优质课件：二项式定理ppt

合集下载

二项式定理优质课ppt课件

1
《观书有感》
朱熹,南宋著名理学家.
半亩方塘一鉴开, 天光云影共徘徊. 问渠那得清如许, 为有源头活水来.
2
探究1 推导 (a b)2的展开式.
(a b)2 (a b)(a b)
aaabbabb a2 2ab b2
问：合并同类项前的展开式中，共有几项？能利用分步乘法计数原理解释一下吗？每项的次数为几次？
6
探究4：请分析 (a b)n的展开过程
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
项的形式： a n a n1b L a nk bk L bn
系数：
Cn0 Cn1
C
k n
Cnn
请利用组合的知识解释下为什么a nk bk的系
数是
C
k n
呢？
7
二项式定理: 一般地，对于nN*，有：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
直接利用二项式定理
(2) 求二项展开式的第几项及其系数、二项式系数。
(3) 求二项展开式中含x的几次方的项的问题。
利用通项
14
1、巩固型作业：课本36页习题1.3 A组 1、3、4（1）（2）5
2、思维拓展型作业：（查阅相关资料）
（1）查阅有关杨辉一生的主要成就。
（2）探究二项式系数
Cn0，Cn1，Cn2 ，，Cnn 有何性质.
练习：(2 x)5
C50 25 C51 24 x C52 23 x2 C53 22 x3 C54 2x4 C55 x5 32 80x 80x2 40x3 10x4 x5
问：展开式中第四项为？第四项的系数为？
第四项的二项式系数为？
那么对于 (2 x)5 的展开式呢？

人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件

人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
① 项： a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk

《二项式定理》ppt课件

பைடு நூலகம்
A.15
��
B.20��
-
��
C.15
��
2
D.20
��
【解析】T3=�� ( ��) ( ) =15,故选 C.
4
��
2
10 (x- ��y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=�� a b (r=0,1,2…n),其中的系数 �� 二项式系数 �� . �� (r=0,1,2…n)叫作
��
��
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
�� 【解析】由�� +�� +�� =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ��
得 n=8.
�� 4 �� 4 �� 又∵T5=�� (2x) = x ,∴该项的系数为 . ��
�� b) +�� (4a) (b) + �� (4a) (b) + �� (4a) (1 3 2 2 3 1

6.3.1二项式定理PPT课件(人教版)

①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
反思感悟
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的情势，且这种转化情势与除数有密切的关系.
跟踪训练4 (1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.
证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝11－－225n＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝31n＋C1n×31n－1＋…＋Cnn－1×31＋1－1＝31×(31n－1＋C1n×31n－2＋… ＋Cnn－1)，显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.
反思感悟
求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所谓的 “ 双通法 ” 是根据多项式与多项式的乘法法则得到 (a ＋ bx)n(s＋tx)m 的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Cknan－k(bx)k·Crmsm－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定 r 与 k 所满足的条件，进而求出 r，k 的取值情况.
跟踪训练 2
在2
x－
1
6
x
的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
解第 3 项的二项式系数为 C26＝15，
又 T3＝C26(2
x)4－
1x2＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk＋1＝Ck6(2
x)6－k－
1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为
A.10
B.－10
√C.2
D.－2

第十章第三节二项式定理课件(共47张PPT)

赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n(a， b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可． (2)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，偶次项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋2f（－1），奇次项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1） .令 x＝0，可得 a0＝f(0).
令
x＝1
代入2x－
1 x
6
＝1；
故所有项的系数之和为 1；故选 AC.]
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 (常数项、参数值、特定项等)的步骤
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Crn an－rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r；
故选 B.]
3．(x＋1x －2)6(x>0)的展开式中含 x3 项的系数为________．
解析：
法一：因为(x＋1x －2)6＝(
x
－
1 x
)12，所以其展开式的通项公
式为 Tr＋1＝C1r2 (
x
)12－r(－
1 x
)r＝Cr12
(－1)r(
x )12－2r＝Cr12 (－1)rx6－r，由 6
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ckn an－kbk 是二项展开式的第 k 项．( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a＋b)n 的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关．( ) (4)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( ) 答案： (1)× (2)× (3)√ (4)√

二项式定理ppt课件

b=29.
题型分类深度剖析
题型一求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.

6.3.1二项式定理课件共15张PPT

和 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3的概括和推广，
它是以多项式的乘法公式为基础，以组合知识为工具，
用不完全归纳法得到的，其证明可用数学归纳法．
（2）对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指
数、通项等方面的特征去熟悉他的展开式．通项公式
Tr 1 C a
r
率9％，按复利计算，10年后收回本金和利息。
试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资10年后大约
可多得利息多少元？
分析：本金10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是
10×(1＋11％×10)＝21(万元);
本金10万元，年利率9％，按复利计算，10年后的本利和是10×(1＋
9％)10;
x
60 12 1
64 x 192x 240x 160
2 3
x x
x
3
2
0 n
1 n 1
a

b

C
a

C

n
例题讲评
例2：求 (2 x
解:
1 6
) 的展开式中
x
的展开式的通项：
根据题意，得
因此， 2 的系数是
x
x 的系数。
艾萨克·牛顿 Isaac
Newton (1643—1727) 英国
科学家．他被誉为人类历史上
最伟大的科学家之一．他不仅
是一位物理学家、天文学家，
还是一位伟大的数学家．
牛顿二项式定理
新课引入
某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年
利率11％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种是年利

1.3.1二项式定理PPT优秀课件

二项式定理: 一般地，对于n N*有
(ab )nC n 0 a n C n 1 a n 1 b C n ka n kb k C n n b n
可用数学归纳法证明
基础训练：展开(p+q)7 解: (pq)7C7 0p7C1 7p6qC7 2p5q2C3 7p4q3 C7 4p3q4C5 7q2q5C7 6pq6C7 7q7
a 3 3 a 2 b 3 a2 bb 3
(a b)4 ？ (ab)100？ (a b)n ？
(n N )
(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b )＝C02 a2＋C12 ab ＋C22 b2
选b
＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b )
变式训练：若求（ 1 2 x ) 5 的展开式呢？
解: ( 1 2 x ) 5 C 5 0 ( 2 x ) 0 C 1 5 ( - 2 x ) 1 C 2 5 ( 2 x ) 2
C 3 5 ( 23 x C 5 ) 4 ( 24 x C ) 5 5 ( 25 x
＝C0n an＋ C1nan-1b＋ C2nan-2b2＋ C3nan-3b3＋…＋Cknan-kbk＋…＋ Cnn bn
二项式定理: 一般地，对于n N*有
(ab )nC n 0 a n C n 1 a n 1 b C n ka n kb k C n n b n
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
组合数公式：C n mA A n m m mn(nm 1 ()m (n 1 )2 ()m (2 n )m 11 )
引入：
（a b)2 a22abb2

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

3 6 3
2.先化简后展开
(2 x 1 x ) (
6
3
2x 1
2
1 6 ) 3 (2x 1) x x
6
60 12 1 = 64 x - 192 x + 240 x - 160 + - 2+ 3 x x x
例：求 (2 x 解:
(2 x 1 x ) (
6
பைடு நூலகம்
1
x 2x 1
思考1：展开式的第３项的系数是多少？思考2：展开式的第３项的二项式系数是多少？思考3：你能否直接求出
T21
1 2 C (2 x ) ( ) x
2 6 4
240 x
展开式的第３项？
规律: 每个括号内任取一个字母相乘构成了展开式中的每一项.
探究1 推导 (a b) 的展开式.
3
(a b) (a b)(a b)(a b)
3
① 项： a
3
0 3
a b
C
1 3
2
ab
C
2
b
3
3 3
k 0,1,2,3
a 3 k b k
C
k 3
1 ② 系数：C
分析a 2b
3 2
(a b) (a b) (a b) ? (a b) (a b) (a b) ?
4 3
(a b)
( a b) ?
n
… …
100
?
此法有困难
多项式乘法的再认识
问题1: (a1 a2 )(b1 b2 ) 的展开式是什么？
展开式有几项？每一项是怎样构成的？问题2: (a1 a2 )(b1 b2 )(c1 c2 ) 展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？
( a b) ?
n
(a b)n的展开过程，证明猜想. 探究3：请分析
(a b ) (a b)( a b )(a b)
n
①项：
a
n
a
n 1
1 n
b a

n
n k
b
k
b
n
②系数： C
分析a
n k
0 n
C
C
k n
C
n n
)6 的展开式．
6
1 ) 3 (2x 1)6 x x
思考1：展开式的第３项 1 [ 2x 6 C1 2x 5 C 2 2x 4 6 6 3 x 的系数是多少？思考2：展开式的第３项
C
3 6
2x C 2x C 2x C ]
3
4 6
n 0 n n k n 1 n 1 n n k k
b C b (n N )
n n n *
①项数：共有n＋1项 ②次数：各项的次数都等于n，字母a按降幂排列，次数由n递减到0
, 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .杨辉，南宋时期杰出的数学家和数学教育
k ③二项式系数: C n ( k {0,1,2, , n})
2 3
C
(a b)(a b)(a b) (a b)(a b)(a b) (a b)(a b)(a b)
3 0 3 3 1 2 3 2 3
C
1 3
2 3 3 3
(a ③ 展开式： b) C a C a b C ab C b
探究2 仿照上述过程,推导 (a b) 的展开式.
2 n n n
杨辉，南宋时期杰出的数学家和数学教育家
例：求 (2 x
1 x
)6 的展开式．
解: 1.直接展开
1 6 1 1 2 0 6 1 5 2 4 (2 x ) C6 (2 x ) C6 (2 x ) ( ) C6 (2 x ) ( ) x x x
1 3 1 4 1 5 1 6 4 2 5 6 C (2 x ) ( ) C6 (2 x ) ( ) C6 (2 x )( ) C6 ( ) x x x x
4 6 2
解: 先化简后展开
1 6 例：求 (2 x ) 的展开式． x
1 6 2x 1 6 1 6 (2 x ) ( ) 3 (2 x 1) x x x
1 1 3 [(2 x )6 C6 (2 x )5 C 62 ( 2 x )4 x
C (2 x ) C (2 x ) C (2 x ) C ]
4
( a b) C a C
2
0 2 2
3
1 2 2ab
1 3
2
C b
2 2 2
2 3
2
(a b) C a C a b C ab C b
3
0 3
3 3
3
( a b) C
4
0 4 4a
C
1 3 a b 4
C
2 2 2 a b 4
C
3 3 ab 4
C
4 4 4b
解: 直接展开
1 6 1 0 6 1 5 (2 x ) C6 (2 x ) C6 (2 x ) ( ) x x 1 2 1 3 2 4 3 3 C6 (2 x ) ( ) C6 (2 x ) ( ) 2 x 2 x
1 4 1 5 1 6 5 6 C (2 x ) ( ) C6 (2 x )( ) C6 ( ) x x x 60 12 1 3 2 64x 192x 240x 160 2 3 x x x
b
k
n个(a b)相乘
k个(a b)中选b
n k 个(a b)中选a
C
k n
③展开式：
0 1 k n ( a b ) n C n a n C n a n 1b C n a n k b k C n b n ( n N * )
二项式定理
(a b) C a C a b C a
物理是我的强项
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克· 牛顿于1664、 1665年间提出．二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用．
数学上我同样有建树
二项式定理研究的是
2
2
(a b) 的展开式.
n
2
(a b) a 2ab b ?
k n
0 n n
1 n 1 n
k n k k n
n n n
*
2．思想方法
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 用计数原理分析二项式的展开过程.
(3) 类比、等价转换的思想.
1、巩固型作业：课本36页习题1.3 A组 1、2、3
2、思维拓展型作业：
0 1 探究二项式系数 Cn，Cn，
C ，，C 有何性质.
2
5 6
6 6
64x3 192x2 240x 160 的二项式系数是多少？ 60 12 1 思考3：你能否直接求出 2 3. x x x 展开式的第３项？
例：求 (2 x
1 x
)6 的展开式．
6
解:
(2 x
1 x
) (
6
2x 1
1 ) 3 (2x 1)6 x x
3 6 3 4 6 2 5 6 6 6
60 12 1 64x 192x 240x 160 2 3 x x x
3 2
1.二项式定理：
(a b) C a C a b C a b C b ( n N )
n
(1)二项式系数： C ( k 0,1,2,, n) k (2)二项展开式的通项： Tk 1 C n a n k b k
1 n 1 n
( b) C a
k n
n k
( b)
k
C ( b)
n
n
(1 x ) C C x C x C x
0 ?n 1 n k n n n n
n
1 6 例：求 (2 x ) 的展开式． x
1 6 例：求 (2 x ) 的展开式． x
家
④二项展开式的通项: Tk 1
C a b
k n k k n
二项式定理
(a b) C a C a b C a
n 0 n n k n 1 n 1 n n k k
b C b (n N )
n n n *
(a b) C a C a ?
n
0 n n n n