数学建模-教堂顶部曲面面积的计算
曲面的面积与曲率
曲面的面积与曲率作为几何学的重要概念，曲面的面积和曲率在数学和物理学中都有广泛的应用。
面积是描述曲面覆盖的大小，而曲率则描述曲面局部的弯曲程度。
本文将从理论和实际应用两个方面来探讨曲面的面积与曲率之间的关系。
一、曲面的面积曲面的面积是指曲面所覆盖的平面区域的大小。
对于平面曲面，我们可以使用常规的计算面积的方法来求解，例如利用直角坐标系下的积分来计算二维平面上的曲线所围成的面积。
然而，对于非平面曲面，例如球面、圆柱面等，计算面积就相对复杂了。
在数学中，我们常常使用参数化的方法来描述曲面。
以球面为例，可以使用球面坐标系来给出球面上每个点的坐标。
然后，通过计算曲面上相邻两点间的距离，再将其累加，即可得到曲面的面积。
这种参数化方法不仅适用于球面，还适用于其他各种曲面。
除了数学领域，曲面的面积在物理学和工程学等应用领域也有着广泛的应用。
例如在工程设计中，计算曲面的面积可以帮助工程师评估材料的使用量，从而进行成本估算。
在物理学中，曲面面积的计算往往与能量、电荷分布等物理量的计算相联系。
二、曲面的曲率曲率是描述曲面局部弯曲程度的量度。
具体而言，曲率可以分为两种，分别是高斯曲率和平均曲率。
高斯曲率是刻画曲面弯曲与平坦程度的量。
如果一个曲面具有正的高斯曲率，说明曲面在该点处向内弯曲，如球面；如果一个曲面具有负的高斯曲率，说明曲面在该点处向外弯曲，如双曲面；如果一个曲面的高斯曲率为零，则说明该点处曲面是平坦的，如平面。
平均曲率是描述曲面在该点处整体弯曲程度的量。
与高斯曲率不同，平均曲率包括了曲面上方向变化率的信息，因此可以更全面地描述曲面的形状。
平均曲率可以通过计算曲面上所有点处的法曲率的平均值得到。
其中，法曲率是指曲面上一点处法线方向的曲率。
曲率的计算方法多种多样，可以通过微分几何的方法求解。
通过计算曲率，我们可以了解曲面在不同点处的形状，从而应用到不同领域中。
例如在计算机图形学中，曲率常用于曲面细分、曲面光滑等算法中。
曲面的面积元素
曲面的面积元素介绍曲面是三维空间中的一种几何对象，它由无数个平滑的曲线构成。
曲面的面积元素是用来测量曲面面积的基本单位，它将曲面分割成许多微小的面元，通过求和这些微小的面元的面积来得到整个曲面的面积。
曲面的面积元素定义曲面的面积元素可以看作是无数个微小的面元的集合。
每个面元都是曲面上的一个局部区域，可以近似看作是一个平面。
通过将曲面分割成许多微小的面元，并计算每个面元的面积，我们可以得到整个曲面的面积。
曲面的面积元素计算方法计算曲面的面积元素通常需要使用微积分中的积分概念。
我们可以将曲面看作是一个参数化的二维曲线，通过参数方程描述曲面上的每一点。
利用参数方程，我们可以将曲面分割成许多微小的面元，每个面元都可以表示为一个参数区域上的二重积分。
具体而言，设曲面的参数方程为：S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))其中，u 和 v 是参数，x(u, v)、y(u, v) 和 z(u, v) 分别是曲面上点的笛卡尔坐标。
计算曲面的面积元素步骤如下： 1. 将参数范围分割成多个小区域，得到一组参数区域； 2. 对于每个参数区域，计算该区域上的小面元面积； 3. 将所有小面元的面积求和，得到整个曲面的面积。
曲面的面积元素的应用曲面的面积元素在许多领域中有重要的应用，比如： 1. 工程学：在工程学中，曲面的面积元素可以用来计算物体表面的总面积，从而确定涂料、涂层等材料的用量。
2. 计算机图形学：在计算机图形学中，曲面的面积元素可以用来生成真实感的光照效果，计算表面的反射和折射等属性。
3. 地理学：在地理学中，曲面的面积元素可以用来计算地球表面的面积，从而研究地球的地貌、气候等特征。
曲面的面积元素的挑战与进展曲面的面积元素的计算是一个复杂的过程，需要使用高级数学工具进行分析和求解。
曲面的形状、精度等因素都会对面积元素的计算结果产生影响。
近年来，随着计算机技术的发展，曲面的面积元素的计算变得更加高效和准确，为曲面相关领域的研究提供了有力支持。
bbs.kaoyan.com-关于空间曲面表面积的题型与题法
空间曲面的表面积的题型与解法智 轩一、计算曲面面积的系统解题方法1．如果曲面由显示函数 (), z f x y =给出xyD S =⎰⎰2．如果曲面有参数函数 ()()(), ; , ; , x x u v y y u v z z u v ===给出()()()()()()()()()222222222;;Duu uu uu vv vv vv uv uv uv S E x y z G x y z F x y z ==++=++=++特别地：●对于球面坐标系2sin cos sin sin sin cos x R y R R d d z R θϕθϕθθϕθ=⎧⎪=⇒=⎨⎪=⎩● 若所求曲面S 由极坐标方程(),r r θϕ=决定，则引入球体坐标系()()(),sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r θϕθϕθϕθϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩rd d θϕ⇒=3．对于柱面上的曲面面积一般不使用公式xyD S =⎰⎰而使用第一类曲线积分。
设S 为柱面(),0f x y =上介于曲线弧1l 和2l 之间的曲面片，且()()()()()()121221,,: ; :; ,,,0,0z z x y z z x y l l z x y z x y f x y f x y ==⎧⎧⎪⎪≥⎨⎨==⎪⎪⎩⎩又设柱面(),0f x y =在xoy 平面的准线l 的方程可写成如下参数式()():, , l x x t y y t t αβ==≤≤()()()()()()()()2121,,,,llS z x y dl z x y dl z x t y t z x t y t βα⎡=-=-⎣⎰⎰⎰二、曲面面积的题型与解法【例1】求包括在圆柱面()22222x y a xy +=之内的曲面222x y az +=的侧面面积。
解：对于曲面222x y az +=，= 圆柱面()2222222sin 2x ya xy r a ϕ+=⇒=()()403334202234022214 4 1sin 234 cos sin 3342 203539xzxyxyD D D S dxdy dxdy a d rdra a a d a a a d a a a πππϕϕϕπϕϕϕπ====⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦=+-=⨯-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()3π-【例2】柱面222x y x +=被锥面z =割下部分的曲面面积。
曲面面积的面积公式
曲面面积的面积公式一、旋转曲面的面积公式（以绕x轴旋转为例，人教版高中数学选修内容有涉及相关思想的引导）1. 设曲线y = f(x)在区间[a,b]上光滑（f(x)具有连续导数），将曲线y=f(x)，a≤slant x≤slant b绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积S为：- S = 2π∫_a^by√(1+(y')^2)dx，这里y = f(x)，y'是y = f(x)的导数。
2. 若曲线x = g(y)在区间[c,d]上光滑（g(y)具有连续导数），将曲线x = g(y)，c≤slant y≤slant d绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积S为：- S=2π∫_c^dx√(1+(x')^2)dy，这里x = g(y)，x'是x = g(y)的导数。
二、参数方程表示的曲线旋转所得曲面面积公式（拓展知识）1. 设曲线C的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(t) y = y(t)end{array}right.，α≤slant t≤slantβ，其中x(t),y(t)具有连续导数，且x'^2(t)+y'^2(t)≠0。
- 当曲线C绕x轴旋转一周时，旋转曲面的面积S为：- S = 2π∫_α^βy(t)√(x'^2)(t)+y'^{2(t)}dt。
- 当曲线C绕y轴旋转一周时，旋转曲面的面积S为：- S = 2π∫_α^βx(t)√(x'^2)(t)+y'^{2(t)}dt。
三、一般曲面面积公式（多元微积分内容，大学知识）1. 设曲面z = f(x,y)在xOy平面上的投影区域为D，z = f(x,y)具有连续偏导数z_x 和z_y。
- 则曲面z = f(x,y)的面积A为：- A=∬_D√(1 + z_x)^2+z_{y^2}dxdy。
2. 如果曲面由参数方程<=ft{begin{array}{l}x = x(u,v) y = y(u,v) z = z(u,v)end{array}right.，(u,v)∈ D_uv给出，且(∂(x,y))/(∂(u,v)),(∂(y,z))/(∂(u,v)),(∂(z,x))/(∂(u,v))存在且连续。
曲面的面积
曲面的面积)cos ,cos ,(cos cos γβαγσσ其中该平面的法向量为之间的关系为上的投影的面积平面与该平面图形在一平面图形的面积Sxoy S =1、曲面面积公式设曲面的方程为：),(y x f z =,D xoy 面上的投影区域为在,D d ∈σ设小区域,),(σd y x ∈点.)),(,,(的切平面上过为y x f y x M S ∑.dS dA dA d dS d ≈∑则有，的面积记为对应的曲面上的小部分；的小部分的面积记为对应的切平面σσ如图，σd ),(y x MdAxyzs∑oγ,面上的投影在为xoy dA d σ ,cos γσ⋅=∴dA d ,11cos 22yx z z ++=γ σd z z dA yx 221++=∴,122⎰⎰++=∴Dyxd z z A σ曲面S 的面积元素曲面面积公式为：dxdyz z A xyD y x ⎰⎰++=221.122dzdx y y A zxD x z ⎰⎰++=;122dydz x x A yzD z y ⎰⎰++=同理，有例 求球面2222a z y x =++，含在圆柱体 ax y x =+22内部的那部分面积.2、例题由对称性知14A A =,1D ：axy x ≤+22曲面方程 222y x a z --=,于是()()221yz xz ∂∂∂∂++,222yx a a--=解)0,(≥y x面积dxdyz z A D y x ⎰⎰++=12214⎰⎰--=12224D dxdy yx a a⎰⎰θ-θ=πcos 0220142a rdr ra d a .4222a a -π=。
到曲面S的面积计算公式
y2
zx
, f 2(x) y2
zy
, f 2(x) y2
1
z
2 x
z
2 y
f 2(x) f 2(x) f 2(x)
f 2(x) y2
.
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不妨设 f ( x) 0, x [a,b], 则
b
f (x)
S 2 dx
f 2( x) f 2( x) f 2( x) dy
x,
y
)
dxdy,
(1)
D
或另一形式:
1
S
D
| cos(n, z) |
dx dy.
(2)
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例1 求圆锥 z x2 y2 在圆柱体 x2 y2 x 内 那一部分的面积. 解 据曲面面积公式,
S
1
z
2 x
z
2 y
dxdy,
D
其中 D
是
x2
y2
小曲面片 Si (i 1,2, , n). (2) 在每个 Si 上任取一点 M i , 作曲面在这一点的切
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平面 i , 并在 i 上取出一小块 Ai , 使得 Ai 与 Si 在
x y 平面上的投影都是 i (见图 21-38). 在点 Mi 附
z S : z f (x, y)
E x2 y2 z2 R2 , F 0, G R2 cos2 ,
所以
EG F 2 R2 cos .
由公式(5)即得所求曲面的面积:
S 2 d 2 R2 cos d
教堂顶部曲面面积的计算方法
教堂顶部曲面面积的计算方法(总9页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-教堂顶部曲面面积的计算方法一． 实验目的本试验主要涉及微积分， 通过试验将复习曲面面积的计算、 重积分和Taylor 展开等知识；另外将介绍重积分的数值计算法和取得函数近似解析表达式的摄动方法。
二． 实验内容1.某个阿拉伯国家有一座着名的伊斯兰教堂，它以中央大厅的金色巨大拱形圆顶名震遐迩。
因年久失修，国王下令将教堂顶部重新贴金箔装饰。
据档案记载，大厅的顶部形状为半球面，其半径为30m 。
考虑到可能的损耗和其他技术因素，实际用量将会比教堂顶部面积多％.据此， 国王的财政大臣拨出了可制造 5750m 有规定厚度金箔的黄金。
建筑商人哈桑略通数学，他计算了一下，觉得黄金会有盈余。
于是，他以较低的承包价得到了这项装饰工程，但在施工前的测量中，工程师发现教堂顶部实际上并非是一个精确的半球面而是半椭圆球面， 其半立轴恰是 30 m ， 而半长轴和半短轴分别是和。
写为其中R=30，a= ，b=，而其表面积为这里积分区域D 为通过简单的计算容易得到引进变量代换则教堂顶部曲面面积为()2.1z =dxdy z z s Dy x ⎰⎰++=22112222≤+b y a x 222242242222111b y a x b y R a x R z z y x --++=++θθsin ,cos br y ar x ==abrdr rb a r R d S x ⎰⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=201022222221sin cos 1θθθ（1） 利用数值积分方法，用梯形法和simpson 法两种近似格式计算教堂顶部曲面面积；（2） 利用摄动的方法近似计算教堂顶部曲面面积； （3） 试用数学软件直接计算教堂顶部曲面面积。
2.在俄国沙皇的宫廷宝藏中，有许多复活节蛋，它们大都以金银制作，装饰着或者内藏着各种钻石。
其中有一中较大的金“蛋”，“蛋”壳的外层表面是一个椭球面，其半长轴、半短轴和半立轴分别为 8cm 、 和 5cm 。
曲面的面积
( x, y 0)
曲面方程 z a2 x2 y2 ,
于是
1
z 2
x
ห้องสมุดไป่ตู้
z 2 a ,
y
a2 x2 y2
2
2
面积A 4 1 zx zy dxdy
D1
4D1 aa2
dxdy x2 y2
acos
4a 2 d
1
rdr
0
0
a2 r2
2a2 4a2 .
曲面的面积
1、曲面面积公式
一平面图形的面积S与该平面图形在xoy平面
上的投影的面积之间的关系为 cosS
其中该平面的法向量为(cos,cos,cos)
设曲面的方程为： z f ( x, y)
在 xoy 面上的投影区域为 D,
z
s
如图，设小区域 d D, 点 ( x, y) d,
M dA
为 S 上过 M ( x, y, f ( x, y)) o
的切平面.
x
(x, y) y
d
d对应的切平面的小部分的面积记为 dS d对应的曲面上的小部分的面积记为 dA，
则有dA dS.
d为 dA 在 xoy 面上的投影, d dA cos,
cos
1 1 z2 z2 ,
x
y
dA
1 z2 z2 d
x
y
曲面S的面积元素
A 1 zx2 z2yd,
曲面面积公式为： A
1 z 2 z 2dxdy
x
y
Dxy
同理，有
A
Dyz
A
Dzx
1
x y2
x
2 z
dydz;
2
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cos 2 θ sin 2 θ R2r 2 ( 2 + ) 2 a b 1+ abrdr（*） 1− r2
解题过程
第三步 ：求积分 2 sin 2 θ 2 cos θ ) 若记 µ ＝R ( 2 + 2 ，那么上面累次积分中关 a b 于r的积分可以求出为 1 µ [ln(1 + 1 − µ ) − ln µ ]
1 + α r 2 cos 2 θ + β r 2 sin 2 θ abrdr. 2 1− r
解题过程
对被积函数中
g (α , β ) = 1 + α r 2 cos 2 θ + β r 2 sin 2 θ
关于 α 和 β 展开（可用二元函数的Taylor公式展开 α r 2 cos 2 θ + β r 2 sin 2 θ 看作一个整体来 或者将函数中的 借助一元函数的Taylor公式进行展开），从而可得
∫
1
0
1＋ 1− r2
µr
2
（这里 µ＝1 的情况要对表达式求极限）.注意若将 µ 的表达式代入以上结果得到的是一个极为复杂的 积分式.事实上,这是一个无法最终以初等函数形 式来表达的积分，因此我们必须使用近似方法来 处理它.考虑到这一积分形式相当复杂，我们宁可 直接对原来的积分式（*）来进行处理.
x2 y2 + 2 ≤1 2 a b
解题过程
第二步：化为极坐标 通过简单的计算易得
2 2 1+ zx + zy =
R2x2 R2 y2 + 4 a b4 1+ x2 y2 1− 2 − 2 a b
引进变量代换
x = ar cos θ , y = br sin θ
得到
S = ∫ dθ ∫
0 2π 1 0
1 1 g (α , β ) = 1 + (α r 2 cos 2 θ + β r 2 sin 2 θ ) − (α r 2 cos 2 θ + β r 2 sin 2 θ ) 2 2 2!⋅ 4 3 + (α r 2 cos 2 θ + β r 2 sin 2 θ )3 − L. 3!⋅8
解题过程
解题过程
第一步 ： 建立模型 取椭球面中心为坐标原点建立直角坐标系，则 教堂顶部半椭球面的方程可写为
x2 y2 z = R 1− 2 − 2 a b
，
其中 R = 30, a = 30.6, b = 29.6 ， 而其表面积为
2 S = ∫∫ 1 + z x + z 2 dxdy y D
这里积分区域为:
S ≈ 5 679.82（m 2）.
S = 1.015S = 5765.0(m 2 ) 加上耗损等因素，使用金箔
. 故哈
桑在金箔上将有所盈余，从而获得收益. 以上将 g(α, β ) 关于小参数展开取得近似解析式 的方法称为摄动法.
教堂顶部曲面面积的计算
某阿拉伯国家有一座伊斯兰教堂，它的大厅 拱形圆顶部需重新贴金箔装饰. 据档案，大厅的 顶部形状为半球面，其半径为30m .考虑到可能的 损耗和其他技术因素，实际用量会比教堂顶部面 积多1.5％，据此财政部门拨出了可制造5800m2有 规定厚度金箔的黄金. 建筑商哈桑计算了一下， 觉得黄金会有盈余，于是他以较低的承包价得到 了这项工程. 但在施工前的测量中，工程师发现 教堂顶部实际上是半椭球面，其半立轴恰是30m， 而半长轴和半短轴分别是30.6m和29.6m .这一来 哈桑犯了愁，他担心黄金是否还有盈余？甚至是 否可能短缺？最后的结果究竟如何？
第五步：计算结果 注意由于
α ≈ −0.03883,
β ≈ 0.02721
都是很小的数.可以用上述展开式的前三项近似 g (α , β ) 代入原积分式，从而就能够逐项积分，求得：
∫0
∫0
2π
2π
dθ ∫
1
1 1－ 2 r
0
abrdr = 2π ≈ 5 691.06 ab
abπ abrdr = (α + β ) ≈ −11.02 3
应用背景
计算曲面面积是常见的重积分在几何中应用， 其近似方法有广泛的实际用途。
相关知识点
1.用参数方程表示的曲面面积的计算 2.二元函数泰勒公式 3.定积分的近似计算（矩形法）
解题方法
问题归结为一个二重积分的计算，但无法求 出初等函数形式的原函数；通过引进小参数后将 被积函数Taylor展开取得近似解析解再进行积分； 另一种方法是将积分离散化作数值积分来求结果 。
cos 2 θ sin 2 θ R r ( 2 + ) a b2 1+ abrdr 2 1− r
2 2
那么面积表达式(*)成为
S＝∫ dθ ∫
0 2π 1 0
(1 + α )r 2 cos 2 θ + (1 + β )r 2 sin 2 θ 1+ abrdr 2 1− r
1 0
= ∫ dθ ∫
0
2π
+ 2 1− µ 2 = rd r µ µ −1 1 + arcsin 2 2 µ −1 µ
( µ ≤ 1)
( µ > 1)
解题过程
第四步： 近似方法 由于a, b 十分接近 R ，可以引进小参数
R ，β = R2 − 1, α＝ 2 − 1 b a
2
2
S = ∫ dθ ∫
0 2π 1 0
dθ ∫
1αr
2
cos 2 θ + β r 2 sin 2 θ r 2 1－ 2
0
解题过程
∫
2π 0
dθ ∫
1 0
(α r 2 cos 2 θ + β r 2 sin 2 θ ) 2 8 1− r2
abrdr =
πab (3α 2 + 2αβ + 3β 2 ) 60
≈ 0.22.
这样求得教堂顶部表面积为