a a d--+----=-==-----所以12d =，所以23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 考点：等差与等比数列20.（本小题满分16分）设函数()sin cos xf x xe a x x =-（a R ∈，其中e 是自然对数的底数）.（1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）若对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）极小值为()11f e-=-，无极大值；（2）(],1-∞（3）不存在 【解析】试题分析：（1）当0a =时，研究的函数不含参数，利用导数求极值：先求导函数()()1x f x e x '=+，再在定义域内求导函数零点1x =-，列表分析单调性变化趋势，得出结论函数()f x 的极小值为()11f e-=-，无极大值；（2）实质是()min 0f x ≥，当0a ≤时，因为sin cos 0x x ≥，所以()0f x ≥恒成立；当01a <≤时，因为()()()0=1cos201cos010x f x e x a x e a a '+-≥+-=-≥，()()00f x f ≥=；当1a >时，存在0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'0fα=，且在()0,α内，()()00f x f <=，舍去（3）若存在，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调函数，必有极值点，因此1a >，()'0fx =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一解0x ，当()00,x x ∈时，()()00f x f <=，即()f x 在()00,x 无零点；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上至多有一个零点，因此不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点. 试题解析：解：（1）当0a =时，()()(),1xxf x xe f x e x '==+令()0f x '=，得1x =- 列表如下：所以函数()f x 的极小值为()1f e-=-，无极大值； ①当0a ≤时，由于对于任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有sin cos 0x x ≥ 所以()0f x ≥恒成立，当0a ≤时，符合题意； ②当01a <≤时，因为()()()0=1cos201cos010xf x e x a x e a a '+-≥+-=-≥所以函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()()00f x f ≥=，即当01a <≤，符合题意； ③当1a >时，()'010f a =-<，'41044f e πππ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'0f α=，且在()0,α内，()'0f x <所以()f x 在()0,α上为减函数，所以()()00f x f <= 即当1a >时，不符合题意综上所述，a 的取值范围是(],1-∞; 不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，由（2）知，当1a ≤时，()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，且()00f =，故函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上无零点当1a >时，()()'=1cos2x f x e x a x +-令()()1cos2xg x e x a x =+-，()()'22sin2x g x e x a x =++当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()'0g x >，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 由()2010,1022g a g e a πππ⎛⎫⎛⎫=-<=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点0x ，即方程()'0f x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一解0x 且当()00,x x ∈时，()'0fx <，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x > 即函数()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 当()00,x x ∈时，()()00f x f <=，即()f x 在()00,x 无零点；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()200,022f x f f e πππ⎛⎫<=> ⎪⎝⎭ 所以()f x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点， 所以，当1a >时，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点 综上所述，不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点.考点：利用导数求极值，利用导数研究函数零点，利用导数研究不等式附加题21.A 【选修4-1】几何证明选讲（本小题满分10分）在ABC ∆中，2,A B C ∠=∠∠的平分线交AB 于点D ，A ∠的平分线交CD 于点E . 求证：AD BC BD AC ⋅=⋅.【答案】详见解析 【解析】试题分析：研究线段比值问题，一般利用三角形相似，因为ECA DCB ∠=∠，CAE B ∠=∠，因此ACDBCD ∆∆，从而AE ACBD BC=，以下转化为证明AD AE =，这可利用角相等推出. 试题解析：解：因为2,CAB B AE ∠=∠为CAB ∠的平分线，所以CAE B ∠=∠ 又因为CD 是C ∠的平分线，所以ECA DCB ∠=∠ 所以ACDBCD ∆∆，所以AE ACBD BC=，即AE BC BD AC ⋅=⋅ 又因为,AED CAE ECA ADE B DCB ∠=∠+∠∠=∠+∠ 所以AED ADE ∠=∠，所以AD AE = 所以AD BC BD AC ⋅=⋅ 考点：三角形相似21.B 【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵1 12a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线()0,x y b a b R +-=∈，求a b +的值. 【答案】4a b += 【解析】试题分析：先根据矩阵运算求轨迹：由1 122a x x ay y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()20x ay x y b +++-=，再根据两直线重合得21,222a b+=-=-，得4a b += 试题解析：解:设(),P x y 是直线20x y +-=上一点，由1 122a x x ay y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()20x ay x y b +++-=即2022a b x y ++-=，由条件得，21,222a b+=-=- 解得04a b =⎧⎨=⎩，所以4a b +=考点：矩阵运算21.C 【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩α为参数）以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=.若直线l 与曲线C 交于,A B ，求线段AB 的长.【解析】试题分析：先根据22cos +sin =1αα消去参数得曲线C 的普通方程：(224x y +=，根据tan y x θ=将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程y x =，最后根据圆中垂径定理得弦长试题解析：解：曲线C 的普通方程为(224x y +=，表示以)为圆心，2为半径的圆直线l 的直角坐标方程为y x =所以线段AB的长为=.考点：参数方程化普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理 21.D 【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知0,0,0x y z >>>，且1xyz =，求证：333x y z xy yz xz ++≥++ 【答案】详见解析 【解析】试题分析：根据三元均值不等式得3333x y z xyz ++≥，3313x y xy ++≥，3313y z yz ++≥，3313x z xz ++≥，四式相加，得333x y z xy yz xz ++≥++试题解析：解：因为0,0,0x y z >>> 所以3333x y z xyz ++≥3313x y xy ++≥，3313y z yz ++≥，3313x z xz ++≥将以上各式相加，得33333333333x y z xyz xy yz xz +++≥+++ 又因为1xyz =，从而333x y z xy yz xz ++≥++ 考点：三元均值不等式22.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>上一点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F . （1）求抛物线的方程；（2）若A 为抛物线上一点（异于原点O ），点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E .试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论.【答案】（1）26y x =（2）菱形. 【解析】试题分析：（1）利用抛物线定义化简条件“点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭到准线的距离为PO ”得PO PF =，即3,344p p ==（2）先确定点A 处切线的斜率为03y ，写出切线方程2000316y y x y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求出点B 坐标201,06y ⎛⎫-⎪⎝⎭，又033,,,022E y F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以FA BE =，再由抛物线的定义，得AF AE =，所以四边形AEBF 为菱形. 试题解析：解：（1）由题意点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭到准线的距离为PO 由抛物线的定义，点P 到准线的距离为PF 所以PO PF =，即点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭在线段OF 的中垂线上， 所以3,344p p ==，所以抛物线的方程为26y x = 由抛物线的对称性，设点2001,6A y y ⎛⎫⎪⎝⎭在x 轴的上方，所以点A 处切线的斜率为03y 所以点A 处切线的方程为2000316y y x y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭令上式中0y =，得2016x y =- 所以点B 的坐标为201,06y ⎛⎫-⎪⎝⎭，又033,,,022E y F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2200001313,,,6262FA y y BE y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以FA BE =，所以FA BE ，又AE FB故四边形AEBF 为平行四边形再由抛物线的定义，得AF AE =，所以四边形AEBF 为菱形. 考点：抛物线定义，直线与抛物线位置关系 23.（本小题满分10分）甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛()2n n N +∈局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为()P n .（1）求()2P 与()3P 的值；（2）试比较()P n 与()1P n +的大小，并证明你的结论.【答案】（1）()5216P =，()5316P =（2）()()1P n P n <+ 【解析】试题分析：（1）因为每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12，所以去掉平局，甲与乙胜的概率相等，即()24412(1)22C P =-，()36613(1)22C P =-.（2）同理可得()221(1)22n nn C P n =-，因此比较()P n 与()1P n +的大小，只需比较222n n n C 与1222(1)2n n n C +++大小，作商得()()()()()222112222222!4214!!2122!2121!1!nnnn n n n n n n n C n C n n n C C n n n ++++++===>++++ 试题解析：解：（1）若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局所以()44344411522216P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 同理()6664566661115322216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）在2n 局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为1n +局 故()222122222111222n nnn n n nn nP n CC C ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22122222222211112122222nnnn n nn n nnnn n nC CCC C ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()1222211122n n n C P n +++⎛⎫+=- ⎪⎝⎭又因为()()()()()()()()2222112222222!441214!!2122!22212121!1!nn n n n n n n n n n C n n C n n n C C n n n n n +++++++====>++++++ 所以122222222n n n n n n C C +++>，所以()()1P n P n <+ 考点：概率，组合数阶乘表示。
江苏省南通市2018届高三数学最后一卷备用题Word版含详细答案
江苏省南通市2018届⾼三数学最后⼀卷备⽤题Word版含详细答案数学备⽤题第Ⅰ卷（共60分）第Ⅱ卷（共90分）⼀、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）1.如图，已知圆锥的⾼是底⾯半径的2倍，侧⾯积为π，若正⽅形ABCD 内接于底⾯圆O ，则四棱锥P ABCD -侧⾯积为．2.已知实数,x y 满⾜22024010x y x y x y +-≥??+-≤??--≤?，且(1)20k x y k --+-≥恒成⽴，则实数k 的最⼩值是．3.函数()sin()(0,0,02)f x A x A ω?ω?π=+>>≤<在R 上的部分图象如图所⽰，则(2018)f 的值为．4.已知数列{}n a 的⾸项12a =，且*111()22n n a a n N +=+∈，则数列11n a -??的前10项的和为．5.甲、⼄两种⾷物的维⽣素含量如下表：分别取这两种⾷物若⼲并混合，且使混合物中维⽣素的含量分别不低于单位，则混合物重量的最⼩值为 kg ．6.在ABC ?中，5,4,AB AC ==且12AB AC ?=，设P 是平⾯ABC 上的⼀点，则()PA PB PC ?+的最⼩值是．7.如图，在平⾯四边形ABCD 中，,E G 分别为线段AD 的两个三等分点，,F H 分别为线段BC 的两个三等分点，且4,3,11EF GH EF GH ==?=，则AB DC ?的值为．8.已知函数()()y f x x R =∈满⾜()2(1)f x f x =-+，当[)0,1x ∈时，2()f x x =，若函数4()log (1)(0)y af x x a =-+>恰有个4零点，则a 的取值范围是．9.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知点P 为直线:40l kx y -+=上⼀点，点,M N 在圆22:(1)4C x y -+=上运动，且满⾜2MN =，若OM NP =，则实数k 的取值范围是． 10.在斜ABC ?中，若11tan 0tan tan C A B++=，则tan C 的最⼤值是．⼆、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.） 11.如图，已知圆O 的⽅程为224x y +=，过点(0,1)P 的直线l 与圆O 交于点,A B ，与x 轴交于点Q ，设,QA PA QB uPB λ==，求证：u λ+为定值.12. 秸秆还⽥是当今世界上普通重视的⼀项培肥地⼒的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的⼤⽓污染的同时还有增肥增产作⽤．某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还⽥，花137600元购买了⼀台新型联合收割机，每年⽤于收割可以收⼊6万元（已减去所⽤柴油费）；该收割机每年都要定期进⾏维修保养，第⼀年由⼚⽅免费维修保养，第⼆年及以后由该农机户付费维修保养，所付费⽤y （元）与使⽤年数n 的关系为：*(2,n )y kn b n N =+≥∈且，已知第⼆年付费1800元，第五年付费6000元．（1）试求出该农机户⽤于维修保养的费⽤()f n （元）与使⽤年数*()n n N ∈的函数关系；（2）这台收割机使⽤多少年，可使平均收益最⼤？（收益=收⼊-维修保养费⽤-购买机械费⽤）13.如图，某机械⼚欲从2AB =⽶，AD =ABEF 加⼯成某仪器的零件，裁剪要求如下：点,E F 分别在边,BC AD 上，且EB EF =，AF AE <.设BEF θ∠=，四边形ABEF 的⾯积为()f θ（单位：平⽅⽶）. （1）求()f θ关于θ的函数关系式，求出定义域；（2）当,BE AF 的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF 的⾯积最⼩，并求出最⼩值.14. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点，右焦点分别为,A F ，右准线为m ，（1）若直线m 上不存在点Q ，使AFQ ?为等腰三⾓形，求椭圆离⼼率的取值范围；（2）在（1）的条件下，当e 取最⼤值时，A 点坐标为(2,0)-，设B M N 、、是椭圆上的三点，且3455OB OM ON =+，求：以线段MN 的中⼼为原点，过,A F 两点的圆⽅程.15. 已知函数215()ln 24f x ax ax x a =-++，其中a R ∈. （1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线⽅程；（2）若函数()f x 存在两个极值点12,x x ，求12()()f x f x +的取值范围；（3）若不等式()4af x ax ≥-对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成⽴，求实数a 的取值范围. 16. 已知等差数列{}n a 与等⽐数列{}n b 是⾮常数的实数列，设{}*,k k A k a b k N ==∈.（1）请举出⼀对数列{}n a 与{}n b ，使集合A 中有三个元素；（2）问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论；三、解答题17. 已知正六棱锥S ABCDEF -的底⾯边长为2，⾼为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三⾓形，设随机变量X 表⽰所得三⾓形的⾯积.（1）求概率(P X =的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．18. 从集合{}1,2,3,4,5的所有⾮空⼦集中，等可能地取出m 个．（1）若1m =，求所取⼦集的元素既有奇数⼜有偶数的概率；（2）若2m =，记所取⼦集的元素个数之差为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ． 19. 如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中,11,3,4,AB AC AB AC B C AC ⊥==⊥．（1）求1AA 的长．（2）若1BP =，求⼆⾯⾓1P AC A --的余弦值．20. 如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知点(1,)(0)T t t <到抛物线22(0)y px p =>焦点的距离为2．（1）求,p t 的值；（2）设,A B 是抛物线上异于T 的两个不同点，过A 作y 轴的垂线，与直线TB 交于点C ，过B 作y 轴的垂线，与直线TA 交于点D ，过T 作y 轴的垂线，与直线,AB CD 分别交于点,E F ．求证：①直线CD 的斜率为定值；②T 是线段EF 的中点．试卷答案⼀、填空题4 3.2 4.1023 5.306.658-7. 5 8.4416log 6a <≤ 9.1k ≤12k ≥+10.⼆、填空题11.证明：当AB 与x 轴垂直时，此时点Q 与点O 重合，从⽽2λ=，23u =，83u λ+=. 当点Q 与点O 不重合时，直线AB 的斜率存在.设直线AB 的⽅程为1y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1,0Q k ??-.由题设，得112211,x x x ux k k λ+=+=，即12111,1u x k x kλ=+=+. 所以12121211112x x u x k kx kx x λ++=+++=+ 将1y kx =+代⼊224x y +=，得22(1)230k x kx ++-=，则0?>，12221k x x k +=-+，12231x x k=-+，所以222812331k k u k k λ-++=+=?- ?+综上，u λ+为定值83. 说明①本题亦可设点坐标求解；②若将圆换成椭圆，其他题设不变，解题⽅法类似.12.解：（1）依题意，当2n =，1800y =；5n =，6000y =，即1800260005k b k b =+??=+?，解得14001000k b =??=-?所以*0,1()14001000,2n f n n n n Nπ=?=?-≥∈?且（2）记使⽤n 年，年均收益为W （元），则依题意，2n ≥，[]1600001376001400(23...)1000(1)W n n n=-++++-- 1(1)(n 2)6000013760014001000(1)2n n n -+??=-+?--211372006000013760070030060300(700)n n n n n=-+-=-+6000040700≤-= 当且仅当137200700n n=，即14n =时取等号. 所以这台收割机使⽤14年，可使年均收益最⼤. 13.解：（1）过点F 作FM BE ⊥，垂⾜为M .在Rt FME ?中,2,,2MF EMF FEM πθ=∠=∠=所以22,ME sin tan EF θθ== 故22sin tan AF BM EF EM θθ==-=- 所以1()(AF )2f BE AB θ=+?122242()22sin tan sin sin tan θθθθθ=?-+?=- 据题意，AF BE <，所以2πθ<且当点E 重合于点C时，2,4EF EB FM πθ====所以函数42()sin tan f θθθ=-的定义域为,42ππ??（2）由（1）可知，22224(sin cos )42222()sin tan 2sin cos 2tan2221tan 2f θθθθθθθθθ+=-=--1112tan tan 3tan 222tan tan tan 222θθθθθθ=+--=+≥当且仅当13tan2tan2θθ=时，不等号取等号⼜,,,42284ππθππθ∈∈故tan,2263θθππθ===222sin sin tan BE θθθ===-= 答：当,BE AFABEF 的⾯积最⼩，最⼩值为.14.解：（1）设直线m 与x 轴的交点是Q ，依题意FQ FA ≥，即22,2,12a a a cc a c a c c c c a-≥+≥+≥+ 2112,210e e e e≥++-≤ 102e <≤（2）当12e =且A(2,0)-时，F(1,0)，故2,1a c ==所以b =椭圆⽅程是：22143x y += 设1122(,)(,)M x y N x y 、，则222211221,14343x y x y +=+= 由3455OB OM ON =+，得12123434(,)5555B x x y y ++ 因为B 是椭圆C 上⼀点，所以2212123434()()5555143x x y y +++=即222222112212123434()()()()2()14354355543x y x y x x y y ++++??+= 1212043 x x y y +=①因为圆过,A F 两点，所以线段MN 的中点的坐标为121(,)22y y +-⼜()2222212121212121111()23131224444y y y y y y x x y y +=++=-+-+ ? ???②由①和②得222121212111()3131324442y y x x x x +=-+-+- ? ? ???2123131212()(2)444416x x ??=-+=?-=所以圆⼼坐标为1(,2-故所求圆⽅程为22157(x )(y 2416++±=15.解：（1）当1a =时，215()ln 24f x x x x =-++，故3(1)4f =. 且1'()1f x x x=-+，故'(1)0f = 所以函数()f x 在1x =处的切线⽅程为304y -= （2）由215()ln 24f x ax ax x a =-++，0x >可得211'()ax ax f x ax a x x-+=-+=因为函数()f x 存在两个极值点12,x x ，所以12,x x 是⽅程'()0f x =的两个正根，即2 10ax ax -+=的两个正根为12,x x所以2121240110a a x x x x a =->?+==>?，即1212411a x x x x a ??>?+==所以22121112221515()()ln ln 2424f x f x ax ax x a ax ax x a +=-+++-++ ()()212121212152()ln 2ln 122a x x x x a x x x x a a a =+--+++=-- 令()2ln 1,4g a a a a =-->，故1'()20g a a=->，()g a 在(4,)+∞上单调递增，所以()(4)7ln 4g a g >=-。
江苏省南通市2018届高三数学最后一卷 --- 备用题
2x2 7x 2y2 4y
2
x
7 4
2
2
y
12
65 8
．
即 PA
PB PC
的最小值是
65 8
．
7． 如图，在平面四边形 ABCD 中， E，G 分别为线段 AD 的
两个三等分点，F，H 分别为线段 BC 的两个三等分点，且
则
0，
x1
x2
2k 1 k2
， x1x2
3 1 k2
．
所以
2
k
1
2k k
2
1
3 k
2
8 3
．
综上，
为定值
8 3
．
【说明】①本题亦可设点 Q 坐标求解；
②若将圆换成椭圆，其他题设不变，解题方法类似．
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试题绝密高考复习资料
12．秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气 污染的同时还有增肥增产作用．某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花 137600 元购买 了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入 6 万元（已减去所用柴油费）；该收割机每年都 要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，
单位，则混合物重量的最小值为 ▲ kg．
【答案】 30
6． 在△ABC 中，AB 5 ，AC 4 ，且 AB AC 12 ．设 P 是平面 ABC 上的一点，则 PA PB PC
2017届南通市三模数学试卷与参考答案word版.docx
南通市 2017 届高三第三次调研测试数学学科参考答案一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．1．设复数z a bi （a，b R，i为虚数单位）．若z(43i)i ，则ab的值是▲．【答案】122．已知集合 U{ x | x0} ， A={ x | x ≥ 2} ，则 e U A = ▲．【答案】 { x | 0 x2}3．某人随机播放甲、乙、丙、丁 4 首歌曲中的 2 首，则甲、乙 2 首歌曲至少有 1 首被播放的概率是▲．开始【答案】5S 1， k164．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲ ．S S k2k k 1【答案】 35．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用S10N分层抽样的方法抽取一个容量为500 的样本．其中大一年级Y输出 k 抽取 200 人，大二年级抽取100 人．若其他年级共有学生3000 人，则该校学生总人数是▲ ．结束【答案】 7500（第 4题）6．设等差数列a n的前n项和为 S n．若公差d 2 ，a510，则 S10的值是▲．【答案】 1107．在锐角△ABC中，AB 3，AC 4 ．若△ ABC的面积为3 3 ，则BC的长是▲．【答案】138．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2y2 1 （a0 ）经过抛物线y28x的焦点，则a2该双曲线的离心率是▲．【答案】5 29．已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π的扇形，则这个圆锥的高为▲．3【答案】 2210． 若直 y2x b 曲 ye xx 的一条切 ， 数b 的 是【答案】 111． 若正 数 x ，y 足 x y1 ，y4的最小 是▲．x y【答案】 812． 如 ，在直角梯形 ABCD 中， AB ∥ DC ， ABC 90 ，AB 3， BCDC2．若 E ，F 分 是 段 DC 和 BC 上uuur uuur的 点， AC EF 的取 范 是▲ ．A4 ，6【答案】▲ ．D E CFB（第 12 题）13． 在平面直角坐 系 xOy 中，已知点 A(0 ， 2) ，点 B(1， 1) ， P x 2y 22 上一 点，PB的最大 是 ▲ ．PA 【答案】 214． 已知函数 f (x)x ，x ≥a ， 2 f ( x) ax 恰有 2 个不同的零点， 数3， 若函数 g (x)x3x x a .a 的取 范 是▲．【答案】 (3，2)2二、解答 ：本大 共6 小 ，共90 分．15．（本小 分 14 分）已知函数 f ( x) Asin xπ（ A0 ， 0 ） 象的相 两条 称 之 的距离π 3，且 点 ( π， 3 ) ．3 2（ 1）求函数 f ( x) 的解析式；（ 2）若角足 f ( )3 f (π ，(0 ，π) ，求角的 ．) 12【解】 周期T ，（1）由条件，2π即2π2π，所以 1，即 f ( x) A sin xπ．⋯⋯3分3因 f ( x) 的 象 点( π，3) ，所以 Asin2π 3，所以A 1，3 232所以f ( x)sin xπ⋯⋯6分3 ．（2）由 f ( )3 f (π) 1 ，2得 sinπ 3sinπ π 1 ， ⋯⋯ 8分33 2 即 sinπ 3cosπ1 ，33所以2sinπ π 1 ，即 sin1⋯⋯ 123 32．分因0 ，π ，所以 π 5π． ⋯⋯14分6或616．（本小 分14 分）如 ，在四棱P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， AP =AD ，M ，N 分 棱 PD ， PC 的中点．P求 ：（ 1）MN ∥平面 PAB ；M N（ 2）AM ⊥平面 PCD ．DC【 】（1）因 M ， N 分 棱 PD ，PC 的中点，所以∥ ，⋯⋯2分ABMN DC（第 16又因 底面是矩形，所以∥，题）ABCDAB DC所以∥．⋯⋯4分MN AB又 AB 平面 PAB ， MN平面 PAB ，所以 MN ∥平面 PAB ．⋯⋯6分（2）因 AP =AD ， MPD 的中点，所以 AM ⊥ PD ．⋯⋯ 8 分因 平面 PAD ⊥平面 ABCD ，又平面 PAD ∩平面 ABCD = AD ， CD ⊥AD ， CD 平面 ABCD ，所以 CD ⊥平面 PAD ．⋯⋯10分又AM 平面 ，所以 ⊥ ．⋯⋯12分PADCD AM因 CD ， PD平面 PCD ， CD I PDD ，所以 AM ⊥平面 PCD ．⋯⋯14分17．（本小 分 14 分）x 22在平面直角坐 系xOy 中，已知y 1( ab 0) 的左焦点 F ( 1 ，0)，且a 2b 2y点 ，3) ．B2（1）求 的 准方程；（2）已知 的弦AB 点 F ，且与 x 不垂直．FxD O若 D x 上的一点，DADB ，求AB的 ．ADF，（第 17 题）c 1【解】（1）方法一：由 意，得1 9 ， ⋯⋯3分a 2 4b 2 1a 2b 2c 2，2，解得3.b 2所以 的 准方程x 2y 2 1．⋯⋯5分43方法二：由 意，知23 223 22a(11)( 2)(1 1)(2)4，所以 a 2．⋯⋯2分又 c 1 ， a 2 b 2c 2 ，所以 b3 ，2y 2所以 的 准方程x1 ．⋯⋯5分4 3（ 2）方法 1： 直 AB 的方程 y k( x 1) ．① 若 k =0 ，=2 =4，= =1，所以AB 4 ； ⋯⋯6分DF② 若 k ≠ 0 ，A( x 1， y 1) ， B(x 2， y 2 ) ，AB 的中点 M (x 0， y 0 ) ，代入 方程，整理得(3 4k 2 )x 28k 2x 4k 212 0，所以 x 14k26 k21， x 24k 2 6 k 2 1 ，3 4k 23 4k 2所以 x 03 4k 2，⋯⋯8分4k 2所以 y 0k( x 0 1)3k，34k 2所以 AB 的垂直平分 方程y3k1x 4k 2．3 4k 2k 3 4k 2因= ，所以点D的垂直平分 与x 的交点，DA DBAB所以 D ( k 2 2 ， ，3 4k 0)22所以 DFk1 3 3k．⋯⋯10分3 4k 23 4 k 2因 的左准 的方程x4 ，离心率1 ，2由 AF1，得 AF1 ( x 1 4) ，x 1 4 22同理 BF1( x 24) ．2所以 AB AFBF1 (x 1 x2 ) 4 x 0 4 12 12k 2．⋯⋯12分23 4k 2所以AB4 ．DF上，得AB的 4．⋯⋯14分DF方法 2： A( x 1， y 1) ， B( x 2， y 2 ) ， AB 的中点 M ( x 0， y 0 ) ，① 若直 AB 与 x 重合，AB4 ； ⋯⋯ 6 分DF② 若直 AB 不与 x 重合，A( x 1，y 1 ) ， B( x 2， y 2 ) ， AB 的中点 M (x 0，y 0 ) ，x 2y 211，由44得 x 1 x 2y 1y 2 0 ，x 22 y 22， 43441所以 (x 1 x 2 ) x 0 ( y 1 y 2 ) y 0 0 ，43所以直 AB 的斜率y 1y 23x 0 ， ⋯⋯8分x 1 x 24 y 0所以 AB 的垂直平分 方程yy4 y 0 ( xx ) ．3 x 0因 DA =DB ，所以点 D AB 的垂直平分 与 x 的交点，所以 D (x 0，0) ，所以 FDx 0 1．⋯⋯10分44同方法一，有 AB x 04 ，⋯⋯12分所以AB4．DF上，得AB的 4．⋯⋯14分DF方法 3：① 若直 AB 与 x 重合，AB4 ．⋯⋯6分DF② 若直 AB 不与 x 重合， A(x 1， y 1 ) ， B( x 2，y 2 ) ，AB 的中点x 1 x 2 y 1 y 2) ，M ( 2 ， 2所以 AB 的垂直平分 方程yy 1y 2x 1x2( xx 1x 2) ． 8 分2yy221y2y 2xx2令 y =0，得 x D1212( x 1 x 2 )2y 12 y 22x 12x 222( x 1x 2 )3(1 1 2 3(1 1 2224 x 1 ) 4 x 2 )x 1x 22( x 1 x 2 )1 x2 1 x 24 1 422( x 1 x 2 ) x 1 x 2 ．8 x 1 x 21 ．所以 DF8同方法一，有AB1( x 1x 2 ) 4 ，2⋯⋯ 10 分 ⋯⋯12 分所以AB4．DF上，得AB的 4．⋯⋯ 14 分DF18．（本小 分16 分）如 ，半AOB 是某 国主 教育基地一景点的平面示意 ，半径OA 的 1 百米．了保 景点，基地管理部 从道路l 上 取一点C ，修建参 路C -D -E -F ，且 CD ，DE ， EF 均与半 相切，四 形CDEF 是等腰梯形． DE ＝ t 百米， 修建每1 百米参，0 t≤ 1，53路的 用 f (t ) 万元， 算 f (t)1，18 t 2.t 3（ 1）用 t 表示 段 EF 的 ；（ 2）求修建 参 路的最低 用．D ElCAOB F（第 18 题）【解】 DE 与半 相切于点Q ， 由四 形 CDEFy是等腰梯形知 OQ l ， DQ ＝QE ，以 OF 所在DQE直 x ， OQ 所在直 y ，建立如所示的平面直角坐 系．xOy（1）方法一：由 意得，lAOB F x 点 E 的坐 ( t，1) ，C⋯⋯ 1 分2直 EF 的方程 y 1 k( xt) （ k0 ），2即 kx y 1 1tk0 ．2因 直 EF 与半 相切，所以 心 O 到直 EF 的距离|1 1tk |1 ，解得 k 4t⋯⋯3分2 ．k 2 1t 24代入 y 1k( xt) 可得，点 F 的坐 (t1，0) ．⋯⋯ 5分24 t所以t 1 t 2 t 1( 4 t2 )1 4t，EF即 EFt 14t （ 0t2）．⋯⋯ 7 分方法二： EF 切 O 于G ， OG ，DE点 E 作 EHAB ，垂足 H ．G因 EHOG ， OFGEFH ，GOFHEF ，lC AOH B F 所以 Rt △ EHF ≌Rt △ OGF ，⋯⋯ 3分所以 HFFGEF1t ．2由 EF 2 1 HF 21 (EF1 t )2 ， ⋯⋯5分2所以 EFt 1 （ 0t 2 ）．⋯⋯7分4 t（2） 修建 参 路的 用y 万元．① 当1t 13 20 t≤ 3 ， y 5 2( 4 t ) t 5( 2 t t ) ，由 y5( 3 2 0 ， y 在 0 1 上 减．2 t 2 )，3所以当 t13， y 取最小 32.5 ；⋯⋯11分② 当 11 t 116 3 23 t2 ， y (8 t)2( 4 t )t12t t2 t 2 ，所以 y1216 4 4( t 1)(3t 2 3t1)⋯⋯13分233，ttt因1t2 ，所以 3t 21 0 ，3t3且当 t( 1，1) ， y 0 ；当 t(1，2) ， y0 ，3所以y 在 ( 1 ， 上 减；在 (1，2) 上 增．3 1)所以当 t 1 ， y 取最小 24.5 ．由①②知，y 取最小24.5 ．⋯⋯15分答：（ 1）EF 的t1( 4t ) 百米；（ 2）修建 参 路的最低 用24.5万元．⋯⋯16分19．（本小 分16 分）已知 { a n } 是公差 d 的等差数列， { b n } 是公比 q 的等比数列， q 1 ，正整数E ( m ， p ， r ) （ mp r ）．（ 1）若 a 1b 2 a 2 b 3 a 3b 1 ，求 q 的 ；（ 2）若数 E 中的三个数构成公差大于1 的等差数列，且 a m b pa pb r a r b m ，求 q 的最大 ；（ 3）若 b n( 1) n 1 ， a m b m a p b p a rb r0 ， 写出 足条件的一个数E2和 的通 公式a n ．（注：本小 不必写出解答 程）【解】（1）由条件，知a 1b 1 q a 1 d b 1q 2 ，即 d b 1 ( q q 2 ) ，d b 1 q 2d b 1 ( q 2a 1 a 1 2db 1， 1).所以 2q 2 q 1 0 ．⋯⋯2分因 q1，所以q1．⋯⋯4分2（2）由 a m b p a p b r ，即 a p a m b p b r ，所以 ( p m)d b m (q p m q r m ) ，同理可得， ( rp) d b m (q rm1) ．⋯⋯ 6 分因 m ，p ，r 成等差数列，所以 pmrp1(r m) ．2q p m t ， 有 2t 2 t 1 0 ，因 q1，所以 t1，故 t1 ，即 q p m 1 ． ⋯⋯8分22所以 1 q 0 ．p m，奇数，又公差大于 1，所以≥ 3 ，⋯⋯10分111所以 | q | ( 1 ) ≥ ( 1 ) 3 ，即 q ≤ - ( 1)3， 2221当3 ， q 取最大 - ( 1) 3．⋯⋯ 12 分2（3） 足 意的数E (m ，m 2 ，m 3) ，此 通 公式a n( 1 )m1( 3 n 3m 1) ， mN * ．288例如： E (1，3，4 ) ， a n3 n 11 ． ⋯⋯ 16 分8820．（本小分16 分）已知函数 f ( x) ax2cos x （a R ）， f ( x)的函数g ( x)．（ 1）明：当 a12， g (x) 在R上增；（ 2）若 f ( x) 在x0 取得极小，求a的取范；（ 3）函数 h( x) 的定域D，区 (m，+) D ，若 h( x) 在 (m，+) 上是函数，称 h( x) 在D上广．明函数y f ( x)x ln x 在 (0 ，) 上广．【解】（1）当1122， f (x)2x cosx ，a所以 f ( x)x sin x ，即 g ( x)x sin x ，⋯⋯ 2分所以 g (x)1cos x≥ 0 ，所以 g ( x) 在R上增．⋯⋯ 4分（2）因 g (x)f( x)2ax si n x ，所以 g ( x) 2 a cos x ．①当 a≥1， g ( x)≥1cos x≥0 ，所以函数 f( x) 在R上增．2若 x 0， f(x)f(0)0 ；若x0， f ( x) f (0)0 ，所以 f (x) 的增区是(0 ，) ，减区是( ，0)，所以 f (x) 在x0 取得极小，符合意．⋯⋯ 6分②当 a≤ -11cos x ≤ 0 ，所以函数 f( x) 在R上减．2， g ( x) ≤若 x 0， f(x)f(0)0 ；若x0， f ( x) f (0)0 ，所以 f (x) 的减区是(0 ，) ，增区是( ，0)，所以 f (x) 在x0 取得极大，不符合意．⋯⋯8分③ 当1a 1 ，x0(0 ， ) ，使得 cos x02a ，即 g ( x0 )0 ，22但当 x(0 ， x0 ) ，cosx2a ，即g (x) 0，所以函数 f ( x) 在 (0 ， x0 ) 上减，所以 f ( x) f (0)0 ，即函数 f (x) 在 (0 ， x0 ) 减，不符合意．上所述， a 的取范是 1 ，．⋯⋯10分2（3） h( x)ax2cos x x ln x （x0 ），11①若 a0，注意到 ln x x ， ln x2x 2，即ln x 2 x．⋯⋯12分2当x 1 4a 1，2ah ( x)2ax sin x1ln x 2 ax2 x 22( x14a 1)( x14a 1 ) 0．2a2a1 4 a12所以m，函数 h( x) 在 (m ，) 上增．⋯⋯ 14分2a②若 a ≤ 0，当 x>1，h ( x) 2 ax sin x 1ln xsin x 1ln x <0．所以m 1 ，函数h( x)在( m，+) 上减，上所述，函数y f ( x)xln x 在区 (0 ， ) 上广．⋯⋯ 16分数学Ⅱ（附加题）21．【做】本包括 A、 B、 C、D 四小，定其中两，并在相的答区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，按作答的前两分．解答写出文字明、明程或演算步．A． [ 修 4- 1：几何明 ] （本小分10 分）如，已知 ABO的一条弦，点 P 弧 AB的中点，点 P 任作两条弦 PC， PD，分交于点，．PAB E F求： PE PC PF PD ．【】PA，PB， CD，BC．因∠ PAB =∠ PCB，又点 P 弧 AB的中点，所以∠PAB =∠PBA，所以∠PCB =∠．⋯⋯4分PBA又∠ DCB =∠ DPB，所以∠ PFE =∠ PBA+∠ DPB =∠PCB+∠ DCB=∠ PCD，所以，，，C 四点共．E F D所以 PE PC PF PD．⋯⋯10分B． [ 修 4 2：矩与 ] （本小分10 分）-AE FBOCD（第 21- A 题）PA B E FOCD已知矩1a，点 (1， 1) 在M的作用下得到点( 1， 5) ，求矩M M =b1的特征．【解】由意，1a11，即1a，11b151b，5解得 a 2 ， b 4 ，所以矩 M =12⋯⋯5分1．4矩 M 的特征多式 f (122．) 5 6 14令 f ( )0，得 1 2 ， 23 ，所以 M 的特征 2和3．⋯⋯10分C ． [ 修 4- 4：坐 系与参数方程 ] （本小 分 10 分）在极坐 系中，已知 C 的 心在极 上，且 极点和点π ，求 C 的极坐(3 2，)4方程．【解】方法一：因 心C 在极 上且 极点，所以 C 的极坐 方程=acos ，⋯⋯4分π 在 C 上，又因 点 (3 2，)4所以3 π，解得a 6 ．2= a cos 4所以 C 的极坐 方程=6cos ．⋯⋯10分π 方法二：点(3 2 ， ) 的直角坐 (3 ，3) ，4因 C 点 (0 ，0) ， (3 ，3) ，所以 心 C 在直 x y 30 上．又 心 C 在极 上，所以 C 的直角坐 方程( x 3)2 y 29 ．⋯⋯6分 所以 C 的极坐 方程 =6cos ． ⋯⋯ 10分D ． [ 修 4 5：不等式 ] （本小 分10 分）-已知 a ， b ，c ， d 是正 数，且 abcd1，求 ： a 5 b 5 c 5d 5 ≥ a b c d ．【 】因 a ， b ， c ， d 是正 数，且abcd 1，所以 a 5 b c d ≥ 4 4 a 5 bcd 4a ． ①⋯⋯ 4 分同理 b 5c da ≥ 4b ， ②c 5d a b ≥ 4c ， ③ d 5a bc ≥ 4d ，④将①②③④式相加并整理，即得5555b cd ． ⋯⋯ 10 分a b c d ≥ a 【必做 】第22、 23 ，每小 10 分，共 20 分． 在答 卡指定区域内作答，解答．．．．．．．写出文字明、明程或演算步．22．（本小分 10 分）如，在四棱S ABCD 中，SD平面，四形ABCD是直角梯形，ABCDADCDAB 90， SD AD AB 2，DC 1．S（1）求二面角 S BC A 的余弦；（2） P 是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面 SAD所成角的正弦2 26 ，求段E13CP 的．D CAPB （第 22 题）【解】（1）以D坐原点，建立如所示空直角坐系 D xyz，zD (0 ，0，0) ， B(2 ，2，0) ， C (0 ，1，0) ， S(0 ，0，2) ，Suur uuur uuur(0 ，0 ，2) ．所以 SB(2，2， 2) ， SC(0 ，1， 2) ， DS平面 SBC的法向量n1( x，y，z)，Euur uuur由 n1 SB0 ， n1SC 0，得 2x 2 y 2 z0 且 y 2 z 0 ．D取 z 1 ，得 x1，y 2，A x所以 n1( 1，2 ，1)是平面 SBC的一个法向量．因SD 平面，取平面的一个法向量n2(0，0 ，1)．ABC ABC二面角 S BC A的大小，所以 cosn1n21 | n1|| n 2|6由可知二面角S BC A二面角，CyPB ⋯⋯ 2 分6，6所以二面角S BC A的余弦 6 ．⋯⋯5分6 uuur(2 ，1，0)uuur(1， 1 ，1) ．（2）由（ 1）知 E (1，0，1) ， CB， CEuuur uuur uuur(2 ，1，0)(2，，0)，CP CB（0≤≤1），CPuuur uuur uuur(12，1，1) ．所以 PE CE CP易知 CDuuur(0 ，1，0) 是平面SAD的一个法向量．平面 SAD ，所以CDPE 与平面 SAD 所成的角，uuur uuur uuur uuur所以 sinPE CD1cos PE ，CD，⋯⋯8分uuur uuur5 22PE CD3即51226 ，得 1 或11 （舍）．2231339所以uuur21uuur5，CP(，，，CP333所以段 CP 的 5 ．⋯⋯10分323．（本小分10 分）已知函数f0(x)cxax db（ a0 ， acbd0 ）． f n ( x) f n 1 (x) 的数，n N *．（1）求 f 1( x) ， f 2 ( x) ；（2）猜想 f n ( x) 的表达式，并明你的．【解】（1） f1 (x) f 0( x)cx d bc ad2，ax b(ax b)f2 ( x) f1 ( x)cb ad 2 a(bc ad)．⋯⋯ 2分(ax b)2(ax b)3（2）猜想 f n ( x)(1)n1a n 1(bc ad )n!， n N*．⋯⋯ 4分(ax b) n1明：①当 n1，由（ 1）知正确，② 假当n k ，k N*正确，即有 f k ( x)(1)k 1a k 1(bc ad)k! ．(ax b)k1当 n k1，f k 1 (x) f k( x)(1)k 1a k1(bc ad )k!( ax b) k1(1)k1a k 1(bc ad )k!(ax b) (k 1)(1)k a k(bc ad )(k1)!．(ax b) k 2所以当 n k1成立．由①②得，一切n N *正确．⋯⋯10分。
【全国市级联考】江苏省南通市2018届高三数学最后一卷 --- 备用题
数学备用题第Ⅰ卷（共60分） 第Ⅱ卷（共90分）一、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）1.如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为 ．2.已知实数,x y 满足22024010x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，且(1)20k x y k --+-≥恒成立，则实数k 的最小值是 ．3.函数()sin()(0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<在R 上的部分图象如图所示，则(2018)f 的值为 ．4.已知数列{}n a 的首项12a =，且*111()22n n a a n N +=+∈，则数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前10项的和为 ． 5.甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素A （单位/kg ）维生素B （单位/kg ）甲 3 5乙4 2分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素的含量分别不低于单位，则混合物重量的最小值为kg ．6.在ABC ∆中，5,4,AB AC ==且12AB AC ⋅=，设P 是平面ABC 上的一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 ．7.如图，在平面四边形ABCD 中，,E G 分别为线段AD 的两个三等分点，,F H 分别为线段BC 的两个三等分点，且4,3,11EF GH EF GH ==⋅=，则AB DC ⋅的值为 ．8.已知函数()()y f x x R =∈满足()2(1)f x f x =-+，当[)0,1x ∈时，2()f x x =，若函数4()log (1)(0)y af x x a =-+>恰有个4零点，则a 的取值范围是 ．9.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为直线:40l kx y -+=上一点，点,M N 在圆22:(1)4C x y -+=上运动，且满足2MN =，若OM NP =，则实数k 的取值范围是 ． 10.在斜ABC ∆中，若11tan 0tan tan C A B++=，则tan C 的最大值是 ． 二、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）11.如图，已知圆O 的方程为224x y +=，过点(0,1)P 的直线l 与圆O 交于点,A B ，与x 轴交于点Q ，设,QA PA QB uPB λ==，求证：u λ+为定值.12. 秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用．某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花137600元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入6万元（已减去所用柴油费）；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用y （元）与使用年数n 的关系为：*(2,n )y kn b n N =+≥∈且，已知第二年付费1800元，第五年付费6000元．（1）试求出该农机户用于维修保养的费用()f n （元）与使用年数*()n n N ∈的函数关系； （2）这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入-维修保养费用-购买机械费用） 13.如图，某机械厂欲从2AB =米，22AD =米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF 加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点,E F 分别在边,BC AD 上，且EB EF =，AF AE <.设BEF θ∠=，四边形ABEF 的面积为()f θ（单位：平方米）.（1）求()f θ关于θ的函数关系式，求出定义域；（2）当,BE AF 的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，并求出最小值.14. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点，右焦点分别为,A F ，右准线为m ，（1）若直线m 上不存在点Q ，使AFQ ∆为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；（2）在（1）的条件下，当e 取最大值时，A 点坐标为(2,0)-，设B M N 、、是椭圆上的三点，且3455OB OM ON =+，求：以线段MN 的中心为原点，过,A F 两点的圆方程.15. 已知函数215()ln 24f x ax ax x a =-++，其中a R ∈.（1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 存在两个极值点12,x x ，求12()()f x f x +的取值范围； （3）若不等式()4af x ax ≥-对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 16. 已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 是非常数的实数列，设{}*,k k A k a b k N ==∈.（1）请举出一对数列{}n a 与{}n b ，使集合A 中有三个元素； （2）问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论；三、解答题17. 已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积. （1）求概率(3)P X =的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．18. 从集合{}1,2,3,4,5的所有非空子集中，等可能地取出m 个． （1）若1m =，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；（2）若2m =，记所取子集的元素个数之差为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ． 19. 如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中,11,3,4,AB AC AB AC B C AC ⊥==⊥． （1）求1AA 的长．（2）若1BP =，求二面角1P A C A --的余弦值．20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,)(0)T t t <到抛物线22(0)y px p =>焦点的距离为2． （1）求,p t 的值；（2） 设,A B 是抛物线上异于T 的两个不同点，过A 作y 轴的垂线，与直线TB 交于点C ，过B 作y 轴的垂线，与直线TA 交于点D ，过T 作y 轴的垂线，与直线,AB CD 分别交于点,E F ． 求证：①直线CD 的斜率为定值；②T 是线段EF 的中点．试卷答案一、填空题1.655 2.4 3.2 4.1023 5.30 6.658- 7. 5 8.4416log 6a <≤ 9.612k ≤-或612k ≥+ 10.22 二、填空题11.证明：当AB 与x 轴垂直时，此时点Q 与点O 重合， 从而2λ=，23u =，83u λ+=. 当点Q 与点O 不重合时，直线AB 的斜率存在.设直线AB 的方程为1y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则1,0Q k ⎛⎫-⎪⎝⎭. 由题设，得112211,x x x ux k k λ+=+=，即12111,1u x k x k λ=+=+. 所以12121211112x x u x k kx kx x λ++=+++=+ 将1y kx =+代入224x y +=，得22(1)230k x kx ++-=， 则0∆>，12221k x x k +=-+，12231x x k=-+， 所以222812331k k u k k λ-++=+=⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭综上，u λ+为定值83. 说明①本题亦可设点坐标求解；②若将圆换成椭圆，其他题设不变，解题方法类似.12.解：（1）依题意，当2n =，1800y =；5n =，6000y =，即1800260005k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得14001000k b =⎧⎨=-⎩所以*0,1()14001000,2n f n n n n Nπ=⎧=⎨-≥∈⎩且 （2）记使用n 年，年均收益为W （元），则依题意，2n ≥，[]1600001376001400(23...)1000(1)W n n n=-++++-- 1(1)(n 2)6000013760014001000(1)2n n n -+⎡⎤=-+⨯--⎢⎥⎣⎦211372006000013760070030060300(700)n n n n n ⎡⎤=-+-=-+⎣⎦ 13720060000270040700n n≤-⋅= 当且仅当137200700n n=，即14n =时取等号. 所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大. 13.解：（1）过点F 作FM BE ⊥，垂足为M . 在Rt FME ∆中,2,,2MF EMF FEM πθ=∠=∠=所以22,ME sin tan EF θθ==故22sin tan AF BM EF EM θθ==-=-所以1()(AF )2f BE AB θ=+⨯122242()22sin tan sin sin tan θθθθθ=⨯-+⨯=-据题意，AF BE <，所以2πθ<且当点E 重合于点C 时，22,2,4EF EB FM πθ====所以函数42()sin tan f θθθ=-的定义域为,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）由（1）可知，22224(sin cos )42222()sin tan 2sincos2tan2221tan 2f θθθθθθθθθ+=-=--11112tan tan 3tan 23tan 232222tan tan tan tan 2222θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+--=+≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当13tan2tan2θθ=时，不等号取等号又,,,42284ππθππθ⎡⎫⎡⎫∈∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ 故3tan,,23263θθππθ=== 2432223,AF sin 3sin tan 3BE θθθ===-= 答：当,BE AF 的长度分别为433米，233米时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，最小值为23平方米.14.解：（1）设直线m 与x 轴的交点是Q ，依题意FQ FA ≥，即22,2,12a a a cc a c a c c c c a-≥+≥+≥+ 2112,210e e e e≥++-≤ 102e <≤（2）当12e =且A(2,0)-时，F(1,0)，故2,1a c ==所以3b =椭圆方程是：22143x y += 设1122(,)(,)M x y N x y 、，则222211221,14343x y x y +=+= 由3455OB OM ON =+，得12123434(,)5555B x x y y ++ 因为B 是椭圆C 上一点，所以2212123434()()5555143x x y y +++=即222222112212123434()()()()2()14354355543x y x y x x y y ++++⋅⋅+= 1212043x x y y +=① 因为圆过,A F 两点，所以线段MN 的中点的坐标为121(,)22y y +- 又()2222212121212121111()23131224444y y y y y y x x y y +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=-+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦② 由①和②得222121212111()3131324442y y x x x x +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2123131212()(2)444416x x ⎡⎤=-+=⋅-=⎢⎥⎣⎦所以圆心坐标为121(,)24-± 故所求圆方程为2212157(x )(y )2416++±= 15.解：（1）当1a =时，215()ln 24f x x x x =-++，故3(1)4f =. 且1'()1f x x x=-+，故'(1)0f = 所以函数()f x 在1x =处的切线方程为304y -= （2）由215()ln 24f x ax ax x a =-++，0x >可得211'()ax ax f x ax a x x -+=-+=因为函数()f x 存在两个极值点12,x x ，所以12,x x 是方程'()0f x =的两个正根， 即210ax ax -+=的两个正根为12,x x所以2121240110a a x x x x a ⎧⎪∆=->⎪+=⎨⎪⎪=>⎩，即1212411a x x x x a ⎧⎪>⎪+=⎨⎪⎪=⎩所以22121112221515()()ln ln 2424f x f x ax ax x a ax ax x a +=-+++-++ ()()212121212152()ln 2ln 122a x x x x a x x x x a a a =+--+++=-- 令()2ln 1,4g a a a a =-->，故1'()20g a a=->，()g a 在(4,)+∞上单调递增，所以()(4)7ln 4g a g >=-故12()()f x f x +得取值范围是(7ln 4,)-+∞ （3）据题意，()4af x ax ≥-对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成立， 即22ln 430x ax ax a +-+≥对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成立.令2()2ln 43,1h x x ax ax a x =+-+>，则2221'()242ax ax h x ax a x x-+=+-=⋅①若0a =，当1x >时，()2ln 0h x x =>，故0a =符合题意； ②若0a >，（i ）若2440a a -≤，即01a <≤，则'()0h x >，()h x 在(1,)+∞上单调赠 所以当1x >时，()h(1)0h x >=，故01a <≤符合题意；（ii ）若2440a a ->，即1a >，令'()0h x =，得2111a ax a-=-<（舍去）， 2211a ax a-=+>，当2(1,)x x ∈时，'()0h x <，()h x 在2(1,)x 上单调减；当2(,)x x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 在2(,)x +∞上单调递增， 所以存在21x x =>，使得2()h(1)0h x <=，与题意矛盾，所以1a >不符题意.③若0a <，令'()0h x =，得2011111a a x a a-=-=+->当0(1,)x x ∈时，'()0h x >，()h x 在0(1,)x 上单调增；当0(,)x x ∈+∞时，'()0h x <，()h x 在0(,)x +∞上单调减.首先证明：024x a-> 要证：024x a->，即要证：2241a a a a -->-，只要证：223a a a ->-因为0a <，所以2222(23)()81140a a a a a ---=-+>，故223a a a ->- 所以024x a-> 其次证明，当0a <时，3ln 2x x a <-对任意的(1,)x ∈+∞都成立 令3()ln ,12t x x x a x =-+>，则1'()10t x x =-<，故()t x 在(1,)+∞上单调递增，所以3()(1)102t x t a <=-<，则3ln 02x x a -+<所以当0a <时，3ln 2x x a <-对任意的(1,)x ∈+∞都成立所以当24x a >-时，223()2ln 432()432h x x ax ax a x a ax ax a =+-+<-+-+即2()40h x ax x a ⎡⎤⎛⎫<--< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，与题意矛盾，故0a <不符题意， 综上所述，实数a 的取值范围是[]0,116.解：（1）68,(2)nn n a n b =-=-，则{}112244,,,1,2,4a b a b a b A ====（2）不妨设(0),n n n a a bn b b pq =+≠=，由nn n n a ba b a bn pq n q p p=⇔+=⇒+= 令,,(0)a bs t t p p==≠，原问题转化为n 关于的方程 0n q tn s --=①最多有多少个解.下面我们证明：当0q >时，方程①最多有2个解：0q <时，方程①最多有3个解 当0q >时，考虑函数()xf x q tx s =--，则'()ln xf x q q t =- 如果ln 0t q <，则()f x 为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果ln 0t q >，且不妨设由'()0f x =得'()f x 由唯一零点0log ln xtx q=，于是当0x x >时， '()f x 恒大于0或恒小于0，当0x x <时，'()f x 恒小于0或恒大于0这样()f x 在区间0(0,)x 与0(,)x +∞上是单调函数，故方程①最多有2个解 当0q <时，如果0t > 如果n 为奇数，则方程①变为0nq tn s ++=显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程① 如果n 为偶数，则方程①变为0nq tn s --=，由0q >的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个这样，最多有3个正数满足方程①对于0t <，同理可以证明，方程①最多有3个解. 综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个. 再由（1）可知集合A 中的元素个数最多有3个.三、解答题17.解（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有3735C =种取法，其中3X =的三角形如ABF ∆，这类三角形共有6个 因此3766(=3)35P X C ===. （2）由题意，X 的可能取值为3,2,6,23,33 其中3X =的三角形如ABF ∆，这类三角形共有6个；其中2X =的三角形有两类，，如PAD ∆（3个），PAB ∆（6个），共有9个；其中6X =的三角形如PBD ∆，这类三角形共有6个；其中23X =的三角形如CDF ∆，这类三角形共有12个； 其中33X =的三角形如BDF ∆，这类三角形共有2个； 因此69(=3),(=2)3535P X P X ====6122(=6),(=23),(=33)353535P X P X P X ======所以随机变量的概率分布列为：X326 23 33()P X635 935635 1235 235所求数学期望6961223636618()3262333353535353535E X ++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 18.解：（1）当1m =时，记事件A ：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”. 则集合{}1,2,3,4,5的非空子集数为52131-=，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为3217-=，全为偶数的子集数为2213-=， 所以31(73)21()3131P A -+==（2）当2m =时，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4则11112222222223111022(0)46593C C C CC C C C P C ξ+++==== 122334455555555523120541(1)46593C C C C C C C C P C ξ+++==== 13243555555523111022(2)46593C C C C C C P C ξ++==== 14255555231357(3)46593C C C C P C ξ+==== 155523151(4)46593C C P C ξ====所以ξ的数学期望4122411110()12349393939393E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19.解：（1）分别1,,AB AC AA 以所在直线为,,x y z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系1A BCA -， 设1AA t =，则1(0,0,0),(0,4,)A C t1(3,0,),(0,4,0)B t C所以11(0,4,),(3,4,),AC t BC t ==--， 因为11B C AC ⊥，所以110AC BC ⋅=， 即2160t -=，解得4t = 所以1AA 的长为4.（2）因为1BP =，所以(3,0,1)P ， 又1(0,4,0),(0,0,4)C A ，故11(0,4,4),(3,0,3)AC A P =-=- 设(,,)n x y z =为平面1PA C 的法向量，则11n A Cn A P⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即440330y z x z -=⎧⎨-=⎩取1z =，解得1,1y x ==∴(1,1,1)n =为平面1PA C 的一个法向量， 显然，(3,0,0)AB =为平面1A CA 的一个法向量 则33cos 33111n AB n AB n AB⋅⋅==++⋅据图可知，二面角1P A C A --大小的余弦值为20.解：（1）由抛物线定义知，122p+= 所以2p =，将点(1,t)(t 0)T <代入抛物线得24y x =，2t =（2）设221212(,),(,)44y y A y B y①则直线TA 的方程为：12122(1)14y y x y ++=-- 令2y y =得，22(2)(2)14y y x +-=+，所以222(2)(2)(1,)4y y D y +-+同理111(2)(2)(1,)4y y D y +-+所以直线CD 的斜率为21212112121(2)(2)(2)(2)4()444y y y y y y y y y y --==-+-+---（定值）②设点,E F 的横坐标分别为,E F x x由①知，直线CD 的方程为：121(2)(2)14y y y y x +--=-++令2y =-得，121(2)(2)214F y y x y +-=+++ 又直线AB 的方程为：11124()y y x x y y -=-+令2y =-得，1121(2)()4E y y y x x ++=-所以1121211(2)()(2)(2)214422E Fy y y y y x y x x +++--+++++=2111122112214228422448x y y y y y y y y y y ----++++--+=211488x y -+=1=所以T 是线段EF 的中点.21。
南通市2017届高三数学最后一卷 --- 参考答案与评分建议
2sin x π ， 2 3
…… 4 分 …… 6 分
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 T 2π 4π ． 1 2 （2）由 f ( 2 ) 2 ，得 2sin 2 ，即 sin 1 ． 2 3 2 3 3 3 所以 f (2 ) 2sin( ) 3 2
因为 x 0 ，所以 x2 1 ，此时切点为 ( 1 , 5 ) ，切线方程为 y 3x 4 ． 12 分 2 2 2 令 y 5 ，得 x 1 ，即点 Q 在线段 DE 上且距离 y 轴 1 百米． 3 3 答：当点 Q 在线段 DE 上且距离 y 轴 1 百米，通道 PQ 最短． 3 （方法二）当直线 PQ 与边界曲线相切时， PQ 最短． 若直线 PQ 斜率不存在，则直线方程为 x 4 ，不符合题意； 3 若直线 PQ 斜率存在，设 PQ 方程为 y k ( x 4 ) ，代入 y x 1 ， 3 x 化简得 (k 1) x 2 4 kx 1 0 ． 3 当 k 1 时，方程有唯一解 x 3 （舍去） ， 4 当 k 1 时，因为直线与曲线相切，所以 ( 4 k ) 2 4(k 1) 0 ， 3 解得 k 3 或 k 3 （舍去） ， 4 此时直线 PQ 方程为 y 3x 4 ， 令 y 5 ，得 x 1 ，即点 Q 在线段 DE 上且距离 y 轴 1 百米． 3 3 答：当点 Q 在线段 DE 上且距离 y 轴 1 百米，通道 PQ 最短． 3 18. （本小题满分 16 分） …… 14 分 …… 12 分 …… 10 分 …… 14 分 …… 8 分
南通市2018届高三数学最后一卷
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．
2 m } ．若 A 4 } ， B { 3， 1． 已知集合 A { 0 ，
3 4 } ，则实数 m 的值为 ▲ ． B { 0 ，， ▲ ．
2． 设复数 z
2i （ i 为虚数单位） ，则 z 的模为 1 i
8 899 9 0112 ．
6． 函数 y
ln(1 2x ) 的定义域为
▲
．
S←1 i←1 While S≤13 S←S＋2i i←i＋1 End While Print i
（第 4 题）
7． 已知等差数列 an 的公差 d 为 ▲ ．
3 ， Sn 是其前 n 项和．若 a1 ，a2 ，a9 成等比数列，则 S5 的值
8． 已知圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为 2 的扇形，则该圆锥的体积为 3 9． 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ax y 2a ▲
，求实数 的取值范围．
（本小题满分 16 分） 20． 已知函数 f ( x)
ax
，直线 l 是函数 f ( x) 的图象在 x xe x （ e 为自然对数的底数）
0 处的切线．
（1）求直线 l 的方程； （2）设 x1 ，x2 （ x1 ． x2 ）是函数 f ( x) 的两个零点（ f ( x) 是函数 f ( x) 的导函数）
500 30 x 元．要使日获利不少于 1300 元，则该厂日产量的最小值为
y2 b2
1(a
b
1) ，则当该椭圆的四个 0) 经过点 ( 2 ，
▲ ．
顶点构成的四边形的周长最小时，椭圆的离心率 e 的值为 12．如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD， AB 其中 x ，y R ，则 x
江苏省南通市2017-2018学年高三数学模拟试卷(十) Word版含解析
2017-2018学年江苏省南通市高考数学模拟试卷（十）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∩B）等于．2．已知b∈R，若（2+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|=．3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为．4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是．5．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是．6．：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假，则实数a的取值范围是．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是．8．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD=2，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．10．若曲线：y=a x+1（a＞0且a≠1）在点（0，2）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=．11．实数x，y满足4x2﹣5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则+=．12．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2（f（a））2的a的取值范围为．13．已知圆O：x2+y2=1，点C为直线l：2x+y﹣2=0上一点，若圆O存在一条弦AB垂直平分线段OC，则点C的横坐标的取值范围是．14．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4﹣a1=88，则q的所有可能的值构成的集合为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α，β均为锐角，且，．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．（I）求证：DE∥平面ABC；（II）平面AEF⊥平面BCC1B1；求三棱锥A﹣BCB1的体积．17．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=，点E，F的直径AB上，且∠ABC=．（1）若CE=，求AE的长；（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．18．已知椭圆C方程为+=1（a＞n＞0），离心率e=，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1．（1）求椭圆C方程；（2）D，E，F为曲线C上的三个动点，D在第一象限，E，F关于原点对称，且|DE|=|DF|，问△DEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时D点的坐标；若不存在，请说明理由．19．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．20．对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q，使得c n+1=pc n+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{c n}是“M类数列”．（1）若a n=2n，b n=3•2n，n∈N*，判断数列{a n}，{b n}是否为“M类数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}是“M类数列”，则数列{a n+a n+1}、{a n•a n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=3•2n（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n，求S n的表达式，并判断{a n}是否是“M类数列”．选做题[选修4-1：几何证明选讲](任选两个)21．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切线，且CA=8，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N．（Ⅰ）写出矩阵M、N；（Ⅱ）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y=x的直线，求直线l的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．解答题25．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X 的分布列与数学期望EX．26．记（1+）（1+）…（1+）的展开式中，x的系数为a n，x2的系数为b n，其中n∈N*．（1）求a n；（2）是否存在常数p，q（p＜q），使b n=（1+）（1+）对n∈N*，n≥2恒成立？证明你的结论．2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷（十）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∩B）等于{1，3，4} ．【考点】补集及其运算．【分析】首先求出A∩B，然后对其进行补集运算．【解答】解：由已知，A∩B={2}，所以∁U（A∩B）={1，3，4}；故答案为：{1，3，4}．2．已知b∈R，若（2+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|=．【考点】复数求模．【分析】利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：（2+bi）（2﹣i）=4+b+（2b﹣2）i为纯虚数，∴，解得b=﹣4．则|1+bi|=|1﹣4i|==．故答案为：．3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为100．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率直方图的意义，由前三个小组的频率可得样本在[50，60）元的频率，计算可得样本容量．【解答】解：由题意可知：前三个小组的频率之和=（0.01+0.024+0.036）×10=0.7，∴支出在[50，60）元的频率为1﹣0.7=0.3，∴n的值=；故答案100．4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是5．【考点】循环结构．【分析】根据所给的循环结构知第一个输出的数字是1，第二个输出的数字是1+2=3，第三个输出的数字是3+2=5．【解答】解：由题意知第一个输出的数字是1第二个输出的数字是1+2=3第三个输出的数字是3+2=5故答案为：55．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，由此利用对立事件概率计算公式能求出选到的2名同学中至少有1名男同学的概率．【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，基本事件总数n==10，选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，∴选到的2名同学中至少有1名男同学的概率：p=1﹣=．故答案为：．6．：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假，则实数a的取值范围是[﹣16，0] ．【考点】的真假判断与应用．【分析】将条件转化为x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，从而解出实数a的取值范围．【解答】解：：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假，即x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，即：a2+16a≤0，解得﹣16≤a≤0，故实数a的取值范围为[﹣16，0]．故答案为：[﹣16，0]．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是y=2sin（x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图可知，A=2，由点（0，1）在函数的图象上，可得sinφ=，利用五点作图法可解得φ，又点（﹣，0）在函数的图象上，可得﹣ω+=kπ，k∈Z，进而解得ω，从而得解该函数的解析式．【解答】解：∵由图知A=2，y=2sin（ωx+φ），∵点（0，1），在函数的图象上，∴2sinφ=1，解得：sinφ=，∴利用五点作图法可得：φ=，∵点（﹣，0），在函数的图象上，可得：2sin（﹣ω+）=0，∴可得：﹣ω+=kπ，k∈Z，解得：ω=﹣，k∈Z，∵ω＞0，∴当k=0时，ω=，∴y=2sin（x+）．故答案为：y=2sin（x+）．8．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD=2，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于．【考点】简单线性规划；平面向量的基本定理及其意义．【分析】因为是正方形，所以可考虑建立平面直角坐标系：以O为原点，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，这时候可求出，所以设P（x，y），所以根据已知条件可得：（x，y）=（2β，α），所以可用x，y表示α，β，并得到，这样求的最大值即可．而x，y的取值范围便是△BCD上及其内部，所以可想着用线性规划的知识求解．所以设z=，y=，所以z表示直线在y轴上的截距，要求α+β的最大值，只需求截距z的最大值即可，而通过图形可看出当该直线过B点时截距最大，所以将B点坐标带入直线方程，即可得到z的最大值，即α+β的最大值．【解答】解：分别以边OA，OC所在直线为x，y轴建立如图所实施平面直角坐标系；则：，设P（x，y），；∴（x，y）=α（0，1）+β（2，0）=（2β，α）；∴；∴；设z=，则：y=，所以z是直线y=在y轴上的截距；由图形可以看出，当该直线经过B（1，1）点时，它在y轴的截距z最大，最大为；∴α+β的最大值是．故答案为：．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】连接B1D1∩A1C1=F，证明以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，利用体积公式，即可得出结论．【解答】解：连接B1D1∩A1C1=F，平面A1BC1∩平面BDD1B1=BF，因为E∈平面A1BC1，E∈平面BDD1B1，所以E∈BF，连接BD，因为F是A1C1的中点，所以BF是中线，又根据B1F平行且等于BD，所以=，所以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，所以V1=×BB1，而V2=×BB1，所以=．故答案为：．10．若曲线：y=a x+1（a＞0且a≠1）在点（0，2）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= e2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a的方程，即可解得a．【解答】解：y=a x+1的导数为y′=a x lna，即有曲线在点（0，2）处的切线斜率为k=lna，由于切线与直线x+2y+1=0垂直，则lna•（﹣）=﹣1，解得a=e2，故答案为：e2．11．实数x，y满足4x2﹣5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则+=．【考点】基本不等式．【分析】由2xy≤x2+y2可得5xy=4x2+4y2﹣5≤（x2+y2），从而可求s的最大值，由x2+y2≥﹣2xy及5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5可得xy的范围，进而可求s的最小值，代入可求【解答】解：∵4x2﹣5xy+4y2=5，∴5xy=4x2+4y2﹣5，又∵2xy≤x2+y2∴5xy=4x2+4y2﹣5≤（x2+y2）设S=x2+y2，4s﹣5≤s∴s即∵x2+y2≥﹣2xy∴5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5∴xy∴﹣xy∴S=x2+y2≥﹣2xy∴∴+==故答案为：12．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2（f（a））2的a的取值范围为[，+∞）∪{}．【考点】分段函数的应用．【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t2，讨论t＜1，及t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式或方程即可得到所求范围．【解答】解：令f（a）=t，则f（t）=2t2，若t＜1时，由f（t）=2t2得3t﹣1=2t2，即2t2﹣3t+1=0，得t=1（舍）或t=，当t≥1时，2t2=2t2成立，即t≥1或t=，若a＜1，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；此时≤a＜1，由f（a）=得3a﹣1=得a=，满足条件，若a≥1，由f（a）≥1，即2a2≥1，∵a≥1，∴此时不等式2a2≥1恒成立，由f（a）=得2a2=得a=±，不满足条件，综上≤a＜1或a≥1．即a≥．综上可得a的范围是a≥或a=．故答案为：[，+∞）∪{}13．已知圆O：x2+y2=1，点C为直线l：2x+y﹣2=0上一点，若圆O存在一条弦AB垂直平分线段OC，则点C的横坐标的取值范围是（0，）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】设C（x0，2﹣2x0），得线段OC的中点坐标，则只要中点能落在圆的内部，就存在弦AB垂直平分线段OC，所以代入圆的方程，即可确定点C的横坐标的取值范围．【解答】解：设C（x0，2﹣2x0），则线段OC的中点坐标是D（x0，1﹣x0），则只要中点能落在圆的内部，就存在弦AB垂直平分线段OC，所以代入圆的方程，（x0）2+（1﹣x0）2＜1，解得0＜x0＜．故答案为：（0，）．14．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4﹣a1=88，则q的所有可能的值构成的集合为{}．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】先假设数列的项，利用三项依次成公比为q的等比数列，建立等式，从而可得公差的范围及取值，由此，即可求得结论．【解答】解：设a1，a1+d，a1+2d，a1+88，其中a1，d均为正偶数，则∵后三项依次成公比为q的等比数列∴，整理得，所以（d﹣22）（3d﹣88）＜0，即，则d可能为24，26，28，当d=24时，a1=12，；当d=26时，（舍去）；当d=28时，a1=168，；所以q的所有可能值构成的集合为．故答案为二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α，β均为锐角，且，．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）根据α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α﹣β）的值．（2）由（1）可得，，，根据cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式求得结果．【解答】解：（1）∵，从而．又∵，∴．…利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且，解得．…（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴．…∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…==．…16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．（I）求证：DE∥平面ABC；（II）平面AEF⊥平面BCC1B1；求三棱锥A﹣BCB1的体积．【考点】平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【分析】（1）欲证DE∥平面ABC，根据线面平行的判定定理可知，证线线平行，取AB中点G，连DG，CG，只需证DE∥GC即可；（2）欲证平面AEF⊥平面BCC1B1，根据面面垂直的判定定理可知，证AF⊥平面BCC1B1即可，然后再根据体积公式求出三棱锥A﹣BCB1的体积．【解答】解：（I）取AB中点G，连DG，CG在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∴BCC1B1是矩形．∵D，E分别为AB1，CC1的中点，∴，∴是平行四边形，∴DE∥GC．∵GC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC．（II）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∴AF⊥CC1∵AB=AC，F为BC中点，∴AF⊥BC又BC∩CC1=C∴AF⊥平面BCC1B1，又AF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面BCC1B1AF⊥平面BCC1B1，在由已知，RT△ABC中，AB=AC=2，∴BC=2，∴17．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=，点E，F的直径AB上，且∠ABC=．（1）若CE=，求AE的长；（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用余弦定理，即可求AE的长；（2）设∠ACE=α，求出CF，CE，利用S△CEF=，计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．【解答】解：（1）由题意，△ACE中，AC=4，∠A=，CE=，∴13=16+AE2﹣2×，∴AE=1或3；（2）由题意，∠ACE=α∈[0，]，∠AFC=π﹣∠A﹣∠ACF=﹣α．在△ACF中，由正弦定理得，∴CF=；在△ACE中，由正弦定理得，∴CE=，该空地产生最大经济价值时，△CEF的面积最大，S△CEF==，∵α∈[0，]，∴0≤sin（2α+）≤1，∴α=时，S△CEF取最大值为4，该空地产生最大经济价值．18．已知椭圆C方程为+=1（a＞n＞0），离心率e=，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1．（1）求椭圆C方程；（2）D，E，F为曲线C上的三个动点，D在第一象限，E，F关于原点对称，且|DE|=|DF|，问△DEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时D点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1，可得=1，又e==，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（k≠0）．联立，（2）设直线EF的方程为：y=kx，则直线OD的方程为：x．解得，．可得：|EF|2=4（+）．同理可得：x D，y D．|OD|2．设△DEF的面积=S．可得S2=，化简利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1，∴=1，又e==，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1，c=．∴椭圆C的方程为=1．（2）设直线EF的方程为：y=kx，则直线OD的方程为：x．（k≠0）．联立，解得=，=．∴|EF|2=4（+）=．同理可得：x D=，y D=．|OD|2=．设△DEF的面积=S．∴S2==××==f（k），令1+k2=t＞1，则f（k）==≥，当且仅当t=8，k=﹣时取等号．∴△DEF的面积存在最小值．此时D．19．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）首先求出F（x）的导函数，然后分类讨论，当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ），又，求出g（x）的导函数，然后设出0＜x1＜x2，即证，再设，即证：，再进一步设出k（t），求出k（t）的导函数，则结论可证．【解答】（Ⅰ）解：在区间（0，+∞）上，．（1）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；（2）当a＞0时，令f′（x）＞0，即，得．∴f（x）的单调增区间为（0，）；综上所述：当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）由F（x）=f（x）+ax2+ax=lnx﹣ax+ax2+ax=lnx+ax2得（x＞0），当a≥0时，恒有F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，令F′（x）=0，得，x∈（0，），F′（x）＞0，F′（x）单调递增，x∈（，+∞），F′（x）＜0，F′（x）单调递减．∴．F（x）无极小值．综上所述：a≥0时，F（x）无极值，a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ）证明：，又，∴g′（x0）=，要证k＞g′（x0），即证，不妨设0＜x1＜x2，即证，即证，设，即证：，也就是要证：，其中t∈（1，+∞），事实上：设t∈（1，+∞），则=，∴k（t）在（1，+∞）上单调递增，因此k（t）＞k（1）=0，即结论成立．20．对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q，使得c n+1=pc n+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{c n}是“M类数列”．（1）若a n=2n，b n=3•2n，n∈N*，判断数列{a n}，{b n}是否为“M类数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}是“M类数列”，则数列{a n+a n+1}、{a n•a n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=3•2n（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n，求S n 的表达式，并判断{a n}是否是“M类数列”．【考点】数列的应用．【分析】（1）运用M类数列定义判断，（2）{a n}是“M类数列”，得出a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，求解a n+1+a n+2，a n+1a n+2的式子，结合定义判断即可（3）整体运用a n+a n+1=3.2n（n∈N*），分类得出：当n为偶数时，S n=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，n为奇数时，S n=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，化简即可得出S n，再运用反证法证明即可．【解答】解：（1）因为a n+1=a n+2，p=1，q=2是“M类数列”，b n+1=2b n，p=2，q=0是“M类数列”．（2）因为{a n}是“M类数列”，所以a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，所以a n+1+a n+2=p（a n+1+a n+2）+2q，因此，{a n+a n+1}是“M类数列”．因为{a n}是“M类数列”，所以a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，所以a n+1a n+2=p2（a n a n+1）+pq（a n+a n+1）+q2，当q=0时，是“M类数列”；当q≠0时，不是“M类数列”；（3）当n为偶数时，S n=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，当n为奇数时，S n=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，所以S n=．=2n+1﹣2﹣（2n﹣3）=2n+1，当n为偶数时a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣3﹣（2n﹣2）=2n﹣1（n≥3），当n为奇数时，a n=S n﹣S n﹣1所以a n=假设{a n}是“M类数列”，当n为偶数时，a n+1=2n+1﹣1=pa n+q=p（2n+1）+qp=2，q=﹣3，当n为奇数时，a n+1=2n+1+1=pa n+q=p（2n﹣1）+q，p=2，q=3，得出矛盾，所以{a n}不是“M类数列”．选做题[选修4-1：几何证明选讲](任选两个)21．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切线，且CA=8，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（2）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．【解答】（1）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D．又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E．∴AD∥EC．（2）解：如图，∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，PA=AC﹣PC=6，即62=PB•（PB+9），∴PB=3．在⊙O2中，PA•PC=BP•PE．∴PE=4．∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，且DE=DB+BP+PE=9+3+4=16，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N．（Ⅰ）写出矩阵M、N；（Ⅱ）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y=x的直线，求直线l的方程．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】（Ⅰ）通过变换的特征即得结论；（Ⅱ）由（I）得，通过题意可得，利用x′=y′计算即可．【解答】解：（Ⅰ）通过题意，易得M=，N=；（Ⅱ）由（I）得，由=，得，由题意得x′=y′得3x=﹣2y，∴直线l的方程为3x+2y=0．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．由，得，即，∴，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x﹣y+=0的距离d=＞1．∴直线l与曲线C相离；（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，则x+y=sinθ+cosθ=，∴x+y的取值范围是．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述．解答题25．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X 的分布列与数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A i，则，（i=0，1，2，3，4），由此能求出这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率．（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4），P（X=3）=P （A1）+P（A3），P（X=4）=P（A2），由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A i（i=0，1，2，3，4），则，（i=0，1，2，3，4），这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率=．（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4）==，P（X=3）=P（A1）+P（A3）=+=，P（X=4）=P（A2）==，X∴EX==．26．记（1+）（1+）…（1+）的展开式中，x的系数为a n，x2的系数为b n，其中n∈N*．（1）求a n；（2）是否存在常数p，q（p＜q），使b n=（1+）（1+）对n∈N*，n≥2恒成立？证明你的结论．【考点】数学归纳法．【分析】（1）根据多项式乘法运算法则，可得a n=++…+，利用等比数列的求和公式，可得结论；（2）先计算b2，b3的值，代入b n=（1+）（1+），解得p=﹣2，q=﹣1，再用数学归纳法证明．【解答】解：（1）根据多项式乘法运算法则，得a n=++…+=1﹣．…（2）计算得b2=，b3=．代入b n=（1+）（1+），解得p=﹣2，q=﹣1．…下面用数学归纳法证明b n=（1﹣）（1﹣）=﹣+×（n≥2）：①当n=2时，b2=，结论成立．②设n=k时成立，即b k=﹣+×．则当n=k+1时，b k+1=b k+=﹣+×+﹣=﹣+×．由①②可得结论成立．…2016年7月29日。
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2017-2018学年江苏省南通市高考数学考前最后一练一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．已知集合A={1，2，3}，B={m，3，6}，A∩B={2，3}，则实数m的值为______．2．设复数z=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），若z（2﹣i）=i，则a+b的值为______．3．如图是一个算法流程图，当输入的x的值为﹣2时，则输出的y的值为______．4．用2种不同的颜色给图中的3个圆随机涂色，每个圆只涂1种颜色，则相邻的两个圆颜色均不相同的概率为______．5．用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1～480．按编号顺序平均分为20个组（1～24号，25～48号，…，457～480号），若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为______．6．设不等式组，表示的平面区域D，P（x，y）是区域D内任意一点，则3x+y的最大值为______．7．正四棱锥的底面边长为，它的侧棱与底面所成角为60°，则正四棱锥的体积为______．8．在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边经过点P（﹣2，t），且sinθ+cosθ=，则实数t的值为______．9．已知一元二次不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），则不等式f（3x）≤0的解集为______．10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a，b∈R）截直线x+2y﹣1=0所得弦长为，则ab的最大值为______．11．设直线l是曲线y=4x3+3lnx的切线，则直线l的斜率的最小值为______．12．在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AC=，AD=1．若点P，Q满足=3，=4，则•的值为______．13．在平面直角坐标系xOy中，已知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）是直线y=x+上的两点，则tan（α+β）的值为______．14．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为______．二、解答题（本大题共6小题，共计90分。
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
）15．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c，A＞B，cosC=，cos（A﹣B）=．（1）求cos2A的值；（2）若c=15，求a的值．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ACD是正三角形，BD垂直平分AC，垂足为M，∠ABC=120°，PA=AB=1，PD=2，N为PD的中点．（1）求证：AD⊥平面PAB；（2）求证：CN∥平面PAB．17．某市2015年新建住房面积为500万m2．其中安置房面积为200万m2．计划以后每年新建住房面积比上一年增长10%，且安置房面积比上一年增加50万m2．记2015年为第1年．（1）该市几年内所建安置房面积之和首次不低于3000万m2？（2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比例保持不变？并说明理由．18．在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的上、下顶点，点M（0，）为线段AO的中点，AB=a．（1）求椭圆的方程；（2）设N（t，2）（t≠0），直线NA，NB分别交椭圆于点P，Q，直线NA，NB，PQ的斜率分别为k1，k2，k3．①求证：P，M，Q三点共线；②求证：k1k3+k2k3﹣k1k2为定值．19．已知数列{a n}的首项为2，前n项和为S n，且﹣=（n∈N*）．（1）求a2的值；（2）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（3）若a m，a p，a r（m，p，r∈N*，m＜p＜r）成等比数列，试比较p2与mr的大小，并证明．20．已知函数f（x）=e x﹣ex，g（x）=2ax+a，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）求证：f（x）≥0；（2）若存在x0∈R，使f（x0）=g（x0），求a的取值范围；（3）若对任意的x∈（﹣∞，﹣1），f（x）≥g（x）恒成立，求a的最小值．[选做题]本题包括A、B、C、D共4个小题。
请选定其中两个小题。
若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
A[选修4-1：几何体证明选讲] 21．如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，BC=BD，BA的延长线交CD的延长线于点E，求证：AE是四边形ABCD的外角∠DAF的平分线．B[选修4-2：矩阵与变换]22．已知变换T：→=，试写出变换T对应的矩阵A，并求出其逆矩阵A﹣1．C[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（m为参数），若直线l与曲线C相交于A、B两点，求线段AB的长．D[选修4-5：不等式选讲]24．若关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），求函数f（x）=（a﹣1）+（b﹣1）的最大值．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．已知正六棱锥S﹣ABCDEF的底面边长为2，高为1，现从该棱锥的7个顶点中随机取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得的三角形的面积．（1）求概率P（X=）的值；（2）求X的分布列，并求其数学期望E（X）．26．已知（+1）m=x m+y m，其中m，x m，y m∈N*．（1）求证：y m为奇数；（2）定义：[x]表示不超过实数x的最大整数．已知数列{a n}的通项公式为a n=[n]，求证：存在{a n}的无穷子数列{b n}，使得对任意的正整数n，均有b n除以4的余数为1．2016年江苏省南通市高考数学考前最后一练参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．已知集合A={1，2，3}，B={m，3，6}，A∩B={2，3}，则实数m的值为2．【考点】交集及其运算．【分析】直接利用集合的交集关系，判断求解即可．【解答】解：集合A={1，2，3}，B={m，3，6}，A∩B={2，3}，可知2∈B，可得m=2．故答案为：2．2．设复数z=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），若z（2﹣i）=i，则a+b的值为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z代入z（2﹣i）=i，展开左边，然后利用复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵z=a+bi，z（2﹣i）=i，∴（a+bi）（2﹣i）=2a+b+（2b﹣a）i=i，则，解得a=﹣，b=．∴a+b=．故答案为：．3．如图是一个算法流程图，当输入的x的值为﹣2时，则输出的y的值为﹣7．【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是计算变量y的值，并输出，根据x值，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数y=的值，由题意：x=﹣2＜0，所以：y=4×（﹣2）+1=﹣7．故答案为：﹣7．4．用2种不同的颜色给图中的3个圆随机涂色，每个圆只涂1种颜色，则相邻的两个圆颜色均不相同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先计算出总的涂色方案，然后计算出满足题意的涂色方案，利用古典概型的概率公式计算即得结论．【解答】解：依题意，每个圆只涂一种颜色的涂色方案共有23种，要使3个圆中相邻两个圆的颜色不同，则位于两端的两个矩形必须涂色相同，从而有=2种，故满足题意的概率P==，故答案为：．5．用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1～480．按编号顺序平均分为20个组（1～24号，25～48号，…，457～480号），若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为75．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔进行求解即可．【解答】解：用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本．则样本间隔为480÷20=24，若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为3+24×3=75，故答案为：756．设不等式组，表示的平面区域D，P（x，y）是区域D内任意一点，则3x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：先根据约束条件不等式组画出可行域，当直线3x+y=t过点A时，3x+y取得最大值，由，可得A（1，1）时，z最大是4，故答案为：4．7．正四棱锥的底面边长为，它的侧棱与底面所成角为60°，则正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为，它的侧棱与底面所成角为60°，我们求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可求出答案．【解答】解：由已知中正四棱锥的底面边长为，故底面积S=2又∵侧棱与底面所成角为60°，∴正四棱锥的高为故正四棱锥的体积V==故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边经过点P（﹣2，t），且sinθ+cosθ=，则实数t的值为4．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义求出sinθ，cosθ，解方程即可得到结论．【解答】解：∵角θ的终边经过点P（﹣2，t），∴sinθ=，cosθ=，∵sinθ+cosθ=，∴+=，即=，则t＞2，平方得==，即1﹣=，即=，则t2﹣5t+4=0，则t=1（舍）或t=4，故答案为：49．已知一元二次不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），则不等式f（3x）≤0的解集为[1，] ．【考点】其他不等式的解法．【分析】由已知利用补集思想求出一元二次不等式f（x）≤0的解集，然后得到关于x的不等式，求解x的取值集合即可得到答案．【解答】解：由一元二次不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），得f（x）≤0的解集为[1，2]，由30=1≤3x≤2，得：1≤x≤，故f（3x）≤0的解集为：[1，]，故答案为：：[1，]．10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a，b∈R）截直线x+2y﹣1=0所得弦长为，则ab的最大值为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求出圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1的圆心和半径，再求出圆心（a，b）到直线x+2y﹣1=0的距离，由此概率圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a，b∈R）截直线x+2y﹣1=0所得弦长为，由勾股定理和基本不等式能求出ab取最大值．【解答】解：∵圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1的圆心（a，b），半径r=1，圆心（a，b）到直线x+2y﹣1=0的距离d==，∵圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a，b∈R）截直线x+2y﹣1=0所得弦长为，由勾股定理得，即1=+，∴a+2b=2或a+2b=0，∴当a＞0，b＞0，a+2b=2，2ab≤（）2=1，∴ab．∴当且仅当a=2b=1时，ab取最大值．故答案为：．11．设直线l是曲线y=4x3+3lnx的切线，则直线l的斜率的最小值为9．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到直线l的斜率，第二次求导后即可求得直线l的斜率的最小值．【解答】解：由y=4x3+3lnx，得y′=（x＞0），又=12x2++≥3×=9∴直线l的斜率的最小值为9．故答案为：9．12．在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AC=，AD=1．若点P，Q满足=3，=4，则•的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可画出图形，在△ABC中由余弦定理便可求出，进而得出，而根据条件可得出，从而进行向量数量积的运算便可求出的值．【解答】解：如图，在△ABC中，AB=2，BC=1，AC=，由余弦定理得：；∴；根据条件，；===；∴====．故答案为：．13．在平面直角坐标系xOy中，已知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）是直线y=x+上的两点，则tan（α+β）的值为﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用已知条件通过直线与单位圆的关系求出A、B坐标，然后利用两角和的正切函数求解即可．【解答】解：由题意可得：A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）是单位圆上的点，与直线y=x+上的交点，，解得x=，x=，cosα=，sinα=，tanα==﹣2﹣．cosβ=，则sinβ=，tanβ==2．∴tan（α+β）====．故答案为：﹣．14．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为{a|a=或﹣} ．【考点】数列与函数的综合；函数零点的判定定理．【分析】令g（x）=0，化简函数g（x）=，从而不妨设f（x）=0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，讨论当x＞a时，求得两根，x≤a时，①a≤﹣1，②﹣1＜a≤3，③a＞3，运用等差数列的中项的性质，进而确定a的值．【解答】解：设f（x）=0，可得|x﹣a|﹣+a=2，设g（x）=|x﹣a|﹣+a，h（x）=2，函数g（x）=，不妨设f（x）=0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞a时，f（x）=0，解得x=﹣1，x=3；①a≤﹣1，∵x2=﹣1，x3=3，由等差数列的性质可得x1=﹣5，由f （﹣5）=0，解得a=﹣，满足f （x ）=0在（﹣∞，a ]上有一解．②﹣1＜a ≤3，f （x ）=0在（﹣∞，a ]上有两个不同的解，不妨设x 1，x 2，其中x 3=3，所以有x 1，x 2是2a ﹣x ﹣=2的两个解，即x 1，x 2是x 2﹣（2a ﹣2）x +3=0的两个解． 得到x 1+x 2=2a ﹣2，x 1x 2=3，又由设f （x ）=0的3个根为x 1，x 2，x 3成差数列，且x 1＜x 2＜x 3，得到2x 2=x 1+3，解得：a=或（舍去）；③a ＞3，f （x ）=0最多只有两个解，不满足题意；综上所述，a=或﹣．故答案为：{a |a=或﹣}．二、解答题（本大题共6小题，共计90分。