v二项式定理tt
二项式定理与legendre定理
一、概述二项式定理与Legendre定理是代数中重要的定理，它们分别涉及了二项式展开和数论中的一个重要定理。
本文将通过深入探讨二项式定理和Legendre定理的相关内容，以及它们在数学中的应用和意义。
二、二项式定理的定义与应用1. 二项式定理的定义二项式定理是代数中一个非常重要的定理，它描述了一个二项式的幂展开式。
具体来说，对于任意实数a和b以及非负整数n，二项式定理由以下公式给出：$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$$ 其中，C是组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
2. 二项式定理的应用二项式定理在代数运算中有着广泛的应用。
它可以用来展开一个二项式的高次幂，从而化简复杂的代数式。
在概率论和统计学中，二项式定理也被广泛应用于二项分布的计算和概率事件的组合。
三、Legendre定理的定义与应用1. Legendre定理的定义Legendre定理是数论中的一个重要定理，它描述了一个数的阶乘在某一素数p的幂次中的贡献。
具体来说，对于任意正整数n和素数p，Legendre定理由以下公式给出：$$v_p(n!) = \frac{n - s_p(n)}{p-1}$$其中，$v_p(n!)$表示n的阶乘中p的幂次，$s_p(n)$表示n在p进制下的数位和，即n在p进制下的各位数字之和。
2. Legendre定理的应用Legendre定理在数论中有着重要的应用。
它可以用来计算n的阶乘中某一素数p的幂次，进而推导出数论中的一系列重要结论。
在密码学和计算机算法中，Legendre定理也被广泛应用于快速求解组合数和排列数的算法中。
四、二项式定理与Legendre定理的关联二项式定理和Legendre定理虽然在不同的数学领域中，但它们之间存在着一定的关联。
具体来说，通过对二项式系数进行适当的分解和组合，可以将二项式定理与Legendre定理通联起来，从而得到一些有趣的数论结论和组合数的性质。
二项式定理 课件
展开式具有以下特点 (1)项数：共有 n＋1 项； (2)二项式系数：依次为 Cn0，C1n，Cn2，…，Crn，…， Cnn； (3)每一项的次数是一样的，即为 n 次，展开式依 a 的降幂、b 的升幂排列展开； (4)通项是第 r＋1 项．
[例 1] (1)用二项式定理展开(2x－23x2)5. (2)化简：C0n(x＋1)n－Cn1(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋ (－1)rCrn(x＋1)n－r＋…＋(－1)nCnn.
[思路点拨] (1)二项式的指数为5，可直接按二项式 定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式， 逆用二项式定理求解．
[精解详析] (1)(2x－23x2)5＝C50(2x)5＋C15(2x)4·(－23x2) ＋…＋C55(－23x2)5
＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310. (2)原式＝C0n(x＋1)n＋Cn1(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－ 2(－1)2＋…＋Crn(x＋1)n－r(－1)r＋…＋Cnn(－1)n＝[(x＋1) ＋(－1)]n＝xn.
[一点通] (1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各 项的幂指数规律是：①各项的次数等于n；②字母a按降 幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按 升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体 思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形 式靠拢．
2．相关概念 (1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式． (2)各项的系数 Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项
式系数． (3)展开式中的 Crnan－rbr叫做二项展开式的通项，记作：
高中二项式定理知识点
高中二项式定理知识点高中二项式定理知识点一、二项式定理的基本概念二项式定理是代数学中的一个重要定理，它描述了如何展开一个二项式的幂。
一个二项式指的是两个数之和或之差的表达式，如(a+b)^n就是一个二项式。
而二项式定理则给出了展开这样一个二项式的公式。
二、二项式定理的表达形式二项式定理有两种常见的表达形式：一是通用形式，即(a+b)^n；另一种是简化形式，即展开后的结果。
1. 通用形式通用形式表示了一个任意次数幂的二项式。
它可以写成：(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + ... +C(n,k)a^(n-k) b^k + ... + C(n,n)a^0 b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素组成组合数。
2. 简化形式简化形式表示了展开后的结果，它可以写成：(a+b)^n = a^n + n a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ... + n a b^(n-1) + b^n三、应用举例1. 平方展开当幂指数为2时，即(a+b)^2，根据二项式定理，可以展开为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2这个结果可以通过直接相乘验证。
2. 立方展开当幂指数为3时，即(a+b)^3，根据二项式定理，可以展开为：(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3同样地，这个结果也可以通过直接相乘验证。
四、二项式系数的性质1. 对称性质在二项式定理中，对称性质是指系数C(n,k)满足C(n,k) = C(n,n-k)，即从n个元素中选取k个元素的组合数等于从n个元素中选取n-k个元素的组合数。
这是因为在展开二项式时，每一项的幂指数和次数之和都是相等的。
2. 杨辉三角形杨辉三角形是一个由二项式系数构成的三角形。
它的第n行第k列的元素就是C(n,k)。
杨辉三角形具有很多有趣的性质和应用，在组合学、概率论等领域有广泛应用。
二项式定理专题整理
利用泰勒级数证明二项式定理
要点一
总结词
要点二
详细描述
泰勒级数是一种将函数展开成无穷级数的方法，利用泰勒 级数证明二项式定理主要是通过将二项式展开为泰勒级数 ，从而证明二项式定理的收敛性和展开式的系数规律。
泰勒级数方法是一种基于函数展开成无穷级数的研究方法 。利用泰勒级数证明二项式定理的关键在于将二项式展开 为泰勒级数，并通过对级数的收敛性和展开式的系数规律 进行分析来证明二项式定理。例如，利用泰勒级数展开式 中的系数规律可以证明二项式定理的展开式系数规律。
二项式定理可以用于证明中心极 限定理，例如棣美弗定理和李雅 普诺夫定理。
二项式定理在计算机科学中的应用
算法复杂度分析
01
二项式定理可以用于分析算法的时间复杂度和空间复杂度，特
别是对于一些递归算法的分析。
数据结构
02
二项式定理可以用于设计一些数据结构，例如二叉树和平衡二
叉树。
加密算法
03
二项式定理可以用于实现一些加密算法，例如RSA算法和ECC算
二项式定理专题整理
汇报人： 2023-12-02
contents
目录
• 二项式定理的背景与意义 • 二项式定理的基本概念 • 二项式定理的扩展应用 • 二项式定理的证明方法 • 二项式定理的常见问题与解答 • 二项式定理的习题与解析
01
二项式定理的背景与意义
什么是二项式定理
二项式定理描述了两个独立项的n次幂之和的规律，是组合数学中的基本定理之一。
05
二项式定理的常见问题与 解答
如何理解二项式定理中的系数和指数？
系数
在二项式定理中，系数是指每一项的常数部分，通常 用小括号括起来，例如$(a+b)^n$的系数为1。
二项式定理高中
二项式定理高中1. 引言在高中数学中，我们学习了许多重要的数学定理和公式。
其中，二项式定理是一个非常重要且实用的定理，它在代数表达式的展开和组合数学中起着关键作用。
本文将详细介绍二项式定理的定义、推导过程、应用以及相关例题。
2. 定义二项式定理是指对于任意实数a 和b 以及非负整数n ，以下等式成立：(a +b )n =C n 0⋅a n ⋅b 0+C n 1⋅a n−1⋅b 1+C n 2⋅a n−2⋅b 2+...+C n n ⋅a 0⋅b n其中，C n k 表示从n 个元素中选取k 个元素的组合数。
3. 推导过程为了更好地理解二项式定理，我们可以通过数学归纳法来推导它。
首先考虑当n=1时，等式左边为(a +b )1=a +b ，右边为C 10⋅a 1⋅b 0+C 11⋅a 0⋅b 1=a +b 。
两边相等。
假设当n=k 时等式成立，即：(a +b )k =C k 0⋅a k ⋅b 0+C k 1⋅a k−1⋅b 1+C k 2⋅a k−2⋅b 2+...+C k k ⋅a 0⋅b k我们需要证明当n=k+1时等式也成立。
首先展开(a +b )k+1，可以得到：(a +b )k+1=(a +b )⋅(a +b )k根据假设，我们可以将(a +b )k 展开为：(a +b )k+1=(a +b )⋅[C k 0⋅a k ⋅b 0+C k 1⋅a k−1⋅b 1+C k 2⋅a k−2⋅b 2+...+C k k ⋅a 0⋅b k ]展开后，我们可以得到：(a +b )k+1=C k 0⋅a (k+1)⋅b (0+1)+C k 1⋅a (k−1+1)×b (1+1)+......+C (n−2)(n−2)×a (0+2)×b (n−2)+2+⋯+C n−3×a ×b ×(b n )⋯+C n ×(a n )×b 0将上述等式与(a+b)k+1展开的结果进行比较，可以发现每一项都与二项式定理中的对应项相等。
二项式定理
2
1 10 6 －a)x＋x 的展开式中 x 的系数为 30，
的展开式的通项公式是
4
k 10－k 1k Tk＋1＝C10· x · ＝ x 6
1 10 k 10－2k C10x ，x＋ x 的展开式中含 2 数分别为 C3 ， C 10 10，
A.i C.－1＋i √
B.－i D.－1－i
跟踪训练
1 2 2 3 3 k k k (1)(2018· 泉州模拟)1 －90C10＋90 C10－90 C10＋…＋(－1) 90 C10
＋…＋9010C10 10除以 88 的余数是 A.－1 C.－87
(2)若(1－2x)
－1 ________.
B.243
D.24
题型三
二项式定理的应用
师生共研
典例 (1)设a∈Z且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a等于
A.0
解析 512
B.1
012
C.11
012
D.12 √
2 ＋a ＝ C0 · 52 2 012 012 2 － C1 · 52 2 012 011
＋ a ＝ (52 － 1)2
1 6的展开式中x2项的系数为 1 ＋ (1 ＋ x ) x2
多维探究
(2)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2项的系数为 2 3 2 解析 法一 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含 y2 的项为 T3＝C2 ( x ＋ x ) · y. 5
4 1 5 其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C1 x · x ＝ C 3 3x . 1 所以 x5y2 项的系数为 C2 C 5 3＝30.故选 C.
二项式定理
学案：二项式定理一、知识讲解1、二项式定理：=+)(b a n 注：二项式)(b a n +的展开式一共有 项。
2、通项公式：T r 1+= ，其中n r ≤≤0, 叫做二项式系数。
3、二项式系数的性质：（1）对称性：m n C = ;(2)二项式系数之和n n n n n C C C C ++++........210= ；（注：求展开式系数之和时令x=1) ++=++3120n n n n C C C C = ；(3)二项式系数的最大值：当n 为奇数时，二项式系数以 和 最大；当n 为偶数时，二项式系数以 最大。
4、特征项的求法（1）展开式中的常数项令"x"的次数等于 ；（2）展开式中的有理项则"x"的次数应为 （无理项应为 ）。
二、例题讲解例1： 在二项式52)1(x x -的展开式中，含x 4的项的系数是______．变式：（1）82)1)(21(x x x -+的展开式中常数项为______．(用数字作答)（2） 求1003)23(+x 的展开式中x 的系数为有理数的项的个数．例2：若(1＋x )n 的展开式中，第7项和第8项的二项式系数最大，求n 的值；变式： （1）已知n n x )1(-的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，求展开式中系数最小的项．（2）已知(a 2＋1)n 的展开式中的各项系数之和等于52)1516(xx +的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式中的系数最大项等于54，求a 的值，例3 ：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7．求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 7｜．变式： 若多项式x 2＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝______．例4：求证：)(98322*+∈--N n n n 能被64整除.变式：设a ∈Z ，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a =（ ）A ．0B ．1C ．11D ．12三、练习1、若n x x )1(2-的展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（ ）(A)－84(B)84 (C)－36 (D)36 2、1211除以100的余数是（ ）A .1B . 10C .11D .213、在(1＋x )5(1－x )4的展开式中，x 3的系数是( )(A)4 (B)－4 (C)8 (D)－84、若nC 21与m n C 同时有最大值，则m 的值是( ) (A)5(B)4或5 (C)5或6 (D)6或7 5、若n x x )23(32-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( ) (A)10 (B)6 (C)5 (D)36、若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋…＋1，(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝______．7、观察下列等式：2235515-=+C C ，3799591922+=++C C C ，511131391351311322-=+++C C C C ，7151717131791751711722+=++++C C C C C ，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于=++++∈+++++1414914514114*,n n n n n C C C C n N ___________．8、在(3x ＋1)n 的展开式中，如果各项系数的和比各项二项式系数的和大992，则n=9、若)()21(20092009102009R ∈+++=-x x a x a a x ，200920092122a a a a +++ =10、设数列{}n a 是等比数列，123321-+•=m m m A C a ，公比q 是42)41(xx +的展开式中的第二项（按x 的降幂排列）⑴用n 、x 表示通项n a 与前项和n S ；⑵若n n n n n n S C S C S C A +++= 2211，用n 、x 表示n A .。
二项式定理(binomial theorem)
9
(2)( x 1)
6
2. Find the 4th term of (1 2 x)15 and its binomial coefficient. x 3 12 ) and its coefficient. 3. Find the middle term of ( 3 x Find the middle two term of (2x 3)5 . 4. 5.
叫做二项展开式的通 项，那么(a－b)n的二项展开式的通项是 什么？
Tk+1 = C a
k n
n- k k
b
T k + 1 = (- 1) C a
k
k n
n- k k
b
问题3：(2x＋3y)20的二项展开式的通项 是什么？
T k + 1 = C (2x )
k 20
20- k
(3y )
k
问题4：(1＋2x)7的展开式中第4项的二 项式系数和系数分别是什么？
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n r
n 2
b
2 n
C a
r n
n r
b C b
n n
问题6：公式
(a + b) = C a + C a b + L + C a b + L + C b
n 0 n n 1 n- 1 n k n- k k n n n n
C C C ...C ...C C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0 n
1 n
2 n
r n
n 1 n
n n
课堂小结
二项式定理的应用3近似计算或估计
1.二项式定理⑴二项式定理(a +b) =C0a n+...+c n b n(n<^ N*)这个公式表示的定理叫做二项式定理.⑵二项式系数、二项式的通项C：a n十^^%弋討％2+...心以叫做（a+b）的二项展开式，其中的系数C n r（r=0,1,2,..., n ）叫做二项式系数，式中的C；a^^b r叫做二项展开式的通项，用T r十表示，即通项为展开式的第r+1项：Tr=C；a2b r.⑶二项式展开式的各项幕指数二项式（a+b n的展开式项数为n+1项，各项的幕指数状况是①各项的次数都等于二项式的幕指数n .②字母a的按降幕排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零,字母b按升幕排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .⑷几点注意①通项Tr+Mndf是（a+b）n的展开式的第r+1项，这里r=0,1,2,…,n.②二项式（a +b $的r +1项和（b +a y的展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的.③注意二项式系数（c n）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负.④通项公式是（a+b）n这个标准形式下而言的，如（a—b）的二项展开式的通项公式是Tr+=（-1）C n r a n^b r（只须把4看成b代入二项式定理）这与T r厂C n r a2b r是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是C n r, 但项的系数一个是（—i j c：，一个是cn，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念.⑤设a=1,b=x，贝J得公式：（1+x j =1+C1x^C i x2+...+c n x r+...+ x n.⑥通项是T r* = c n a n f r（r =0, 1, 2,..., n ）中含有「卡，a, b, n, r五个兀素，只要知道其中四个即可求第五个元素.⑦当n不是很大，X比较小时可以用展开式的前几项求（1 + x）n的近似值.2.二项式系数的性质⑴杨辉三角形: 对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算.杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1.其余各数都等于它肩上两个数字的和.” ⑵二项式系数的性质:（a+b$展开式的二项式系数是：c n0,c n,c2,..., c n，从函数的角度看c n可以看成是r为自变量的函数f（r ），其定义域是：{0,1, 2,3,…,n}.当n=6时，f（r ）的图象为下图:20 -1 K -16I 2 LJOhtt杆L •4卜斗这样我们利用“杨辉三角”和n =6时f （r ）的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质.①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式C n m=c n』得到.②增减性与最大值如果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幕指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大.由于展开式各项的二项式系数顺次是C o _1 C1 _n C2 _n(n j)C n -1, C n -1, C n -〒2—C3 n(n—5-2)n _ 1 2 3 ，..厂2_ n"—1j(n-2).-( n—k +2)厂k _n(n T]门一2).-( n-k+2]n-k+1)C n _, - - ■"—, C n -1 2 3 :…讣一1 )亠n 4C n —1 .其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如n,n -1, n—2,…），分母是乘以逐次增大的数（如1 , 2,3,…）.因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k依次取1, 2, 3,…等值时，C n r的值转化为不递增而递减了.又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间.当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有n+1项，所以展开式有中间一n项，并且这一项的二项式系数最大，最大为C n2.当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1项，所以有中间两项.这两项的二项式系数相等并且最大，最大为C了=C3 .n A n-1③二项式系数的和为2n，即c：+c1+c2+...+C n r+...+C；=2n.④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Cn +C n +C n +..^C1+C3+C5+..^2^^常见题型有:求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用, 简单的组合数式问题.目tw归典例分析二项式定理的应用3近似计算或估计【例11计算（0.997 $的近似值（精确到0.001 ）.。
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课题： 二项式定理（第二课时）
教学目标： 在理解二项式定理得基础上，让学生能够掌握
二项式定理的基本运用，以二项式定理为工
具，解决一些基础数学问题。
教学重点： 二项式定理的应用。
教学难点： 二项式定理对实际问题的转化和构造。
教学方法： 温故知新，讲练结合法。
教学流程：
教学过程：
一、复习提问
1．(a+b) n= （nN）,这个公式表
示的定理叫做二项式定理，
2．公式右边的多项式叫做 (a+b) n的 ，其中rnC（r=0,1,2,……,n）
叫做 ， 叫做二项展开式的通项，通项是
指展开式的第 项，展开式共有 个项.
二、引入课题
复习二项式定理及其系数的有关概念 给出例题，引出解决二项式定理
运用问题的基本思想方法。
引导学生运用给出的思想
方法结合二项式定理解决
一些问题。
小结所学内容
我们已经学习了二项式定理及二项式系数，请大家用5分时间完成以下两道题：
（1）在（1-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是多少？（207）
（2）求（1+x-x2）6展开式中含x5的项．(6x5)
解（1），（2）两题运用了变换和化归思想，第（2）题把三项式化为二项式，创
造了使用二项式定理的条件。根据习题结构特征选择a，b的取值以及构造使用
二项式定理的条件，这种用概念解题的思想经常使用．
三、讲授新课
下面我们看二项式定理的一些应用．
nnnknnnnCCCCC2210
证明：
.
解：左边）（右边nnknnnnnCCCCC21011
664563462362
6
99992CCCCC、求问题
。
这题与例1类比有共同点，仍是组合数的运算，不同点是缺少了1606CC，两个组
合数及其系数，每一项也不是rnrC9的结构形式，而是rrC629。因此考虑如能用
二项式定理解，应对原题做以下变换：
取n=6;
把原式乘以29，使其结构为rrC69的形式；
增加16069CC两项。
解：原式
=)99999(916665654643632622CCCCC
)9(91)999999(911606266656546436326216062CCCCCCCCC
)9(91)999999(911606266655644633622616062CCCCCCCCC
)451(91)91(91262
=12345
例2
例1 证明
例3 已知数列{an}（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列。
（1）求和：;,334233132031223122021CaCaCaCaCaCaCa
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明;
（3）设q≠1，Sn是等比数列{an}的前n项和，求：
.)1(134231201nnnnnnnnCSCSCSCSCS
解：
（1）,)1(2212111223122021qaqaqaaCaCaCa
.)1(3331312111334233132031qaqaqaqaaCaCaCaCa
归纳概括的结论为：
若数列｛an｝是首项为a1，公比为q的等比数列，则
nnnnnnnnnqaCaCaCaCaCa)1()1(113423120
1
，n为整数．
证明：nnnnnnnnCaCaCaCaCa134231201)1(
nnnnnnnnCqaCqaCqaqCaCa13312211101)1(
.)1(])1([13322101nnnnnnnnnqaCqCqCqqCCa
（3）因为,111qqaaSnn
所以nnnnnnnnCSCSCSCSCS134231201)1(
nnnnnnnCqqaaCqqaaCqqaaCqqaa1)1(111111231112110
11
])1([132101nnnnnnnCCCCC
q
a
.)1(1])1([113322101nnnnnnnnnqqqaCqCqCqqCCqqa
四、课堂小结
1．学会用运用变化和化归的思想。
2． 能根据习题结构特征选择a，b的取值以及构造使用二项式定理的条件。
-----上海市南洋模范中学 范文豪