河南省洛阳市2021年数学中考一模试卷(II)卷
【2021】河南省洛阳市中考数学模拟检测试卷(含答案)
河南省中考数学模拟检测试卷（含答案）一、单选题1．下列各数中，最小的数是（ ） A ．3-B ．4-C ．13-D ．π-2．已知长度单位1纳米=109-米，日前发现一种新型冠状病毒的直径为154纳米用科学记数法表示154纳米是（ ） A ．1.54x107-米B ．1.54x109-米C ．0.154x106-米D ．154x109-米3．如图，由五个完全相同的小正方体组合搭成一个几何体，把正方体A 向右平移到正方体P 前面，其“三视图”中发生变化的是（ ）A ．主视图B ．左视图C ．俯视图D ．主视图和左视图4．下列运算正确的是（ ）A ．426a a a +=B 2=C ．()2224a a =++D ．()32628a a -=-5．某市5月份连续7天的最该气温如下（单位：C ︒）：32，30，34，35，36，33，37．这组数据的中位数、平均数分别（ ） A ．34,36C C ︒︒B ．34,34C C ︒︒C ．36,36C C ︒︒D ．32,37C C ︒︒6．关于x 的一元二次方程()()132x x x --=--，下面说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个实数根D ．没有实数根7．如图，将一副直角三角板按照图中所示位置摆放，点C 在边AO 上，两条斜边互相平行，∠O=∠BCE=90°，∠A=30，∠B=45°，则∠ACB 等于（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°8．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线112y x =-分别交x 轴，y 轴于点A 和点B ，分别交反比例函数()()1220,0,0k k y k x y x x x=>>=<的图象于点C 和点D ，过点C 作CE x ⊥轴于点E ，连结,OC OD ，若COE ∆的面积与DOB ∆的面积相等，则k 的值是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．49．如图，在平行四边形ABCD 中，4,5,60AB BC ABC ==∠=︒．按以下步骤：①以C 为圆心，以适当长为半径作弧，交CB CD 、于M N 、两点；②分别以M N 、为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点E ，作射经CE 交BD 于点O ，交AD 边于点F ．则的长度为BO （ ）A B ．173C D ．25910．如图，矩形ABCD 的两边BC CD 、分别在x 轴、y 轴上，点C 与原点重合，点()1,2A -，将矩形ABCD 沿x 轴向右翻滚，经过一次翻滚点A 对应点记为1A ，经过第二次翻滚点A 对应点记为2A …以次类推，经过2020次翻滚后点A 对应点2020A 的坐标为（ ）A ．()2524,2B ．()2524,1C ．()3029,2D ．()3029,1二、填空题11．计算(2212-⎛⎫--= ⎪⎝⎭________． 12．不等式组235112x x +≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集为______．13．如图所示，两个可以自由转动的转盘，每个盘面被等分成几个面积相等的扇形区域，并涂上图中所示的颜色，分别转动两个转盘,转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，重转），两个指针指向区域的颜色相同的概率为________．14．如图，在半径为，圆心角等于450的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C在OA 上，点D 、E 在OB 上，点F 在AB 上，则阴影部分的面积为（结果保留π） .15．如图，在矩形ABCD 中，8,BC AB a ==，点E 为AD 的中点，点F 为射线AB 上一点，连接,6CF BF =，若AEF ∆将沿直线EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则a 的值为________．三、解答题16．先化简，再求值：232(1)11x xx x x --+÷++,其中-2x 2,请从x 的范围中选入一个你喜欢的值代入，求此分式的值.17．郑州实验外国语中学九年级某班级对学生身体素质进行摸底排查,根据运动与健康标准卡设置了： A 、B 、C 、D 四个等级．已知该班级所有学生参加测试，根据学生的测试情况，并绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信处，解答下列问题：（1）该班共有_______名学生，扇形统计图中m =________，n =________； （2）根据题意补全条形统计图；（3）已知郑州实验外国语中学九年级共有860人，请估计该校九年级学生身体素质达到A和B 两个等级的共有多少人？ 18．如图，已知AB 是O 的直径，点C 为O 上一点，CD 为不过圆心且垂直于AB 的弦，CD 交AB 于点E ，连接CO 并延长O 交于点F ，连接CB 和DF 并延长交于点G ．（1）求证：CF GF =； （2）填空：①当BGF ∠=_______时，四边形BODF 为菱形； ②若6AB =，则COE ∆面积的最大值是________．19．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为ABC ∆（BC 伸出部分不计），A B C D 、、、在同一直线上．量得90,60,135ACB A cm ADE ∠=︒∠=︒,AB =16∠=︒，灯杆CD 长为40cm ，灯管DE 长为15cm ．求点E 到桌面的距离．（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin150.26,cos150.97,tan15 1.73︒=︒=︒=≈≈）20．“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高.孝感市槐荫公司根据市场需求代理A 、B 两种型号的净水器，每台A 型净水器比每台B 型净水器进价多200元，用5万元购进A 型净水器与用4.5万元购进B 型净水器的数量相等. （1）求每台A 型、B 型净水器的进价各是多少元；（2）槐荫公司计划购进A 、B 两种型号的净水器共50台进行试销，其中A 型净水器为x 台，购买资金不超过9.8万元.试销时A 型净水器每台售价2500元，B 型净水器每台售价2180元.槐荫公司决定从销售A 型净水器的利润中按每台捐献(7080)a a <<元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W ，求W的最大值.21．某“数学兴趣小组”对函数11y x x =+-的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请将其补充完整．（1）函数11y x x =+-的自变量x 的取值范围为_________． （2）下表是y 与x 的几组对应值．如图在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）结合函数的图象，写出该函数的两条性质：__________；________； （4）①该函数的图像与一条垂直于x 轴的直线无交点，则这条直线为________； ②直线y m =与该函数的图像有交点，则m 的取值范围为_________．22．已知ABC 是等腰直角三角形，90,6ABC AC ∠=︒=，点E 在以C 为圆心2为半径的元上运动，连接BE ，将线段BE 绕点B 逆时针旋转90︒，连接AD DE 、，已知F G 、分别是DE AC 、中点，连接FG ．（观察与发现）如图1，当点E 在线段AC 上时，则CEFG=_______，线段CE FG 、所在直线所成的锐角是_______︒．（猜想与证明）当点E 在圆周上运动到任一位置时，如图2，上述结论是否成立，请说明理由．（迁移与应用）点E 在圆周上运动的过程中，当//FG BD 时，直线写出线段BE 的长．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0-，抛物线顶点D 的坐标为()1,4-，直线BC 与对称轴相交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 为直线1x =右方抛物线上的一点（点M 不与点B 重合），设点M 的横坐标为m ，记A B C M 、、、四点所构成的四边形面积为S ，若3BCD S S ∆=，请求出m 的值； （3）点P 是线段BD 上的动点，将DEP ∆沿边EP 翻折得到'D EP ∆，是否存在点P ，使得'D EP ∆与BEP ∆的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请直接写出BP 的长，若不存在，请说明理由．答 案1．D 2．A 3．C 4．D解：A 、2a 和4a 不是同类项，不能合并，故选项错误；B =，故选项错误；C 、()22244a a a +=++，故选项错误； D 、()32628a a -=-，故选项正确；5．B 6．D 7．A 8．C 9．C解：如图，过点D 作DG ⊥BC 的延长线于点G ，由作图可知，CF 为∠BCD 的角平分线， ∴∠BCF=∠DCF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，DC=AB=4， ∴∠BCF=∠DFC ，∠DCG=∠ABC=60°， ∴∠DFC=∠DCF ， ∴DF=DC=4，在Rt △DCG 中，∠DCG=60°，∠CDG=30°， ∴CG=12DC=2，DG=2223DC CG -=，在Rt △BGD 中，BG=BC+CG=5+2=7，DG=∴=， ∵AD ∥BC ， ∴△BOC ∽△DOF ， ∴54BO BC DO DF ==，即DO=45BO ，又∵∴BO+45，解得BO=9， 故选：C ． 10．C 11．-1 12．31-<≤x 13．1614．【解析】 解：连接OF ，∵∠AOD=45°，四边形CDEF 是正方形， ∴OD=CD=DE=EF ， 于是Rt △OFE 中，OE=2EF ， ∵OF=，EF 2+OE 2=OF 2，∴EF 2+（2EF ）2=5， 解得：EF=1，∴EF=OD=CD=1，15．8或216．2xx+-, 0【解析】试题分析：首先化简232-x+1x+11x xx（）-÷+，然后从x的范围中选入一个值代入，求出化简后的分式的值是多少即可．试题解析：232-x+1x+11x xx（）-÷+=223-1211x x xx x+-÷++=-2 xx +当x=1时，原式=-1+2=-3 1．17．解：（1）15÷25%=60人，60-24-15-9=12人，12÷60×100%=20%，即m=20，9÷60×360=54°，即n=54，故答案为：60；20；54；（2）由（1）可得：A等级的人数为12人，补全统计图如下：（3）（12+24）÷60×860=516人，该校九年级学生身体素质达到A和B两个等级的共有516人．18．解：（1）连接BF．∵CF为直径，∴∠CBF=90°，∠CDF=90°，∵CD⊥AB，AB为直径，∴∠CEB=90°，CE=DE，∴∠CEB=∠CDF，∴AB∥DF，∴CB=BG，∴BF垂直平分线段CG，∴CF=GF；（2）①连接OD、BF．∵四边形BODF为菱形．∴OD=DF=BF=OB=OF，∴△BOF、△DOF为等边三角形，∴∠OFD=∠OFB=60°，∴∠BFG=60°，∵∠FBG=∠FBC=90°，∴∠BGF=90-60°=30°．故答案为30°．②过点D作DH⊥CF于H．由（1）可知，OE 是三角形CDF 中位线，∴S △COE =14S △CDF ， 当点H 与点O 重合时，高DH 最大，此时DH=DO=12AB=12×6=3， S △CDF 的最大值为12×6×3=9， ∴则△COE 面积的最大值是14×9=94． 故答案为94． 19．45.4【详解】 解：如图所示：过点D 作DF ∥AB ，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，EF ⊥AB 于点M ， 由题意可得，四边形DNMF 是矩形，则∠NDF=90°，∵∠A=60°，∠AND=90°，∴∠ADN=30°，∴∠EDF=135°-90°-30°=15°，即DE 与水平桌面（AB 所在直线）所成的角为15°，又∵∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm ，∴∠ABC=30°，则AC=12AB=8cm ， ∵灯杆CD 长为40cm ，∴AD=48cm ，∴DN=AD•cos30°≈41.52cm ，则FM=41.52cm ，∵灯管DE 长为15cm ，∴sin15°=15EF EF DE =0.26，解得：EF=3.9，故台灯的高为：3.9+41.52≈45.4（cm）．20．（1）A型净水器每台进价2000元，B型净水器每台进价1800元.（2）W的最大值是(2380040)a-元.【解析】分析：（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m-200）元，根据数量=总价÷单价结合用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据购买资金=A型净水器的进价×购进数量+B型净水器的进价×购进数量结合购买资金不超过9.8万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，由总利润=每台A型净水器的利润×购进数量+每台B型净水器的利润×购进数量-a×购进A型净水器的数量，即可得出W关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．详解：（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m-200）元，根据题意得：5000045000200m m=-，解得：m=2000，经检验，m=2000是分式方程的解，∴m-200=1800．答：A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元．（2）根据题意得：2000x+1800（50-x）≤98000，解得：x≤40．W=（2500-2000）x+（2180-1800）（50-x）-ax=（120-a）x+19000，∵当70＜a＜80时，120-a＞0，∴W随x增大而增大，∴当x=40时，W取最大值，最大值为（120-a）×40+19000=23800-40a，∴W的最大值是（23800-40a）元．21．解：（1）函数11y xx=+-的自变量x的取值范围是x≠1，故答案为：x≠1；（2）如图即为所画图像；（3）如图所示，可得：性质1：该函数的图象关于点（1，1）成中心对称；性质2：x＞2时y随x的增大而增大；（4）①如图，该函数的图象与一条垂直于x轴的直线无交点，则这条直线为直线x=1；②如图，直线y=m与该函数的图象有交点，则m的取值范围为m≤-1或m≥3．22．解：【观察与发现】如图1，连接BF、BG．∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AB=BC ，∠ACB=45°，由旋转的性质，得△BDE 为等腰直角三角形，∵F 、G 分别是DE 、AC 中点，∴△BEF 和△BCG 均为等腰直角三角形，∴∠EBF=∠CBG =45°，∵∠FBG=∠EBF -∠GBE ，∠EBC=∠CBG -∠GBE ， ∴∠FBG=∠EBC ，∵BE BC =BF BG， ∴△BCE ∽△BGF ，∴CE BE =FG BF ，∠ACB=∠BGF =45°， 根据题意，得线段CE 、FG 所在直线所成的锐角为∠AGF ， ∵∠AGB =90°，∠AGF=∠AGB -∠BGF=45°，∴线段CE 、FG 所在直线所成的锐角为45°；【猜想与证明】上述结论成立，理由如下：如图①，连接BF 、BG ，延长GF 、CE 交于点H ．∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AB=BC ，∠ACB=45°，由旋转的性质，得△BDE 为等腰直角三角形， ∵F 、G 分别是DE 、AC 中点，∴△BEF 和△BCG 均为等腰直角三角形，∴∠EBF=∠CBG =45°，∠BGC =90°，∵∠FBG=∠CBG -∠FBC ，∠EBC=∠EBF -∠FBC ， ∴∠FBG=∠EBC ，∵BE BC =BF BG， ∴△BCE ∽△BGF ，∴CE BE =FG BF ，∠BGF=∠BCE ， ∵∠BGF+∠FGC=90°，∴∠BCE+∠FGC=90°，∴∠GHC=180°-（∠BCE+∠FGC+∠ACB ）=45°， ∴线段CE 、FG 所在直线所成的锐角为45°；【迁移与应用】由题可知分两种情况：①当点E 的位置如图②所示时，连接BF 、BG ，∵∠DBE=∠ABC=90°，∴∠ABD=∠ABC -∠DBC，∠GBE=∠DBE -∠DBC，即∠ABD=∠GBE，∵AB=BC，BD=BE，∴△ABD≌△CBE，∴∠BDA=∠BEC，AD=EC=2，∵△BCE∽△BGF，∴∠BEC =∠BFG，∴∠BDA=∠BFG，∵FG//BD，∴∠BDF=∠DFG，∴∠BFG=∠BFD+∠DFG=∠BFD+∠BDF=135°，∴∠BDA=∠BEC=135°，∵∠BDE=45°，∴A、D、F三点共线，∵∠BED=45°，∴∠AEC =90°，在Rt△AEC中，∵AE=AD+DE，∴BE，∴②当点E的位置如图③所示时，连接BF、BG，同①可知△ABD≌△CBE，∴∠D=∠BEC=45°，AD=EC=2，∵△BCE ∽△BGF ，∴∠AEC=∠DEB+∠BEC=90°，在Rt △AEC 中，∵△BAD ∽△BGF ，∴∠BAD =∠BGF ，∠D=∠DFG=45°，∴∠BAC=∠BFG ，∵∠AFB+∠FAG=∠FBG+∠AGB ，∴∠FAG=∠FBG ，∵∠BFG+∠FBG+∠BGF=180°，∴∠BAC+∠FAG+∠BAD=180°，∴D 、A 、F 三点共线，∴DE=AD+AE=2+BE=DEBE=2+∴；综上所述，当FG//BD 时，直线写出线段BE 的长为 23．解：（1）∵抛物线的顶点D 的坐标为()1,4-，∴12b a-=，即b=-2a ， ∴抛物线的解析式为22y ax ax c =-+，将点A 和点D 坐标代入，0242a a c a a c =++⎧⎨-=-+⎩，解得：13a c =⎧⎨=-⎩， ∴b=-2，∴抛物线的解析式为223y x x =--；（2）令223y x x =--=0，解得：x=-1或3，∴B （3，0），令x=0，则y=-3，∴C （0，-3），设BC 的表达式为y=px+q ，则033p q q =+⎧⎨-=⎩，解得：13p q =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为y=x-3，设2(,23)M m m m --，当1x =时，33y x =-=-，则(1,2)E -，13(24)32BDC BDE CDE S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯-+=， 当点M 在x 轴上方时，即3m >，如图1，22113(31)(31)(23)2422MAB CAB S S S m m m m ∆∆=+=⋅⋅++⋅+⋅--=-， 3BCD S S ∆=，2249m m ∴-=，解得122m =，222m =（舍去），M ∴点坐标为3)4；当点M 在x 轴下方时，即13m <<，如图2，连结OM ，22111393133(23)622222AOC COM MOB S S S S m m m m m ∆∆∆=++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-++=-++， 3BCD S S ∆=，2396922m m ∴-++=， 解得11m =（舍去），22m =，M ∴点坐标为（2，-3），综上所述，M 点坐标为3)4或（2，-3）；（3）存在．直线1x =交x 轴于F ，BD == ①如图3，EP DB ⊥于P ，DEP ∆沿边EP 翻折得到△D EP '， EDP BDF ∠=∠，Rt DEP Rt DBF ∴∆∆∽，∴DP DEDF BD =，即4DP =，解得DP =，BP BD DP ∴=-==；②如图4，ED BD '⊥于H ，EDH BDF ∠=∠，Rt DEH Rt DBF ∴∆∆∽，∴DH DE EHDF DB BF ==，即42DH EH ==，解得DH =，EH =，在Rt PHD ∆'中，设PH x =，D P DP DH HP x '==--，2D H D E EH DE EH '='-=-=，222(2)x x ∴+=-，解得1x =()11BP BD DP BD DH HP BD DH HP ∴=-=--=-+=+-=；③如图5，D P BC '⊥于G ，作EI BD ⊥于I ，由①得EI =，BI2BE ==BG BE EG ∴=-=， DEP ∆沿边EP 翻折得到△D EP '，EPD EPD ∴∠=∠'，EG EI ∴== GBP IBE ∠=∠，BPG BEI ∴∆∆∽， ∴BP BG BE BI =-=BP ∴=-，综上所述，当BP1时，将DEP ∆沿边EP 翻折得到△D EP '，使得△D EP '与BEP ∆的重叠部分图形为直角三角形．。
洛阳市2021届中考数学监测试题
2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（）A．73 B．81 C．91 D．1092．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙3．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣14．如图，四边形ABCD是正方形，点P，Q分别在边AB，BC的延长线上且BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②△OAE∽△OPA；③当正方形的边长为3，BP＝1时，cos∠DFO=35，其中正确结论的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．35．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）A ．10°B ．20°C ．50°D ．70°6．下列各组单项式中,不是同类项的一组是（ ）A ．2x y 和22xyB ．3xy 和2xy -C ．25x y 和22yx -D ．23-和37．如图，矩形ABCD 中，E 为DC 的中点，AD ：AB ＝3：2，CP ：BP ＝1：2，连接EP 并延长，交AB 的延长线于点F ，AP 、BE 相交于点O ．下列结论：①EP 平分∠CEB ；②2BF ＝PB•EF ；③PF•EF ＝22AD ；④EF•EP ＝4AO•PO ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．③④8．某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为x 元，则下列所列方程正确的是（ ）A ．2003503x x =-B ．2003503x x =+C ．2003503x x =+D ．2003503x x=- 9．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠BED 的正切值等于（ ）A ．25B ．5C ．2D ．1210．如图所示，在长为8cm ，宽为6cm 的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）A ．28cm 2B ．27cm 2C ．21cm 2D ．20cm 2二、填空题（本题包括8个小题）11．如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B→C→A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是___．12．如图所示，三角形ABC的面积为1cm1．AP垂直∠B的平分线BP于P．则与三角形PBC的面积相等的长方形是（）A．B．C．D．13．中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为．14．如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要________个小立方块．15．如图，在△ABC中，∠A＝60°，若剪去∠A得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝______．16．函数11yx=-的自变量的取值范围是．17．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝12x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为_____．18．如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8m，两侧离地面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个门洞的高度为_______m.（精确到0.1m）三、解答题（本题包括8个小题）19．（6分）如图，建筑物AB的高为6cm，在其正东方向有个通信塔CD，在它们之间的地面点M（B，M，D三点在一条直线上）处测得建筑物顶端A、塔项C的仰角分别为37°和60°，在A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高度．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3=1.73，精确到0.1m）20．（6分）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）21．（6分）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）.（正方形网格中， 每个小正方形的边长是1个单位长度）画出△ABC 向下平移4个单位得到的△A 1B 1C 1，并直接写出C 1点的坐标；以点B 为位似中心，在网格中画出△A 2BC 2，使△A 2BC 2与△ABC 位似，且位似比为2︰1，并直接写出C 2点的坐标及△A 2BC 2的面积．22．（8分）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨. 请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？ 目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完，其中每辆大货车一次运费花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？23．（8分）某学校准备采购一批茶艺耗材和陶艺耗材.经查询，如果按照标价购买两种耗材，当购买茶艺耗材的数量是陶艺耗材数量的2倍时，购买茶艺耗材共需要18000元，购买陶艺耗材共需要12000元，且一套陶艺耗材单价比一套茶艺耗材单价贵150元.求一套茶艺耗材、一套陶艺耗材的标价分别是多少元？学校计划购买相同数量的茶艺耗材和陶艺耗材.商家告知，因为周年庆，茶艺耗材的单价在标价的基础上降价2m 元，陶艺耗材的单价在标价的基础降价150元，该校决定增加采购数量，实际购买茶艺耗材和陶艺耗材的数量在原计划基础上分别增加了2.5m %和m ％，结果在结算时发现，两种耗材的总价相等，求m 的值.24．（10分）为保护环境，我市公交公司计划购买A 型和B 型两种环保节能公交车共10辆．若购买A 型公交车1辆，B 型公交车2辆，共需400万元；若购买A 型公交车2辆，B 型公交车1辆，共需350万元．求购买A 型和B 型公交车每辆各需多少万元？预计在某线路上A 型和B 型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A 型和B 型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？25．（10分）小马虎做一道数学题，“已知两个多项式24A x x =-，2234B x x =+-，试求2A B +.”其中多项式A 的二次项系数印刷不清楚.小马虎看答案以后知道2228A B x x +=+-，请你替小马虎求出系数“”；在（1）的基础上，小马虎已经将多项式A 正确求出，老师又给出了一个多项式C ，要求小马虎求出A C -的结果.小马虎在求解时，误把“A C -”看成“A C +”，结果求出的答案为262x x --.请你替小马虎求出“A C -”的正确答案.26．（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．求证：BC是⊙O的切线；设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；若BE＝8，sinB＝513，求DG的长，参考答案一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．C【解析】试题解析：第①个图形中一共有3个菱形，3=12+2；第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；…，第n个图形中菱形的个数为：n2+n+1；第⑨个图形中菱形的个数92+9+1=1．故选C．考点：图形的变化规律.2．B【解析】分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．详解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；故选B．点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．B【解析】【详解】∵函数y=-2x 2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y=-2x 2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+1， 故选B ．【点睛】二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．4．C【解析】【分析】由四边形ABCD 是正方形，得到AD=BC,90DAB ABC ∠=∠=︒，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q ，根据余角的性质得到AQ ⊥DP ；故①正确；根据勾股定理求出5,AQ ==,DFO BAQ ∠=∠直接用余弦可求出．【详解】详解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC,90DAB ABC ∠=∠=，∵BP=CQ ，∴AP=BQ ， 在△DAP 与△ABQ 中, AD AB DAP ABQ AP BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DAP ≌△ABQ ，∴∠P=∠Q ，∵90Q QAB ∠+∠=，∴90P QAB ∠+∠=，∴90AOP ∠=，∴AQ ⊥DP ；故①正确；②无法证明，故错误．∵BP=1，AB=3，∴4BQ AP ==，5,AQ ==,DFO BAQ ∠=∠ ∴3cos cos .5AB DFO BAQ AQ ∠=∠== 故③正确， 故选C ．【点睛】考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等，综合性比较强，对学生要求较高．5．B【解析】【分析】要使木条a 与b 平行，那么∠1=∠2，从而可求出木条a 至少旋转的度数.【详解】解：∵要使木条a 与b 平行，∴∠1=∠2，∴当∠1需变为50 º，∴木条a 至少旋转：70º-50º=20º.故选B.【点睛】本题考查了旋转的性质及平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.6．A【解析】【分析】如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．【详解】根据题意可知：x 2y 和2xy 2不是同类项.故答案选：A.【点睛】本题考查了单项式与多项式，解题的关键是熟练的掌握单项式与多项式的相关知识点.7．B【解析】【分析】由条件设，AB=2x ，就可以表示出CP=3x ，BP=3x ，用三角函数值可以求出∠EBC 的度数和∠CEP 的度数，则∠CEP=∠BEP ，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF 、EF 的值，从而可以求出结论．【详解】解：设，AB=2x∵四边形ABCD 是矩形∴AD=BC ，CD=AB ，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC ∥AB∴，CD=2x∵CP ：BP=1：2∴，x ∵E 为DC 的中点，∴CE=12CD=x ，∴tan ∠CEP=PC EC tan ∠EBC=EC BC ∴∠CEP=30°，∠EBC=30°∴∠CEB=60°∴∠PEB=30°∴∠CEP=∠PEB∴EP 平分∠CEB ，故①正确；∵DC ∥AB ，∴∠CEP=∠F=30°，∴∠F=∠EBP=30°，∠F=∠BEF=30°，∴△EBP ∽△EFB ，∴BE BPEF BF∴BE·BF=EF·BP∵∠F=∠BEF，∴BE=BF∴2BF＝PB·EF，故②正确∵∠F=30°，∴PF=2PB=43x，过点E作EG⊥AF于G，∴∠EGF=90°，∴3∴PF·EF=433x·32 2AD2=2×3x）2=6x2，∴PF·EF≠2AD2，故③错误. 在Rt△ECP中，∵∠CEP=30°，∴23x∵tan∠PAB=PBAB =3∴∠PAB=30°∴∠APB=60°∴∠AOB=90°在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，3，3∴4AO·PO=4×3x·3x=4x2又EF·EP=23x·23x=4x2∴EF·EP=4AO·PO．故④正确．故选，B【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键．8．B【解析】试题分析：设每个笔记本的价格为x元，根据“用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同”这一等量关系列出方程即可．考点：由实际问题抽象出分式方程9．D【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知∠BED=∠BAD，再结合图形根据正切的定义进行求解即可得.【详解】∵∠DAB=∠DEB，∴tan∠DEB= tan∠DAB=12，故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．10．B【解析】【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．【详解】解：依题意，在矩形ABDC 中截取矩形ABFE ，则矩形ABDC ∽矩形FDCE ，则 AB BD DF DC= 设DF=xcm ，得到：68=x 6 解得：x=4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6=17cm 1．【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．12【解析】【分析】根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大，而从C 向A 运动时，BP 先变小后变大，从而可求出线段长度解答．【详解】根据题意观察图象可得BC=5，点P 在AC 上运动时，BP ⊥AC 时，BP 有最小值，观察图象可得，BP 的最小值为4，即BP ⊥AC 时BP=4，又勾股定理求得CP=3，因点P 从点C 运动到点A ，根据函数的对称性可得CP=AP=3，所以ABC ∆的面积是13+342⨯⨯（）=12. 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出线段的长度，本题属于中等题型． 12．B【解析】【分析】过P 点作PE ⊥BP ，垂足为P ，交BC 于E ，根据AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，即可求出△ABP ≌△BEP ，又知△APC 和△CPE 等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC 的面积．【详解】解：过P 点作PE ⊥BP ，垂足为P ，交BC 于E ，∵AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，∠ABP=∠EBP ，又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，∴△ABP≌△BEP，∴AP=PE，∵△APC和△CPE等底同高，∴S△APC=S△PCE，∴三角形PBC的面积=12三角形ABC的面积=12cm1，选项中只有B的长方形面积为12cm1，故选B．13．9.6×1．【解析】【详解】将9600000用科学记数法表示为9.6×1．故答案为9.6×1．14．54【解析】试题解析：由主视图可知，搭成的几何体有三层，且有4列；由左视图可知，搭成的几何体共有3行；第一层有7个正方体，第二层有2个正方体，第三层有1个正方体，共有10个正方体，∵搭在这个几何体的基础上添加相同大小的小正方体，以搭成一个大正方体，∴搭成的大正方体的共有4×4×4=64个小正方体，∴至少还需要64-10=54个小正方体．【点睛】先由主视图、左视图、俯视图求出原来的几何体共有10个正方体，再根据搭成的大正方体的共有4×4×4=64个小正方体，即可得出答案．本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，关键是求出搭成的大正方体共有多少个小正方体．15．240.【解析】【详解】试题分析：∠1+∠2=180°+60°=240°．考点：1.三角形的外角性质；2.三角形内角和定理．16．x≠1【解析】该题考查分式方程的有关概念 根据分式的分母不为0可得 X －1≠0,即x≠1那么函数y=的自变量的取值范围是x≠117．（6，1）或（﹣6，1）【解析】【分析】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P 的纵坐标是1或-1．将P 的纵坐标代入函数解析式，求P 点坐标即可【详解】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P 的纵坐标是1或-1．当y=1时，12x 1-1=1，解得x=±6 当y=-1时，12 x 1-1=-1，方程无解 故P 点的坐标为（62，）或（-62，）【点睛】此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键．18．9.1【解析】【分析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标【详解】如图，以地面为x 轴，门洞中点为O 点，画出y 轴，建立直角坐标系由题意可知各点坐标为A （-4,0）B （4,0）D （-3,4）设抛物线解析式为y=ax 2+c （a≠0）把B 、D 两点带入解析式可得解析式为2464y 77x =-+，则C （0，647） 所以门洞高度为647m≈9.1m【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键三、解答题（本题包括8个小题）19．通信塔CD 的高度约为15.9cm ．【解析】【分析】过点A 作AE ⊥CD 于E ，设CE=xm ，解直角三角形求出AE ，解直角三角形求出BM 、DM ，即可得出关于x 的方程，求出方程的解即可．【详解】过点A 作AE ⊥CD 于E ，则四边形ABDE 是矩形， 设CE=xcm ，在Rt △AEC 中，∠AEC=90°，∠CAE=30°，所以AE=330CE tan =︒xcm ， 在Rt △CDM 中，CD=CE+DE=CE+AB=（x+6）cm ， DM=)36603x CD tan +=︒cm ， 在Rt △ABM 中，BM=63737AB tan tan =︒︒cm ， ∵AE=BD ， ∴)3663373x x tan +=+︒， 解得：33， ∴CD=CE+ED=3337tan ︒+9≈15.9（cm ）， 答：通信塔CD 的高度约为15.9cm ．【点睛】本题考查了解直角三角形，能通过解直角三角形求出AE 、BM 的长度是解此题的关键．20．（1）甲型号的产品有10万只，则乙型号的产品有10万只；（2）安排甲型号产品生产15万只，乙型号产品生产5万只，可获得最大利润91万元．【解析】【分析】（1）设甲型号的产品有x 万只，则乙型号的产品有（20﹣x ）万只，根据销售收入为300万元可列方程18x+12（20﹣x ）=300，解方程即可；（2）设安排甲型号产品生产y 万只，则乙型号产品生产（20﹣y ）万只，根据公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元列出不等式，求出不等式的解集确定出y 的范围，再根据利润=售价﹣成本列出W 与y 的一次函数，根据y 的范围确定出W 的最大值即可．【详解】（1）设甲型号的产品有x 万只，则乙型号的产品有（20﹣x ）万只，根据题意得：18x+12（20﹣x ）=300，解得：x=10，则20﹣x=20﹣10=10，则甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只；（2）设安排甲型号产品生产y 万只，则乙型号产品生产（20﹣y ）万只，根据题意得：13y+8.8（20﹣y ）≤239，解得：y≤15，根据题意得：利润W=（18﹣12﹣1）y+（12﹣8﹣0.8）（20﹣y ）=1.8y+64，当y=15时，W 最大，最大值为91万元．所以安排甲型号产品生产15万只，乙型号产品生产5万只时，可获得最大利润为91万元.考点：一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用.21．解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求，C 1（2，－2）．（2）如图，△A 2BC 2即为所求，C 2（1，0），△A 2BC 2的面积：10【解析】【详解】分析：（1）根据网格结构，找出点A 、B 、C 向下平移4个单位的对应点1A 、1B 、1C 的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点1C 的坐标；（2）延长BA 到2A 使A 2A =AB ，延长BC 到2C ，使C 2C =BC ，然后连接A 2C 2即可，再根据平面直角坐标系写出2C 点的坐标，利用△2A B 2C 所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．本题解析：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求，C 1(2，－2)(2)如图,△2A B 2C 为所求,2C (1,0)，△2A B 2C 的面积：6×4−12×2×6−12×2×4−12×2×4=24−6−4−4=24−14=10， 22．（1）1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货32吨；（2）货运公司应安排大货车8辆时，小货车2辆时最节省费用.【解析】【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x 吨和y 吨，根据“3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨、2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨”列方程组求解可得；（2）因运输33吨且用10辆车一次运完，故10辆车所运货不低于10吨，所以列不等式，大货车运费高于小货车，故用大货车少费用就小进行安排即可．【详解】（1）解：设1辆大货车一次可以运货x 吨，1辆小货车一次可以运货y 吨，依题可得：34182617x y x y +=⎧⎨+=⎩, 解得：432x y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 答：1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货32吨. （2）解：设大货车有m 辆，则小货车10-m 辆，依题可得：4m+32（10-m ）≥33 m≥010-m≥0解得：365≤m≤10， ∴m=8,9,10；∴当大货车8辆时，则小货车2辆；当大货车9辆时，则小货车1辆；当大货车10辆时，则小货车0辆；设运费为W=130m+100(10-m ）=30m+1000，∵k=30〉0，∴W 随x 的增大而增大，∴当m=8时，运费最少，∴W=130×8+100×2=1240（元），答：货运公司应安排大货车8辆时，小货车2辆时最节省费用.【点睛】考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，体现了数学建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力，解题的关键是根据题意建立方程组，并利用不等式求解大货车的数量，解题时注意题意中一次运完的含义，此类试题常用的方法为建立方程，利用不等式或者一次函数性质确定方案．23．（1）购买一套茶艺耗材需要450元，购买一套陶艺耗材需要600元；（2）m 的值为95.【解析】【分析】（1）设购买一套茶艺耗材需要x 元，则购买一套陶艺耗材需要()150x +元，根据购买茶艺耗材的数量是陶艺耗材数量的2倍列方程求解即可；（2）设今年原计划购买茶艺耗材和陶艺素材的数量均为a ，根据两种耗材的总价相等列方程求解即可.【详解】（1）设购买一套茶艺耗材需要x 元，则购买一套陶艺耗材需要()150x +元，根据题意，得18000120002150x x =⨯+. 解方程，得450x =.经检验，450x =是原方程的解，且符合题意150600x ∴+=.答：购买一套茶艺耗材需要450元，购买一套陶艺耗材需要600元.（2）设今年原计划购买茶艺耗材和陶艺素材的数量均为a ，由题意得：()()45021 2.5%m a m -⋅+ ()()6001501%a m =-⋅+整理，得2950m m -=解方程，得195m =，20m =（舍去）.m ∴的值为95.本题考查了分式方程的应用及一元二次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解答本题的关键，列方程解决实际问题注意要检验与实际情况是否相符.24．（1）购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．（2）三种方案：①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆；（3）购买A型公交车8辆，B型公交车2辆费用最少，最少费用为1100万元．【解析】【详解】详解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得，解得，答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10-a）辆，由题意得，解得：6≤a≤8，因为a是整数，所以a=6，7，8；则（10-a）=4，3，2；三种方案：①购买A型公交车6辆，B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．（3）①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；故购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．【点睛】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．25．（1）-3；（2）“A-C”的正确答案为-7x2-2x+2.【解析】（1）根据整式加减法则可求出二次项系数；（2）表示出多项式A ，然后根据A C +的结果求出多项式C ，计算A C -即可求出答案.【详解】（1）由题意得2:4A x x =-，2234B x x =+-, ∴A+2B=(4+)2x +2x -8， 2228A B x x +=+-， ∴4+=1，=-3，即系数为-3. (2)A+C=262x x --,且A=234x x --，∴C=4222x x --，∴A -C=2722x x --+【点睛】本题主要考查了多项式加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键.26． (1)证明见解析；． 【解析】【分析】（1）连接OD ，由AD 为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD 与AC 平行，得到OD 与BC 垂直，即可得证；（2）连接DF ，由（1）得到BC 为圆O 的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD 与三角形ADF 相似，由相似得比例，即可表示出AD ；（3）连接EF ，设圆的半径为r ，由sinB 的值，利用锐角三角函数定义求出r 的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF 与BC 平行，得到sin ∠AEF=sinB ，进而求出DG 的长即可．【详解】(1)如图，连接OD ，∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴∠BAD=∠CAD ，∵OA=OD ，∴∠ODA=∠OAD ，∴∠ODA=∠CAD ，∴OD ∥AC ，∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，∴OD ⊥BC ，∴BC 为圆O 的切线；(2)连接DF ，由(1)知BC 为圆O 的切线，∴∠FDC=∠DAF ，∴∠CDA=∠CFD ， ∴∠AFD=∠ADB ， ∵∠BAD=∠DAF ， ∴△ABD ∽△ADF ，∴AB AD AD AF=，即AD 2=AB•AF=xy ， 则AD=xy ；(3)连接EF ，在Rt △BOD 中，sinB=513OD OB =， 设圆的半径为r ，可得5813r r =+， 解得：r=5，∴AE=10，AB=18，∵AE 是直径，∴∠AFE=∠C=90°，∴EF ∥BC ，∴∠AEF=∠B ， ∴sin ∠AEF=513AF AE =， ∴AF=AE•sin ∠AEF=10×513=5013， ∵AF ∥OD ，∴501013513AG AF DG OD ===，即DG=1323AD ， ∴AD=503013·1813AB AF =⨯=， 则DG=133********⨯=．【点睛】圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定2019-2020学年中考数学模拟试卷 一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在三角形ABC 中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C 沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C ，若点B′恰好落在线段AB 上，AC 、A′B′交于点O ，则∠COA′的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°2． 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°3．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是11()1323x x x ▲---+=-， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x ＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业。
河南省洛阳市2021版中考数学试卷(II)卷
河南省洛阳市2021版中考数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共14题；共28分)1. （2分） (2020九下·龙江期中) 如图，A，B，C三点在数轴上所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点的位置，下列各式正确的为（）．A .B .C .D .2. （2分） 2010年8月7日甘肃省舟曲县遭受特大山洪地质灾害，“一方有难，八方支援”，截至8月13日15时，甘肃省民政厅救灾捐赠专户已接收捐赠款物总价值12038．99万元，12038．99万元用科学记数法表示为（保留3位有效数字）（）元A . 0.12×108B . 1.2×108C . 1.203899×108D . 1.20×1083. （2分）如图，从边长为(a＋4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1)cm的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）A . (2a2＋5a)cm2B . (6a＋15) cm2C . (6a＋9)cm2D . (3a＋15) cm24. （2分）(2020·通辽) 下列事件中是不可能事件的是（）A . 守株待兔B . 瓮中捉鳖C . 水中捞月D . 百步穿杨5. （2分）(2020·江西模拟) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A . 四棱锥B . 四棱柱C . 三棱锥D . 三棱柱6. （2分）若不等式组的解集为x＜1，则a的取值范围为（）A . a≥1B . a≤1C . a≥2D . a=27. （2分） (2019九上·邢台开学考) 如图1，已知点E ， F ， G ， H是矩形ABCD各边的中点，AB＝2.4，BC＝3.4．动点M从点A出发，沿A→B→C→D→A匀速运动，到点A停止，设点M运动的路程为x ，点M到四边形EFGH的某一个顶点的距离为y ，如果表示y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么四边形EFGH的这个顶点是（）A . 点EB . 点FC . 点GD . 点H8. （2分）(2020·荆州) 如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：① ；② ；③ ；④ ，只选其中一个添加，不能确定的是（）A . ①B . ②C . ③D . ④9. （2分） (2018九上·和平期末) 某旅游景点三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A . 25（1+x）2=64B . 25（1﹣x）2=64C . 64（1+x）2=25D . 64（1﹣x）2=2510. （2分） (2019九上·德清期末) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC的长等于（）．A .B .C .D .11. （2分）(2020·兰州) 如图，边长为4的等边中，D、E分别为AB，AC的中点，则的面积是A .B .C .D .12. （2分） (2016九上·金华期末) 如图，在△ABC中，DE∥BC，若，DE=4，则BC=（）A . 9B . 10C . 11D . 1213. （2分） (2018七下·深圳期末) △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为，，，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）．A . ∠A+∠B=∠CB . ∠A∶∠B∶∠C =1∶2∶3C .D . ∶ ∶ =3∶4∶614. （2分）如图，将一张长为70cm的矩形纸片ABCD沿对称轴EF折叠后得到如图所示的形状，若折叠后AB 与CD的距离为60cm，则重叠部分四边形较长边的长度为（）A . 20 cmB . 15 cmC . 10 cmD . cm二、填空题 (共1题；共1分)15. （1分）(2017·丽水) 分解因式：m2+2m=________.三、解答题 (共11题；共84分)16. （1分）(2019·广西模拟) 一射击运动员一次射击练习的成绩是(单位：环)：7，10，9，9，10，这位运动员这次射击成绩的平均数是________环.17. （1分） (2017九上·德惠期末) 如图，在∠ABC中，∠B=30°，AC= ，等腰直角△ACD斜边AD在AB 边上，求BC的长．18. （1分） (2019九上·杭州开学考) 已知当x≥1时，关于x的二次函数y＝x2+2kx+1的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围为________.19. （5分） (2019八下·岐山期末) 分解因式：（1）；（2）。
河南省洛阳市2021年中考数学试卷(II)卷
河南省洛阳市2021年中考数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·文昌模拟) 在0，﹣2，1，这四个数中，最小的数是（）A . 0B . ﹣2C . 1D .2. （2分） PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 0025米，把0.000 0025用科学记数法表示为（）A . 2.5×106B . 0.25×10﹣5C . 25×10﹣7D . 2.5×10﹣63. （2分）下列四种调查：①了解一批炮弹的命中精度；②调查全国中学生的上网情况；③审查某文章中的错别字；④考查某种农作物的长势．其中适合做抽样调查的个数有A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4. （2分） (2017七下·东城期中) 如图，，，则、、的关系为（）．A .B .C .D .5. （2分）(2017·红桥模拟) 如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017九下·泰兴开学考) 下列图形中，既是轴对称又是中心对称的是（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·福田模拟) 某市疾控中心在对10名传染病确诊病人的流行病史的调查中发现，这10人的潜伏期分别为：5，5，5，7，7，8，8，9，11，14（单位：天），则下列关于这组潜伏期数据的说法中，不正确的是（））A . 众数是5天B . 中位数是7．5天C . 平均数是7．9天D . 标准差是2．5天8. （2分） (2016七上·岱岳期末) 化简4（2x﹣1）﹣2（﹣1+10x），结果为（）A . ﹣12x+1B . 18x﹣6C . ﹣12x﹣2D . 18x﹣29. （2分）如图，设他们中有x个成人，y个儿童根据图中的对话可得方程组（）A .B .C .D .10. （2分） (2018七下·钦州期末) 一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（）A . 4B . 5C . 6D . 711. （2分） (2020七下·岱岳期中) 如图，将△ABC沿MN折叠，使MN∥BC ，点A的对应点为点A'，若∠A'＝32°，∠B＝112°，则∠A'NC的度数是（）A . 114°B . 112°C . 110°D . 108°12. （2分）(2016·广东) 如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（）A .B .C .D .二、填空题 (共8题；共8分)13. （1分） (2019八上·南岗期末) 分解因式： ________．14. （1分）(2017·郴州) 函数y= 的自变量x的取值范围为________．15. （1分）(2020·常州模拟) 如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC.若∠A＝36°，则∠C=________.16. （1分） (2018九上·渭滨期末) 如图，已知点A ， B分别是反比例函数y （x＜0），y （x ＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan∠BAO ，则k的值为________．17. （1分）已知|x-y+2|+ =0,则x2-y2=________18. （1分） (2016九上·南浔期末) 如图，已知在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12，在Rt△ABC内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则最多能叠放________个．19. （1分）若关于x的方程x2﹣5x+k=0的一个根是1，则另一个根是________ .20. （1分）已知点A（﹣4，﹣6），将点A先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到A′，则A′的坐标为________三、解答题 (共8题；共85分)21. （10分） (2018九下·滨海开学考) 计算：（1）sin45°﹣2﹣1+（3.14﹣π）0（2）．22. （5分）(2018·重庆) 如图，直线AB//CD ， BC平分∠ABD ，∠1=54°，求∠2的度数.23. （10分）(2019·昆明模拟) 如图，可以自由转动的转盘被平均分成了三等分标有数字﹣2，3，﹣1的扇形区域转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）（1）转动转盘一次，求转出的数字是3的概率；（2）转动转盘两次，设第一次得到的数字为x，第二次得到的数字为y，点M的坐标为（x，y），请用树状图或列表法求点M在反比例函数y＝﹣的图象上的概率.24. （5分）(2017·娄底模拟) 如图，某小区楼房附近有一个斜坡，小张发现楼房在水平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子长CD=6m，坡角到楼房的距离CB=8m．在D点处观察点A的仰角为60°，已知坡角为30°，你能求出楼房AB的高度吗？25. （15分）(2020·金牛模拟) 如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象分别交于点A（2，4）和点B（4，n），与坐标轴分别交于点C和点D．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求y1＜y2时，自变量x的取值范围；（3）若点P是x轴上一动点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标．26. （12分）(2018·安徽模拟) 探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数,每边上相邻钉子间的距离为1),连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数:当n=2时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种,若用S表示不同长度值的线段种数,则S=2;当n=3时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1, ，2, ，2 五种,比n=2时增加了3种,即S=2+3=5.（1）观察图形,填写下表:钉子数(n×n)S值2×223×32+34×42+3+（________）5×5（________）（2）写出(n-1)×(n-1)和n×n的两个钉子板上,不同长度值的线段种数之间的关系;(用式子或语言表述均可).（3）对n×n的钉子板,写出用n表示S的代数式.27. （13分）(2020·江都模拟) 如图①，在半径为6的扇形AOB中，，点C是弧AB上的一个动点（不与点、重合），、，垂足分别为D、E.（1）①当时，线段 ________；②当的度数=________°时，四边形成为菱形；（2）试说明：四边形的四个顶点在同一个圆上；（3）如图②，过点作，垂足为，连接，随着点的运动，在△ 中是否存在保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求出它的度数；如果不存在，请说明理由；（4）在（3）条件下，若点从点运动到点，则点的运动路径长为________.28. （15分） (2019九上·禹城期中) 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且 .（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）判断的形状，证明你的结论；（3）点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标及的最小周长.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共8题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共8题；共85分)21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、24-1、25-1、25-2、25-3、26-1、26-2、26-3、27-1、27-2、27-3、27-4、28-1、28-2、28-3、。
【市级联考】河南省洛阳市2021年中考模拟数学试卷
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF= AE；
15．如图，在ABC中，AB=AC=6 ，∠BAC=90°，点D、E为BC边上的两点，分别沿AD、AE折叠，B、C两点重合于点F，若DE=5，则AD的长为_____．
三、解答题
16．先化简，再求值： ，其中x满足x2－2x－2=0.
17．某校九年级数学测试后，为了解学生学习情况，随机抽取了九年级部分学生的数学成绩进行统计，得到相关的统计图表如下．
A． B．
C． D．
二、填空题
11．计算：|﹣5|﹣ =_____．
12．如果不等式组 的解集是x＜2，那么m的取值范围是_____
13．如图，已知直线y=x+4与双曲线y= （x＜相交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于D、C两点，若AB=2 ，则k=_____．
14．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向行驶，已知甲车的速度大于乙车的速度，甲车到达B地后马上以另一速度原路返回A地（掉头的时间忽略不计），乙车到达A地以后即停在地等待甲车．如图所示为甲乙两车间的距离y（千米）与甲车的行驶时间t（小时）之间的函数图象，则当乙车到达A地的时候，甲车与A地的距离为_____千米．
生产甲产品件数（件）
生产乙产品件数（件）
所用总时间（分钟）
10
10
350
30
20
850
（1）小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要多少分钟？
[试卷合集3套]洛阳市2021届中考数学二月一模拟试题
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中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，则这两个三角形的面积比为（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4【答案】C【解析】由△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，根据相似三角形的性质，即可求得答案．【详解】∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，∴这两个三角形的面积比为4：1．故选C．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．2．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【答案】C【解析】试题分析：根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．试题解析：连接AC，如图：根据勾股定理可以得到：510．∵51+51=10）1．∴AC1+BC1=AB1．∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC=45°．故选C．考点：勾股定理．3．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，-1），C（2，2），抛物线y=ax2（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（）A ．1a ≤- 或 2a ≥B ．10a -≤< 或 02a <≤C ．10a -≤< 或112a <≤ D ．122a ≤≤ 【答案】B【解析】试题解析：如图所示：分两种情况进行讨论：当0a >时，抛物线2y ax =经过点()1,2A 时，2,a =抛物线的开口最小，a 取得最大值2.抛物线2y ax=经过△ABC 区域（包括边界），a 的取值范围是：0 2.a <≤当0a <时，抛物线2y ax =经过点()1,1B -时，1,a =-抛物线的开口最小，a 取得最小值 1.-抛物线2y ax =经过△ABC 区域（包括边界），a 的取值范围是：10.a -≤<故选B.点睛：二次函数()20,y ax bx c a =++≠ 二次项系数a 决定了抛物线开口的方向和开口的大小，0,a >开口向上，0,a <开口向下.a 的绝对值越大，开口越小.4．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=【答案】B【解析】根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程. 【详解】由题意，设金色纸边的宽为xcm ， 得出方程：（80+2x ）（50+2x ）=5400， 整理后得：2653500x x +-= 故选：B. 【点睛】本题主要考查了由实际问题得出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据等量关系列出方程是解题关键.5．如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABC 绕点O 按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′O ，则点A′的坐标为（ ）A ．（3 ，1）B ．（3 ，2）C ．（2 ，3）D ．（1 ，3）【答案】D【解析】解决本题抓住旋转的三要素：旋转中心O ，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′． 【详解】由图知A 点的坐标为（-3，1），根据旋转中心O ，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，从而得A′点坐标为（1，3）．故选D．6．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数kyx(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为A．12 B．20 C．24 D．32【答案】D【解析】如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∵点C的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4.∴根据勾股定理，得：OC=5.∵四边形OABC是菱形，∴点B的坐标为（8，4）.∵点B在反比例函数(x>0)的图象上，∴.故选D.7．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A 处的距离AE ＝2m ，且A 、C 、E 三点在同一水平直线上，则旗杆AB 的高度为（ ）A ．4.5mB ．4.8mC ．5.5mD ．6 m【答案】D【解析】根据题意得出△ABE ∽△CDE ，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：由题意可得：AE ＝2m ，CE ＝0.5m ，DC ＝1.5m ， ∵△ABC ∽△EDC ， ∴，即，解得：AB ＝6， 故选：D ． 【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE ∽△CDE 是解答此题的关键． 8．一元二次方程210x x --=的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法判断【答案】A【解析】把a=1,b=-1,c=-1,代入24b ac ∆=-，然后计算∆，最后根据计算结果判断方程根的情况.【详解】21,1,14145a b c b ac ==-=-∴∆-=+=∴方程有两个不相等的实数根.故选A. 【点睛】本题考查根的判别式，把a=1,b=-1,c=-1,代入24b ac ∆=-计算是解题的突破口. 9．把1a-a 移到根号内得（ ）A ．aB ．﹣aC ．﹣a -D ．a -【答案】C【解析】根据二次根式有意义的条件可得a<0，原式变形为﹣（﹣a ）•1a-，然后利用二次根式的性质得到21()a a ⎛⎫--⋅- ⎪⎝⎭，再把根号内化简即可．【详解】解：∵﹣1a＞0， ∴a ＜0，∴原式＝﹣（﹣a ）•1a-， ＝21()a a ⎛⎫--⋅- ⎪⎝⎭，＝﹣a -． 故选C ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，主要是判断根号有意义的条件，然后确定值的范围再进行化简，是常考题型．10．如图，AB ∥ED ，CD=BF ，若△ABC ≌△EDF ，则还需要补充的条件可以是（ ）A ．AC=EFB ．BC=DFC ．AB=DED ．∠B=∠E【答案】C【解析】根据平行线性质和全等三角形的判定定理逐个分析. 【详解】由//AB ED ，得∠B=∠D, 因为CD BF =， 若ABC ≌EDF ，则还需要补充的条件可以是：AB=DE,或∠E=∠A, ∠EFD=∠ACB, 故选C 【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定. 解题关键点：熟记全等三角形判定定理. 二、填空题（本题包括8个小题）11．如果53xx y=-，那么xy=______．【答案】52；【解析】先对等式进行转换，再求解.【详解】∵53 xx y-＝∴3x＝5x－5y ∴2x＝5y∴5.2 xy＝【点睛】本题考查的是分式，熟练掌握分式是解题的关键.12．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= ▲°.【答案】1．【解析】试题分析：∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC=∠B，∠OAB=∠OCB，∠OAB+∠B=180°．∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠D+∠B=180°．又∠D＝12∠AOC，∴3∠D=180°，解得∠D=1°．∴∠OAB=∠OCB=180°-∠B=1°．∴∠OAD+∠OCD=31°-（∠D+∠B+∠OAB+∠OCB）=31°-（1°+120°+1°+1°）=1°．故答案为1°．考点：①平行四边形的性质；②圆内接四边形的性质．13．从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数图象上的概率是．【答案】．【解析】试题分析：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，点（m，n ）恰好在反比例函数图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1），∴点（m，n ）在函数图象上的概率是：=．故答案为．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．14．如图，已知AB∥CD，α∠=____________【答案】85°．【解析】如图,过F作EF∥AB，而AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABF+∠BFE=180°，∠EFC=∠C，∴∠α=180°−∠ABF+∠C=180°−120°+25°=85°故答案为85°.15．如图，某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为__________ ．【答案】16【解析】设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有：π·4=8180n，解得360πn=所以22360S==16360360扇形π4πrπ=n16．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，2，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE 的最小值为_____．【答案】163【解析】如图，作A 关于BC 的对称点A'，连接AA'，交BC 于F ，过A'作AE ⊥AC 于E ，交BC 于D ，则AD=A'D ，此时AD+DE 的值最小，就是A'E 的长，根据相似三角形对应边的比可得结论．【详解】如图，作A 关于BC 的对称点A'，连接AA'，交BC 于F ，过A'作AE ⊥AC 于E ，交BC 于D ，则AD=A'D ，此时AD+DE 的值最小，就是A'E 的长； Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=62， ∴BC=()22362+=9，S △ABC =12AB•AC=12BC•AF ， ∴3×62=9AF ， AF=22， ∴AA'=2AF=42，∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE ， ∴∠A'=∠C ，∵∠AEA'=∠BAC=90°， ∴△AEA'∽△BAC ， ∴''AA BC A E AC=， ∴42'62A E =， ∴A'E=163， 即AD+DE 的最小值是163， 故答案为163．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题.17．某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，则商品的定价是______元.【答案】300【解析】设成本为x元，标价为y元，根据已知条件可列二元一次方程组即可解出定价.【详解】设成本为x元，标价为y元，依题意得0.75250.920y xy x+=⎧⎨-=⎩，解得250300xy=⎧⎨=⎩故定价为300元.【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程再求解.18．关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣14=0有实数根，则a的取值范围为________．【答案】a≥﹣1且a≠1【解析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到≠1且△=（﹣1）2﹣4a•（﹣14）≥1，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】根据题意得a≠1且△=（﹣1）2﹣4a•（﹣14）≥1，解得：a≥﹣1且a≠1．故答案为a≥﹣1且a≠1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞1时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=1时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜1时，方程无实数根．三、解答题（本题包括8个小题）19．如下表所示，有A、B两组数：（1）A组第4个数是；用含n的代数式表示B组第n个数是，并简述理由；在这两组数中，是否存在同一列上的两个数相等，请说明．【答案】（1）3；（2）32n-，理由见解析；理由见解析（3）不存在，理由见解析【解析】（1）将n=4代入n2-2n-5中即可求解；（2）当n=1，2，3，…，9，…，时对应的数分别为3×1-2，3×2-2，3×3-2，…，3×9-2…，由此可归纳出第n 个数是3n-2；（3）“在这两组数中，是否存在同一列上的两个数相等”，将问题转换为n2-2n-5=3n-2有无正整数解的问题．【详解】解：（1））∵A 组第n 个数为n 2-2n-5，∴A 组第4个数是42-2×4-5=3，故答案为3；（2）第n 个数是32n -．理由如下：∵第1个数为1，可写成3×1-2；第2个数为4，可写成3×2-2；第3个数为7，可写成3×3-2；第4个数为10，可写成3×4-2；……第9个数为25，可写成3×9-2；∴第n 个数为3n-2；故答案为3n-2；（3）不存在同一位置上存在两个数据相等；由题意得，22532n n n --=-，解之得，n = 由于n 是正整数，所以不存在列上两个数相等．【点睛】本题考查了数字的变化类，正确的找出规律是解题的关键．20．某种型号油电混合动力汽车，从A 地到B 地燃油行驶需纯燃油费用76元，从A 地到B 地用电行驶需纯用电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．求每行驶1千米纯用电的费用；若要使从A 地到B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？【答案】（1）每行驶1千米纯用电的费用为0.26元．（2）至少需用电行驶74千米．【解析】（1）根据某种型号油电混合动力汽车，从A 地到B 地燃油行驶纯燃油费用76元，从A 地到B 地用电行驶纯电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元，可以列出相应的分式方程，然后解分式方程即可解答本题；（2）根据（1）中用电每千米的费用和本问中的信息可以列出相应的不等式，解不等式即可解答本题．【详解】（1）设每行驶1千米纯用电的费用为x 元，根据题意得：760.5x +=26x解得：x=0.26经检验，x=0.26是原分式方程的解，答：每行驶1千米纯用电的费用为0.26元；（2）从A地到B地油电混合行驶，用电行驶y千米，得：0.26y+（260.26﹣y）×（0.26+0.50）≤39解得：y≥74，即至少用电行驶74千米．21．如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．若∠A＝n°，求∠BOC 的度数．【答案】（1）125°；（2）125°；（3）∠BOC=90°+12 n°．【解析】如图，由BO、CO是角平分线得∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，再利用三角形内角和得到∠ABC+∠ACB+∠A=180°，则2∠1+2∠2+∠A=180°，接着再根据三角形内角和得到∠1+∠2+∠BOC=180°，利用等式的性质进行变换可得∠BOC=90°+12∠A，然后根据此结论分别解决（1）、（2）、（3）．【详解】如图，∵BO、CO是角平分线，∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴2∠1+2∠2+∠A=180°，∵∠1+∠2+∠BOC=180°，∴2∠1+2∠2+2∠BOC=360°，∴2∠BOC﹣∠A=180°，∴∠BOC=90°+12∠A，（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，∴∠BOC=90°+12×70°=125°；（2）∠BOC=90°+12∠A=125°；（3）∠BOC=90°+12n°． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．22．石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x 元时，每天可销售______ 件，每件盈利______ 元；（用x 的代数式表示）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．【答案】（1）（20+2x ），（40﹣x ）；（2）每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；（3）不可能做到平均每天盈利2000元．【解析】(1)、根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价－进价－降价，列式即可；(2)、根据总利润=单件利润×数量，列出方程即可；(3)、根据(2)中的相关关系方程，判断方程是否有实数根即可．【详解】(1)、设每件童装降价x 元时，每天可销售20+2x 件，每件盈利40-x 元，故答案为（20+2x ），（40-x ）；(2)、根据题意可得：(20+2x)(40－x)=1200，解得：121020x x ==，，即每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；(3)、(20+2x)(40－x)=2000， 230x 6000x -+=，∵此方程无解，∴不可能盈利2000元．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要根据题意列出方程．23．先化简，再求值：2221()4244a a a a a a -÷--++，其中a 是方程a 2+a ﹣6=0的解． 【答案】13. 【解析】先计算括号里面的，再利用除法化简原式， 【详解】22214244a a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--++⎝⎭，=()()()()2 22222a a aa a a-++⋅+-，=2222a a aa a--+⋅-，=222a aa a-+⋅-，=2aa+，由a2+a﹣6=0，得a=﹣3或a=2，∵a﹣2≠0，∴a≠2，∴a=﹣3，当a=﹣3时，原式=32133 -+=-．【点睛】本题考查了分式的化简求值及一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算.24．2013年6月，某中学结合广西中小学阅读素养评估活动，以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？请把折线统计图（图1）补充完整；求出扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数；如果这所中学共有学生1800名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．【答案】（1）一共调查了300名学生．（2）（3）体育部分所对应的圆心角的度数为48°．（4）1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为1．【解析】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解．（2）根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可．（3）用体育所占的百分比乘以360°，计算即可得解．（4）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．【详解】解：（1）∵90÷30%=300（名），∴一共调查了300名学生．（2）艺术的人数：300×20%=60名，其它的人数：300×10%=30名．补全折线图如下：（3）体育部分所对应的圆心角的度数为：40300×360°=48°．（4）∵1800×80300=1（名），∴1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为1．25．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE•GD．求证：∠ACF=∠ABD；连接EF，求证：EF•CG=EG•CB．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）先根据CG 2=GE•GD 得出CG GD GE CG=，再由∠CGD=∠EGC 可知△GCD ∽△GEC ，∠GDC=∠GCE ．根据AB ∥CD 得出∠ABD=∠BDC ，故可得出结论； （2）先根据∠ABD=∠ACF ，∠BGF=∠CGE 得出△BGF ∽△CGE ，故FG EG BG CG =．再由∠FGE=∠BGC 得出△FGE ∽△BGC ，进而可得出结论．试题解析：（1）∵CG 2=GE•GD ，∴CG GD GE CG=． 又∵∠CGD=∠EGC ，∴△GCD ∽△GEC ，∴∠GDC=∠GCE ．∵AB ∥CD ，∴∠ABD=∠BDC ，∴∠ACF=∠ABD ．（2）∵∠ABD=∠ACF ，∠BGF=∠CGE ，∴△BGF ∽△CGE ，∴FG EG BG CG =． 又∵∠FGE=∠BGC ，∴△FGE ∽△BGC ，∴FE EG BC CG=，∴FE•CG=EG•CB ． 考点：相似三角形的判定与性质．26．天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A 型和B 型两行环保节能公交车共10辆，若购买A 型公交车1辆，B 型公交车2辆，共需400万元；若购买A 型公交车2辆，B 型公交车1辆，共需350万元，求购买A 型和B 型公交车每辆各需多少万元？预计在该条线路上A 型和B 型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A 型和B 型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？【答案】（1）购买A 型公交车每辆需100万元，购买B 型公交车每辆需150万元．（2）购买A 型公交车8辆，则B 型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．【解析】（1）设购买A 型公交车每辆需x 万元，购买B 型公交车每辆需y 万元，根据“A 型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A 型公交车2辆，B 型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；（2）设购买A 型公交车a 辆，则B 型公交车（10-a ）辆，由“购买A 型和B 型公交车的总费用不超过1220万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．【详解】（1）设购买A 型公交车每辆需x 万元，购买B 型公交车每辆需y 万元，由题意得 24002350x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得100150x y =⎧⎨=⎩，答：购买A 型公交车每辆需100万元，购买B 型公交车每辆需150万元．（2）设购买A 型公交车a 辆，则B 型公交车（10﹣a ）辆，由题意得100150(10)122060100(10)650a a a a +-⎧⎨+-⎩， 解得：283554a ≤≤， 因为a 是整数，所以a ＝6，7，8；则（10﹣a ）＝4，3，2；三种方案：①购买A 型公交车6辆，则B 型公交车4辆：100×6+150×4＝1200万元；②购买A 型公交车7辆，则B 型公交车3辆：100×7+150×3＝1150万元；③购买A 型公交车8辆，则B 型公交车2辆：100×8+150×2＝1100万元；购买A 型公交车8辆，则B 型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．【点睛】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对一个物体，在正面进行正投影得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图.【详解】解：由主视图的定义可知A选项中的图形为该立体图形的主视图，故选择A.【点睛】本题考查了三视图的概念.2．下列命题是假命题的是（）A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形B．等边三角形有3条对称轴C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等【答案】C【解析】解：A．外角为120°，则相邻的内角为60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可以判断，故A选项正确；B．等边三角形有3条对称轴，故B选项正确；C．当两个三角形中两边及一角对应相等时，其中如果角是这两边的夹角时，可用SAS来判定两个三角形全等，如果角是其中一边的对角时，则可不能判定这两个三角形全等，故此选项错误；D．利用SSS．可以判定三角形全等．故D选项正确；故选C．3．一个正比例函数的图象过点（2，﹣3），它的表达式为（）A．3y-2x=B．2y3x=C．3y2x=D．2y-3x=【答案】A【解析】利用待定系数法即可求解. 【详解】设函数的解析式是y=kx，根据题意得：2k=﹣3，解得：k=32-． ∴ 函数的解析式是：32y x =-． 故选A ．4．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，CDB 30∠=，CD 23=，则阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．πC ．π 3D ．2π 3【答案】D 【解析】分析：连接OD ，则根据垂径定理可得出CE=DE ，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD 的面积，代入扇形的面积公式求解即可．详解：连接OD,∵CD ⊥AB ，∴13,2CE DE CD === (垂径定理)， 故OCE ODES S ，= 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，又∵30CDB ∠=︒，∴60COB ∠= (圆周角定理)，∴OC=2，故S 扇形OBD=260π22π3603⨯=， 即阴影部分的面积为2π3. 故选D.点睛：考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键.5．关于x 的分式方程230x x a +=-解为4x =，则常数a 的值为( )A ．1a =B ．2a =C ．4a =D ．10a =【答案】D【解析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可． 【详解】解：把x=4代入方程230x x a+=-，得 23044a+=-， 解得a=1．经检验，a=1是原方程的解 故选D ．点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为2．6．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）A ．15B ．17C ．19D ．24【答案】D【解析】由图可知：第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3＝4个，第③个图案有三角形1+3+4＝8个，第④个图案有三角形1+3+4+4＝12，…第n 个图案有三角形4（n ﹣1）个（n ＞1时），由此得出规律解决问题．【详解】解：解：∵第①个图案有三角形1个， 第②图案有三角形1+3＝4个， 第③个图案有三角形1+3+4＝8个， …∴第n 个图案有三角形4（n ﹣1）个（n ＞1时）， 则第⑦个图中三角形的个数是4×（7﹣1）＝24个， 故选D ． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出a n ＝4（n ﹣1）是解题的关键． 7．若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为（ ） A ．－1或4 B ．－1或－4 C ．1或－4 D ．1或4【答案】C【解析】试题解析：∵x=-2是关于x 的一元二次方程22302x ax a +-=的一个根， ∴（-2）2+32a×（-2）-a 2=0，即a 2+3a-2=0， 整理，得（a+2）（a-1）=0， 解得 a 1=-2，a 2=1． 即a 的值是1或-2． 故选A ．点睛：一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．8．如图，在⊙O 中，弦BC ＝1，点A 是圆上一点，且∠BAC ＝30°，则BC 的长是( )A ．πB ．13πC ．12πD ．16π【答案】B【解析】连接OB ，OC ．首先证明△OBC 是等边三角形，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：连接OB ，OC ．∵∠BOC ＝2∠BAC ＝60°， ∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形， ∴OB ＝OC ＝BC ＝1， ∴BC 的长＝6011803ππ⋅⋅=， 故选B ． 【点睛】考查弧长公式，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 9．若函数2m y x+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞﹣2B ．m ＜﹣2C ．m ＞2D ．m ＜2【答案】B【解析】根据反比例函数的性质，可得m+1＜0，从而得出m 的取值范围． 【详解】∵函数2m y x+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大， ∴m+1＜0， 解得m ＜-1． 故选B ．10．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+2x ﹣2=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞12B ．k≥12C ．k ＞12且k≠1 D ．k≥12且k≠1 【答案】C【解析】根据题意得k-1≠0且△=2²-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k ＞12且k≠1． 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac ，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 二、填空题（本题包括8个小题）11．抛物线y=（x+1）2 - 2的顶点坐标是 ______ ． 【答案】 (-1,-2)【解析】试题分析：因为y=（x+1）2﹣2是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2）， 故答案为（﹣1，﹣2）． 考点：二次函数的性质．12．已知圆锥的底面半径为40cm ， 母线长为90cm ， 则它的侧面展开图的圆心角为_______． 【答案】160︒．【解析】圆锥的底面半径为40cm ，则底面圆的周长是80πcm ，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是80πcm ，母线长为90cm 即侧面展开图的扇形的半径长是90cm ．根据弧长公式即可计算． 【详解】根据弧长的公式l=180n rπ得到： 80π=•90180n π， 解得n=160度．侧面展开图的圆心角为160度． 故答案为160°． 13．方程21x -=1的解是_____． 【答案】x=3【解析】去分母得：x ﹣1=2， 解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解， 故答案为3.【点睛】本题主要考查解分式方程，解分式方程的思路是将分式方程化为整式方程，然后求解．去分母后解出的结果须代入最简公分母进行检验，结果为零，则原方程无解；结果不为零，则为原方程的解．14．若关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a 、b 的二元一次方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是_______． 【答案】3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】分析：利用关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩可得m 、n 的数值，代入关于a 、b 的方程组即可求解，利用整体的思想找到两个方程组的联系再求解的方法更好．详解：∵关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，∴将解12x y =⎧⎨=⎩代入方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩可得m=﹣1，n=2∴关于a 、b 的二元一次方程组()()()()3=526a b m a b a b n a b ⎧+--⎪⎨++-=⎪⎩整理为：42546a b a +=⎧⎨=⎩ 解得：3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩点睛：本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显． 15．在直角坐标系中，坐标轴上到点P （﹣3，﹣4）的距离等于5的点的坐标是 ．【答案】（0，0）或（0，﹣8）或（﹣6，0）【解析】由P （﹣3，﹣4）可知，P 到原点距离为5，而以P 点为圆心，5为半径画圆，圆经过原点分别与x 轴、y 轴交于另外一点，共有三个．【详解】解：∵P （﹣3，﹣4）到原点距离为5，而以P 点为圆心，5为半径画圆，圆经过原点且分别交x 轴、y 轴于另外两点（如图所示）， ∴故坐标轴上到P 点距离等于5的点有三个：（0，0）或（0，﹣8）或（﹣6，0）． 故答案是：（0，0）或（0，﹣8）或（﹣6，0）．16．已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与x 的部分对应值如下： ... -1 0 1 2 3 ......105212...则当5y <时，x 的取值范围是_________. 【答案】0<x<4【解析】根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为x=2，结合表格中所给数据可得出答案．【详解】由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2， 所以，x=4时，y=5，所以，y<5时，x 的取值范围为0<x<4. 故答案为0<x<4. 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，利用图表得出二次函数的图象即可得出函数值得取值范围，同学们应熟练掌握．17．如图，在▱ABCD 中，E 在AB 上，CE 、BD 交于F ，若AE ：BE=4：3，且BF=2，则DF=_____【答案】143． 【解析】解：令AE=4x ，BE=3x ， ∴AB=7x.∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴CD=AB=7x ，CD ∥AB ， ∴△BEF ∽△DCF.∴3377BF BE x DF CD x ===， ∴DF=143【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键. 18．若2， 则x 2+2x+1=__________. 【答案】2【解析】先利用完全平方公式对所求式子进行变形，然后代入x 的值进行计算即可. 【详解】∵2-1，∴x 2+2x+1=(x+1)22-1+1)2=2， 故答案为：2. 【点睛】本题考查了代数式求值，涉及了因式分解，二次根式的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 三、解答题（本题包括8个小题） 19．如图，已知函数ky x=（x ＞0）的图象经过点A 、B ，点B 的坐标为（2，2）．过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，AC 与BD 交于点F ．一次函数y=ax+b 的图象经过点A 、D ，与x 轴的负半轴交于点E ．。
河南省洛阳市中考数学一模试卷(解析版)
2021年河南省洛阳市中考数学一模试卷一、选择题〔每题3分，共30分〕1．在实数0，﹣1.5，1，﹣中，比﹣2小的数是〔〕A．0C．1D．﹣【分析】先根据实数的大小比拟法那么比拟数的大小，再判断即可．【解答】解：﹣＜﹣2＜＜0＜1，即比﹣2小的数是﹣，应选：D．【点评】此题考查了估算无理数的大小和实数的大小比拟法那么，能熟记实数的大小比拟法那么的内容是解此题的关键．2．据统计，2021年，我国国内生产总值到达82.7万亿元，数据“82.7万亿〞用科学记数法表示为〔〕×1012×1013×1012×1013【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】×1013，应选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．以下计算正确的选项是〔〕A．B．〔﹣3〕2=6C．3a4﹣2a2=a2D．〔﹣a3〕2=a5【分析】根据实数的运算法那么以及整式的运算法那么即可判断【解答】解：〔A〕原式=2﹣=，故A正确，〔B〕原式=9，故B错误；〔C〕3a4与2a2不是同类项，故C错误；〔D〕原式=a6，故D错误；应选：A．【点评】此题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法那么，此题属于根底题型．4．如下图是8个完全相同的小正方体组成的几何体，那么该几何体的左视图是〔〕A．B．C．D．【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形，从而得出该几何体的左视图．【解答】解：该几何体的左视图是：应选：B．【点评】此题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．5．把不等式组的解集表示在数轴上，以下选项正确的选项是〔〕A．B．C．D．【分析】求得不等式组的解集为﹣1＜x≤1，所以B是正确的．【解答】解：由第一个不等式得：x＞﹣1；由x+2≤3得：x≤1．∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1．应选：B．【点评】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来〔＞，≥向右画；＜，≤向左画〕，数轴上的点把数轴分成假设干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥〞，“≤〞要用实心圆点表示；“＜〞，“＞〞要用空心圆点表示．6．某校九年级〔1〕班全体学生上周末进行体育测试的成绩〔总分值70分〕统计如表：成绩〔分〕45505560656870人数〔人〕26107654根据表中的信息判断，以下结论中错误的选项是〔〕A．该班一共有40名同学B．该班学生这次测试成绩的众数是55分C．该班学生这次测试成绩的中位数是60分D．该班学生这次测试成绩的平均数是59分【分析】结合表格根据众数、中位数、平均数的概念求解．【解答】解：该班人数为：2+6+10+7+6+5+4=40，得55分的人数最多，众数为55，第20和21名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：〔60+60〕÷2=60，平均数为：〔45×2+50×6+55×10+60×7+65×6+68×5+70×4〕÷40=59.25．故错误的为D．应选：D．【点评】此题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答此题的关键．7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长〔大于AB〕为半径作弧，两弧相交于点M和N点，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，假设AC=3，BC=4，那么DE等于〔〕A．2B．C．D．【分析】连接AE，根据勾股定理求出AB，根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理计算即可．【解答】解：连接AE，∵∠ACB=90°，∴AB==5，由题意得，MN是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即AE2=32+〔4﹣AE〕2，解得，AE=，由勾股定理得，DE==，应选：C．【点评】此题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．关于x的方程〔a﹣5〕x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么a满足〔〕A．a≥1且a≠5B．a＞1且a≠5C．a≥1D．a≠5【分析】分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a ≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a的范围．【解答】解：当a=5时，原方程变形为﹣4x﹣1=0，解得x=﹣；当a≠5时，△=〔﹣4〕2﹣4〔a﹣5〕×〔﹣1〕≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，所以a的取值范围为a≥1．应选：C．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．9．如图，平面直角坐标系中，直线y=﹣x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B 和点A，与反比例函数y=﹣的图象交于点C，假设BA：AC=2：1，那么a 的值为〔〕A．2B．﹣2C．3D．﹣3【分析】想方法把C点坐标用a表示出来，然后代入y=﹣即可．【解答】解：作CE⊥x轴于E，∵AO∥CE，BA：AC=2：1，AO=OB=a，∴EB=，CE=，∴点C坐标〔﹣，a〕，又∵点C在y=﹣上，∴﹣=﹣3，∵a＞0，∴a=2．应选：A．【点评】此题考查反比例函数与一次函数的有关知识，学会用转化的思想解决，把问题变成方程是解题的关键，属于中考常考题型．10．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC=2，BD=1，AP=x，△CMN的面积为y，那么y关于x的函数图象大致形状是〔〕A．B．C．D．【分析】△CMN的面积=CP×MN，通过题干条件，用x分别表示出CP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：〔1〕0＜x≤1；〔2〕1＜x ＜2．【解答】解：〔1〕当0＜x≤1时，如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；∵MN⊥AC，∴MN∥BD；∴△AMN∽△ABD，即，∴MN=x，∴y=CP×MN=〔0＜x≤1〕，∵﹣＜0，∴函数图象开口向下；〔2〕当1＜x＜2，如图2，同理证得，△CDB∽△CNM，即，∴MN=2﹣x，∴y=CP×MN=〔2﹣x〕×〔2﹣x〕=，∵＞0，∴函数图象开口向上；综上，答案A的图象大致符合；应选：A．【点评】此题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，表达了分类讨论的思想．二、填空题〔每题3分，共15分〕11．计算：+= 0【分析】根据分式的运算法那么即可求出答案．【解答】解：原式=﹣=0故答案为：0【点评】此题考查分式的运算法那么，解题的关键是熟练运用分式的运算法那么，此题属于根底题型．12．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=115°，那么∠2是70 度．【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：∵直尺的对边平行，∴∠3=∠1=115°，∴∠2=∠3﹣45°=115°﹣45°=70°．故答案为：70．【点评】此题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．13．如图是两个质地均匀的转盘，现转动转盘①和转盘②各一次，那么两个转盘指针都指向红的局部的概率为．【分析】将转盘①中红色局部等分成3局部，画出树状图列出所有等可能结果，从中找到两个转盘指针都指向红的局部的结果数，利用概率公式计算可得．【解答】解：将转盘①中红色局部等分成3局部，画树状图如下：由树状图可知共有16种结果，其中两个转盘指针都指向红的局部的有6种结果，所以两个转盘指针都指向红的局部的概率为=，故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．14．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为弧AB的中点，D是OA的中点，那么图中阴影局部的面积为cm2．【分析】连接OC，作CE⊥OA于E，根据正弦的概念求出CE，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算．【解答】解：连接OC，作CE⊥OA于E，∵∠AOB=90°，C为弧AB的中点，∴∠COE=45°，∴CE=OC×sin∠COE=，∴图中阴影局部的面积=S扇形AOB ﹣S△BOD﹣〔S扇形AOC﹣S△COD〕=﹣×1×2﹣+×1×故答案为：．【点评】此题考查的是扇形面积计算，掌握直角三角形的性质、扇形面积公式S=是解题的关键．15．如图在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠点A落在G处，当△CGB为等腰三角形时，那么AP的长为1或．【分析】分两种情形①CG=CB，②GC=GB，分别求解即可解决问题；【解答】解：在菱形ABCD中，∵∠A=60°，AD=，∴AC=3，①当CG=BC=时，AG=AC=CG=3﹣，∴AP=AG=．②当GC=GB时，易知GC=1，AG=2，∴AP=AG=1，故答案为1或．【点评】此题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、菱形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题〔本大题共8小题，共75分〕16．〔8分〕先化简再求值〔a+2b〕〔a﹣2b〕﹣〔a﹣b〕2+5b〔a+b〕．其中a=2﹣，b=2+．【分析】先根据整式的混合运算顺序和运算法那么化简原式，再将a、b的值代入计算可得．【解答】解：原式=a2﹣4b2﹣〔a2﹣2ab+b2〕+5ab+5b2=a2﹣4b2﹣a2+2ab﹣b2+5ab+5b2=7ab，当a=2﹣，b=2+时，原式=7×〔2﹣〕×〔2+〕=7×〔4﹣3〕=7．【点评】此题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法那么．17．〔9分〕中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写〞大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩〔成绩x取整数，总分100分〕作为样本进行整理，得到以下不完整的统计图表：成绩x/分频数频率50≤x＜601060≤x＜702070≤x＜8030b80≤x＜90a90≤x≤10080请根据所给信息，解答以下问题：〔1〕a= 60 ，b= 0.15 ；〔2〕请补全频数分布直方图；〔3〕这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90 分数段；〔4〕假设成绩在90分以上〔包括90分〕的为“优〞等，那么该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优〞等约有多少人？【分析】〔1〕根据第一组的频数是10，频率是0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得a的值，用第三组频数除以数据总数可得b的值；〔2〕根据〔1〕的计算结果即可补全频数分布直方图；〔3〕根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据〔或中间两数据的平均数〕即为中位数；〔4〕利用总数3000乘以“优〞等学生的所占的频率即可．【解答】解：〔1〕样本容量是：10÷0.05=200，a=200×0.30=60，b=30÷200=0.15；〔2〕补全频数分布直方图，如下：〔3〕一共有200个数据，按照从小到大的顺序排列后，第100个与第101个数据都落在第四个分数段，所以这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；〔4〕3000×0.40=1200〔人〕．即该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优〞等的大约有1200人．故答案为60，0.15；80≤x＜90；1200．【点评】此题考查读频数〔率〕分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了中位数和利用样本估计总体．18．〔9分〕如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，假设∠CDB=∠BFD．〔1〕求证：FD是⊙O的切线；〔2〕假设⊙O的半径为5，sinF=，求DF的长．【分析】〔1〕利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO=90°，进而得出答案；〔2〕利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．【解答】〔1〕证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，∴∠CAB=∠BFD，∴FD∥AC∵∠AEO=90°，∴∠FDO=90°∴FD是⊙O的切线；〔2〕∵AE∥FD，AO=BO=5，sinF=sin∠ACB=∴AB=10，AC=8，∵DO⊥AC，∴AE=EC=4，AO=5∴EO=3∵AE∥DF，∴△AEO∽△FDO，∴FD=．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，得出△AEO∽△FDO是解题关键．19．〔9分〕如下图，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是68°，求信号塔PQ 的高度．〔结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86〕【分析】延长PQ交直线AB于点E，连接AQ，设PM的长为x米，先由三角函数得出方程求出PM，再由三角函数求出QM，得出PQ的长度即可．【解答】解：延长PQ交直线AB于点M，连接AQ，如下图：那么∠PMA=90°，设PM的长为x米，在Rt△PAM中，∠PAM=45°，∴AM=PM=x米，∴BM=x﹣100〔米〕，在Rt△PBM中，∵tan∠PBM=，∴tan68°=≈2.48，解得：x≈167.57，在Rt△QAM中，∵tan∠QAM=，∴QM=AM•tan∠×tan31°≈×≈100.54〔米〕，∴≈67.0〔米〕；答：信号塔PQ的高度约为67.0米．【点评】此题考查解直角三角形的应用、三角函数；由三角函数得出方程是解决问题的关键，注意掌握当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路．20．〔9分〕如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标是〔3，3〕，AB⊥x轴于点B，反比例函数y=的图象中的一支经过线段OA上一点M，交AB于点N，OM=2AM．〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕假设直线MN交y轴于点C，求△OM C的面积．【分析】〔1〕过点M作MH⊥x轴于点H．得出MH∥AB，那么△OMH∽△OAB，根据相似三角形对应边成比例求出点M的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；〔2〕先由AB⊥x轴，A〔3，3〕，得出N点横坐标为3．再把x=3代入y=，求出N点坐标，得到AN的值，根据OC∥AN，得出==2，即可得到OC=2AN=，进而得到△OMC的面积= OC•OH=××2=．【解答】解：〔1〕过点M作MH⊥x轴于点H，∵AB⊥x轴于点B，∴MH∥AB，∴△OMH∽△OAB，∴==，∵A点的坐标是〔3，3〕，OM=2AM，∴OB=3，AB=3，=，∴OH=2，MH=2，∴M〔2，2〕，∵点N在反比例函数y=的图象上，∴k=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=；〔2〕∵AB⊥x轴，A〔3，3〕，∴N点的横坐标为3把x=3代入y=，得y=，∴N点的坐标为〔3，〕，∴AN=3﹣=，∵OC∥AN，∴==2，∴OC=2AN=，∴△OMC的面积=OC•OH=××2=．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积等知识，正确求出函数解析式是解题的关键．21．〔10分〕某通讯运营商的上网流量资费标准推出了三种优惠方案：方案A：按流量计费，0.1元/M；方案B：20元流量套餐包月，包含500M流量，如果超过500M，超过局部另外计费〔见图象〕，如果用到1000M时，超过1000M的流量不再收费；方案C：120元包月，无限制使用．用x表示每月上网流量〔单位：M〕，y表示每月的流量费用〔单位：元〕，方案B和方案C对应的y关于x的函数图象如下图，请解决以下问题：〔1〕写出方案A的函数解析式，并在图中画出其图象；〔2〕直接写出方案B的函数解析式；〔3〕假设甲乙两人每月使用流量分别在300﹣600M，800﹣1200M之间，请你分别给出甲乙二人经济合理的选择方案．【分析】〔1〕根据题意，可以直接写出方案A对应的函数解析式，并画出相应的函数图象；〔2〕根据图象中的数据可以写出方案B对应的函数解析式；〔3〕根据图象可以分别求得方案A、B、C的交点，再根据图象即可解答此题．【解答】解：〔1〕由题意可得，方案A的函数解析式为y=0.1x，图象如右图所示；〔2〕设500≤x≤1000时，y=kx+b，解得，，∴500≤x≤1000时，y=0.22x﹣90，∴方案B对应的函数解析式是y=；3〕令0.1x=20，得x=200，0.1x=0.22x﹣90，得x=750，当0.1x=120时，x=1200，故甲选用方案B，乙选用方案A．〔上网流量在200M以下的选用方案A，上网流量在200M和750M之间的选用方案B，上网流量在750M和1200M之间的选用方案A，上网流量在1200M以上的选用方案C，上网流量在200M或750M 的选用方案A或B费用一样，上网流量是1200M的选用方案A或C费用一样．〕【点评】此题考查一次函数的应用，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．22．〔10分〕在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上的中点，Rt△EFG的直角顶点E在AB边上移动．〔1〕如图1，假设点D与点E重合且EG⊥AC、DF⊥BC，分别交AC、BC于点M、N，易证EM=EN；如图2，假设点D与点E重合，将△EFG绕点D旋转，那么线段EM与EN的长度还相等吗？假设相等请给出证明，不相等请说明理由；〔2〕将图1中的Rt△EGF绕点D顺时针旋转角度α〔0°＜α＜45°〕．如图2，在旋转过程中，当∠MDC=15°时，连接MN，假设AC=BC=2，请求出写出线段MN的长；〔3〕图3，旋转后，假设Rt△EGF的顶点E在线段AB上移动〔不与点D、B 重合〕，当AB=3AE时，线段EM与EN的数量关系是EN=2EM ；当AB=m•AE时，线段EM与EN的数量关系是EN=〔m﹣1〕EM ．【分析】〔1〕由等腰直角三角形的性质，得出结论进而判断出△CDM≌△BDN，即可得出结论；〔2〕先求出CP=DP=AP=1，再求出∠MDP=30°，即可得出结论；〔3〕先判断出BE=2PE，再判断出△PME∽△BNE即可得出结论．【解答】解：〔1〕EM=EN；理由：∵∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上的中点∴DC=DB，∠ACD=∠B=45°，∠CDB=90°∴∠CDF+∠FDB=90°∵∠GDF=90°，∴∠GDC+∠CDF=90°，在△CDM和△BDN中，∴△CDM≌△BDN，∴DM=DN即EM=EN；〔2〕如图2，作DP⊥AC于P，那么∠CDP=45°，CP=DP=AP=1∵∠CDG=15°，∴∠MDP=30°∵cos∠MDP=∴DM==DM=DN∵△MND为等腰直角三角形∴MN=×=；〔3〕NE=2ME，EN=〔m﹣1〕ME．证明：如图3，过点E作EP⊥AB交AC于点P 那么△AEP为等腰直角三角形，∠PEB=90°∴AE=PE，∵AB=3AE，∴BE=2AE，∴BE=2PE又∵∠MEP+∠PEN=90°，∠PEN+∠NEB=90°又∵∠MPE=∠B=45°∴△PME∽△BNE即EN=2EM由此规律可知，当AB=m•AE时，EN=〔m﹣1〕•ME故答案为：EN=2EM；EN=〔m﹣1〕EM．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，判断出△PME∽△BNE是解此题的关键．23．〔11分〕如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=对称，且经过A．C 两点，与x轴交于另一点为B．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕假设点P为直线AC上方的抛物线上的一点，过点P作PQ⊥x轴于M，交AC于Q，求PQ的最大值，并求此时△APC的面积；〔3〕在抛物线的对称轴上找出使△ADC为直角三角形的点D，直接写出点D的坐标．【分析】〔1〕由直线过点A，可得出点A的坐标，由A、B关于直线x=对称可找出B点的坐标．由直线经过点C可求出点C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；〔2〕直线AC的解析式为y=﹣x+2，即x+y﹣2=0，设点Q的坐标为〔m，﹣m+2〕；那么P点坐标为〔m，﹣m2+m+2〕，由此得到PQ=﹣〔m﹣2〕2+2，由二次函数最值的求法得到：点P 〔2，3〕，由分割法求得：S △PAC =S 梯形OCPM+S △PMA ﹣S △AOC ； 〔3〕假设存在，设出D 点坐标，△ADC 为直角三角形分三种情况：①当点C 为直角顶点时：作DM ⊥y 轴于M 由△CD 1M ∽△ACO 可得：CM=3，所以OM=5，即D 1〔，5〕；②同理当点A 为直角顶点时可求D 2〔，﹣5〕；③当点D 为直角顶点时：过D 3作MN ⊥y 轴．由△CD 3M ∽△D 3NA 可得：n 2﹣2n=．易得D 3〔，1+〕，D 4〔，1﹣〕．【解答】解：〔1〕令y=﹣x+2=0，解得：x=4，即点A 的坐标为〔4，0〕．∵A 、B 关于直线x=对称，∴点B 的坐标为〔﹣1，0〕．令x=0，那么y=2，∴点C 的坐标为〔0，2〕，∵抛物线y=ax2+bx+c 经过点A 、B 、C ， ∴有解得：a=﹣，b=，c=2．故抛物线解析式为y=﹣x 2+x+2；〔2〕直线AC 的解析式为y=﹣x+2，即x+y ﹣2=0，设点Q 的坐标为〔m ，﹣m+2〕；那么P 点坐标为〔m ，﹣m 2+m+2〕， ∴PQ=〔﹣m 2+m+2〕﹣〔﹣m+2〕，=﹣m 2+2m=﹣〔m ﹣2〕2+2∴当m=2时，PQ 最大=2，此时点P 〔2，3〕S △PAC =S 梯形OCPM +S △PMA ﹣S △AOC =5+3﹣4=4；〔3〕D 点的坐标为〔，﹣5〕，〔，5〕，〔，1+〕，〔，1﹣〕． 解法如下：假设存在，设D 点的坐标〔，m 〕△ADC 为直角三角形分三种情况：①当点C 为直角顶点时：作DM ⊥y 轴于M由△CD 1M ∽△ACO 可得：= ∴=，CM=3∴OM=5即D 1〔，5〕②同理当点A 为直角顶点时可求D 2〔，﹣5〕③当点D 为直角顶点时：过D 3作MN ⊥y 轴由△CD 3M ∽△D 3NA 可得：= ∴=，可得：n 2﹣2n= 解得：n=1±D 3〔，1+〕，D 4〔，1﹣〕故D 点的坐标为〔，﹣5〕，〔，5〕，〔，1+〕，〔，1﹣〕． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2021年河南省洛阳市中考数学二模试卷(解析版)
2021年河南省洛阳市中考数学二模试卷一、选择题（每题3分，满分30分）1．下列各数中，绝对值为的数是（）A．B．﹣C．﹣1D．﹣12．2021年2月19日9：00时，我国首枚火星探测器“天问一号”距离地球2.05亿千米，其中2.05亿千米用科学记数法表示为（）A．2.05×108米B．2.05×1011米C．20.5×1010米D．20.5×1011米3．如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数是（）A．65°B．60°C．55°D．75°4．下面运算结果为a6（a≠0）的是（）A．a3+a3B．a8÷a2C．a2•a3D．（﹣a2）35．小军为了解同学们的课余生活，设计了如下的调查问卷（不完整）：他准备在“①看课外书，②体育活动，③看电视，④踢足球，⑤看小说”中选取三个作为该问题的备选答案，选取合理的是（）A．①②③B．①④⑤C．②③④D．②④⑤6．如图，在有序号的方格中选出一个画出阴影，使它们与图中五个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的展开图，正确的选法是（）A．只有②B．只有①④C．只有①②④D．①②③④都正确7．对于一元二次方程x2﹣5x+c＝0来说，当c ＝时，方程有两个相等的实数根，若将c 的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根8．公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解的方法：先构造边长为x正方形ABCD，再分别以BC，CD为边作另一边长为5的长方形，最后得到四边形AIFH是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列哪个一元二次方程（）的解．A．x2+10x＝25B．x2+10x＝64C．x2+10x＝39D．x2+10x＝999．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣1﹣2012…y＝…t m22n…ax2+bx+c且当x ＝﹣时，与其对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＜0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③a ＜﹣；④m+n ＞﹣，其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．310．如图，在正方形ABCD中，顶点A（﹣5，0），C（5，10），点F是BC的中点，CD 与y轴交于点E，AF与BE交于点G，将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点G的坐标为（）A．（﹣4，3）B．（﹣3，4）C．（4，﹣3）D．（3，﹣4）二、填空题：（每题3分，共15分）11．写一个介于与+1之间的无理数是．12．如图所示，点C位于点A、B之间（不与A、B重合），点C表示1﹣2x，则x的取值范围是．13．如图，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是．14．如图，扇形OAB的半径OA＝2厘米，圆心角∠AOB＝45°，点C是的中点，点D、E分别是半径OA、OB上的点，且OD＝OE，CD＝CE，CD⊥CE，则图中阴影的面积为平方厘米．15．如图，点M、N分别是矩形ABCD的对边AD、BC的中点，且AB＝4厘米，AD＝8厘米，点P是线段BN上的一个动点，且不与端点B、N重合，把四边形ABPM沿直线MP 折叠，点A、B落在A′、B′处，当△A′NC是等腰三角形时，线段BP的长为厘米．三、解答题：（共8大题，满分75分）16．先化简，再求值：（﹣x+y ）÷，其中y＝﹣4，x的值从64的平方根或立方根中选取一个合适的数．17．今年3月中旬，我校对九年级全体学生进行了中招体考模拟测试，并从甲、乙两班中各随机抽取20名学生成绩进行整理分析，下面给出了部分信息：甲班20名学生体育成绩：33，35，36，39，40，41，42，43，44，45，45，46，47，47，48，48，48，49，50，50．乙班20名学生体育成绩中得分大于等于40且小于45的数据是：40，43，41，44，42，41．（一）整理数据：按如下分段整理样本数据并绘制表格：30≤x＜3535≤x＜4040≤x＜4545≤x≤50体育测试成绩x（分）等级D C B A甲班人数13a c乙班人数2b6d （二）分析数据：甲、乙两班被抽取学生体育成绩统计表：平均数中位数众数方差甲班43.845.5n24.85乙班42.5m4522.34（三）描述数据：甲、乙班被抽取学生体育成绩扇形统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝，m＝；（2）求甲班学生体育测试成绩的众数n的值，并说出这个数据的实际意义．（3）学校九年级学生共1200人，估计全年级体育成绩优秀（x≥45）的学生人数是多少？18．张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm，EH＝38cm，求EC的长（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝，≈1.73）19．第39届“中国洛阳牡丹文化节”期间，某工艺品商店促销大小两种牡丹瓷盘，发布如下信息：※每个大盘的批发价比每个小盘多120元；※※一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘；※※※每套组合瓷盘的批发价为320元.根据以上信息：（1）求每个大盘与每个小盘的批发价；（2）若该商户购进小盘的数量是大盘数量的5倍还多18个，并且大盘和小盘的总数不超过320个，该商户计划将一半的大盘成套销售，每套500元，其余按每个大盘300元，每个小盘80元零售．设该商户购进大盘x个．①试用含x的关系式表示出该商户计划获取的销售额；②请帮助他设计一种获取销售额最大的方案并求出最大销售额．20．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交边AB于点D，AC切半圆O于点C，点G是上不与点C、D重合的任意一点，连接BG，CD交于点E，连接CG并延长，交AB于点H．（1）求证：＝；（2）①若AC＝4，且点G是的中点，则DE的长为；②当四边形CODG是菱形时，则∠GBD＝．21．抛物线y＝ax2+bx+3顶点为点D（1，4），与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P 是抛物线对称轴上的一个动点．（1）求a和b的值；（2）是否存在点P，使得以P、D、B为顶点的三角形中有两个内角的和等于45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．22．小凡同学在学习圆的知识中遇到以下问题：如图①，点P是⊙O的弦AB上的一点，且AP＝4cm，BP＝2cm，直径MN经过点P，点C 是上一动点，圆的另一条弦CD经过点P，连接BD，当△BPD是等腰三角形时，求线段PC的长度．小凡发现本题很难用推理计算的方法解决，于是尝试利用构造函数的思路进行探究，请将下面的探究过程补充完整：（1）线段BP＝2cm，而线段BD、PD的长度和点C的位置有关．现根据点C 在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段PC、PD、BD的长度，得到下表的几组对应值．1234567891011位置编号PC/cm 2.00 2.33 2.50 2.75 3.00 3.33 3.50 3.75 4.00 4.39 4.52 PD/cm 4.00 3.44 3.20 2.91a 2.40 2.29 2.13b 2.10 1.79 BD/cm 6.00 5.40 5.12 4.48 4.25 3.78 3.52 3.18 2.82 2.25 1.62操作中发现：①考虑测量有一定误差，发现线段PC、PD的长度满足一定规律，根据这种规律，可知上表中a、b的值是：a＝，b＝．②写出①中线段PC、PD长度所满足规律的具体内容，并简要说明理由．（2）将线段PC的长度作为自变量x，BP和BD的长度都是x的函数，分别记为y BP和y BD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y BP的图象，如图②所示．请在同一个坐标系画出函数y BD的图象；（3）根据解决问题的需要，继续在同一坐标系中画出所需要的图象，请结合图象直接写出：当△BPD为等腰三角形时，线段PC长度的近似值．（结果保留一位小数）23．（1）问题提出：如图①，在矩形ABCD中，AB＝AD，点E为边BC上一点，连接AE，过点E作对角线AC的垂线，垂足为F，点M为AE的中点，连接MB、MF、BF．可知△MBF的形状为．（2）深入探究：如图②，将△CEF在平面内绕点C顺时针旋转，请判断△MBF的形状是否变化，并说明理由；（提示：延长EF到E′，使E′F＝EF，延长AB到A′，使A′B＝AB，连接CE′，AE′，A′E，构造全等三角形进行证明）．（3）拓展延伸：如果AD＝3，CE＝2，在△CEF旋转过程中，当点A，E，F在同一条直线上时，请直接写出MF的长．参考答案一、选择题（每题3分，满分30分）1．下列各数中，绝对值为的数是（）A．B．﹣C．﹣1D．﹣1【分析】根据绝对值的定义解决此题．解：A．根据绝对值的定义，，那么A不符合题意．B．根据绝对值的定义，，那么B不符合题意．C．根据绝对值的定义，，那么C不符合题意．D．根据绝对值的定义，，那么D符合题意．故选：D．2．2021年2月19日9：00时，我国首枚火星探测器“天问一号”距离地球2.05亿千米，其中2.05亿千米用科学记数法表示为（）A．2.05×108米B．2.05×1011米C．20.5×1010米D．20.5×1011米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．解：2.05亿千米＝205000000千米＝205000000000米＝2.05×1011米．故选：B．3．如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数是（）A．65°B．60°C．55°D．75°【分析】首先证明a∥b，推出∠4＝∠5，求出∠5即可．解：∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠4＝∠5，∵∠5＝180°﹣∠3＝55°，∴∠4＝55°，故选：C．4．下面运算结果为a6（a≠0）的是（）A．a3+a3B．a8÷a2C．a2•a3D．（﹣a2）3【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．解：A、a3+a3＝2a3，故A不符合题意；B、a8÷a2＝a6，故B符合题意；C、a2•a3＝a5，故C不符合题意；D、（﹣a2）3＝﹣a6，故D不符合题意；故选：B．5．小军为了解同学们的课余生活，设计了如下的调查问卷（不完整）：他准备在“①看课外书，②体育活动，③看电视，④踢足球，⑤看小说”中选取三个作为该问题的备选答案，选取合理的是（）A．①②③B．①④⑤C．②③④D．②④⑤【分析】利用调查问卷内容要全面且不能重复，进而得出答案．解：∵看课外书包含看小说，体育活动包含踢足球，∴④⑤的选项重复，故选取合理的是①②③．故选：A．6．如图，在有序号的方格中选出一个画出阴影，使它们与图中五个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的展开图，正确的选法是（）A．只有②B．只有①④C．只有①②④D．①②③④都正确【分析】直接利用正方体的平面展开图的特点得出答案．解：选出一个画出阴影，使它们与图中五个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的展开图，正确的选法是：②．故选：A．7．对于一元二次方程x2﹣5x+c＝0来说，当c＝时，方程有两个相等的实数根，若将c 的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根【分析】根据根的判别式即可求出答案．解：由题意可知：Δ＝25﹣4c，当c＜时，∴25﹣4c＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：C．8．公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解的方法：先构造边长为x正方形ABCD，再分别以BC，CD为边作另一边长为5的长方形，最后得到四边形AIFH是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列哪个一元二次方程（）的解．A．x2+10x＝25B．x2+10x＝64C．x2+10x＝39D．x2+10x＝99【分析】根据正方形的面积得出方程，再整理即可．解：∵四边形AIFH是面积为64的正方形，∴（x+5）2＝64，整理得：x2+10x＝39，故选：C．9．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣1﹣2012…y＝…t m22n…ax2+bx+c且当x ＝﹣时，与其对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＜0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③a ＜﹣；④m+n ＞﹣，其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】当x＝0时，c＝2，当x＝1时，a+b＝0，即可判断①；x ＝是对称轴，x＝﹣2时y＝m，则x＝3时，y＝m，故﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝m的两个根，即可判断②；由a＝﹣b，可知y＝ax2﹣ax+2，由x ＝﹣时，y＜0，即可判断③；m+n＝8a+4，即可得到m+n ＜﹣，即可判断④．解：当x＝0时，c＝2，当x＝1时，a+b+2＝2，∴a+b＝0，a＝﹣b，∴abc＜0，①正确；∵x＝是对称轴，x＝﹣2时y＝m，则x＝3时，y＝m，∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝m的两个根；②错误；∵a＝﹣b，∴y＝ax2﹣ax+2，∵x＝﹣时，y＜0，则a×（﹣2++2＜0，∴a＜﹣2，∴a＜﹣，③正确；当x＝﹣2时，y＝m，则a（﹣2）2+2a+2＝m，m＝6a+2，当x＝2时，y＝n，则a×（2）2+（﹣2）a+2＝n，n＝2a+2，∴m+n＝8a+4，∴a＝，又∵a＜﹣，∴＜﹣，∴m+n＜﹣，④错误；故选：C．10．如图，在正方形ABCD中，顶点A（﹣5，0），C（5，10），点F是BC的中点，CD 与y轴交于点E，AF与BE交于点G，将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点G的坐标为（）A．（﹣4，3）B．（﹣3，4）C．（4，﹣3）D．（3，﹣4）【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝10，∠C＝∠ABF＝90°，根据全等三角形的性质得到∠BAF＝∠CBE，根据余角的性质得到∠BGF＝90°，过G作GH⊥AB于H，根据相似三角形的性质得到BH＝2，根据勾股定理得到HG＝3，求得G（3，4），找出规律即可得到结论．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝10，∠C＝∠ABF＝90°，∵点F是BC的中点，CD与y轴交于点E，∴CE＝BF＝5，∴△ABF≌△BCE（SAS），∴∠BAF＝∠CBE，∵∠BAF+∠BFA＝90°，∴∠FBG+∠BFG＝90°，∴∠BGF＝90°，∴BE⊥AF，∵AF＝＝＝5，∴BG＝＝2，过G作GH⊥AB于H，∴∠BHG＝∠AGB＝90°，∵∠HBG＝∠ABG，∴△ABG∽△GBH，∴＝，∴BG2＝BH•AB，∴BH＝＝2，∴HG＝＝4，∴G（3，4），∵将正方形ABCD绕点O顺时针每次旋转90°，∴第一次旋转90°后对应的G点的坐标为（4，﹣3），第二次旋转90°后对应的G点的坐标为（﹣3，﹣4），第三次旋转90°后对应的G点的坐标为（﹣4，3），第四次旋转90°后对应的G点的坐标为（3，4），…，∵2021＝4×505+1，∴每4次一个循环，第2021次旋转结束时，相当于正方形ABCD绕点O顺时针旋转1次，∴第2021次旋转结束时，点G的坐标为（4，﹣3）．故选：C．二、填空题：（每题3分，共15分）11．写一个介于与+1之间的无理数是．【分析】估算，+1，的大小即可得出答案．解：∵1.42＝1.96，1.52＝2.25，∴1.4＜＜1.5，∴2.4＜+1＜2.5，∵22＝4，2.42＝5.76，∴2＜＜2.4，∴介于与+1之间的无理数可以是，故答案为：．12．如图所示，点C位于点A、B之间（不与A、B重合），点C表示1﹣2x，则x的取值范围是﹣＜x＜0．【分析】根据题意列出不等式组，求出解集即可确定出x的范围．解：根据题意得：1＜1﹣2x＜2，解得：﹣＜x＜0，则x的范围是﹣＜x＜0，故答案为：﹣＜x＜013．如图，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是．【分析】列举出所有情况，看指针所指区域内的数字之和为4的情况数占总情况数的多少即可．解：如图，把第一个中“2”平均分成两部分，用树状图表示如下：共有6种情况，和为4的情况数有2种，所以概率为；故答案为．14．如图，扇形OAB的半径OA＝2厘米，圆心角∠AOB＝45°，点C是的中点，点D、E分别是半径OA、OB上的点，且OD＝OE，CD＝CE，CD⊥CE，则图中阴影的面积为（﹣4+2）平方厘米．【分析】如图，连接OC，DE交于点T，在OT上取一点J，使得OJ＝EJ．解直角三角形求出DE，根据S阴＝S扇形AOB﹣S四边形EODC，求解即可．解：如图，连接OC，DE交于点T，在OT上取一点J，使得OJ＝EJ．∵＝，∴∠BOC＝∠COA＝∠AOB＝22.5°，∵OE＝OD，CE＝CF，∴OC垂直平分线段DE，∴ET＝DT，∵∠ECD＝90°，∴CT＝ET＝DT，设CT＝ET＝TD＝xcm，∵EJ＝JO，∴∠EOJ＝∠OEJ＝22.5°，∴∠EJT＝∠EOJ+∠OEJ＝45°，∴ET＝TJ＝DT＝CT＝x（cm），OJ＝EJ＝x（cm），∴2x+x＝2，∴x＝2﹣，∴DE＝（4﹣2）cm，∴S阴＝S扇形AOB﹣S四边形EODC＝﹣×2×（4﹣2）＝（﹣4+2）cm2．故答案为：（﹣4+2）．15．如图，点M、N分别是矩形ABCD的对边AD、BC的中点，且AB＝4厘米，AD＝8厘米，点P是线段BN上的一个动点，且不与端点B、N重合，把四边形ABPM沿直线MP 折叠，点A、B落在A′、B′处，当△A′NC是等腰三角形时，线段BP的长为（4﹣4）或（4﹣）厘米．【分析】由题意可知，A'M＝AM＝AD＝4厘米，CN＝BC＝AD＝4厘米，分三种情况：①当A'C＝CN＝4厘米时；②当A'N＝CN＝MN＝A'M＝4厘米时；③当A'N＝A'C时，分别求解即可．解：∵M、N分别是矩形ABCD的对边AD、BC的中点，把四边形ABPM沿直线MP折叠，点A、B落在A′、B′处，由题意可知，A'M＝AM＝AD＝4厘米，CN＝BC＝AD＝4厘米，①当A'C＝CN＝4厘米时，A'M＝A'C，∵CD＝AB＝MN＝4厘米，四边形MNCD内不可能存在点A’使A'M＝A'C＝4，故舍弃；②当A'N＝CN＝MN＝A'M＝4厘米时，则△A'MN为等边三角形，∴∠A'MA＝90°+60°＝150°，∴∠A'MP＝∠AMP＝75°，连接BM，过P作PQ⊥BM于点Q，∴∠AMB＝45°．∴∠BMP＝75°﹣45°＝30°，∵PQ⊥BM，∠PBM＝45°，∴BQ＝QP，设BQ＝QP＝a厘米，则QM＝a厘米，∴BQ+QM＝BM＝AB，即a+a＝4，∴a＝2﹣2，∴BP＝a＝（4﹣4）厘米；③当A'N＝A'C时，连接A'D，∵A'N＝A'C，∴点A′在NC的垂直平分銭上，∵MD∥CN，∴A'D＝A'M＝AM＝DM，∴△A'DM为等边三角形，∴∠A'MD＝60°，∴∠A'MN＝30°，∠AMA'＝180﹣60°＝120°，由折叠得，A'MP＝∠AMA'＝60°，∴∠NMP＝30°，∴NP＝MN＝厘米，∴BP＝BN﹣NP＝（4﹣）厘米．綜上所述，BP的长为（4﹣4）厘米或（4﹣）厘米．故答案为：（4﹣4）或（4﹣）．三、解答题：（共8大题，满分75分）16．先化简，再求值：（﹣x+y）÷，其中y＝﹣4，x的值从64的平方根或立方根中选取一个合适的数．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取使得原分式有意义的x、y的值代入化简后的式子即可．【解答】解（﹣x+y）÷＝＝＝＝﹣x（x+y）＝﹣x2﹣xy，∵64的平方根是±8，64的立方根是4，∴x的值可以是±8或4，∵y＝﹣4，x+y≠0，x﹣2y≠0，∴x≠4，x≠﹣8，∴x＝8，y＝﹣4时，当x＝8时，原式＝﹣x2﹣xy＝﹣82﹣8×（﹣4）＝﹣64+32＝﹣32．17．今年3月中旬，我校对九年级全体学生进行了中招体考模拟测试，并从甲、乙两班中各随机抽取20名学生成绩进行整理分析，下面给出了部分信息：甲班20名学生体育成绩：33，35，36，39，40，41，42，43，44，45，45，46，47，47，48，48，48，49，50，50．乙班20名学生体育成绩中得分大于等于40且小于45的数据是：40，43，41，44，42，41．（一）整理数据：按如下分段整理样本数据并绘制表格：30≤x＜3535≤x＜4040≤x＜4545≤x≤50体育测试成绩x（分）等级D C B A甲班人数13a c乙班人数2b6d（二）分析数据：甲、乙两班被抽取学生体育成绩统计表：平均数中位数众数方差甲班43.845.5n24.85乙班42.5m4522.34（三）描述数据：甲、乙班被抽取学生体育成绩扇形统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）a＝7，b＝6，m＝41；（2）求甲班学生体育测试成绩的众数n的值，并说出这个数据的实际意义．（3）学校九年级学生共1200人，估计全年级体育成绩优秀（x≥45）的学生人数是多少？【分析】（1）根据表中数据可得a、b、m的值；（2）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，据此判断即可；（3）利用样本估计总体思想求解可得．【解答】（1）甲班成绩在40≤x＜45有：40，41，42，43，44，45，45，共7个，故a ＝7；b＝20×（50%﹣20%）＝6；共有20名学生，处在第10、11位的两个数的平均数为（41+41）÷2＝41，故m＝41；故答案为：7；6；41；（2）因为48出现的次数最多，所以n＝48，说明甲班较多人体育成绩达到48分；（3）根据题意得：甲班体育成绩优秀（x≥45）的学生人数有9人，B班体育成绩优秀（x≥45）的学生人数有20×（50%﹣10%）＝8（人），1200×＝570（人），答：全年级体育成绩优秀（x≥45）的学生人数约570人．18．张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm，EH＝38cm，求EC的长（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝，≈1.73）【分析】过点A作AG⊥EH于G，过点M作MN⊥AG于N，根据正弦的定义求出AN，根据余弦的定义求出MN，再根据正切的定义求出CG，计算即可．解：过点A作AG⊥EH于G，过点M作MN⊥AG于N，如图所示，则四边形MEGN为矩形，∴EG＝MN，NG＝ME＝MD+DE＝6+22＝28（cm），在Rt△AMN中，sin∠AMN＝，cos∠AMN＝，∴AN＝AM×sin37°≈10×＝6（cm），MN＝AM×cos37°≈10×＝8（cm），∴EG＝8cm，AG＝AN+NG＝6+28＝34（cm），∵∠ACG＝60°，∴CG＝＝＝≈19.60（cm），∴EC＝EG+CG＝8+19.60≈27.6（cm），答：EC的长约为27.6cm．19．第39届“中国洛阳牡丹文化节”期间，某工艺品商店促销大小两种牡丹瓷盘，发布如下信息：※每个大盘的批发价比每个小盘多120元；※※一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘；※※※每套组合瓷盘的批发价为320元.根据以上信息：（1）求每个大盘与每个小盘的批发价；（2）若该商户购进小盘的数量是大盘数量的5倍还多18个，并且大盘和小盘的总数不超过320个，该商户计划将一半的大盘成套销售，每套500元，其余按每个大盘300元，每个小盘80元零售．设该商户购进大盘x个．①试用含x的关系式表示出该商户计划获取的销售额；②请帮助他设计一种获取销售额最大的方案并求出最大销售额．【分析】（1）设每个大盘的批发价是a元，则每个小盘的批发价是（a+120）元，然后根据一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘，每套组合瓷盘的批发价为320元，可以列出方程（a+120）+4a＝320，从而可以求得每个大盘与每个小盘的批发价；（2）①设该商户购进大盘x个，则该商户购进小盘的数量是（5x+18）个，销售额为w 元，销售额＝单价乘数量，可以得到w与x的函数关系式；②根据大盘和小盘的总数不超过320个，可以得到关于x的不等式，从而可以求得x的取值范围，注意m为整数，然后根据一次函数的性质，即可解答本题．解：（1）设每个大盘的批发价是a元，则每个小盘的批发价是（a+120）元，（a+120）+4a＝320，解得，a＝40，a+120＝160，答：每个大盘的批发价是160元，每个小盘的批发价是40元；（2）①设该商户购进大盘x个，则该商户购进小盘的数量是（5x+18）个，销售额为w 元，w＝×500+×300+（5x+18﹣4×）×80＝403x+1440，即该商户计划获取的销售额为（403x+1440）元；②x+5x+18≤320，解得，x≤50，∵x为整数，∴x≤50且x为整数，∵w＝403x+1440，∴当x＝50时，w取得最大值，此时w＝20150，5x+18＝268，答：当购买50个大盘，268个小盘时可以获得最大销售额，最大销售额是20150元．20．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交边AB于点D，AC切半圆O于点C，点G是上不与点C、D重合的任意一点，连接BG，CD交于点E，连接CG并延长，交AB于点H．（1）求证：＝；（2）①若AC＝4，且点G是的中点，则DE的长为；②当四边形CODG是菱形时，则∠GBD＝30°．【分析】（1）由BC为直径可知∠BDC＝∠CDH＝90°，再圆周角定理可得∠DBG＝∠DCG，即可证明△BDE∽△CDH，进而可得＝；（2）①连接OD，OG，由切线性质可得∠ACB＝90°，由三角函数可得BC的长度，∠ABC的度数，由G是的中点及圆周角定理可求得∠DBG和∠BCD再根据三角函数即可求出DE的长；②由四边形CODG是菱形，可得DG＝OD，由OD＝OG，得出△ODG是等边三角形，进而可得∠DOG＝60°，再由圆周角定理即可求得∠GBD的度数．【解答】（1）证明：∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴∠CDH＝90°，∵∠DBG＝∠DCG，∴△BDE∽△CDH，∴＝；（2）①如图，连接OD，OG，∵AC切半圆O于点C，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC＝4，∴tan∠ABC＝＝＝，BC＝，∴∠ABC＝60°，∴∠COD＝2∠ABC＝120°，∵G是的中点，∴∠COG＝∠DOG＝60°，∴∠BOD＝60°，∠DBG＝30°，∴∠BCD＝30°，∵∠BDC＝90°，∴BD＝BC•cos∠ABC＝×cos60°＝×＝，∴DE＝BD•tan∠DBG＝×tan30°＝×＝，故答案为：；②如图，连接DG，∵四边形CODG是菱形，∴DG＝OD，∵OD＝OG，∴DG＝OD＝OG，∴△ODG是等边三角形，∴∠DOG＝60°，∴∠GBD＝∠DOG＝30°，故答案为：30°．21．抛物线y＝ax2+bx+3顶点为点D（1，4），与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P 是抛物线对称轴上的一个动点．（1）求a和b的值；（2）是否存在点P，使得以P、D、B为顶点的三角形中有两个内角的和等于45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）令x＝0可得C的坐标，根据顶点坐标（1，4）设抛物线的解析式为：y ＝a（x﹣1）2+4，把C（0，3）代入可得结论；（2）分两种情况：①P在x轴上方时，如图1，∠PDB+∠DBP＝45°，根据等腰直角三角形的性质可得点P的坐标；②当P在x轴的下方时，如图2，∠BDP+∠BPD＝45°，证明△BDF∽△PDB，列比例式可得结论．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3，∴C（0，3），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，把C（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，∴b＝2；（2）存在，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，分两种情况：①P在x轴上方时，如图1，∠PDB+∠DBP＝45°，∵∠EPB＝∠PDB+∠DBP＝45°，∠BEP＝90°，∴△BEP是等腰直角三角形，∴BE＝PE＝3﹣1＝2，∴P（1，2）；②当P在x轴的下方时，如图2，∠BDP+∠BPD＝45°，在DE上取一点F，使BE＝EF，连接BF，∵∠BDF+∠DBF＝45°，∴∠DBF＝∠BPD，∴△BDF∽△PDB，∴，即，∴PD＝10，∴EP＝10﹣4＝6，∴P（1，﹣6），综上，点P的坐标为（1，2）或（1，﹣6）．22．小凡同学在学习圆的知识中遇到以下问题：如图①，点P是⊙O的弦AB上的一点，且AP＝4cm，BP＝2cm，直径MN经过点P，点C 是上一动点，圆的另一条弦CD经过点P，连接BD，当△BPD是等腰三角形时，求线段PC的长度．小凡发现本题很难用推理计算的方法解决，于是尝试利用构造函数的思路进行探究，请将下面的探究过程补充完整：（1）线段BP＝2cm，而线段BD、PD的长度和点C的位置有关．现根据点C 在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段PC、PD、BD的长度，得到下表的几组对应值．1234567891011位置编号PC/cm 2.00 2.33 2.50 2.75 3.00 3.33 3.50 3.75 4.00 4.39 4.52 PD/cm 4.00 3.44 3.20 2.91a 2.40 2.29 2.13b 2.10 1.79 BD/cm 6.00 5.40 5.12 4.48 4.25 3.78 3.52 3.18 2.82 2.25 1.62操作中发现：①考虑测量有一定误差，发现线段PC、PD的长度满足一定规律，根据这种规律，可知上表中a、b的值是：a＝ 2.67，b＝2．②写出①中线段PC、PD长度所满足规律的具体内容，并简要说明理由．（2）将线段PC的长度作为自变量x，BP和BD的长度都是x的函数，分别记为y BP和y BD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y BP的图象，如图②所示．请在同一个坐标系画出函数y BD的图象；（3）根据解决问题的需要，继续在同一坐标系中画出所需要的图象，请结合图象直接写出：当△BPD为等腰三角形时，线段PC长度的近似值．（结果保留一位小数）【分析】（1）①根据表格中的数据，推测PC•PD≈8，进而即可求解；②连接AC，先证明△BDP∽△CAP，从而可得＝，进而即可得到答案；（2）利用描点法画出y BD的图象即可；（3）在同一个坐标系中画出y PD＝的图象，观察三个函数的交点的横坐标，即可得到答案．解：（1）①∵当PC＝2.00cm，PD＝4.00cm时，则PC•PD＝8；当PC＝2.33cm，PD＝3.44cm时，则PC•PD＝8，∴推测PC•PD＝8，∴当PC＝3.00cm时，PD＝≈2.67cm，当PC＝4cm时，PD＝2cm，即a＝2.67，b＝2，故答案为：2.67，2；②PC•PD＝8，理由如下：连接AC，∵∠ACP＝∠BDP，∠CAP＝∠BDP，∴△BDP∽△CAP，∴＝，即CP•DP＝AP•BP＝2×4＝8；（2）函数y BD图象如下：（3）由PC•PD＝8，可得y PD＝，在同一坐标系中画出y PD＝的图象，若△BPD为等腰三角形，BP＝DP时，PC＝x＝4，若△BPD为等腰三角形，BP＝BD时，PC＝x≈4.4，若△BPD为等腰三角形，DP＝BD时，PC＝x≈4.5．23．（1）问题提出：如图①，在矩形ABCD中，AB＝AD，点E为边BC上一点，连接AE，过点E作对角线AC的垂线，垂足为F，点M为AE的中点，连接MB、MF、BF．可知△MBF的形状为等边三角形．（2）深入探究：如图②，将△CEF在平面内绕点C顺时针旋转，请判断△MBF的形状是否变化，并说明理由；（提示：延长EF到E′，使E′F＝EF，延长AB到A′，使A′B＝AB，连接CE′，AE′，A′E，构造全等三角形进行证明）．（3）拓展延伸：如果AD＝3，CE＝2，在△CEF旋转过程中，当点A，E，F在同一条直线上时，请直接写出MF的长．【分析】（1）由锐角三角函数可求∠BAC＝30°，由直角三角形的性质可得MB＝AM＝ME，MF＝AM＝ME，可得MF＝MB，∠MAF＝∠MFA，∠MAB＝∠MBA，由外角的性质可得∠BMF＝60°，可求解；（2）由“SAS”可证△A'CE≌△ACE'，可得A'E＝AE'，∠CAE'＝∠CA'E，由三角形中位线定理可证MF＝MB，∠EMF＝∠EAE'，∠AMB＝∠AEA'，可得结论；（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质和勾股定理的可求解．解：（1）△MBF是等边三角形，理由如下，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∴tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝30°，∵点M为AE的中点，EF⊥AC，∠ABC＝90°，∴MB＝AM＝ME，MF＝AM＝ME，∴MF＝MB，∠MAF＝∠MFA，∠MAB＝∠MBA，∴∠BMF＝∠BME+∠FME＝2∠MAF+2∠MAB＝2∠BAC＝60°，∴△MBF是等边三角形；（2）△MBF的形状没有变化，理由如下：如图2，延长EF到E′，使E′F＝EF，延长AB到A′，使A′B＝AB，连接CE′，AE′，A′E，A'C，如图①，∵∠BAC+∠AFE+∠ABE+∠BEF＝360°，∴∠BEF＝150°，∴∠CEF＝∠BAC＝30°，如图②，∵E′F＝EF，∠CFE＝90°，∴EC＝CE'，∴∠CEE'＝∠CE'E＝30°，∴∠ECE'＝120°，同理可得AC＝A'C，∠ACA'＝120°，∴∠ACA'＝∠ECE'，∴∠ECA'＝∠E'CA，∴△A'CE≌△ACE'（SAS），∴A'E＝AE'，∠CAE'＝∠CA'E，∵点M是AE的中点，E′F＝EF，A′B＝AB，∴AE'＝2MF，AE'∥MF，A'E＝2MB，MB∥A'E，∴MF＝MB，∠EMF＝∠EAE'，∠AMB＝∠AEA'，∵∠EAE'+∠AEA'＝180°﹣∠AA'E﹣∠E'AA'＝180°﹣（∠AA'C+∠EA'C+∠E'AA'）＝180°﹣（∠AA'C+∠CAE'+∠E'AA'）＝180°﹣（30°+30°）＝120°，∴∠EMF+∠AMB＝120°，∴∠FMB＝60°，∴△BMF是等边三角形；（3）如图③，当点E在线段AF上时，如图①中，∵AD＝BC＝3，CE＝2，∠BAC＝∠CEF＝30°，∠ABC＝∠CFE＝90°，∴AC＝6，CF＝1，EF＝，如图③∵AF＝＝＝，∴AE＝﹣，∵点M是AE的中点，∴ME＝，∴MF＝ME+EF＝；当点F在线段AE上时，同理可求AF＝，∴AE＝+，∵点M是AE的中点，∴ME＝，∴MF＝ME﹣EF＝；综上所述：MF＝或．。
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河南省洛阳市2021年数学中考一模试卷（II）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分） (2019七上·咸阳月考) 下列说法不正确的是（）
A . 最小的整数是0
B . 最小的非负整数是0
C . 相反数是它本身的数是0
D . 任何数的绝对值都不小于0
2. （2分）一个多项式的平方是a2+12a+m,则m=（）
A . 6
B . -6
C . -36
D . 36
3. （2分）由几个相同的小正方体组成了一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体可能为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2016·海拉尔模拟) 一组数据：2，4，5，6，x的平均数是4，则这组数的方差是（）
A .
B . 2
C . 10
D .
5. （2分） A，B，C，D四个村庄之间的道路如图，从A去D有以下四条路线可走，其中路程最短的是（）
A . A→B→C→D
B . A→C→D
C . A→E→D
D . A→B→D
6. （2分）(2017·满洲里模拟) 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）
A . （S、S、S）
B . （S、A、S）
C . （A、S、A）
D . （A、A、S)
7. （2分）某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套，现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2015七上·重庆期末) 生物课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题组成员把他们分别标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录，这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（依次被标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象的记录），那么标号为1000的微生物会出现在（）
A . 第7天
B . 第8天
C . 第9天
D . 第10天
9. （2分） (2019九上·伊通期末) 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ax ＞0；②2a+b＞0；③abc＜0；④4a﹣2b+c＜0；⑤a+b+c＞0．其中正确的个数是（）
A . 2个
B . 3个
C . 4个
D . 5个
10. （2分） (2017九上·宁波期中) 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；
④DP2=PH•PC
其中正确的是（）
A . ①②③④
B . ②③
C . ①②④
D . ①③④
二、填空题 (共6题；共6分)
11. （1分） (2015七上·龙岗期末) 根据龙岗城市发展建设需要，政府计划增加固定资产投资152亿元，确保项目更新得到落实，152亿元用科学记数法表示为________元．
12. （1分）(2018·鄂州) 下列几个命题中正确的个数为________个.
①“掷一枚均匀骰子，朝上点数为负”为必然事件（骰子上各面点数依次为1，2，3，4， 5，6）.②5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们平均分为95，众数为92.③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中乙较甲更稳定.④某部门15名员工个人年创利润统计表如下，其中有一栏被污渍弄脏看不清楚数据，所以对于“该部门员
个人年创利润/万元10853
员工人数134工个人年创利润的中位数为5万元”的说法无法判断对错.
13. （1分） (2016九上·余杭期中) 已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为________．
14. （1分）已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是________．
15. （1分）(2019·嘉定模拟) 如图，点的坐标为，动点从点出发，沿轴以每秒个单位的速度向上移动，且过点的直线也随之移动，如果点关于的对称点落在坐标轴上，没点的移动时间为，那么的值可以是________.
16. （1分）某班级共48人，春游时到湖州太湖山庄划船，每只小船坐3人，租金16元，每只大船坐5人，租金24元，则该班至少要花租金________ 元．
三、解答题 (共9题；共110分)
17. （20分）计算：
（1）×（﹣）
（2）﹣
（3）（﹣）2015（ + ）2016﹣
（4）÷ + ﹣15 ．
18. （5分）（1）先化简，再求值：（x+2）2+x（2﹣x），其中x=．
（2）解分式方程：．
19. （10分）如图,在平面网格中每个小正方形的边长为1.
（1）线段CD是线段AB经过怎样的平移后得到的？
（2）线段AC是线段BD经过怎样的平移后得到的？
20. （5分）(2016·潍坊) 如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）
21. （15分）(2019·越秀模拟) 甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如下：
甲：9，10，8，5，7，8，10，8，8，7；
乙：5，7，8，7，8，9，7，9，10，10；
丙：7，6，8，5，4，7，6，3，9，5.
（1）根据以上数据完成下表：
（2）依据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由；
（3）比赛时三人依次出场，顺序由抽签方式决定.求甲、乙相邻出场的概率.
22. （10分）(2017·毕节) 如图，已知⊙O的直径CD=6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，过A点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求AE的长．
23. （15分）(2018·寮步模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A(1,0),B(3,0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件，求的值.
24. （15分）(2019·伊春) 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，、的长分别是一元二次方程的两个根，，边交轴于点，动点以每秒个单位长度的速度，从点出发沿折线段向点运动，运动的时间为秒，设与矩形重叠部分的面积为．
（1）求点的坐标；
（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点的运动过程中，是否存在，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25. （15分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，连接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点.试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共6题；共6分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共9题；共110分)
17-1、
17-2、
17-3、
17-4、
18-1、
19-1、
19-2、
20-1、
21-1、
21-2、
21-3、
22-1、
22-2、23-1、
23-2、23-3、24-1、
24-2、
24-3、25-1、
25-2、。