二项式定理性质ppt课件
合集下载
高中数学《二项式定理》课件
03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法，尤其在证明二项式定理时， 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后，通过假设当$n=k$时二项式定 理成立，推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中，数学归纳法 首先证明基础步骤，即当$n=0$或 $n=1$时，二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式，从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式，其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算，可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)，即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中，二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中，二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外，二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程
二项式定理的性质PPT课件
T5=C84(2x)4=70×16x4=1120x4
第9页/共25页
n
例2 已知 中只有第10
x 4
1 x3
展开式
项系数最大，求第五项。
解：依题意, n 为偶数，且 n 1 10, n 18
2
T5 T41 C148 (
3060x4
x )184 4
1 x3
4
若将“只有第10项”改为“第10 项”呢？
k
1)
所以Ckn
相对 于CknnC1knkkn1的1增kk1减1 情况k由 nn21
k k
1
决定．
由：
可知，当 k n 1时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可
知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取
得最大值。
第8页/共25页
例1：求(1+2x)8 的展开式中二项式系数最大 的项
解：已知二项式幂指数是偶数８，展开式共９项， 依二 项式系数性质 中间一项的二项式系数最大，则：
=
a+b
=
a2+2ab+b2
=
a3+3a2b+3ab2+b3
=
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
= a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
= a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
第2页/共25页
(a+b)1 =
1a + 1b
(a+b)2=
f（r）
2
第9页/共25页
n
例2 已知 中只有第10
x 4
1 x3
展开式
项系数最大，求第五项。
解：依题意, n 为偶数，且 n 1 10, n 18
2
T5 T41 C148 (
3060x4
x )184 4
1 x3
4
若将“只有第10项”改为“第10 项”呢？
k
1)
所以Ckn
相对 于CknnC1knkkn1的1增kk1减1 情况k由 nn21
k k
1
决定．
由：
可知，当 k n 1时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可
知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取
得最大值。
第8页/共25页
例1：求(1+2x)8 的展开式中二项式系数最大 的项
解：已知二项式幂指数是偶数８，展开式共９项， 依二 项式系数性质 中间一项的二项式系数最大，则：
=
a+b
=
a2+2ab+b2
=
a3+3a2b+3ab2+b3
=
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
= a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
= a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
第2页/共25页
(a+b)1 =
1a + 1b
(a+b)2=
f（r）
2
二项式定理ppt课件
1
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
点击进入
课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
点击进入
课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
《二项式定理性质》课件
二项式定理有哪些性质？
性质1
二项式系数对称性：$C_n^k = C_n^{n-k}$
性质3
二项式展开定理：$(a+b)^n$中的每一项的系数 为$C_n^k$
性质2
二项式系数递推关系：$C_n^k = C_{n-1}^{k1}+C_{n-1}^k$
性质4
二项式定理的逆定理：$(x-y)^n$的展开可以通 过$(-1)^kC_n^kx^{n-k}y^k$得到
《二项式定理性质》PPT 课件
二项式定理是数学中一项重要的定理，用于展开任意次数的二项式的乘方。 它具有丰富的性质和广泛的应用，是数学竞赛和研究中必备的基本知识。
什么是二项式定理？
二项式定理是用于展开任意次数的二项式的乘方的重要定理，可以快速求解 一些复杂的数学问题。它对于理解和应用排列组合等数学概念具有重要意义。
二项式定理的公式是什么？
二项式定理的公式为：$(a+b)^n = C_n^0a^n+b^0+C_n^1a^{n-1}b^1+...+C_n^ka^{n-k}b^k+...+C_n^na^0b^n$
二项式定理的历史背景是什么？
二项式定理最早由中国数学家杨辉在《详解九章算术》中提出，后由法国数学家帕斯卡在《论阿比尔法列数》 中给出准确的数学证明，奠定了它在数学中的重要地位。
二项式定理的推导方法有哪些？
1 杨辉三角形法
2 组合数法
Байду номын сангаас
3 数学归纳法
通过构建杨辉三角形，可 以直接读取出二项式系数， 从而得到二项式定理的展 开结果。
利用组合数的性质，结合 二项式系数的定义，可以 推导出二项式定理的公式。
二项式性质课件
展开式的应用
二项式定理的展开式在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用 ，例如组合数学、概率论、统计学等。
定理表述
定理表述
定理证明
定理推论
二项式定理表述为(a+b)^n的展开式 为(C(n,0)a^n+C(n,1)a^{n1}b+dots+C(n,n)b^n)，其中 (C(n,k))表示组合数，即从n个不同元 素中取出k个元素的组合数。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
二项式系数
二项式定理可以用来计算组合数，特 别是当组合数的上标和下标非常大时 ，使用二项式定理可以大大简化计算 过程。
排列数
通过二项式定理，我们可以推导出排 列数的公式，从而快速计算给定集合 的所有可能排列的数量。
概率论中的应用
概率计算
在概率论中，二项式定理常用于计算复杂事件的概率。例如，在n次独立重复 试验中，某一事件恰好发生k次的概率可以使用二项式定理来求解。
详细描述
牛顿二项式定理基于组合数学和幂级数展开，通过将二项式展开为幂级数形式，可以更方便地计算和 推导二项式的展开结果。
感谢您的观看
THANKS
1. 组合数的计算公式 为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表 示阶乘。
2. 组合数具有对称性 ，即C(n, k) = C(n, nk)。
3. 组合数具有递推性 ，即C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
指数性质
总结词：二项式定理的指数表示从n个不 同元素中取出k个元素的排列方式数。
贝努利概率模型
贝努利概率模型是二项式定理在概率论中的一个重要应用，它描述了一个成功 概率为p的试验中，进行n次独立重复试验，成功次数k的概率。
二项式定理的展开式在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用 ，例如组合数学、概率论、统计学等。
定理表述
定理表述
定理证明
定理推论
二项式定理表述为(a+b)^n的展开式 为(C(n,0)a^n+C(n,1)a^{n1}b+dots+C(n,n)b^n)，其中 (C(n,k))表示组合数，即从n个不同元 素中取出k个元素的组合数。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
二项式系数
二项式定理可以用来计算组合数，特 别是当组合数的上标和下标非常大时 ，使用二项式定理可以大大简化计算 过程。
排列数
通过二项式定理，我们可以推导出排 列数的公式，从而快速计算给定集合 的所有可能排列的数量。
概率论中的应用
概率计算
在概率论中，二项式定理常用于计算复杂事件的概率。例如，在n次独立重复 试验中，某一事件恰好发生k次的概率可以使用二项式定理来求解。
详细描述
牛顿二项式定理基于组合数学和幂级数展开，通过将二项式展开为幂级数形式，可以更方便地计算和 推导二项式的展开结果。
感谢您的观看
THANKS
1. 组合数的计算公式 为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表 示阶乘。
2. 组合数具有对称性 ，即C(n, k) = C(n, nk)。
3. 组合数具有递推性 ，即C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
指数性质
总结词：二项式定理的指数表示从n个不 同元素中取出k个元素的排列方式数。
贝努利概率模型
贝努利概率模型是二项式定理在概率论中的一个重要应用，它描述了一个成功 概率为p的试验中，进行n次独立重复试验，成功次数k的概率。
二项式定理 课件
100 的余数.
0
90
91
1
又 992=(10-1)92=C92
·1092-C92
·1091+…+C92
·102-C92
·10+1,
前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前
面的数中分离出 1 000,结果为 1 000-919=81,故 9192 被 100 除所得
余数为 81.
用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(1009)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.
9
1
(1)证明 ∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C10
·109+…+C10
·10+1)-1
1
2
=1010+C10
·109+C10
·108+…+102
答案:-56
1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数
剖析两者是不同的概念. C (r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,而某
一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7 的二项展开式的
第 4 项的二项式系数为C73 =35,而其第 4 项的系数为C73 ·23=280.
2.如何用组合的知识理解二项式定理
二项式定理
1.二项式定理
二项展开式:(a+b)n=C0 + C1 − 1 + ⋯ + C − +
⋯ + C (n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数C (k∈
{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.
0
90
91
1
又 992=(10-1)92=C92
·1092-C92
·1091+…+C92
·102-C92
·10+1,
前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前
面的数中分离出 1 000,结果为 1 000-919=81,故 9192 被 100 除所得
余数为 81.
用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(1009)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.
9
1
(1)证明 ∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C10
·109+…+C10
·10+1)-1
1
2
=1010+C10
·109+C10
·108+…+102
答案:-56
1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数
剖析两者是不同的概念. C (r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,而某
一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7 的二项展开式的
第 4 项的二项式系数为C73 =35,而其第 4 项的系数为C73 ·23=280.
2.如何用组合的知识理解二项式定理
二项式定理
1.二项式定理
二项展开式:(a+b)n=C0 + C1 − 1 + ⋯ + C − +
⋯ + C (n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数C (k∈
{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.
二项式定理ppt课件
与幂级数的联系
二项式定理与幂级数有密切的联系，通过二项式定理可以推 导幂级数的展开式，反之亦然。
与微积分的联系
二项式定理在微积分中有重要的应用，例如在求解微分方程 和积分方程时，可以利用二项式定理进行近似计算。
二项式定理在实际问题中的应用
组合数学问题
二项式定理在组合数学中有广泛的应用，例如排列、组合、概率等问题中都可以用到二项式定理。
欧洲的发展
欧洲数学家在文艺复兴时 期开始深入研究二项式定 理，其中帕斯卡和贾法尼 等人都做出了重要贡献。
现代应用
二项式定理在现代数学、 物理、工程等领域都有广 泛的应用，是解决各种问 题的重要工具。
二项式定理的定义与公式
二项式定理定义
二项式定理描述了两个数 相乘时，各项的系数变化 规律。
二项式定理公式
总结词
二项式定理的展开形式是 $(a+b)^n$，其中$a$和$b$是常数 ，$n$是正整数。
详细描述
二项式定理的展开形式是$(a+b)^n$ ，其中$a$和$b$是常数，$n$是正整 数。这个公式可以展开为多项式，各 项的系数由组合数决定。
二项式展开的系数规律
总结词
二项式展开的系数规律是使用组合数 来表示的。
组合数学中的应用
排列组合公式
二项式定理可以用于推导排列组 合公式，例如C(n,k)=n!/(k!(nk)!)，通过二项式定理可以推导
出该公式。
组合恒等式
利用二项式定理可以证明一些组 合恒等式，例如C(n,k)=C(n,n-k) 和C(n+1,k)=C(n,k)+C(n,k-1)等
。
组合数性质
利用二项式定理可以推导出组合 数的一些性质，例如C(n,k)总是 非负的，当k>n时，C(n,k)=0等
二项式定理与幂级数有密切的联系，通过二项式定理可以推 导幂级数的展开式，反之亦然。
与微积分的联系
二项式定理在微积分中有重要的应用，例如在求解微分方程 和积分方程时，可以利用二项式定理进行近似计算。
二项式定理在实际问题中的应用
组合数学问题
二项式定理在组合数学中有广泛的应用，例如排列、组合、概率等问题中都可以用到二项式定理。
欧洲的发展
欧洲数学家在文艺复兴时 期开始深入研究二项式定 理，其中帕斯卡和贾法尼 等人都做出了重要贡献。
现代应用
二项式定理在现代数学、 物理、工程等领域都有广 泛的应用，是解决各种问 题的重要工具。
二项式定理的定义与公式
二项式定理定义
二项式定理描述了两个数 相乘时，各项的系数变化 规律。
二项式定理公式
总结词
二项式定理的展开形式是 $(a+b)^n$，其中$a$和$b$是常数 ，$n$是正整数。
详细描述
二项式定理的展开形式是$(a+b)^n$ ，其中$a$和$b$是常数，$n$是正整 数。这个公式可以展开为多项式，各 项的系数由组合数决定。
二项式展开的系数规律
总结词
二项式展开的系数规律是使用组合数 来表示的。
组合数学中的应用
排列组合公式
二项式定理可以用于推导排列组 合公式，例如C(n,k)=n!/(k!(nk)!)，通过二项式定理可以推导
出该公式。
组合恒等式
利用二项式定理可以证明一些组 合恒等式，例如C(n,k)=C(n,n-k) 和C(n+1,k)=C(n,k)+C(n,k-1)等
。
组合数性质
利用二项式定理可以推导出组合 数的一些性质，例如C(n,k)总是 非负的，当k>n时，C(n,k)=0等
二项式定理ppt课件
二项式定理的应用领域
总结词
二项式定理的应用领域非常广泛，包括组合数学、概率论、统计学和物理学等。
详细描述
二项式定理在数学中有着广泛的应用，它可以应用于组合数学中的排列和组合计 算，概率论中的概率分布计算，统计学中的样本方差和总体方差计算，以及物理 学中的量子力学和统计力学等领域。
02
二项式定理的公式与性质
统计力学
在统计力学中，二项式定理用于计算 分子在特定条件下可能处于的微观状 态数。
二项式定理在计算机科学中的应用
数据压缩
二项式定理用于计算数据压缩的比特率，以确定压缩后数据的存储空间。
加密算法
二项式定理用于实现某些加密算法，如RSA公钥加密算法。
二项式定理在其他工程领域的应用
控制系统
在控制系统的分析和设计中，二项式定理用于计算系统的传递函数。
03
创新研究方法
随着数学研究方法的不断创新，二项式定理的研究方法也将不断更新和
完善，以适应新的研究需求和挑战。
THANKS
感谢பைடு நூலகம்看
二项式定理的化简技巧
合并同类项
在展开二项式定理后，可以将同类项 合并，以便简化表达式。
利用代数恒等式化简
利用二项式定理的逆用
在某些情况下，可以利用二项式定理 的逆用对表达式进行化简，如 $(ab)^n = sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k a^{n-k} b^k$。
在展开过程中，可以运用代数恒等式 对表达式进行化简，如 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
二项式定理展开与化简的应用
解决组合计数问题
二项式定理可以用于解决组合计 数问题，例如计算从 $n$ 个不同 项中选取 $k$ 个的不同方式的数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数相等是( B )
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项 2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系
数与 第五项的二项式系数相等，则n=____6___减性与最大值
11
先增后减
121
n是偶数时，中间的一项（第
n 2
1项）的二项式系数
C
n 2
n
取得最大值 ；
Cnr a nrbr 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1
表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有
_n_+__1_个项.
T C ranrbr
r 1
n
2
(a b)n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
(a+b)1 (a+b)2
C10 C11
C
0 2
3.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的
项的系数。最大的系数呢？
C151 462
C161 462
8
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令a b 1，则：
C
0 n
C1n
Cn2
Cnn
2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C0n 1，上式还可以写成：
2
T5 T41 C148
x
184
4
1 x3
4
3060x4.
7
课堂练习
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 C150 ；
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为
C C151
6
1. 1
2.（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数 是（ C ） A.4032 B.-4032 C.126 D.-126
由对称性知, 它的后半部是逐渐减小的。
n
C 最 值: 当n是偶数时，中间的一项 2取得最大时 ； n
n1 n1
C C 当n是奇数时，中间的两项
2， 2 相等，
n
n
且同时取得最大值。
2 二项式系数之和: n (由赋值法求得 )
（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法
16
C171
C191
C11 11
_2_1_0 __ .
2.设 2x 3 3 a0 a1x a2x2 a3x3.
求:a0 a2 2 a1 a3 2 的值. 1
12
课堂练习
3.已知(1 2x)7 a0 a1x a2 x2 L a7 x7
则a1 a2 L a7 -2
a1 a3 a5 a7 a0 a2 a4 a6
-1094 1093
13
例题讲解
例4.设 (33 x 1)n 二项式展开式的各项系数 x
的和为P；二项式系数的和为S，且P+S=272，
则展开式的常数项为__1_0_8_____．
n=4
14
例题讲解
例4. 在(2x 3)20的展开式中,
求其项的最大系数.不必化简.
解: 设 r 1项是系数最大的项,则
C12
C
2 2
11 121
(a+b)3 (a+b)4 (a+b)5
C03 C13 C32 C33
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C05 C15 C52 C35 C54 C55
1 33 1 1 46 41 1 5 10 10 5 1
(a+b)6 C06 C16 C62 C36 C64 C56 C66 1 6 15 20 15 6 1
C2r0 220r
3r
C r1 20
220r
1
3r
1
C2r0 220r
3r
C r1 20
220r
1
3r
1
11.6 r 12.6
系数最大的项是第13项 即C2102 28312
15
课堂小结
对称性 （1） 二项式系数的三个性质: 增减性与最大值 （2） 数学思想：函数思想。 各二项式系数的和
增减性: 当 k n 1 时，二项式系数是逐渐增大的， 2
本积
商实
《 九
平方
章
立方
算
术
三乘
》 杨
四乘
辉
五乘
《详解九章算法》中记载的表 1
二项式定理
(a b)n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
(n N )
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
右边的多项式叫做 (a+b) n的 展开式
，
其中 Crn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ，
C1n
C
2 n
C3n
Cnn
2n
1
这是组合总数公式．
赋值法
9
例题讲解
例2.(2x2 1)n 的展开式的各项系数和为__1__
解：设 (2x2 1)n a0x2n a1x2(n1) an
展开式各项系数和为 a0 a1 a2 an
∵上式是恒等式，所以当且仅当x=1时，
(2-1)n= a0 a1 a2 an
1 33 1 1 46 41 1 5 10 10 5 1
当n是奇数时，中间的两项（第
C n 1
2
系数
1、n
C n1 2 n
1 2
和
1
16
项）的二项式
n1 2
相等，且同时取
n
15 20 15
6
1
得最大值。
6
例1、已知
x 4
1 x3
n
的展开式中只有第10项的二
项式系数最大，求第五项。
解：依题意，n为偶数，且 n 1 10, n 18,
令a=1,b=-1得
C0n
C1n
C2n . . .
(1)C
r n
...
(1)n Cnn
(11)2
0
Cn0 Cn2 C1n Cn3
C
0 n
C
2 n
C1n
C3n
2n 2
2n1
特例法 赋值法
11
课堂练习
1 Cn2 L Cnn _2_n__1_;
C111
C131
C151
∴a0 a1 a2 an =（2-1）n=1
注意：求展开式中各项系数和常用赋值法： 令二项式中的字母为1
10
例3、证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和.
即证：Cn0 Cn2 C1n Cn3 ＝２n-1
证明（a+b）n＝Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ … + Cnran-rbr+…+Cnnbn
(a+b)n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cnn 表中的每一个
这个表叫做二项式系数表, 也称“杨辉三角”
数等于它肩上 的两数的和 3
二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离”的两 个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
C
m n
Cnm n
得到．
图象的对称轴： r n 2
4
课堂练习 1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二项式系
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项 2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系
数与 第五项的二项式系数相等，则n=____6___减性与最大值
11
先增后减
121
n是偶数时，中间的一项（第
n 2
1项）的二项式系数
C
n 2
n
取得最大值 ；
Cnr a nrbr 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1
表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有
_n_+__1_个项.
T C ranrbr
r 1
n
2
(a b)n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
(a+b)1 (a+b)2
C10 C11
C
0 2
3.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的
项的系数。最大的系数呢？
C151 462
C161 462
8
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令a b 1，则：
C
0 n
C1n
Cn2
Cnn
2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C0n 1，上式还可以写成：
2
T5 T41 C148
x
184
4
1 x3
4
3060x4.
7
课堂练习
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 C150 ；
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为
C C151
6
1. 1
2.（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数 是（ C ） A.4032 B.-4032 C.126 D.-126
由对称性知, 它的后半部是逐渐减小的。
n
C 最 值: 当n是偶数时，中间的一项 2取得最大时 ； n
n1 n1
C C 当n是奇数时，中间的两项
2， 2 相等，
n
n
且同时取得最大值。
2 二项式系数之和: n (由赋值法求得 )
（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法
16
C171
C191
C11 11
_2_1_0 __ .
2.设 2x 3 3 a0 a1x a2x2 a3x3.
求:a0 a2 2 a1 a3 2 的值. 1
12
课堂练习
3.已知(1 2x)7 a0 a1x a2 x2 L a7 x7
则a1 a2 L a7 -2
a1 a3 a5 a7 a0 a2 a4 a6
-1094 1093
13
例题讲解
例4.设 (33 x 1)n 二项式展开式的各项系数 x
的和为P；二项式系数的和为S，且P+S=272，
则展开式的常数项为__1_0_8_____．
n=4
14
例题讲解
例4. 在(2x 3)20的展开式中,
求其项的最大系数.不必化简.
解: 设 r 1项是系数最大的项,则
C12
C
2 2
11 121
(a+b)3 (a+b)4 (a+b)5
C03 C13 C32 C33
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C05 C15 C52 C35 C54 C55
1 33 1 1 46 41 1 5 10 10 5 1
(a+b)6 C06 C16 C62 C36 C64 C56 C66 1 6 15 20 15 6 1
C2r0 220r
3r
C r1 20
220r
1
3r
1
C2r0 220r
3r
C r1 20
220r
1
3r
1
11.6 r 12.6
系数最大的项是第13项 即C2102 28312
15
课堂小结
对称性 （1） 二项式系数的三个性质: 增减性与最大值 （2） 数学思想：函数思想。 各二项式系数的和
增减性: 当 k n 1 时，二项式系数是逐渐增大的， 2
本积
商实
《 九
平方
章
立方
算
术
三乘
》 杨
四乘
辉
五乘
《详解九章算法》中记载的表 1
二项式定理
(a b)n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
(n N )
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
右边的多项式叫做 (a+b) n的 展开式
，
其中 Crn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ，
C1n
C
2 n
C3n
Cnn
2n
1
这是组合总数公式．
赋值法
9
例题讲解
例2.(2x2 1)n 的展开式的各项系数和为__1__
解：设 (2x2 1)n a0x2n a1x2(n1) an
展开式各项系数和为 a0 a1 a2 an
∵上式是恒等式，所以当且仅当x=1时，
(2-1)n= a0 a1 a2 an
1 33 1 1 46 41 1 5 10 10 5 1
当n是奇数时，中间的两项（第
C n 1
2
系数
1、n
C n1 2 n
1 2
和
1
16
项）的二项式
n1 2
相等，且同时取
n
15 20 15
6
1
得最大值。
6
例1、已知
x 4
1 x3
n
的展开式中只有第10项的二
项式系数最大，求第五项。
解：依题意，n为偶数，且 n 1 10, n 18,
令a=1,b=-1得
C0n
C1n
C2n . . .
(1)C
r n
...
(1)n Cnn
(11)2
0
Cn0 Cn2 C1n Cn3
C
0 n
C
2 n
C1n
C3n
2n 2
2n1
特例法 赋值法
11
课堂练习
1 Cn2 L Cnn _2_n__1_;
C111
C131
C151
∴a0 a1 a2 an =（2-1）n=1
注意：求展开式中各项系数和常用赋值法： 令二项式中的字母为1
10
例3、证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和.
即证：Cn0 Cn2 C1n Cn3 ＝２n-1
证明（a+b）n＝Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ … + Cnran-rbr+…+Cnnbn
(a+b)n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cnn 表中的每一个
这个表叫做二项式系数表, 也称“杨辉三角”
数等于它肩上 的两数的和 3
二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离”的两 个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
C
m n
Cnm n
得到．
图象的对称轴： r n 2
4
课堂练习 1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二项式系