2015-2016学年高中数学 2.5第18课时 “点差法”在解析几何题中的应用复习小结教案
解析几何求轨迹方程的常用方法
解析几何求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标〔x ，y 〕表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f 〔t 〕， y ＝g 〔t 〕，进而通过消参化为轨迹的普通方程F 〔x ，y 〕＝0。
4. 代入法〔相关点法〕：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，〔该点坐标满足某已知曲线方程〕，则可以设出P 〔x ，y 〕，用〔x ，y 〕表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程〕，该法经常与参数法并用。
一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为〔-4，0〕，〔4，0〕，C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
例2： 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，假设b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
高中数学解析几何中点差法的探讨
高中数学解析几何中点差法的探讨作者：卢小妮来源：《新课程·中学》2019年第06期摘要：解析几何在高考数学试卷中占有较大分值的比重，需要学生根据具体题意灵活调动自己学到的解析几何知识，利用本模块的常用解题方法准确分析。
其中，点差法是解答解析几何题目的重要方法，如果高中生可以在特定问题背景下灵活应用，则可有效简化高中生的解题思路，保证解析几何题目的正确率，是提升高中生数学解题能力的重要内容。
从确定点差法的适用题型、全面思考应用点差法的注意事项、着重训练高中生利用点差法解答解析几何题目的解题能力三个角度分析高中数学教师应如何更好地渗透点差法的解题教学。
关键词：高中数学;解析几何;点差法;策略说到数学，我想大多数高中生都会经受一定的学习失败，尤其是在解析几何题目教学中，学生需学习圆锥曲线的相应知识，根据椭圆、双曲线、直线方程等多个知识点展开数学分析，对学生的空间想象能力与逻辑推理能力要求很高。
其中，点差法是指通过分析直线与圆锥曲线的两个交点，将这两个交点代入圆锥曲线方程之中作差，然后得出一个与交点、弦长的中点、斜率有关的方程式，从而完成解题目的的解题策略。
这种解题方法大大降低了解析几何知识的理解难度与运算量，便于空间想象能力较差的学生利用代数知识正确解题。
一、确定点差法的适用题型世界上没有万能钥匙，点差法也不能解决所有的解析几何问题。
而且，解析几何题目的解题方法很多，如韦达定理、定义法等都是很好的解题方法。
如果我们忽视了点差法的适用题型，必将降低点差法的解题效率，打击学生学习自信。
因此，高中数学教师应认真分析点差法的使用条件，展示点差法的解题规律，为学生灵活应用做好准备。
根据点差法的定义，我们一般会在与弦的中点有关的题目中应用点差法，以便降低解题难度。
比如在这样一个题目中：“过点C（3，4）的直线l与抛物线y2=4x交于A，B两点，且C是弦长AB的中点，请求解直线l的解析式”。
通过题意可以确定，本题本身是求解弦长方程式的问题，与中点有关，所以我們可以直接设A，B两点坐标，将其代入抛物线y2=4x之中，然后通过点差法计算直线方程的斜率，即可得出直线方程答案。
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x)2()1(-，得.02222122221=---byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.2200a b x y k MN=⋅∴ 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200b a x y k MN=⋅. 典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22ba x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ， 整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2） P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=AB k ∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围； （2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？ （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x k直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222 k k k k k k 解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k 的取值范围是).23,2()2,2()2,( ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200ab x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知OB OA OP +=（O 为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q .,OB OA OP +=由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点. 设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x . 由2222a bx y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x y x y x y x y，整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例 4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由24y =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a ∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………② 由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（ ）A.14322=-y xB. 13422=-y xC. 12522=-y xD. 15222=-y x 2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹;（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200ab x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a . 故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22ab x y k CD =⋅得：21=⋅-x y，即x y 2-=.由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -. 由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ， 整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200abx y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ， 解之得：1,221=-=x x . ∴.2332||1||122=⋅=-+=x x k AB4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：29,2300==y k x 又 300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . ∴1±=k .由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。
高中数学解析几何专题：解析几何中的设点技巧
解析几何中的设点法与应用1．两点式方程若),(11y x ，),(22y x 是直线上两定点，则过这两点的直线方程为：121121x x x x y y y y --=--.为使其更具有一般性，若将其化简为12211221)()(y x y x x y y y x x -=-+-①.①式的特征是右端出现了这两点的交叉轮换式，即二阶行列式，若①式表示过定点),(b a 的直线，则只需证明12211221)()(y x y x a y y b x x -=-+-恒成立即可.这样的话，在处理斜率问题时的关键就是构造出上述的轮换关系，单纯的斜率定义：不重合的两点),(),,(2211y x B y x A ，则1212x x y y k AB --=是难以直接构造的，所以我们需要利用斜率的点差法来构造，下面通过例子予以说明. 2.如何利用点差法构造轮换式1221y x y x ±例1.（2022新高考1卷）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ∠=PAQ ∆的面积．解析：（1）设),(),,(2211y x Q y x P ，由点A Q P ,,都在双曲线C 上，得，，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：，.因为直线AQ AP 、的斜率之和为0，即QA PA k k -=，所以，由得. ② 由得. ③ 12,1222222121=-=-y x y x 112222=-)1(22211111++=--=y x x y k PA )1(22212222++=--=y x x y k QA )1(22212211++-=--y x x y )422()1(221212121--+-=--+x x x x y y y y )1(22211122++=--y x x y )422()1(212211221--+-=--+x x x x y y y y由②-③，得，从而，即l 的斜率为1-.例2.（2020山东卷）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．解析：（1）由题意可得：22222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.（2）设，依题意知， 因为，所以， 整理得 同理得 相减可得即直线MN 恒过定点. 又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP =．三．一般性推广设),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的定点，AB 是椭圆上一条动弦，直线PB PA AB ,,的斜率分别为21,,k k k ；（1）若2221ab k k =，则有000,0x y k x -=≠，1221x x y y -=-12121-=--=x x y y k PQ ),(),,(2211y x B y x A 121212211-=--⋅--=⋅x y x y k k BM AM 212121222222-=-=++⋅--a b x y x y 212212211=++⋅--y x x y 2242212122112---+=-y y x x y x y x 2242221211221---+=-y y x x y x y x ),(31)(3212212112x x y y y x y x ---=-)31,32(-H（2）若2221ab k k ≠，则直线AB 过定点，（3）若021=+k k ，则有02020,0y a x b k y =≠，（4）若021≠+k k ，则直线AB 过定点.证明：此处用点代法证明结论（3），其余的类似证明，请读者自行尝试.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 在第一象限内有一点),(00y x P ，过点P 作两条倾斜角互补的直线PB PA ,分别交椭圆于另一点B A ,，则有02020,0y a x b k y =≠.解析 设),(),,(2211y x B y x A ，其中.所以依题意得，所以，从而 同理，有 两式相减，得所以，证毕.1222222221*********=+=+=+by a x b y a x b y a x 02022202020101220101,y y x x a b x x y y k y y x x a b x x y y k PB PA ++⋅-=--=++⋅-=--=PB PAk k -=0202220101y y x x a b x x y y ++⋅=--)()(202010212202010212x x x x x x x b y y y y y y y a --+=--+)()(201020212201020212x x x x x x x b y y y y y y y a --+=--+),()(21022102x x x b y y y a -=-02022121y a x b x x y y k AB =--=。
解析几何解题思路总结
解析几何巧妙解题思路总结解析几何巧妙解题思路总结一．直线和圆的方程一．直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、掌握直线方程的点斜式、掌握直线方程的点斜式、两点式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．线的方程判断两条直线的位置关系． 3．了解二元一次不等式表示平面区域．．了解二元一次不等式表示平面区域． 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用．．了解线性规划的意义，并会简单的应用． 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． 二．圆锥曲线方程二．圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质． 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用．．了解圆锥曲线的初步应用． 【例题解析】 考点1.1.求参数的值求参数的值求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一求参数的值是高考题中的常见题型之一,,其解法为从曲线的性质入手其解法为从曲线的性质入手,,构造方程解之构造方程解之. . 例1．（2009年安徽卷）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线222y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 2. 求线段的长求线段的长求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一求线段的长也是高考题中的常见题型之一,,其解法为从曲线的性质入手其解法为从曲线的性质入手,,找出点的坐标找出点的坐标,,利用距离公式解之离公式解之. .例2．（2009年四川卷)已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于A.3 B.4 C.32D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x bì=-+Þ++-=Þ+=-í=+î，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出221114(2)32AB =+-´-=．故选C 例3．（2006年四川卷）如图，把椭圆2212516x y +=的长轴的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆2212516x y +=的方程知225, 5.a a =\=∴12345677277535.2aPF P F P F P F P F P F P F a ´++++++==´=´= 故填35. 考点3. 3. 曲线的离心率曲线的离心率曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,,其解法为充分利用其解法为充分利用: : (1)(1)椭圆的离心率椭圆的离心率e ＝ac ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁越大则椭圆越扁); );(2) (2) 双曲线的离心率双曲线的离心率e ＝ac ∈(1, (1, ＋∞＋∞＋∞) (e ) (e 越大则双曲线开口越大越大则双曲线开口越大). ).结合有关知识来解题结合有关知识来解题. .例4．（2008年全国卷）文（年全国卷）文（44）理（）理（44）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为双曲线方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221106x y -= D ．221610x y -=考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念. 解答过程：解答过程： 2,4,ce c a=== 所以22,12.a b \==故选(A). 小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会. 例5．（2008年广东卷）已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（到右准线的距离之比等于（ ）A. 2B.332 C. 2 D.4 考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e ＝ac∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力. 解答过程：依题意可知解答过程：依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ． 考点4.4.求最大求最大求最大((小)值求最大求最大((小)值, , 是高考题中的热点题型之一是高考题中的热点题型之一其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是特别是,,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答. .例6．(2006年山东卷年山东卷))已知抛物线y 22=4x,=4x,过点过点P(4,0)P(4,0)的直线与抛物线相交于的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是的最小值是 . 考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:设过点P(4,0)的直线为()()224,8164,y k x k x x x =-\-+=()()122222222122284160,8414416232.k x k x k k y y x x k k \-++=+æö\+=+=´=+³ç÷èø 故填32. 考点5 5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 例7．（2007年广东卷文）年广东卷文）在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y=x 相切于坐标原点O.椭圆9222y ax +=1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. （1）求圆C 的方程；的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. [考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．行推理运算的能力和解决问题的能力． [解答过程] (1) 设圆C 的圆心为的圆心为 (m, n) 则,222,m n n =-ìïí×=ïî 解得2,2.m n =-ìí=î所求的圆的方程为所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-= (2) 由已知可得由已知可得 210a = ， 5a =． 椭圆的方程为椭圆的方程为 221259x y += , 右焦点为右焦点为 F( 4, 0) ; 假设存在Q 点()222cos ,222sin q q -++使QF OF =, ()()22222cos 4222sin 4q q-+-++=．整理得整理得 s i n 3c o s 22q q=+， 代入代入 22sin cos 1q q +=． 得:210cos 122cos 70q q ++= , 122812222cos 11010q -±-±==<-．因此不存在符合题意的Q 点. 例8．（2007年安徽卷理）年安徽卷理）如图,曲线G 的方程为)0(22³=y x y .以原点为圆心，以)0(>t t 为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的轴的 正半轴相交于正半轴相交于 A 与点B. 直线直线 AB 与 x 轴相交于点C. （Ⅰ）求点（Ⅰ）求点 A 的横坐标的横坐标 a 与点与点 C 的横坐标c 的关系式；的关系式；（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2+a ,求证：直线CD 的斜率为定值. [考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系 ，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力. [解答过程]（I ）由题意知，).2,(a a A 因为.2,||22t a a t OA =+=所以 由于.2,02a a t t +=>故有 （1）由点B （0，t ），C （c ，0）的坐标知，直线BC 的方程为.1=+t y c x又因点A 在直线BC 上，故有,12=+ta c a将（1）代入上式，得,1)2(2=++a a a ca 解得解得 )2(22+++=a a c . （II ）因为))2(22(++a a D ，所以直线CD 的斜率为的斜率为1)2(2)2(2))2(22(2)2(22)2(2-=+-+=+++-++=-++=a a a a a a c a a k CD ，所以直线CD 的斜率为定值. 例9．已知椭圆2222x y E :1(a b 0)a b +=>>，AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦AB 的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线AB 交于点N(4,1)-，若椭圆离心率e 和双曲线离心率1e 之间满足1ee 1=，求：，求： （1）椭圆E 的离心率；（2）双曲线C 的方程. 解答过程：（1）设A 、B 坐标分别为1122A(x ,y ),B(x ,y )，则221122x y 1a b+=，222222x y 1a b +=，二式相减得：，二式相减得： 21212AB 21212y y (x x )b k x x (y y )a -+==-=-+2MN 22b 1(1)k 1a 24---===--， 所以2222a 2b 2(a c )==-，22a 2c =， 则c2e a 2==；（2）椭圆E 的右准线为22a(2c)x 2c cc===，双曲线的离心率11e 2e==， 设P(x,y)是双曲线上任一点，则：是双曲线上任一点，则： 22(x 2)(y 1)|PM |2|x 2c ||x 2c |-+-==--，两端平方且将N(4,1)-代入得：c 1=或c 3=，当c 1=时，双曲线方程为：22(x 2)(y 1)0---=，不合题意，舍去；，不合题意，舍去；当c 3=时，双曲线方程为：22(x 10)(y 1)32---=，即为所求. 小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法； （2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：典型例题：例10．(2008年山东卷）双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线y=x 3为C 的一条渐近线. (1)求双曲线C 的方程；的方程；(2)过点P(0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）当12PQ QA QB l l ==，且3821-=+l l 时，求Q 点的坐标. 考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力. 解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b -=, 由椭圆22184x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-，\对于双曲线:2C c =，又3y x =为双曲线C 的一条渐近线的一条渐近线\3ba = 解得解得 221,3ab ==，\双曲线C 的方程为2213y x -=（Ⅱ）解法一：（Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零. 设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y ,则4(,0)Q k -. 1PQ QA l = ,11144(,4)(,)x y kkl \--=+. 111111114444()44x k k x k k y y l l l l ì=--ìï-=+ïï\Þííïï-==-îïî 11(,)A x y 在双曲线C 上，上，\2121111616()10k l l l +--=. \222211161632160.3k k l l l ++--=\2221116(16)32160.3k k l l -++-=同理有：2222216(16)32160.3k k l l -++-=若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k \-¹12,l l \是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根. 122328163k l l \+==--,24k \=，此时0,2k D >\=±. \所求Q 的坐标为(2,0)±. 解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零存在且不等于零 设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-. 1PQ QA l = ， Q \分PA的比为1l . 由定比分点坐标公式得由定比分点坐标公式得1111111111144(1)14401x x k k y y l l l l l l l ìì-==-+ïï+ïï®íí+ïï=-=ïï+îî下同解法一下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零存在且不等于零 设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-. 12PQ QA QB l l == ， 111222444(,4)(,)(,)x y x y kkkl l \--=+=+. 11224y y l l \-==， 114y l \=-，224y l =-，又1283l l +=-，121123y y \+=,即12123()2y y y y +=. 将4y kx =+代入2213y x -=得222(3)244830k y y k --+-=. 230k -¹ ，否则l 与渐近线平行. 212122224483,33k y y y y k k -\+==--. 222244833233k k k -\´=´--.2k \=±(2,0)Q \±. 解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ,则4(,0)Q k- 1PQ QA l = ,11144(,4)(,)x y kkl \--=+. \1114444k kx x kl -==-++.同理同理 1244kx l =-+. 1212448443kx kx l l +=--=-++. 即 2121225()80k x x k x x +++=. （*）又 22413y kx y x =+ìïí-=ïî消去y 得22(3)8190k x kx ---=. 当230k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k -¹. 由韦达定理有：由韦达定理有： 12212283193k x x k x x k ì+=ïï-íï=-ï-î代入（*）式得）式得24,2k k ==±. \所求Q 点的坐标为(2,0)±. 例11．（2007年江西卷理）年江西卷理）设动点P 到点A(－l ，0)和B(1，0)的距离分别为d 1和d 2， ∠APB ＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d 1d 2 sin 2θ＝λ． （1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；的方程；（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围, 使OM ·ON ＝0,其中点O 为坐标原点．为坐标原点．[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合 运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．[解答过程]解法1：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos2d d d d q =+-，2212124()4sin d d d d q =-+，即2121244sin 212d d d d q l -=-=-<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长221a l =-的双曲线．的双曲线．方程为：2211x y l l-=-．（2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．在双曲线上．即2111511012l l l l l -±-=Þ+-=Þ=-，因为01l <<，所以512l -=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x l lì-=ï-íï=-î得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k l l l l l éù--+---+=ëû， 由题意知：2(1)0k l l éù--¹ëû，所以21222(1)(1)k x x k l l l --+=--，2122(1)()(1)k x x k l l l l --+=--． 于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x kl l l =--=--．因为0=×ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以在双曲线右支上，所以 2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x l l l l l l l l l l l l l ll -ì+=ì-ì=ï>-ïïï+-+>ÞÞÞ<<+--íííïïï>+->>îîï-î． 由①②知，51223l -<≤．解法2：（1）同解法1 （2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB l l l l l=-=Þ+-=-，因为01l <<，所以512l -=； ②当12x x ¹时，002222212111111y x k y x y xMN ×-=Þïïîïïíì=--=--l l l l l l ． 又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x l l l -=-；由2MON p =∠得222002MN x y æö+=ç÷èø，由第二定义得2212()222MN e x x a æö+-éù=ç÷êúëûèø 22000111(1)211x x x l l ll æö=--=+--ç÷--èø． 所以2220(1)2(1)(1)y x x l l l l -=--+-．于是由22000222000(1),(1)2(1)(1),y x x y x x l l l l l l l ì-=-ïí-=--+-ïî得20(1).23x l l -=-因为01x >，所以2(1)123l l->-，又01l <<，C BA oy x解得：51223l -<<．由①②知51223l -<≤．考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易. 例12．设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为33，过点C(1,0)-的直线交椭圆E 于A 、B 两点，且CA2BC = ，求当AOB D 的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程. 解答过程：因为椭圆的离心率为33，故可设椭圆方程为222x 3y t(t 0)+=>，直线方程为my x 1=+，由222x 3y t my x 1ì+=í=+î得：22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )， 则1224m y y 2m 3+=+…………① 又CA 2BC =，故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---，即12y 2y =-…………②由①②得：128m y 2m 3=+，224m y 2m 3-=+，则AOB 1221m S |y y |6||22m 3D =-=+＝66322|m ||m |£+， 当23m 2=，即6m 2=±时，AOB D 面积取最大值，面积取最大值，此时2122222t32m y y 2m 3(2m 3)-==-++，即t 10=，所以，直线方程为6x y 102±+=，椭圆方程为222x 3y 10+=. 小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易. 例13．已知P A (x 5,y)=+，PB (x 5,y)=- ，且|P A||P B|6+= ， 求|2x 3y 12|--的最大值和最小值. 解答过程：设P(x,y)，A(5,0)-，B(5,0)，因为|P A ||PB|6+=，且|AB|256=<，所以，动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆，的椭圆，椭圆方程为22x y 194+=，令x 3cos ,y 2sin =q =q ， 则|2x 3y 12|--＝|62cos()12|4pq +-，当cos()14pq +=-时，|2x 3y 12|--取最大值1262+，当cos()14pq +=时，|2x 3y 12|--取最小值1262-. 小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题. 例14．（2006年福建卷）年福建卷） 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ， O 为坐标原点. （I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；相切的圆的方程； （II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，两点， 线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==\=-=-圆过点O 、F ， \圆心M 在直线12x =-上. 设1(,),2M t -则圆半径13()(2).22r =---=由,OM r =得2213(),22t -+=解得 2.t =±\所求圆的方程为2219()(2).24x y ++±=（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+¹代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F ，\方程有两个不等实根. ylG ABF OF EP DBA Oy x记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则21224,21k x x k +=-+AB \的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得222002222211.21212124210,0,2G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++¹\-<<\点G 横坐标的取值范围为1(,0).2- 例15．已知双曲线C ：2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足|OA|,|OB|,|OF| 成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，（1）求证：PA OP PA FP ×=×；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围. 解答过程：（1）因|OA |,|OB|,|OF| 成等比数列，故22|OB |a|OA |c |OF|== ，即2a A(,0)c ， 直线l ：ay (x c)b=--，由2a y (x c)a ab b P(,)bc c y xa ì=--ïïÞíï=ïî， 故：22ab a ab b ab PA (0,),OP (,),FP (,)c c c c c =-==-，则：222a b PA OP PA FP c×=-=×，即PA OP PA FP ×=× ；（或P A (OP FP)P A (PF PO)P A OF 0×-=×-=×=，即PA OP PA FP ×=× ） （2）由44422222222222222ay (x c)a a a c (b )x 2cx (a b )0b b b b b x a y a b ì=--ïÞ-+-+=íï-=î，由4222212422a c (a b )b x x 0a b b -+=<-得：4422222b a b c a a e 2e 2.>Þ=->Þ>Þ>（或由DFDO k k >Þa bb a->-Þ2222222222b c a a e 2e 2=->Þ>Þ>）小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标. 例16．已知a (x,0)= ，b (1,y)=，(a 3b)(a 3b)+^- ，（1）求点P(x,y)的轨迹C 的方程；的方程；（2）若直线y kx m(m 0)=+¹与曲线C 交于A 、B 两点，D(0,1)-，且|AD ||BD |=， 试求m 的取值范围. 解答过程：（1）a 3b +＝(x,0)3(13(1,,y)(x 3,3y)+=+，a 3b -＝(x,0)3(13(1,,y)(x 3,3y)-=--， 因(a 3b)(a 3b)+^- ，故(a 3b)(a 3b)0+×-=，即22(x 3,3y)(x 3,3y)x 3y 30+×--=--=，故P 点的轨迹方程为22x y 13-=. （2）由22y kx mx 3y 3=+ìí-=î得：222(13k )x 6kmx 3m 30----=， 设1122A(x ,y ),B(x ,y )，A 、B 的中点为00M(x ,y )则22222(6km)4(13k )(3m 3)12(m 13k )0D =----=+->，1226km x x 13k +=-，1202x x 3km x 213k +==-，002my kx m 13k=+=-， 即A 、B 的中点为223km m(,)13k 13k --， 则线段AB 的垂直平分线为：22m 13kmy ()(x )13k k 13k -=----， 将D(0,1)-的坐标代入，化简得：24m 3k 1=-，PQCBA xy O则由222m 13k 04m 3k 1ì+->ïí=-ïî得：2m 4m 0->，解之得m 0<或m 4>，又24m 3k 11=->-，所以1m 4>-， 故m 的取值范围是1(,0)(4,)4-+¥ . 小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象. 考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立. 例17．已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，且AC BC 0×= ，|BC|2|AC|=， （1）求椭圆的方程；）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P ,Q 使PCQ Ð的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ，使得PQ λAB =？请说明理由；请说明理由；解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立轴建立 平面直角坐标系，则A(2,0)，设椭圆方程为222x y14b+=，不妨设C 在x 轴上方，轴上方，由椭圆的对称性，|BC|2|AC|2|OC||AC||OC|==Þ= ，又AC BC 0×=AC OC Þ^，即ΔOCA 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：24b 3=， 即，椭圆方程为22x 3y 144+=； （2）假设总存在实数λ，使得PQ λAB =，即AB //PQ ，由C(1,1)得B(1,1)--，则AB 0(1)1k 2(1)3--==--，若设CP ：y k(x 1)1=-+，则CQ ：y k(x 1)1=--+，由22222x 3y 1(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1044y k(x 1)1ì+=ïÞ+--+--=íï=-+î， 由C(1,1)得x 1=是方程222(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 10+--+--=的一个根，的一个根，由韦达定理得：2P P 23k 6k 1x x 113k --=×=+，以k -代k 得2Q 23k 6k 1x 13k+-=+， 故P Q P Q PQ P Q P Q yy k(x x )2k 1k x x x x 3-+-===--，故AB //PQ ， 即总存在实数λ，使得PQ λAB =. 评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围. 例18．设G 、M 分别是ABC D 的重心和外心，A(0,a)-，B(0,a)(a 0)>，且GM AB =l ，（1）求点C 的轨迹方程；的轨迹方程；（2）是否存在直线m ，使m 过点(a,0)并且与点C 的轨迹交于P 、Q 两点，且OPOQ 0×= 若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解答过程：（1）设C(x,y)，则x yG(,)33， 因为GM AB =l ，所以GM //AB ，则xM(,0)3，由M 为ABC D 的外心，则|MA ||MC |=，即2222x x ()a (x)y 33+=-+，整理得：2222x y 1(x 0)3a a+=¹；（2）假设直线m 存在，设方程为y k(x a)=-，由2222y k(x a)x y 1(x 0)3aa =-ìïí+=¹ïî得：22222(13k )x 6k ax 3a (k 1)0+++-=，设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则21226k a x x 13k +=+，221223a (k 1)x x 13k -=+，22212121212y y k (x a )(x a )k [x x a (x x )a ]=--=-++＝2222k a 13k-+， 由OP OQ 0×=得：1212x x y y 0+=，即2222223a (k 1)2k a13k 13k --+=++，解之得k 3=±，又点(a,0)在椭圆的内部，直线m 过点(a,0)，故存在直线m ，其方程为y 3(x a)=±-. 小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；然后做出正确的判断；（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题. 专题训练与高考预测专题训练与高考预测一、选择题一、选择题1．如果双曲线经过点(6,3)，且它的两条渐近线方程是1y x 3=±，那么双曲线方程是（），那么双曲线方程是（）A ．22x y 1369-= B ．22x y 1819-= C ．22x y 19-= D ．22x y 1183-= 2．已知椭圆2222x y 13m 5n +=和双曲线2222x y 12m 3n-=有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（为（ ） A.15x y 2=± B. 15y x2=± C. 3x y 4=± D. 3y x 4=± 3．已知12F ,F 为椭圆2222x y 1(a b 0)a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴，轴， 且12FMF 60Ð=°，则椭圆的离心率为（，则椭圆的离心率为（ ） A.12 B.22 C.33 D.324．二次曲线22x y 14m+=，当m [2,1]Î--时，该曲线的离心率e 的取值范围是（的取值范围是（ ）A.23[,]22B. 35[,]22C.56[,]22D. 36[,]225．直线m 的方程为y kx 1=-，双曲线C 的方程为22x y 1-=，若直线m 与双曲线C 的右支相交于不重合的两点，则实数k 的取值范围是（的取值范围是（ ）A.(2,2)-B.(1,2)C.[2,2)-D.[1[1,,2)6．已知圆的方程为22x y 4+=，若抛物线过点A(1,0)-，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（抛物线的焦点的轨迹方程为（ ） A. 22xy1(y0)34+=¹B. 22x y 1(y 0)43+=¹ C. 22x y 1(x 0)34-=¹ D. 22x y 1(x 0)43-=¹二、填空题二、填空题7．已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by ax 上一点，若021=×PF PF 21tan 21=ÐF PF ，则椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为 ______________ . 8．已知椭圆x 2+2y 2=12，A 是x 轴正方向上的一定点，轴正方向上的一定点，若过点若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，点A 的坐标是______________ . 9．P 是椭圆22x y 143+=上的点，12F ,F 是椭圆的左右焦点，设12|PF ||PF |k ×=，则k 的最大值与最小值之差是______________ . 10．给出下列命题：．给出下列命题：①圆22(x 2)(y 1)1++-=关于点M(1,2)-对称的圆的方程是22(x 3)(y 3)1++-=；F 2F 1A 2A 1PNM oy x FQoyx②双曲线22x y 1169-=右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为292；③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(4,3)--的抛物线方程只能是29y x 4=-；④P 、Q 是椭圆22x 4y 16+=上的两个动点，O 为原点，直线OP ,OQ 的斜率之积为14-，则22|OP ||OQ|+等于定值20 . 把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题三、解答题 11．已知两点A(2,0)，B(2,0)-，动点P 在y 轴上的射影为Q ，2PA PB 2PQ ×=， （1）求动点P 的轨迹E 的方程；的方程；（2）设直线m 过点A ，斜率为k ，当0k 1<<时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2，试求k 的值及此时点C 的坐标. 12．如图，1F (3,0)-，2F (3,0)是双曲线C 的两焦点，直线4x 3=是双曲线C 的右准线，12A ,A是双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于2A 的一动点，直线1A P 、2A P 交双曲线C 的右准线分别于M,N 两点，两点， （1）求双曲线C 的方程；的方程；（2）求证：12FM F N × 是定值. 13．已知OFQ D 的面积为S ，且OFFQ 1×= ，建立如图所示坐标系，，建立如图所示坐标系， （1）若1S 2=，|OF|2= ，求直线FQ 的方程；的方程；（2）设|OF|c(c 2)=³，3S c 4=，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆过点Q ，求当|OQ |取得最小值时的椭圆方程. 14．已知点H(3,0)-，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP PM 0×= ，3PM MQ 2=-，BAMQ E T HP o yx（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过点T(1,0)-作直线m 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点0E(x ,0)，使得ABE D 为等边三角形，求0x 的值. 15．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量AB 与OM 是共线向量．是共线向量． （1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点，是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；的取值范围；16．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使NPNM PN PM MN MP ×××,,成公差小于零的等差数列，数列， （Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？的轨迹是什么曲线？ （Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，q 为PN PM 与的夹角，求tan θ．参考答案参考答案一. 1．C .提示，设双曲线方程为提示，设双曲线方程为11(x y)(x y)33+-=l ，将点(6,3)代入求出l 即可. 2．D .因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在x 轴上，故椭圆焦点为22(3m 5n ,0)-，双曲线焦点为22(2m 3n ,0)+，由22223m 5n 2m 3n -=+得|m |22|n |=，所以，双曲线的渐近线为6|n |3y x 2|m |4=±=± . 3．C .设1|MF |d =，则2|MF |2d =，12|FF |3d =，11212|FF |c 2c 3d3e a2a|MF ||MF |d 2d 3=====++ . 4.C .曲线为双曲线，且曲线为双曲线，且512>，故选C ；或用2a 4=，2b m =-来计算. 5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义. 二.7．解：设c 为为椭圆半焦距，∵021=×PF PF ，∴21PF PF ^ . 又21tan 21=ÐF PF ∴ïïïîïïïíì==+=+212)2(122122221PF PF a PF PF c PF PF解得：255()93,cc e aa === ． 选D ． 8． 解：设A （x 0，0）（x 0＞0），则直线l 的方程为y=x-x 0，设直线l 与椭圆相交于P （x 1，y 1），Q （x 2、y 2），由，由 y=x-x 0 可得3x 2-4x 0x+2x 02-12=0， x 22+2y 22=12 34021x x x =+，31222021-=×x x x ，则，则 2020221221212363234889164)(||x x xx x x x x x -=--=-+=-．∴||13144212x x x -×+=，即202363223144x -××=． ∴x 02=4，又x 0＞0，∴x 0=2，∴A （2，0）．9．1；22212k |PF ||PF |(a ex)(a ex)a e x =×=+-=- . 10．②④. 三. 11．解（1）设动点P 的坐标为(x,y)，则点Q(0,y)，PQ (x,0)=-，P A (2x,y)=-- ，PB (2x,y)=---，22P A PB x 2y ×=-+ ，因为2PA PB 2PQ ×= ，所以222x 2y 2x -+=，即动点P 的轨迹方程为：22y x 2-=； （2）设直线m ：y k(x 2)(0k 1)=-<<，依题意，点C 在与直线m 平行，且与m 之间的距离为2的直线上，的直线上， 设此直线为1m :y kx b =+，由2|2k b |2k 1+=+，即2b 22kb 2+=，……①把y kx b =+代入22y x 2-=，整理得：222(k 1)x 2kbx (b 2)0-++-=，则22224k b 4(k 1)(b 2)0D =---=，即22b 2k 2+=，…………②由①②得：25k 5=，10b 5=，此时，由方程组222510y x C(22,10)55y x 2ì=+ïÞíï-=î . 12．解：（1）依题意得：c 3=，2a4c 3=，所以a 2=，2b 5=，所求双曲线C 的方程为22x y145-=；（2）设00P(x ,y )，11M(x ,y )，22N(x ,y )，则1A (2,0)-，2A (2,0)，100A P (x 2,y )=+ ，200A P (x 2,y )=- ，1110A M (,y )3= ，222A N (,y )3=- ， 因为1A P 与1A M 共线，故01010(x 2)y y 3+=，01010y y 3(x 2)=+，同理：0202y y 3(x 2)=--， 则1113F M (,y )3= ，225F N (,y )3=-， 所以12FM F N ×＝1265y y 9-+＝202020y 6599(x 4)---＝20205(x 4)206541099(x 4)-´--=-- . 13．解：（1）因为|OF|2= ，则F(2,0)，OF (2,0)=，设00Q(x ,y )，则00FQ (x 2,y )=- ，0OF FQ 2(x 2)1×=-= ，解得05x 2=，由0011S |OF ||y ||y |22=×== ，得01y 2=±，故51Q(,)22±，所以，PQ 所在直线方程为y x 2=-或y x 2=-+；（2）设00Q(x ,y )，因为|OF|c(c 2)=³，则00FQ (x c,y )=- ，)))设椭圆方程为22x y a b +=222594a4b í+=ïî所以，椭圆方程为x y106+=MQ 2-)2-Q(,0)3)(x,)22-22(k 2)k -，2(,)k k-2(x )k k k-=--2k=+2E(k+的距离等于3|2221212(x x )(y y )=-+-＝22241k 1k k -×+，所以，422231k 21k k |k |-=+，解得：3k 2=±，011x 3= . 15．解：（1）∵a b y c x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-= . ∵AB OM a b k AB与,-=是共线向量，∴a bac b -=-2，∴b=c,故22=e . （2）设1122121212,,,2,2,FQ r F Q r F QF r r a F F c q ==Ð=\+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r q +-+--===-³-=+ 当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[pÎ . 16．解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得）得(1,),PM MP x y =-=--- ),1(y x NP PN ---=-=， )0,2(=-=NM MN . 所以所以 )1(2x MN MP +=× . 122-+=×y x PN PM ， )1(2x NP NM -=× . 于是，于是， NP NM PN PM MN MP ×××,,是公差小于零的等差数列等价于是公差小于零的等差数列等价于îîïíì<+---++=-+0)1(2)1(2)]1(2)1(2[21122x x x x y x 即 îíì>=+0322x y x . 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. （Ⅱ）点P 的坐标为),(00y x 。
点差法
点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好。
点差法：适应的常见问题：弦的斜率与弦的中点问题；①注意：点差法的不等价性；（考虑⊿>0）②“点差法”常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题。
在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程. 这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题. 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系,中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为,,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法".求直线方程或求点的轨迹方程例1 抛物线X^2=3y上的两点A、B的横坐标恰是关于x的方程x^2+px+q=0，(常数p、q∈R)的两个实根，求直线AB的方程.解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1^2=3y1 ①；x1^2 +px1+q=0 ②；由①、②两式相减，整理得px1+3y1+q=0 ③；同理px2 +3y2+q=0 ④.∵③、④分别表示经过点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线，因为不共线的两点确定一条直线.∴px+3y+q=0，即为所求的直线AB的方程待定系数法例、分解因式x －x －5x －6x－4分析：已知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
点差法-轨迹+
“点差法”在解析几何题中的应用江苏省木渎高级中学 （215101） 潘振嵘在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1 求弦中点的轨迹方程例1已知椭圆2212xy +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.解 设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y . 则221112x y +=，（1）222212x y +=，（2） ()()12-得：()2222121202x x y y -+-=，()1212121202x x y y y y x x +-∴++=-.又121212122,2,2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=.弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=（在已知椭圆内）.例2直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2:1f y x =+的相交弦是AB，则弦AB 的中点轨迹方程是 .解 设()()1122,,A x y B x y 、，AB 中点(),M x y ，则122x x x +=.()():150l a x y --+=，l ∴过定点()1,5N -，51A B M N y k k x +∴==-.又()2111y x =+，（1）()2221y x =+，（2）()()12-得：()()()()2212121212112y y x x x x x x -=+-+=-++，1212122AB y y k x x x x -∴==++-.于是5221y x x +=+-，即227y x =-.弦中点轨迹在已知抛物线内，∴所求弦中点的轨迹方程为227y x =-（在已知抛物线内）. 求直线的斜率例5已知椭圆221259xy+=上不同的三点()()11229,,4,,,5A x y B C x y ⎛⎫⎪⎝⎭与焦点()4,0F 的距离成等差数列.（1）求证：128x x +=；（2）若线段A C 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线B T 的斜率k .（1）证 略.（2）解128x x += ，∴设线段A C的中点为()04,D y .又A C 、在椭圆上，∴22111259x y +=，（1）22221259x y +=，（2） ()()12-得：22221212259x x y y --=-，()()121212120998362525225x x y y x x y y y y +-∴=-=-⋅=--+.∴直线D T的斜率02536DT y k =，∴直线D T 的方程为()0025436y y y x -=-.令0y =，得6425x =，即64,025T ⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线B T 的斜率9055644425k -==-.1、已知A B C ∆的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且A B C ∆的重心G 是抛物线的焦点，求直线B C 的方程.解 由已知抛物线方程得()8,0G .设B C 的中点为()00,M x y ，则A G M 、、三点共线，且2AG GM =，G ∴分AM 所成比为2，于是002281282012x y +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩+，解得00114x y =⎧⎨=-⎩，()11,4M ∴-.设()()1122,,,B x y C x y ，则128y y +=-. 又21132y x =，（1）22232y x =，（2）()()12-得：()22121232y y x x -=-，121212323248BC y y k x x y y -∴====--+-.B C∴所在直线方程为()4411y x +=--，即4400x y +-=.2 确定参数的范围3 证明定值问题例7已知AB 是椭圆()222210x y a b ab+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线O P 的斜率之积是定值. 证明 设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠，则2211221x y ab+=，（1）2222221x y ab+=，（2） ()()12-得：2222121222x x y y ab--=-，()()2121221212bx x y y x x a y y +-∴=--+，()()2121221212ABbx x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212O P y y k x x +=+，221A B O Pb k k a∴=-⋅，22AB OP b k k a∴⋅=-（定值）.关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。
高中数学解析几何知识点总结大全
高中数学解析几何知识点大总结第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
(2)范围：︒<≤︒1800α2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.αtan =k（1）.倾斜角为︒90的直线没有斜率。
（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。
（3）设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ，则当21x x ≠时，2121tan x x y y k --==α；当21x x =时，o 90=α；斜率不存在； 二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y =注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
3.两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠则直线的方程：121121x x x x y y y y --=--； 注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。
4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程：1=+by a x ； 注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。
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课题：“点差法”在解析几何题中的应用
课时：18 课型：复习课 复习引入：
在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1
求弦中点的轨迹方程
例1 已知椭圆2
212
x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 解 设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y .
则22
1112x y +=，（1）222212x y +=，（2） ()()12-得：
()22
22121202
x x y y -+-=， ()1212
1212
02x x y y y y x x +-∴
++=-. 又12
121212
2,2,
2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=.
弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=（在已知椭圆内）. 例2 直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2
:1f y x =+的相交弦是
AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .
解 设()()1122,,A x y B x y 、，AB 中点(),M x y ，则122x x x +=.
()():150l a x y --+=，l ∴过定点()1,5N -，5
1
AB MN y k k x +∴==
-. 又()2
111y x =+，（1）()2
221y x =+，（2）
()()12-得：()
()()()2
2
12121212112y y x x x x x x -=+-+=-++，
12
1212
2AB y y k x x x x -∴=
=++-.
于是
5
221
y x x +=+-，即227y x =-. 弦中点轨迹在已知抛物线内，∴所求弦中点的轨迹方程为227y x =-（在已知抛物线内）. 2
求曲线方程
例3 已知ABC ∆的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且ABC ∆的重心
G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程.
解 由已知抛物线方程得()8,0G .设BC 的中点为()00,M x y ，则A G M 、、三点共
线，且2AG GM =，G ∴分AM 所成比为2，于是0
022812
82012
x y +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩+，
解得0011
4
x y =⎧⎨
=-⎩，()11,4M ∴-.
设()()1122,,,B x y C x y ，则128y y +=-. 又21132y x =，（1）22232y x =，（2）
()()12-得：()22121232y y x x -=-，1212123232
48
BC
y y k x x y y -∴=
===--+-.
BC ∴所在直线方程为()4411y x +=--，即4400x y +-=.
例4 已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>的一条准线方程是1x =，有一条倾斜角为4π
的
直线交椭圆于A B 、两点，若AB 的中点为11,24C ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭，求椭圆方程. 解 设()()1122,,A x y B x y 、，则12121
1,2x x y y +=-+=，且2211221x y a b
+=，（1）
22
22221x y a b
+=，（2）
()()
12-得：
2222
12
12
22
x x
y y a b --=-
，
()()2212122212121
12
b x x y y b x x a y y a +--∴=-=-⋅-+，21221221AB y y b k x x a
-∴===-，222a b ∴=，
（3）又2
1a c
=，2a c ∴=，（4） 而
222a b c =+，
（5）由（3），（4），（5）可得2
211
,24
a b ==， ∴所求椭圆方程为22
11124
x y +
=. 3
求直线的斜率
例5 已知椭圆
221259x y +=上不同的三点()()11229,,4,,,5A x y B C x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
与焦点()4,0F 的距离成等差数列.（1）求证：128x x +=；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k .
（1）证 略.
（2）解 128x x += ，∴设线段AC 的中点为()04,D y .
又A C 、在椭圆上，∴22111259x y +=，（1）22
221259x y +=，（2） ()()12-得：
22221212259
x x y y --=-， ()()1212121200
99836
2525225x x y y x x y y y y +-∴=-=-⋅=-
-+. ∴直线DT 的斜率02536DT y k =
，∴直线DT 的方程为()0
025436
y y y x -=-.令0y =，得6425x =，即64,025T ⎛⎫
⎪⎝⎭，∴直线BT 的斜率9
55
644425
k -==-. 4 确定参数的范围
例6 若抛物线2:C y x =上存在不同的两点关于直线():3l y m x =-对称，求实数m 的取值范围.
解 当0m =时，显然满足.
当0m ≠时，设抛物线C 上关于直线():3l y m x =-对称的两点分别为()()1122,,P x y Q x y 、，且PQ 的中点为()00,M x y ，则211y x =，
（1）222y x =，（2）()()12-得：221212y y x x -=-，1212120
11
2PQ y y k x x y y y -∴=
==
-+， 又1PQ k m =-
，02
m y ∴=-. 中点()00,M x y 在直线():3l y m x =-上，()003y m x ∴=-，于是05
2
x =
. 中点M 在抛物线2y x =区域内
2
00y x ∴<，即2
522m ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
，解得1010m -<<.
综上可知，所求实数m 的取值范围是()
10,10-. 5
证明定值问题
例7 已知AB 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的
中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.
证明
设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠，
则2211221x y a b +=，（1）22
22221x y a b +=，（2） ()()12-得：2222
121222x x y y a b
--=-，
()()2121221212b x x y y x x a y y +-∴=--+，()()
21212
2
1212AB b x x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212OP y y k x x +=+，221AB OP
b k k a ∴=-⋅，22AB OP b k k a ∴⋅=-（定值）.
6 处理存在性问题
例8
已知双曲线2
2
112
x y -
=，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于P ，Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
解 假设这样的直线存在，设,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则122x x +=，
122y y +=，又2211112x y -
=，（1）2222112
x y -=，（2） ()()12-得：()()()()1212
12121
02
x x x x y y y y +--+-=，
∴()()121220x x y y ---=
PQ ∴的斜率 12
12
2y y k x x -=
=-
又直线l 过,,P Q B 三点，l ∴的方程为 ()121y x -=-，即21y x =-.
但若将21y x =-代入2
2
112
x y -
=整理得方程22430x x -+=，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.。