2016届浙江省名校协作体高三(下)3月联考数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年浙江省名校协作体高三（下）3月联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣5x﹣6＞0}，B={x|x2﹣8x＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．（0，3]B．[﹣1，8] C．（0，6]D．[2，3]2．“x＞1”是“x2＞1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，则下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则m⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β=n，则m∥n4．对任意x，y∈R，恒有，则等于（）A．B．C．D．5．在等比数列{a n}中，设T n=a1a2…a n，n∈N*，则（）A．若T2n+1＞0，则a1＞0 B．若T2n+1＜0，则a1＜0C．若T3n+1＜0，则a1＞0 D．若T4n+1＜0，则a1＜06．若向量、满足||=|2+|=2，则在方向上投影的最大值是（）A．B．﹣C．D．﹣7．已知第一象限内的点M既在双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）上，又在抛物线C2：y2=2px上，设C1的左，右焦点分别为F1、F2，若C2的焦点为F2，且△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．2+8．在n元数集S={a1，a2，…a n}中，设X（S）=，若S的非空子集A满足X（A）=X（S），则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为f s（k），已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，T={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，则下列说法错误的是（）A．f s（4）=f s（5）B．f s（4）=f T（5）C．f s（1）+f s（4）=f T（5）+f T（8）D．f s（2）+f s（3）=f T（4）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．已知函数，则f（﹣log23）=；若，则x=．10．若函数的图象过点（0，1），且向右平移个单位（保持纵坐标不变）后与平移前的函数图象重合，则φ=，ω的最小值为．11．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于cm3，表面积等于cm2．12．设实数x，y满足，则2x+y的最小值为，若4x2+y2≥a恒成立，则实数a的最大值为．13．若存在正实数y，使得=，则实数x的最大值为．14．设直线l：（m﹣1）x+（2m+1）y+3m=0（m∈R）与圆（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）交于A，B两点，C为圆心，当实数m变化时，△ABC面积的最大值为4，则mr2=．15．设数列{a n}满足a1=0，a n+1=lg（n+1+a n），n∈N*，若a2016∈（lgk，lg（k+1）），则整数k=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，已知atanA﹣ccosB=bcosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设AD是BC边上的高，若，求的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．18．已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|﹣2x+a2．（Ⅰ）若a＞2，解关于x的方程f（x）=a2﹣2a；（Ⅱ）若a∈[﹣2，4]，求函数f（x）在闭区间[﹣3，3]上的最小值．19．已知椭圆C1： +=1，抛物线C2：y2=4x，过抛物线C2上一点P（异于原点O）作切线l交椭圆C1于A，B两点．（Ⅰ）求切线l在x轴上的截距的取值范围；（Ⅱ）求△AOB面积的最大值．20．已知各项为正的数列{a n}满足，，n∈N*．（Ⅰ）证明：0＜a n＜a n+1＜1（n∈N*）；（Ⅱ）求证：（n∈N*）．2015-2016学年浙江省名校协作体高三（下）3月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣5x﹣6＞0}，B={x|x2﹣8x＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．（0，3]B．[﹣1，8] C．（0，6]D．[2，3]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A、B，求出∁U A和（∁U A）∩B即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣5x﹣6＞0}={x|x＜﹣1x＞6}，∴∁U A={x|﹣1≤x≤6}=[﹣1，6]；又B={x|x2﹣8x＜0}={x|0＜x＜8}=（0，8），∴（∁U A）∩B=（0，6]．故选：C．2．“x＞1”是“x2＞1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直接利用充要条件的判断方法判断即可．【解答】解：因为“x＞1”⇒“x2＞1”，而“x2＞1”推不出“x＞1”，所以“x＞1”是“x2＞1”充分不必要条件．故选A．3．已知α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，则下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则m⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β=n，则m∥n【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，知：若m∥n，m⊥α，则m⊥α；若m⊥α，m⊥β，则α∥β；若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；若m∥α，α∩β=n，则m与n相交、平行或异面．【解答】解：由α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，知：若m∥n，m⊥α，则m⊥α，故A正确；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B正确；若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，故C正确；若m∥α，α∩β=n，则m与n相交、平行或异面，故D不正确．故选D．4．对任意x ，y ∈R ，恒有，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据式子，解方程组得x 、y 的值，再代入已知等式即可求值．【解答】解：由方程组，解得，．∴=（sin +cos ）=．故选：B ．5．在等比数列{a n }中，设T n =a 1a 2…a n ，n ∈N *，则（ ） A ．若T 2n+1＞0，则a 1＞0 B ．若T 2n+1＜0，则a 1＜0 C ．若T 3n+1＜0，则a 1＞0 D ．若T 4n+1＜0，则a 1＜0 【考点】等比数列的通项公式．【分析】举例说明A 、B 、C 选项错误，再根据乘积的符号法则说明D 选项正确． 【解答】解：等比数列{a n }中，T n =a 1a 2…a n ，n ∈N *，对于A ，令a 1=﹣1，a 2=1，a 3=﹣1，有T 3=1＞0，但a 1＞0不成立，命题错误； 对于B ，令a 1=1，a 2=﹣1，a 3=1，有T 3=﹣1＜0，但a 1＜0不成立，命题错误； 对于C ，令a 1=a 2=…a 7=﹣1，有T 7=﹣1＜0，但a 1＞0不成立，命题错误；对于D ，T 4n+1是a 1，a 3，…，a 4n+1共2n +1项与a 2，a 4，…，a 4n 共2n 项的乘积， 若T 4n+1＜0，则a 1，a 3，…，a 4n+1的乘积＜0，即a 1＜0，命题正确． 故选：D ．6．若向量、满足||=|2+|=2，则在方向上投影的最大值是（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣ 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对条件式子两边平方，用||表示出的夹角θ的余弦值，代入投影公式，利用基本不等式得出投影的最大值．【解答】解：∵|2|=2，||=2，∴||2+4+16=4，设的夹角为θ，则||2+8||cos θ+12=0．∴cosθ=﹣．∴在方向上投影为||cosθ=﹣=﹣（+）．∵+≥2=．∴||cosθ≤﹣．故选：B．7．已知第一象限内的点M既在双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）上，又在抛物线C2：y2=2px上，设C1的左，右焦点分别为F1、F2，若C2的焦点为F2，且△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．2+【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件得到抛物线和双曲线的焦点相同，根据双曲线和抛物线的定义得到△MF1F2为等腰直角三角形，利用定义建立方程进行求解即可．【解答】解：∵设C1的左，右焦点分别为F1、F2，若C2的焦点为F2，∴抛物线的准线方程为x=﹣c，若△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形，由于点M也在抛物线上，∴过M作MA垂直准线x=﹣c则MA=MF2=F1F2，则四边形AMF2F1为正方形，则△MF1F2为等腰直角三角形，则MF2=F1F2=2c，MF1=MF2=2c，∵MF1﹣MF2=2a，∴2c﹣2c=2a，则（﹣1）c=a，则离心率e===1+，故选：C8．在n元数集S={a1，a2，…a n}中，设X（S）=，若S的非空子集A满足X（A）=X（S），则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为f s（k），已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，T={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，则下列说法错误的是（）A．f s（4）=f s（5）B．f s（4）=f T（5）C．f s（1）+f s（4）=f T（5）+f T（8）D．f s（2）+f s（3）=f T（4）【考点】子集与真子集．【分析】根据新定义求出k元平均子集的个数，逐一判断．【解答】解：X（S）=5，将S中的元素分成5组（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5）．则f S（1）==1，f S（2）==4，f S（3）=•=4，f S（4）==6，f S（5）=•=6，同理：X（T）=0，将T中的元素分成5组（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3），（4，﹣4），（0）．则f T（1）==1，f T（2）==4，f T（3）=•=4，f T（4）==6，f T（5）=•=6，f T（8）==1，∴f S（4）=f S（5）=6，f S（4）=f T（5）=6，f S（1）+f S（4）=f T（5）+f T（8）=7．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．已知函数，则f（﹣log23）=；若，则x=1．【考点】函数的值．【分析】由分段函数定义得f（﹣log23）=，由此能求出结果．由，得当x≥0时，f（x）=﹣x2，f（f（x））=f（﹣x2）==；当x＜0时，f（x）=2x，f（f（x））=f（2x）=﹣（2x）2，由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴f（﹣log23）===．∵，∴当x≥0时，f（x）=﹣x2，f（f（x））=f（﹣x2）==，解得x=±1，∴x=1；当x＜0时，f（x）=2x，f（f（x））=f（2x）=﹣（2x）2=﹣22x=，无解．综上，x=1．故答案为：．10．若函数的图象过点（0，1），且向右平移个单位（保持纵坐标不变）后与平移前的函数图象重合，则φ=，ω的最小值为12．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象过点（0，1），求得φ的值，再由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得ω的最小正值．【解答】解：∵函数的图象过点（0，1），∴2sinφ=1，即sinφ=，∴φ=，函数即y=2sin（ωx+）．把函数的图象向右平移个单位（保持纵坐标不变）后，可得y=2sin[ω（x﹣）+）]=2sin（ωx﹣+）的图象，根据所得图象与平移前的函数图象重合，则=2kπ，k∈Z，∴ω的最小正值为12，故答案为：，12．11．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于cm3，表面积等于28+4cm2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知三视图得到几何体是正方体切去两个角后的几何体，由三视图数据求体积和表面积．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是底面是边长为2，高为4的正方体切去两个角，如图该几何体的体积等于=cm3，表面积等于×=（28+4）cm2．故答案为：；（28+4）．12．设实数x，y满足，则2x+y的最小值为，若4x2+y2≥a恒成立，则实数a的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而利用线性规划求2x+y的最小值，易知4x2+y2的最小值在直线x=1﹣y上取得，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，由解得，x=﹣，y=；故2x+y的最小值为2×（﹣）+=；易知4x2+y2的最小值在直线x=1﹣y上取得，4x2+y2=4（1﹣y）2+y2=5y2﹣8y+4=5（y﹣）2+，故4x2+y2≥，故实数a的最大值为，故答案为：，．13．若存在正实数y，使得=，则实数x的最大值为．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】得到关于y的方程，4xy2+（5x2﹣1）y+x=0，根据△≥0，求出x的最大值即可．【解答】解：∵=，∴4xy2+（5x2﹣1）y+x=0，∴y1•y2=＞0，∴y1+y2=﹣≥0，∴，或，∴0＜x≤或x≤﹣①，△=（5x2﹣1）2﹣16x2≥0，∴5x2﹣1≥4x或5x2﹣1≤﹣4x，解得：﹣1≤x≤②，综上x的最大值是，故答案为：．14．设直线l：（m﹣1）x+（2m+1）y+3m=0（m∈R）与圆（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）交于A，B两点，C为圆心，当实数m变化时，△ABC面积的最大值为4，则mr2=﹣4或﹣14．【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理求出弦长，计算△ABC的面积，从而求出直线的斜率与方程．【解答】解：直线l：（m﹣1）x+（2m+1）y+3m=0（m∈R），直线l的方程可化为：（﹣x+y）+m（x+2y+3）=0，可得，直线恒过：（﹣1，﹣1）．圆（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）的圆心（1，0），半径为：r．圆心C到直线l的距离为：d==；所以三角形ABC的面积为S△ABC=≤r2，=4，解得r=2，此时d==2．所以=2，解得m=或m=﹣所以，mr2=﹣4或﹣14．故答案为：﹣4或﹣14．15．设数列{a n}满足a1=0，a n+1=lg（n+1+a n），n∈N*，若a2016∈（lgk，lg（k+1）），则整数k=2019．【考点】数列递推式．【分析】考查放缩法的运用．首先应明确由a2015的范围，求得a2016的范围，可以确定a2015∈（3，4），进而可得a2016的范围，即可求得k的值．【解答】解：∵a n+1=lg（n+1+a n），n∈N*，取n=2014，∴a2015=lg＞lg2015＞3，∴a2016=lg＞lg=lg2019，又数列{a n}满足a1=0，a n+1=lg（n+1+a n），n∈N*，∴a2=lg2＜4，a3=lg（3+a2）＜4，…，a2014=lg＜4，∴a2015＜lg＜4，∴a2016＜lg=lg2020，综上，a2016∈（lg2019，lg2020），∵a2016∈（lgk，lg（k+1）），∴k=2019，故答案为：2019．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，已知atanA﹣ccosB=bcosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设AD是BC边上的高，若，求的值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，由A的范围和特殊角的三角函数值求出A；（Ⅱ）由三角形的面积公式和余弦定理列出方程，化简后把作为一个整体求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵atanA﹣ccosB=bcosC，∴由正弦定理得，sinAtanA﹣sinCccosB=sinBcosC，sinAtanA=sinCccosB+sinBcosC=sin（B+C），∵B+C=π﹣A，∴sin（B+C）=sinA，则sinAtanA=sinA，又sinA≠0，则tanA=1，由0＜A＜π得，A=；（Ⅱ）又sinA≠0，则tanA=1，由0＜A＜π得，A=；（Ⅱ）∵AD是BC边上的高，且，∴△ABC的面积S=，则，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，化简得，两边同除c2可得，，解得．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP，则AD⊥OB，由勾股定理得出AD ⊥OP，故而AD⊥平面OPB，于是AD⊥PB；（II）以O为原点建立坐标系，设M（m，0，n），求出平面BCM的平面ABCD的法向量，令|cos＜＞|=cos解出n，从而得出的值．【解答】证明：（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP．∵AD∥BC，∠ADC=∠BCD=90°，CD∥OB，∴四边形OBCD是矩形，∴OB⊥AD．OD=BC=2，∵PD=4，∠PDA=60°，∴OP==2．∴OP2+OD2=PD2，∴OP⊥OD．又OP⊂平面OPB，OB⊂平面OPB，OP∩OB=O，∴AD⊥平面OPB，∵PB⊂平面OPB，∴AD⊥PB．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OA⊥AD，∴OP⊥平面ABCD．以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则B（0，，0），C（﹣2，，0），假设存在点M（m，0，n）使得二面角M﹣BC﹣D的大小为，则=（﹣m，，﹣n），=（﹣2，0，0）．设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则．∴，令y=1得=（0，1，）．∵OP⊥平面ABCD，∴=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量．∴cos＜＞===．解得n=1．∴==．18．已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|﹣2x+a2．（Ⅰ）若a＞2，解关于x的方程f（x）=a2﹣2a；（Ⅱ）若a∈[﹣2，4]，求函数f（x）在闭区间[﹣3，3]上的最小值．【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）若a＞2，根据绝对值的性质直接解关于x的方程f（x）=a2﹣2a即可；（Ⅱ）若a∈[﹣2，4]，根据a的取值范围将函数f（x）表示成分段函数形式，结合一元二次函数单调性和最值之间的关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=a2﹣2a得x|x﹣a|﹣2x+a2=a2﹣2a，即x|x﹣a|=2（x﹣a），则x=a是方程的根，①当x＞a时，x=2，∵a＞2，∴此时方程无解，②当x＜a时，x=﹣2为方程的解，综上x=a或x=﹣2．（Ⅱ）f（x）=x|x﹣a|﹣2x+a2=，①若﹣2≤a≤2时，≤a， +1≥a，则f（x）min=min{f（﹣3），f（+1）}=min{a2﹣3a﹣3，（3a2﹣4a﹣4）}=．②若2＜a≤4时，≤a， +1＜a，则f（x）min=min{f（﹣3），f（a）}=min{a2﹣3a﹣3，a2﹣2a}=a2﹣3a﹣3．综上f（x）min=．19．已知椭圆C1： +=1，抛物线C2：y2=4x，过抛物线C2上一点P（异于原点O）作切线l交椭圆C1于A，B两点．（Ⅰ）求切线l在x轴上的截距的取值范围；（Ⅱ）求△AOB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）设P（t2，2t）（t≠0），设切线的方程为：y﹣2t=k（x﹣t2），与抛物线方程联立可得：ky2﹣4y﹣4kt2+8t=0，由△=0，解得k=．可得切线l的方程为：x=ty﹣t2，令y=0，可得切线在x轴上的截距．切线方程与椭圆方程联立化为：（3t2+4）y2﹣6t3y+3t4﹣12=0，令△＞0，解得t的范围即可得出．（II）由（I）可得：|AB|==，原点O到切线的距离d=，可得S=|AB|d=，令3t2+4=u，通过换元利用函数的单调性即可得出．【解答】解：（I）设P（t2，2t）（t≠0），设切线的方程为：y﹣2t=k（x﹣t2），与抛物线方程联立可得：ky2﹣4y﹣4kt2+8t=0，由△=16﹣16k（﹣kt2+2t）=0，解得k=．∴切线l的方程为：x=ty﹣t2，令y=0，可得切线在x轴上的截距为﹣t2，联立，化为：（3t2+4）y2﹣6t3y+3t4﹣12=0，令△=36t6﹣12（3t2+4）（t4﹣4）＞0，解得0＜t2＜4，∴﹣4＜﹣t2＜0．∴切线l在x轴上的截距的取值范围是（﹣4，0）．（II）由（I）可得：y1+y2=，y1y2=．|AB|=|y1﹣y2|==，原点O到切线的距离d=，∴S=|AB|d=，令3t2+4=u，∵0＜t2＜4，∴4＜u＜16．则S=2==，令，4＜u＜16．∴y在（4，16）上单调递增，可得：8＜y＜17．∴S=，当y=∈（8，17）时，S max==．由=，解得u=，有＜2，故当时，△AOB面积取得最大值．20．已知各项为正的数列{a n}满足，，n∈N*．（Ⅰ）证明：0＜a n＜a n+1＜1（n∈N*）；（Ⅱ）求证：（n∈N*）．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由，得（a n+3），从而＞0，进而a n+1＜1，由，得0＜a n＜1，（n∈N*），由此证明0＜a n＜a n+1＜1（n∈N*）．（Ⅱ）由=＜，得1﹣a n=（1﹣a1）×××…×，由此能证明（n∈N*）．【解答】证明：（Ⅰ）由，得（a n+3），即，得＞0，∴=＞0，∴a n+1＜1，又，∴0＜a n＜1，（n∈N*），∴=（1﹣a n）＞0，∴a n+1＞a n，综上，得：0＜a n＜a n+1＜1（n∈N*）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：=＜=（1+）≤=，则n≥2时，1﹣a n=（1﹣a1）×××…×，∴（1﹣a1）+（1﹣a2）+（1﹣a3）+…+（1﹣a n）＜，即n﹣（a1+a2+a3+…+a n）＜= [1﹣（）n]，∴（n∈N*）．2016年9月1日。