2009届江苏省四星级高中高三数学基础练习(一)
高三数学基础训练题集1-10套(含答案)
图2俯视图侧视图正视图4图1乙甲7518736247954368534321高三数学基础训练一一．选择题：1．复数i1i,321-=+=zz，则21zzz⋅=在复平面内的对应点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在等比数列｛an｝中，已知,11=a84=a，则=5aA．16 B．16或－16 C．32 D．32或－323．已知向量a =（x，1），b =（3，6），a⊥b ，则实数x的值为( )A．12B．2-C．2D．21-4．经过圆:C22(1)(2)4x y++-=的圆心且斜率为1的直线方程为( )A．30x y-+=B．30x y--=C．10x y+-=D．30x y++=5．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，当0>x时，()2xf x=，则(2)f-=( )A．14B．4-C．41- D．46．图1是某赛季甲．乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲．乙两人这几场比赛得分的中位数之和是A．62 B．63 C．64 D．657．下列函数中最小正周期不为π的是A．xxxf cossin)(⋅= B．g（x）=tan（2π+x）C．xxxf22cossin)(-=D．xxx cossin)(+=ϕ8．命题“,11a b a b>->-若则”的否命题是A．,11a b a b>-≤-若则B．若ba≥，则11-<-baC．,11a b a b≤-≤-若则D．,11a b a b<-<-若则9．图2为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为A ．6B ．24C ．123D ．3210．已知抛物线C 的方程为212x y =，过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是 A ．()()+∞-∞-,11,B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, C ．()()+∞-∞-,,2222D ．()()+∞-∞-,,22二．填空题:11．函数22()log (1)f x x =-的定义域为 ．12．如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 ．13．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的最大值为_______．14．已知c x x x x f +--=221)(23，若]2,1[-∈x 时，2)(c x f <恒成立，则实数c 的取值范围______ 三．解答题:已知()sin f x x x =+∈x (R )． （1）求函数)(x f 的最小正周期;（2）求函数)(x f 的最大值，并指出此时x 的值．高三数学基础训练二一．选择题：1．在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S9等于 ( )A ．18B ．27C ．36D ．92．函数()()sin cos sin f x x x x =-的最小正周期为 ( )A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 3．已知命题p: {}4A x x a=-,命题q :()(){}230B x x x =--,且⌝p 是⌝q 的充分条件，则实数 a 的取值范围是： ( )A ．(-1,6)B ．[-1,6]C ．(,1)(6,)-∞-⋃+∞D ．(,1][6,)-∞-⋃+∞ 4．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1~160编号，按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，。
宿迁市2009届高三年级四星级高中联合考试1
宿迁市2009届高三年级四星级高中联合考试生物试题满分120分，考试时间100分钟第I卷选择题（55分）一、单项选择题：本题包括20小题，每小题2分，共40分。
每小题只有一个．．．．选项最符合题意。
请把答案填涂在机读卡上。
1．以下重大生物学史的先后顺序正确的是①沃森、克里克构建DNA分子双螺旋结构②孟德尔的遗传规律被重新提出③达尔文的物种起源④艾弗里的细菌转化实验⑤施莱登和施旺的细胞学说A．⑤③④②①B．⑤③②④①C．⑤④③②①D．⑤③④①②2．下列生物学研究选择的技术(方法)恰当的是A．利用普通光学显微镜观察植物细胞线粒体的内部结构B．利用色素在层析液中溶解度的不同来提取叶绿体中的色素C．用标记的CO2研究光合作用的暗反应D．对完整细胞进行差速离心就可以将各种细胞器分离开3．现有氨基酸900个，其中氨基总数为910个，羧基总数为908个，则由这些氨基酸合成的含有2条肽链的蛋白质共有肽键、氨基和羧基的数目依次分别为A．898、2和2 B．898、12和10 C．899、1和1 D．899、11和94．下列关于ATP、ADP的说法中不正确．．．的是A．ATP是生物体进行生命活动的直接能源B．叶绿体中ATP由类囊体膜向叶绿体基质运动，ADP则是向相反方向运动C．动物有氧呼吸过程中产生大量ATP的阶段需要氧气参与D．ATP的A代表腺苷，T代表三个，P代表磷酸5．已知一信使RNA片段中有90个碱基，其中A和C共有46个，那么转录该信使RNA 的一段DNA分子中G和T的共有数目以及该信使RNA经“翻译”而合成肽链时脱去的水分子的最大数目分别是A．46和30 B．90和30 C．44和29 D．90和29 6．向正在进行有氧呼吸的细胞悬液中分别加入a、b、c、d四种抑制剂，下列说法正确的是A．若a能抑制［H］氧化成水，则使O2的消耗减少B．若b能抑制葡萄糖分解，则使丙酮酸增加C．若c能抑制ATP的形成，则使ADP的消耗增加D．若d能抑制丙酮酸分解，则使葡萄糖的消耗增加7．正常情况下，能够发生的是A．相同的DNA复制成不同的DNA B．相同的DNA转录出不同的RNA C．相同的密码子翻译成不同的氨基酸D．相同的tRNA携带不同的氨基酸8．英国科学家格里菲思（F·Griffith）所做的肺炎双球菌的转化实验，成功地证明了A．DNA是主要的遗传物质B．DNA是遗传物质C．已经加热杀死的S型细菌中，只有蛋白质已失去活性D．已经加热杀死的S型细菌中，含有能促进R型细菌转化为S型细菌的某种耐热的活性物质，即转化因子9．下列有关基因的叙述，正确的有( )个①基因是具有遗传效应的DNA片段，全部位于染色体上②自然选择使基因发生定向变异③某基因的频率即该基因在种群个体总数中所占的比例④每一个基因都包含特定的碱基序列，具有特异性⑤人体内的肝脏细胞和成熟红细胞所含的基因相同A．四B．三C．二D．一10．某生物体细胞中染色体数为2N。
苏教版高三数学基础综合练习1 (附答案)
苏教版高三数学基础综合练习1 (附答案)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.已知集合)}1ln(|{x y x M -==，集合},|{R x e y y N x ∈==，则=⋂N M . }10|{<<x x2.复数i i ++12（i 是虚数单位）的实部是 ． 233. 写出命题:“若x =3，则x 2-2x -3=0”的否命题: ．“若3x ≠则2230x x --≠”， 4. 在ABC ∆的边AB 上随机取一点P , 记CAP ∆和CBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则122S S >的概率是 . 315.已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为 . 6π6. 将x y 2sin =的图像向右平移ϕ单位（0>ϕ），使得平移后的图像过点),23,3(π则ϕ的最小值为 ．6π 7.变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x ，设22y x z +=，则z 的取值范围是 ．]29,2[ 8.已知直线01=--y x 及直线05=--y x 截圆C 所得的弦长均为10，则圆C 的面积是 ． π279.己知抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 恰好是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为 ． 12+ 10.已知数列}{n a 满足21---=n n n a a a ，,3(≥n *n N ∈)，它的前n 项和为n S ，若5,8109==S S ，求=1a ．311.设P 为ABC ∆中线AD 的中点，D 为边BC 中点，且2=AD ，若3-=⋅PC PB ，=⋅AC AB ． 012.已知函数⎩⎨⎧<≥=00)(2x xx x x f ，则关于x 的不等式)34()(2x f x f ->的解集是 ．）（），（2,14--⋃∞13.已知圆心角为0120的扇形AOB 的半径为1，C 为弧AB 的中点，点D 、E 分别在半径OA 、OB 上．若926222=++DE CE CD ，则OE OD +的最大值是_________． 34BA14. 已知函数3211()32f x x ax bx c =+++在1x 处取得极大值，在2x 处取得极小值，满足1(1,1)x ∈-，2(2,4)x ∈，则a ＋2b 的取值范围是 (11,3)-二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本小题满分14分）已知向量(sin(2),sin )6m x x π=+，(1,sin )n x =，1()2f x m n =⋅-.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,a =1()22A f=，若)2cos A C C +=，求b 的大小.（Ⅰ）()f x 递减区间是3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）16．(本题满分14分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，090=∠ADC ，AD BC 21=，PD PA =，Q 为AD 的中点． （1）求证：⊥AD 平面PBQ ；（2）已知点M 为线段PC 的中点，证明：PA ∥平面BMQ ．证明：⑴△PAD 中，PA=PD ，Q 为AD 中点，∴PQ AD ，底面ABCD 中，AD//BC ，BC=12AD,∴DQ//BC,DQ=BC∴BCDQ 为平行四边形，由ADC=900，∴AQB=900，∴AD BQ 由AD PQ,AD BQ,BQ ∩PQ=Q,PQ 、BQ 面PBQ ∴AD 平面PBQ⑵连接CA,AC ∩BQ=N,由AQ//BC,AQ=BC,∴ABCQ 为平行四边形， ∴N 为AC 中点，由PAC 中，M 、N 为PC 、AC 中点， ∴MN//PA 由MN ⊂面BMQ ，PA 面BMQ ∴面BMQ ‖PA ……17.(本题满分14分）请你设计一个纸盒．如图所示，ABCDEF 是边长为30cm 的正六边形硬纸片，切去阴影部分所示的六个全等的四边形，再沿虚线折起，正好形成一个无盖的正六棱柱形状的纸盒．G 、H 分别在AB 、AF 上，是被切去的一个四边形的两个顶点，设AG =AH =x (cm)． （1）若要求纸盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？（2）若要求纸盒的的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求此时纸盒的高与底面边长的比．解（1）由平面图形知，正六棱柱的底面正六边形的边长为(302)x -，，所以纸盒的侧面积S 6(302)x =⋅-(15)x =-，()0 15x ∈，， 因为该二次函数开口向下，且对称轴方程为152x =，所以当152x =CM 时，侧面积S 最大．（2）纸盒的的容积V 262)x =-()32941209002x x x =-+，()0 15x ∈，， 由()229()122409002V x x x '=-+0=得5x =，或15x =（舍去），列表：所以当5x =CM 时，容积V．18.(本题满分16分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足：n n a n S -=， （1）求321,,a a a 的值；（2）求证：数列}1{-n a 是等比数列，并求}{n a 通项公式；（3）令)1)(2(--=n n a n b ，)3,2,1( =n ，如果对任意*n N ∈，都有241t t b n ≤+，求实数t 的取值范围. 解（1）123137,,248a a a ===， （2）由题可知：1231n n n a a a a a n a -+++++=- ① 123111n n n a a a a a n a +++++++=+- ②…②-①可得121n n a a +-=即：111(1)2n n a a +-=-，又1112a -=-… 所以数列{1}n a -是以12-为首项，以12为公比的等比数列．即11()2n n a =-…（3）由(2)可得11()2n n a =-， 22n n n b -=由111112212(2)302222n n n n n n n n n n nb b +++++-------=-==>可得3n < 由10n n b b +-<可得3n >， 所以 12345n b b b b b b <<=>>>>，故n b 有最大值3418b b ==， 所以，对任意*n N ∈，有18n b ≤ … 如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +≤，即214n b t t ≤-成立，则2max 1()4n b t t ≤-，故有：21184t t ≤-， 解得12t ≥或14t ≤-．所以实数t 的取值范围是11(,][42-∞-+∞，）．…19．（本题满分16分）给定椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，称圆心在坐标原点O ，半径为22b a +的圆是椭圆C 的“伴随圆”． 若椭圆C 的一个焦点为)0,2(2F ，其短轴上的一个端点到2F 距离为3．（1）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）若过点)0)(,0(<m m P 的直线与椭圆C 只有一个公共点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为22，求m 的值；（3）过椭圆C “伴随圆”上一动点Q 作直线21,l l ，使得21,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，试判断直线21,l l 的斜率之积是否为定值,并说明理由.解：（1）由题意得：a =c =则1b =椭圆C 方程为2213x y +=,“伴随圆”方程为224x y +=（2）则设过点P 且与椭圆有一个交点的直线为y kx m =+，则2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()222136(33)0k xkmx m +++-=,则()()()2226413330km k m ∆=-+-=，解2231k m +=①又因为直线截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为22，则有=得()2221m k =+ ② 联立①②解得，221,4k m ==， 所以1k =±，2(0)m m =-<，则(0,2)P -（3）当12,l l 都有斜率时，设点00(,),Q x y 其中22004x y +=，设经过点00(,),Q x y 与椭圆只有一个公共点的直线为00()y k x x y =-+，由0022()13y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到[]22003()30x kx y kx ++--=…即2220000(13)6()3()30k x k y kx x y kx ++-+--=，[]22200006()4(13)3()30k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⋅+--=⎣⎦，经过化简得到：222000(3)210x k x y k y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x k x y k x -++-=，设12,l l 的斜率分别为12,k k ，因为12,l l 与椭圆都只有一个公共点，所以12,k k 满足方程2220000(3)2(3)0x k x y k x -++-=，因而121k k ⋅=-，即直线12,l l 的斜率之积是为定值1-20．（本题满分16分）已知函数bax x x x f +++=2325)(（b a ,为常数），其图象是曲线C ． （1）当2-=a 时，求函数)(x f 的单调递减区间；（2）设函数)(x f 的导函数为)(x f '，若存在唯一的实数0x ，使得00)(x x f =与0)(0='x f 同时成立，求实数b 的取值范围；（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线21,l l 的斜率分别为21,k k ．问：是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(1)当2a =-时， 2()352(31)(2)f x x x x x '=+-=-+. ………令f (x )<0，解得123x -<<，所以f (x )的单调减区间为1(2,)3-．(2) 2()35f x x x a '=++，由题意知20032000035052x x a x x ax b x ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩消去a ，得320005202x x x b ++-=有唯一解．…令325()22g x x x x =++，则2()651(21)(31)g x x x x x '=++=++，所以()g x 在区间1(,)2-∞-，1(,)3-+∞上是增函数，在11(,)23--上是减函数，……又11()28g -=-，17()354g -=-，故实数b 的取值范围是71(,)(,)548-∞--+∞． ……(3)设00(,())A x f x ，则点A 处切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-， 与曲线C ：()y f x =联立方程组，得000()()()()f x f x f x x x '-=-， 即0)]252([)(020=++-x x x x 所以B 点的横坐标05(2)2B x x =-+．…………由题意知，21000()35k f x x x a '==++，22000525(2)122024k f x x x a '=--=+++，若存在常数λ，使得21k k λ=，则220000251220(35)4x x a x x a λ+++=++， 即存在常数λ，使得20025(4)(35)(1)4x x a λλ-+=--，所以40,25(1)0.4aλλ-=⎧⎪⎨--=⎪⎩解得4λ=，2512a=．……故2512a=时，存在常数4λ=，使214k k=；2512a≠时，不存在常数λ，使21k kλ=．………。
江苏省数学竞赛初赛试题(原题+详解)
一、填空题(每小题7分，共70分) 1．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝ ．2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝ ． 3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝ ． 4．已知3x ＋19x －1＝13－31－x，则实数x ＝ ．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为 ． 6．设f (x )＝log 3x －4－x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是 ． 7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3．8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ ． 9．设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为 ．10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝ ． 二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．13．若不等式x ＋y ≤k 2x ＋y 对于任意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围．14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．EBCDABCDAPQ R(2009年5月3日8∶00－10∶00)一、填空题(每小题7分，共70分)1．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝ ．填0．解：由于|sin α|≤1，|cos β|≤1，现sin αcos β＝1，故sin α＝1，cos β＝1或sin α＝－1，cos β＝－1， ∴ α＝2kπ＋π2，β＝2lπ或α＝2kπ－π2，β＝2lπ＋π⇒α＋β＝2(k ＋l )π＋π2(k ，l ∈Z)．∴ cos(α＋β)＝0．2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝ ．填11．解：设公差为d ，则得55＝－5×11＋12×11×10d ⇒55d ＝110⇒d ＝2．a k ＝55－4×10＝15＝－5＋2(k －1)⇒k ＝11．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝ ．填－1＋52．解：由(2b )2＝2c ×2a ⇒a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0⇒e ＝－1＋52． 4．已知3x ＋19x －1＝13－31－x，则实数x ＝ ．填1．解：即13x －1＝3x3(3x －1)⇒32x －4×3x ＋3＝0⇒3x ＝1(舍去)，3x ＝3⇒x ＝1．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为 ．填14．解：A 、B 到平面PQR 的距离分别为三棱锥APQR 与BPQR 的以三角形PQR 为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．V APQR ＝12V APQD ＝12×13V APCD ＝12×13×13V ABCD ＝118V ABCD ；又，S BPQ ＝S BCD －S BDQ －S CPQ ＝(1－13－23×13)S BCD ＝49S BCD ，V RBPQ ＝49V RBCD ＝12×49V ABCD ＝418V ABCD ．∴ A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4． 又，可以求出平面PQR 与AB 的交点来求此比值：在面BCD 内，延长PQ 、BD 交于点M ，则M 为面PQR 与棱BD 的交点． 由Menelaus 定理知，BM MD ·DQ QC ·CP PB ＝1，而DQ QC ＝12，CP PB ＝12，故BMMD ＝4．在面ABD 内，作射线MR 交AB 于点N ，则N 为面PQR 与AB 的交点．BCDAPQ R MNR Q PADCB由Menelaus 定理知，BM MD ·DR RA ·AN NB ＝1，而BM MD ＝4，DR RA ＝1，故AN NB ＝14．∴ A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4．6．设f (x )＝log 3x －4－x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是 ．填[3，4]． 解：定义域(0，4]．在定义域内f (x )单调增，且f (3)＝0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3，4]．7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3．填78000．解：设净水器的长、高分别为x ，y cm ，则 xy ＝300，V ＝30(20＋x )(60＋y )＝30(1200＋60x ＋20y ＋xy ) ≥30(1200＋260x ×20y ＋300)＝30(1500＋1200)＝30×2700．∴ 至少可以存水78000cm 3．8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ ．填－252．解：设|→AO |＝|→BO |＝|→OC |＝R ．则→BC ·→AO ＝(→BO ＋→OC )·→AO ＝→BO ·→AO ＋→OC ·→AO ＝R 2cos(π－2C )＋R 2cos2B＝R 2(2sin 2C －2sin 2B )＝12(2R sin B )2－12(2R sin C )2＝12(122－132)＝－252．9．设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为 ．填2008＋2．解：若a n ＋1≠0，则a n ＝2－2a n ＋1，故a 2008＝2－2，a 2007＝2－22－2＝－2，a 2006＝2＋2，a 2005＝2． 一般的，若a n ≠0，1，2，则a n ＝2－2a n ＋1，则a n －1＝a n ＋1－2a n ＋1－1，a n －2＝22－a n ＋1，a n －3＝a n ＋1，故a n －4＝a n ．于是，Σk ＝12009a n＝502(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a2009＝502(a 2005＋a 2006＋a 2007＋a 2008)＋a 2009＝2008＋2．10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝ ．填0，3－12，3－1． 解：若a 为负整数，则a 2＞0，2b (a ＋b )＜0，不可能，故a ≥0．于是a 2＝2b (a ＋b )＜2(a ＋1)⇒a 2－2a －2＜0⇒0≤a ＜1＋3⇒a ＝0，1，2． a ＝0时，b ＝0；Ba ＝1时，2b 2＋2b －1＝0⇒b ＝3－12； a ＝2时，b 2＋2b －2＝0⇒b ＝3－1．说明：本题也可以这样说：求实数x ，使[x ]2＝2{x }x ．二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．解：取方程组⎩⎨⎧4x 2＋9y 2＝36，x ＝2y －4．代入得，25y 2－64y ＋28＝0．此方程的解为y ＝2，y ＝1425．即得B (0，2)，A (－7225，1425)，又左焦点F 1(－5，0)．连OA 把四边形AFOB 分成两个三角形． 得，S ＝12×2×7225＋12×5×1425＝125(72＋75)．也可以这样计算面积：直线与x 轴交于点C (－4，0)．所求面积＝12×4×2－12×(4－5)×1425＝125(72＋75)．也可以这样计算面积：所求面积＝12(0×2－0×0＋0×1425－(－7225)×2＋(－7225)×0－(－5)×1425＋(－5)×0－0×0)＝12(14425＋14255)＝125(72＋75)． 12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．解：AD AC ＝ACAB ⇒△ACD ∽△ABC ⇒∠ABC ＝∠ACD ＝∠BCE ．∴ CE ＝BE ＝12．AE ＝AB －BE ＝16．∴ cos A ＝AC 2＋AE 2－CE 22AC ·AE ＝142＋162－1222·14·16＝142＋28·42·14·16＝1116．∴ BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝142＋282－2·14·28·1116＝72·9⇒BC ＝21．13．若不等式x ＋y ≤k 2x ＋y 对于任意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围．解法一：显然k ＞0．(x ＋y )2≤k 2(2x ＋y )⇒(2k 2－1)x －2xy ＋(k 2－1)y ≥0对于x ，y ＞0恒成立． 令t ＝xy＞0，则得f (t )＝(2k 2－1)t 2－2t ＋(k 2－1)≥0对一切t ＞0恒成立． 当2k 2－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k 2－1＞0．此时当t ＝12k 2－1时，f (t )取得最小值12k 2－1－22k 2－1＋k 2－1＝2k 4－3k 22k 2－1＝k 2(2k 2－3)2k 2－1．当2k 2－1＞0且2k 2－3≥0，即k ≥62时，不等式恒成立，且当x ＝4y ＞0时等号成立． EBCDA∴ k ∈[62，＋∞)． 解法二：显然k ＞0，故k 2≥(x ＋y )22x ＋y ＝x ＋2xy ＋y2x ＋y．令t ＝x y ＞0，则k 2≥t 2＋2t ＋12t 2＋1＝12(1＋4t ＋12t 2＋1)．令u ＝4t ＋1＞1，则t ＝u －14．只要求s (u )＝8uu 2－2u ＋9的最大值．s (u )＝8u ＋9u－2≤82u ·9u －2＝2，于是，12(1＋4t ＋12t 2＋1)≤12(1＋2)＝32．∴k 2≥32，即k ≥62时，不等式恒成立(当x ＝4y ＞0时等号成立)．又：令s (t )＝4t ＋12t 2＋1，则s '(t )＝8t 2＋4－4t (4t ＋1)(2t 2＋1)2＝－8t 2－4t ＋4(2t 2＋1)2，t ＞0时有驻点t ＝12．且在0＜t ＜12时，s '(t )＞0，在t ＞12时，s '(t )＜0，即s (t )在t ＝12时取得最大值2，此时有k 2≥12(1＋s (12))＝32．解法三：由Cauchy 不等式，(x ＋y )2≤(12＋1)(2x ＋y )．即(x ＋y )≤622x ＋y 对一切正实数x ，y 成立． 当k ＜62时，取x ＝14，y ＝1，有x ＋y ＝32，而k 2x ＋y ＝k 62＜62×62＝32．即不等式不能恒成立． 而当k ≥62时，由于对一切正实数x ，y ，都有x ＋y ≤622x ＋y ≤k 2x ＋y ，故不等式恒成立． ∴ k ∈[62，＋∞)． 14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证； ⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．解：对于任意n ∈N*，n 2≡0，1(mod 4)．设a ，b 是两个不同的自然数，①若a ≡0(mod 4)或b ≡0(mod 4)，或a ≡b ≡2(mod 4)，均有ab ≡0(mod 4)，此时，ab ＋10≡2(mod 4)，故ab ＋10不是完全平方数；② 若a ≡b ≡1(mod 4)，或a ≡b ≡3(mod 4)，则ab ≡1(mod 4)，此时ab ＋10≡3(mod 4)，故ab ＋10不是完全平方数．由此知，ab ＋10是完全平方数的必要不充分条件是a ≡/b (mod 4)且a 与b 均不能被4整除．⑴ 由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a ＝2，b ＝3，c ＝13，则2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72．即2，3，13是满足题意的一组自然数．⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数．这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数．故证．2010年全国高中数学联赛江苏赛区·初赛一、填空题（本题满分70分，每小题7分） 1．方程9135x x +-=的实数解为 ．2．函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .3．在△ABC 中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，则AB ＝ . 4．函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 ． 5．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =、()6,8B =、()2,4C =，则R 的取值范围为 ． 6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为 ．8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中 镀2金2银的概率是 ．9．在三棱锥A BCD -中，已知ACB CBD ∠=∠，ACD ADC BCD BDC ∠=∠=∠=∠ θ=，且cos θ=．已知棱AB的长为，则此棱锥的体积为 ． 10．设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11nn n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是 ． 二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．直角坐标系xOy 中，设A 、B 、M 是椭圆22:14x C y +=上的三点．若3455OM OA OB =+， 证明：AB 的中点在椭圆22212x y +=上．（第7题）12．已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．13．如图，圆内接五边形ABCDE 中，AD 是外接圆的直径，BE AD ⊥，垂足H .过点H 作平行于CE 的直线，与直线AC 、DC 分别交于点F 、G ． 证明： (1) 点A 、B 、F 、H 共圆； (2) 四边形BFCG 是矩形．14．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．参考答案1、x ＜0无解; 当0x ≥时，原方程变形为32x +3x －6=0，解得3x =2，x =log 32．2、与f (x )=y 2=1+|sin2x |的单调减区间相同， [,],2422k k k ππππ++∈Z ． 3、216AB AC AB BC AB ⋅-⋅==，得4AB =．4、极小值－4，端点函数值f (2)=0，f (0)=－2，最小值－4，最大值0．5、画图观察，R 最小时圆与直线段AC 相切，R 最大时圆过点B ．[855，10]．6、f (2k -1)=0，k ∈Z . 又可作一个函数()f x 满足问题中的条件，且()f x 的一个零点恰为21x k =-，k ∈Z . 所以至少有50个零点. 7、不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．8、穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 13 ．9、4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ．10、由11n n n a x x x +=+，2321n n n a x x x +++==+()21111n n a x a x ++=++()3211n n n a x x a a x =+++ 恒成立，即()()2110n n a a x x a +++-=. 因为1n x a ≠-或0，故210a a ++=，所以122a i =-±． 11、解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 124＋y 12＝1，x 224＋y 22＝1． 由3455OM OA OB =+，得 M (35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2)． 因为M 是椭圆C 上一点，所以(35x 1＋45x 2)24＋(35y 1＋45y 2)2＝1， …………………6分即 (x 124＋y 12)(35)2＋(x 224＋y 22)(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)=1，得 (35)2＋(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)＝1，故x 1x 24＋y 1y 2＝0． …………………14分 又线段AB 的中点的坐标为 (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，所以 (x 1＋x 22)22＋2(y 1＋y 22)2＝12(x 124＋y 12)+12(x 224＋y 22)+x 1x 24＋y 1y 2＝1，从而线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)在椭圆x 22＋2y 2＝1上． ………………20分12、解：(1) 设数列前6项的公差为d ，则a 5=－1+2d ，a 6=－1+3d ，d 为整数.又a 5，a 6，a 7成等比数列，所以(3d －1)2=4(2d －1)，即 9d 2－14d +5=0，得d =1. …………………6分 当n ≤6时，a n =n －4，由此a 5=1，a 6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n ≥5时，a n =2n -5.故 a n =⎩⎪⎨⎪⎧n －4，n ≤4，2n -5， n ≥5．…………………10分(2) 由（1）知，数列{}n a 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，… 当m =1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)； 当m =3时等式成立，即 －1+0+1=0；当m =2、4时等式不成立； …………………15分 当m ≥5时，a m a m +1a m +2 =23m -12， a m +a m +1+a m +2=2m -5(23－1)=7×2m -5， 7×2m -5≠23m -12，所以 a m +a m +1+a m +2≠a m a m +1a m +2 . 故所求 m = 1，或m =3． …………………20分 13、证明：(1) 由HG ∥CE ，得∠BHF =∠BEC ，又同弧的圆周角 ∠BAF =∠BEC ， ∴ ∠BAF =∠BHF ，∴ 点 A 、B 、F 、H 共圆； …………………8分(2) 由(1)的结论，得 ∠BHA =∠BFA ，∵ BE ⊥AD ， ∴ BF ⊥AC ， 又AD 是圆的直径，∴CG ⊥AC ， …………………14分 由A 、B 、C 、D 共圆及A 、B 、F 、H 共圆，∴∠BFG =∠DAB =∠BCG ，∴ B 、G 、C 、F 共圆. ∴ ∠BGC =∠AFB=900, ∴ BG⊥GC ， ∴ 所以四边形BFCG 是矩形． …………………20分 14、解：若x =y ，则x 2+3x 是完全平方数. ∵ x 2＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2， ∴ x 2+3x = (x +1)2，∴ x =y =1. ………………5分 若x ＞y ，则x 2＜x 2+3y ＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2. ∵ x 2+3y 是完全平方数，∴ x 2+3y = (x +1)2，得3y = 2x +1，由此可知y 是奇数，设y = 2k +1，则x =3k +1，k 是正整数. 又 y 2+3x = 4k 2+4k +1+9k +3=4k 2+13k +4是完全平方数，且 (2k +2)2=4k 2+8k +4＜4k 2+13k +4＜4k 2+16k +16= (2k +4)2， ∴ y 2+3x =4k 2+13k +4=(2k +3)2，得 k =5，从而求得x =16，y =11. …………………15分 若x ＜y ，同x ＞y 情形可求得 x =11，y =16.综上所述，(x ，y )= (1，1), (11，16), (16，11)． …………………20分ABCDEFH GAB CP2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1． 复数44(1i)(1i)++-= ．2． 已知直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴，则实数m = . 3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）．4． 已知1cos45θ=，则44sin cos θθ+= ．5． 已知向量a ，b 满足π2,,3==<>=a b a b ，则以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段 为邻边的平行四边形的面积为 ．6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前n 项和等于 ． 7． 设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是 ．8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n a n n =∈N *，则[(2011)]f f = ． 9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 ．10．已知m 是正整数，且方程2100x m --+=有整数解，则m 所有可能的值是 ． 二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知圆221x y +=与抛物线2y x h =+有公共点，求实数h 的取值范围．12．设2()(,)f x x bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在区间(]2,3上的最大值为1，求22b c +的最大值和最小值．13．如图，P 是ABC 内一点．（1）若P 是ABC 的内心，证明：1902BPC BAC ∠=+∠；（2）若1902BPC BAC ∠=+∠且1902APC ABC ∠=+∠，证明：P 是ABC 的内心．14．已知α是实数，且存在正整数n 0证明：存在无穷多个正整数n 为有理数．2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1． 复数44(1i)(1i)++-= ．答案：－8 基础题，送分题，高考难度2． 已知直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴，则实数m = .答案：32-基础题，送分题，高考难度3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）．答案：19145基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错4． 已知1cos45θ=，则44sin cos θθ+= ．答案：45计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度5． 已知向量a ，b 满足π2,,3==<>=a b a b ，则以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为 ．答案：可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前n 项和等于 ．答案：1(848)7n +高考难度级别，基础好的同学可以做出来7． 设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是 ．答案：(0,2) 这是一道高考题8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n a n n =∈N *，则[(2011)]f f = ．答案：6 这也是一道高考题9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 ．答案：4 3 还是一道高考题10．已知m 是正整数，且方程2100x m --+=有整数解，则m 所有可能的值 是 ．答案：3,14,30 这是2011年苏州市一模的第十四题。
江苏省宿迁市2009届高三数学模拟试卷(一)2009.5.13
江苏省宿迁市2009届高三数学模拟试卷（一）（2009年5月13日）必做题部分一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，合计70分. 请把答案直接填写在答题纸相应位置上. 1．已知集合{|3,},{1,2,3,4}A x x x R B =>∈=，则()R A B =ð .2．已知复数1(1)az i =+-，若复数z 为纯虚数，则实数a 的值为 . 3．已知角α的终边经过点(2,1)P --，则cos()3πα+的值为 .4．已知数据a ，4，2，5，3的平均数为b ，其中a ，b 是方程2430x x -+=的两个根，则这组数据的标准差是 . 5．已知函数()f x 是以5为周期的奇函数，且(3)2f -=，则(2)f -= . 6．以下程序运行后结果是__________. 1i ← 8While i <2233i i S i i i ←+←⨯+←+End While Pr int S7．如图，一个正四面体的展开图是边长为ABC ，则该四面体的外接球 的表面积为 .8．已知||1,(1,==-a b，||+=a b ，则a 与b 的夹角为 .9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数）则数列{}n a 的通项公式为 .10．命题：“存在实数x ，满足不等式2(1)10m x mx m +-+-≤”是假命题，则实数m 的取值范围是 .11．已知直线20ax by --=(,)a b R ∈与曲线3y x =过点(1,1)的切线垂直，则ba= . 12．如果椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上存在一点P ，使得点P 到左准线的距离等于它到右焦点的距离的两倍，那么椭圆的离心率的取值范围为 .（第7题）13．定义在D 上的函数)(x f ，如果满足对任意D x ∈，存在常数0M >，都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界．若函数()124x x f x a =+⋅+在(,0]-∞上是以3为上界的有界函数，则实数a 的取值范围为 .14．已知数列}{n a 的通项公式是12-=n n a ，数列}{n b 的通项公式是31n b n =-，令集合},,,,{21 n a a a A =，},,,,{21 n b b b B =，*N n ∈．将集合B A 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为}{n c ．则数列}{n c 的前45项的和45S = .二、解答题: 本大题共6小题, 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分. 请在答题纸指定的区域内作答, 解答时应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15．已知四边形ABCD 的外接圆的半径R 为２，对角线AC的长为.（１）求角D 的大小；（２）求四边形ABCD 面积的最大值.16．某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲产品１吨，需矿石3吨，煤１吨，生产乙产品１吨，需矿石１吨，煤３吨．工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗矿石不超过6吨，煤不超过10吨. （１）求甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数的概率；（２）当甲，乙两种产品生产的吨数均为整数时，求甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数的概率；17．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，60BCD ︒∠=，点E 是BC 边的中点，AC DE 与交于点O ，PO ABCD ⊥平面. （1）求证：PD BC ⊥；（2）在线段AP 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面PDE ？若存在，求四棱锥F ABED -与四棱锥P ABCD -的体积之比；若不存在，试说明理由.ＡＢＥＣＤＰ Ｏ18.如图，ABC ∆的三个顶点坐标分别为(6,0)(2,0)(0,6)A B C -、、，D E 、分别是高CO 的两个三等分点，过D 作直线FG ∥AC ，分别交AB 和BC 于G F 、，连接EF ．（Ⅰ）求过E 、G 、F 三点的圆M 的方程；（Ⅱ）在线段AC 上是否存在点H ，使得过点H 存在和圆M 相切的直线，并且若过点H 存在两条切线时，则点H 和两切点,P Q 组成的90PHQ ∠≥？若存在，求出H 点对应轨迹的长度；若不存在，试说明理由.19．已知直角∆ABC 的三边长a b c ,,满足a ≤b ＜c ．（1）对于给定的正整数n 和正数c ，在a b ,之间插入1n -个数，使这1n +个数构成以a 为首项的等差数列{}n a ，求121n S a a a +=+++的最大值；（2）求证：若a b c ,,成等比数列，则a b c ,,中最多有一个是整数；（3）已知a b c ,,均为正整数，且a b c ,,成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，记第n 个为n b ，且123(1)n n n T b b b b =-+-++-，求满足不等式||32n n T >⋅的所有n 的值.20．如图，,A B 是函数2x y e =的图像上两点，分别过,A B 作x 轴的平行线与函数x y e =的图像交于,C D 两点.（１）求点A 与原点O 连成直线的斜率取值范围；（２）若直线AB 过原点O ，求证直线CD 也过原点O ；（３）当直线BC 与y 轴平行时，设B 点的横坐标为x ，四边形ABDC 的面积为()f x ，若方程2()30x f x e -=在区间[],1t t +上有实数解，求整数t 的值.21[选做题] 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. A.选修4—1：几何证明选讲如图，圆O 与圆1O 外切于点P ，一条外公切线分别切两圆于A B 、两点，AC 为圆O 的直径，T 为圆1O 上任一点，CT AC =.求证：CT 为圆1O 的切线，切点为T .B.选修4—2 矩阵与变换已知矩阵2003A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，点(1,1)M --，点(1,1)N . （1）求线段MN 在矩阵A 对应的变换作用下得到的线段M N ''的长度； （2）求矩阵A 的特征值与特征向量.C.选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，曲线D 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程；（2）曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．D.选修4－5：不等式证明选讲 解不等式：|1||2|2x x --+≤22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为1n a n =，2211()2n nn S n f n S S n -=⎧=⎨-≥⎩， ，，（1）计算(1),(2),(3)f f f 的值；（2）比较()f n 与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.23．如图所示，某城市有南北街道和东西街道各1n +条，一邮递员从该城市西北角的邮局A 出发，送信到东南角B 地，要求所走路程最短. （1）求该邮递员途径C 地的概率()f n ； （2）求证：[]2122()3n f n +<<，（n ∈*N ）.ABC∙∙∙命题人：谢其宙 秦葆苓 魏良亚 葛卫国宿迁市2009届高三数学模拟试卷（一）参考答案及评分标准1．{1,2,3}； 2．2-；3．10；45．-2；6． 19；7．3π；8．23π；9．11()3n n a -=；10．m >；11．13或43 12．；13．[]5,1-；14．2627；15．解：（1）由2sin ACR D=，得sin 2AC D R ===，…………………………3分 又角D 为三角形的内角，所以3D π∠=或23D π∠=. ………………………………5分（2）若3D π∠= ，则23B π∠=. ……………………………………………6分设,,,AB a BC b CD c AD d ====，则有2222222cos 2cos a b ab B AC c d cd D AC ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，即22221212a b ab c d cd ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩. ……………………………8分 又22222,2a b ab c d cd +≥+≥，所以有412ab cd ≤⎧⎨≤⎩，当且仅当2,a b c d ====10分11sin sin )22ABCD S ab B cd D ab cd =+=+≤ ………………………12分当23D π∠=时，3B π∠=同样可得ABCD S ≤，所以四边形ABCD 面积的最大值为……………………………………14分 16．解：设甲，乙两种产品各生产,x y 吨,由题意得3631000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ ………………………………3分（1）设甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数为事件A ，又甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数等价于x y ≥， 所以事件A 发生的概率()P A 为图中三角形OAD 的面积 与四边形OABC 的面积之比……………………5分由360y x x y =⎧⎨+-=⎩得32x y ==，于是相关点的坐标为(2,0)A ，(1,3)B ，10(0,)3C ，33(,)22D ， (8)OAD ∆面积为11332222S =⨯⨯=，四边形OABC 的面积21110142312233S =⨯⨯+⨯⨯=所以所求概率12392()14283S P A S ===………………………………10分（2）设甲，乙两种产品生产的吨数均为整数时，甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数为事件B ，则事件B 发生概率为含在OAD ∆内部与边界上的整数点与含在四边形OABC 内部与边界上的整数点的个数之比………………………………………………………………12分又含在四边形OABC 内部与边界上的整数点共有九个点， 含在OAD ∆内部与边界上的整数点共有四个点，所以所求概率4()9P B =． …………………………………………………14分 17．解：（1）在菱形ABCD 中，连接,DB 因为60BCD ︒∠=，故BCD ∆是等边三角形．因为E 是BC 边的中点，所以DE BC ⊥ ……………………………………２分由于PO ABCD ⊥平面，BC ABCD ⊂平面，所以PO BC ⊥，………………４分 而DEPO O =，所以BC ⊥平面PDE ，又由于PD ⊂平面PDE ，所以PD BC ⊥．………………６分 （2）在线段AP 上存在一点F ，使得BF ∥平面PDE ，……８分 取AD 中点M ,AP 中点F ,连接,MF BM ， 因为1,,2MD BE MD BC BE ==∥ 所以BM D E ∥又BM ⊄平面PDE ，D E ⊂平面PDE ，所以BM ∥平面PDE ， 同理可得MF ∥平面PDE又因为BM MF M =，所以平面FMB ∥平面PDEＡ ＢＥＣＤ ＰＯ FM因为BF ⊂平面BMF ，所以BF ∥平面PDE ：………12分因为F 为AP 中点,所以于是四棱锥F ABED -的高是四棱锥P ABCD -的高的一半， 又因为四棱锥F ABED -的底面积是四棱锥P ABCD -的底面积34， 所以四棱锥F ABED -与四棱锥P ABCD -的体积之比是38．………………14分 法二:事实上，过点B 作BG DE ∥交AC 于G ，过G 作GF OP ∥，交AP 于F ，连BF ， 因为BG DE ∥，BG ⊄平面PDE ，D E ⊂平面PDE ，所以BG ∥平面PDE ，因为GF OP ∥，GF ⊄平面PDE ，OP ⊂平面PDE ，所以GF ∥平面PDE ，…10分又因为BG GF G =，所以平面BGF ∥平面PDE因为BF ⊂平面BGF ，所以BF ∥平面PDE；…………12分 由（Ⅰ）知O 为等边BCD∆的中心，于是G 为等边ABD ∆ 的中心，所以AG GO OC ==，即G 为AO 中点，所以F 为 AP 中点，于是四棱锥F ABED -的高是四棱锥P ABCD -的高的一半，又因为四棱锥F ABED -的底面积是四棱锥P ABCD -的底面积34，所以四棱锥F ABED - 与四棱锥P ABCD -的体积之比是38．……………14分 18．解（1）由已知，直线GF 方程为：2y x =+ 直线BC 方程为36y x =-+由236y x y x =+⎧⎨=-+⎩可得13x y =⎧⎨=⎩，即(1,3)F …2分又(0,4)E ，所以直线EF 与DF 的斜率之积1(1)1GF EF k k ⋅=⨯-=-，所以EF GF ⊥，所以过E G F 、、三点的圆M 的圆即以EG 为直径的圆…………4分 由(2,0),(0,4)G E -知：圆心为(1,2)M -，半径r 所以圆M 的方程为22(1)(2)5x y ++-=，即2240x y x y ++-= …………………………………6分（2）假设在线段AC 上存在满足条件的点H ，则点H 在圆M 上，或在圆M 外，当点在圆M 外时，过点H 存在两条切线，由点H 和两切点,P Q 组成的90PHQ ∠≥得，直角HPM ∆的一个锐角45PHM ∠≥，于是HM ，即HM ≤8分因为H 点线段AC ：6(60)y x x =+-≤≤上，所以可设H 点坐标为(,6)(60)x x x +-≤≤，所以由222(1)(62)10HM x x =+++-≤，得x ≤≤60x -≤≤，……………………………10分 所以线段AC 上存在点H 满足条件．Ａ ＢＥ Ｃ Ｄ Ｐ Ｏ GF线段AC x ≤的点(,)x y 对应线段长为12H H =……………………………………12分 又因为圆心(1,2)M -到线AC 的距离为d ==所以直线AC 被圆M 截得的弦长为……………14分所以H …………………15分 19．解（1）{}n a 是等差数列，∴121n S a a a +=+++()(1)2a b n ++=……1分∵222a b c +=，解法一．设a b t +=，则圆222a b c +=的圆心(0,0)O 到直线0a b t +-=得距离c ≤，∴||t ，t ≤≤，但当且仅当a b ==时t =所以S 的最大值为1)S n c =+；…………………………………………4分 解法二．设cos ,sin ,(0)2a cbc πθθθ==<<，则a b +cos sin )4c c πθθθ++，∵02πθ<<，∴3444πππθ<+<，∴,,4242a b πππθθ+====时，S 取最大值1)2n c +； 解法三．因为222222()22()2a b a b ab a b c +=++≤+=，0a b +>，所以,a b +当且仅当a b ==等号成立，所以S 的最大值为1)S n c =+． （2）证：设公比为q 则2,b aq c aq ==由,,a b c 为直角三角形的三边长，知22224a a q a q +=，由于20a >，4210q q ∴--=， 2q =…………………………………6分 q ∴和2q 都是无理数，若,,a b c 中有两上或三个是整数，则b q a =，或cq b=，或2c q a =中至少有一个是有理数，与q ∴和2q 都是无理数矛盾，,,a b c ∴中至多有一个为正整数 ……………………………………………8分 （3）设,,a b c 的公差为()d d Z ∈，则222()(2)a a d a d ++=+3a d ∴=………9分∴三角形的三边长可设为3,4,5d d d ，面积21346()2d S d d d d Z =⨯⨯=∈26n b n ∴= 22222611234(1)n n T n ⎡⎤∴=⋅-⋅+-+--⎣⎦ ………………………10分 若n 为偶数则2222226[(12)(34)((1))]n T n n =-++-+++--+26(371121)33n n n =+++-=+ ………………………11分若n 为奇数，则22222226[(12)(43)(1)(2)]6n T n n n =-++--+----226(371123)633n n n n =+++--=-- ………………………………12分∴2||33n T n n =+，由||32nn S >，得 22nn n +>，即212nn n+> 令2()2nn nf n +=，则221(1)(1)(1)()22n nn n n nf n f n ++++++-=-2122n n n +-++= ………………………………………………13分当1,2n =时，(1)()0f n f n +-≥，即(3)(2)(1)f f f ≥> …………………14分 3n ≥时，(1)()0f n f n +-<，()f n 随n 的增大而减少 即()(1)(4)f n f n f <-<<又因为312(1)1,(2)1,(3)128f f f ==>=>， 20(4)116f =>，25(5)132f =<，所以5n >时，()(5)1f n f <<． ……………………………………16分 20．解：（1）设过原点O 且和函数2xy e =的图象 相切的切线的切点为00(,)P x y ，则：020x y e =，又22x y e '=，切线OP 的斜率0202x OP y k e x ==， 解002200122x x e e x x ==得，0222x OP k e e ==． 结合图象知，点A 与原点O 连成直线的斜率取值范围是(0)[2e -∞+∞，，）；………４分（2）由已知可设,,,A B C D 各点的坐标分别为11223142(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y 则122212,,x x y e y e ==且3412,,x x y e y e ==∴312422,,x x x x e e e e ==∴13242,2,x x x x == ∵直线AB 过原点O ，∴2121y y x x =，∴212122y y x x =，于是2143y yx x =，即OC OD k k =， ∴直线CD 也过原点O ． ……………………………………8分 （3）当直线BC 与y 轴平行时，2314212,242x x x x x x x x ======，∴[]3142121()()()()2f x x x x x y y =-+--=233()(1)44x x x x x xe e e e -=-……………10分 于是方程2()30xf x e -=可化为3(1)302x x xx e e e --=，由于0x e >，且0x =不是该方程的解，所以原方程等价于210x e x--=，………11分令2()1x g x e x =--，则22()0x g x e x'=+>对一切(,0)(0,)x ∈-∞+∞成立，所以和()g x 在(,0)-∞和(0,)+∞都是增函数， …………………………………13分又因为2(1)30,(2)20g e g e =-<=->；321(3)0,(2)03g e g e ---=-<-=>， ………………………………………15分所以方程2()30xf x e -=有且只有两个实根，并且分别在区间[]1,2和[]3,2--上，所求整数t 的值为1和3-． …………………………………16分；附加题答案21A.选修4—1：几何证明选讲证明：设圆O 的半径为r ，圆1O 的半径为R （R r >）过点1O 作1O E AC ⊥，垂足为E ，则22221()()4O E AB R r R r Rr ==+--= ………………………………3分连接1O C ，则222222114(2)4OC O E CE Rr R r R r =+=+-=+ ………………5分 因为2222214CT AC r OT R === 所以22211OC CT OT =+，………………8分 所以三角形1OCT 为直角三角形， 1OT TC ⊥ ………………9分所以CT 为圆1O 的切线，切点为T …………………………………10分B.选修4—2 矩阵与变换 解(1)由30130414--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，30130414⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，……………………………2分 所以(3,4),(3,4)M N ''--所以10M N ''== …………………………………4分 (2)3()(3)(4)004f λλλλλ-==--=- …………………………………6分 得矩阵A 特征值为123,4λλ==， …………………………………7分分别将123,4λλ==代入方程组(3)00,0(4)0,x y x y λλ-+=⎧⎨+-=⎩得矩阵A 属于特征值13λ=的特征向量为101α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当属于特征值24λ=的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………………………10分C.选修4－4：坐标系与参数方程解：（1）由2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩得 21,[1,1]x y x +=∈- ----------4分 （2）由sin()4πρθ+=D 的普通方程为20x y ++=---6分2201x y x y ++=⎧⎨+=⎩得230x x --= -----------8分解得1[1,1]2x ±=∉- 故曲线C 与曲线D 无公共点 ----------10分 D.选修4－5：不等式证明选讲解：当1x ≥时，原不等式等价于(1)(2)2x x --+≤即32-≤--------2分所以1x ≥ ---------3分 当2x ≤-时，原不等式等价于(1)(2)2x x --++≤即32≤所以x ∈∅ ---------5分 当21x -≤≤时，原不等式等价于(1)(2)2x x ---+≤即32x ≥-所以312x -≤≤ ---------8分 由上可知原不等式的解集为3[,)2-+∞ ---------10分22解：（1）由已知213(1)122f S ==+=， 4111113(2)23412f S S =-=++=，62111119(3)345620f S S =-=+++=； …………………………3分 （2）由（Ⅰ）知(1)1,(2)1f f >>；下面用数学归纳法证明：当3n ≥时，()1f n <． …………………………………………4分 （１）由（Ⅰ）当3n =时，()1f n <；………………………………………5分 （２）假设(3)n k k =≥时，()1f n <，即 111()112f k k k k=+++<+，那么 11111(1)1222122f k k k k k k +=+++++++++ 11111111222122k k k k k k k⎛⎫=++++++- ⎪++++⎝⎭ 11111212222k k k k ⎛⎫⎛⎫<+-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2(21)2(22)12(21)2(22)k k k k k k k k -+-+=++++11112(21)(22)k k k k =--<++，所以当1n k =+时，()1f n <也成立． ………………………………………8分 由（1）和（2）知，当3n ≥时，()1f n <． ……………………………………9分 所以当1n =，和2n =时，()1f n >；当3n ≥时，()1f n <．…………………10分23．解：（1）邮递员从该城市西北角的邮局A 到达东南角B 地，要求所走路程最短共有122n n C ++种不同的走法，其中途径C 地的走法有22n n C 种走法，所以邮递员途径C 地的概率[]2212222(1)!(2)!1()2(!)(22)!21nn n n C n n n f n C n n n ++++==⋅=++；………3分 （2）由2(1)(21)112()1212121n n f n n n n +++===++++，得[]212112()121n n f n n ++⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，要证n ∈*N 时，[]2122()3n f n +<<，只要证n ∈*N 时，21121321n n +⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭， ………………………4分因为n ∈*N 时，(21)n +∈*N ，且213n +≥，所以只要证n ∈*N ，且3n ≥时，1213nn ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭． ………………………5分由于3n ≥时012012111112nn n n n nC C C C C n n n n ⎛⎫+=+++>+= ⎪⎝⎭，且 ………………………6分 012323111111nnn n n n nnC C C C C n n n n n ⎛⎫+=+++++ ⎪⎝⎭， 23(1)1(1)(2)1(1)21122!3!3!n n n n n n n n n n n ----⋅=+⋅+⋅++⋅， 21111(2)112122!3!!n n n n n n n n n n n n n n n n n----=+⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅，1111111222!3!!122334(1)n n n <++++<++++⨯⨯⨯-，111111112133223341n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．………………9分所以[]2()3ng n <<成立，所以[]2122()3n f n +<<． ………………………10分。
江苏省南通市2009届高三第一次调研测试数学试题
（第4题）南通市2009届高三第一次调研测试数 学必做题部分*一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 命题“x ∃∈R ，sin 1x ≤”的否定是 ▲ ．2． 若集合A ={}3x x ≥，B ={}x x m <满足A ∪B =R ，A ∩B =∅，则实数m = ▲ ．3． 若22(1)(32)i a a a -+++是纯虚数，则实数a 的值是 ▲ ．4． 按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是 ▲ ．5． 若函数2()12xx k f x k -=+⋅（a 为常数）在定义域上奇函数，则k = ▲ ．6． 若直线4mx ny +=和圆O ：224x y +=没有公共点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22154y x +=的交点个数为 ▲ ．7． 曲线C ：()sin e 2xf x x =++在x =0处的切线方程为 ▲ ．8． 下面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图，则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是 ▲ ．9． 已知集合{}(,)2||2A x y x y x y =∈Z ||≤，≤，，，集合{}22()(2)(2)4B x y x y x y =-+-∈Z ，≤，，，在集合A 中任取一个元素p ，则p ∈B 的概率是 ▲ ．10．设实数,x y 满足2025020x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤，≥，≤，则y x u x y =-的取值范围是 ▲ ．11．已知a ，b 为不共线的向量，设条件M ：⊥-（）b a b ；条件N ：对一切x ∈R ，不等x --≥a b a b 恒成立．则M 是N 的 ▲ 条件．12．已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=0，对任意正整数n ，m (n >m )满足22n m n m n m a a a a -+-=，则a 119= ▲ ．男生 女生9 8 7 6 53 0 3 3 6 6 6 2 0 0 1 5 6 5 3 6 2 8 77（第8题）B（第13题）13．已知正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的俯视图如右图所示，其中四边形ABCD 是边长为2cm 的正方形，则这个四面体的主视图的面积为 ▲ cm 2．14．约瑟夫规则：将1，2，3，…，n 按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，隔一个删除一个数，直至剩余一个数而终止，依次删除的数为1，3，5，7，…．当65n =时，剩余的一个数为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）△ABC 的外接圆半径为1，角A ，B ，C 的对边分别为a ，ｂ，ｃ．向量m =(4cos )a B ，,n =(cos )A b ，满足m //n .（1）求sin sin A B +的取值范围；（2）若实数x 满足abx =a +b ，试确定x 的取值范围.16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠ABC =90°，平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）若平面PAB平面PCD l =，问：直线l 能否与平面ABCD 平行？请说明理由.17．（本小题满分15分）设a 为实数，已知函数3221()(1)3f x x ax a x =-+-.（1）当a =1时，求函数()f x 的极值．（2）若方程()f x =0有三个不等实数根，求a 的取值范围．18．（本小题满分15分）如图，椭圆22221y x a b+=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 、N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅=.（1）设C 是以MN 为直径的圆，试判断原点O 与圆C （2）设椭圆的离心率为12，MN的最小值为.19．（本小题满分16分）下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S 第i 行第j 列的数记为A ij .1 4 7 10 13 …4 8 12 16 20 …7 12 17 22 27 …10 16 22 28 34 …P13 20 27 34 41 …… … … …（1）证明：存在常数*C ∈N ，对任意正整数i 、j ，ij A C +总是合数；（2）设 S 中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列{}n b . 试证不存在正整数k 和m(1)k m <<，使得1k m b b b ，，成等比数列； （3）对于（2）中的数列{}n b ，是否存在正整数p 和r (1150)r p <<<，使得1r p b b b ，，成等差数列．若存在，写出p r ，的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由20．（本小题满分16分）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在函数f (x )的定义域内，就有f (a )，f (b )，f (c )也是某个三角形的三边长，则称f (x )为“保三角形函数”.（1） 判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论： ① f (x )＝ x ； ② g (x )＝sin x (x ∈(0，π)).（2）若函数h (x )＝ln x (x ∈［M ，＋∞))是保三角形函数，求M 的最小值.附加题部分21. （选做题）本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤．A. 选修4－1：几何证明选讲如图，PA 切⊙O 于点A ，D 为PA 的中点，过点D 引 割线交⊙O 于B 、C 两点．求证: DPB DCP ∠=∠．B. 选修4－2：矩阵与变换已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下, 点(12)A ，变成了点(45)A'，，点(31)B -，变成了点(51)B'，，求矩阵M .C. 选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C (2，3π)，半径R ，求圆C 的极坐标方程.D. 选修4－5：不等式选讲已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥.22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．投掷A ，B ，C 三个纪念币，正面向上的概率如下表所示(01)<<a .将这三个纪念币同时投掷一次, 设ξ表示出现正面向上的个数. （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求a 的取值范围.23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知*001a b n n >>>∈N ，，，．用数学归纳法证明：()22nn n a b a b ++≥.南通市2009届高三第一次调研测试数学参考答案及评分标准必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 【填空题答案】1．x ∀∈R ，1sin >x ; 2．3; 3．1； 4．5； 5．1±； 6．2； 7．y =2x +3； 8．1.5； 9．625； 10．83,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 11．充要； 12．－1； 13． 14．2．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）纪念币A B C概 率 12a a△ABC 的外接圆半径为1，角A ，B ，C 的对边分别为a ，ｂ，ｃ．向量m =(4cos )a B ，,n =(cos )A b ，满足m //n .（1）求sin sin A B +的取值范围；（2）若实数x 满足abx =a +b ，试确定x 的取值范围.【解】(1)因为m //n ， 所以4cos cos a B A b=，4cos cos .ab A B =即………………………2分因为三角形ABC 的外接圆半径为1, 由正弦定理，得4sin sin ab A B =. 于是cos cos sin sin 0cos()0A B A B A B -=+=，即.因为π0π,2A B A B <+<+=所以. 故三角形ABC 为直角三角形. ………………………5分πsin sin sin cos )4A B A A A +=+=+, 因为ππ3π444A <+<，πsin()14A <+≤,故1sin sin A B <+ ………………………7分(2)2(sin sin )sin cos 4sin sin 2sin cos A B a b A Ax ab A B A A+++=== .………………………9分设sin cos (1t A A t =+<，则22sin cos 1A A t =-，…………………… 11分21t x t =-，因为2222(1)(1)t x t -+'=- ＜0，故21t x t =-在（1]上单调递减函数. 所以21tt-.所以实数x 的取值范围是)+∞. …………………… 14分16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠ABC =90°，平面PAD ⊥平面ABCD . （1）求证：PA ⊥平面ABCD ； （2）若平面PAB平面PCD l =，问：直线l 能否与平面ABCD 请说明理由.（1）【证明】因为∠ABC =90°，AD ∥BC ，所以AD ⊥AB . 而平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB平面ABCD =AB ,所以AD ⊥平面PAB , 所以AD ⊥PA . ………………3分 同理可得AB ⊥PA . ………………5分 由于AB 、AD ⊂平面ABCD ，且ABAD=C ,所以PA ⊥平面ABCD .………………………7分（2）【解】（方法一）不平行.………………………9分证明：假定直线l ∥平面ABCD , 由于l ⊂平面PCD ，且平面PCD平面ABCD=CD , 所以l ∥CD. (11)分同理可得l ∥AB , 所以AB ∥CD .…………………… 13分这与AB 和CD 是直角梯形ABCD 的两腰相矛盾,故假设错误，所以直线l 与平面ABCD 不平行. ……………………14分（方法二）因为梯形ABCD 中AD ∥BC , 所以直线AB 与直线CD 相交，设ABCD =T . ……………………11分由T ∈CD ，CD ⊂平面PCD 得T ∈平面PCD .同理T ∈平面PAB .…………………… 13分即T 为平面PCD 与平面PAB 的公共点，于是PT 为平面PCD 与平面PAB 的交线.所以直线l 与平面ABCD 不平行.…………………… 14分17．（本小题满分15分）设a 为实数，已知函数3221()(1)3f x x ax a x =-+-.（1）当a =1时，求函数()f x 的极值．（2）若方程()f x =0有三个不等实数根，求a 的取值范围． 【解】(1)依题有321()3f x x x =-，故()()222f 'x x x x x =-=-.………………………2分由………………………5分得()f x 在0x =时取得极大值()00f =，()f x 在2x =时取得极小值()423f =-.…………7分(2) 因为()[][]222(1)(1)(1)f 'x x ax a x a x a =-+-=---+，………………………9分所以方程()0f 'x =的两根为a －1和a +1，显然，函数()f x 在x = a －1取得极大值，在x =a +1是取得极小值. ……………………11分因为方程()f x =0有三个不等实根，所以(1)0,(1)0,f a f a ->⎧⎨+<⎩ 即221(2)(1)0,31(2)(1)0,3a a aa ⎧+->⎪⎨⎪-+<⎩ 解得22a -<<且1a ≠±.故a 的取值范围是(2,1)(1,1)(1,2)---.…………………… 15分18．（本小题满分15分）如图，椭圆22221y x a b+=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 、N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅=.（1）设C 是以MN 为直径的圆，试判断原点O 与圆C （2）设椭圆的离心率为12，MN 的最小值为.【解】（1）设椭圆22221y x a b+=的焦距为2c (c >0)， 则其右准线方程为x ＝2a c ，且F 1(－c , 0), F 2(c , 0). 分设M ()()2212,,a a y N y c c，，则1F M ＝()()22122,,a a c y F N c y c c+=-，，()()2212,,a a OM y ON y c c==，.………………………4分因为120F M F N ⋅=，所以()()22120a a c c y y c c +-+=，即()22212ay y c c+=.于是()222120aOM ON y y c c⋅=+=>，故∠MON 为锐角.所以原点O 在圆C外. ………………………7分 （2）因为椭圆的离心率为12，所以a =2c ， ………………………8分于是M()()124,4,c y N c y ，，且()22221215.ay y c c c=-=- ………………………9分MN 2＝(y 1－y 2)2＝y 12+y 22－2y 1y 22221212122460y y y y y y c =++=≥. …………………… 12分当且仅当 y 1＝－y 2或y 2＝－y 1时取“=”号， …………………… 13分所以(MN )min = 215c ＝215，于是c =1, 从而a ＝2，b ＝3， 故所求的椭圆方程是22143y x +=. …………………… 15分19．（本小题满分16分）下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S ．其特点是每行每列都是等差数列，第i 行第j 列的数记为A ij .1 4 7 10 13 … 4 8 12 16 20 … 7 12 17 22 27 … 10 16 22 28 34 … 13 20 27 34 41 …… … … …（1）证明：存在常数*C ∈N ，对任意正整数i 、j ，ij A C +总是合数；（2）设 S 中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列{}n b . 试证不存在正整数k 和m(1)k m <<，使得1k m b b b ，，成等比数列； （3）对于（2）中的数列{}n b ，是否存在正整数p 和r (1150)r p <<<，使得1r p b b b ，，成等差数列．若存在，写出p r ，的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．（1）【证明】因为第一行数组成的数列{A 1j }(j=1,2，…)是以1为首项，公差为3的等差数列，所以A 1 j ＝1+(j －1)×3＝3 j －2，第二行数组成的数列{A 2j }(j ＝1,2，…)是以4为首项，公差为4的等差数列， 所以A 2j＝4+(j －1)×4＝4j ． ………………………2分所以A 2 j －A 1 j ＝4 j －(3 j －2)＝j ＋2，所以第j 列数组成的数列{ A ij }(i ＝1,2，…)是以3 j －2为首项，公差为 j ＋2的等差数列，所以A ij ＝3 j －2＋(i －1) ×(j ＋2) ＝ij ＋2i ＋2j －4＝(i＋3)(j＋2)8． ……………5分故A ij ＋8=(i ＋3) (j ＋2)是合数．所以当C ＝8时，对任意正整数i 、j ，ij A C +总是合数 ………………………6分（2）【证明】(反证法)假设存在k 、m ，1k m <<，使得1k m b b b ，，成等比数列，即21m k b b b =， ………………………7分∵b n ＝A nn ＝(n+2)2－4∴2221[(2)8][(2)8]m k ⨯+-=+- 得8]8)2[()2(222=-+-+k m ，即8]8)2()2][(8)2()2[(22=++-+-+++k m k m ， (10)分又∵1k m <<，且k 、m ∈N ，∴k ≥2、m ≥3，2(2)(2)8516813m k +++-≥+-=∴22880(2)(2)81(2)(2)813m k m k <+-++=≤<+++-，这与2(2)(2)8m k +-++∈Z 矛盾，所以不存在正整数k 和m (1)k m <<，使得1k m b b b ，，成等比数列．……………………12分（3）【解】假设存在满足条件的p r ，，那么222(44)1(44)r r p p +-=++-，即2(5)(1)(5)(1)r r p p +-=+-.…………………… 14分不妨令512(1)5r p r p +=-⎧⎨-=+⎩，， 得1319.r p =⎧⎨=⎩，所以存在1319r p ==，使得1r pb b b ，，成等差数列． …………………… 16分（注：第（3）问中数组()r p ，不唯一，例如(85,121)也可以）20．（本小题满分16分）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在函数f (x )的定义域内，就有f (a )，f (b )，f (c )也是某个三角形的三边长，则称f (x )为“保三角形函数”.（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：① f (x )＝ x ； ② g (x )＝sin x (x ∈(0，π)).（2）若函数h (x )＝ln x (x ∈［M ，＋∞))是保三角形函数，求M 的最小值.（1）【答】f (x )＝ x 是保三角形函数，g (x )＝sin x (x ∈(0，π))不是保三角形函数. 【证明】① f (x )＝ x 是保三角形函数.对任意一个三角形的三边长a ，b ，c ，则a ＋b ＞c ，b ＋c ＞a ，c ＋a ＞b ，f (a )＝ a ，f (b )＝ b ，f (c )＝ c .因为(a ＋b )2＝a ＋2ab ＋b ＞c ＋2ab ＞(c )2，所以a ＋b ＞c . 同理可以证明：b ＋c ＞a ，c ＋a ＞b .所以f (a )、f (b )、f (c )也是某个三角形的三边长，故 f (x )＝ x 是保三角形函数. ………………4分②g (x )＝sin x (x ∈(0，π))不是保三角形函数. 取()π5π5π0π266∈，，，，显然这三个数能作为一个三角形的三条边的长. 而sin π2＝1，sin 5π6＝12，不能作为一个三角形的三边长.所以g (x )＝sin x (x ∈(0，π))不是保三角形函数. ………………………8分(2)【解】M 的最小值为2. …………………… 10分(i)首先证明当M ≥2时，函数h (x )＝ln x (x ∈［M ，＋∞))是保三角形函数. 对任意一个三角形三边长a ，b ，c ∈［M ，＋∞)，且a ＋b ＞c ，b ＋c ＞a ，c ＋a ＞b ， 则h (a )＝ln a ，h (b )＝ln b ，h (c )＝ln c .因为a ≥2，b ≥2，a ＋b ＞c ，所以(a －1)(b －1)≥1，所以ab ≥a ＋b ＞c ，所以ln ab ＞ln c ，即ln a ＋ln b ＞ln c .同理可证明ln b ＋ln c ＞ln a ，ln c ＋ln a ＞ln b . 所以ln a ，ln b ，ln c 是一个三角形的三边长.故函数h (x )＝ln x (x ∈［M ，＋∞)，M ≥2)，是保三角形函数. …………………… 13分(ii)其次证明当0<M ＜2时，h (x )＝ln x (x ∈［M ，＋∞))不是保三角形函数. 当0<M ＜2时，取三个数M ，M ，M 2∈［M ，＋∞)，因为0＜M ＜2，所以M ＋M ＝2M ＞M 2，所以M ，M ，M 2是某个三角形的三条边长， 而ln M ＋ln M ＝2ln M ＝ln M 2，所以ln M ，ln M ，ln M 2不能为某个三角形的三边长，所以h (x )＝ln x 不是保三角形函数. 所以，当M ＜2时，h (x )＝ln x (x ∈［M ，＋∞))不是保三角形函数. 综上所述：M 的最小值为2. …………………… 16分P附加题部分21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．E.选修4－1：几何证明选讲如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引割线交⊙O于B、C两点．求证: DPB DCP∠=∠．【证明】因为PA与圆相切于A，所以2DA DB DC=⋅，………………………2分因为D为PA中点，所以DP=DA，所以DP2=DB·DC，即PD DBDC PD=．………………………5分因为B D∠=∠，所以B∆∽PDC∆，………………………8分所以D∠=．…………………… 10分F.选修4－2：矩阵与变换已知在一个二阶矩阵M的变换作用下, 点(12)A，变成了点(45)A'，，点(31)B-，变成了点(51)B'，，求矩阵M.【解】设a bc d⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M，………………………2分则由1425a bc d⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，3511a bc d⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， (5)分得2425353 1.a bc da bc d+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩，，，………………………8分所以2112.a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，，， 因此2112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M . …………………… 10分G. 选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C (2，3π)，半径R，求圆C 的极坐标方程. 解法一：设P (ρ，θ)是圆上的任意一点，则PC =R. ……………………4分由余弦定理，得ρ2+22－2×2×ρcos(θ－3π)=5. ……………………8分 化简，得ρ2－4ρcos(θ－3π)＋1=0，此即为所求的圆C 的方程. ……………………10分解法二：将圆心C (2，3π)化成直角坐标为(1，半径R， (2)分 故圆C 的方程为(x －1)2＋(y－2=5. ……………………4分再将C 化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2+(ρcos θ－2=5. ……………………6分化简，得ρ2－4ρcos(θ－3π)＋1=0 ，此即为所求的圆C 的方程. ……………………10分H. 选修4－5：不等式选讲已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥.【证明】因为2222()(222)a b c a b c ab bc ac ++=++-++………………………3分2222()2()a b c a b c ++-++≥………………………7分所以22223()()1a b c a b c ++++=≥.故22213a b c ++≥.…………………… 10分22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．投掷A ，B ，C 三个纪念币，正面向上的概率如下表所示(01)<<a .将这三个纪念币同时投掷一次, 设ξ表示出现正面向上的个数. （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求a 的取值范围. 【解】(1)()P ξ是ξ个正面向上,3ξ-个背面向上的概率.其中ξ的可能取值为0，1，2，3.()0022121122(0)C 1C (1)(1)P a a ξ==--=-, ()1020121212111222(1)C C (1)C 1C (1)(1)P a a a a ξ==⋅-+--=-, ()1102221212111222(2)C C (1)C 1C (2)P a a aa a ξ==⋅-+-=-,21221212(3)C C 2a P a ξ==⋅=. ………………………4分所以ξ的分布列为ξ的数学期望为22221112222410(1)1(1)2(2)32a a E a a a a ξ+=⨯-+⨯-+⨯-+⨯=. ………………………5分(2) ()221(1)(0)1(1)(1)2P P a a a a ξξ⎡⎤=-==---=-⎣⎦, 纪念币A B C概 率 12a a22112(1)(2)(1)(2)22a P P a a a ξξ-⎡⎤=-==---=⎣⎦, 222112(1)(3)(1)22a P P a a ξξ-⎡⎤=-==--=⎣⎦. 由2(1)0,120,21202a a aa ⎧⎪-⎪-⎪⎨⎪⎪-⎪⎩≥≥≥和01a <<，得102a <≤,即a 的取值范围是(10,2⎤⎥⎦. …………………… 10分 23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知*001a b n n >>>∈N ，，，．用数学归纳法证明：()22nn na b a b ++≥. 【证明】（1）当n =2时，左边－右边＝()()22220222a ba b a b ++--=≥，不等式成立.………………………2分（2）假设当n =k （*,1k k ∈>N ）时，不等式成立，即()22kk k a b a b ++≥. ………………4分因为*001a b k k >>>∈N ，，，， 所以11()()()()0k k k k k k a b a b ab a b a b +++-+=--≥，于是11k k k k a b a b ab ++++≥.……………6分。
2009年江苏高考数学试题及参考答案（详解详析版）
2009年江苏⾼考数学试题及参考答案（详解详析版）2009年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的⽅差221111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中⼀、填空题：本⼤题共14⼩题，每⼩题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．. 1.若复数1 2429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★.【答案】20- 【解析】略2.已知向量a 和向量b 的夹⾓为30，||2,||==a b a 和向量b 的数量积= a b ★ .【答案】3【解析】232=?= a b 。
3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为★ .【答案】(1,11)- 【解析】2()330333(11)(1)f x xx x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
4.函数s i n ()(y A x A ω?ω?=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所⽰，则ω= ★ .【答案】3 【解析】32T π=，23T π=，所以3ω=， 5.现有5根⽵竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中⼀次随机抽取2根⽵竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为★ . 【答案】0.2 【解析】略6.某校甲、⼄两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学⽣进⾏投篮练习，每⼈投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的⽅差中较⼩的⼀个为s =★ .【答案】25【解析】略7.右图是⼀个算法的流程图，最后输出的W = ★ .【答案】22 【解析】略8.在平⾯上，若两个正三⾓形的边长的⽐为1：2，则它们的⾯积⽐为1：4，类似地，在空间，若两个正四⾯体的棱长的⽐为1：2，则它们的体积⽐为★ . 【答案】1：8 【解析】略9.在平⾯直⾓坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第⼆象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为★ . 【答案】(2,15)- 【解析】略 10.已知12a-=，函数()xf x a =，若实数,m n 满⾜()()f m f n >，则,m n 的⼤⼩关系为★ . 【答案】m n < 【解析】略 11.已知集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ?则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =★ .【答案】4【解析】由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ?知4a >，所以c =4。
2009年江苏省高考数学真题(解析版)
2． 已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30，|a|=2，|b|= 3，则向量 a 和向量 b 的数量积 a·b=
【答案】3．
【解析】 a b a b cos 2
3
3 2
3
．
第1页共9页
▲．
【说明】考查向量的数量积（代数）运算． 3． 函数 f (x)=x3−15x2−33x+6 的单调减区间为 ▲ ． 【答案】 (1,11) ．
卷及答题卡上。 3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。 4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它
位置作答一律无效。作答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。 5、如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
【说明】本题考查合情推理之类比推理．
9． 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：y=x3−10x+3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的
切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为 ▲ ． 【答案】 (2,15) ．
【解析】设点 P 的横坐标为 x0，由 y 3x2 10 知 3x02 10 2 ，又点 P 在第二象限，x0 2 ，所以 P(2,15) ．
【说明】本题考查导数的几何意义——曲线切线的斜率．
10．已知 a
5 1 2
，函数
f(x)=ax，若实数
m，n
满足
f(m)>f(n)，则
m，n
的大小关系为
▲
．
【答案】 m n
【解析】由 0
5 2
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2009届江苏省四星级高中高三数学基础练习（一）
1.设全集U={1, 3, 5, 7}，集合M={1,5}a -，M U ⊆，U M ð={5, 7}，则实数a 的值为_ ___
2．已知(2,1)a =--，(,1)b λ=，若a 和b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是
3．下图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位: cm ），可知这个几何体的表面积是 。
4．设两个平面α，β，直线l ，下列条件：（1）l ⊥α，
（2）//l β，（3）αβ⊥，若以其中两个为前提，另一个
为结论，则构成三个命题，这三个命题中正确的命题个数
为___ ___
5．已知函数212
log (35)y x ax =-+在[1,)-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是
6.在数列{a n }中，对任意自然数n ∈N *，a 1+a 2+…+a n =2n －1，则22212n
a a a ++⋅⋅⋅+= 7.定义在R 上的偶函数f (x )满足(1)()f x f x +=-，且在[－1，0]上是增函数，给出下面关于f (x )的判断：
① f (x )是周期函数；
② f (x )关于直线x =1对称；
③ f (x )在[0，1]上是增函数；
④ f (x )在[1，2]上是减函数；
⑤ f (2)= f (0)。
其中正确判断的序号为_ __（写出所有正确判断的序号）。
8. 设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =2b sinA 。
（1）求B 的大小；
（2）求cosA+sinC 的取值范围。
9．如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，
且，若E ，F 分别为PC ，BD 的中点，
求证：
（1）EF//平面PAD ；
（2）平面PDC ⊥平面PAD 。
10.已知数列{a n }，当n 为奇数时，11n n a a +-=；当n 为偶数时，13n n a a +-=；且a 1+a 2=5。
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）记S n =a 1+a 2+…+a n ，求S n 。
高三数学练习（一） 1. _8___ 2． 122λλ>-≠且 3．
(218cm +。
4． __1___5．（-8，-6] 6. ()1413n - 7. _①②⑤__8. 解：（1）;6B π=（2）
cosA+sinC 32⎫∈⎪⎪⎝⎭
9．解：略
10.解：（1）2,21n n n a n n ⎧=⎨
-⎩为奇数，为偶数（2）当n 为奇数时，S n 21122n n =++，当n 为偶数时S n 212
n n =+。