2011届高三数学《考前指导》3不等式、数列

2011届高三数学《考前指导》
专题三 不等式、数列（5月26日）
（本专题内容来自必修5）
一、知识归纳
不等式部分1、比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法 ；(8)图象法。

2、常用不等式：若0,>b a ，（1
211a b +≥≥≥
+（当且仅当b a =时取等号） ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等
号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题） 3、基本不等式的应用①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大。

常用的方法为：拆、凑、平方； 数列部分1、数列前n 项和S n 与第n 项a a
的关系： S 1 (n =1)
a n = S n -S n-1 (n ≥2)
2、等差数列的主要性质：
已知{a n },{b n }为等差数列，则：
①{ka n },{a n }+{b n },{ka n +b},(k,b 为常数)等仍成等差数列； ②a n =a m +(n-m)d (m,n ∈N +)； ③2a n =a n-m +a n+m ; ④如果m+n=p+q ，则a m +a n =a p +a q ;
⑤如果S n 为{a n }的前n 项和，则S n ,S 2n –S n, S 3n -S 2n 成等差数列.
⑥在等差数列{a n }中，
若项数为2n,则S 偶-S 奇=nd, S 奇/S 偶 = a n /a n+1 ;
若项数为2n-1,则S 奇=na n , S 偶 =(n-1)a n ,S 2n-1 =(2n-1)a n ,即a n =S 2n-1/2n-1
3、等比数列的主要性质：
已知{a n },{b n }为等比数列，则：
①{ka n },{a n k },{a n b n },(k ≠0,k 为常数)等仍成等比数列； ②a n =a m ·q n-m (m,n ∈N +)； ③a n 2=a n-m ·a n+m ; ④如果m+n=p+q ，则a m ·a n =a p ·a q ;
⑤如果S n 为{a n }的前n 项和，则S n ,S 2n –S n, S 3n -S 2n 成等比数列.
⑥在等比数列{a n }中，n 为偶数时，S 偶/S 奇=q,n 为奇数时，(S 奇-a 1)/S 偶 = q. ⑦特别注意等比数列的前n 项和公式及推导方法(错位相减)的应用.
na 1 (q=1)
S n = [a 1(1-q n )]/(1-q)(q ≠1)
4、能用等差、等比数列的定义进行解题。

掌握等差、等比数列的通项公式，求和公式的推导方法。

（叠加、叠乘法、倒序相加法、错位相减法、裂项法等）
（本专题C 级要求包括：两角和差正余弦、正切公式、平面向量数量积、等差数列、等比数列）
本专题C 级要求包括：一元二次不等式、基本不等式；等差数列、等比数列
二、考题剖析
例1.已知函数b kx x f +=)(的图象与y x ,轴分别相交于点A 、B ，22+=（,分别是与y x ,轴正半轴同方向的单位向量），函数6)(2--=x x x g .
（1）求b k ,的值；（2）当x 满足)()(x g x f >时，求函数
)
(1)(x f x g +的最小值. 考题重温：常州一模T6 南京三模T11
例2.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(A 、B 孔的面积忽略不计)
例3.已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为Sn ，且34117a a ⋅=，2522a a +=
（1）求通项n a ；
（2）若数列{}n b 是等差数列，且n n S b n c
=+，求非零常数c ； （3）求1
36n n b f n n b +=+（）（） n N +∈ 的最大值 考题重温：南京三模T10 常州一模T11 市统测一模T17、二模T19、三模T19
三、热身冲刺
1．已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和n S ，且满足：6542=⋅a a ，1851=+a a ．
（1）求数列}{n a 的通项公式n a ；
（2）若121i <<,211,,a a a i 是某等比数列的连续三项，求i 值；
（3）是否存在常数k ，
使得数列为等差数列，若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由.
2.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}n
S 是公差为d 的等差数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）； （2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立。

求证：c 的最大值为2
9。

四、回归课本
必修5 P38 11 P42 例5 P44
习题12 P50 习题10 P52 例5 P60 复习题8 P78 例1 P88 例2 P89 例2 P94 复习题13。