2018届人教B版(理) 数列、不等式 单元检测

数列、不等式一、选择题1．【2017安徽阜阳二模】等差数列{}n a 前项和为n S ，75324,5S S a -==，则7S =（） A. 25 B. 49 C. 15 D. 40 【答案】B【解析】由题意得7373-52424549S a S a =⇒=+=，选B.2．【2017安徽马鞍山二模】设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53m 【答案】C3．【2017湖南娄底二模】已知数列{}n a 是首项为1，公差为d （*N d ∈）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d 不可能是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B【解析】由题设，()11n a n d =+-，81是该数列中的一项，即()8111n d =+-，所以801n d=+，因为*,d n N ∈，所以d 是80的因数，故d 不可能是3，选B. 4．【2017安徽合肥二模】等差数列{}n a 的前项和为n S ，且36S =，63S =，则10S =（） A.110B. C. 10- D. 15- 【答案】D【解析】因为数列是等差数列，634563s s a a a -=++=-，1236a a a ++=，所以3339d d d ++=-，1d =-，又1336a d +=，13a =，10110910152s a d ⨯=+⋅=-，故选D ．5．【2017安徽淮北二模】如图，Rt ABC ∆中，P 是斜边BC 上一点，且满足：12BP PC =,点,M N 在过点P 的直线上，若,AM AB AN AC λμ==,(,0)λμ>,则2λμ+的最小值为（） A. 2 B. 83 C. 3 D. 103【答案】B点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定” (不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.6．【2017山西三区八校二模】为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ∠=︒，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC 最短为（）A. 1⎛+ ⎝米B.米C. (1+米D. (2+米 【答案】D【解析】由题意设(1)BC x x =>米，(0)AC t t =>米，依题设0.50.5AB AC t =-=-米，在ABC 中，由余弦定理得：22202cos60AB AC BC ACBC =+-，即()2220.5t t x tx -=+-，化简并整理得：20.25(1)1x t x x -=>-，即0.75121t x x =-++-，因1x >，故0.751221t x x =-++≥+-1x =+时取等号），此时取最小值2+D 。

7．【2017安徽合肥二模】对函数()f x ，如果存在00x ≠使得()()00f x f x =--，则称()()0,x f x 与()()0,x f x --为函数图像的一组奇对称点.若()xf x ea =-（为自然数的底数）存在奇对称点，则实数的取值范围是（）A. (),1-∞B. ()1,+∞C. (),e +∞D. [)1,+∞ 【答案】B8．【2017安徽阜阳二模】不等式360x y +-≤所对应的平面区域的面积为（） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B【解析】不等式360x y +-≤所对应的平面区域为一个菱形及其内部，对角线长分别为12,4，所以面积为112424.2⨯⨯=选B.9．【2017广东佛山二模】已知实数，y 满足0{2x x yx y ≥≤+≥，则2z x y =+的最小值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()0,2处取得最小值为.10．【2017湖南娄底二模】记不等式组10{33010x y x y x y -+≥--≤+-≥所表示的平面区域为D ，若对任意()00,x y D ∈，不等式0020x y c -+≤恒成立，则的取值范围是（）A. (],4-∞B. (],2-∞C. []1,4-D. (],1-∞- 【答案】D【解析】根据平面区域D ，易知当()()00,1,0x y =时00(2)1max x y c c -+=+，由题设得10c +≤，所以1c ≤-，故选D.11．【2017江西4月质检】不等式组20{10220x y x y -≤-≤+-≥表示的平面区域的面积是（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A【解析】作出不等式组20{10220x y x y -≤-≤+-≥表示的区域是两直角边分别为2,1的直角三角形，面积12112S =⨯⨯=,故选A. 12．【2017福建4月质检】若,x y 满足约束条件20{20220x y x y x y +-≥--≤--≥，则2z x y =+的最小值为（）A. -4B. 2C. 83D. 4 【答案】B点睛：要注意画图，切记不可直接求交点坐标往目标函数代入求解13．【2017安徽合肥二模】已知变量，y 满足约束条件2{41x y x y y -≥+≤≥-，则目标函数2z x y =-的最小值为（）A. 1-B.C.D. 【答案】B【解析】作出可行域如图：根据图形，当目标函数过点()3,1时，有最小值321z =-=，故选B ．二、填空题14．【2017安徽阜阳二模】等比数列{}n a 中，1473692,18a a a a a a ++=++=，则{}n a 的前项和9S =__________． 【答案】1426或点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 15．【2017安徽马鞍山二模】如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为____．【答案】12【方法点睛】本题考查等差数列的通项、整数解问题以及归纳推理，属于难题.本题根据每行每列都成等差数列，先从第一行入手求出第一行数组成的数列()11,2...j A j =的通项公式，再把第一行的输当成首项，再次根据等差数列这一性质求出第数列组成的数列()1,2...ij A i ==，最后根据整数解方程的解法列举出所有解即可.16．【2017重庆二诊】已知数列{}n a 的前项和为n S ，若11a =，2n n a n a =-，211n n a a +=+，则100S =__________．（用数字作答） 【答案】1306【解析】由题设可得2211n n a a n ++=+，取1,2,3,,49n =⋅⋅⋅可得23456798992,3,4,,50a a a a a a a a +=+=+=⋅⋅⋅+=，将以上49个等式两边分别相加可得23456798992504912742a a a a a a a a +++++++⋅⋅⋅++=⨯=；又3163126251250251005012,31,65,16,2519,5031a a a a a a a a a a a a =+==-==-==+==-==-=，所以10011274311306S =++=，应填答案1306。

点睛：解答本题的关键是依据题设中的数列递推式，先求出23456798991274a a a a a a a a ++++++⋅⋅⋅++=，再依次求出3163126251250251005012,31,65,16,2519,5031a a a a a a a a a a a a =+==-==-==+==-==-=从而使得问题获解。

17．【2017湖南娄底二模】已知各项都为整数的数列{}n a 中，12a =，且对任意的*N n ∈，满足1122n n n a a +-<+，2n n a a +-321n >⨯-，则2017a =__________． 【答案】2017218．【2017福建4月质检】用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是__________． 【答案】6【解析】设正三棱柱的底边长为，高为y,则6312x y +=，由基本不等式可得6312236x y xy xy +=≥⇒≤⇒≤故三棱柱的侧面积最大值为6点睛：对于小题的最值问题首先要想到基本不等式，然后写出表达式求解即可三、解答题19．【2017广东佛山二模】已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=+，数列{}n b 的前项和为n S ，且2n n S b =-.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前项和n T .【答案】（Ⅰ）21n a n =-,112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭,（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【解析】试题分析：（I ）由已知可知n a 为等差数列，由此得到n a 的通项公式，利用11{n n n S b S S -=-可求得n b 的通项公式；（II ）由于n c 是等差数列乘以等比数列，故用错位相减求和法求n T 的值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1212n n n n n c a b --==，则 011322n T =++2152122n n --++ ①12n T =121322+++ 1232122n n n n ---+ ② ①-②得01112222n T =++222++ 122122n nn ---1112=+++212122n n n --+-= 11121211212n n n ---+--2332nn +=- 所以12362n n n T -+=-20．【2017安徽马鞍山二模】已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，23a =，且3a ，5a ，8a 成等比数列．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设cos2nn n a b a π=，求数列{}n b 的前2017项和．【答案】(Ⅰ) 1n a n =+ (Ⅱ) 1010.-【解析】试题分析：(Ⅰ)等差数列{}n a 的公差为d ，根据提议列出关于首项1a 和公差d 的方程组，解方程组即可得到结果；(Ⅱ)根据数列{}n b 每相邻四项的和为常数，可得数列{}n b 的前2017项和.试题解析：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知，()()1111211538332{{{(271a a d a d a a d a d a a a d +=+==⇒⇒=++==，所以1n a n =+； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，()()1cos1cos 22n n n n a b a n ππ+==+，所以数列{}n b 的前2017项和为 ()()123420132014201520162017b b b b b b b b b +++++++++ 50422018=⨯-1010.=-21．【2017河北唐山二模】数列{}n a 的前项和为n S ，()21n n n S a =-，且11a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前项和n T ．【答案】（Ⅰ）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭;（Ⅱ）1242n n n T -+=-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）对已知等式()21n n n S a =-利用1n n n S S a --=化简整理得()1122n n a n a -=≥，进而可推断出数列{}n a 是一个以1为首项，12为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求得答案；（Ⅱ）利用错位相减法求结果.试题解析：（Ⅰ）由()21n n n S a =-，可得()11121n n n S a ---=-（2n ≥）， 两式相减，得()()1112121n n n n n n S S a a ----=---，()()112221n n n n a a ---=-，即()1122n n a n a -=≥，故{}n a 是一个以1为首项，12为公比的等比数列， 所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．点睛：本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等. 22．【2017安徽淮北二模】已知数列{}n b 是等比数列，12n a n b -=且132,4a a ==.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和n S .【答案】（1）见解析（2）332n n n S +=-【解析】试题分析：（1）先由13,b b 求数列{}n b1121122n n n n b b ---===，最后根据12n a n b -=得 数列{}n a 的通项公式；（2）因为122n n n a n +=，所以根据错位相减法求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和n S . 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以1q - 试题解析：（1）设公比为2q，由题意得：111112222n n n n a a a q n a n b b ++--+-===，即1n n a a q +-= 所以{}n a 为A P ⋅,又3112a a d -==，12a = 所以*1,n a n n N =+∈ （2）由（1）得122n n n a n += 由错位相减法或裂项相消法求得332n n n S +=-23．【2017福建4月质检】已知数列{}n a 的前项和21n n S a =-.{}n b 是公差不为0的等差数列，其前三项和为3，且3b 是25,b b 的等比中项. （1）求,n n a b ；（2）若()112222n n a b a b a b n t +++≥-+ ，求实数的取值范围. 【答案】（1）1n b n =-（2）[]2,8（2）由（1），可知，12,1n n n a b n -==-，从而()112n n n a b n -=-⨯，令1122n n n T a b a b a b =+++ ， 即()()122112222212n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，③×2，得()()231212222212n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，④-④，得()231222212n n n T n --=++++--⨯()()221222212n n n n n -=--⨯=--⨯--， 即()2?22nn T n =-+， 故题设不等式可化为()()2?22nn n t -≥-，（*）当1n =时，不等式（*）可化为2t -≥-，解得2t ≥； 当2n =时，不等式（*）可化为00≥，此时t R ∈；当3n ≥时，不等式（*）可化为2n t ≤，因为数列{}2n 是递增数列，所以8t ≤， 综上，的取值范围是[]2,8.点睛：考察数列求通项的方及等差数列的性质，要多总结数列的求通项的题型，同时数列求和在考试中主要以裂项相消和错位相减两种方法为主，要熟练掌握。