完全平方和平方差公式的几何背景 分式应用题课件
优品课件之完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式内容：8.3完全平方公式与平方差公式（2）P64--67 课型：新授日期：学习目标： 1、经历探索平方差公式的过程，发展学生观察、交流、归纳、猜测、验证等能力。
2、会推导平方差公式，了解公式的几何背景，会用公式计算。
3、进一步体会数形结合的数学思想和方法。
学习重点：会推导平差方公式，并能运用公式进行简单的计算。
学习难点：掌握平方差公式的结构特征，理解公式中a.b的广泛含义。
学习过程：一、学习准备 1、利用多项式乘以多项式计算：（1） (a+1)(a-1) （2） (x+y)(x-y) （3） (3a+2b)(3a-2b) （4）(0.2x+0.04y)(0.2x-0.04y) 观察以上算式及运算结果，你发现了什么？再举两例验证你的发现。
2、以上算式都是两个数的和与这两个的差相乘，运算结果是这两个数的平方的差。
我们把这样特殊形式的多项式相乘，称为平方差公式，以后可以直接使用。
平方差公式用字母表示为：(a+b)(a-b)=a2-b2 尝试用自己的语言叙述平方差公式：3、平方差公式的几何意义：阅读课本65页，完成填空。
4、平方差公式的结构特征：(a+b)(a-b)=a2-b2 左边是两个二项式相乘，两个二项式中的项有什么特点？右边的结果与左边的项有什么关系？注意：公式中字母的含义广泛，可以是，只要题目符合公式的结构特征，就可以运用这一公式，可用符号表示为：(□+○)(□-○)=□2-○2 5、判断下列算式能否运用平方差公式。
(1) (x+y)(-x-y) (2) (-y+x)(x+y) (3) (x-y)(-x-y) (4) (x-y)(-x+y) 二、合作探究 1、利用乘法公式计算： (1) (2m+3)(2m-3) (2)(-4x+5y)(4x+5y) 分析：要分清题目中哪个式子相当于公式中的a （相同的一项），哪个式子相当于公式中的b （互为相反数的一项）2、利用乘法公式计算：(1) 999×1001 (2) 分析：要利用完全平方公式，需具备完全平方公式的结构，所以999×1001可以转化为（）× （）, 可以转化为（）×（）3、利用乘法公式计算： (1) (x+y+z)(x+y-z) (2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)三、学习体会对照学习目标，通过预习，你觉得自己有哪些方面的收获？又存在哪些方面的疑惑？四、自我测试 1、下列计算是否正确，若不正确，请订正； (1) (x+2)(2-x)=x2-4 (2) (2x+y2)(2x-y2)=2x2-y4 (3)(3x2+1)(3x2-1)=9x2-1 (4) (x+2)(x-3)=x2-6 2、利用乘法公式计算：(1) (m+n)(m-m)+3n2 (2) (a+2b)(a-2b)(a2+4b4)(3)1007×993 (4) (x+3)2-(x+2)(x-1)4、先化简，再求值； (-b+a)(a+b)+(a+b)2-2a2,其中a=3,b=五、思维拓展 1、如果x2-y2=6,x+y=3，则x-y= 2、计算：20072-4014×2008+200823、计算：123462-12345×123474、计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）优品课件，意犹未尽，知识共享，共创未来！！！。
平方差公式和完全平方公式复习和拓展 (3)ppt课件
4
4 2 4x4 1 2x4 1 2
4x4
1
1 16x
4
2x2
1 4x2
2
4x4 11 4x4 4x4 1 4x4 1
12
6、化简求值：
（1）(x 3)2 (x 1)(x 2),其中x 1 (2)(a b)2 (a b)(a b) 2b2 其中a 3,b 1
平方差公式和完全平 方公式复习和拓展
1
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
公式变形:
1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
2
1、对应练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1)(x+3)(x－3)=x2－3； (2)(－3a－5)(3a－5)=9a2－25.
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
5
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
6
1、对应练习：
(1)(2x+1)2
(2)(1-m)2
4x2 4x 1
（3）( y 1)2 y 2 23 y 1 39
（1）已知a b 1, ab 2,
则a2 b2 __5______。
（2）已知x y 9, xy 8,
则x2 y2 __97______。
（3）已知(x y)2 25, (x y)2 16,
《完全平方公式与平方差公式》PPT课件 (公开课获奖)2022年沪科版 (3)
公式变形: 1、〔a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、〔b + a )( -b + a ) = a2 - b2
平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
合理加括号 相反为b
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
口答以下各题：
动手操作 问题：怎么样画直线的垂线？
1.用三角尺画垂线 (1)如图，直线 L,作L的垂线.
A
问题：
这样画L的
垂线可以
O
画几条？
1靠、 2画线、
L
无数条
(2)如图，直线 L 和L上的一点A ,作L的垂线.
问题： 这样画L的 垂线可以 画几条？
1条
B 那么所画直线AB是
过点A的直线L的垂 线.
L A
(1+a)(-1+a) xx)
a b a2-b2
1 x 12-x2
-3 a (-3)2-a2
a1
a2-12
1 x)2-12
(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2
例1、用平方差公式计算
注意
(1)〔3x+2y)(3x-2y)
解：原式＝ (3x)2 - (2y)2
1、先把要计算的 式子与公式对照,
完全平方公式与平方差公式
完全平方公式
探究 计算以下各式,你能发现什么规律? (p+1)2 = (p+1) (p+1) = _p_2+_2_p_+_1； (m+2)2= ___m_2+_4_m_+_4_; (p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = __p_2-_2_p_+_1 _; (m-2)2 = ___m_2-_4_m_+_4__.
完全平方和平方差公式的几何背景分式应用题PPT课件
公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2. 第1页/共32页
完全平方 公式
a−b
b
a−b (aa−−bb)2 b(a−b)
a
b
ab
a
= (a−b)2
a2 −ab −b(a−b)
= a2−2ab+b2 .
(a−b)2 = a2−2ab+b2
第2页/共32页
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
做一做
完全平方公式
•
一块边长为a米的正方形实验田，
因需要将其边长增加 b 米。形成
四块实验田，以种植不同的新
品种(如图1—6).
b
用不同的形式表示实验
田的总面积, 并进行比较.
探索: 你发现了什么?
a
法一
直 接 求
总面积=(a+b) 2；
间
法二
接 求
总面积=a2+ ab+ ab+ b2.
a
b
图1—6
第25页/共32页
试一试
1、 甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时
比乙多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙起
骑60千米所用时间相等，求甲、乙每小时各骑多
少千米？
90 60
x
x 6
2、甲、乙两种商品，已知甲的价格每件比乙 多6元，买甲90件所用的钱和买乙60件所用钱相 等，求甲、乙每件商品的价格各多少元？
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长
宽
宽 俯视图
从正面看
第13页/共32页
主视图
正面
主视图
左视图 高
长
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初一平方差与完全平方式课件PPT
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义 上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的 几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
要点一：
平方差公式: a²-b²=（a+b）(a-b)
类型二、完全平方公式的应用
3、计算：
(1) 3a b2 ； (2) 3 2a2 ；
(3) x 2y2 ； (4) 2x 3y2 ．
【答案与解析】
解：(1) 3a b2 3a2 23a b b2 9a2 6ab b2 ．
(2) 3 2a2 2a 32 2a2 2 2a3 32 4a2 12a 9 ．
5、已知 a b 7 ， ab ＝12．求下列各式的值： (1) a2 ab b2 ；(2) (a b)2 ．
【答案与解析】
解：(1)∵ a2 ab b2 ＝ a2 b2 － ab ＝ a b2 －3 ab ＝ 72 －3×12＝13． (2)∵ a b2 ＝ a b2 －4 ab ＝ 72 －4×12＝1.
(3) x 2y2 x2 2 x 2y 2y2 x2 4xy 4y2 ．
(4) 2x 3y2 2x 3y2 2x2 2 2x3y 3y2 4x2 12xy 9y2 ．
【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时， 结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符
m 的值为（ ）
A．10
B．±10
C．﹣20
D．±20
6．下列等式不能恒成立的是( )．
A. 3x y2 9x2 6xy y2
8.3平方差公式与完全平方公式讲解与例题
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x＋2y)2＝x2＋2·x·2y＋(2y)2＝x2＋4xy＋4y2；(2)(2a－5)2＝(2a)2－2·2a·5＋52＝4a2－20a＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，S Ⅰ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a －b )2，也可以表示为S Ⅰ＝S 大－S Ⅱ－S Ⅳ＋S Ⅲ，又S 大，S Ⅱ，S Ⅲ，S Ⅳ分别等于a 2，ab ，b 2，ab ，所以SⅠ＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a ＋b )2－4ab ，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b )2，根据面积相等有(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2.答案：(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b 的正方形得到的，所以它的面积等于a 2－b 2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12(b＋a )(a －b )，所以梯形的面积和是(a ＋b )(a －b )，根据阴影部分的面积不变，得(a ＋b )(a－b )＝a 2－b 2.因此验证的一个乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.答案：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204. 4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15.解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65.5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝a2－b2.②符号变化：(－a＋b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2.③系数变化：(0.5a＋3b)(0.5a－3b)＝(0.5a)2－(3b)2.④指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用 在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm ，它的面积就增加39 cm 2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm ，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x ＋3)2＝x 2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm ，则(x ＋3)2＝x 2＋39，即x 2＋6x ＋9＝x 2＋39，解得x ＝5(cm)． 故这个正方形的边长是5 cm. 7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式： ①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋ba －b的值即可．答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a ＋b ＝2，所以(a ＋b )2＝22，即a 2＋2ab ＋b 2＝4.把ab ＝1代入，得a 2＋2×1＋b 2＝4，于是可得a 2＋b 2＝4－2＝2.。
完全平方公式ppt
自Gauss以来，完全平方公式在数学中得到了广泛的应用和发展，它已经成为数 学学习和研究中的基本工具之一。
02
完全平方公式的证明
几何证明
证明结论
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
证明过程
利用几何形状的性质，将边长为$a$和$b$的正方形分别向外 和向内扩展，形成边长为$a \pm b$的新正方形，通过比较 面积得到结论。
完全平方公式
xx年xx月xx日
contents
目录
• 完全平方公式概述 • 完全平方公式的证明 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的变体 • 练习和例题
01
完全平方公式概述
定义和公式
定义
$完全平方公式是指对于一个项x，(x \pm d)^2 = x^2 \pm 2dx + d^2$，其中d为常数。
解析：利用完全平方公式如何求一个数的平方根？
THANKS
代数证明
证明结论
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
证明过程
利用代数的运算律，将$(a \pm b)^2$展开，得到$a^2 \pm 2ab + b^2$。
三角函数证明
证明结论
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
证明过程
利用三角函数的诱导公式和两角和差的余弦公式，将$(a \pm b)^2$展开，得到 $a^2 \pm 2ab + b^2$。
平方差公式
公式形式
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
推导过程
$(a+b)(a-b)=a^2+ab-abb^2=a^2-b^2$
2.平方差公式PPT课件
（4）(5a+b)(5a-b)= 25a2-b2 （5）(n+3m)(n-3m)= n2-9m2
（6）(x+2y)(x-2y）= x2-4y2
计算下列各题
视察 & 发现
（1)（a+5）(a-5)= a2-25 视察以上算式及其运
算结果，你发现了什
（2）(m+3) (m-3)= m2-9 么规律？
（3）(3x+7)(3x-7)= 9x2-49
平方差公式
平方差公式的几何背景：
第一回忆我们曾经用 几何的意义即图形面积来解释整式乘法
运算法则，如：a(b+c)=ab+ac;
平方差公式
平方差公式的几何背景：
请同学们思考如何用几何图形的 面积来解释（a +b）(a-b)呢？ 1、当a>b>0时，我们可能看成是以长为(a+b) , 宽为(a-b)的长方形的面积。
平方差公式
回顾 & 思考☞
多项式乘法 法则是:
用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项 再把所得的积相加。
(m+a)(n+b)= mn+mb+an+ab
如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
这是上一节学习的 一种特殊多项式的乘法——
两个相同字母的 二项式的ห้องสมุดไป่ตู้积 .
如果 (x+a)(x+b)中的a、b再有某种特殊关系， 又将得到什么特殊结果呢? 这就是从本课起要学习的内容．
计算下列各题
视察 & 发现
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解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工 1 程的 x 。 1 1+ 1 + = 1 由题意得： 3 6 2x
2x+x+3=6x x=1
经检验：x=1是原分式方程的解，且符合题意。 1 ∵ 1﹥ 3
∴ 乙队施工速度快。
问题：请分析列分式方程解应用题与以前学习的 列方程解应用题有什么区别？
区别：解方程后要检验。
试一试
甲、乙两种商品，已知甲的价格每件比乙多6 元，买甲90件所用的钱和买乙60件所用钱相等， 求甲、乙每件商品的价格各多少元？
试一试
1、 甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时 比乙多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙起 骑60千米所用时间相等，求甲、乙每小时各骑多 少千米？
90 60 x x6
完全平方 公式
几何证明
做一做
完 全 平方 形成四 要将其边长增加 b 米。 块实验田，以种植不同的新品 b 种(如图1—6).
用不同的形式表示实验田 的总面积, 并进行比较.
因需 一块边长为a米的正方形实验田，
公式
探索: 你发现了什么?
a a
图 1 —6
直 2 接 总面积= (a+b) ； 法一 求 间 接 总面积= a2+ ab+ ab+ b2. 法二 求
x 1 4 2 1 解方程 x 1 x 1
解：方程两边都乘以 (x+1) ( x – 1 ) , 得
( x + 1 )2－4 = x2－1
解得
x=1
检验： x = 1 时（x+1）（x-1）=0，x=1不 是原分式方程的解. ∴原方程无解.
分式方程的运用: •例1： 两个工程队共同参与一项筑路工程， 甲队单独完成施工1个月完成总工程的三分 之一，这时增加了乙队，两队又共同工作 了半个月，总工程全部完成，哪个队的施 工速度快？
a
b
a b
(a b)(a b)
a
2
-
b
2
用赵爽弦图证明勾股定理
B
C
b-a
c b a
A
b a2+ b2
aD=源自c2搭立方块如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数 字表示在该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图 和左视图。 1 2 1 2
主视图
左视图
如图所示的是由几个小立方块所搭几何体的俯视 图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的 个数，请画出相应几何体的主视图和左视图。
1、列分式方程解应用题，应该注意解题 的五个步骤。 2、列方程的关键是要准确设元（可直接设， 也可间接设）的前提下找出等量关系。
3、解题过程注意画图或列表帮助分析题 意找等量关系。 4、注意不要漏检验和写答案。
2. 甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时比乙 多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙起骑60 千米所用时间相等，求甲、乙每小时各骑多少千 米？ 3.甲、乙两种商品，已知甲的价格每件比乙多6 元，买甲90件所用的钱和买乙60件所用钱相等， 求甲、乙每件商品的价格各多少元？
有什么区别和联系？
区别
一是工作问题，二是行程问题， 三是价格问题
联系
数量关系和所列方程相同 即：两个量的积等于第三个量
练习2：甲、乙二人同时从张庄出发，步 行15千米到李庄。甲比乙每小时多走1千 米，结果比乙早到半小时。二人每小时 各走多少千米？ 解：设甲速度为x千米/时，则乙速度为 （x-1) 千米/时 ________
15 15 0.5 x 1 x
练习1：某农场开挖一条长960米的渠道，开工后工作 效率比计划提高50%，结果提前4天完成任务。原计划 每天挖多少米？ 工作效率比计划提高50% 每天比计划多挖50%
（1+50% ） 解：设原计划每天挖x米，则实际每天挖 x _________ __ 米。
960 960 4 x 1.5 x
小结：
D*(C*) A*(B*) (3)
从左面看
从上面看 主视图 左视图 高
主视图
正面
长
宽
宽
俯视图
从正面看
主视图
主视图
左视图 高
正面
长
宽
宽
俯视图
主视图
主视图
左视图 高
正面
长 宽 俯视图
宽
主视图
主视图
左视图 高
正面
长 宽 俯视图
宽
16.3.2 分式方程 与实际问题
备课组：刘凡煜
解分式方程的思路是：
2、甲、乙两种商品，已知甲的价格每件比乙 多6元，买甲90件所用的钱和买乙60件所用钱相 等，求甲、乙每件商品的价格各多少元？
90 60 x x6
1. 甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做 6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时 间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
这两个公式有何相同点与不同点？
我 的 顺
用自己的语言叙述上面的 公式
口 溜
首平方，尾平方，首尾两倍中 间放，合是加差是减。
完全平方 公式
2 2 2 (a b) a 2ab b
2 2 2 (a b) a 2ab b
完全平方和 完全平方差
平方差公式的几何意义
a b a
总结：列分式方程解应用题的方法和步骤如下： 1：审清题意，并设未知数 2：找出相等关系，并列出方程；
3：解这个分式方程，
4：验根（包括两方面 ：1、是否是分式方
程的根；2、是否符合题意）
5：写答案
例2. 甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比 乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件 所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
1 2
3
1
主视图
左视图
如图所示的是由几个小立方块所搭几何体 的俯视图，小正方形中的数字表示在该位 置小立方块的个数，请画出相应几何体的 主视图和左视图。
3
4
2
2
1
主视图
左视图
P109 把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同的位置：
B
A B A
A
B A* B* A* B* A*(B*)
P
（1）铁丝平 （2）铁丝倾 （3）铁丝垂 行于投影面。 斜于投影面。 直于投影面。
• 分析：甲队1个月完成总工程的1∕3，设乙队如 果单独完成施工1个月能完成总工程的1∕x,那么 1∕6 甲队半个月完成总工程的 ，乙队半个 1∕2x 月完成总工程的 ，两队半个 月完成总工程的
1 ﹢ 6
1
2x
。
列方程的关键是什么？问题中的那个等 量关系可以用来列方程？ • 关键：找出相等关系
• 甲队施工1个月的工作量+甲乙共施工半 个月的工作量=总工作量
分式 方程
去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. 2、解这个整式方程. 3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简 公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的 解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根.
一化二解三检验
b
公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2.
完全平方 公式 a−b b
a−b (aa −− bb )2 b(a−b)
a
b
ab
a
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
(a−b)2 = a2−2ab+b2
2 2 2 (a b) a 2ab b 2 2 2 (a b) a 2ab b
解：设甲每小时做x个零件则乙每小时做（ x －6）个零件， 依题意得： 等量关系：甲用时间=乙用时间 请审题分析题意 设元
90x 6 60x 90x 60x 540 30x 540
90 60 x x6
我们所列的是一 个分式方程，这 是分式方程的应 x 18 用 经检验X=18是原方程的根,且符合题意。 由x＝18得x－6=12 答：甲每小时做18个，乙每小时12个
P110 如图，把一块正方形硬纸板P（例如正方形ABCD）放在 三个不同的位置： （1）纸板平行于投影面； （2）纸板倾斜于投影面； （3）纸板垂直于投影面。 三种情况的正投影各是什么形状？
D
A D A D* A* Q (1) (2) B C* B* C D A B D* A* B* C B
C
C*