九年级数学辅导： 二次函数的应用
二次函数的应用
二次函数的应用在数学中，二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于0。
二次函数是一种常见且重要的函数类型，在实际生活中有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的应用，并通过具体的实例来说明其在不同领域中的作用。
一、二次函数在物理学中的应用二次函数在物理学中常常用于描述运动的轨迹、抛物线的形状以及力学的相关问题。
例如，当一个物体在空中自由落体时，其下落的高度与时间之间的关系可以用二次函数来描述。
假设物体从高度为h的位置自由落下，忽略空气阻力的影响，记时间为t，则物体的高度可以表示为h = -gt^2 + vt + h0，其中g是重力加速度，v是物体的初速度，h0是物体的初始位置。
该二次函数描述了物体下落的抛物线轨迹。
二、二次函数在经济学中的应用二次函数在经济学中的应用非常广泛，可以用于描述成本、收益、利润等与产量或销量之间的关系。
例如，对于某个企业而言，其生产的产品的总成本可以由二次函数表示。
假设该企业的总成本C与产量x之间的关系可以表示为C = a'x^2 + b'x + c'，其中a'、b'、c'为常数。
该二次函数描述了生产成本随着产量的增加而递增的曲线，对企业的经营决策具有重要的参考意义。
三、二次函数在工程学中的应用在工程学中，二次函数常常用于描述曲线的形状以及材料的弯曲变形。
例如，对于一座桥梁而言，其横截面的弯曲变形可以用二次函数来表示。
假设桥梁横截面的变形高度与距离之间的关系可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中y表示高度，x表示距离。
该二次函数描述了桥梁横截面弯曲变形的形状，对于设计和构建安全的桥梁至关重要。
四、二次函数在生物学中的应用在生物学研究中，二次函数常常用于描述某些生物过程的增长或衰减。
例如，某种细菌的数量随着时间的推移而增长，其增长过程可以用二次函数来描述。
假设细菌数量与时间之间的关系可以表示为N = at^2 + bt + c，其中N表示细菌数量，t表示时间。
九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习
九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习【基础知识回顾】一、二次函数与一元二次方程：二、二次函数解析式的确定：1、设顶点式，即：设2、设一般式，即：设3、设交点式，即：设【提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设以y轴为对称轴，可设顶点在x轴上，可设抛物线过原点等】三、二次函数的应用1、实际问题中解决最值问题：2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题【提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】【重点考点例析】考点一：二次函数的最值例1 （呼和浩特）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x （）A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为对应训练1．已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定考点二：确定二次函数关系式例2 如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．对应训练2．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．考点三：二次函数与x轴的交点问题例3 若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②m＞；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3对应训练3．（株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（）A．（-3，0） B．（-2，0） C．x=-3 D．x=-2考点四：二次函数的实际应用例4 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=- （x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是 m．例5 （重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6输送的污水量y1（吨）12000 6000 4000 3000 2400 20007至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1=x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2=x-x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）对应训练4．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来．考点五：二次函数综合性题目例6 如图，抛物线交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，-3）．将抛物线沿y轴翻折得抛物线．（1）求的解析式；（2）在的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．对应训练6．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．【聚焦中考】1．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．-3 B．3 C．-6 D．92．抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（）A．3 B．2 C．1 D．03．（济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．4．牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/件）…20 30 40 50 60 …每天销售量（y件）…500 400 300 200 100 …（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）洛阳市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？5．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．6．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？【备考真题过关】一、选择题1、如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A． B． C．3 D．42、已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限4．（资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞53、如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④4、如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C-D-E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．45、若二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞16、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．﹣3 B．3C．﹣6 D．9二、解答题7、如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h= （t-19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？8、某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）9、某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．薄板的边长（cm）20 30出厂价（元/张）50 70（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价），①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？10、抛物线y= x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．11、如图，一次函数y=- x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大第 11 页 共 11 页 值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．14．已知抛物线y= x 2+1（如图所示）．（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ；（2）已知y 轴上一点A （0，2），点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，点M 在直线AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考重点二次函数的应用
中考重点二次函数的应用二次函数的应用在中考中是一个重点考察的内容。
二次函数是一种常见的数学模型，它可以描述抛物线的形状和变化规律。
掌握二次函数的应用，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以提高我们的数学思维和问题解决能力。
1. 图像的性质和变化规律：二次函数的标准形式为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$为实数且$a \neq 0$。
当$a>0$时，抛物线开口朝上；当$a<0$时，抛物线开口朝下。
抛物线的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$，其中$\Delta=b^2-4ac$为判别式，用来确定抛物线与$x$轴的交点个数和位置。
当$\Delta>0$时，抛物线与$x$轴有两个交点；当$\Delta=0$时，抛物线与$x$轴有一个交点；当$\Delta<0$时，抛物线与$x$轴没有交点。
根据顶点坐标和开口方向，可以确定抛物线的图像。
2. 求解问题：二次函数的应用主要涉及到求解实际问题。
比如下面的例题：例题1：一辆汽车以每小时80千米的速度行驶，从起点开始，经过2小时后到达目的地，求汽车在2小时内行驶的距离。
解析：设汽车行驶的距离为$y$千米，行驶的时间为$x$小时。
根据已知条件，可以建立二次函数模型：$y=80x$。
代入$x=2$，可以得到汽车在2小时内行驶的距离为$y=80\times2=160$千米。
例题2：甲、乙两地的距离为100千米，两辆汽车同时从两地出发，甲地汽车的速度为每小时60千米，乙地汽车的速度为每小时80千米，问多长时间后两辆汽车相遇？解析：设两辆汽车相遇的时间为$x$小时，则甲地汽车行驶的距离为$60x$千米，乙地汽车行驶的距离为$80x$千米。
根据已知条件，可以建立二次函数模型：$60x+80x=100$。
化简得到$140x=100$。
解方程可得$x=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$小时，即两辆汽车在$\frac{5}{7}$小时后相遇。
初三中考数学 二次函数的应用
第21课时二次函数的应用【复习要点】1、二次函数的应用常用于求解析式、交点坐标等。
（1）求解析式的一般方法：①已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式。
②已知图象的顶点坐标、对称轴、最值或最高（低）点等，通常选择顶点式。
③已知图象与x轴的两个交点的横坐标为x1、x2，通常选择交点式（不能做结果，要化成一般式或顶点式）。
（2）求交点坐标的一般方法：①求与x轴的交点坐标，当y＝代入解析式即可；求与y轴的交点坐标，当x＝代入解析式即可。
②两个函数图像的交点，将两个函数解析式联立成方程组解出即可。
2、二次函数常用来解决最优化问题，即对于二次函数2(0)=++≠，当x=时，y ax bx c a函数有最值y＝。
最值问题也可以通过配方解决，即将2(0)y a x h k a=-+≠，当x=时，函数()(0)=++≠配方成2y ax bx c a有最值y＝。
3、二次函数的实际应用包括以下方面：（1）分析和表示不同背景下实际问题，如利润、面积、动态、数形结合等问题中变量之间的二次函数关系。
（2）运用二次函数的知识解决实际问题中的最值问题。
4、二次函数主要是利用现实情景或者纯数学情景，考查学生的数学建模能力和应用意识。
从客观事实的原型出发，具体构造数学模型的过程叫做数学建模，它的基本思路是：【例题解析】例1：如图1所示，一位运动员在距篮圈中心水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．求抛物线的表达式．解析：因为抛物线的对称轴为y轴，故可设篮球运行的路线所对应的函数表达式为2y ax k=+（a≠0，k≠0）．代入A，B两点坐标为（1.5，3.05），（0，3.5）．可得：21.5 3.053.5a kk⎧+=⎨=⎩，．解得0.2a=-，所以，抛物线对应的函数表达式为20.2 3.5y x =-+．反思：将实际问题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系是解决问题的关键。
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是数学中一种常见的函数形式，其方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数在许多实际问题中都有广泛的应用，本文将介绍二次函数在几个不同领域的具体应用案例。
一、物理学领域中的应用1. 自由落体问题当物体在重力作用下自由落体时，其高度与时间之间的关系可以用二次函数来描述。
假设物体从初始高度h0下落，时间t与高度h之间的关系可以表示为：h = -gt^2 + h0其中g为重力加速度，取9.8m/s^2。
通过解二次方程可以求解物体落地的时间以及落地时的位置。
2. 弹射物体的运动考虑一个弹射物体，如抛射出的炮弹或投射物，其路径可以用一个抛物线来表示。
弹射物体的运动轨迹可以通过二次函数得到，可以利用二次函数的顶点坐标来确定最远射程或最高点。
二、经济学领域中的应用1. 成本和收入关系在经济学中，企业的成本和收入通常与产量相关。
通常情况下，成本和收入之间存在二次函数关系。
通过分析二次函数的图像，可以确定最大利润产量或最低成本产量。
2. 售价和需求关系在市场经济中，产品的售价通常与需求量相关。
通常情况下，售价和需求量之间存在二次函数关系。
通过分析二次函数的图像，可以找到最佳定价，以达到利润最大化。
三、工程学领域中的应用1. 抛物线拱桥在建筑和结构工程中，抛物线是通常用来设计拱桥的形状。
由于抛物线具有均匀承重特性，因此可以最大程度地减少桥墩的数量，提高桥梁的承载能力。
2. 抛物面反射器在光学和声学工程中，抛物面被广泛应用于反射器的设计。
由于抛物面具有焦点特性，因此可以实现光或声波的聚焦效果，提高反射效率。
四、生物学领域中的应用1. 生长模型植物和动物的生长通常可以使用二次函数模型来描述。
二次函数可以帮助分析生物在不同生长阶段的生长速率，并预测未来的生长趋势。
2. 群体增长生态学中，群体增长通常可以使用二次函数模型来描述。
例如，一种昆虫群体的数量随时间的变化可以通过二次函数来表示，通过分析二次函数的图像，可以预测种群数量的变化趋势。
中考专项复习：二次函数的应用---题型总结解析版
即 W 与 x 之间的函数表达式是 w=﹣2x2+280x—8000
(3) W=﹣2x2+280x—8000=—2（x—70）2+1800，其中40≤x≤80 ，∵﹣2＜0，
∴当40≤x≤70时，W 随 x 的增大而增大，当70≤x≤80时，w 随 x 的增大而减小，当售价为 70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元.
【答案】2（x﹣8）（x+2）
【解析】50−x
试题分析：(1)∵y=x·⋅
=−1/2(x−25)2+625/2，
∴当 x=25 时，占地面积最大， 即饲养室长 x 为 25m 时，占地面积 y 最大；
（2）∵y=x·
=−12(x−26)2+338，
∴当 x=26 时，占地面积最大， 即饲养室长 x 为 26m 时，占地面积 y 最大；
考点：A:应用二次函数求最大利润 ，B:求一次函数的解析式 例3.（2017山东潍坊）工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方 体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折 痕;并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大?
当 4<x≤14 时，设 P=kx+b，
4k+b=40
k=1
将(4,40)、(14,50)代入, 可得： 14k+b=50 ，解得： b=36 ，
∴P=x+36；
①当 0≤x≤4 时,W=(60−40)·7.5x=150x，
∵W 随 x 的增大而增大， ∴当 x=4 时,W 最大=600 元； ②当 4<x≤14 时,W=(60−x−36)(5x+10)=−5x2+110x+240=−5(x−11)2+845，
二次函数的应用举例
二次函数的应用举例在数学中，二次函数是一类常见的函数形式，其表达式一般为y =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不为零。
二次函数在实际应用中具有广泛的应用，本文将介绍二次函数的几个常见应用举例。
1. 物体的抛射运动物体的抛射运动是二次函数的典型应用之一。
当一个物体被斜抛时，其运动轨迹可以用二次函数表示。
例如，当某个物体以一定的初速度水平抛出时，其高度与飞行时间之间的关系可以用二次函数模型来描述。
具体而言，该模型为y = -16t^2 + vt + h，其中t为时间（单位为秒），v为初速度（单位为米/秒），h为抛出高度（单位为米）。
2. 曲线的绘制二次函数可以绘制出各种曲线形状，从而在绘画、设计等领域中被广泛应用。
例如，在建筑设计中，二次函数常被用于绘制圆顶建筑、拱桥等曲线形状。
在绘画中，二次函数可以绘制出各种曲线，如抛物线、椭圆等，用于美化作品或表达特定的艺术效果。
3. 利润的最大化在经济学中，二次函数常被用于研究企业的利润最大化问题。
根据经济学原理，企业在销售产品时，需考虑生产成本和销售价格之间的关系，以实现最大利润。
假设某企业的成本函数为C(x) = ax^2 + bx + c，其中x为生产数量，a、b、c为常数。
则该企业的利润函数为P(x) =R(x) - C(x)，其中R(x)为销售收入函数。
通过求解利润函数的极大值，可以确定最佳的生产数量，从而实现利润的最大化。
4. 投射物体的落地点计算二次函数还可以用于计算投射物体的落地点。
例如，当一个物体从一定高度自由落体时，它的落地点（水平方向的距离）可以用二次函数模型来计算。
具体而言，该模型为d = v0t + 1/2at^2，其中d为落地点距离（单位为米），v0为初速度（水平方向，单位为米/秒），t为时间（单位为秒），a为重力加速度（单位为米/秒^2）。
总结起来，二次函数在物理学、数学、经济学等领域具有广泛的应用。
通过物体的抛射运动、曲线的绘制、利润的最大化以及落地点的计算等实例，我们可以看到二次函数在实际问题中的重要性。
初三数学：《二次函数的应用》知识点归纳
初三数学：《⼆次函数的应⽤》知识点归纳
⼀.⼆次函数的最值：
1.如果⾃变量的取值是全体实数，那么⼆次函数在图象顶点处取到最⼤值(或最⼩值)。
这时有两种⽅法求最值：⼀种是利⽤顶点坐标公式，⼀种是利⽤配⽅计算。
⼆.⼆次函数与⼀元⼆次⽅程、⼆次三项式的关系
三.⼆次函数的实际应⽤
在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多⽅⾯都有抛物线型;⽣产和⽣活中，有很多“利润最⼤”、“⽤料最少”、“开⽀最节约”、“线路最短”、“⾯积最⼤”等问题，它们都有可能⽤到⼆次函数关系，⽤到⼆次函数的最值。
那么解决这类问题的⼀般步骤是：
第⼀步：设⾃变量;
第⼆步：建⽴函数解析式;
第三步：确定⾃变量取值范围;
第四步：根据顶点坐标公式或配⽅法求出最值(在⾃变量的取值范围内)。
常见考法
(1)考查⼀些带约束条件的⼆次函数最值;
(2)结合⼆次函数考查⼀些创新问题。
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二次函数的应用【知识要点】
二次函数应用⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
刹车距离
何时获得最大利润最大面积是多少
能运用二次函数的图像和性质解决一些贴近生活的实际问题．
在解决实际问题时，首先要认真阅读题目，审清题意，建立数学模型，
转化为数学问题进行求解，最后得到实际问题的解．
在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决。
步骤：
第一步设自变量；
第二步建立函数的解析式；
第三步确定自变量的取值范围；
第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值
（注意：在自变量的取值范围内）。
【经典例题】
例1．（2006年旅顺口区）如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为
五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．
例2．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）•与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x
（元）15 20 30 …
y（件）25 20 10 …
若日销售量y是销售价x
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•
此时每日销售利润是多少元？
例3．一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时求的高度为h(m)。
已知物体竖直上抛运动中，h＝v0t－1
2
gt2 (v0表示物体运动上弹开始时的速度，
g表示重力系数，取g＝10m/s2)。
问（1）球从弹起至回到地面需多少时间？
（2）经多少时间球的高度达到3.75m?
例4．B船位于A船正东26km处，现在A、B两船同时出发，A船以每小时12km 的速度朝正北方向行驶，B船以每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？
例5．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。
在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面102
3米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成
规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为33
5米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。
【课堂训练】
1．二次函数y=
12
x 2
+x-1，当x= 时，y 有最 值，这个值是 ． 2．在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：S=V 0t-
12
gt 2
（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面 m ．
3．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S （m ）可由公式S=
1100V 2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150
V 2
．如果车行驶的速度是60km/h ，•那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差 米．
4．（2006年南京市）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10．在EF上取一点M，•分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN和矩形ABCD相似．令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？
5．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往
销售价x（元/千克）… 25 24 23 22 …
销售量y（千克）…2000 2500 3000 3500 …
（1
断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；
（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？
6．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）•与销售单价x（元）（x≥30）存在如下图所示的一次函数关系式．
（1）试求出y与x的函数关系式；
（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？
最大利润是多少？
（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围．
7．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现以O点为原点，OM 所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
8．（2006年泉州市）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD•为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．
（1）当AD=4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
（2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．
①求隧道截面的面积S（米）关于半径r（米）的函数关系式；
②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（ 取3，结果精确到0.1米）。
【作业】日期姓名完成时间成绩
1.小明骑自行车上班，从家里出发后以某一速度匀速前进，中途由于自行车出了故障，停下修车耽误了一段时间。
为了按时到校，小明加快速度 (仍保持匀速)前进，结果准时到达学校。
下列能大致表示小明行进路程s(千米)与行进时间t(小时)之间关系的图象为( )
2.有一个抛物线形的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为10m,如图所示,把它的图形放在直角坐标系中.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;(2)在对称轴右边1m 处,桥洞离水面的高是多少?
3.用长为8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
4.直角三角形的两条直角边的和为2，求斜边的最小值。
5.某饮料经营部每天的固定成本为200元,某销售的饮料每瓶进价为5元。
(1)若记销售单价比每瓶进价多x 元时，日均毛利润(毛利润＝售价－进价－固定成本)为y 元，求y 关于x 的函数解析式和自变量的取值范围；
(2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到0.1元)？最大日均毛利润为多少？
4
10m
x
y O。