高中数学(人教版必修5)配套练习：3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时

第三章 3.2 第2课时一、选择题1．(北京学业水平测试)不等式(x －1)(2x －1)<0的解集是( ) A ．{x |1<x <2} B ．{x |x <1或x >2} C ．{x |x <12或x >1}D ．{x |12<x <1}[答案] D[解析] 方程(x －1)(2x －1)＝0的两根为x 1＝1，x 2＝12，所以(x －1)(2x －1)<0的解集为{x |12<x <1}，选D ．2．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |0≤x <1} B ．{x |0≤x ≤2} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0≤x ≤2} [答案] D[解析] ∵N ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，M ＝{x |0≤x ≤2}， ∴M ∩N ＝{x |0≤x ≤2}，故选D ．3．若{x |2<x <3}为x 2＋ax ＋b <0的解集，则bx 2＋ax ＋1>0的解集为( ) A ．{x |x <2或x >3} B ．{x |2<x <3} C ．{x |13<x <12}D ．{x |x <13或x >12}[答案] D[解析] 由x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |2<x <3}，知方程x 2＋ax ＋b ＝0的根分别为x 1＝2，x 2＝3.由韦达定理，得x 1＋x 2＝－a ，x 1·x 2＝b ， 即a ＝－5，b ＝6.所以不等式bx 2＋ax ＋1>0，即6x 2－5x ＋1>0，解集为{x |x <13，或x >12}，故选D ．4．不等式(x －2)2(x －3)x ＋1<0的解集为( )A ．{x |－1<x <2或2<x <3}B ．{x |1<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |－1<x <3} [答案] A[解析] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x ＋1)<0，x ＋1≠0，(x －2)2≠0，解得－1<x <3，且x ≠2，故选A ．5．若0＜t ＜1，则不等式x 2－(t ＋1t )x ＋1＜0的解集是( )A ．{x |1t ＜x ＜t }B ．{x |x ＞1t 或x ＜t }C ．{x |x ＜1t 或x ＞t }D ．{x |t ＜x ＜1t}[答案] D[解析] 化为(x －t )(x －1t )＜0，∵0＜t ＜1，∴1t ＞1＞t ，∴t ＜x ＜1t.6．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4＜a ＜4 C ．a ≤－4或a ≥4 D ．a ＜－4或a ＞4[答案] A[解析] 欲使不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则△＝a 2－16≤0，∴－4≤a ≤4. 二、填空题7．关于x 的不等式：x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＜0的解集是________． [答案] {x |m <x <m ＋1}[解析] 解法一：∵方程x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0的解为x 1＝m ，x 2＝m ＋1，且知m ＜m ＋1.∴二次函数y ＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m 的图象开口向上，且与x 轴有两个交点． ∴不等式的解集为{x |m ＜x ＜m ＋1}．解法二：注意到m 2＋m ＝m (m ＋1)，及m ＋(m ＋1)＝2m ＋1， 可先因式分解，化为(x －m )(x －m －1)＜0， ∵m ＜m ＋1，∴m ＜x ＜m ＋1. ∴不等式的解集为{x |m <x <m ＋1}．8．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是________． [答案] 0<a ≤4[解析] ①若a ＝0，则1<0不成立，此时解集为空．②若a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ≤0，a >0，∴0<a ≤4.三、解答题 9．解下列不等式： (1)2x －13x ＋1>0； (2)ax x ＋1<0. [解析] (1)原不等式等价于(2x －1)(3x ＋1)>0， ∴x <－13或x >12.故原不等式的解集为{x |x <－13或x >12}．(2)axx ＋1<0⇔ax (x ＋1)<0. 当a >0时，ax (x ＋1)<0⇔x (x ＋1)<0⇔－1<x <0， ∴解集为{x |－1<x <0}；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，ax (x ＋1)<0⇔x (x ＋1)>0⇔x >0或x <－1，∴解集为{x |x >0，或x <－1}． 10．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0. [解析] 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.则方程x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2， 由a 2－a ＝a (a －1)可知， (1)当a <0或a >1时，a 2>a . ∴原不等式的解集为x >a 2或x <a . (2)当0<a <1时，a 2<a ， ∴原不等的解为x >a 或x <a 2.(3)当a ＝0时，原不等式为x 2>0，∴x ≠0. (4)当a ＝1时，原不等式为(x －1)2>0，∴x ≠1. 综上可知：当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}.一、选择题1．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( )A ．m ＜－2或m ＞2B ．－2＜m ＜2C ．m ≠±2D ．1＜m ＜3[答案] A[解析] ∵f (x )＝－x 2＋mx －1有正值， ∴△＝m 2－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2.2．若a ＜0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0的解是( ) A ．x ＞5a 或x ＜－a B ．x ＞－a 或x ＜5a C ．5a ＜x ＜－a D ．－a ＜x ＜5a[答案] B[解析] 化为：(x ＋a )(x －5a )＞0，相应方程的两根x 1＝－a ，x 2＝5a ∵a ＜0，∴x 1＞x 2.∴不等式解为x ＜5a 或x ＞－a . 3．函数y ＝－x 2－3x ＋4x 的定义域为( )A ．[－4,1]B ．[－4,0)C ．(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1][答案] D[解析] 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0x ≠0，解得－4≤x ≤1且x ≠0，故定义域为[－4,0)∪(0,1]．4．如果不等式2x 2＋2mx ＋m4x 2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，3)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[答案] A[解析] 由4x 2＋6x ＋3＝(2x ＋32)2＋34>0对一切x ∈R 恒成立，从而原不等式等价于2x 2＋2mx ＋m <4x 2＋6x ＋3(x ∈R )⇔2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )>0对一切实数x 恒成立 ⇔Δ＝(6－2m )2－8(3－m )＝4(m －1)(m －3)<0， 解得1<m <3. 二、填空题5．已知函数y ＝(m 2＋4m －5)x 2＋4(1－m )x ＋3对任意实数x ，函数值恒大于零，则实数m 的取值范围是__________．[答案] 1≤m <19[解析] ①当m 2＋4m －5＝0时，m ＝－5或m ＝1，若m ＝－5，则函数化为y ＝24x ＋3.对任意实数x 不可能恒大于0. 若m ＝1，则y ＝3＞0恒成立． ②当m 2＋4m －5≠0时，据题意应有，⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4m －5＞016(1－m )2－12(m 2＋4m －5)＜0 ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－5或m ＞11＜m ＜19，∴1＜m ＜19. 综上可知，1≤m ＜19.6．不等式[(a －1)x ＋1](x －1)＜0的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则a ＝________. [答案] 12[解析] 由题意x ＝2是方程(a －1)x ＋1＝0的根， 且a －1＜0，∴a ＝12.三、解答题7．解关于x 的不等式：x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6<0.[解析] 原不等式⇔(x ＋3)(x －1)(x ＋2)(x －3)>0⇔(x ＋3)(x ＋2)(x －1)(x －3)>0.令(x ＋3)(x ＋2)(x －1)(x －3)＝0，则有x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝1，x 4＝3. 如图．由图可知，原不等式的解集为{x |x <－3或－2<x <1或x >3}． 8．当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2＋(a －1)x －1<0的解集是R? [解析] 由a 2－1＝0，得a ＝±1.当a ＝1时，原不等式化为－1<0恒成立， ∴当a ＝1时，满足题意．当a ＝－1时，原不等式化为－2x －1<0，∴x >－12，∴当a ＝－1时，不满足题意，故a ≠－1.当a ≠±1时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0，解得－35<a <1.综上可知，实数a 的取值范围是－35<a ≤1.。