刹车距离与二次函数 练习题 2
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7刹车距离与二次函数知识点:I")抛物线y = a(x+h)2,向右平移h(h > 0)个3.y = a(x-h)2-^k(a^0)是由抛物线y = ax 1的图彖向上(或向下)向左(或向右)平移而成的。
例1.(1)在同一坐标系屮画出y = -x 2,y = -x 2 + 2,y = -x 2一3的图象y 二-x 2的顶点处标是___________ ，对称轴是_______ ，开口向_______l.y = ax 2与y = ox ，+ ￡的图像Z 间的关系(1)二次函数y = ax 2与y = ax 2^k 的图象的形状相同，开口方向相同，对称轴相同, 只是顶点坐标不同⑵二次函数y = ax 2-^k 的图象町以由『=处2的图象平移得到当"0时，将丁 =拧向上平移冈个单位得到y = ax 2 +k当EvO 时,将y = ax 2向下平移崗个单位得到y = ax 1 + k(3)二次函数y = ax 2-^k 中，a 确定抛物线的开口方向和开口大小，相同抛物线的形状和开口大小相同；k 确定抛物线在上的位査，k>0抛物线与y 轴正半轴相交；￡<0与y 轴负半轴相交;y = cix 2+￡的图像是由y 二似‘的图彖沿y 轴二次術枚,二"』的禺介和性砸?>0■<0T^V 斤口力詡-A AT..sdciAn ?Dffltt 和件质? MJRM ?>O ■<0y ■(直町yt^Aiftjr-o)￡ta )(?JO mMft tti 値的nt si ■大；*5 ■<0时.甬牧恤■偵的増尢.M 刍丄X)时，甫敦傥,11的■大？M ;务<0眛确敎值、融■何的增大* 1?大上下平移得到的，移动规律是“上加下减”2. y = ax 2的图象向左平移h(h > 0)个单位得到?韵啟假斤口方问二*曲收?“卩常憎像札n?is >0?<0■下单位得到抛物线y = a(x-hf y = a(x+ /?)2的图像是由y 二cue 2的图象左右平移得到，移动规律是“左加右减”住时称紬的左側(即x 的廉女廂n 小金? ■甫Stttb I# x (A 的wx 企灯称■的左M(9?A 时的増I ■大■相i>A 时> ?<?[ 的増大？K 小二次甬敷y 3" 和性虞.下表: 二次曲St ?=<!(—* N U 的图*和ftttlD 卜& 1N ⑷教■??「7卩触序ft 札件*A<0j = -%2的图象沿y轴向_________ 平移_______ 个单位长度得到抛物线J =-X2+2,y = -x2+2的顶点坐标是____________ ，对称轴是________ ，开口向 _______y = -x2的图象沿y轴向_________ 平移_______ 个单位长度得到抛物线y = -x2-3 ,y = -x2-3的顶点坐标是____________ ，对称轴是________ ，开口向 _______发现抛物线y = -x2,jv = -x2+2,y = -x2-3的形状，开口大小相同，只是它们的顶点变了(2)在同一坐标系中画出y = -2x2, y = -2(x- 2)2, y = -2(x + 3)2的图象把抛物线)=-2x2沿兀轴向____________ (填左或右)平移_______ 个单位长度得到抛物线y = -2(兀-2)2,此时抛物线的的顶点处标是__________ ，对称轴是_____ ，开口向 _____把抛物线y = -2x2沿x轴向 __________ (填左或右)平移_______ 个单位长度得到抛物线3' = -2(兀+ 3)2，此时抛物线的的顶点坐标是________ ，对称轴是_____ ，开口向 _____发现抛物线y = -2x2,y = -2(x-2)\y = -2(x + 3)2的形状，开口大小相同，只是它们的顶点和对称轴变了例1.(1)抛物线y = -4/+5的开口向________ ,对称轴是______ ,顶点处标是______ ，函数有最—值是 _____(2)若点PQ,a)和2(-1^)都在抛物线上，，贝熾段PQ的长度为_________(3)已知二次函数y = or M+3,在对称轴左侧y随兀的增人而增人，则^ = _________⑷将抛物线y = -2异先向下平移3个单位，再向右平移2个单位得到的解析式是 _______ 练习：1将抛物线y=2x?向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为_____________ ；向右平移2个单位，所得抛物线的解析式为 __________________ :2._____________________________ 抛物线y=2(X+3)2的开口___ ；顶点处标为______ ；对称轴是________________________ ；当x>—3时，y ____________________ ；当x=—3吋，y有____ 值是________ ;3.抛物线y=m (x+n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y=—4 (x~4)2,则m= __________ , n= ___________ ；4.若抛物线y=m(x+l)2过点(1, —4),则m= ___________________ .例2.如图有一廉抛物线形拱桥，正常水位时桥下水血宽AB=20m,水位上升3m就达到警戒线CD,这时水面宽为10m. （1）在如图所示的绝标系中求抛物线的解析式；（2）洪水到来时,水位以0.2m/h的速度上升,从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？练习：5.如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点O到水面的距离CO为2.4m,在图中直角处标系内，涵洞截而所在抛物线的解析式是 ________6.小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y = --x2+3.5的一部分（如图），若命屮篮筐屮心，则他与篮底的距离/是 _________7.某公园草坪的防护栏由1（）（）段形状相同的抛物线形构件纟F1成，为了牢同起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A. 50MB. 100mC. 160mD. 200m8.己知d V -1 ,点（d -1,必）,（a,旳），（Q +1，＞3）都在〉'=/的图彖上，则X,儿，为的大小关系是____________&如图，河上冇一座抛物线桥洞，己知桥下的水面离桥拱顶部3m时冰面宽为AB = 6加，当水位上升时0.5加:⑴求水面CD的宽度为多少米？（2）有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方休形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行.①若游船宽（指船的最人宽度）为2加，从水面到棚顶的高度为 1.8加，问这艘游船能否从桥洞下通过？7②若从水面到棚顶的高度为一加的游船刚好能从桥洞下通过，则这艘游船的最人宽度是多少4米？九课后练习：1.下列二次函数的图象，不能通过函数y = 3x 2的图彖平移得到的是() ? ?A 、y = 3x 2 + 2B 、y = 3(x-l)2C 、j = 3(x-l)2 + 2D 、y = 2x 22.二次函数y=2 (x- 1) ?+3的图象的顶点坐标是() A. (1, 3) B.(?1, 3) C. (1,?3) D.(?1,?3)3.将二次函数y=x 2的图彖向右平移一个单位长度，再向上平移3个4.如图，在平而总角处标系中，抛物线尸 2 2经过平移得到抛物线2X y=l x 2 _2x ,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )2A. 2B. 4C. 8D. 16 5.把抛物线y=(x+l)2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是()A. y=(x+2)2+2B. y=(x+2)2-2C. y=x 2+2D. y=x 2-2 k6.函数y 二一和y = -kx 2+k(k^O)在同一坐标系小的图象可能是( )X y = -x 2 +1相交，其中一个交点为P,求出P 的坐标; ?4(3)将直线y = kx + b 继续绕着点B 旋转，与抛物线相交，其中一个交点为P (如图②), 过点P'作X 轴的垂线PM,点M 为垂足.是否存在这样的点F,使△PBM 为等边三角形? 若存在，请求出点P 的朋标；若不存在，请说明理山.单位长度所得的图象解析式为( )A. y= (x - 1) 2+3B. y= (x+1) 2+3C.y= (x- 1) 2-3D.y= (x+1) 2-3 8.如图，已知抛物线^ = -%2+1,直线y = kx + b 经过点B (0, 2)4(2)将直线y = kx + b 绕着点B旋转到与x 轴平行的位置时(如图1),直线与抛物线7.函数y = -mx^iV 和y = F+加在同一坐标系屮的图象可能是(。
26.3_实际问题与二次函数_(含答案)
实际问题与二次函数一、自主学习1.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t －4.9t 2(t 的单位：s ；h 的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是( ) A.0.7l s B.0.70 s C.0.63 s D.0.36 s2.行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”.某车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)间有下述的函数关系式：s=0.01x 2+0.002x ，现该车在限速140km ∠h 的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5 m ，请推测刹车时汽车________(填“是”或“不是”)超速.3.有一座抛物线型拱桥(如图26－10所示)，正常水位时桥下河面宽20 m ，河面距拱顶4 m(1)在如图26－10所示的平面直角坐标系中，求出抛物线解析式；(2)为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m ，求水面在正常水位基础上涨多少米时，就会影响过往船只?图26－104.某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件.他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件.(1)写出售价x(元/件)与每天所得的利润y(元)之间的函数关系式；(2)每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大?二、基础巩固5.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.(1)如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?6.如图26－11所示，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8 m ，宽AB 为2 m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6 m.(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m ，宽2.4 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道?通过计算说明你的结论.图26－117.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R(元)，售价每只为P(元)且R 、P 与x 的关系式为R=500+30x ，P=170－2x.(1)当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；(2)当日产量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少?8.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表26－2所示.表26－2若日销售量y是销售价x的一次函数；(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?9.图26－12是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到表26－3中的数据.图26－12图26－13表26－3(1)请你以表26－3中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试在图26－13所示的坐标系中画出y关于x的函数图象；(2)①填写表26－4.表26－4②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y的二次函数关系式：________.(3)当水面宽度为36 m时，一船吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8 m的货船能否在这个河段安全通过?为什么?三、能力提高10.学校要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线距径落下.且在过OA的任意平面上的抛物线如图26－14所示，建立平面直角坐标系(如图26－15所示)，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=－x2+2325x，请回答下列问题：图26－14 图26－15（1）花形柱子OA的高度；(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外?11.《西游记》中的孙悟空对花果山的体制进行全面改革后，为了改善旅游环境，决定对水帘洞进行改造翻新，计划在水帘洞前建一个由喷泉组成的水帘门洞，让游客在进入水帘洞前先经过一段由鹅卵石铺就的小道，小道两旁布满喷水管，每个喷管喷出的水最高达4 m ，落在地上时距离喷水管4 m ，现在设如图26－16是喷泉所经过的路线，与喷头A 和喷泉落地点B 的连线为横轴，AB 垂直平分线为纵轴建立直角坐标系.问小道的边缘距离喷水管至少应为多少米，才能使身高不大于1.75 m 的游客进入水帘洞时不会被水淋湿?图26－112.我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P=501-(x －30)2+10万元.为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元.若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通.公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x 万元可获利润Q=308)50(5194)50(50492+-+--x x 万元.(1)若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?(2)若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法.13.在体育测试时，初三的一名高个子男同学在推铅球.已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图26－17所示，如果这个男同学的出手处A 点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B 点的坐标为(6，5).(1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远?(精确到0.01 m ，15=3.873)图26－17四、模拟链接1 14、设抛物线y=2x 2+kx+1－2k(k 为常数)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A 点在原点O 的左侧，B 点在原点O 的右侧，满足(OA+OB)2－OC=429(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在D 、E 两点，使AO 恰为△ADE 的中线，若存在，求出△ADE 的面积，若不存在，说明理由.15.已知抛物线y=x 2+(2n －1)x+n 2－1(n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式； (2)如图26－18所示，设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值?如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.图26－1816.已知OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6.(1)如图26－19甲所示，在OA 上选取一点D ，将△COD 沿CD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E.求折痕CD 所在直线的解析式；(2)如图26－19乙所示，在OC 上选取一点F ，将△AOF 沿AF 翻折，使点O 落在BC 边，记为G.①求折痕AF 所在直线的解析式；②再作GH ∥AB 交AF 于点H ，若抛物线y=121x 2+h 过点H ，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF 的公共点的个数.(3)如图26－19丙所示：一般地，在以OA 、OC 上选取适当的点I 、J ，使纸片沿IJ 翻折后，点O 落在BC 边上，记为K ，请你猜想：①折痕IJ 所在直线与第(2)题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K 作KL ∥AB 与IJ 相交于L ，则点L 是否必定在抛物线上.将以上两项猜想在(1)的情形下分别进行验证.图26－19参考答案一、自主学习1.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t －4.9t 2(t 的单位：s ；h 的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化.如图26－9所示，则他起跳后到重心最高时所用的时间是( )A.0.7l sB.0.70 sC.0.63 sD.0.36 s图26－9答案：D2.行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”.某车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)间有下述的函数关系式：s=0.01x 2+0.002x ，现该车在限速140km ∠h 的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5 m ，请推测刹车时汽车________(填“是”或“不是”)超速. 答案：是3.有一座抛物线型拱桥(如图26－10所示)，正常水位时桥下河面宽20 m ，河面距拱顶4 m(1)在如图26－10所示的平面直角坐标系中，求出抛物线解析式；(2)为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m ，求水面在正常水位基础上涨多少米时，就会影响过往船只?图26－10答案：(1)y=251-x+4； (2)0.76 m 4.某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件.他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件.(1)写出售价x(元/件)与每天所得的利润y(元)之间的函数关系式；(2)每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大? 答案：(1)y=－10x+280x －1600；(2)14y=(x －8)×[l00－(x －10)×10]=(x －8)(100－10x+100) =(x －8)(－l0x+200)=－10x+280x －1600 当x=)10(22802-⨯-=-a b =14，因为y=－10x+280x －1600中的a ＜0，故此时y 有最大值.二、基础巩固5.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.(1)如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?答案：(1)y=－4x+64x+30720；(2)增加8台机器，最大生产总量是30976件 y=(80+x)(384－4x)=4x+64x+30720因为y=－4x+64x+30720=－4(x －8)2+30976 所以x=8时，y 最大值=30976.6.如图26－11所示，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8 m ，宽AB 为2 m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6 m.图26－11(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m ，宽2.4 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道?通过计算说明你的结论. 答案：(1)y=41-x+6;(2)这辆货运卡车能通过隧道. 由图可设抛物线解析式为y=ax+c ，由题可知A(－4，2)，E(0，6)，c=6，代入，得2=(41-)2a+6，a=41-，故解析式为y=41-x+6；当x=2.4时，y=41-×2.42+6=4.56＞4.2，所以这辆货运卡车能通过隧道.7.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R(元)，售价每只为P(元)且R 、P 与x 的关系式为R=500+30x ，P=170－2x.(1)当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少? 答案：(1)日产量为25只；(2)当日产量为35只时，可获得最大利润，最大利润是1950元.设生产x 只玩具熊猫的利润为y 元，依题意得y=px －－2x)x －(500+30x)=－2x+140x －500，令y=1750，即－－500=1750，解得x 1=25，x=45，但x=45＞40去，所以当日产量为25只时，每日获得的利润为1750元. 对于y=－2x+140x －500，a=－2＜0，x=)2(21402-⨯-=-a b =35时，y 最大值=)2(4140)500()2(44422-⨯--⨯-⨯=-ab ac =1950. 8.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表26－2所示.表26－2若日销售量y 是销售价x 的一次函数；(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?答案：(1)9=－x+40； (2)应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.9.图26－12是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到表26－3中的数据.图26－12 表26－3(1)请你以表26－3中的各对数据(x ，y)作为点的坐标，尝试在图26－13所示的坐标系中画出y 关于x 的函数图象；图26－13(2)①填写表26－4.表26－4②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x 表示y 的二次函数关系式：________.(3)当水面宽度为36 m 时，一船吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8 m 的货船能否在这个河段安全通过?为什么? 答案：(1)略； (2)表略， y=2001x ； (3)这货船不能通过这河段.三、能力提高10.学校要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线距径落下.且在过OA 的任意平面上的抛物线如图26－14所示，建立平面直角坐标系(如图26－15所示)，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=－x 2+2325+x ，请回答下列问题：图26－14 图26－15 （1）花形柱子OA 的高度；(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外?答案：(1)1.5m ；(2)半径至少是3m ，一段由鹅卵石铺就的小道，小道两旁布满喷水管，每个喷管喷出的水最高达4 m ，落在地上时距离喷水管4 m ，现在设如图26－16是喷泉所经过的路线，与喷头A 和喷泉落地点B 的连线为横轴，AB 垂直平分线为纵轴建立直角坐标系.问小道的边缘距离喷水管至少应为多少米，才能使身高不大于1.75 m 的游客进入水帘洞时不会被水淋湿?图26－1答案：小道边缘距离喷水管至少应为1 m.由已知，得A(－4，0)，B(4，0)，抛物线的顶点C(0，4). 设抛物线的关系式为y=ax+4，把x=4，y=0代入，得16a+4=0，解得a=41-，故抛物线的关系式为y=41-x+4；为了让身高1.75m 的游客不会被喷泉淋湿，抛物线上的点到小道的边缘的距离应不小于1.75 m 设E 是抛物线上纵坐标为1.75的点，当y=1.75时，41-x+4=1.75，解得x=±3，所以E 点的坐标为(－3，1.75).作ED ⊥x 轴，则D(－3，0)，从而AD=1.12.我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P=501-(x －30)2+10万元.为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元.若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通.公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=308)50(5194)50(50492+-+--x x 万元. (1)若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少? (2)若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少? (3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法. 答案：(1)10年所获利润的最大值是100万元；(2)3547.5万元； (3)该项目有极大的开发价值.若不开发此产品，按照原来的投资方式，由P=501-(x －30)2+10知，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获得最大利润10万元，则10年的最大利润M 1=10×10=100万元.若对产品开发，在前5年中，当x=25时，每年最大利润是P=501-(25－30)2+10=9.5万元，则前5年的最大利润M 2=9.5×5=47.5万元.设5年中x 万元是用于本地销售的投资，则Q=5049-(50－x)2+5194(50－x)+308知，将余下的(50－x)万元全部用于外地销售的投资，才有可能获得最大利润，则后5年的利润是M 3=[501-(x －30)2+10]×5+(5049-x+5194x+308)×5 =－5(x －20)2+3500，故x=20时，M 3取得最大值为3500万元，所以10年的最大利润为M=M 2+M 3=47.5+3500=3547.5万元，因为3547.5＞100，故该项目有极大的开发价值. 13.在体育测试时，初三的一名高个子男同学在推铅球.已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图26－17所示，如果这个男同学的出手处A 点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B 点的坐标为(6，5). (1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远?(精确到0.01 m ，15=3.873)图26－17答案：(1)y=121-x+x+2；(2)13.75m 设二次函数的解析式为y=a(x －h)2+k ，顶点坐标为(6，5) ∴y=a(x －6)2+5， A(0，2)在抛物线上， ∴2=62·a+5∴a=121- ∴y=121-(x －6)2+5，y=121-x+x+2. 当y=0时，121-x+x+2=0， x=6±52(舍6－52).∴x=6+52≈13.75m四、模拟链接14.设抛物线y=2x 2+kx+1－2k(k 为常数)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A 点在原点O 的左侧，B 点在原点O 的右侧，满足(OA+OB)2－OC=429(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在D 、E 两点，使AO 恰为△ADE 的中线，若存在，求出△ADE 的面积，若不存在，说明理由.答案：(1)y=2x+3x －5；(2)存在抛物线上的D 、E 两点，使AO恰为△ADE 的中线，S △ADE =41015.设x 1，x 是方程2x －kx+1－2k=0的两根. A(x 1，0)，B(x ，0)，x 1＜0＜x. ∴OA=－x 1，OB=x. ∴x 1+x=2k -①x 1·x=221k -＜0②∴k ＞21在抛物线解析式中，令x=0，则y=1－2k.. ∴C(0，1－2k)，∴OC=|1－2k|=2k －1，由(OA+OB)2－OC=429，则(－x+x)2－(2k －1)429∴(x 1+x)2－4x 1 x －(2k －1)=429①②代入得(2k -)2－4×221k -－2k+1=429.∴k 2－8k －33=0 ∴k 1=3或k 2=－11. 但k ＞21， ∴k=－11不合题意，舍去，∴k=3. 则所求抛物线的解析式为y=2x+3x －5.设存在抛物线上的D 、E 两点，使AO 恰为△ADE 的中线. ∴O 是DE 的中点，即D 、E 关于原点对称. 设直线DE 的解析式为y=kx ，联⎩⎨⎧-+==5322x x y kxy∴2x+(3－k)x －5=0 ③设D(x 1，y 1)，E(x ，y 2)，x 1，x 是方程③的解， ∴x 1+x=23k--=0， ∴k=3代入方程③中. ∴2x －5=0，∴x=±210，∴y=±2103. 易求A(25-，0)，B(1，0). ∴S △ADE =2S △AOE =2×21·AO·|y E |=2×21×25×2103=41015 15.已知抛物线y=x 2+(2n －1)x+n 2－1(n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)如图26－18所示，设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值?如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.图26－18答案：(1)y=x －3x ；(2)① 6 ②存在最大值,A(21，45-) 由已知条件，得n 2－1=0，解这个方程，得n 1=1，n 2=－1 当n=1时，得y=x+x ，此抛物线的顶点不在第四象限； 当n=－1时，得y=x －3x ，此抛物线的顶点在第四象限， ∴所求的函数关系为y=x －3x.由y=x －3x ，令y=0，得x －3x=0，解得x 1=0，x=3. ∴抛物与x 轴的另一个交点为(3，0)， ∴它的顶点为(49,23-)，对称轴为直线x=23.①∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB=21×(3－1)=1， ∴B(1，0).∴点A 的横坐标x=1，又点A 在抛物线y=x －3x 上，∴点A 的纵坐标y=12－3×1=－2， ∴AB=|y|=|－2|=2，∴矩形ABCD 的周长为2(AB+BC)=2×(2+1)=6.②∵点A 在抛物线y=x －3x 上，故可设A 点的坐标为(x ，x －3x)，∴B 点的坐标为(x ，0)·(0＜x ＜23) ∴BC=3－2x ，A 在x 轴下方，∴x －3x ＜0， ∴AB=|x －3x|=3x －x.∴矩形ABCD 的周长P=2[(3x －x)+(3－2x)]=－2(x －21)2+213. ∵a=－2＜0，∴当x=21时，矩形ABCD 的周长P 最大值为213，此时点A 的坐标为A(21，45-)16.已知OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6. (1)如图26－19甲所示，在OA 上选取一点D ，将△COD 沿CD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E.求折痕CD 所在直线的解析式；(2)如图26－19乙所示，在OC 上选取一点F ，将△AOF 沿AF翻折，使点O 落在BC 边，记为G. ①求折痕AF 所在直线的解析式；②再作GH ∥AB 交AF 于点H ，若抛物线y=121-x 2+h 过点H ，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF 的公共点的个数.图26－19(3)如图26－19丙所示：一般地，在以OA 、OC 上选取适当的点I 、J ，使纸片沿IJ 翻折后，点O 落在BC 边上，记为K ，请你猜想：①折痕IJ 所在直线与第(2)题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K 作KL ∥AB 与IJ 相交于L ，则点L 是否必定在抛物线上.将以上两项猜想在(1)的情形下分别进行验证. 答案：(1)CD 的解析式为y=－x+6 由折法知：四边形ODEC 是正方形， ∴OD=OC=6 ∴D(6，0)，C(0，6).设直线CD 的解析式为y=kx+b ，则⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧+=+=610660b k b b k 解得∴直线CD 的解析式为y=－x+6. (2)①AF ∶y=31-x+310③AF 与抛物线只有一个公共点 在Rt △ABG 中.因AG=AO=10， 故BG=22610-=8，∴CG=2. 没OF=t ，则FG=t ，CF=6－t ， 在Rt △CFG 中，t 2=(6－t)2+22，解得t=310， 则F(0，310) 设直线AF ∶y=k′x+310，将A(10，0)代入，得k′=31- ∴AF ∶y=31-x+310∵GH ∥AB ，且G(2，6)，可设H(2，y F )， 由于H 在直线AF 上， ∴把H 代入直线AF ∶y F =31-×2+310=38，知H(2，38)，又H 在抛物线上，38=121-×22+h ，得h=3. ∴抛物线的解析式为y=121-x+3，再将直线y=31-x+310，代入抛物线y=121-x+3， 得121-x+31x 31-=0∵△=(31)2－4×(121-)×(31-)=0，∴直线AF 与抛物线只有一个公共点. (3)可以猜想以下两个结论： ①折痕所在直线与抛物线y=121-x+3只有一个公共点； ②若作KL ∥AB 与IJ 相交于点L ，则L 一定在抛物线y=121-x+3上. 验证①，在图甲中，将折痕CD ：y=－x+6代入y=121-x+3特殊情形I 即为D,J 即为C ，G 即为E ，K 也是E ，KL 即为ED.L就是D ，得121-x+x －3=0. ∵△=1－4×(－3)×(121-)=0，∴.折痕CD 所在直线的确与抛物线y=121-x+3 只有一个公共点.验证②，在图甲的特殊情况中，I 就是C,J 就是D ， 那么L 就是D(6，0)，当x=6时，y=21-×62+3=0. ∴点L 在这条抛物线上. 。
刹车距离与二次函数二次函数市公开课一等奖省优质课获奖课件
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二次函数y=2x2+1图象是 什么形状?它与二次函数 y=2x2图象有什么相同和不 一样?它开口方向、对称轴 和顶点坐标分别是什么?
y 2x2 1
二次函数y=2x2+1 图象形状与y=2x2 一样,仍是抛物线.
雨天行驶时,由公式(2)来计算：
1.s 1 v2. 2.s 1 v2.
100
50
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想一想P42 2
比较函数s
1 100
v
2
与s 1 v2 50
图象
驶向胜利 彼岸
在同一直角坐标系中作出函数(1)(2)图象(先想一想,在 函数(2)中,v能够取任何值吗?为何?)．
1.s 1 v2. 2.s 1 v2.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 …
(2)分别作出y=x2和y=2x2图象．
第6页
(3)二次函数y=2x2图象是 什么形状?它与二次函数 y=x2图象有什么相同和不 一样?它开口方向、对称轴 和顶点坐标分别是什么?
分别是1和0.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和 y=-3x2图象,会是什么样?
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二次函数y=-3x2-1图象是 什么形状?它与二次函数y=3x2图象有什么相同和不一 样?它开口方向、对称轴和 顶点坐标分别是什么?
y 3x2 y 3x2 1
二次函数y=3x2+1 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线.
《刹车距离与二次函数》二次函数PPT课件(上课用)2
y 3x 2 1
y 3x 2
位置不同; 最大值不同: 分别是和.
二次项系数为正数,开口 向上;开口大小相同;对称 轴都是轴;增减性与也相同.
想一想,在同一坐标系中作二次函数和的图象,会 是什么样?
二次函数的图象是什么形 状?它与二次函数的图象有 什么相同和不同?它的开口 方向、对称轴和顶点坐标分 别是什么?
二次函数的 图象形状与 一样,仍是抛物线. 顶点不同,分别是 原点()和().
y 3x 2
y 3x 2 1
位置不同; 最大值不同: 分别是和.
二次项系数为正数,开口 向下;开口大小相同;对称 轴都是轴;增减性与也相同.
请你总结二次函数的图象和性质.
二次函数的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
.不同点:()顶点不同:分别是(),(). ()最值不同:分别是和. .联系: ²(≠) 的图象可以看成² 的图象沿轴整体平移个单位得到的.( 当>时向上平移;当<时,向下平移).
独立 作业
知识的升华
习题 题.
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
习题 题
独立 作业
．二次函数和的图象有什么关系?它是轴对称图形吗? 它
的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?先想一想,
如果需要,作草图看一看.
1 2 1 2 二次函数y x 和 y x 呢? 2 2 1 ．二次函数 y 3x 2 2
和的图象有什么关系?
它是轴对称图形吗? 它的开口方向、对称轴和顶点坐 标分别是什么?先想一想,如果需要,作草图看一看.
1 2 二次函数y x 3 2 1 2 y x 和 2
数学课件-4刹车距离与二次函数
You made my day!
我们，还在路上……
2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0). (2)最值不同:分别是c和0.
3.联系: y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象沿y轴整体平移|c|个单位得 到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移).
独立
作业
知识的升华
P45 习题2.3 1,2题.
祝你成功！
在同一坐标系中作出二次函数y=2x²+1的图象与二次函数y=2x² 的图象.
二次函数y=2x²+1的图象与二次函数y=2x²的图象有什么关系?它 们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什 么?作图看一看．
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议一议
我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=3x²-1的图象与二次函数y=3x²的图象. 二次函数y=3x²-l的图象与二次函数y=3x²的图象有什么关系?它们是轴对称 图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
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0
观察图象,回答问题串
S=510 v2
S=1100v2
(2)如果行车速度是60km／h， 那么在雨天行驶和在晴天行驶 相比，刹车距离相差多少米?你 是怎么知道的?
刹车距离相差一半(36m),由图象,表格或解 析式都可以获知.
20 40 60 80 100 120 140 V/(km/h)
做一做
驶向胜利 的彼岸
结束寄语
下课了!
•一个人只要坚持不懈地 追求,他就能达到目的.
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得没有什么事情需要学习，于是他们不进则退2022年4月26日星期二上午8时1分37秒08:01:3722.4.2 6
初三数学二次函数
j§2.1 二次函数所描述的关系一，由实际问题探索二次函数某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些因变量?(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子，因此果园橙子的总产量y=(100+z)(600—5x)=-5x2+100x+60000．二．想一想在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的产量最多?我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗?自己试一试．X/棵Y/个三．做一做银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。
也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．四．二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)注意：定义中只要求二次项系数不为零，一次项系数、常数项可以为零。
例如，y=一5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系A=a2，圆面积s与半径r的关系s=Try2等也都是二次函数的例子．随堂练习1.下列函数中(x,t 是自变量)，哪些是二次函数? Y=-21+3x ²．y=21x ²-x ³+25,y=2²+2x,s=1+t+5t ² 2．圆的半径是l ㎝，假设半径增加x ㎝时，圆的面积增加y ㎝²．(1)写出y 与x 之间的关系表达式；(2)当圆的半径分别增加lcm 、2㎝、2㎝时，圆的面积增加多少?五．课时小结1． 经历探索和表示二次函数关系的过程，猜想并归纳二次函数的定义 及一般形式。
二次函数的应用模拟数据
(2)西红柿上市多少天其种植成本最低？最低成本是 多少？
Q元／kg
2 1.5 1 0.5
0
50 100 150
250 300 t／天
引导探究
3.蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这 种蔬菜的上市时间x（月份）和市场售价p（元/kg）的关系如下 表： 1 2 3 4 5 6 上市时间x（月份）
课题导入：
目标引领
1.会根据表格和图象上的数据信息，分析实际问 题中的各变量之间的二次函数关系。 2.体会数形结合的思想，会建立二次函数模型。
独立自学：
6分钟后期待你的精彩回答
行驶中的汽车，在制动后由于汽车具有惯性，还要继续向前滑 行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”。为了测定某 型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测的数据如下表：
市场售价p（元/kg) 10.5 9 7.5 6 4.5 3
这种蔬菜每千克的种植成本y（元/kg）与上市时间x（月份）满 足一个函数关系，这个函数图像是抛物线上一段 （1）写出上表中表示的市场售价p关于 上市时间x的函数关系式 （2）若图中抛物线过A,B,C三点，写出 抛物线对应的函数关系式 （3）由以上信息分析，哪个月上市这 种蔬菜可千克的收益最大？最大值为多 少？
引导探究
1.一小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器 测量到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的相关数据如下 表： … 时间t∕s 1 2 3 4 2 8 18 32 … 距离s∕m 通过探究发现，用t表示s的函数关系式为＿＿＿
引导探究
2.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，西 红柿的种植成本Q元／kg与上市时间t天的关系用如 图的抛物线表示. (1)写出图中表示的种植成本与时间的函数关系式；
九下2.3 刹车距离与二次函数导学案
2．3 刹车距离与二次函数教学目标：1．会作出y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象，并能比较它们与y=x 2的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响．2．能说出y=ax 2＋c 与y=ax 2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．知识回顾：1．比较二次函数2ax y =与2ax y -=的性质：新知探究：2、下面直角坐标系中，已给出了y ＝2x 2的图像，请你在同一直角坐标系内作出函数y ＝2x 2+1 、函数y ＝2x 2-1的图象．并比较它们的性质．3、小结：（2）. y ＝ax 2+c 的图象可以看成y=ax 2的图象整体上下移动得到的，当c>0时, 向 平移 个单位，当c<0时，向 移动 个单位。
4、刹车距离与二次函数的关系．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v(km ／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s ＝1001v 2确定，雨天行驶时，这一公式为s ＝501v 2． （1）下图的坐标系中是s ＝1001v 2的图象，根据画图象的三个步骤即列表、描点、连线，在同一直角坐标系内作出函数s=501v 2的图象．（2）、如果车速是60km/h ，那么在雨天和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？你是怎么知道的？课后反馈一、填空题：1. 二次函数y = ax 2的图象是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当a<0时，在对称轴 侧，y 随x 的增大而减小；2、二次函数y=5x 2的图像是 ，它的开口方向 、对称轴 ，顶点坐标 ,最值 ，增减性：在对称抽左侧 ，在对称轴右侧 。
3、二次函数y=-5x 2-5的图像是 ，它的开口方向 、对称轴 ，顶点坐标最值 ，增减性：在对称抽左侧 ，在对称轴右侧 。
4. 若点P （m ，4）是抛物线y = 12x 2上的一点，则m = ； 5. 抛物线y=-3x 2+2可以看成是由抛物线y=-3x 2-4向 平移 个单位得到的. 6. 抛物线y=－4x 2－4，当x= 时，y 有最 值，此时y= ．7. 将函数y=2x 2+4的图象沿x 轴对折,得到图象的函数解析式为 .8、写出两个开口向上，对称轴是y 轴，最值是y=-8的二次函数关系式 。
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3. 刹车距离与二次函数
【知识要点】二次函数y = ax 2和y = ax 2 + c 的图象和性质.
【能力要求】能作出y = ax 2和y = ax 2 + c 的图象，并能比较它们与y = x 2的异
同，理解a 与c 对二次函数图象的影响，能说出y = ax 2和y = ax 2 +
c 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【基础练习】
一、填空题：
1. 二次函数y = ax 2的图象是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，
当a <0时，在对称轴 侧，y 随x 的增大而减小；
2. 若点P （m ，4）是抛物线y = 12
x 2 上的一点，则m = ； 3. 如果抛物线y = ax 2的开口比抛物线y = 3x –2的开口大，且开口向下，那
么a 的取值范围是 .
二、选择题：
1. 已知二次函数y = -ax 2，下列说法错误的是（ ）；
A. 当a > 0，x ≠0时，y 总取负值
B. 当a < 0，x < 0时，y 随x 的增大而减小
C. 当a < 0时，图象有最低点，即y 有最小值0
D. 当x < 0时，y = -ax 2图象的对称轴是y 轴
2. 对于抛物线C 1：y = ax 2，C 2：y = 2ax 2，C 3：y = - 12
ax 2 ，下列叙述正确的是（ ）.
A. 三条抛物线中，C 2的开口最大，C 3的开口最小
B. 三条抛物线中，C 3的开口最大，C 2的开口最小
C. 三条抛物线中，C 3的开口最大，C 1的开口最小
D. 三条抛物线开口的宽窄要根据a 取值的正负才能判断
三、解答题：
在同一直角坐标系中，画出二次函数y = 14x 2 ，y = 2x 2 + 1，y = - 12
x 2 - 2 的图象，并说出它们的异同.
【综合练习】
写出符合下列条件的抛物线y = ax 2 + c 的表达式：①与抛物线y = 12
x 2 形状相同，开口方向相反；②与直线y = 12
x + 3的一个交点是（2，m ）.
【探究练习】
如图2-2是一抛物线形拱桥，桥下有小河，当水面在AB 位置时，拱顶O 离水面2米，水面宽4米. 求当水面下降1米后，水面的宽.
1. 刹车距离与二次函数
【基础练习】一、1. 抛物线，y 轴，（0，0），右； 2. 22或 -22； 3. -3 < a < 0. 二、
1. D ；
2. B. 三、略.
【综合练习】y = - 12
x 2 + 6. 【探究练习】26米.。