二项式定理PPT优秀课件
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1.5.2二项式定理PPT优秀课件
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
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21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
系数依次是：C 0 n,C 1 n,C n 2, ,C n n
还可从函数角度看，C
r n
可看成是以r为自变量的函
数 f (r) ,其定义域是：0,1,2, ,n
当 n6时，其图象是右
图中的7个孤立点．
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
二项式系数的性质
n
系数 C
2 n
取得最大值；
n 1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C n 2 、
n 1
C
2 n
相等，且同时取得最大值。
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令 ab1，则：
C 0 n C 1 n C n 2 C n n 2 n
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
二项式定理ppt课件
①展开式中，每一项是怎样得到的？ （4次） ②既然这样，每一项的次数都应为几次？ 展开后具有哪些形式的项呢？ (a4，a3b，a2b2，ab3，b4) ③每一项在展开式中出现多少次，也就是展开式中各项 系数为什么？ 探索：(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)在上面4个括号中： 每个都不取b，有 C 4 恰有１个取b，有 恰有２个取b，有 恰有３个取b，有
tr12二项式系数与项的系数不同二项式系数是组合数而项的系数是该项的数字因数3通项公式可用求展开式中任意一项求时必需明确r
二 项 式 定 理
回顾：
（a b) a 2ab b 3 (a b) (a b)(a b)(a b) 2 2 (a b)(a ab ba b ) 2 2 3 2 a a b aba ab ba 3 2 bab b a b 3 2 2 3 a 3a b 3ab b 1 0 0 4 (a b) ？ (a b) ？
∴ 9-2r=3，r=3，
3 3 3 ∴ 的系数 (1)3 C9 84 , 3的二项式系数 C9 84．
例题点评
求二项展开式的某一项,或者求满足某种条
件的项,或者求某种性质的项,如含有x 3项
的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项
式的通项求解.
注意(1)二项式系数与系数的区别.
4、在定理中，令a=1，b=x，则
(1 x) C C x C x C x C x
n 0 n 1 n 2 2 n r n r n n
n
尝试二项式定理的应用：
1 4 例 1 展 开 (1 ) x 1 4 1 4 1 1 1 1 2 3 1 3 解: (1 ) 1 C4 ( ) C4 ( ) C4 ( ) ( ) x x x x x
tr12二项式系数与项的系数不同二项式系数是组合数而项的系数是该项的数字因数3通项公式可用求展开式中任意一项求时必需明确r
二 项 式 定 理
回顾：
（a b) a 2ab b 3 (a b) (a b)(a b)(a b) 2 2 (a b)(a ab ba b ) 2 2 3 2 a a b aba ab ba 3 2 bab b a b 3 2 2 3 a 3a b 3ab b 1 0 0 4 (a b) ？ (a b) ？
∴ 9-2r=3，r=3，
3 3 3 ∴ 的系数 (1)3 C9 84 , 3的二项式系数 C9 84．
例题点评
求二项展开式的某一项,或者求满足某种条
件的项,或者求某种性质的项,如含有x 3项
的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项
式的通项求解.
注意(1)二项式系数与系数的区别.
4、在定理中，令a=1，b=x，则
(1 x) C C x C x C x C x
n 0 n 1 n 2 2 n r n r n n
n
尝试二项式定理的应用：
1 4 例 1 展 开 (1 ) x 1 4 1 4 1 1 1 1 2 3 1 3 解: (1 ) 1 C4 ( ) C4 ( ) C4 ( ) ( ) x x x x x
新教材选择性必修二7.4.1二项式定理课件(37张)
9．二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________；二项式系数是
__________.(用数字作答)
【解析】根据二项式的展开式通项公式可得Tr＋1＝C
r 5
x5－ryr，可得含x2y3的项为C
3 5
x2y3，所以其系数为10，二项式系数为C53 ＝10.
答案：10 10
10．设n∈N*，则C1n ＋Cn2 6＋C3n 62＋…＋Cnn 6n－1＝________．
x－2x n 展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
【解析】(1)因为T3＝C2n (
x
)n－2－2x
2
＝4C2n
n－6 x2
，
T2＝C1n (
x
)n－1－2x
＝－2C1n
n－3 x2
，
依题意得4C2n ＋2Cn1 ＝162，所以2Cn2 ＋Cn1 ＝81，所以n2＝81，n＝9.
二项式定理 二项式定理
基础认知·自主学习
【概念认知】
二项式定理
(a＋b)n＝ C 0 n a n ＋ C 1 n a n － 1 b ＋ ＋ C n r a n － r b r ＋ ＋ C n n b n ( n N * ) ．这个公式叫作二项式定
理，右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，它一共有_n_＋__1_项，其中
【解析】(1)根据题意得：C1m ＋Cn1 ＝7，即 m＋n＝7①，
f(x)的展开式中的x2的系数为C2m
＋C2n
m（m－1） ＝2
n（n－1） ＋2
m2＋n2－m－n
＝
2
高二13二项式定理2共18张PPT
（1） (1.002)6 ；（2）(0.997)3 （3）今天星期3，再过22001天是星
期几？
分析：（1） (1.002)6=（1+0.002)6 （2） (0.997)3=(1-0.003)3 （3）22001=（7+1）667
类似这样的近似计算转化为二项式定理 求展开式，按精确度展开到一定项.
)9r
(
3 )r x
C9r
(1)9r 3
3r
9r
x
1r 2
由9-r-
1 2
r
0得r
6.
T7
C96
(
1)96 3
36
2268
(2)、求展开式的中间两项
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5
T41
C94
(
x 3
)94
(
3 )4 42x3 x
T6
T51
C95
(
x 3
)95
(
3
)5
3
378x 2
x
9
例3 求 x 3 x 展开式中的有理项
解:
Tr1
C9r
1
(x2
)9r
1
(x3
)r
(1)r
C9r
x
27r 6
令 27 r Z即4 3 r Z (r 0,1 9)
6
6
r 3或r 9
r 3
27 r 4 6
T4 (1)3C93x4 84x4
r 9
27 r 3 6
T10 (1)9C99x3 x3
[(x 1) 1]5 1
x5 1
例7:求 ( x 1)6(2x 1)5 的展开式中x6项的系数.
期几？
分析：（1） (1.002)6=（1+0.002)6 （2） (0.997)3=(1-0.003)3 （3）22001=（7+1）667
类似这样的近似计算转化为二项式定理 求展开式，按精确度展开到一定项.
)9r
(
3 )r x
C9r
(1)9r 3
3r
9r
x
1r 2
由9-r-
1 2
r
0得r
6.
T7
C96
(
1)96 3
36
2268
(2)、求展开式的中间两项
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5
T41
C94
(
x 3
)94
(
3 )4 42x3 x
T6
T51
C95
(
x 3
)95
(
3
)5
3
378x 2
x
9
例3 求 x 3 x 展开式中的有理项
解:
Tr1
C9r
1
(x2
)9r
1
(x3
)r
(1)r
C9r
x
27r 6
令 27 r Z即4 3 r Z (r 0,1 9)
6
6
r 3或r 9
r 3
27 r 4 6
T4 (1)3C93x4 84x4
r 9
27 r 3 6
T10 (1)9C99x3 x3
[(x 1) 1]5 1
x5 1
例7:求 ( x 1)6(2x 1)5 的展开式中x6项的系数.
6.3.1二项式定理PPT课件(人教版)
①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
反思 感悟
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底 数化成两数的和与差的情势，且这种转化情势与除数有密切 的关系.
跟踪训练4 (1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.
证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝11－－225n＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝31n＋C1n×31n－1＋…＋Cnn－1×31＋1－1＝31×(31n－1＋C1n×31n－2＋… ＋Cnn－1)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.
反思 感悟
求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所 谓 的 “ 双 通 法 ” 是 根 据 多 项 式 与 多 项 式 的 乘 法 法 则 得 到 (a ＋ bx)n(s＋tx)m 的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Cknan－k(bx)k·Crmsm－r(tx)r，再 依据题目中对指数的特殊要求，确定 r 与 k 所满足的条件，进而求 出 r，k 的取值情况.
跟踪训练 2
在2
x－
1
6
x
的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
解 第 3 项的二项式系数为 C26＝15，
又 T3＝C26(2
x)4－
1x2＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk＋1＝Ck6(2
x)6－k－
1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为
A.10
B.－10
√C.2
D.－2
2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt
3．二项式系数 二项展开式中各项的系数___C_nk__(k∈{0，1，…，n})叫做二项式系数．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
第十章 第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)
赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展 开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n(a， b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可． (2)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 偶次项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋2f（－1） ，奇次项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1） .令 x＝0，可得 a0＝f(0).
令
x＝1
代入2x－
1 x
6
＝1；
故所有项的系数之和为 1；故选 AC.]
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 (常数项、参数值、特定项等)的步骤
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Crn an－rbr，常把字 母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整 数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r；
故选 B.]
3．(x＋1x －2)6(x>0)的展开式中含 x3 项的系数为________．
解析：
法一：因为(x＋1x －2)6＝(
x
－
1 x
)12，所以其展开式的通项公
式为 Tr＋1＝C1r2 (
x
)12－r(－
1 x
)r＝Cr12
(－1)r(
x )12－2r＝Cr12 (－1)rx6－r，由 6
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ckn an－kbk 是二项展开式的第 k 项．( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a＋b)n 的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关．( ) (4)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．( ) 答案： (1)× (2)× (3)√ (4)√
二项式定理PPT课件
开普勒行星运动三定律
[探究1] 行星运动绕太阳运动的轨道是
什么形状？
圆？
地球
年份 春分 夏至 秋分 冬至 2004 3/20 6/21 9/23 12/21 2005 3/20 6/21 9/23 12/21 2006 3/21 6/21 9/23 12/21
春92天 夏94天
秋89天
秋冬两季比春夏两季时间短
周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某 一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船 沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和 地球表面在B点相切，如图所示，如果地球半径 为R，求飞船由A点到B点所需的时间。
R
B
R0
A
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41
恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
1、多数行星绕太阳运动的轨道十分 接近圆，太阳处在圆心；
2、对某一行星来说，它绕太阳做圆 周运动的角速度（或线速度大小） 不变，即行星做匀速圆周运动；
3、所有行星轨道半径的三次方跟它 的公转周期的二次方的比值都相等。
• [课堂训练]
• 1．下列说法正确的 是…………………………( )
• A．地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行 星都绕地球运动
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
[探究1] 行星运动绕太阳运动的轨道是
什么形状？
圆？
地球
年份 春分 夏至 秋分 冬至 2004 3/20 6/21 9/23 12/21 2005 3/20 6/21 9/23 12/21 2006 3/21 6/21 9/23 12/21
春92天 夏94天
秋89天
秋冬两季比春夏两季时间短
周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某 一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船 沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和 地球表面在B点相切，如图所示，如果地球半径 为R，求飞船由A点到B点所需的时间。
R
B
R0
A
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41
恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
1、多数行星绕太阳运动的轨道十分 接近圆，太阳处在圆心；
2、对某一行星来说，它绕太阳做圆 周运动的角速度（或线速度大小） 不变，即行星做匀速圆周运动；
3、所有行星轨道半径的三次方跟它 的公转周期的二次方的比值都相等。
• [课堂训练]
• 1．下列说法正确的 是…………………………( )
• A．地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行 星都绕地球运动
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
二项式定理(一)课件
03 二项式定理的扩展与推广
二项式定理的扩展形式
01
02
03
04
二项式定理的扩展形式包括二 项式定理的逆用、二项式定理 的变形以及二项式定理的推广
。
二项式定理的逆用是指将二项 式定理中的幂次和系数互换，
从而得到新的等式。
二项式定理的变形是指通过改 变二项式定理中的幂次或系数
，从而得到新的等式。
二项式定理的推广是指将二项 式定理应用到更广泛的情况， 例如应用到多项式、分式等。
解析
根据二项式定理，$(a + b)^{2}$ 可以展开为 $a^{2} + 2ab + b^{2}$，与给定的等式一致。
习题二：证明题
题目
证明 $(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$。
解析
首先展开 $(a - b)(a + b)$，得到 $a^{2} - b^{2}$，与给定的等式一致。
习题三：综合应用题
题目
计算 $(a + b + c)^{3}$ 的展开式。
解析
根据二项式定理，$(a + b + c)^{3}$ 可以展开为 $a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} + c^{3} + 3ac^{2} + 3bc^{2} + 3ab^{2}c + 3ac^{2}b$。
利用组合数的性质和二项式展开式的 性质来推导公式。
公式证明的过程
基础步骤
当$n=0$和$n=1$时，公式成立。
归纳步骤
假设当$n=k$时公式成立，证明当$n=k+1$时公式也成立。
二项式定理ppt课件
b=29.
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把 底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后， 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把 底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后， 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.
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公式右边的多项式叫做 (a b)n 的二项展开式
它一共有n+1项 , 其中各项的系数 Cnr(r0,1,2, ,n)
叫做二项式系数.式子中的 Cnranrbr 叫做二项展开式
的通项,用 Tr+1 表示,它是第r+1项. 即:
Tr1Cnranrbr
一般地,对于任意正整数n, (a b)n 的二项展开式:
展开式共有n+1项, C n r(r0,1,2, ,n)叫做二项式系数.
T r 1
C
r n
பைடு நூலகம்
an-r br
问1题 ：请单号的(x同 1)n学 的写 展出 开式 50项 及 .
问题 2：请双号的(1同 x)n学 的写 展出 开式 50项 及 .
分析:
( x 1 ) n C n 0 x n C n 1 x n 1 C n r x n r C n 1 x 1 1
n 个因式
考 n 分 察 1 ， 别 2 ， 3 ， 4 ， 取
1)当n=1时, (a+b)1 = a+b 2)当n=2时, (a+b)2 = a2+2ab+b2 3)当n=3时, (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
考察 (ab)n的展开式有多并 少同 项类 （项 合之
(a b )n ( a b ) a ( b ) a ( b ) a ( b ) (a b )
(n N )的通 ： T r 1 项 C n ra n r 公 b r（ 式 r 1 第 项）
展开式共有n+1项, C n r(r0,1,2, ,n)叫做二项式系数.
T r 1
C
r n
an-r br
小结: 通项公式
通项公式
T r 1 =
C
r n
an-rbr是相对(a+b)n
T r 1 =
C
r n
arbn-r是相对(b+a)n
而言; 而言;
例1.展开1
14
.
x
解
：1
1
4
x
1
C41
1 x
1
C
2 4
1 x
2
C
3 4
1 x
3
C
4 4
1 x
4
1 4 x
6 x2
4 x3
1 x4
例 2.展开 2 x 1 6.
x
解：2
x
1 6 2 x 1 6 x x
1 2x 16
x3
x13[C（ 602x） 6C（ 612x） 5C（62 2x）4C（ 63 2x）3C（ 64 2x）2C（ 652x） C66]
第50项为: T491Cn49xn49
( 1 x ) n 1 C n 1 x 1 C n 2 x 2 C n r x r C n n x n
第50项为: T491Cn49x49
一般地,对于任意正整数n, (a b)n 的二项展开式:
(a b )n C n 0 a n C n 1 a n 1 b 1 C n 2 a n 2 b 2 C n ra n rb r C n n b n
展开式的每一项的确定:
从每个因式中任选一个 a 或 b 作乘而得到.
若从r个因式中取 b, 而余下的 n-r 个因式取 a,
则得到的项为:
an-rbr
这一项在展开式中出现的次数为:
C
r n
二项式定理 一般地,对于任意正整数n,有:
(a b )n
C n 0 a n C n 1 a n 1 b 1 C n 2 a n 2 b 2 C n ra n r b r C n n b n (n N )
(a b )n ( a b ) a ( b ) a ( b ) a ( b ) (a b )
n 个因式
注意 :展开式的每一项如何确定?
2)当n=2时, (a+b)2 =C20a2C21abC22b2
3)当n=3时, (a+b)3 =C 3 0a3 C 3 1a2b C 3 2ab2 C 3 3b3 4)当n=4时, (a+b)4
=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
= ? a4+? a3 b+? a2 b2+? ab3 + ? b4
= C 4 0 a4 C 4 1 a3b C 4 2 a2b2 C 4 3 ab3 C 4 4b4
(a b )n C n 0 a n C n 1 a n 1 b 1 C n 2 a n 2 b 2 C n ra n rb r C n n b n
(n N )的通 ： T r 1 项 C n ra n r 公 b r（ 式 r 1 第 项）
(a b )n ( a b ) a ( b ) a ( b ) a ( b ) (a b )
n 个因式
注意 :展开式的每一项如何确定?
(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
= C 4 0 a4 C 4 1 a3b C 4 2 a2b2 C 4 3 ab3 C 4 4 b4
n 个因式
注意 : 展开式的每一项如何确定?
1)当n=1时, (a+b)1 = a+ b 2)当n=2时, (a+b)2 = a2+ 2 ab+ b2
3)当n=3时, (a+b)3 = a3+ 3 a2b+ 3 ab2+ b3
4)当n=4时,
(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) =? a4+ ?a3b+ ? a2b2+ ?ab3+?b4
二项式定理
二项式定理
(ab)n ?
考察(ab)n的展开式的特 , 征 共有多少项（合并项同之类后）？
考察 (ab)n的展开式有多并 少同 项类 （项 合之
(a b )n ( a b ) a ( b ) a ( b ) a ( b ) (a b )
它一共有n+1项 , 其中各项的系数 Cnr(r0,1,2, ,n)
叫做二项式系数.式子中的 Cnranrbr 叫做二项展开式
的通项,用 Tr+1 表示,它是第r+1项. 即:
Tr1Cnranrbr
一般地,对于任意正整数n, (a b)n 的二项展开式:
展开式共有n+1项, C n r(r0,1,2, ,n)叫做二项式系数.
T r 1
C
r n
பைடு நூலகம்
an-r br
问1题 ：请单号的(x同 1)n学 的写 展出 开式 50项 及 .
问题 2：请双号的(1同 x)n学 的写 展出 开式 50项 及 .
分析:
( x 1 ) n C n 0 x n C n 1 x n 1 C n r x n r C n 1 x 1 1
n 个因式
考 n 分 察 1 ， 别 2 ， 3 ， 4 ， 取
1)当n=1时, (a+b)1 = a+b 2)当n=2时, (a+b)2 = a2+2ab+b2 3)当n=3时, (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
考察 (ab)n的展开式有多并 少同 项类 （项 合之
(a b )n ( a b ) a ( b ) a ( b ) a ( b ) (a b )
(n N )的通 ： T r 1 项 C n ra n r 公 b r（ 式 r 1 第 项）
展开式共有n+1项, C n r(r0,1,2, ,n)叫做二项式系数.
T r 1
C
r n
an-r br
小结: 通项公式
通项公式
T r 1 =
C
r n
an-rbr是相对(a+b)n
T r 1 =
C
r n
arbn-r是相对(b+a)n
而言; 而言;
例1.展开1
14
.
x
解
：1
1
4
x
1
C41
1 x
1
C
2 4
1 x
2
C
3 4
1 x
3
C
4 4
1 x
4
1 4 x
6 x2
4 x3
1 x4
例 2.展开 2 x 1 6.
x
解：2
x
1 6 2 x 1 6 x x
1 2x 16
x3
x13[C（ 602x） 6C（ 612x） 5C（62 2x）4C（ 63 2x）3C（ 64 2x）2C（ 652x） C66]
第50项为: T491Cn49xn49
( 1 x ) n 1 C n 1 x 1 C n 2 x 2 C n r x r C n n x n
第50项为: T491Cn49x49
一般地,对于任意正整数n, (a b)n 的二项展开式:
(a b )n C n 0 a n C n 1 a n 1 b 1 C n 2 a n 2 b 2 C n ra n rb r C n n b n
展开式的每一项的确定:
从每个因式中任选一个 a 或 b 作乘而得到.
若从r个因式中取 b, 而余下的 n-r 个因式取 a,
则得到的项为:
an-rbr
这一项在展开式中出现的次数为:
C
r n
二项式定理 一般地,对于任意正整数n,有:
(a b )n
C n 0 a n C n 1 a n 1 b 1 C n 2 a n 2 b 2 C n ra n r b r C n n b n (n N )
(a b )n ( a b ) a ( b ) a ( b ) a ( b ) (a b )
n 个因式
注意 :展开式的每一项如何确定?
2)当n=2时, (a+b)2 =C20a2C21abC22b2
3)当n=3时, (a+b)3 =C 3 0a3 C 3 1a2b C 3 2ab2 C 3 3b3 4)当n=4时, (a+b)4
=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
= ? a4+? a3 b+? a2 b2+? ab3 + ? b4
= C 4 0 a4 C 4 1 a3b C 4 2 a2b2 C 4 3 ab3 C 4 4b4
(a b )n C n 0 a n C n 1 a n 1 b 1 C n 2 a n 2 b 2 C n ra n rb r C n n b n
(n N )的通 ： T r 1 项 C n ra n r 公 b r（ 式 r 1 第 项）
(a b )n ( a b ) a ( b ) a ( b ) a ( b ) (a b )
n 个因式
注意 :展开式的每一项如何确定?
(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
= C 4 0 a4 C 4 1 a3b C 4 2 a2b2 C 4 3 ab3 C 4 4 b4
n 个因式
注意 : 展开式的每一项如何确定?
1)当n=1时, (a+b)1 = a+ b 2)当n=2时, (a+b)2 = a2+ 2 ab+ b2
3)当n=3时, (a+b)3 = a3+ 3 a2b+ 3 ab2+ b3
4)当n=4时,
(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) =? a4+ ?a3b+ ? a2b2+ ?ab3+?b4
二项式定理
二项式定理
(ab)n ?
考察(ab)n的展开式的特 , 征 共有多少项（合并项同之类后）？
考察 (ab)n的展开式有多并 少同 项类 （项 合之
(a b )n ( a b ) a ( b ) a ( b ) a ( b ) (a b )