Matlab应用5-2

eigs求特征值和特征向量所需要的时间比eig所需要 时间长
3-1、矩阵特征参数运算 、
3、行列式运算（方阵）：>> det(a) 4、秩 >> rank(a) 5、迹 >> trace(a) %对比 trace(d) 6、范数运算 >> e=norm(a) %(2-范数)； 6 >> norm(a,1) %(1-范数) ；norm(a,inf) %(无穷范数)； norm(a,'fro') %(Frobenius 范数) 7、条件数运算 >> d=cond(a) % 2-范数的条件数 >> d=cond(a,1) %1范数的条件数，或2、inf 相应范数的条件数)
对角元素的对角阵，满足a*d=d*e
>>[d,e]=eig(a,b) %广义特征值分解，满足a*d=b*d*e Chollesky分解： >>d=chol(a) %a必须为对称正定矩阵，满足a=d*d’ 奇异值分解： >>[u,s,v]=svd(a) %s为对角阵，u、v正交阵，满足a=u*s*v >>[u,s,v]=svd(a,0) %奇异值最佳分解
矩阵特征值计算举例
1、矩阵中有元素与截断误差相当时的 特性值问题：
>> A=[3 -2 -0.9 2*eps;-2 4 -1 -eps; -eps/4
元素
eps/2 -1 0; -0.5 -0.5 0.1 1] %A %A中含有形式“零”
>> [V1,D1]=eig(A);ER1=A*V1-V1*D1 %计算结果有误 >> [V2,D2]=eig(A,'nobalance');ER2=A*V2-V2*D2 %
n i =1 ii
其他矩阵分解计算
正交分解： >> [q,r]=qr(a) %r为上三角阵，q正交阵，满足a=q*r >> [q,r,p]=qr(a) %r上三角阵，q正交阵，p交换矩阵，满足a*p=q*r 特征值分解： >>[d,e]=eig(a) %d以a的特征向量作为列向量组成矩阵，e以特征向量作为主
3-1、矩阵特征参数运算 、
1、逆运算：inv
>> a=[1 2 3;5 8 6;7 2 9], b=inv(a)
2、特征值计算：
eig（主要用于全元素阵）
>>d=eig(a) >>[c,d]=eig(a) [c,d]=eig(a,‘nobalance’)
%仅计算a的特征值 %满足a*c=c*d; %当a中含有与截断误差量级相近的数值时，用此计算
eigs（主要用于大型稀疏矩阵）
>> d=eigs(a),[c,d]=eigs(a) %与eig同 >> [c0,d0]=eigs(a,2,10) %计算矩阵a的 2个在10附近的特征向量和特征值 >> eigs(a,2,'lm') %最大幅值; 'sm'最小幅值;'lr'最大实部;'sr'最小实部;'be'谱的两端
随机方阵
>> t0=clock;[V,D]=eig(A);T_full=etime(clock,t0) % 指令eig的运算时间
>> options.tol=1e-8;options.disp=0;
代结果
% 设置eigs运算精度,不显示中间迭
>> t0=clock;[V2,D2]=eigs(A,1,'lr',options);T_part=etime(clock,t 0) % 计算最大实部特征值和特征向量时指令eigs的运算时间
正确求解方法 %执行eig指令过程中首先调用使原矩阵各元素大致相当的“平 衡”程序，这平衡程序使原方阵中可忽略的小元素的作用被 放大。
矩阵特征值计算举例
2、指令eig与eigs的比较
>> rand('state',1),A=rand(100,100)-0.5; % 产生100阶-0.5-0.5分布的
Байду номын сангаас
3-1、矩阵特征参数运算 、
矩阵特征值函数及其功能
inv det rank poly 矩阵求逆 求矩阵行列式 求矩阵的秩 矩阵特征多项式 trace cond condest condeig 求矩阵的迹 条件数 估计范-1条件数 特征值有关条件数
norm 或 normest eig 或 eigs
矩阵和向量范数 求特征值、特征向量
特殊矩阵生成函数
[] zeros eye ones tril 和triu diag gallery hankel hilb
生成空矩阵 0矩阵 单位矩阵 1矩阵 上下三角阵 对角阵 测试矩阵
invhilb magic pascal
Hilbert阵逆阵 魔术矩阵 n阶pascal阵
服从0-1分布的随机矩阵 rand randn 服从正态分布的随机矩阵 rosser 对称矩阵特征值问题测试 Toeplitz阵 toeplitz
求解非齐次线性方程组
4 x1 + 2 x2 − x3 = 2
例：解方程组：
3x1 − x2 + 2 x3 = 10 11x1 + 3 x2 + x3 = 8
2、正交分解法求解 [Q,R]=qr(A) X=R\(Q\b) 3、直接求解 X=A\b
解:
1、LU分解法求解 A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 1]; b=[2 10 8]'; [L,U]=lu(A) X=U\(L\b)
相当，dim=2与flipup(b)相当，dim=其它值时没意义
线性方程组的求解
含有n个未知数的n个方程构成的方程组称为恰定方程组， 当det(A)≠0时存在唯一解；当 det(A)=0时由增广矩阵作行 的最简形式,从中找出方程组的基础解系及特解 如： a1,1x1 + a1,2x2 + … + a1,nxn = b1 a2,1x1 + a2,1x2 + … + a2,nxn = b2 an,1x1 + an,1x2 + … + an,nxn = bn 记为 AX=b ，其中： a11 a12 ⋯ a1n x1 b1 a x b a22 ⋯ a2 n , A = 21 x = 2 , b = 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann xn bn
例：问向量组a1=（1 -2 2 3），a2=（-2 4 -1 3），a3=（-1 2 0 3），a4=（0 6 2 3），a5=（2 -6 3 4）是否线性相关？ 若线性相关求一个最大无关组 解： 构成矩阵 a1=[1 -2 2 3]'; a2=[-2 4 -1 3]'; a3=[-1 2 0 3]'; a4=[0 6 2 3]'; a5=[2 -6 3 4]'; A=[a1 a2 a3 a4 a5]
11 1 21 2 n1 n 1n 1 2n 2 nn n
恰定方程组的解
LU分解（也称三角分解），满足：LU=PA 式中，L为主对角元为1的下三角阵,U上三角阵,P是由0或1组成 的交换矩阵。 >> a=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 1] ; b=[2 10 8]' >> [l,u,p]=lu(a) %满足l*u=p*a 行列式和逆：detA=det(P-1LU)=±detU=±∏ u A-1=U-1L-1P >> det(a); inv(a); %x=inv(a)*b 在matlab中求解Ax=b可以直接输入指令： >> A\b %x=A\b
矩阵的结构操作
3、矩阵部分删除： >> b(2,:)=[] %删掉b的第2行 >> a(:,2)=[] %删掉a的第2列（不能删除单个元素 ） 4、矩阵结构改变： >> a2=20:2:30,b=reshape(a2,2,3) %将a2转换成2行3列矩阵 >> c=reshape(a2,1,3,2) %将a2转换成2个1行3列矩阵 5、矩阵修改： >> a2(1,3)=0, b(1,:)=a(3,:)
format rat rank(A)
%ans=3<5 线性相关 无关组
B=rref(A) %a1，a2，a4组成一个最大
矩阵的结构操作
1、矩阵标识： >> a=[1:4;5:8;9:12;13:16],b=a(1,3) %标示单个元素 >> b=a(2:3,:) %a第2行到第3行的所有元素组成的向量 >> a(:,2:3) %a第2列到第3列的所有元素组成的向量 >> a(2:3,[1 3]) %a第2行到第3行的第1、3列的元素 >> a([1 3],2:3) %(a第1、3 行第2到3列的元素) 2、矩阵的扩充： 注意保证矩阵行列数目一致 >> a1=zeros(2,4),a3=ones(1,2), a4=zeros(1,2), a=[a1;a3 a4] %(生成3*4的矩阵a)
3、数值计算 、
矩阵特征值和恰定方程求解 稀疏矩阵的存贮与运算 数值微分和积分 常微分方程求解 数组
数组运算
s./B,B.\s 标量s分别除B中对应的元素 A.^n A的每个元素自乘n次 p.^A 以p为底，分别以A的每个元素为 指数求幂值 A.*B 对应元素之积 A./B A的元素被B的对应元素除 B.\A （一定与 A./B 结果相同） exp(A) 以自然对数e为底，分别以A的 元素为指数，求幂 log(A) 对A的各元素求对数 sqrt(A) f(A)