浙江省名校协作体试卷
2023-2024学年浙江省名校协作体高二下学期2月月考数学试题及答案
2023学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．抛物线24x y =的准线方程为（ ） A ．1x =− B ．2x =−C ．1y =−D ．2y =−2．数列1，53，52，175，…的通项公式可能是（ ） A ．211n n a n +=+ B ．211n n a n +=+C ．221n n a n =−D ．221n n a n−=3．已知直线1l ：10mx y ++=，2l ：()3230x m y m +++=，若12l l ∥，则m 的值为（ ） A ．1B ．－3C ．1或－3D ．－1或34．已知两条直线m ，n α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ∥且n α⊂，则m α∥ B ．若m α∥且n α⊂，则m n ∥ C ．若m α⊥且n α⊂，则m n ⊥D ．若αβ⊥且m α⊂，则m β⊥5．已知点()4,2P −和圆Q ：()()224216x y −+−=，则以PQ 为直径的圆与圆Q 的公共弦长是（ ）A ．B ．C ．D ．6．江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽AB =水面上升5米，则水面宽为（ ）A ．米B ．C ．米D ．30米7．在正三棱台111ABC A B C −中，111132A B AA AB ===，11A B AB O = ，则异面直线OC 与1BC 所成角的余弦值是（ ） A ．13BCD ．238．如图，是由一系列直角三角形拼接而成的几何图形，已知1122311n n OA A A A A A A −===⋅⋅⋅==，记1OA ，2OA ，…，n OA 的长度构成的数列为{}n a ，则202411i ia =∑的整数部分是（ ）A ．87B ．88C ．89D ．90二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错和不选的得0分．9．已知向量()1,2,0a =− ，()2,4,0b =−，则下列正确的是（ ）A ．a b ∥B ．a b ⊥C ．2b a =D ．a 在b方向上的投影向量为()1,2,0−10．若正项数列{}n a 为等比数列，公比为q ，其前n 项和为n S ，则下列正确的是（ ） A ．数列21n a是等比数列 B ．数列{}lg n a 是等差数列 C ．若{}n a 是递减数列，则01q <<D ．若13n n S r −=−，则1r =11．如图所示，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则（ ）A ．A ，B 两点的纵坐标之和为常数 B ．在直线l 上存在点P ，使90APB ∠>°C ．A ，O ，1B 三点共线D ．在直线l 上存在点P ，使得APB △的重心在抛物线上12．在正三棱锥S ABC −中，SA ，SB ，SC 两两垂直，2AB =，点M 是侧棱SC 的中点，AC 在平面α内，记直线BM 与平面α所成角为θ，则当该三棱锥绕AC 旋转时θ的取值可能是（ ） A ．53°B ．60°C ．75°D ．89°非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．经过()0,2A ，()1,0B −两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______． 14．已知数列{}n a 为等比数列，163a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，当n T 取最大值时，n =______．15．已知某圆锥底面直径与母线长之比为6:5，其内切球半径为1，则此圆锥的体积等于______． 16．已知双曲线C 的渐近线方程为y x =±，两顶点为A ，B ，双曲线C 上一点P 满足3PA PB =，则tan APB ∠=______． 四、解答题：共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，749S =，59a =． （Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）若3S 、118S S −、k S 成等比数列，求k 的值．18．已知圆C 的圆心在直线25y x =+上，且过()2,4A −，()2,6B 两点． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）已知l ：()()()131510m x m y m ++−−+=，若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值． 19．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C −，底面ABC △是正三角形，12AA AB ==，11A AB A AC ∠=∠，点N 是棱11B C 的中点，AN =．（Ⅰ）求证：1BC AA ⊥；（Ⅱ）求平面1A AN 与平面ANB 的夹角的余弦值．20．已知点F 为抛物线C ：()2201y px p =<<的焦点，点()0,1A x 在抛物线C 上，且54AF =． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k ⋅=−，求证：直线l 过定点．21．已知数列{}n a 满足12a =，()()*111pn n na n pa a +−=∈+−N ． （Ⅰ）若0p =，求数列{}3n n a ⋅的前n 项和n S ； （Ⅱ）若1p =，设数列1n a的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<．22的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b −=>>过椭圆2C ：22143x y +=的左，右顶点A ，B ．（Ⅰ）求双曲线1C 的方程；（Ⅱ）()()0000,0,0P x y x y >>是双曲线1C 上一点，直线AP ，BP 与椭圆2C 分别交于D ，E ，设直线DE 与x 轴交于(),0Q Q x ，且20102Q x x λλ=<<，记BDP △与ABD △的外接圆的面积分别为1S ，2S ，2023学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：柯桥中学 次命题兼审校：丽水中学 审核：瑞安中学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B8．解析：由题意知，1122311n n OA A A A A A A −===⋅⋅⋅==且12OA A △，23OA A △，…，1n n OA A −△都是直角三角形，所以11a =，且2211n n a a −=+，所以数列{}2na 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以()202421111111n i i a n n a ==+−×==∑∵11118911+<++−< ，∵12881++>− ，即188891<++< ， 所以所求整数部分都是88，故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．ACD 10．ABC 11．CD 12．AB12．当BM 与平面α平行时，cos 1θ=；由最小角定理，直线与平面所成的角是直线与平面内的线所成角中最小的角，所以θ小于等于BM 与AC 所成的角，分别取SC ，SA 的中点M ，N ，连接MN ，BM ，BN ． 在BMN △中，BM BN ==1MN =，得cos BMN ∠，故cos θ∈． 因为()cos 75cos 4530°=°+°=1cos 602°=，12<<，所以075θ°≤<°． 故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2 14．6 15．32π9 16．4316．解析：不妨设双曲线C 的方程为()2220x y aa −=>，A ，B 为左右顶点．设(),P x y ，因为3PA PB =，所以()()222299x a y x a y ++=−+，化简得：222502x ax y a −++=， 则222222502x y a x ax y a −= −++=，解得5434x a y a= =±，所以53,44P a a ± ， 作PD x ⊥轴于D ．()13tan tan 43tan tan 11tan tan 3133APD BPD APB APD BPD APD BPD −∠−∠∠=∠−∠===+∠⋅∠+×．四、解答题（共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解析：（Ⅰ）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由749S =，59a =，所以715176749249S a d a a d ×=+==+= ， 解得121d a == ，所以21n a n =−，则()21212nn n S n +−==． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知2339S ==，11857S S −=，2k S k =， 又3S 、118S S −、k S 成等比数列，所以()21183k S S S S −=⋅， 即22579k =×，解得19k =或19k =−（舍去）．18．解析：（Ⅰ）方法一：设圆心C 的坐标为(),a b ，则25b a =+， 又CA CB =，则即250a b +−=，得0a =，5b =，所以圆C 的半径AC r==，所以圆C 的方程是()2255x y +−=（或2210200x y y +−+=）．方法二：AB 的中点坐标为()0,5，12AB k =，则AB 的中垂线方程为25y x =−+． 则2552y x y x =+ =−+ ，解得05x y = = ，所以圆心C 的坐标为()0,5，所以圆C的半径AC r ==，所以圆C 的方程是()2255x y +−=（或2210200x y y +−+=）． （Ⅱ）设圆心C 到直线的距离为d ， 由题意可得d，平方整理后可得251890m m −+=，解得35m =或3m =． 19．解析：（Ⅰ）取BC 的中点M ，连接AM ，1A B ，1AC ，1A M ， ∵三棱柱111ABC A B C −中，AB BC CA ==，∴AM BC ⊥，又∵11A AC A AB ∠=∠，∴11A AB A AC △≌△，∴11A B A C =，∴1A M BC ⊥， 又1A M AM M = ，∴BC ⊥面1AA M ，∴1BC AA ⊥． （Ⅱ）方法一：连接MN ，在AMN△中，AN =，AM =2MN =，即cos AMN ∠150AMN ∠=°．如图建系，)A，()0,1,0B，()N ，有)1,0BA=−，()AN =−，设面ABN 的法向量为(),,n x y z = ，则00y z −=−+=，解得面ABN 的一个法向量(n =，面1AA N 的一个法向量()0,1,0m =，∴cos ,n m n m mn ⋅==所以平面1A AN 与平面ANB（Ⅱ）方法二：连接MN ，在AMN △中，AN =，AM =2MN =，即222cos 2AM MN AN AMN AM MN +−=∠⋅150AMN ∠=°． 作MF AN ⊥于F ，连BF ．因为BC ⊥平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，所以AN BC ⊥，又BC MF M = ， 所以AC ⊥平面BMF ，BF ⊂平面BMF ，所以AN BF ⊥， 所以BFM ∠为二面角B AN M −−的平面角． 在AMN △中，11sin15022AN FM AM MN =°，得FM =则BF，所以cos FM BFM BF ∠=． 所以平面1A AN 与平面ANB20．解析：（Ⅰ）由题意得：0052421p x px+== ，解得0121p x = = ，或0214p x = = （舍去），所以抛物线C 的方程为2y x =． （Ⅱ）方法一：（1）当直线l 斜率存时，设直线l ：()0y kx m k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，则2y x y kx m = =+ ，消去x ，整理得20ky y m −+=，则140km ∆=−>，121y y k +=，12m y y k⋅=， 而()()()121212121212111111111y y k k x x y y y y y y −−⋅=⋅==−−+++++112k m k =−=++，整理得310m k ++=，所以13m k =−−， 所以直线l ：()1331y kx k k x =−−=−−，所以直线l 过定点()3,1−． （2）当直线l 斜率不存时，设直线l ：()0,1x m m m =>≠，则(M m，(,N m，则121112k k m −⋅==−−，得3m =， 所以直线l ：3x =，则点()3,1−在直线l 上． 综上：直线l 过定点()3,1−．（Ⅱ）方法二：设()211,M t t ，()222,N t t ，则()()1212221212111111112t t k k t t t t −−=−=⋅=⋅−−++， 则()12123t t t t =−−+，直线l 的方程为()221112221t t y t x t t t −−−=−， 则()()12121212212121311131t t t t x yx x t t t t t t t t t t −−+−−=+==++++++， 所以直线l 过定点()3,1−． 21．解析：（1）当0p =时，则111n na a +−=，得11n n a a +−=，所以11n n a a +−=， 所以数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列． 所以()2111n a n n =+−×=+，则()313nn n a n ⋅=+⋅，所以()2323334313nn S n =×+×+×+++⋅ ，()2341323334313n n S n +=×+×+×+++⋅ ，两式相减得()234126333313nn n S n +−=+++++−+⋅()()21131361313n n n −+×−−+⋅=+−，所以1321344n n n S ++=−+⋅． （Ⅱ）当1p =时，由111n n na a a +−=−，得211n nn a a a +=−+， 所以()2212110n n n n n a a a a a +−=−+=−>，所以数列{}n a 单调递增，因为12a =，所以2n a ≥， 又由111n n na a a +−=−，可得()111n n n a a a +−=−， 所以()11111111n n n n n a a a a a +==−−−−，即111111n n n a a a +=−−−， 则1212231111111111111111111111n n n n n T a a a a a a a a a a a ++ =+++=−+−++−=− −−−−−−−− ， 所以1111n n T a +=−−，易知1111n a + − −为递增数列，且23a =，所以21111111211n a a +=−≤−<−−，即：112n T ≤<． 22．解析：（Ⅰ）由题意得：2222c a c a b a = += =，解得b =，所以双曲线1C 的方程为22143x y −=．（Ⅱ）方法一：设直线AP ：()0022y yx x ++，()11,D x y ， 则()0022223412y y x x x y =++ +=，消y 得：()()()2222000222000416163120222y y y x x x x x −=+++ +++ ，得：()()220012200161222324y x x y x −+−=++， 又因为()00,P x y 在双曲线上，满足2200143x y −=，即22004312y x =−，所以()()()()()()2222000001222200000008626246224246232432312y x x x x x x x x x y x x −+−−+−+−−====+++++−，即104x x =． 同理设直线BP ：()0022y yx x −−，()22,E x y ，可得204x x =，所以04Q x x =． 因为20Q x x λ=，所以2004x x λ=，因为00x >，所以02x λ=． 把02x λ=代入双曲线方程得2204143y λ−=，解得0y =，则点2P λ． 设DBP △与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ， 由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP∠+∠=°，所以sin sin BDP ADB ∠=∠．12BP r ABr ==．因为102λ<<，所以12λ>+∞． （Ⅱ）方法二：设直线DE ：x ty m =+，()11,D x y ，()22,E x y ， 则223412xty m x y =++=，消x 得：()2223463120t y tmy m +++−=， 所以122634tmy y t −+=+，212231234m y y t −=+，得()2122142m y y y y mt −=+， 因为P ，A ，D 三点共线，则011022y y x x =++，因为P ，B ，E 三点共线，则022022y y x x =−−，两式相除得()()120212222y x x y x x −−=++， 而()()()()()()()()()()()()2121211212121221122122422222222422m y y m m y y x y ty m ty y m y y x y ty m ty y m y m y y m m y−++−−+−+−===+++++−+++()()()()()()121222222222m m y m y mmm m y m y −++−− =+ +++−． 因为20Q x x λ=，所以20m x λ=．因为002222x m m x −−=++，所以2002002222x x x x λλ−−=++，得02x λ=， 把02x λ=代入双曲线方程得2204143yλ−=，解得0y =，则点2P λ． 设DBP △与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ， 由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP ∠+∠=°，所以sin sin BDPADB ∠=∠，12BP r ABr ==，因为102λ<<，所以12λ>+∞．。
浙江省天域全国名校协作体2024届高三下学期二模数学试题含答案
2023-2024学年第二学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科试题（答案在最后）命题学校：考生须知：1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}=1,2,3M ，{}=0,1,2,3,4,7N ，若M A N ⊆⊆，则满足集合A 的个数为（）A.4B.6C.7D.8【答案】D 【解析】【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A 即可得解.【详解】因为M A N ⊆⊆，所以A 可以是{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,0,1,2,3,7,1,2,3,0,4,1,2,3,0,7,1,2,3,7,4,1,2,3,0,4,7，共8个，故选：D2.抛物线2:6C y x =的焦准距是（）A.112B.16C.3D.6【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线标准方程求出p 即可得解.【详解】2:6C y x =化为标准方程为216x y =，所以126p =，112p =，即焦点与准线的距离为112p =，故选：A3.在正三棱台111ABC A B C -中，已知AB =，11A B =1AA 的长为2，则此正三棱台的体积为（）A.212 B.74C.214D.72【答案】C 【解析】【分析】先计算出三棱台的上下底面的面积，再根据底面边长与侧棱长求解三棱台的高，进而计算出三棱台的体积．【详解】正三棱台111ABC A B C -中，已知AB =，11A B =所以ABC 的面积为1224=，111A B C△的面积为122⨯=，设O ，1O 分别是ABC ，111A B C △的中心，设D ，1D 分别是BC ，11B C 的中点，A ∴，O ，D 三点共线，1A ，1O ，1D 三点共线，π33sin 322AD AB =⨯==，1111π3sin 332A D AB =⨯==，1132OD AD ∴==，1111113O D A D ==，12DD ===，过D 作11DE A D ⊥，垂足为E ，则1//DE OO ，DE === ∴三棱台的高为∴三棱台的体积为121(344V =++=．故选：C ．4.628log 3x ⎛⎝⎭展开式的常数项为（）A.512B.512-C.136D.136-【答案】A 【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，令x 的指数为0，得出常数项的项数，即可得常数项．【详解】展开式的通项公式为()()(66212316868C log 3C log 3rr r r r r rr T x x---+⎛=⋅⋅-=⋅⋅⋅ ⎝⎭，令1230r -=，解得4r =，所以常数项为()(242445686231115C log 3C log 3log 215323612T ⎛⎫=⋅⋅=⋅⨯=⨯=⎪⎝⎭.故选：A.5.已知()()1cos cos cos cos 3αβγαβγ+-+=，则()()sin sin sin sin αβγαβγ+-+=（）A.16-B.13-C.16D.13【答案】B 【解析】【分析】根据余弦两角和公式将()cos αβγ++展开成角αβ+与γ的两角和形式与α与βγ+的两角和形式，建立等式关系结合已知等式即可得结论.【详解】因为()()()cos cos cos sin sin αβγαβγαβγ++=+-+，又()()()cos cos cos sin sin αβγαβγαβγ++=+-+，所以()()cos cos sin sin αβγαβγ+-+()()cos cos sin sin αβγαβγ=+-+，因为()()1cos cos cos cos 3αβγαβγ+-+=，则()()sin sin sin sin αβγαβγ+-+=()()1cos cos cos cos 3αβγαβγ+-+=-.故选：B.6.为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（）A.1.4B.1.45C.1.5D.1.55【答案】B 【解析】【分析】利用分层随机抽样的均值与方差公式即可解决.【详解】由题意可得，该校学生每天学习时间的均值为40601008910200200200x =⨯+⨯+⨯9.3=，该校学生每天学习时间的方差为()22400.589.3200s ⎡⎤=⨯+-⎣⎦()2600.899.3200⎡⎤+⨯+-⎣⎦()21001109.3200⎡⎤+⨯+-⎣⎦ 1.45=.故选：B7.已知函数()f x 满足对任意的(),1,x y ∈+∞且x y <都有111x y f f f xy x y ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若2155n a f n n ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，*n ∈N ，则1232024a a a a ++++= （）A.253385f ⎛⎫⎪⎝⎭B.253380f ⎛⎫⎪⎝⎭C.253765f ⎛⎫⎪⎝⎭D.253760f ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据111x y f f f xy x y ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭将21115523n a f f f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再用裂项相消法求1232024a a a a ++++ 的值.【详解】∵函数()f x 满足对任意的(),1,x y ∞∈+且x y <都有111x y f f f xy x y ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴令2,3x n y n =+=+，则()()()()2231112355n n x y xy n n n n +-+-==--++++，∴21115523n a f f f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴1232024111111344520262027a a a a f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭113202725332027132027760f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究透通项，本题的关键是将通项分析为：2111.5523n a f f f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数1cot tan θθ=，正割函数1sec cos θθ=，余割函数1csc sin θθ=，正矢函数sin 1cos ver θθ=-，余矢函数cos 1sin ver θθ=-.如图角θ始边为x 轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P ，A 、B 分别是单位圆与x 轴和y 轴正半轴的交点，过点P 作PM 垂直x 轴，作PN 垂直y 轴，垂足分别为M 、N ，过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线分别交θ的终边于T 、S ，其中AM 、PS 、BS 、NB 为有向线段，下列表示正确的是（）A.sin ver AM θ=B.csc PS θ=C.cot BS θ=D.sec NBθ=【答案】C 【解析】【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知sin =MP θ，cos OM θ=，tan =AT θ，然后结合新定义简单计算可判断各个选项.【详解】根据题意，易得OMP OAT SBO PNO V :V :V :V ，对于A ，因为1cos 1OM MA θ-=-=，即sin ver MA θ=，故A 错误；对于B ，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，11csc sin BO OS OS MP MP OPθθ=====，故B 错误；对于C ，11cot tan tan BS OSBθθ===∠，故C 正确；对于D ，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得11sec cos OA OTOT OM OM OPθθ=====，故D 错误.故选：C.【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AD 和1DD 的中点，则下列说法正确的是（）A.1//AD 平面BEFB.1B C ⊥平面BEFC.异面直线11B D 与EF 所成角为60°D.平面BEF 截正方体所得截面为等腰梯形【答案】ACD 【解析】【分析】于A ，连接1AD ，利用三角形中位线证得1//AD EF ，结合线面平行判定定理即可判断A ；对于B ，取1AA 中点Q ，连接1,,A D QE QB ，设正方体棱长为2，根据线段长度结合勾股定理判断QE 与BE 是否垂直，即判断1B C 与BE 是否垂直，从而可判断B ；对于C ，连接11,AD B A ，根据正方体的面对角线性质，即可得异面直线11B D 与EF 所成角的大小，从而判断C ；对于D ，连接111,,AD BC C F ，确定截面完整图形为四边形1BEFC ，再计算其四边长度与位置关系，即可判断D.【详解】对于A ，如图，连接1AD ，因为E ，F 分别为棱AD 和1DD 的中点，所以1//AD EF ，又1AD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以1//AD 平面BEF ，故A 正确；对于B ，如图，取1AA 中点Q ，连接1,,A D QE QB ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111,//AB CD A B CD =，所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以11//BC AD ，又,QE 分别为1AA ，1A D 中点，则1//QE A D ，故1//B C QE ，设正方体棱长为2，则BE BQ QE ======，故222QE BE BQ +≠，所以QE 不垂直于BE ，故1B C 不垂直于BE ，又BE ⊂平面BEF ，所以1B C 不垂直平面BEF ，故B 错误；对于C ，如图，连接11,AD B A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111AB B D AD ==，即11AB D 为正三角形，又因为E ，F 分别为棱AD 和1DD 的中点，所以1//EF AD ，故异面直线11B D 与EF 所成角即为1160B D A ∠=︒，故C 正确；对于D ，如图，连接111,,AD BC C F ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111,//C D AB C D AB =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，则11//AD BC ，又1//EF AD ，所以1//EF BC ，所以1,,,B E F C 四点共面，故平面BEF 截正方体所得截面为四边形1BEFC ，设正方体棱长为2，则112BE C F ====所以11,C F BE EF BC =≠，又1//EF BC ，故截面为四边形1BEFC 为等腰梯形，故D 正确.故选：ACD.10.已知正实数a ，b ，c ，且a b c >>，x ，y ，z 为自然数，则满足0x y za b b c c a++>---恒成立的x ，y ，z 可以是（）A.1x =，1y =，4z =B.1x =，2y =，5z =C.2x =，2y =，7z =D.1x =，3y =，9z =【答案】BC 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到2x y a b b c a c+≥---，进而得到只需2z >即可，再依次判断四个选项即可.【详解】要满足0x y z a b b c c a ++>---，只需满足x y za b b c a c+>---，其中正实数a ，b ，c ，且a b c >>，x ，y ，z 为正数，()()a b b c x y x y a b b c a c a b b c -+-⎛⎫+=+ ⎪-----⎝⎭()()()()()()b c x a b y x y a c a b a c a c b c a c--=+++------x y a c a c≥++--2x ya c a c a c+=+=---，当且仅当()()()()()()b c x a b y a b a c a c b c --=----，即()()22b c x a b y -=-时，等号成立，观察各选项，故只需2z a ca c+>--，故只需2z >即可，A 选项，1x =，1y =，4z =时，24=，A 错误；B 选项，1x =，2y =，5z =时，235=+，B 正确；C 选项，2x =，2y =，7z =时，287=>，C 正确；D 选项，1x =，3y =，9z =时，249=+，D 错误.故选：BC.11.已知椭圆()222:1039x y C b b+=<<左右两个焦点分别为1F 和2F ，动直线l 经过椭圆左焦点1F 与椭圆交于,A B 两点，且228AF BF +≤恒成立，下列说法正确的是（）A.b =B.[]4,6AB ∈C.离心率2e =D.若OA OB ⊥，则2211518OAOB+=【答案】AB 【解析】【分析】根据椭圆定义利用通径长可求得b ，由椭圆性质可得[]4,6AB ∈，且离心率33e =，联立直线和椭圆方程可知当OA OB ⊥，方程无解，因此D 错误.【详解】如下图所示：易知3a =，由椭圆定义可知22412AB AF BF a ++==，因为228AF BF +≤恒成立，所以4AB ≥，当AB x ⊥轴，即AB 为通径时，AB 最小，所以2min 24b AB a==，解得b =，所以A 正确；当AB 为长轴时，AB 最大，此时26AB a ==，所以[]4,6AB ∈，即B 正确；可得椭圆方程为22:196x y C +=，易知c ==3c e a ==，即C 错误；因为()1F ，可设直线l的方程为x my =()()1122,,,A x y B x y ，联立22196x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()2223120m y +--=，因此12122212,2323y y y y m m +==-++；若OA OB ⊥，可得0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，所以()()21212130m y y y y +-++=；整理得2610m +=，此时方程无解，因此D 错误.故选：AB非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数1i +与3i 在复平面内用向量OA 和OB 表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则OA 与OB夹角为__________.【答案】45°（或π4）【解析】【分析】根据复数的几何意义、向量夹角公式运算得解.【详解】根据题意，()1,1OA = ，()0,3OB =，cos ,2OA OB OA OB OA OB ⋅∴==u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，又0,πOA OB ≤≤ ，所以向量OA 与OB 的夹角为π4.故答案为：o 45（或π4）.13.将函数()cos 2g x x =的图象上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移π4得到函数()y h x =的图象，若函数()y g x =与函数()1y h x =+图象交于点()(),g αα，其中π02α-<<，则sin α的值为__________.【答案】255-##【解析】【分析】先利用伸缩变换和平移变换得到()h x ，再根据题意，由()()1h g αα+=求解.【详解】解：由题意得：()2sin 2h x x =，因为函数()y g x =与函数()1y h x =+图象交于点()(),g αα，所以2sin 21cos 2αα+=，即22224sin cos sin cos cos sin αααααα++=-，整理得()2sin 2cos sin 0ααα+=，因为π02α-<<，所以2cos sin 0αα+=，又因为22sin cos 1αα+=，所以sin 5α=-，故答案为：255-14.如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆O 的一段圆弧E ，且弧E 所对的圆心角为4π5.设圆C 的圆心C 在点O 与弧E 中点的连线所在直线上.若存在圆C 满足：弧E 上存在四点满足过这四点作圆O 的切线，这四条切线与圆C 也相切，则弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离的取值范围为__________.（参考数据：2π1cos54=）【答案】(【解析】【分析】设弧E 的中点为M ，根据圆与圆相离，确定两圆的外公切线与内公切线，确定圆O 的位置，分析可得弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离.【详解】如图，设弧E 的中点为M ，弧E 所对的圆心角为4π5，圆O 的半径1OM =，在弧E 上取两点,A B ，则4π5AOB ∠≤，分别过点,A B 作圆O 的切线，并交直线OM 于点D ，当过点,A B 的切线刚好是圆O 与圆C 的外公切线时，劣弧AB 上一定还存在点,S T ，使过点,S T 的切线为两圆的内公切线，则圆C 的圆心C 只能在线段MD 上，且不包括端点，过点C ，分别向,AD BD 作垂线，垂足为,R P ，则CR 即为圆C 的半径，设线段OC 交圆C 于点N ，则弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离即为线段MN 的长度.在Rt AOD中，12πcos 51cos cos 254OAOA OAOD AOB AOD ==≤==∠∠，则11011MN OC OM CN OC CR OD =--=--<--=-=即弧E 上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为(.故答案为：(.【点睛】结论点睛：本题考查了根据两圆位置关系求距离的范围的问题.可按如下结论求解：相离的两个圆（圆心分别为1O 和2O ,半径分别为R 和r ）上的两个动点之间的距离L 的最小值是两圆心之间的距离减去两圆的半径，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径，即min 12max 12,L O O R r L O O R r =--=++.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，已知多面体111111,,,ABC A B C A A B B C C -均垂直于平面111,120,4,1,2ABC ABC A A C C AB BC B B ∠=︒=====．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3913.【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：通过计算，根据勾股定理得111111,AB A B AB B C ⊥⊥,再根据线面垂直的判定定理得结论；（Ⅱ）方法一：找出直线AC 1与平面ABB 1所成的角，再在直角三角形中求解即可.【详解】（Ⅰ）［方法一］：几何法由11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥得111AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=，即有111AB A B ⊥.由2BC =，112,1,BB CC ==11,BB BC CC BC ⊥⊥得11B C =，由2,120AB BC ABC ==∠=︒得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =，所以2221111AB B C AC +=，即有111AB B C ⊥，又11111A B B C B = ，因此1AB ⊥平面111A B C .［方法二］：向量法如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz .由题意知各点坐标如下：()()()()()1110,,1,0,0,0,4,1,0,2,0,,A B A B C因此111112),(1,2),(0,3)AB A B A C ==-=-,由1110AB A B ⋅= 得111AB A B ⊥；由1110AB A C ⋅=得111AB AC ⊥，所以1AB ⊥平面111A B C .（Ⅱ）［方法一］：定义法如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD .由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ，所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角.由111111B C A B A C ===得111111cosC A B C A B ∠=∠=，所以1C D =，故111sin 13C D C AD AC ∠==.因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13.［方法二］：向量法设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.由(I)可知11(0,(0,0,2)AC AB BB ===,设平面1ABB 的法向量(,,)n x y z =.由100n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可取(n = ，所以111sin cos ,13||AC n AC n AC n θ⋅===⋅ .因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13.［方法三］：【最优解】定义法+等积法设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，点1C 到平面1ABB 距离为d （下同）．因为1C C ∥平面1ABB ，所以点C 到平面1ABB 的距离等于点1C 到平面1ABB 的距离．由条件易得，点C 到平面1ABB 的距离等于点C 到直线AB 的距离，而点C 到直线AB，所以d =1sin 13d AC θ===．［方法四］：定义法+等积法设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，由条件易得111111A B B C AC ===，所以2221111111111111cos 25A B B C AC A B C A B B C +-∠==-⋅，因此11115sin 5A B C ∠=．于是得11111111111sin 2A B C S A B B C A B C =⋅⋅∠=△，易得114AA B S =△．由111111C AA B A A B C V V --=得1111111133AA B A B C S d S AB ⋅=⋅△△，解得d =故139sin 13d AC θ===．［方法五］：三正弦定理的应用设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，易知二面角11C AA B --的平面角为6BAC π∠=，易得11sinC AA ∠=，所以由三正弦定理得11139sin sin sin 213C AA BAC θ=∠⋅∠==．［方法六］：三余弦定理的应用设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，如图2，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，易得CG ⊥平面1ABB ，所以CG可看作平面1ABB 的一个法向量．结合三余弦定理得1139sin cos ,cos cos 13AC CG C AC GCA θ=〈=∠⋅∠=〉=．［方法七］：转化法＋定义法如图3，延长线段1A A 至E ，使得1AE C C =．联结CE ，易得1EC AC ∥，所以1AC 与平面1ABB 所成角等于直线EC 与平面1ABB 所成角．过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，联结GE ，易得CG ⊥平面1ABB ，因此EG 为EC 在平面1ABB 上的射影，所以CEG ∠为直线EC 与平面1ABB所成的角．易得CE =，CG =，因此39sin 13CG CEG CE ∠===．［方法八］：定义法＋等积法如图4，延长11,A B AB 交于点E ，易知2BE =，又2AB BC ==，所以AC CE ⊥，故CE ⊥面11AA C C ．设点1C 到平面1ABB 的距离为h ，由1111E AA C C AA E V V --=得1111113232AA AE h AA AC CE ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅，解得h =又1AC =，设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，所以sin 13θ==．【整体点评】（Ⅰ）方法一：通过线面垂直的判定定理证出，是该题的通性通法；方法二：通过建系，根据数量积为零，证出；（Ⅱ）方法一：根据线面角的定义以及几何法求线面角的步骤，“一作二证三计算”解出；方法二：根据线面角的向量公式求出；方法三：根据线面角的定义以及计算公式，由等积法求出点面距，即可求出，该法是本题的最优解；方法四：基本解题思想同方法三，只是求点面距的方式不同；方法五：直接利用三正弦定理求出；方法六：直接利用三余弦定理求出；方法七：通过直线平移，利用等价转化思想和线面角的定义解出；方法八：通过等价转化以及线面角的定义，计算公式，由等积法求出点面距，即求出．16.欧拉函数()()*Nn n ϕ∈的函数值等于所有不超过正整数n 且与n 互素的正整数的个数，例如：()11ϕ=，()42ϕ=，()84ϕ=，数列{}n a 满足()()*2N n n a n ϕ=∈.（1）求1a ，2a ，3a ，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记()222log 1nnn na b a =-，求数列{}n b 的前n 和n S .【答案】（1）11a =，22a =，34a =，12n n a -=（2）()620625254n nn S +=-+⨯-【解析】【分析】（1）根据题意理解可求1a ，2a ，3a ，结合与2n 互素的个数可求数列{}n a 的通项公式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用错位相减法求和即可.【小问1详解】由题意可知()121a ϕ==，()242a ϕ==，()384a ϕ==，由题意可知，正偶数与2n 不互素，所有正奇数与2n 互素，比2n 小的正奇数有12n -个，所以()122nn n a ϕ-==；【小问2详解】由（1）知()122nn n a ϕ-==，所以()221222nn n a ϕ-==，所以()()()()()21222212log log 2211112142244nn nn n n n n n n a b n n a --⎛⎫=-=-=--=-- ⎪⎝⎭，12n n S b b b =+++ ，所以()()12111112646424444n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++-⨯-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()()2311111126464244444nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-++-⨯-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②所以①－②得()12151111244244444n n n S n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++---⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111641144212414n n n -+⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+⨯--⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()()1111111320614225441054n n n n n -++⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=-+----⨯-=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯-⎢⎥⎣⎦，所以()620625254n nn S +=-+⨯-.17.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左右焦点分别为1F ，2F ，点()3,2P 在双曲线上，且点()3,2P 到双曲线两条渐近线的距离乘积为65，过1F 分别作两条斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，已知1l 与C 双曲线左支交于A ，B 两点，2l 与C 左右两支分别交于E ，F 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若线段AB ，EF 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）22132x y -=（2）证明见解析，()-【解析】【分析】（1）根据题意，列出,,a b c 的方程组求出22,a b 得解；（2）设直线1l的方程为(y k x =+，可得2l的方程(1y x k=-+，分别与双曲线方程联立，结合韦达定理求出点,M N 的坐标，表示直线MN 的方程，令0y =求得x 是定值.【小问1详解】设双曲线C 的两渐近线方程分别为by x a=，b y x a =-，点()3,2P 到双曲线两渐近线的距离乘积为22294323265b a b a b a ccc --+⨯==，由题意可得：22222229465941a b c b a a b ⎧+=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得23a =，22b =，所以双曲线C 的方程为22132x y -=.【小问2详解】设直线1l的方程为(y k x =，由1l ，2l 互相垂直得2l的方程(1y x k=-，联立方程得(22132y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，消y 得()2222231560k x x k ----=，0∆>成立，所以212235223M x x x k +==-，(22523M M y k x k=+=-，所以点M 坐标为2223525,2323k k ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭，联立方程得(221132y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以342223N x x x k +==-，(2123N N y x k k -=-=-，所以点N坐标为22,2323k k ⎛⎫- ⎪ ⎪--⎝⎭，根据对称性判断知定点在x 轴上，直线MN 的方程为()N MM M N My y y y x x x x --=--，则当0y =时，222222222323232325252323M N N M N M x y x y k k k k x y y k k -⋅-⋅-==----，所以直线MN恒过定点，定点坐标为()-.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法再联立双曲线方程从而解出点,M N 的坐标，再得到直线MN 的方程，最后令0y =即可得到其定点坐标.18.定义{},max ,,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，已知函数(){}3max ln ,41f x x x mx =-+-，其中R m ∈.（1）当5m =时，求过原点的切线方程；（2）若函数()f x 只有一个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）e 0x y -=或20x y -=（2）3m <或5m >【解析】【分析】（1）当5m =时，求出()f x ，利用导数的几何意义得出切线斜率，即可求切线方程；（2）对m 分类讨论，根据函数只有一个零点，结合函数的单调性分别分析求出m 的取值范围.【小问1详解】由题意知()f x 定义域()0,∞+，当5m =时，()333451,451ln ln ,451ln x x x x x f x x x x x ⎧-+--+-≥=⎨-+-<⎩，令()3451g x x x =-+-，()21250012g x x x '=-+>⇒<<，()g x ⇒在0,12⎛ ⎝⎭单调递增，12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，且()10g =，令()ln h x x =，则在()0,∞+单调递增，而()()101f h ==，又13416g ⎛⎫=⎪⎝⎭，11ln 144h ⎛⎫=<- ⎪⎝⎭，而()01g =-，所以当104x <<时，()()>g x h x ，当114x ≤<时，()()0g x h x >>，所以当01x <<时，()()f x g x =，当1x ≥时，()()f x h x =，所以()3451,01ln ,1x x x f x x x ⎧-+-<<=⎨≥⎩，所以()f x 在0,12⎛ ⎝⎭和()1,+∞单调递增，在,112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减.（ⅰ）当01x <<时，()2125f x x '=-+，设切点()3000,451M x x x -+-，则此切线方程为()()230000125451y x x x xx =-+--+-，又此切线过原点，所以()()23000001250451x x x x =-+--+-，解得012x =，即此时切线方程是20x y -=；（ⅱ）当1x ≥时，()ln f x x =，所以()1f x x'=，设切点为()00,ln x x ，此时切线方程()0001ln y x x x x =-+，又此切线过原点，所以()000100ln x x x =-+，解得0e x =，所以此时切线方程e 0x y -=，综上所述，所求切线方程是：e 0x y -=或20x y -=；【小问2详解】（ⅰ）当5m =时，由（1）知，()f x在0,12⎛ ⎝⎭和()1,+∞单调递增，,112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，且()01f =，130416f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()10f =，此时()f x 有两个零点；（ⅱ）当5m >时，当01x <<时，3345141x x x mx -+-<-+-，由（1）知：()3451g x x x =-+-在0,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭递增，12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭递减，且()10g =，所以60,12x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x >，而()01f =-，所以()f x在0,12⎛ ⎪⎝⎭只有一个零点，,12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭没有零点；（ⅲ）当05m <<时，341y x mx =-+-，此时2120y x m '=-+>得012x <<<，由（1）知，当1x ≥时，()ln f x x =只有一个零点1x =，要保证()f x 只有一个零点，只需要当01x <<时，()341f x x mx =-+-没有零点，34110901f m ⎧⎛⎛⎪=-+-=-< ⎪⎝⎝⎨⎪<<⎪⎩，得03m <<；（ⅳ）当0m ≤时，当()0,x ∈+∞时，()3410g x x mx =-+-<，此时()f x 只有一个零点1x =，综上，()f x 只有一个零点时，3m <或5m >.【点睛】关键点点睛：通过对m 的分类讨论，得出()f x 解析式，再由函数的单调性，结合函数只有一个零点，分别分析或列出不等式求m 的范围，解题过程较繁琐.19.甲、乙两人进行知识问答比赛，共有n 道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为p 和13，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.（1）若3n =，12p =，求甲获胜的概率；（2）若20n =，设甲第i 题的得分为随机变量i X ，一次比赛中得到i X 的一组观测值()1,2,,20i x i = ，如下表.现利用统计方法来估计p 的值：①设随机变量11ni i X X n ==∑，若以观测值()1,2,,20i x i = 的均值x 作为X 的数学期望，请以此求出p 的估计值 1p ；②设随机变量i X 取到观测值()1,2,,20i x i = 的概率为()L p ，即()L p ()11222020,,,P X x X x X x ==== ；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着p 的变化，用使得()L p 达到最大时p 的取值 2p 作为参数p 的一个估计值.求 2p .题目12345678910得分100﹣111﹣1000题目11121314151617181920得分﹣1011﹣100010表1：甲得分的一组观测值.附：若随机变量X ，Y 的期望()E X ，()E Y 都存在，则()()()E X Y E X E Y +=+.【答案】（1）539864（2）①135p =；② 235p =【解析】【分析】（1）根据甲抢到题目数，分类讨论利用条件概率和全概率公式求解.（2）①由公式计算的数学期望与观测值的均值x 相等，可求出p 的估计值 1p ；②由概率()L p 的表达式，利用导数求取最大值时时p 的取值.【小问1详解】记甲获胜为事件A ，甲抢到3道题为事件3A ，甲抢到2道题为事件2A ，甲抢到1道题为事件1A ，甲抢到0道题为事件0A ，则()331128P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()322313C 28P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()311313C 28P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()301128P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，而()322331111|C 12222P A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()212211117|C 11222312P A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1122211222|21233332333P A A ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅⋅+-⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3210321220|C 33327P A A ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()()()()()()()()33221100||||P A P A P A A P A P A A P A P A A P A P A A =+++1137321205398281283827864=⋅+⋅+⋅+⋅=.【小问2详解】①()12i p P X ==，()102i P X ==，()112i p P X -=-=，所以()11211012222i p p p E X --=⨯+⨯-⨯=；因为()()1111111212122n n ni i i i i i p p E X E X E X E X n n n n n ===--⎛⎫⎛⎫====⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，由表中数据可知110x =，所以1211210p -=， 135p =.②因为()1,2,,20i X i = 取值相互独立，所以()()()()()1122202011222020,,,L p P X x X x X x P X x P X x P X x ======== ()()()6104610411101222i i i p p P X P X P X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯=-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()10546310531111135322222222222p p p p p p p L p ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；令()0L p '=得35p =，又01p <<，所以当30,5p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0L p '>，()L p 单调递增；当3,15p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0L p '<，()L p 单调递减；即当35p =时()L p 取到最大值，从而235p =.【点睛】方法点睛：正确提取题干中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。
浙江省名校协作体2024届高三上学期考试全真演练物理试题(基础必刷)
浙江省名校协作体2024届高三上学期考试全真演练物理试题（基础必刷）学校：_______ 班级：__________姓名：_______ 考号：__________（满分：100分时间：75分钟）总分栏题号一二三四五六七总分得分评卷人得分一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题关于物理学的研究方法，下列说法正确的是（ ）A．伽利略猜想自由落体运动的速度与下落时间成正比B．在探究力的平行四边形定则的实验中体现了等效替代的思想C．加速度运用的是比值定义法D．根据速度定义式，当时，就可以表示物体在t时刻的瞬时速度，该定义运用了控制变量法第(2)题如图所示，在水平面上放置一个右侧面半径为的圆弧凹槽，凹槽质量为，凹槽点切线水平，点为最高点.一个质量也为的小球以速度从点冲上凹槽，重力加速度为，不计一切摩擦，则下列说法正确的是（）A．小球在凹槽内运动的全过程中，小球与凹槽的总动量守恒，且离开凹槽后做平抛运动B．若，小球恰好可到达凹槽的点且离开凹槽后做自由落体运动C．若，小球最后一次离开凹槽的位置一定是点，且离开凹糟后做自由落体运动D．若，小球最后一次离开凹槽的位置一定是点，且离开凹槽后做竖直上抛运动第(3)题平潭海峡公铁两用大桥全长16.34km，该大桥所处的平潭海峡是世界三大风暴海域之一，以“风大、浪高、水深、涌急”著称。
为保证安全起见，环境风速超过20m/s时，列车通过该桥的运行速度不能超过300km/h，下列说法正确的是（ ）A．题目中“全长16.34km”指的是位移大小B．“风速超过20m/s”“不能超过300km/h”中所指的速度均为瞬时速度C．“风速超过20m/s”指的是平均速度，“不能超过300km/h”指的是瞬时速度D．假设某火车通过该大桥所用时间为0.08h，则平均速度约为204km/h第(4)题如图所示，质量均为m的木块A和B，并排放在光滑水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为L的细线，细线另一端系一质量为m0的球C，现将球C拉起使细线水平伸直，并由静止释放球C，则下列说法不正确的是（重力加速度为g）（ ）A．A、B两木块分离时，A、B的速度大小均为B．A、B两木块分离时，C的速度大小为C．球C由静止释放到最低点的过程中，A对B的弹力的冲量大小为D．球C由静止释放到最低点的过程中，木块A移动的距离为第(5)题如图所示，斜面倾角见图，且，现从斜面上O点与水平方向成 60° 角以速度，分别抛出小球1、2，小球1、2刚要落在斜面上A、B两点时的速度分别为，，设O、A间的距离为，O、B间的距离为，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）A．，、方向相同B．，、方向不同C．，、方向相同D．第(6)题现代考古通过测量生物化石中放射性同位素碳14的量来确定生物的年代，质量为的碳14（）发生β衰变，经过时间t后剩余碳14的质量为m，其图线如图所示。
浙江省名校协作体2025届高三语文上学期开学考试含解析
浙江省名校协作体2024届高三语文上学期开学考试一、现代文阅读（26分）1.C【A项，“建立在人对自然与人事关联的直观体验基础上”错误。
原文是“建立在人对自然与人事的直观体验基础上”。
B项，“只要拥有绮丽的情思就拥有绮丽的文辞”不对。
D项，原文“清人钟秀论陶首标‘洒落’”，“首标”指把“洒落”作为首要特征，且后文说南宋的陈模早已用‘胸次洒落’称道过陶渊明，非清人钟秀首次运用】2.B【庄子的《五石之瓠》重在表现哲理，并未追求文辞之丽。
】3.①先总说“丽”是中国古典美学的重要审美范畴。
②接着分析“丽”字的含义演化。
然后阐述“丽”的历史流变。
③最终阐述“丽”的三层美学内涵，并指诞生命之丽是文学艺术得以许久流传的内在根源。
4.C【C项，“表现出父亲的自私、冷酷和不负责任”错。
父亲与母亲的疏远，以及父亲对家庭生活琐事的漠不关切当然能体现父亲的自私和不负责任，但体现不出父亲的冷酷。
故选C。
】5.A【A项，“又推动了故事情节的发展”说法错误，开篇的环境描写创设了故事发生的背景，导引了人物出场，但并没有推动故事情节的发展。
故选A。
】6.①把阁楼比作冬日狂风黑暗的肺（冬日狂风黑暗自有一种灰暗和冰冷感），将无生命的事物生命化，在语义上带来一种新颖感和鲜活感，让人感受到冬日沉闷无聊中对活力的渴望；②乌鸦在空中曼妙地飘舞，“曼妙”一词轻快而富有美感，和“染黑了混浊灰黄的早晨光线”的灰暗形成显明比照，包含若对美妙与自由的渴望（与温情）；③兀鹰赤裸着颈项，皱巴巴的脸上布满肿瘤，“皱巴巴”“肿瘤”这样丑陋而具有灰暗感的生物却有一种不行动摇的名贵，兀鹰的名贵同时也隐喻着父亲灵魂的名贵，这种名贵是对自由的渴望，是无聊乏味中对现实逃遁的温情；④“这些生命的肿瘤摸着黑，往有光线的方向移动”，“肿瘤”一词给人以灰暗和冰冷感，但“摸着黑”“往有光线的方向移动”则写出这些刚孵化出的雏鸟对于生命、对于光明的渴望与温情。
【给分点：找出能体现灰暗或冰冷的词语或句子得1分，答出这些词语或句子体现出的暖和或渴望再得1分；每点2分，随意写出两点即可得满分4分。
浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题(含答案)
2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟：2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷选择题部分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1A x x =≥,{}22530B x x x =--<∣则A B =∪（ ）A ．{}1x x ≥12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭C ．312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{}13x x ≤<2．已知复数z 满足5382i z z +=-，则z =（ ）A ．1B ．2C D ．3．已知等比数列{}n a 的前2项和为12，136a a -=, 则公比q 的值为（ ）A ．12B ．2C ．13D ．34．已知平面向量,m n 满足：2m n == ，且m 在n上的投影向量为12n，则向量m 与向量n m - 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1505．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足π1,3f ⎛⎫=⎪⎝⎭最小正周期为π，函数()sin2g x x =，则将()f x 的图象向左平移（ ）个单位长度后可以得到()g x 的图象A ．π12B ．π6C ．5π6D ．11π126．已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（）A ．7π4B ．2πC ．9π4D ．5π27．已知,A B 是椭圆22143x y +=与双曲线22143x y -=的公共顶点，M 是双曲线上一点，直线,MA MB 分别交椭圆于,C D 两点，若直线CD 过椭圆的焦点F ，则线段CD 的长度为（ ）A ．32B ．3C ．D8．正三棱台111ABC A B C -中，11122AB A B AA ===，点D 为棱AB 中点，直线l 为平面111A B C 内的一条动直线．记二面角C l D --的平面角为θ，则cos θ的最小值为（ ）A ．0B ．18C D ．17二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．已知随机变量X 服从正态分布()2,,N μσσ越小，表示随机变量X 分布越集中B ．数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9C ．线性回归分析中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越弱D ．已知随机变量17,,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭则()72E X =10．设函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()2f x '+为偶函数，()()110f x f x +--=，则（）A ．()()11f x f x +='-'B ．()30f '=C ．()20250f '=D ．()()()2222f x f x f ++-=11．已知正项数列{}n a 满足()()()*121211,,n n n n n n a a a a a a a n N ++++=-=-∈记12231n n n T a a a a a a +=+++ ，124T =． 则（ ）A ．{}n a 是递减数列B ．202462029a =C ．存在n 使得43n T =D ．100110ii a=>∑非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．13．已知正实数a 满足a<a 的取值范围是______．14．将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第1组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第2组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第3组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）已知在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足,a a c =>，()()sin cos cos ;A B C B C ++=-（1）求角C 的值；（2）若ABC △的面积为14，求ABC △的周长。
2024届浙江省名校协作体数学高一下期末综合测试试题含解析
2024届浙江省名校协作体数学高一下期末综合测试试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列各点中，可以作为函数sin y x x =+图象的对称中心的是（ ）A ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,03π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭2．已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为 A ．5B ．4C ．2D ．13．经过点()2,1A -，和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上的圆方程为（ ） A ．()()22122x y +++= B ．()()22122x y -+=+ C ．()()22122x y ++-=D ．()()22122x y -+-=4．圆22:2410C x y x y +-++=，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(2,2)-的圆的方程是（ ）．A ．22(1)(2)5x y -++=B ．22(1)(2)25x y -++=C ．22(1)(2)5x y ++-=D ．22(1)(2)25x y ++-=5．已知数列{}n a 中，11a =，()111n n a a n n +-=+，则10a 等于( )A ．1910B ．910C ．179D ．21116．一元二次不等式()()120x x -+<的解集为（ ）A ．2{1}x x x ｜＜-或＞ B ．1{2}x x x ｜＜-或＞ C ．21{}x x ｜-＜＜ D ．21{}x x ｜-＜＜ 7．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11A D ，1A A 的中点，则异面直线EF 和1BD 所成角的余弦值为（ ）A ．63B ．33C ．22D ．668．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1， 顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为A ．2sin 2cos 2αα-+；B ．sin 33αα-+C ．3sin 31αα+D ．2sin cos 1αα-+10．已知a ,b ,R c ∈,且a b >,0c >,则( ) A ．ac bc >B ．ac bc <C ．22a b >D ．22a b <二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
浙江省名校协作体2023-2024学年高三上学期开学考试技术学科试题含解析
A.3B.15C.63D.105
【答案】D
【解析】
【详解】本题主要考查算法流程图的执行。分析流程图可知，该流程图实现求m和n的最小公倍数，15和21的最小公倍数是105，故本题选D选项。
8.某二叉树的前序遍历结果为GFDECAB，中序遍历结果为DFGCAEB。关于该二叉树，以下说法，正确的是（）
【详解】本题主要考查Python程序调试。分析程序，在f(6)中for循环中会执行f(5)、f(4)、f(3)；而在f(5)中for循环中又会执行f(4)、f(3)、f(2)；而在f(4)中for循环中又会执行f(3)、f(2)、f(1)，因为有两个f(4)，因此f(3)被调用的次数为1+1+2=4次，故本题选D选项。
A.8B.10C.11D.13
【答案】B
【解析】
【详解】本题考查的是排序变形。程序的功能是：循环实现前i+1元素，从左往右冒泡，实现降序排列，cnt记录的是交换次数。a=[12,45,45,63,0,0,63]
当i=1，对a=[12,45,45,63,0,0,63]前面2个元素冒泡，12和45交换1次，完成后a=[45, 12, 45, 63, 0, 0, 63]；
二、非选择题（本大题共3小题，第13小题8分，第14小题9分，第15小题9分，共26分）
13.小王设计了一个智能晾衣架控制系统，该系统结构如图所示。利用温湿度传感器采集环境中的温湿度数据，由智能终端经IoT模块发送到Web服务器，Web服务器综合数据计算晾衣指数，自动控制晾衣架打开或收回，并推送消息通知用户。
A.该二叉树的后序遍历为ADFCBEG
B.该二叉树的深度为4，节点C在第3层
浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期开学考试 数学 含答案
2023-2024学年第二学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科考生须知：1本卷满分150分，考试时间120分钟；2答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效：4考试结束后，只需上交答题卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）已知全集U=R,A={xl x.. o},B={xl-l<x<l}，则{xi-I<x<O} = ( )A.Au B B（炉）＾B c.A^（研） D.6u(AnB)2已知复数Z满足z=—-，则Z·Z=( )1-iA.-2B. 2iC.fi_D.2cosO-sin0 7t=2,则tan(e-�)=c)3已知cos0+sin0A.-2B.2C.--D.-2 24柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经入选国家非物质文化遗产名录如图所示；这是用柳条编织的圆台形米斗，上底直径30cm,下底迎径20cm,高为30cm,则该米斗的容积大概为（A.9升B.15升C.19升D.21升5有一组数据：1,1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4,去掉该组中的一个数据，得到一组新的数据与原有数据相比，无论去掉哪个数据，一定变化的数字特征是(A平均数B众数C中位数D极差6已知a>l,b>O,若抎＋log2a= b + log2b，则（）A.a>2bB.a<2bC.a>扩D.a<b27已知正项数列{a,，}满足生＝3a1,S,，为{a,,｝的前n项和，则”{a,，}是等差数列“是＂J芍为等差数列＂的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件8已知平面向量a,b满足lal= l,(b,a +b) A.2 B.✓2+ 1 C. ✓3+1 D.3冗飞，则位－b|的最大值为（）二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．兀9．已知x=－为函数f(x)=si n2x+acos2x的一个极大值点，则（）6A函数f(x)的值域为(-2,2]B函数y=f(x－王）为奇函数12c．曲线y=f(x)关于直线x=－？对称D函数y=f(x)叶子门上单调递增10．三棱锥P-ABC各顶点均在半径为2的球0的表面上，AB=AC=2，乙BAC=90,二面角P-BC-A的大小为45,则下列结论正确的是()A．直线OA/／平面PBC2拉B三棱锥0-ABC的体积为－－－3c．点0到平面PBC的距离为1D点P形成的轨迹长度为2✓37tII．日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量X,根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数n,寿命恰好为n的植物在所有寿命不小千n的柏物中的占比为10%记“一株植物的寿命为r1”为事件九，“一株植物的寿命不小于n,＇为事件B,，则下列结论正确的是（A. P(A2) =0.01B. P(B11) = 0.9n-iC设a n= P(A,,) B2)，则{a,,}为等比数列IID设S n=nP区），则I:s k< 10k=I三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．l x12已知正实数从Y满足x+2y=I,则一十一的最小值为X)'X13已知R,F2分别是双曲线C:—-�=l(a > O,b >0)的左右焦点，P是圆X Z+ y2 = C Z与C的渐近线的a2 b2一个交点，若2乙P�F2＝乙PF2�，则双曲线C的离心率为14已知函数f(x):n.x,x>0，若函数g(x)=f(f(x)）－可(x)+]有唯一零点，则实数0的取值范围是一一x,x<O,X四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15（本小题满分13分）已知”ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=2bcosC(I)判断�.A BC的形状；(2)若µ,A BC的外接圆半径为1，求＾ABC周长的朵大值16（本小题满分15分）如图，在等腰直角三角形RBC中，A,D分别为RB,RC的中点，BC=BR=4,将...RAD沿AD折起，使得点R至点P的位置，得到四棱锥P-ABCD,RB（l)若M为PC的中点，求证：DM/／平面PAB;2 (2)若平面PAD上平面ABCD,点E在线段BC上，平面PDE与平面ABED夹角的余弦值为－，求线3段BE的长17（本小题满分15分）甲乙丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：每场比赛胜者积2分，负者积0分；比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空；积分首先累计到4分者获得比赛胜利，比赛结束已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为p1，甲与丙比赛时，甲获胜,乙与丙比赛时，乙获胜的概率为P3的概率为P2(I)若p l=p2 =p3=0.5，求比赛结束时，三人总积分X的分布列与期望：(2)若p1+p3>l，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略18（本小题满分17分）已知过点(1,0)的归线与抛物线E:y2 =2px(p >0)交于A,B两点，O为坐标原点，当且线A B垂直于X轴时，A OB的面积为五(I)求抛物线E的方程；(2)若0为A BC的巫心，直线AC,B C分别交））轴于点M,N,记�M CN,�A O B的面积分别为S"S2, s 求-一的取值范围s19.（本小题满分17分）置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合A={l,2,...,n},nEN十的函数称为n次置换满足对任意iEA，几）＝l的置换称作恒等置换所有n次置换组成的集合记作S,，对千f(i)ES,,,我们可用列表法表示此置换：兀）＝［ 1 2心］，记f(l) f(2)f (i) =I'(i),t(f (i)) =/2 (i),1(12 (i)) =/3 (i), ,f(广(i))=f飞），i EA,k EN+．(I)若f(l)E&，几）＝（：： 1 3 :），计算广(l)(2)证明对任意/(i)ES4,存在kEN+，使得广(i)为恒等置换，(3)对编号从．1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，，依次类推这样橾作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由2023-2024学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高三年级数学学科一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I:： [ 1:［ ［1:I:[ [ I二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分JO杻CD1答案I BC I BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.1+2✓2 13.2 514.a =-－或－1,,a< l4四、解答题：共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.【解析】(l)因为a=2bcosC,所以sinA= 2sinBcosC,所以sin(B + C) = 2sinBcosC,所以sinBcosC+ c osBsinC = 2sinBcosC,所以sinBcosC-cosBsinC = 0,即sin(B-C)=O,因为B-C云(-7t,7t），所以B=C:所以,t,.ABC为等腰三角形：(2)由题意可知a=2sinA,b =2sinB, c = 2sinC = 2sinB,所以ABC的周长为：a+b+c =2<;inA+4sinB =2sin(n-28)+4sinB =2sin28+4sinB,设f(B) =2sin28+4sin8, B十彗+ 4cosB =8cos2 B + 4cosB-4 = 4(cosB + 1)(2cosB-l),则/'(B)= 4cos2B所以当BE（吁］时，cosB>沪'(B)> O,f (B)单调递增当B E(巴卫]时,cos B<』,＇B3 2) - 2 f'(B) <0,/(B)单调递减兀所以当B＝一时，．f(B)取到最大值3✓3'3所以周长的最大值为3./3.16.【解析】(I)取PB中点N,连接AN,MN,1则MNII BC,且MN=�BC,2因为A,D分别为R B,R C的中点，1所以ADIi BC,且AD=－BC,2所以ADIi MN且AD=MN,所以四边形ADMN为平行四边形，所以DM II AN,又ANc平面PAB,DMc;:.平面PAB,所以DM/／平面PAB(2)因为平而PAD..L平面ABCD,平而PAD＾平而ABCD=AD,D,所以AB..L平面PAD,又D,所以AB,AD,AP两两垂直如图，以A为原点，AB,AD,AP分别为x,y立轴建系，设B E=t,则P(0,0,2),D(0,2,0),E(2,t,0),所以PD=(0,2,-2),DE=(2,t-2,0),设n=(x,y,z)为平面P DE的法向量，则{n P D=0，即｛2y-2z=0 n·D E=O'�,·p x+(t-2)y=O'令y=2得n=(2-t,2,2)易知平面ABED的法向量为m=(0,0,1),设平面PDE与平面ABED的夹角为0,则cos0= !cos(ii，利＝2 2＝－ 扣－t）2+4+43'解得t=l或t=3,故BE=l或317.【解析】(I)由题意可知，X的取值可能为4,6,8P(x=4) =0.5x0.5x2=0.5;P(x=6) =0.5x0.5x0.5x2 =0.25;P(x =8) = 0.5x0.5x0.5x2= 0.25;所以三人总积分X的分布列为x 4 6 8p 0.5 0.25 0.25所以EX=0.5x4+0.25x6+0.25x8 =5.5.(2)设事件A为“第一局乙对丙最终乙获胜“,B为“第一局乙对甲最终乙获胜“,C为“第一局甲对丙而最终乙获胜＂，则有：P(A)=A(l-P i)+p孔(l-p2)p3+（l-p3队(l-p l)p”P(B) =(1-p,)PJ +(l-P i)(1-A)P i(l-P i)+ P, (1-Pi)A (l-P,);P(C)= P i(l-p,)PJ +(l-P2趴(1-Pi) =A(1-P i);显然P(B)>P(C);P(A)-P(B) =A P, (1-Pi)A +(l-PJ)P2 (1-P1)PJ -(l-P1)(l-PJ)P2 (1-P,)-P, (1-P2)A (1-P,)= (Pi + P :1 -l) P i (1-P 2) p 3 + (Pi + P :1 -l) (l -p 3屈(l-p l )=(p, + PJ -l)[P , (1-P i ) P 3 +(1-PJ 队(1-p ,)]>0所以P (A )>P (B );故乙的最优指定策略是让乙和丙打第一局18【解析】(I)由题意可知，SAOB =1x 2l x2痴＝石，所以p =1,所以抛物线E 的方程为l =2x(2)设A (xl,y l ),B (乓,A ),C(X:i,),3），因为0为，AB C 的重心，所以X 1+x2＋X':i = (), s AOB = s AOC = s BOC ;因为SMO C ＝巴生－X 3,s /1,，oc＝四＝飞s AOC IACx ,-X:J ,S 80C l8CI X 2 -X 3且S .,.,,oc+SNoc飞，S AOC = S BOC = S 2 ;所以江二立十二土＿＝x 1 +x 2 + X 1 +x 2 = 3(x 1飞）2＝ 3(x 1飞）2s 2x 1 -X 3 x 2 -X 3互＋凸X 1+2x 2 (2x 1飞）（x 1+2x 2) 2(x 1飞）2＋X l x 2 ; 设AB:x =ty +l ，与y 2=2x 联立得：y 2-2ty -2=0,所以Y 1Y 2= -2,2所以环＝（y心）＝1'则X1飞么仄�=2;4．． ＼）3-2， 4-3＿＿E 2、I'儿一1+斗3 ,i l '、＋ 2 ＝s i ＿鸟以所s所以忒的取值范围为［彗）19.【解析】2( 1 2 3 4l 2 3 4(I )由题意可知f l)＝（3 2 4 1)吓）＝（12 3 4](2)【解法一】1 2 3 4＠若氏）＝［12 34)，则吓）为恒等置换，＠若存在两个不同的i'使得f (i)=i'不妨设i=1,2,则兀）＝［12 34)1 2 4 3所以吓）＝（｝： ： ：），即吓）为恒等置换，l2 341 2 3 4＠若存在唯一的i'使得兀）＝i'不妨设i =2,则兀）＝（）32 4 1或f (i)＝(421 3)当兀）＝（12 3 4)时，由(I)可知广(i 4 2 1 3 ）为恒等置换；1 2 3 4同理可知，当f (i)=( ）时，广(·32 4 1 l)也是恒等置换；＠若对任意的i,J (i)妇，则情形一：f（i)＝(1 22 1情形二：f (i )=(� ! 几）＝（：： ： ｝）： ：）或f(t )＝（：： ： ：）或f (i)＝（；二32 :) 34 :]或f (l)＝［；: ： ：］或f (i )=G � !:]或或几）＝（；： ： ：）幻(i)=(�: : �)对于悄形一：广(i)为恒等置换；对于情形二：广(i)为恒等置换；综上，对任意/(i)ES 4,存在KEN +，使得广(i)为恒等置换，【解法二】对千任意iE {1,23,4}，都有j 、1(l)，广(t)，广(i)，广（小叶123,4},所以广（小f飞），广(t )，广(i )中，至少有一个满足广(l)＝l ,即使得广(i)= i的K的取值可能为1,2,3,4.当l分别取1,2,3,4时，记使得广(i)= i的K值分别为k"k2,k3, k4,只需取k为k“幻，k3,k4的最小公倍数即可所以对任意f(i)ES4,存在kEN+,使得广(i)为恒等暨换：(3)不妨设原始牌型从上到下依次编号为l到52,则洗牌一次相当于对{1,2,...,52}作一次如下暨换：兀）＝（1 2 3 4 5,1 272 28 3, 其中k=1,2,...,26 52)，即几）＝ ｛K，i =2K-1, 52)..''126+k,i=2k,注意到各编号在置换中的如下变化：l f l f f f i l l f f f l l l f ll➔1,2➔27今14➔33➔17➔9➔5➔3➔2,4今28今40今46今49今25➔13➔7➔4f f f f f l l f f f f f l f f f6➔29➔15➔8➔30➔41今21➔11➔,10➔31➔16➔34➔43➔22今37➔19➔lO,12➔32今42➔47今24➔38➔45➔23今12,18今35➔18,20➔36➔44➔48➔50➔51➔26今39➔20,52➔52;所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，注意到1,2,8的最小公倍数为8,由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换，故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型。