高中数学选修2-3《二项式定理》课件
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高中数学选修2-3优质课件：1.3.1 二项式定理
是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具
体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非
负整数，求解方式与求有理项一致.
跟踪训练 3 (1)若x－ax9 的展开式中 x3 的系数是－84，则 a＝__1____. 解析 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck9x9－k(－a)k1xk＝Ck9·(－a)kx9－2k(0≤k≤9， k∈N). 当9－2k＝3时，解得k＝3，代入得x3的系数，根据题意得C39 (－a)3＝－84， 解得a＝1.
题型探究
类型一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式.
解答
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋ …＋(－1)nCnn. 解 原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ckn (x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n ＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
解答
类型二 二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数 例 2 已知二项式(3 x－32x)10. (1)求展开式第4项的二项式系数； 解 (3 x－32x)10 的展开式的通项是
Tk＋1＝Ck10(3 x)10－k(－32x)k＝Ck10310－k(－23)k·x10－23k (k＝0,1,2，…，10).
解答
引申探究
将例1(1)改为求(2x－
1 x2
)5的展开式.
解 方法一 (2x－x12)5＝C05(2x)5－C15(2x)4·x12＋C25(2x)3·(x12)2－C35(2x)2·(x12)3＋
人教B版数学选修2-3课件：1.3.1 二项式定理
【做一做1-1】 (a+b)2n的二项展开式的项数是( )
A.2n
B.n+1
C.2n+1 D.2n-1 解析:因为(a+b)2n中的指数为2n,
所以展开式有2n+1项.
答案:C
【做一做 1-2】 化简:C���0��� (x+1)n-C���1��� (x+1)n-1+…+(-1)rC������������ (x+1)n-
(2)展开式中所有含x的有理项;
(3)展开式中系数最大的项.
分析根据前3项系数成等差数列可求出n值,应用二项展开式的通
项求特定项.
题型一 题型二
解:(1)由题意可知,������n0 + ������n2 ·212=2������n1 ·12,得 n=8.
Tr+1=������8r (
x)8-r·
题型一 题型二
题型一 二项式定理的应用
【例 1】
用二项式定理展开
3
������ +
1 ������
4
.
分析本题可以直接利用二项式定理展开再化简,也可以先化简再 展开.
题型一 题型二
解法一
3
������ +
1 ������
4 = C40
3
������)4 + C41(3
������
3
1 ������
题型一 题型二
(3)设第 k 项的系数 tk 最大, 则有 tk≥tk+1,且 tk≥tk-1,于是
C8������-1·2-������+1 ≥ C8������ ·2-������ , 解得 3≤k≤4. C8������-1·2-������+1 ≥ C8������-2·2-������+2,
人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
① 项： a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk
1.5 第一课时 二项式定理 课件(北师大选修2-3)
n－2r ∵第 6 项为常数项，∴当 r＝5 时， ＝0，解得 n＝10. 3
返回
n－2r ∈Z， 3 (2)根据通项公式，由题意，得 0≤r≤10， r∈Z. 10－2r 3 令 ＝k(k∈Z)，则 10－2r＝3k，即 r＝5－ k. 3 2 ∵r∈Z，∴k 应为偶数，∴k＝2,0，－2， ∴r＝2,5,8. ∴第 3 项、 6 项与第 9 项为有理项， 第 它们分别为 405x2， －61 236,295 245x 2.
返回
问题1：(a＋b)n展开式中共有多少项？
提示：n＋1项． 问题2：(a＋b)n展开式中系数有什么特点？
提示：依次为组合数 C0 ，C1 ，C2 ，…，Cn. n n n n
问题3：(a＋b)n展开式中每项的次数有什么特点？项的
排列有什么规律？
提示：每一项的次数和是一样的，都是n次，并且是按a 的降幂排列，b的升幂排列．
0 ＝ C 4 (3
(1)法一：3
4 1 ＋ C 4 (3 3
x＋
1
4 x
x)
1 2 2 1 2 x ) · ＋ C 4 (3 x) · ＋ C 3 4 x x
(3
1 3 4 1 4 x)· ＋C4· x x
＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
返回
[一点通]
求形式简单的二项展开式时可直接由二项式
定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是
降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现 正负间隔的情况．
返回
1 3 1．3Cn＋9C2 ＋27Cn＋…＋3nCn＝________. n n
返回
返回
高二数学,人教A版选修2-3,二项式定理 课件
1.3 二项式定理 1．3.1 二项式定理
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式．
3．能解决与二项式定理有关的简单问题．
[ 问题 1] [提示1]
我们在初中学习了 (a ＋ b)2 ＝ a2 ＋ 2ab ＋ b2 ，试用 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b
1．在(x－ 3)10的展开式中，x6的系数是( A．－27C6 10 C．－9C6 10 B．27C6 10 D．9C6 10
)
4 4 6 解析： x6的系数为C4 · ( － 3) ＝ 9· C ＝ 9· C 10 10 10.
答案： D
2．二项式 x－
1 8 的展开式中的第6项为( x 1 B．28x2 1 D．56x2
方法二：
x－ 2
1
1 4 2x－14 4 ＝ ＝ (2 x － 1) 2 2 x 16x x
1 ＝16x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1) 3 1 1 ＝x －2x＋2－2x＋16x2.
2
[规律方法]
熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问
对二项展开式的几点认识 (1)二项展开式的特点 ①项数：n＋1项； ②指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到 0，同时，字母b的指数由0递增到n； ③二项式系数：下标为n，上标由0递增到n. (2)易错点
r n r r ①通项Tr＋1＝Cn a b 指的是第r＋1项，不是第r项；
－
②某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念．
5 2
(2)方法一： 3
1 4 x＋ x
1 1 3 2 2 1 2 3 4 x) · ＋C4(3 x) ＋C4(3 x)· ＋ C 4 x x x
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式．
3．能解决与二项式定理有关的简单问题．
[ 问题 1] [提示1]
我们在初中学习了 (a ＋ b)2 ＝ a2 ＋ 2ab ＋ b2 ，试用 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b
1．在(x－ 3)10的展开式中，x6的系数是( A．－27C6 10 C．－9C6 10 B．27C6 10 D．9C6 10
)
4 4 6 解析： x6的系数为C4 · ( － 3) ＝ 9· C ＝ 9· C 10 10 10.
答案： D
2．二项式 x－
1 8 的展开式中的第6项为( x 1 B．28x2 1 D．56x2
方法二：
x－ 2
1
1 4 2x－14 4 ＝ ＝ (2 x － 1) 2 2 x 16x x
1 ＝16x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1) 3 1 1 ＝x －2x＋2－2x＋16x2.
2
[规律方法]
熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问
对二项展开式的几点认识 (1)二项展开式的特点 ①项数：n＋1项； ②指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到 0，同时，字母b的指数由0递增到n； ③二项式系数：下标为n，上标由0递增到n. (2)易错点
r n r r ①通项Tr＋1＝Cn a b 指的是第r＋1项，不是第r项；
－
②某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念．
5 2
(2)方法一： 3
1 4 x＋ x
1 1 3 2 2 1 2 3 4 x) · ＋C4(3 x) ＋C4(3 x)· ＋ C 4 x x x
人教B版高中数学(选修2-3)1-3《二项式定理》ppt课件
代入， 令m (12 – r )+ nr = 0，将 n =﹣2m 代入，解得 r = 4 ， ﹣
故T5 为常数项，且系数最大。 为常数项，且系数最大。
T5的系数 ≥ T4的系数 ∴ T5的系数 ≥ T6的系数 4 3 C12 a 8 b 4 ≥ C12 a 9 b 3 即 4 8 4 5 C12 a b ≥ C12 a 7 b 5 8 a 9 解得 ≤ ≤ 5 b 4
相等且同时取得最大值
2 n r n n n n
(3)各二项式系数的和 各二项式系数的和
C + C + C +L + C +L + C = 2
0 n
例1.
在 (2x − 3y )
10
展开式中
1024 1
(1)求二项式系数的和 求二项式系数的和; 求二项式系数的和 (2)各项系数的和 各项系数的和; 各项系数的和
T4 = − C a b
3 4 7
3
系数最小
T =Cab
4 7 3 5
4
系数最大
三、例题讲解： 例题讲解：
3
(1 − x )(1 + x) 的展开式中， x 5 的系数 的展开式中， 例 1 ⑴在
10
是多少？ 是多少？
解：⑴原式= 原式
(1 + x) − x (1 + x) 3 10 5 10 可知 x 的系数是 (1 + x) 的第六项系数与 − x (1 + x)
3、特例： 特例： n 1 2 2 r r n n （1 + x） = 1 + Cn x + Cn x + L + Cn x + L + Cn x
高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理
2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中 各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式； 解 方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二 二项展开式通项的应用 例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
高中数学1.5.1《二项式定理》课件(苏教版选修2-3)
例3 化简：1－2C1n＋4C2n－8C3n＋…＋(－2)nCnn.
【思路点拨】 共有n＋1项，(－2)按升幂排列 符合二项式定理形式． 【解】 原式＝C0n＋C1n(－2)1＋C2n(－2)2＋C3n (－2)3＋…＋Cnn(－2)n＝(1－2)n＝(－1)n. 【名师点评】 对于这类问题，从项数、幂的 变化规律，判断是否符合二项式定理．
1.5.1 二项式定理 课件（苏教版选修 2-3）
1.5.1
学习目标 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
学习目标
1.理解并掌握二项式定理的项数、系数、二项 式系数、通项的特征，熟记它的展开式． 2．能够运用展开式中的通项求展开式中的特 定项．
课前自主学案
温故夯基
1．(a＋b)2＝____a_2＋__2_a_b_＋__b_2______. 2．(a＋b)3＝__a_3_＋__3_a_2_b_＋__3_a_b_2＋__b_3_____.
＝
1 32x10
(1024x15
－
3840x12
＋
5760x9
－
4320x6
＋
1620x3－243)
＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
求二项式的特定项
根据通项公式 Tr＋1，对 r 进行待定．通项公式的 主要作用是用来求展开式中的特定项．求二项展 开式的特定项常见题型有：(1)求第 k 项，Tk＝Ckn－1 an－k＋1bk－1；(2)求含 xr 的项(或 xpyq 的项)；(3)求常 数项；(4)求有理项．
例2 (本题满分 14 分)求( x－3 x)9 展开式中的 有理项．
【思路点拨】 写通项 → 化简
→ 令x的指数为整数 → 求r的值 → 写出各项 【规范解答】 二项式的展开式的通项 Tr＋1＝C9r x129－r－x13r ＝(－1)rC9rx276－r.4 分 令276－r∈Z，
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0 n 1
1 n 1
2…
n 1
r 1 n 1
r … n1
n 1
n 1
(a+b) n……C
0 n
C1 n
C C C 2 …
r 1
n
n
r n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
………
C
n n
结论：①
Cr n
Cnr n
即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相
；
二项式系数前半部等分逐渐增大，后半部分逐渐减;当n为
② 偶展数开时式，中展间开的式两中项间的、一C nn项2 1 相CC 等nnnn22 1 取，得且最同大时；取当得最n为大奇。数时，； ③ 各二项式系数和：C n 0 C n 1 C n 2 C n n 2 n 。
((1)展) 开式中共有_n_+_1____项
(2)通项公式：_Tr_1_ __C_nra _n_r_b_r___,它表 示的是展开式的第r+_1_______项
(3)二项式系数：_C _n_r(_r___0,_1_,2_,___,n_)_
(a+b)1…………………………… C110
C
11
n3且nN*
思考题：
当时 n3且nN*，试证
2n 1 2n 1
n n 1
。
本节课小结：
1.会用赋值法求二项展开式中的一些系数 和问题；
2.学会利用二项展开式的通项解决一些与 特定项有关的问题。
作业： 1.必做题：《创新设计》P183基础自测 2.选做题： 《创新设计》P350选做题1，3
方法点评：二项展开式是一个恒等式,因 此对特殊值仍然成立.这是求二项式系数 和的基础.常采用的方法是“赋值法”,它 普遍用于恒等式,是一种重要的方法.
考点2.通项公式的应用
例2. 在
x
1 24 x
8
的展开式中
（（12） ）是求否含x 存12 在的常项数及项该；项的二项式系数；
引申：
（3）求所有的有理项 ；
（4）求系数最大的项。
变式：
x
2
1
4
x
100展开式中所有有理项
有_____个。
方法点评:例2及其变式、练习属于求 二项式的指定项的一类重要问题,它的 解法主要是:利用通项公式，设第r+1项 为所求指定项，然后根据已知条件列出 方程, 利用方程的思想解题.
二项式定理复习课
考纲要求及高考动向：
2010年考试大纲（广东卷）
对本节知识的要求是：1.理解二项
式定理；2.会用二项式定理解决与
二项式定理有关的简单问题。
高考主要考查通项和二项展
开式的应用，即求特定项以及展开
式中的系数和等问题。
教材复习： 二项式定理 (a+b)n=C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n r a n r b r C n n b n nN
1
(a+b)2………………………
C1
0 2
C 2 21
C
12
2
(a+b)3……………………
C1
0 3
C3 31
C
32
3
C
31
3
(a+b)4………………
C1
0 4
C 4 41
C642
C
43
4
C
41
4
C C (…a+…b)5……………
1C
0 5
C5
1 5
1C0 52
3
105
C
4
55
155
C C C C C C (a+b) n-1……
……
考点1.求展开式中系数和
例1.已知(1-2x)7=a0 + a1x + a2x2+ …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______
(2) a0-a1+a2-a3+…-a7=_______ 引申： (3) (a0+a2+a4+ a6)2- (a1+a3+a5+ a(74))2a =0 _a 1a 2a 7 _ _ _ _ _