北师大版九年级数学下册试题第一章直角三角形的边角关系基础测试.docx
北师大九年级下第一章直角三角形的边角关系检测题含答案
第一章检测题时间：120分钟满分：120分一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．(2021·玉林)计算：cos 245°＋sin 245°＝( B )A.12B ．1 C.14D.322．把△ABC 三边的长度都缩小为原来的13，则锐角A 的正弦值( A )A ．不变B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝23，则cos B 的值等于( C ) A.12B.22C.23D ．14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝50°，AB ＝10，则BC的长为( B )A ．10tan50°B ．10sin40°C ．10sin50° D.10cos50°5．已知α为锐角，且sin (α－10°)＝22，则α等于( B )A ．45°B ．55°C ．60°D ．65°6．已知锐角α满足等式3cos 2α－8cos α＋4＝0，则cos α的值为( A ) A.23B ．2 C ．2或23D ．以上都不对7．(2021·淄博)若锐角α满足cos α＜22且tan α＜3，则α的范围是( B )A ．30°＜α＜45°B ．45°＜α＜60°C ．60°＜α＜90°D ．30°＜α＜60°8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( C ) A.14B.13C.12D ．2错误!错误!,第9题图)错误!,第10题图)9．如图，某校数学兴趣小组用测倾器测量某大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°，已知测倾器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度为(C)(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)A．34米B．38米C．45米D．50米10．转化思想是中学数学中一种常用且有效的解题方法，在本章中这种思想的作用更为突出．通过添加辅助线将非直角三角形问题转化为两个最熟悉的(锐角为30°和45°)直角三角形来解决．试用此方法解决下面问题：如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB ＝6，则AC的长度是(D)A．3 B．33C．5 D．3 6二、细心填一填(每小题3分，共24分)11．计算：tan245°－1＝__0__．12．某坡面的坡度为1∶3，则坡角是__30°__．13．如图，在坡屋顶的设计图中，AB＝AC，屋顶的宽度l为10米，坡角α为35°，则坡屋顶高度h为__3.5__米．(结果精确到0.1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70),第13题图),第14题图),第15题图),第16题图) 14．如图，P是∠α的边OA上的一点，且点P的坐标为(1，3)，则sinα＝__32__．15．如图，海中有一个小岛A，它的周围15海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西60°的B处，往东航行20海里后到达该岛南偏西30°的C处后，货船继续向东航行，你认为货船航行途中__没有__触礁的危险．(填“有”或“没有”) 16．如图，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC为__82.0__米．(精确到0.1米；参考数据：2≈1.414，3≈1.732)17．直线y＝kx－1与y轴相交所成的锐角为60°，则k＝__±3 3__．18．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则图中点P与液面的距离是__6_cm__．三、耐心做一做(共66分)19．(8分)计算：(1)2sin30°－tan60°＋tan45°；(2)cos245°＋tan60°·cos30°－3tan230°＋4sin230°.解：(1)2－3(2)220．(8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，解这个直角三角形．解：∠A＝30°，AB＝103，BC＝5321．(8分)已知锐角α使关于x 的一元二次方程x 2－2sin α·x ＋3sin α－34＝0有两个相等的实数根，求α的度数．解：由题意得b 2－4ac ＝(2sin α)2－4(3sin α－34)＝0，即4sin 2α－43sin α＋3＝0，解得sin α＝32.∵α为锐角，∴α＝60°22．(9分)如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？(结果精确到0.1米；参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，3≈1.73)解：过A作AD⊥CB，垂足为点D.在Rt△ADC中，AD＝CDtan60°＝363＝123≈20.76.在Rt△ADB中，BD＝AD·tan37°≈20.76×0.75＝15.57≈15.6(米)，则气球应至少再上升15.6米23．(10分)为解决某地的干旱问题，在山洞C里发现了暗河(如图)．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着A，B两村庄，山洞C位于A村庄南偏东30°方向，且位于B村庄南偏东60°方向．为方便A，B两村庄的村民取水，需从山洞C处向公路AB紧急修建一条最近的简易公路CD.现已知A，B两村庄相距6千米．(1)求这条最近的简易公路CD的长；(精确到0.01千米)(2)每修建1千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用．(精确到个位；参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：(1)过C作CD⊥AB，垂足是D.由题意知，∠A＝30°，∠DBC＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝6 km.在Rt△BCD中，CD＝BC·sin60°＝33≈5.20(km)(2)5.20×16000＝83200(元)24．(11分)(2021·淄博)如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG 表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42 cm，AB＝43 cm，CF＝42 cm，∠DBA＝60°，∠DAB＝80°.求两根较粗钢管AD和BC的长．(结果精确到0.1 cm；参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73)解：如图，作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，则FH＝42 cm.在Rt△BFH中，BF＝FHsin60°≈420.87≈48.28，∴BC＝BF＋CF＝48.28＋42≈90.3(cm)．在Rt△BDQ中，BQ＝DQtan60°.在Rt△ADQ中，AQ＝DQtan80°.∵BQ＋AQ＝AB＝43，∴DQtan60°＋DQtan80°＝43，解得DQ≈56.999.在Rt△ADQ中，AD＝DQsin80°≈56.9990.98≈58.2(cm)，则两根较粗钢管AD和BC的长分别为58.2 cm，90.3 cm25．(12分)如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP>AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．(1)判断△AMP ，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝35，求AB 的长．解：(1)有三对相似三角形，即△AMP ∽△BPQ ∽△CQD (2)设AP ＝x ，∴由折叠知BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x.由△AMP ∽△BPQ 得AM BP ＝AP BQ ，∴BQ ＝x 2.由△AMP ∽△CQD 得AP CD ＝AM CQ，∴CQ ＝2，∴AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2＋1.∵在Rt △FDM 中，sin ∠DMF ＝35，DF ＝DC ＝2x ，∴2x x 2＋1＝35，变形得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝13(不合题意，舍去)，∴AB ＝2x ＝6。
2024年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试北师大版
直角三角形的边角关系(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．2cos45°的值等于(B )A．22B．2C．24D．222．在Rt△ABC 中，若∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，则sin A 的值为(C )A．45B．34C．35D．433．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则∠A 的锐角三角函数值(C )A．扩大2倍B．缩小12C．不变D．无法确定4．(2023·威海)如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求AB 的长，下列按键顺序正确的是(B )A．7×sin 28＝B．7÷sin 28＝C．7×tan28＝D．7÷tan28＝第4题图第6题图第7题图5．在△ABC 中，若|sin A －12|＋(33－tan B )2＝0，则∠C 的度数为(A )A．120°B．90°C．60°D．30°6．(2023·南充)如图，小兵同学从A 处出发向正东方向走x 米到达B 处，再向正北方向走到C 处，已知∠BAC ＝α，则A ，C 两处相距(B )A．x sin α米B．x cos α米C．x ·sin α米D．x ·cos α米7．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos B 的值为(B )A．12B．22C．32D．338．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sin α＝cos β＝35，则梯子顶端上升了(C )A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米第8题图第9题图第10题图9．如图，小岛在港口P 的北偏西60°方向，距港口56海里的A 处，货船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P ，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是(A )A．72海里/时B．73海里/时C．76海里/时D．282海里/时10．如图，Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，cos B ＝14，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使∠ADE ＝∠B ，连接CE ，则CEAD的值为(D )A．32B．3C．152D．2二、填空题(每小题3分，共15分)11．如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2，则sin B 的值是__12__．第11题图第13题图第14题图第15题图12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3BC ＝3AC ，则tan A ＝__33__，∠B ＝__60°__．13．如图，在△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为__42__．14．(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A ，在点A 和建筑物之间选择一点B ，测得AB ＝30m，用高1m(AC ＝1m)的测角仪在A 处测得建筑物顶部E 的仰角为30°，在B 处测得仰角为60°，则该建筑物的高是__(153＋1)_m__．(结果保留根号)15．(2023·广元)如图，在平面直角坐标系中，已知点A (1，0)，点B (0，－3)，点C在x 轴上，且点C 在点A 右方，连接AB ，BC ，若tan ∠ABC ＝13，则点C 的坐标为__(94，0)__.三、解答题(共75分)16．(8分)计算：2cos 230°－2sin60°·cos45°.解：原式＝2×(32)2－2×32×22＝32－62＝3－6217．(9分)已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝332，AB ＝3，利用三角函数知识，求∠A ，∠B 的度数．解：在△ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝332，AB ＝3，∴sin B ＝AC AB ＝32.∴∠B ＝60°.∴∠A ＝90°－∠B ＝30°.∴∠A ，∠B 的度数分别为30°，60°18．(9分)如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D .若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sinA ＋cosB 的值．解：在Rt△ACD 中，CD ＝6，tan A ＝CD AD ＝32，∴AD ＝4.∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt△BCD 中，BC ＝82＋62＝10.∴cos B ＝BD BC ＝45.在Rt△ADC 中，AC ＝42＋62＝213.∴sin A ＝DCAC ＝6213＝31313.∴sin A ＋cos B ＝31313＋4519．(9分)(2023·通辽)如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东72°方向，距离灯塔100海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东40°方向上的B 处．这时，B 处距离灯塔P 有多远？(结果取整数．参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)解：由题意得PC ⊥AB ，EF ∥AB ，∴∠A ＝∠EPA ＝72°，∠B ＝∠BPF ＝40°，在Rt△APC中，AP ＝100海里，∴PC ＝AP ·sin 72°≈100×0.95＝95(海里)，在Rt△BCP 中，BP ＝PCsin40°≈950.64≈148(海里)，∴B 处距离灯塔P 约有148海里20．(9分)(2023·湖北)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，斜面坡度i ＝3∶4是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF 的比．已知斜坡CD 长度为20米，∠C ＝18°，求斜坡AB 的长．(结果精确到0.1米．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，由题意得AF ⊥BC ，DE ＝AF ，∵斜面AB 的坡度i ＝3∶4，∴AF BF ＝34，∴设AF ＝3x 米，则BF ＝4x 米，在Rt△ABF 中，AB ＝AF 2＋BF 2＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x (米)，在Rt△DEC 中，∠C ＝18°，CD ＝20米，∴DE ＝CD ·sin18°≈20×0.31＝6.2(米)，∴AF ＝DE ＝6.2米，∴3x ＝6.2，解得x ＝3115，∴AB ＝5x ≈10.3(米)，∴斜坡AB 的长约为10.3米21．(10分)(永州中考)已知锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系式：a sin A ＝b sin B ＝csin C.(1)如图1，若a ＝6，∠B ＝45°，∠C ＝75°，求b 的值；(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD (如图2所示)，若CD ⊥AB ，AC ＝14米，AB ＝10米，sin ∠ACB ＝5314，求景观桥CD 的长度．解：(1)∵∠B ＝45°，∠C ＝75°，∴∠A ＝60°，∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，∴6sin60°＝bsin45°，∴b ＝26(2)∵AB sin ∠ACB ＝AC sin B ，∴105314＝14sin B ，∴sin B ＝32，∴∠B ＝60°，∴tan B ＝CDBD ＝3，∴BD ＝33CD ，∵AC 2＝CD 2＋AD 2，∴196＝CD 2＋(10－33CD )2，∴CD ＝83或CD ＝－33(舍去)，∴CD 的长度为83米22．(10分)(2023·衡阳)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB 的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部243米的C 处，遥控无人机旋停在点C 的正上方的点D 处，测得教学楼AB 的顶部B 处的俯角为30°，CD 长为49.6米．已知目高CE 为1.6米．(1)求教学楼AB 的高度；(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA 的方向，以43米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB .解：(1)过点B 作BM ⊥CD 于点M ，则∠DBM ＝∠BDN ＝30°，在Rt△BDM 中，BM ＝AC ＝243米，∠DBM ＝30°，∴DM ＝BM ·tan ∠DBM ＝243×33＝24(米)，∴AB ＝CM ＝CD －DM ＝49.6－24＝25.6(米).答：教学楼AB 的高度为25.6米(2)连接EB 并延长交DN 于点G ，则∠DGE ＝∠MBE ，在Rt△EMB 中，BM ＝AC ＝243米，EM ＝CM－CE ＝24米，∴tan ∠MBE ＝EM BM ＝24243＝33，∴∠MBE ＝30°＝∠DGE ，∵∠EDG ＝90°，∴∠DEG ＝90°－30°＝60°，在Rt△EDG 中，ED ＝CD －CE ＝49.6－1.6＝48(米)，∴DG ＝ED ·tan60°＝483(米)，∴483÷43＝12(秒)，∴经过12秒时，无人机刚好离开了圆圆的视线23．(11分)如图，斜坡AB 的坡角∠BAC ＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A ，过其另一端D 安装支架DE ，DE 所在的直线垂直于水平线AC ，垂足为点F ，E 为DF 与AB 的交点．已知AD ＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC ＝28°.锐角A三角函数13°28°32°sin A0.220.470.53cos A0.970.880.85tan A0.230.530.62(1)求AE的长(结果取整数)；(2)冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少？(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解：(1)在Rt△ADF中，cos∠DAF＝AFAD，∴AF＝AD·cos∠DAF＝100cos28°≈100×0.88＝88(cm)，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝AFAE，∴AE＝AFcos∠EAF＝88cos13°≈880.97≈91(cm)(2)设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，∴∠AMN＝∠MAG＋∠DGA＝13°＋32°＝45°，在Rt△ADF中，DF＝AD·sin∠DAC＝100sin28°≈100×0.47＝47(cm)，在Rt△DFG中，tan∠DGA＝DFFG，∴FG＝47tan32°≈470.62≈75.8(cm)，∴AG＝AF＋FG≈88＋75.8＝163.8(cm)，在Rt△AGN中，AN＝AG·sin∠DGA＝163.8×sin32°≈163.8×0.53≈86.8(cm)，∵∠AMN＝45°，∴△AMN为等腰直角三角形，∴AM＝2AN≈1.41×86.8≈122.4(cm)，∴EM＝AM－AE≈122.4－91≈31.4(cm)，∴EM≈32cm.当M、H重合时，EH的值最小，∴EH的最小值约为32cm。
新北师大版九下第一章直角三角形的边角关系同步测试题
新北师大版九下第一章直角三角形的边角关系同步测试题一、单选题1、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=35，那么cosB 的值等于（ ）A ．35 B ．45 C ．34 D ．432、如图，将等腰直角三角形ABC 绕点A 逆时针旋转15°后得到△ AB ′C ′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3．6．3、为了求河对岸建筑物AB 的高,在地平面上测得基线CD=180米,在C 点测得A 点的仰角为30°,在地平面上测得∠BCD=∠BDC=45°,那么AB 的高是[ ]米A ．．．．4、在Rt △ABC 中,∠C＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则sinA 的值是（ ）A ．34 B ．45 C ．35 D ．435、如图，由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45°，从A 沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B ，再次测得山顶D的仰角为60°，则山高CD 为（ ）A ．550）米B ．650）米C ．750）米D ．850）米6、在△ABC 中，已知AC=3，BC=4，AB=5，那么下列结论正确的是( ) A ．sinA=34 B ．cosA=35 C ．tanA=34D ．cosB=35 7、如图，在△ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB 的值是（ ）A ．34 B ．43 C ．35 D ． 458、在△ABC 中，∠C ＝90°，，则∠A 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°9、已知在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，sinA=2tanB 的值为（ ）A ．1B ．12 10、在△ ABC 中，∠ C=90°，若∠ B=2∠ A ，则cotB 等于（ ）A ．3．2．12 11、如图，某风景区为了方便游人参观，计划从主峰A 处架设一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A 处测得C 处的俯角为30°，两山峰的底部BD 相距900m ，则缆车线路AC 的长为（ ） B ． C ． D ．1800m12、如图，在塔AB 前的平地上选择一点C ，测出看塔顶的仰角为30°，从C 点向塔底走100米到达D 点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB 的高为（ ）A ．B ．C 100米 D 100米 13、如图，在△ABC 中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D ，CD=1，则AB 的长为（ ）A ．2B ．．13+ D 1+ 14、如果α是锐角，且sin 2α+sin 254°=1，那么α的度数为（ ）A ．45° B ．36° C ．26° D ．46° 15、如图1是一张Rt △ABC 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图2，那么在Rt △ ABC 中，sin ∠ B 的值是（ ）A ．12B ．3．1 D ．32 二、填空题(注释)16、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AM 是BC边上的中线，sin ∠CAM=35，则tanB 的值为________． 17、如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB 的值是________．18、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为这个坡面的坡度为________．19、如图，某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB ＝1.8m ．要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC ，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC 的宽度至少应为________．20、等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 ；21、已知α是锐角，当α= 时，cos α=2tan α= ．22、因为cos30°=2cos210°=﹣2，所以cos210°=cos （180°+30°）=﹣cos30°=﹣2因为cos45°=2cos225°=﹣2cos225°=cos （180°+45°）=﹣cos45°=﹣2想：一般地，当a 为锐角时，有cos （180°+a ）=﹣cosa ，由此可知cos240°的值等于 ．23、已知asin θ+cos θ=1，且bsin θ﹣cos θ=1，（其中θ是锐角），则ab= ．三、解答题24、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用签字笔画AD∥BC（D为格点），连接CD；（2）线段CD的长为__；（3）请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是________，则它所对应的正弦函数值是_______．（4）若E为BC中点，则tan∠CAE 的值是________．25、已知：在Rt△ABC中，斜线AB＝10，tanA=34，求Rt△ABC的周长．26、如图，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据： 1.732）27、如图，在城市改造中，市政府欲在一条人工河上架一座桥，河的两岸PQ与MN平行，河岸MN上有A、B两个相距50米的凉亭，小亮在河对岸D处测得∠ADP=60°，然后沿河岸走了110米到达C处，测得∠BCP=30°，求这条河的宽．（结果保留根号）28、如图称为“赵爽弦图”，它是由于四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．（1）请说明正方形ABCD ∽正方形EFGH ；（2）设∠ BAF=α，是否存一个α值，使面积S 正方形EFGH =12ABCD S ？如果存在，请求sin α的值；如果不存在，请说明理由．29、求下列各式的值：（1）a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2=（c+b ）（c ﹣b ）和4c ﹣5b=0，求cosA+cosB 的值；（2）已知A 为锐角，且sin 2A+2sinAcosA+cos 2A 的值．30、如图，已知墙高AB 为6.5米，将一长为6米的梯子CD 斜靠在墙面，梯子与地面所成的角∠BCD=55°，此时梯子的顶端与墙顶的距离AD 为多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）31、河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB 的长为8米，求斜坡AB 与水平面所夹的锐角度数.。
北师大新版数学九年级下册第1章 直角三角形的边角关系(练习题)
第1章直角三角形的边角关系（练习题）北师大新版数学九年级下册一．选择题1．如图中的每个小正方形的边长均相等，则sin∠BAC的值为（）A．1B．C．D．2．如图，∠ACB＝45°，∠PRQ＝125°，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（）A．h1＝h2B．h1＜h2C．h1＞h2D．以上都有可能3．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sin B的值是（）A．B．C．D．4．在高为60m的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别是30°和60°，则这个建筑物的高度是（）A．20m B．30m C．40m D．50m5．如图，山顶有一座电视塔BC，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角α＝60°，在塔底C 处测得A点俯角β＝45°，已知塔高BC为60m，则山高CD等于（）A．m B．m C．30m D．m 6．北京2022年冬奥会计划于2月4日开幕，2月20闭幕．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米．则赛道AB 的长度为（）A．50sin40°米B．50cos40°米C．米D．米7．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，sin B＝，则△ABC的面积等于（）A．15B．C．6D．8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cos B 的是（）A．B．C．D．9．如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗匀速上升的速度为（）米/秒．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．0.3B．0.2C．0.25D．0.3510．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，连接AB，AC，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，在Rt△ABD中，AB＝6，tan∠ADB＝，点C为斜边BD的中点，P为AD上任一点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF＝．12．如果一个斜坡的坡度i＝1：，那么该斜坡的坡角为度．13．2cos45°﹣（π+1）0＝．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AB＝．15．某滑雪运动员沿着坡比为1：的斜坡向下滑行了100米，则运动员下降的垂直高度为米．三．解答题16．学好数学，就是为能更好解决生活中遇到的问题，如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面E处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥EC，自E沿着EC方向向前走100m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°，求山高．（结果保留根号）17．如图，在离铁塔20m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为53°，测倾仪高AD为1.52m．求铁塔高BC（参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．18．如图，在高度为100米的小山上竖直建有一座铁塔，小明为测得铁塔的高度，先在山脚C处测得铁塔底部B的仰角为30°，后沿坡度i＝1：2的山坡向上行走10米到达点D处，在点D处测得铁塔顶部A的仰角为30°，求铁塔AB的高度．19．如图，九年级数学兴趣小组要测量嵌在某大楼前面的电子屏高度CD．在该大楼正前方的A处测得电子屏CD顶端C的仰角为45°，底端D的仰角为30°．从A处沿水平地面向正前方走18米到达B处，测得顶端C的仰角为68.2°．求电子屏的高度CD．（结果保留整数）参考数据：sin68.2°≈0.93，≈1.41，cos68.2°≈0.37，≈1.73，tan68.2°≈2.5020．如图，小兵同学利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C 处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为120米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）。
北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 测试题 (含答案)
直角三角形的边角关系 测试题一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，cos A ＝1213，则tan A 的值为( )A.125B.1312C.1213D.512第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B.255 C.52 D.233.如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，点G 在BC 上，连接EG ，AE ＝EG ＝5，过点E 作ED ⊥AB ，垂足为D ，过点G 作GF ⊥AC ，垂足为F ，此时恰有DE ＝GF ＝4.若BG ＝25，则sin B 的值为( )A.2510B.510C.255D.55 4.如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )A ．(3，3)B ．(3，3)C ．(2，23)D ．(23，4) 5．tan45°的值为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 6．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．m sin35° B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35°8．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫33－tan B 2＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题9.运用科学计算器计算：317sin73°52′≈________(结果精确到0.1)． 10.计算：cos30°－sin60°＝________.11.如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6m ，路基高为4m ，则路基的下底宽为________m.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，tan A ＝43，AB ＝15，AC ＝________．第11题图 第12题图 第13题图 第14 题图13.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，AN ⊥CM ，交BC 于点N .若CM ＝3，AN ＝4，则tan ∠CAN 的值为________．14.如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)．三、解答题15.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB (结果保留根号)．16.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．17.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b的值．解：在△ABC中，∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝6sin30°sin45°＝6×1222＝3 2.解决问题：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？参考答案与解析1.D2.A3．C 解析：在Rt △ADE 与Rt △EFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EG ，DE ＝GF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △EFG (HL)，∴∠A ＝∠GEF .∵∠A ＋∠AED ＝90°，∴∠GEF ＋∠AED＝90°，∴∠DEG ＝90°.过点G 作GH ⊥AB 于点H ，则四边形DEGH 为矩形，∴GH ＝DE ＝4.在Rt △BGH 中，sin B ＝GH BG ＝425＝255.故选C.4．A 解析：过点O ′作O ′C ⊥x 轴于点C .∵直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点A ，B 的坐标分别为(23，0)，(0，2)，∴tan ∠BAO ＝OB OA ＝223＝33，∴∠BAO＝30°.∵把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，∴O ′A ＝OA ＝23，∠O ′AO ＝60°，∴CA ＝12O ′A ＝3，O ′C ＝O ′A ·sin ∠O ′AC ＝23×32＝3，∴OC ＝OA －CA ＝23－3＝3，∴点O ′的坐标为(3，3)．故选A. 5．B 6.B 7.A 8.D 9.11.9 10．0 11.18 12.913.23 解析：∵∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，∴AB ＝2CM ＝6，CM ＝BM ，∴∠B ＝∠MCB .∵AN ⊥CM ，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°.又∵∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCB ，∴∠B ＝∠CAN .又∵∠ACN ＝∠BCA ，∴△CAN ∽△CBA ，∴CN CA ＝AN BA ＝46＝23，∴tan ∠CAN ＝CN AC ＝23.14．11 解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C .依题意可得∠A ＝30°，∠B ＝55°.在Rt △P AC 中，∵P A ＝18海里，∠A ＝30°，∴PC ＝12P A ＝12×18＝9(海里)．在Rt △PBC 中，∵PC ＝9海里，∠B ＝55°，∴PB ＝PC sin B ≈90.8≈11(海里)．15．解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则BF ＝CD ＝4米，CF ＝BD .设AF ＝x 米．在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AF CF ，∠ACF ＝α＝30°，则CF ＝AF tan30°＝3x 米．在Rt △ABE 中，AB ＝AF ＋BF ＝(x ＋4)米，tan ∠AEB ＝AB BE ，∠AEB ＝β＝60°，则BE ＝AB tan60°＝33(x ＋4)米．∵CF ＝BD ＝DE ＋BE ，∴3x ＝3＋33(x ＋4)，解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米)． 答：树高AB 是33＋122米．16．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33，∴α＝30°； (2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米．∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面AC 的坡度为1∶3，∴BD ＝CD ＝6米，AD ＝3CD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，∴文化墙PM 不需要拆除．17．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明如下：由题意可得A 2B 2＝102海里，A 1A 2＝302×2060＝102(海里)，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形；(2)由(1)可知△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝102海里，∠A 2A 1B 2＝60°，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.由题意可知∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.在△A 1B 2B 1中，由正弦定理得B 1B 2sin45°＝A 1B 2sin60°，∴B 1B 2＝A 1B 2sin60° ·sin45°＝10232×22＝2033(海里)．乙船的速度为2033÷2060＝203(海里/时)． 答：乙船每小时航行203海里.。
北师大版九年级下册数学 第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷(含答案解析)
北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系单元测试卷（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 在△ABC中，∠C=90∘，BC=5，AB=13，则sin A的值是()A.5 13B.1213C.512D.1252. 已知α是锐角，cosα=√32，则α等于（）A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘3. 已知α为锐角，且sinα=513，那么α的余弦值为（）A.5 12B.125C.513D.12134. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，cos B=35，AB=10cm，则BC的长度为（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm5. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，sin A=14，则tan B的值是（）A.√154B.√1515C.√15D.146. 一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是（）A.3 4B.43C.√73D.34或√737. 已知：△ABC中，∠A+∠B=90∘，下列关系式中成立的式子共有（）①sin A+B2=cos C2；②tan A+B2=cot C2；③sin(A+B)=sin C；④sin2A+cos2B=1．A.1个B.2个C.3个D.4个8. 在坡度为0.5的山坡上种植树，要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（）A.4.5mB.5mC.6mD.8m9. 下列各式中，正确的是（）A.cos A−1>0B.√(cos A−1)2=cos A−1C.cos A=√32=30∘ D.cos45∘=sin45∘10. 在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27∘(tan27∘≈0.51)，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A.24米B.20米C.16米D.12米二、填空题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）11. 化简：√tan227∘+tan263∘−2=________．12. 如图，已知∠ABD=∠C=90∘，AD=12，AC=BD，∠BAD=30∘，则。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系(基础训练)
第一章直角三角形的边角关系1.1.1 锐角三角函数1．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，则tanA的值为( )A．2 B.12C.55D.2552．在△ABC中，若BC∶CA∶AB＝3∶4∶5，则tan B＝( )A.45B.35C.43D.343．如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝32，则t的值是( )A．1 B．1.5 C．2 D．34．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若三角形各边同时扩大三倍，则tanA的值( )A．扩大为原来的三倍 B．不变 C．缩小为原来的13D．不确定5．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是( )A．2 B.43C．1 D.346．(教材P4习题T2变式)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝158，则AB＝．7．西安市某新修商业大厦的一处自动扶梯如图，已知扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于．8．如图，斜坡AB的坡度是1∶4，如果从点B测得离地面的铅垂线高度BC是6米，那么斜坡AB的长度米．9．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tan∠DBC的值是．10．(教材P4随堂练习T1变式)如图，等腰△ABC的腰AB，AC的长为5，底边长为6，则tanC＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12 cm，AB＝20 cm，求tanA和tanB的值．12．(教材P3例1变式)如图所示，方方和圆圆分别将两根木棒AB，CD斜立在墙AE上，其中AB＝10 cm，CD＝6 cm，BE＝6 cm，DE＝2 cm，你能判断谁的木棒更陡吗？请说明理由．13．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝1x(x＞0)与y＝－5x(x＜0)的图象上，则tan∠BAO的值为5．1.1.2 锐角三角函数1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于( )A.35B.45C.34D.432．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，BC＝6，则AB＝( )A．4 B．6 C．8 D．103．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边AC的长是( )A．msin35° B．mcos35° C.msin35°D.mcos35°4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝3，则AB的长可以表示为( )A.3cosαB.3sinαC．3sinα D．3cosα5.如图，在面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为( )A.2425B.45C.34D.12256．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝35，则cos∠DBE的值是( )A.12B.54C.55D.337．在△ABC中，∠C＝90°.若tanA＝12，则sinB＝．8．在Rt△ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为．10．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别表示Rt△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．(1)求sinA，cosB；(2)求tanA，tanB；(3)观察(1)(2)中的计算结果，你能发现sinA与cosB，tanA与tanB之间有什么关系吗？(4)应用：①在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝23，则cosB的值为23；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝2，则tanB＝1 2．12．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝32，求sinA＋cosB的值．13．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝45.求：(1)线段CD的长；(2)tan∠EDC的值．1.2 30°，45°，60°角的三角函数值1．2sin60°的值等于( )A． 2 C. 3 D．2 2．计算：cos245°＋sin245°＝( )A.12B．1 C.14D.223．已知α为锐角，且sinα＝12，则α＝( )A．30° B．45° C．60° D．90°4．在△ABC中，若sinA＝cosB＝22，则下列结论最确切的是( )A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形5．如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB，则∠α的余弦值是( )A.12B.32C.22D.236．在Rt△ABC中，已知∠B＝90°，AB＝3BC，则∠C等于( )A．45° B．30° C．60° D．50°7．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．若∠AOC＝45°，OC＝2，则点B的坐标为( ) A．2，1) B．(1，2) C．(2＋1，1) D．(1，2＋1)8．计算：||1－tan60°＝．9．把sin60°，cos60°，tan60°按从小到大顺序排列，用“＜”连接起来 . 10．在等腰△ABC中，∠C＝90°，则tanA＝．11．在△ABC中，(tanA－3)2＋|22－cosB|＝0，则∠C的度数为．12．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝23，则∠A＝．13．计算：2sin30°＋(－1)2 019－(12)－1＝．14．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝14 cm，则阴影部分的面积是 cm2.15．规定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny. 据此判断下列等式成立的是 (写出所有正确的序号)．16．计算：(1)3tan30°＋cos60°； (2)2cos30°－2sin30°＋3tan45°；(3)cos30°－sin45°sin60°－tan30°. （4）2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2；(5)已知∠α是锐角，且sin(α＋15°)＝32，求8－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋(13)－1的值．17．(2019·西安莲湖区二模)某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？(结果保留根号)1.4 解直角三角形1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是( ) A．计算tanA的值求出 B．计算sinA的值求出C．计算cosA的值求出 D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，∠A＝60°，则BC的长是( ) A． 3 B．5 2 C．5 D．103．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝37，BC＝4，则AB的长度为( )A.43B.74C.8103D.2834．如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6 cm，那么这个三角形的面积为( )A．12 cm2 B．6 3 cm2 C．6 cm2 D．9 3 cm25．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝14，则sinB的值为( )A.102B.153C.64D.1046．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC 的值为( )A．2 3 B．2 3 C．3＋ 3 D．3 37．菱形ABCD的对角线AC＝63，BD＝6，则菱形的四个内角的度数分别是．8．在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝3，AC＝1，则∠ACB＝．9．(2019·盐城)如图，在△ABC中，BC＝6＋2，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为．10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE＝15°，则CE＝．11．(2019·黔东南)三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是．12．(教材P16例1变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件求出直角三角形的其他元素．(1)已知a＝6，b＝23；(2)已知a＝24，c＝24 2.13．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝6.(1)求sinC的值；(2)求AC边上的高BD的长14．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝13，cosC＝22，AC＝ 2.(1)求BC的长；(2)求sin∠ADC的值．周测(1.1～1.4) 1．sin60°的值等于( )A.12B.22C．1 D.322．在△ABC中，∠C＝90°，6，8分别是∠A，∠B所对的两条直角边，c是斜边，则有( )A．sinA＝53B．cosB＝45C．tanA＝34D．cosB＝433．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝23，则BC的长为( )A．4 B．2 5 C.181313D.1213134．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB－3|＋(2cosA－1)2＝0，则△ABC是( ) A．直角(不等腰)三角形 B．等边三角形C．等腰(不等边)三角形 D．等腰直角三角形5．如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，叙述正确的是( )A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关6．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )A．2 B.255C.55D.127．一个直角三角形有两条边长为3，4，则较小的锐角约为( )A．41° B．37° C．41°或37° D．以上答案都不对8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )A．1，2，3 B．1，1， 2 C．1，1， 3 D．1，2， 39．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角为α.若AC＝a，BD＝b，则▱ABCD的面积是( )A.12absinα B．absinα C．Abcosα D.12abcosα10．已知α为锐角，若sin(α－10°)＝32，则α＝ .11．如图，旗杆高AB＝8 m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16 m，则tanC＝．12．如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O.若tan∠BAC＝13，AC＝6，则BD的长是．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5 cm，∠BAC的平分线交BC于点D，AD＝1033cm，则BC＝ cm.14．如图，某建筑物BC直立于水平地面，AC＝9 m，要建造阶梯AB，使每阶高不超过20 cm，则此阶梯最少要建阶(最后一阶的高度不足20 cm时，按一阶算，3取1.732)．15．计算： (1)3cos30°＋2sin45°； (2)(tan30°＋cos45°)(tan30°－cos45°)．16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝34，求sinC的值．17．改革开放40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图1是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图2，点F在线段HG上运动，BC∥HG，AE⊥BC，垂足为E，AE的延长线交HG于点G，经测量，∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20 m，EG＝0.6 m.(1)求线段AG的长度；(2)连接AF，当线段AF⊥AC时，求点F和点G之间的距离．(所有结果精确到0.1 m．参考数据：tan11°≈0.19，tan26°≈0.49，tan31°≈0.60)1.5.1三角函数的应用1．已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是( )2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB的长是( )A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里第2题图第3题图第4题图第5题图3．(2019·长沙)如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )A．30 3 n mile B．60 n mile C．120 n mile D．(30＋303)n mile 4．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是______海里．5．如图，C，D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD＝6 km，且D位于C 的北偏东30°方向上，则AB＝______km.6．(2019·商洛商南县模拟)为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离(结果保留根号)．7．(2019·青岛)如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120 m，BD＝80 m，求木栈道AB的长度(结果保留整数)．(参考数据：sin32°≈17 32，cos32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，cos42°≈34，tan42°≈910)8．(2019·随州)在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．(1)求收到求救讯息时，事故渔船P与救助船B之间的距离；(2)若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达？9．如图，我国南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整航向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北方向1.5海里的D 处，渔政船航行到点C处时测得点D位于其南偏东53°方向上．(1)求C，D两点的距离；(2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处会合，求∠ECD的正弦值(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)．1.5.2 仰角、俯角问题1．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为()A．1 200 m B．1 200 2 m C．1 200 3 m D．2 400 m2．(2019·枣庄)如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距离旗杆底部B 点6 m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°.若测角仪的高度是1.5 m，则旗杆AB的高度约为______m(精确到0.1 m，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)第1题图第2题图第3题图第4题图3.(2019·广东)如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝153米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是______米(结果保留根号)．4．如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M 处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为______米(结果保留根号)．5．(2019·宜宾)如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1米的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°.求该建筑物的高度AB.(结果保留根号)6.(2019·西安二模)如图，为了测量某风景区内一座塔AB的高度，小明分别在塔的对面一楼房CD的楼底C、楼顶D处，测得塔顶A的仰角为45°和30°，已知楼高CD为10 m，求塔的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)7．(2019·河南)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21 m 到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精确到1 m，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，3≈1.73)8．(2019·株洲)小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝13.若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．(1)求BC的长度；(2)假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置(障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边)，MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点(点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点)，求障碍物的高度．9．(2017·陕西)某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米，然后，小军在A处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果精确到1米，参考数据：sin23°≈0.390 7，cos23°≈0.920 5，tan23°≈0.424 5，sin24°≈0.406 7，cos24°≈0.913 5，tan24°≈0.4452)1.5.3坡度问题1．(2019·广州)如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC.若tan∠BAC＝25，则此斜坡的水平距离AC为()A．75 m B．50 m C．30 m D．12 m2．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为()A.hsinαB.htanαC.hcosαD．h sinα第1题图第2题图第3题图第4题图3．(2019·西安莲湖区二模)如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度(或坡比)为i＝1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)．在E 处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)()A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米4．(2019·重庆A卷)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度(或坡比)i＝1∶2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直)，则古树CD的高度约为(参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)()A．17.0米B．21.9米C．23.3米D．33.3米5．如图，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，则该斜坡的坡比是______．6．(2018·枣庄)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为______米(结果保留两个有效数字，参考数据：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.601)．第5题图第6题图7．如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36)?8．学校校园内有一小山坡AB(如图)，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3，A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.9．(2018·安顺)如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ，为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°.若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)?10．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1 790 m．如图，DE∥BC，BD＝1 700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(参考数据：sin29°≈0.484 8，cos29°≈0.874 6，sin80°≈0.984 8，cos80°≈0.173 6.结果精确到0.1 m)11．(2018·连云港)如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3 m，背水坡AD 的坡度i(即tan∠DAB)为1∶0.5，坝底AB＝14 m.(1)求坝高；(2)如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34)1.6利用三角函数测高1．(2019·益阳)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为()A．a sinα＋a sinβ B．a cosα＋a cosβC．a tanα＋a tanβ D.atanα＋atanβ2．如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°.若水平距离BD＝10 m，楼高AB＝24 m，则树CD高约为()A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m第1题图第2题图第3题图3．如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米(结果精确到0.1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．4．如图，在高度是21 m的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝______m.5．(2018·荆州)荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7 m，某校学生测得古塔的整体高度约为40 m．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a m后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°(如图所示)，那么a的值约为______．(3≈1.73，结果精确到0.1)．第4题图第5题图6．如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12 m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°，底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF为1.6 m，求旗杆AB的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28)．7．(2019·西安蓝田县一模)大雁塔南广场玄奘铜像是为纪念唐代高僧玄奘而设计．在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量玄奘铜像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.8 m的测角仪测得铜像顶部C的仰角分别为30°，60°，两人间的水平距离AB为10 m，求玄奘铜像的高度CF.(结果保留根号) 8．(2019·广安)如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A，B，C三点在同一水平线上．(1)求古树BH的高；(2)求教学楼CG的高．(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)10．(2019·宝鸡岐山县一模)为了测量休闲凉亭AB的高度，某数学兴趣小组在水平地面D处竖直放置一个标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到凉亭顶端A，在F处测得凉亭A顶端的仰角为30°，平面镜E的俯角为45°，FD＝2米，求休闲凉亭AB的高度．(结果保留根号)小专题(一)构造基本图形解直角三角形的实际应用模型1单一直角三角形1．(2019·温州)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为()A.95sinα米B.95cosα米C.59sinα米D.59cosα米2．(2018·台州)图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4 m．当起重臂AC长度为9 m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度(结果保留小数点后一位，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)．模型2背靠背型及其变式第3题图第4题图3．如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC.若∠B＝56°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为______米(参考数据：sin56°≈0.8，tan56°≈1.5)．4．某市对拦水坝进行加固。
精品试题北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评试题(含解析)
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，则 tan B 的值为（ ）A B ．1 C D ．22、在Rt ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列式子一定成立的是（ ）A ．sin a cB =⋅ B ．cos a c B =⋅C ．tan a c B =D ．sin c a A =⋅3、如图要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，点P 位于点A 正北方向，点C 位于点A 的北偏西46°，若测得PC ＝50米，则小河宽PA 为（ ）A ．50sin44°米B ．50cos44°C ．50tan44°米D ．50tan46°米4、tan 45︒的值为（ ）A ．1B ．2CD ．5、某人沿坡度1:2i =的斜坡向上前进了10米，则他上升的高度为（ ）A ．5米B ．C ．D ．6、如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，O 为对角线BD 的中点，2OA =，5BC =，3CD =，则tan DCB ∠等于（ ）A ．43B ．34C ．45 D ．357、如图，某建筑物AB 在一个坡度为i ＝1：0.75的山坡BC 上，建筑物底部点B 到山脚点C 的距离BC ＝20米，在距山脚点C 右侧同一水平面上的点D 处测得建筑物顶部点A 的仰角是42°，在另一坡度为i ＝1：2.4的山坡DE 上的点E 处测得建筑物顶部点A 的仰角是24°，点E 到山脚点D 的距离DE ＝26米，若建筑物AB 和山坡BC 、DE 的剖面在同一平面内，则建筑物AB 的高度约为（ ）（参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45，sin 42°≈0.67．cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）A ．36.7米B ．26.3 米C ．15.4米D ．25.6 米8、如图，E 是正方形ABCD 边AB 的中点，连接CE ，过点B 作BH ⊥CE 于F ，交AC 于G ，交AD 于H ，下列说法：①AH HG AB BG =； ②点F 是GB 的中点；③AG AB =；④S △AHG =16S △ABC ．其中正确的结论的序号是（ ）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①③④ 9、在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sin A ＝23，则边AC 的长是（ ）A B ．3 C ．43 D 10、如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线14y k x =+与y 轴交于点C ，与反比例函数2k y x =在第一象限内的图象交于点B ，连接BO ，若2OBC S ∆=，1tan 5BOC ∠=，则2k 的值是（ ）A ．-20B ．20C ．－5D ．5第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、等腰ABC ，底角是30ABC 的周长是_____________2、如图，矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠ADE ＝α，cosα＝35，AB ＝4，AD 长为_____．3、cos30°的相反数是 _____．4、构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至D ，使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°AC CD ====2tan22.5°的值为 _____．5、如图, 在 Rt ABC △ 中, 390,tan ,2ACB BAC CD ∠∠== 是斜边 AB 上的中线, 点 E 是直线 AC 左侧一点, 联结 AE CE ED 、、, 若 ,EC CD EAC B ∠∠⊥=, 则 CDEABC SS 的值为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，平地上两栋建筑物AB 和CD 相距30m ，在建筑物AB 的顶部测得建筑物CD 底部的俯角为26.6°，测得建筑物CD顶部的仰角为45°．求建筑物CD 的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）2、如图，等腰Rt△ABC 中，AB ＝AC ，D 为线段BC 上的一个动点，E 为线段AB 上的一个动点，使得CD=．连接DE ，以D 点为中心，将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接线段EF ，过点D 作射线DR ⊥BC 交射线BA 于点R ，连接DR ，RF ．（1）依题意补全图形；（2）求证：△BDE ≌△RDF ；（3）若AB ＝AC ＝2，P 为射线BA 上一点，连接PF ，请写出一个BP 的值，使得对于任意的点D ，总有∠BPF 为定值，并证明．3、小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在A 处观察到电视塔在北偏东37度的方向上，5分钟后在B 处观察到电视塔在北偏西53度的方向上．已知电视塔C 距离公路AB 的距离为300米，求小明的徒步速度．（精确到个位，sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan370.75︒≈，tan53 1.3︒≈）4、如图, 在 ABC 中，90,3C AC BC ∠===， 点 D E 、 分别在 AC 边和 AB 边上，沿着直线 DE 翻折 ADE ，点 A 落在 BC 边上，记为点 F ，如果 1CF =，则 BE =_______．5、计算：（1）22390x x +-=；（21016sin 453)2-⎛⎫+- ⎪⎝⎭︒．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求得30B ∠=︒，根据特殊角的三角函数值即可求解【详解】∵∠C =90°，∠A =60°，∴30B ∠=︒又tan 30︒=故选A【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，求特殊角的三角函数值，理解特殊角的三角函数值是解题的关键．2、B【分析】根据题意，画出直角三角形，再根据锐角三角函数的定义对选项逐个判断即可．【详解】解：由题意可得，如下图：sinaAc=，则sina c A=⋅，A选项错误，不符合题意；cosaBc=，则cosa c B=⋅，B选项正确，符合题意；tanbBa=，则tanacB≠，C选项错误，不符合题意；sinaAc=，则sinacA=，D选项错误，不符合题意；故选B，【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是画出图形，根据锐角三角函数的定义进行求解．3、C【分析】先根据AP⊥PC，可求∠PCA=90°-46°=44°，在Rt△PCA中，利用三角函数AP=tan4450tan44PC︒⨯=︒米即可．【详解】解：∵AP⊥PC，∴∠PCA+∠A=90°，∵∠A=46°，∴∠PCA=90°-46°=44°，在Rt△PCA中，tan∠PCA=APCP，PC=50米，∴AP=tan4450tan44PC︒⨯=︒米．故选C．【点睛】本题考查测量问题，掌握测量问题经常利用三角函数求边，熟悉锐角三角函数定义是解题关键．4、A【分析】直接求解即可．【详解】解：tan45︒=1，故选：A．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．5、B【分析】由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．根据题意可得BC：AC=1：2，AB=10m，可解出直角边BC，即得到位置升高的高度．【详解】解：由题意得，BC：AC=1：2．∴设BC=x，则AC=2x．∵AB=10，BC2+ AC2=AB2，∴x2+ (2x)2=102，解得：x=．故选：B．【点睛】本题主要考查了坡度的定义和解直角三角形的应用，注意画出示意图会使问题具体化．6、A【分析】先根据平行线的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BD ，再根据勾股定理的逆定理判断出∠BDC =90°，由正切定义求解即可．【详解】解：∵AD ∥BC ，∠ABC =90°，∴∠BAD =90°，∵O 为对角线BD 的中点，OA =2，∴BD =2OA =4，∵BC =5，CD =3，∴BD 2+CD 2=BC 2，∴∠BDC =90°，∴tan∠DCB =BD CD =43， 故选：A ．【点睛】本题考查平行线的性质、直角三角形的斜边中线性质、勾股定理的逆定理、正切，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键．7、D【分析】如图所示，过E 点做CD 平行线交AB 线段为点H ，标AB 线段和CD 线段相交点为G 和H 由坡度为i ＝1：0.75，BC ＝20可得BG =16,GC =12,由坡度为 i ＝1：2.4，DE ＝26可得DF =24,EF =10，分别在在AGB 中满足tan 42AG GD =︒，在AEH △中满足tan 24AH HE =︒化简联立得AB =25.6．【详解】如图所示，过E 点做CD 平行线交AB 线段为点H ，标AB 线段和CD 线段相交点为G 和H∵在BGC 中BC ＝20，坡度为i ＝1：0.75，∴222BG GC BC +=， ∴2223()4BG BG BC +=， ∴222916BG BG BC +=， ∴22252016BG =， ∴22540016BG =， ∴21640025BG =⨯， ∴2256BG =，∴16BG =， ∴3124CG BG ==． 在BGC 中DE ＝26，坡度为 i ＝1：2.4，∴222DF EF DE +=， ∴22212()5EF EF DE +=， ∴22214425EF EF DE +=， ∴221692625EF =， ∴225676169EF =⨯，∴2100EF =，∴10EF =， ∴12245DF EF ==， ∴在AGB 中满足tan 42AG GD =︒，在AEH △中满足tan 24AH HE =︒, 即0.9AB BG GC CD +=+,0.45AB BH GC CD DF+=++ 其中BG =16、BG =12、BH =BG -EF =6、DF =24，代入化简得160.9(12)60.45(36)AB CD AB CD +=+⎧⎨+=+⎩①②， 令2②-①有2261620.45360.91220.450.9AB AB CD CD -+⨯-=⨯⨯-⨯+⋅⋅-∴421.6AB -=，∴AB =25.6．故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用三角形的坡度和斜边长通过勾股定理可以求得三角形各边长度，再根据角度列含两个未知数的二元一次方程组，正确的列方程求解是解题的关键．8、D 【分析】①先证明△ABH≌△BCE，得AH=BE，则1122AH AD BC==，即12AHAB=，再根据平行线分线段成比例定理得：12HGBG=即可判断；②设BF=x，CF=2x，则BC，计算FG=23x即可判断；③根据等腰直角三角形得：AC，根据①中得：13AGAC=即可判断；④根据11,22HG AGBG CG==，可得同高三角形面积的比，然后判断即可．【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠HAB=∠ABC=90°，∵CE⊥BH，∴∠BFC=∠BCF+∠CBF=∠CBF+∠ABH=90°，∴∠BCF=∠ABH，∴△ABH≌△BCE，∴AH=BE，∵E是正方形ABCD边AB的中点，∴BE=12AB，∴1122AH AD BC==，即12AHAB=∵AH//BC，∴12 AH HG BC BG==∴AH HGAB BG=，故①正确；②1 tan tan2AH BF ABH BCFAB CF ∠=∠===设BF=x，CF=2x，则BC，∴AHx∴52 BH x=∴552263x x xFG BH GH BF x BF=--=--=≠，故②不正确；③∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴AC，∵12 AG AH CG BC==∴13 AG AC=∴13AG AC AB==，故③正确；④∵12GH AG BG CG==∴11,22 AHG ABGABG BCGS SS S∆∆∆∆==∴13 ABGABCSS∆∆=∴16AHG ABCS S=，故④正确．故选D．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．9、A【分析】先根据BC＝2，sin A＝23求出AB的长度，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵sin A＝BCAB =23，BC＝2，∴AB＝3,∴AC故选：A．【点睛】本题考查正弦的定义、勾股定理等知识，是重要考点，难度较小，掌握相关知识是解题关键．10、D【分析】先根据直线解析式求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，利用待定系数法将点B坐标代入即可求得结论．【详解】解：∵直线y=k1x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，4），∴OC=4，过B作BD⊥y轴于D，∵S △OBC =2， ∴114222OC BD BD ⋅=⨯⋅=， ∴BD =1，∵tan∠BOC =15， ∴15BD OD =， ∴OD =5，∴点B 的坐标为（1，5）， ∵反比例函数2k y x=在第一象限内的图象交于点B ， ∴k 2=1×5=5．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，锐角三角函数，三角形面积，待定系数法求分别列函数解析式，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．二、填空题140 【分析】设腰长为x ，则等腰三角形的高为2x ，三角形的面积为122x ⨯=x 的值，进而求出周长2x +的值．【详解】解：设等腰三角形的腰长为x ，高为sin 302x x ︒=，底边长为2cos30x ︒=122x S ∴=⨯=解得x =∴周长为240x =40+． 【点睛】 本题考查了锐角三角函数值，等腰三角形．解题的关键在于利用三角函数值将边长表示出来． 2、163【分析】将已知角度的三角函数转换到所需要的三角形中，得到∠ADE =∠DCE =α，求出AC 的值，再由勾股定理计算即可．【详解】∵∠ADC =∠AED =90°，∠DAE +∠ADE =∠ADE +∠CDE =90°∴∠DAE =∠CDE又∵∠DCE +∠CDE =90°∴∠ADE =∠DCE =α∴cosα＝35=CD AC又∵矩形ABCD中AB=CD=4∴AC=20 3在ADC中满足勾股定理有163AD=故答案为：163．【点睛】本题考查了已知余弦长求边长，将已知余弦长转换到所需要的三角形中是解题的关键．3、【分析】先将特殊角的三角函数值代入求解，再求出其相反数．【详解】所以其相反数为故答案为：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及相反数的概念．41##【分析】在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得AB =BD ，则∠BAD =∠D ．设AC =1，求出CD ，可得结论．【详解】解：如图，在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得AB =BD ，则∠BAD =∠D ．∵∠ABC =45°，∴45°=∠BAD +∠D =2∠D ，∴∠D =22.5°，设AC =1，则BC =1，AB =∴1CD CB BD CB AB =+=+=∴tan 22.5tan 1AC D CD ︒====．1．【点睛】本题考查解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是学会利用特殊直角三角形解决问题．5、1336【分析】先证明Rt AED Rt CED ≌，则AED CED S S =，进而证明DAE BCA ∽，据3tan 2BAC ∠=求得相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：CD 是Rt ABC 斜边 AB 上的中线， 12CD AB AD ∴== DCA DAC ∴∠=∠ 90ACB ∠=︒90CAB B ∴∠+∠=︒ EAC B ∠=∠90EAC DAC ∴∠+∠=︒ 即90EAD ∠=︒ 又EC CD ⊥90ECD ∴∠=︒EAD ECD ∴∠=∠ Rt AED Rt CED ∴≌ AED CED S S ∴= ,DA DC EA EC == ED AC ∴⊥又90ACB ∠=︒ BC AC ∴⊥//ED BC ∴ADE B ∴∠=∠又90EAD ACB ∠=∠=︒ DAE BCA ∴∽2ADC ABC S AD S BC ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ 3tan 2BAC ∠= 32CB CA ∴= 设3CB k =，则2AC k =AB ∴=12AD AB ∴== AED CED S S =2CDE ADC ABC ABC SS AD S SBC ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭2132336k ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭故答案为：1336【点睛】 本题考查了解直角三角形，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，正切的定义，证明AED CED SS =是解题的关键． 三、解答题1、建筑物CD 的高度约为45m ．【分析】如图所示，过点A 作AE ⊥CD 于E ，先证明AE =CE ，然后证明四边形ABDE 是矩形，则AE =BD =30m ，CE =AE =30m ，tan =30tan26.615m DE AE EAD =⋅︒≈∠，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥CD于E，∴∠AEC=∠AED=90°，∵∠CAE=45°，∴∠C=45°，∴∠C=∠CAE，∴AE=CE，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD=∠BDE=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴AE=BD=30m，∴CE=AE=30m，tan=30tan26.615m∠，=⋅︒≈DE AE EAD∴CD=CE+DE=45m，答：建筑物CD的高度约为45m．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解．2、（1）见解析；（2）见解析；（3）当4BP=，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，证明见解析【分析】（1）根据题意作出图形连接,DR RF ；（2）根据BDR EDF ∠=∠可得BDE RDF ∠=∠，证明BRD 是等腰直角三角，可得BD DR =，根据旋转的性质可得ED DR =，进而根据边角边即可证明△BDE ≌△RDF ；（3）当24PB AB ==时，设DE a =，则CD =，分别求得,FR RP ,根据1tan 22RF a BPF RP a ∠===即可求解【详解】（1）如图，（2）DR ⊥BC90RDB ∴∠=︒将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ，90,EDF ED FD ∴∠=︒=BDR EDF ∴∠=∠即BDE EDR EDR RDF ∠+∠=∠+∠BDE RDF ∴∠=∠ ABC 是等腰直角三角形45B ∴∠=︒90BDR ∠=︒45BRD ∴∠=︒BRD∴是等腰直角三角形∴=BD DR∴△BDE≌△RDF；（2）如图，当24==时，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，证明如下，PB ABAB AC==ABC是等腰直角三角形，2∴=BCDC==，则CD，设DE a△BDE≌△RDF,==DR BD∴==，FR BR aABC是等腰直角三角形，∴∠=︒45EBD⊥DR BC∴∠=︒BRD45∴是等腰直角三角形，BDR∴==-BR a42()∴=-=--=4422PR BP BR a a△BDE ≌△RDF ,45FRD EBD ∴∠=∠=︒90BRF BRD DRF ∴∠=∠+∠=︒即FR AB ⊥1tan 22RF a BPF RP a ∴∠=== BPF ∴∠为定值【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质，正切的定义，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键．3、126米/分钟【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，则300CD =米，由解直角三角形求出AD 和BD 的长度，则求出AB 的长度，即可求出小明的速度．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，则300CD =米，∴903753CAD ∠=︒-︒=︒， ∴300tan tan 53 1.3CAD AD∠=︒=≈， ∴231AD ≈，同理：400BD ≈631AB AD BD =+=速度：631÷5≈126（米/分钟）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，以及解直角三角形，解题的关键是正确求出AD 和BD 的长度．4【分析】过点F 作FG AB ⊥于点G ，设BE x =，则AE x =，EG BE BG x =-=EGF △即可求得x ，即BE 的值【详解】解：如图，过点F 作FG AB ⊥于点G在 ABC 中，90,3C AC BC ∠===，AB ∴=tan 1AC B BC ==45A B ∠FGB ∴是等腰直角三角形BG FG ∴==sin FB B ⋅=设BE x =，则AE x =，EG BE BG x =-=沿着直线DE 翻折ADE ，点A 落在BC 边上，记为点F ，EA EF ∴=x在Rt EFG 中，222EF EG FG =+即()(222x x =+解得x =【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，解直角三角形，根据题意构造直角三角形是解题的关键．5、（1）123,32x x ==-；（2）1 【分析】（1）用公式法求解即可；（2）根据特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂、二次根式的性质计算即可．【详解】（1）∵2a =，3b =，9c =-24972810b ac -=+=>，∴x ==∴123,32x x ==-．（2）原式621=-01=+1=． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂、二次根式的性质等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是关键．。
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初中数学试卷
桑水出品
班级
姓名 学号 成绩
一、选择题（每小题3分，共36分）
1.在△ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别是∠A 、∠B 所对的两条直角边，c 是斜边，则有( )是正确的。
A 、sinA=a c
B 、cosB=c b
C 、sinB=a b
D 、tanA=b
a
2．如图，在ABC ∆中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5,则tan B 的值是（ ）
A ．34
B ．43
C ．35
D ．45
3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=
2
3
，则BC ∶AC ∶AB 等于( ) A 、1∶2∶5 B 、1∶3∶5 C 、1∶3∶2 D 、1∶2∶3 4．在Rt ABC ∆中，90C ∠=o ，1
3
AC AB =
，
则cos A 等于（ ） A ．
22
B ．13
C ．22
D ．
2 5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延
长线上的点D '处，那么tan BAD '∠等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．
2 D ．22
6.在△ABC 中，若tanA=1，sinB=
2
2
，你认为最确切的判断是( ) A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形 7．某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植 草皮，已知这种草皮每平方米售价为a 元，则购买这 种草皮至少需要 （ ） A ．450a 元
B ．225a 元
C ．150a 元
D ．300a 元
8．身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为300米、350米、280米，线与
2题图
5题图
7题图
地面的夹角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），三人所放风筝（ ） A ．甲的最高
B ．乙的最高
C ．丙的最高
D ．一样高
9．如图，在某海岛的观察所A 测得船只B 的俯角是30°.若观察所的标高（当水位为0m 时
的高度）是53m ，当时的水位是＋3m ，则观察所A 和船只B 的水平距离BC 是（ ） A ．50 m
B ．350 m
C ．53 m
D ．353m
10.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°.若sinA=22，则sinB 等于( )
A 、2
1
B 、22
C 、23
D 、1
11.等腰三角形的一腰长为6cm ，底边长为63cm ，则其底角为（ ）。
A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°
12.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm,AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC=5
3
，则BC 的长是( )
A 、4cm
B 、6cm
C 、8cm
D 、10cm
二、填空题（每小题3分，共12分）
13.在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=1，则∠B= 度
14. 已知在△ABC 中，∠C=90°，3cosB=2，AC=52，则AB= ． 15．在Rt ABC ∆中，3BC =，3AC =，90C ∠=o ，则A ∠= 度
16.有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为23米，那
么此拦水坝的坡角为_____度. 三、解答题(共计52分)：
17.计算下列各题:(每小题4分，共8分)
(1)3cos30°+2sin45° (2)012)12(245sin 82-+-︒+--
18．（6分）在等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=o ，10AC =，D 是AC 上一点，
若1
tan 5
DBC ∠=，求AD 的长．
9题图 B
N
A
C
D
M 12题图
B
19. （7分）如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角
为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1:1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)
20. （7分）在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD 和sinC
21. （7分）如图，小亮在操场上距离旗杆AB 的C 处，用测角仪测得旗杆顶端A 的仰角为30
°，已知BC=9m ，测角仪高CD 为1m ，求旗杆AB 的高（结果保留根号）。
22．（8分）一艘轮船自西向东航行，在A 处测得北偏东60°方向有一座小岛F ，继续向东航
D C B A A B
C D
行80海里到达C 处，测得小岛F 此时在轮船的北偏西30°方向上．轮船在整个航行过程中，距离小岛F 最近是多少海里？(结果保留根号)
23. （9分）如图，某货船以20海里/小时的速度将一批重要的物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后便接到气象部门通知，一台风中心正由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响. （1）问B 处是否会受到影响？请说明理由。
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸
参考答案
一、
选择题：
_ 北 _ 东 30°
F
60° A
二、 填
空题：
题号 13 14 15 16 答案
45
6
30
60
三、解答题： 17.(1)解：原式=222233⨯+⨯
(2)解：原式=12
122224+-⨯+- = 123+ =121
24+-+-
=25 =2
3
-
18. 解：在Rt △ABC 中
∵AB=AC=10 90C ∠=o
1tan 5DBC ∠=
∴ DC=2 ∴ AD=8
19.解：在Rt △ABC 中
AB BC
ABC AB AC ABC =
∠=∠cos ,sin
2622
12sin =⨯
=∠⋅=ABC AB AC
2622
12cos =⨯
=∠⋅=ABC AB BC
在Rt △ADC 中, AC:DC=1:1.5 DC=29
∴ DB=DC-BC=23(米) 答: DB 的长为23米
20.解：在Rt △ABD 中，由勾股定理，得： BD=322=-AD AB
∴ CD=BC-BD=10 在Rt △ADC 中，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D
A
C B
B
B C
B
B B
D A
A
B A
C
AC=29222=+AD CD
∴ sinC=
29
29
22924=
=AC AD
21.解：过D 作DE ⊥AB ，垂足为E
在Rt △ADE 中，∠ADE=30°，DE=9
DE
AE
ADE =∠tan
333
3
930tan =⨯
=︒⋅=DE AE ∴ AB=AE+EB=133+（米） 答：旗杆AB 的高为（133+）米
22.解：过点F 作DF ⊥AC ，垂足为D
在Rt △ADF 中，∠FAD=30° AD
DF
FAD =∠tan
DF FAD DF AD 3tan =∠⋅= 在Rt △CDF 中，∠FCD=60° CD
DF
DCF =∠tan
DF DCF DF CD 3
3
tan =∠⋅= ∵ AC=AD+CD=80
∴ 803
3
3=+DF DF ，解，得：320=DF （海里） 答：距离小岛F 最近距离为320海里 23.解：（1）过B 作BD ⊥AC ，垂足为D
在Rt △ABD 中，∠BAD=30° AB=20×16=320海里
由AB BD
BAD =∠sin
得：BD=2001603202
1
<=⨯
∴ 在B 处的货船会受到台风的侵袭
（2）以B 为圆心，以200海里为半径画圆交AC 于E 、F （如图）则E 点表示台风中心第一次到达距B 处200海里的位置，在Rt △DBE 中，DB=160，BE=200，由勾股定理可知DE=120，在Rt △BAD 中，AB=320，BD=160，由勾股定理可知：AD =1603 ΘAE AD DE
AD =-∴=-1603120（海里）
D C
B
E
A
D
_ 北
_ 东
30° F
60°
A
D
（小时）)334(1040
120
3160+=-=
∴t
∴该船应在（)334(10+小时内卸完货物。
（约为3.8小时）。