8-4 多元复合函数的求导法则
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多元复合函数的求导法则
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
z = f (u, v, t), u = ϕ(t),
v =ψ (t)
z = f (u, x, y), u = ϕ(x, y)
解 (1)
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
+
∂z ∂z ∂u = ∂x ∂u ∂x ∂z = ∂u ∂z = ∂u ∂z ∂z = ∂y ∂u
2 2 x2 + y2 +x4 sin2 y
x2 + y2 +z2
∂f ∂u ∂f ∂f ∂z ∂f ∂f ∂z = = + ⋅1 + ⋅0 + ∂y ∂y ∂x ∂z ∂y ∂y ∂z ∂y
= 2ye
x2 + y2 +z2
4
x2 + y2 +z2 x2 cos y ⋅ + 2ze
x2 + y2 + x4 sin2 y
y
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z + = ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
注
设 u = ϕ( x, y)、 =ψ( x, y)及w = ω( x, y) 都在点 v
(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点 (u,v,w)有连续偏导数，则复合函数
z = f [ϕ(x, y),ψ (x, y),ω(x, y)]
= eu (sin v + y cos v) = ex+ y[sin( xy) + y cos(xy)]
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
= eu sin v ⋅1 + eu cos v ⋅ x
§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
M
26
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定理2 若函数 F (x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0 , y0, z0) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
8
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例3 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解 dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
x y
解 z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
7
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例2 u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
多元复合函数求导的链式法则
全导数
多变量函数的导数定义为所有偏导数 的线性组合，即全导数。
链式法则的推导过程
链式法则推导
链式法则是基于复合函数的求导 法则和单变量、多变量函数的导 数定义推导出来的。
链式法则公式
如果$u = g(x)$是一个单变量函 数，$f(u)$是一个多变量函数，则 $f(g(x))$的导数为$f'(u) cdot g'(x)$。
链式法则在数学分析、微积分、偏微分方程等领域中都有重要的应用，是解决复杂数学问题的关键技术 之一。
多元复合函数求导的链式法则的未来发展方向
01
随着数学理论和计算机技术的不断发展，链式法则的应用前景将更加广阔。未 来可以进一步探索链式法则在机器学习、数据科学、数值分析等领域中的应用 ，以解决更为复杂的实际问题。
02
随着高维数据的不断涌现，如何高效地处理高维数据成为一个重要的研究方向 。链式法则在高维数据处理和分析中具有潜在的应用价值，未来可以进一步挖 掘其应用潜力。
03
链式法则的证明和推导过程可以进一步优化和简化，以提高其在数学教育和实 际应用中的可操作性。同时，可以探索更加直观和易于理解的方法来解释链式 法则的原理和证明过程，以促进其在数学领域中的普及和应用。
实际问题的链式求导
总结词
实际问题的链式求导需要将数学模型与实际问题相结 合，通过建立数学模型并应用链式法则来求解实际问 题。
详细描述
在解决实际问题时，如物理、工程和经济等领域的问 题，我们常常需要建立数学模型来描述问题。在这些 模型中，变量之间通常存在复杂的依赖关系，需要利 用链式法则对模型进行求导，以分析模型的性质和求 解相关问题。例如，在经济学中，对需求函数进行求 导可以分析价格变动对需求量的影响；在物理学中， 对弹性势能函数进行求导可以分析弹性体的位移和应 力分布。
多变量函数的导数定义为所有偏导数 的线性组合，即全导数。
链式法则的推导过程
链式法则推导
链式法则是基于复合函数的求导 法则和单变量、多变量函数的导 数定义推导出来的。
链式法则公式
如果$u = g(x)$是一个单变量函 数，$f(u)$是一个多变量函数，则 $f(g(x))$的导数为$f'(u) cdot g'(x)$。
链式法则在数学分析、微积分、偏微分方程等领域中都有重要的应用，是解决复杂数学问题的关键技术 之一。
多元复合函数求导的链式法则的未来发展方向
01
随着数学理论和计算机技术的不断发展，链式法则的应用前景将更加广阔。未 来可以进一步探索链式法则在机器学习、数据科学、数值分析等领域中的应用 ，以解决更为复杂的实际问题。
02
随着高维数据的不断涌现，如何高效地处理高维数据成为一个重要的研究方向 。链式法则在高维数据处理和分析中具有潜在的应用价值，未来可以进一步挖 掘其应用潜力。
03
链式法则的证明和推导过程可以进一步优化和简化，以提高其在数学教育和实 际应用中的可操作性。同时，可以探索更加直观和易于理解的方法来解释链式 法则的原理和证明过程，以促进其在数学领域中的普及和应用。
实际问题的链式求导
总结词
实际问题的链式求导需要将数学模型与实际问题相结 合，通过建立数学模型并应用链式法则来求解实际问 题。
详细描述
在解决实际问题时，如物理、工程和经济等领域的问 题，我们常常需要建立数学模型来描述问题。在这些 模型中，变量之间通常存在复杂的依赖关系，需要利 用链式法则对模型进行求导，以分析模型的性质和求 解相关问题。例如，在经济学中，对需求函数进行求 导可以分析价格变动对需求量的影响；在物理学中， 对弹性势能函数进行求导可以分析弹性体的位移和应 力分布。
多元复合函数的求导法则
分线相加
同理可得
z z u z v y u y v y
返回
一、多元复合函数求导法则 —链锁规则
设下列各公式中所出现的函数均满足所需条件， 且有相应的导数或偏导数。 1、全导数 情形1 链锁规则公式
u z x
全导数
v
dz z du z dv dx u dx v dx
dh h dV w dr dt V dt r dt 3 6V r 2 4 3 e r r
返回
dh 6 V r 2 (2 e ) dt r r
设t0时刻沙丘体积为60立方米、底面半径为6米，则
dh 6 60 6 2 (2 e ) dt t t0 6 6
3
dz ,求 . dt
〖解〗由多元复合函数求导法则得全导数为：
x z y
2
t
dz z dx z dy dt x dt y dt 2 cos t f x 3t f y
部分抽象函数
□
设f具有二阶连续偏导数，如何求二阶导数？
d z d dz 2 dt dt dt d 2 (cos t f x 3t f y ) dt
返回
视y为常数
视u,v为常数
【例8】设 u f ( x, y, z ), z g ( x, y), y h( x, t ), t ( x),
du 求 . dx
〖解〗方法1(链锁规则公式)
x u y z
x y
x
x
du f dx x
f h h d y x t dx
情形5
x z u v
x y
z f f u f v x x u x v x z f u y u y
多元函数的求导法则-精选
z z u z v y u y v y
x yx y
eusinvx eucovs1
e x y [x six n y ) (co x y s )( ]
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高等数学
主讲人： 苏本堂
例2. u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,求nu , u x y
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, zf(u,v,w ),
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
z
d z z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
在点 t 可导, 且有链式法则 dzzduzdv dt u dt v dt
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 t t
有增量△u ,△v ,
zzuzvo() (( u)2( v)2)
u vΒιβλιοθήκη 山东农业大学高等数学
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zzuzv o ( ) (( u)2( v)2)
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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 u (t),v (t)在 t可 点 ,z导 f(u,v) 在点 (u,v)处偏导连续, 则复合函数 zf((t) ,(t))
e xy[x six ny ) (co x y s )]d(y 所以 zexy[ysixn y()co x sy)(]
高等数学8-4 多元复合函数的求导法则
注意到x , z 是独立自变量
故
f f f f f du ( )dx ( )dz x y x y t x y t z z
由全微分定义
u f f f x x y x y t x u f f z y t z z
dz z du z dv ． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u ( t t ) ( t ), v ( t t ) ( t );
由于函数 z f ( u, v ) 在点( u, v ) 有连续偏导数
z z z u v 1 u 2 v , u v 当u 0 ，v 0 时， 1 0 ， 2 0
解一 变量间的关系如下图所示 x x
x
u
y
t
x
z u f f y f z x x y x z x
y x x t x u f f f x x y x y t x
合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w( x , y )] 在对应点
( x , y )的两个偏导数存在，且
z z u z v z w , x u x v x w x z z u z v z w . y u y v y w y
z z dz dx dy x y
z u z v z u z v dx dy u y v y u x v x z u u z v dx dy dx v dy u x y v x y
z z 求 和 . x y
解
故
f f f f f du ( )dx ( )dz x y x y t x y t z z
由全微分定义
u f f f x x y x y t x u f f z y t z z
dz z du z dv ． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u ( t t ) ( t ), v ( t t ) ( t );
由于函数 z f ( u, v ) 在点( u, v ) 有连续偏导数
z z z u v 1 u 2 v , u v 当u 0 ，v 0 时， 1 0 ， 2 0
解一 变量间的关系如下图所示 x x
x
u
y
t
x
z u f f y f z x x y x z x
y x x t x u f f f x x y x y t x
合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w( x , y )] 在对应点
( x , y )的两个偏导数存在，且
z z u z v z w , x u x v x w x z z u z v z w . y u y v y w y
z z dz dx dy x y
z u z v z u z v dx dy u y v y u x v x z u u z v dx dy dx v dy u x y v x y
z z 求 和 . x y
解
大学数学_8_4 复合函数的求导法则
z dz ( u 2 v 2 )
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均 在 点 t 处 可 导 ， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数， 写出复合 函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全 导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解 函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均 在 点 t 处 可 导 ， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数， 写出复合 函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全 导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解 函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(
多元复合函数关系图与求导法则
z
exy [ y sin(x y) cos(x y)]
v
y
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
exy [x sin(x y) cos(x y)]
多元复合函数的求导法 则
思考题. 设 u f x , y , 求 u , u , u .
一个自变量的情形
因变量z到自变量x的路径有：
z z
u.
x
z du u dx
v. x z dv v dx
du
相加得 dz dx
z u dx
u
z
dv
z
dx
v
v
x x
注 (1) “连线相乘，分线相加” (2) 外层函数可微，内层函数可导.
多元复合函数的求导法则
多个自变量的情形（两个为例）
定理2 设函数 u u x, y ，v v x, y 在点 x, y D 处可微
• 一个自变量的情 形
• 多个自变量的情 形
多元复合函数的求导法则
一个自变量的情形
定理1.若函数u x ,v x 在点 x 可导，z f u,v
在点 u,v 处可微，则复合函数z f x,x在点x可导
且有
dz z du z dv dx u dx v dx
( 全导数公式 )
多元复合函数的求导法 则
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
ux zvy
w
多元复合函数的求导法 则
例1.设 z uv sin t , u et , v cost , 求全导数 dz .
dt
解: dz z du z dv z
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t
解:
d z z du d t u d t
2 2
z t
z
u v t
v cos t
e
t
t
cos t sin t e cos 2t e t
t
t
z z 练习1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
2 2 2 2 2 2 2 2u 2u 2u x y z 3r ( x y z ) 2 2 f (r ) f (r ) F (r ) 2 2 3 x y z r r
三、一阶微分形式不变性
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
1 f1 f 2 2 f2
x
v
x y
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
又例如:
z dz u y du y
z f (u, v , w ) , u ( x, y ) , v ( x, y ), w ( x, y )
z z u z v z w , 则有公式(3) x u x v x w x
z z u z v z w y u y v y w y
再例如, z f (u, v, w) , u ( x ) , v ( x ), w ( x )
d z z du z d v z dw , d x u dx v d x w dx
,
.
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, u
; 1
2. 全微分形式不变性
x y v 2
x y
不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u (u , v) d u f v (u , v) d v
3.四点注意
练习 z f (u, x, y) , u xe y z f1 f2 x
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达
形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
例 6. 利用全微分形式不变性再解例1.
解: d z d (sin u cos v ) cosv d sinu sin u dcos v
y cos u cos v d u sin u sin v d v cosu cosvdxy sinu sinvdx
z z u z v f 2 2 f1 2 y u y v y
x
z
u v
y x y
公式(1) 还推广可到中间变量，外函数都是一般多元函数
(包括一元函数)的情形.例如: z f (u) , u ( x, y ) ,
z dz u , 则有公式(2) x du x
u
eu sin v
z y
eu cos v 1
z
u v yx y
z v v y
x
e sin v
u
e cos v 1
u
二、多元复合函数的高阶导数
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的高阶导数求导技巧与常用导数符号.
xy z 2
u u , z x sin y,求 , x y
2
u
x y z
x
2
y
xe
xy z 2
2ze
2
xy z 2
x cos y
xy z 2
( x 2zx cos y ) e
dz . 例3. 设 z u v e , u sin t , v cos t , 求全导数 dt
cos( xy ) cos x y ( ydx xdy ) y y 1 y sin(xy) sinx ( yx dx x ln xdy) [ y cos(xy) cos x y -yx y1sin(xy)sin x y ]dx [ x cos(xy) cos x y -x y lnxsin(xy)sin x y ]dy
2 x 2 2 r u 2 2 2 x x r x r ff( 2 f ( r ) 利用对称性 , 有 r ) ( r ) ( r ) 2 2 2 3 x r r r r 2 2 2 2u y2 r 2 y2 2 u z r z f (r ) 2 f (r ) 3 , f ( r ) 2 f ( r ) 3 2 2 y r r z r r
第四节
第八章
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
求导法则 微分法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的高阶导数 三、一阶微分形式不变性
一 、多元复合函数求导的链式法则
z f ( u, v ) , u ( x , y ) , v ( x , y )
定理 如果函数u = (x, y) ,v = (x, y)在(x, y)点的两个
偏导数都存在，函数Z = f (u, v)在对应点 (u, v)可微， 则复合函数Z =f (u, v) =f ( (x, y), (x, y))在点(x, y) 的两个偏导数存在，且有链式法则公式(1):
z z u z v f 2 1 f11 x u x v x
y
y cos(xy) cos x yx
y
y 1
sin(xy) sinx
y
z z u z v y u y v y
y sin u sin v x x ln x cos u cos v
u x yx
v y
x cos(xy) cos x y x y ln x sin(xy) sinx y
2 z x y
f 11 f 23 f 21
f 13
P59 题7(2)类型
u f1 x u f1 y u f2 z
1 f1 y
f2
x 1 2 f1 f 2 z y
y 2 f 2 z
例4. 设 w f ( x y z, x y z ) , f 具有二阶连续偏导数,
w w 求 , . x xz
2
w , f1 , f 2
解: 令 u x y z , v x y z , 则
u
v
w f1 1 f 2 y z x
z
u v w
t t t
f1 f 2 f 3
z z , . 例1. 设 z sin u cos v , u x y , v x , 求 x y z z u z v 解: x u x v x y 1 cos u cos v y sin u sin v yx z
2
w f ( u, v )
x y zx y z
w 1 f12 x y y f 2 y z [ f 21 f11 x y ] 1 f 22 xz
2 f f 2 z f , y f12 , 为简便起见 y( x ,引入记号 xf1 f11 z ) f12 y f 2 u22 u v
作业
改错:
P59 1; 2; 3; 5； 7(1);
9
P59 题3
z arctan( x y) , y e
x
z y y 1 y 所以 y cos(xy) cos x -yx sin(xy)sin x x y z z
例1 . z sin u cos v , u x y, v x , 求 z
y y
y
y x y x cos(xy) cos x -x lnxsin(xy)sin x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
例2.
u f ( x, y, z ) e
xy z 2
u f f z 解: x x z x xy z 2 xy z 2 2 x sin y ye 2z e
( y 4 xz sin y ) e u f f z y y z y
f1 ( x y z, x y z ) y z f 2 ( x y z, x y z )
例5. 设u f ( r ) , r x 2 y 2 z 2 , f具有二阶连续偏导数,
2u 2u 2u 2 f ( r ) 2 F ( r ), 其中 F ( r ) f ( r ) 证明: 2 2 x y z r 证：
解:
d z z du d t u d t
2 2
z t
z
u v t
v cos t
e
t
t
cos t sin t e cos 2t e t
t
t
z z 练习1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
2 2 2 2 2 2 2 2u 2u 2u x y z 3r ( x y z ) 2 2 f (r ) f (r ) F (r ) 2 2 3 x y z r r
三、一阶微分形式不变性
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
1 f1 f 2 2 f2
x
v
x y
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
又例如:
z dz u y du y
z f (u, v , w ) , u ( x, y ) , v ( x, y ), w ( x, y )
z z u z v z w , 则有公式(3) x u x v x w x
z z u z v z w y u y v y w y
再例如, z f (u, v, w) , u ( x ) , v ( x ), w ( x )
d z z du z d v z dw , d x u dx v d x w dx
,
.
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, u
; 1
2. 全微分形式不变性
x y v 2
x y
不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u (u , v) d u f v (u , v) d v
3.四点注意
练习 z f (u, x, y) , u xe y z f1 f2 x
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达
形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
例 6. 利用全微分形式不变性再解例1.
解: d z d (sin u cos v ) cosv d sinu sin u dcos v
y cos u cos v d u sin u sin v d v cosu cosvdxy sinu sinvdx
z z u z v f 2 2 f1 2 y u y v y
x
z
u v
y x y
公式(1) 还推广可到中间变量，外函数都是一般多元函数
(包括一元函数)的情形.例如: z f (u) , u ( x, y ) ,
z dz u , 则有公式(2) x du x
u
eu sin v
z y
eu cos v 1
z
u v yx y
z v v y
x
e sin v
u
e cos v 1
u
二、多元复合函数的高阶导数
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的高阶导数求导技巧与常用导数符号.
xy z 2
u u , z x sin y,求 , x y
2
u
x y z
x
2
y
xe
xy z 2
2ze
2
xy z 2
x cos y
xy z 2
( x 2zx cos y ) e
dz . 例3. 设 z u v e , u sin t , v cos t , 求全导数 dt
cos( xy ) cos x y ( ydx xdy ) y y 1 y sin(xy) sinx ( yx dx x ln xdy) [ y cos(xy) cos x y -yx y1sin(xy)sin x y ]dx [ x cos(xy) cos x y -x y lnxsin(xy)sin x y ]dy
2 x 2 2 r u 2 2 2 x x r x r ff( 2 f ( r ) 利用对称性 , 有 r ) ( r ) ( r ) 2 2 2 3 x r r r r 2 2 2 2u y2 r 2 y2 2 u z r z f (r ) 2 f (r ) 3 , f ( r ) 2 f ( r ) 3 2 2 y r r z r r
第四节
第八章
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
求导法则 微分法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的高阶导数 三、一阶微分形式不变性
一 、多元复合函数求导的链式法则
z f ( u, v ) , u ( x , y ) , v ( x , y )
定理 如果函数u = (x, y) ,v = (x, y)在(x, y)点的两个
偏导数都存在，函数Z = f (u, v)在对应点 (u, v)可微， 则复合函数Z =f (u, v) =f ( (x, y), (x, y))在点(x, y) 的两个偏导数存在，且有链式法则公式(1):
z z u z v f 2 1 f11 x u x v x
y
y cos(xy) cos x yx
y
y 1
sin(xy) sinx
y
z z u z v y u y v y
y sin u sin v x x ln x cos u cos v
u x yx
v y
x cos(xy) cos x y x y ln x sin(xy) sinx y
2 z x y
f 11 f 23 f 21
f 13
P59 题7(2)类型
u f1 x u f1 y u f2 z
1 f1 y
f2
x 1 2 f1 f 2 z y
y 2 f 2 z
例4. 设 w f ( x y z, x y z ) , f 具有二阶连续偏导数,
w w 求 , . x xz
2
w , f1 , f 2
解: 令 u x y z , v x y z , 则
u
v
w f1 1 f 2 y z x
z
u v w
t t t
f1 f 2 f 3
z z , . 例1. 设 z sin u cos v , u x y , v x , 求 x y z z u z v 解: x u x v x y 1 cos u cos v y sin u sin v yx z
2
w f ( u, v )
x y zx y z
w 1 f12 x y y f 2 y z [ f 21 f11 x y ] 1 f 22 xz
2 f f 2 z f , y f12 , 为简便起见 y( x ,引入记号 xf1 f11 z ) f12 y f 2 u22 u v
作业
改错:
P59 1; 2; 3; 5； 7(1);
9
P59 题3
z arctan( x y) , y e
x
z y y 1 y 所以 y cos(xy) cos x -yx sin(xy)sin x x y z z
例1 . z sin u cos v , u x y, v x , 求 z
y y
y
y x y x cos(xy) cos x -x lnxsin(xy)sin x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
例2.
u f ( x, y, z ) e
xy z 2
u f f z 解: x x z x xy z 2 xy z 2 2 x sin y ye 2z e
( y 4 xz sin y ) e u f f z y y z y
f1 ( x y z, x y z ) y z f 2 ( x y z, x y z )
例5. 设u f ( r ) , r x 2 y 2 z 2 , f具有二阶连续偏导数,
2u 2u 2u 2 f ( r ) 2 F ( r ), 其中 F ( r ) f ( r ) 证明: 2 2 x y z r 证：