【数学】2010湖南省长沙市一中高二第三次学业水平模拟考试
2010年湖南长沙一中学业水平一模数学试卷
2010年长沙市一中学业水平考试一模试卷数学时量：90分钟，满分：100分命题：艾简书 审题：王斌一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 下列结论中成立的（ ） A ．3{|21,}x x k k Z ∈=+∈ B ．0φ∈ C ．2{|0,}x x x R ∈<∈D ．Z R ∈2. 集合{,,}a b c 的所有子集共有（ ） A ．9个B ．8个C ．4个D ．3个3．设{3,5,6,8}M =，{4,5,7,8}N =，则M N =（ ）A ．{3,4,5,6,7,8}B ．{3,6}C ．{5,8}D ．{5,6,7,8}4．下列函数（1）4()f x x =；（2）5()f x x =，（3）12()f x x =，（4）21()f x x=中是奇函数的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 5．已知0a >，1a ≠，0M >，0N >，那么下列各式中错误．．．．．．．的是（ ） A. log ()log log a a a M N M N +=+B. log log log aa a MM N N=- C. log log na a M n M =D. log log log a a a MN M N =+6．已知三个函数模型：()0.25f x x =，7()log 1g x x =+，() 1.002xh x =，当(0,)x ∈+∞，随x 的增大，三个函数中的增长速度越来越快的是（ ） A ．()f xB ．()g xC ．()h xD ．()()f x g x +7．下列命题中正确的个数是（ ）①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α②若直线l 与平面α平行，则l 与α内任意一条直线平行③如果两条平行线中一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 ④若直线l 与平面α平行，则l 与α内任意一条直线不相交（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个80y +-=截圆224x y +=所得的劣弧所对圆心角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒9．阅读框图，则输出S =（ ） A ．40 B ．26 C ．7 D ．510．已知实数,x y 满足250x y ++=（ ）A B.C ．D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．由三视图说出该几何体的名称是 .12．过ABC ∆所在平面α外一点P ，作PD α⊥，垂足为D ，若PA PB PC ==，则D 是ABC ∆的 心.（从外心，内心，重心，垂心中选一个） 13．过(,1)A m 与(1,)B m -的直线与过点(1,2),(5,0)P Q -的直线垂直，则m = .14．直线21)y x +=+的倾斜角是 .15．阅读以下程序INPUT “正奇数n =”；n0S = 1i =WHILE 2*1i n -<= 2*1S S i =+- 1i i =+ WENDPRINT “S =”；S END当19n =时，求S = .2010年学业水平考试数学模拟卷答卷二、填空题：11 、 12 、 13 、14 、 15 、三、解答题（本大题共5小题，16题6分，17，18，19题各8分，20题10分，共40分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．计算下列各式的值.（1）（2）33224839(log log )(log log )+⋅+.17．如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？18．读下列程序，其中x 为通话时间，y 是收取的通话费用.（1）通话时间为6分钟，通话费用是多少？（2）写出程序中所表示的函数.INPUT xIF 3x ≤ THEN0.3y =ELSE0.30.1*(3)y x =+-END IFPRINT yEND19．求圆心在直线40x y --=上，并且过圆22640x y x ++-=与圆226280x y y ++-=的交点的圆的方程.20．如图，边长为2的正方形ABCD 中，（1）点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将AED ∆，DCF ∆分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点A '.求证：A D EF '⊥. （2）当14BE BF BC ==时，求三棱椎A EFD '-的体积.2010年学业水平考试数学模拟卷（一）参考答案2010-3-23一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．A 2. B 3. C 4. D 5. A 6. C 7. A 8. C 9. A 10. A 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．圆台12. 外13. 2-14. 60︒15. 119101002S +=⨯= 三、解答题（本大题共5小题，16题6分，17，18，19题各8分，20题10分，共40分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（1）236===⨯=（2）3322332248392233111(log log )(log log )(log log )(log log )232+⋅+=++3223535log log 624=⋅= 17．3032xy x -=⋅， 当5x =时，37.5y = 18．（1）6,0.6x y ==；2）y=⎩⎨⎧>-+≤3)3(1.03.033.0x x x 当当19．圆心17(,)22C -，r =221789()()222x y -++=. 20．证：（1）A D CF A D A F A D A EF A D EF A D AE A D A E '''⊥⇒⊥⎫'''⇒⊥⇒⊥⎬'''⊥⇒⊥⎭面（2）1142BF BE BC ===，2EF =，32A E A F ''==，故A EF '∆的高h ===11232A EFD V '==.。
湖南省长沙市一中高二第三次学业水平模拟考试化学试题
2010年长沙市一中学业水平模拟测试卷（三） 化学本试卷共4页， 含32小题，满分为100分，考试时量90分钟。
本卷可能用到的相对原子质量数据H-1 O-16 Fe-56一、选择题（本题包括22小题，每小题2分，共50分，每小题只有一个选项符合题意） 1、下列物质不属于天然高分子化合物的是A. 淀粉B.蚕丝C.葡萄糖 2、环境污染已成为人类社会面临的重大威胁，各种污染数不胜数。
下列名词与环境污染无 关的是 ①温室效应 ②赤潮 ③酸雨 ④光化学污染 ⑤臭氧层空洞⑥水俣病⑦潮汐 ⑧大脖子病A. ①②③ B .⑦⑧ C .①⑤⑥D .②⑤⑦ 3、下列说法中正确的是A. 食品添加剂就是为增强食品的营养而加入的物质B. 不使用食品添加剂的纯天然食品最安全C. 在限量范围内使用食品添加剂不会对人体造成危害D.味精是食品添加剂，而碘盐中的碘”不是添加剂4、我国著名的化学家、教育家徐光宪先胜因在稀土金属等研究领域做出杰出贡献，荣获了 2008年度 国家最高科学技术奖”。
580Ce 是地壳中含量最高的稀土金属饰元素。
下列关于 540 Ce 的说法错误的是B 中子数为82 D 核外电子数为198B 乙醇在空气中燃烧D Ba （OH ）2「. 8H 2。
晶体与氯化俊晶体反应）C.布朗运动D.加热B . H2O 的电子式： "卞0& HA.质量数为140 C.质子数为585.下列反应中，是吸热反应的是（A.铝片与稀硫酸反应 C.盐酸与氢氧化钠溶液反应 6. 区别溶液和胶体最简单的方法是（A.观察外观B. 丁达尔效应 7.下列各项中表达正确的是（C . 1H 、2H 、3H 是三种不同元素D.乙烯的分子式： C2H48、 下列溶液中的 Cl 淤度与50 mL 1 mol-1A . 150 mL 1 mol L - NaCl 溶版_— 1 _ 、、、、-C. 150 mL 2 mol L ・ KCl 溶披9. 以下分离或提纯的方法中正确的是（A. 分离碘水中的碘——升华L 1 MgCl2溶液中的Cl *度相等的是()B . 75 mL 0.5mol L 1 CaCl2 溶液 D . 75 mL 1 mol L 1 AlCl 3 溶液C.除去海盐中的硫酸盐 一一溶解后加硝酸彻 B.分离白酒中的酒精和水 一一分液D.分离海水中的水一一蒸储 10.下列烧杯中盛放的都是稀硫酸，在铜电极上能产生气泡的是() A.锌和稀硝酸反应：Zn+ 2H = Zn +B .碳酸彻和盐酸反应： CO32 + 2H + = CO2 f+ H2OC .三氯化铝加到过量的氨水中： Al 3++ 3OH = Al(OH) 3 $D.氯气通入氢氧化钾溶液中： C12+ 2OH = Cl + ClO + H2O12.在一定条件下，反应 N2+3H22NH3在10L 密闭容器中进行，测得 2min 内，N2的物质的量由6mol 减少到2mol, (007｝则2min 内N2的平均反应速率为 ()A . 0.4 mol/(L min)B . 0.2 mol/(L min)C . 0.3 mol/(L min)D. 0.6mol/(L min)13、 下列关于化学反应与能量的说法正确的是 A .燃烧反应不一定是放热反应B. 化学反应一定既有物质变化又有能量变化C. 反应物断键所吸收的总能量高于生成物形成键所放出的总能量的反应为放热反应 D .反应物所具有的总能量高于生成物所具有的总能量的反应为吸热反应 14、 下列物质不能与水反应的是( )A . Na2O2B . NO2 15、 下列各组物质中属于同分异构体的是A .正丁烷和异丁烷.独.家 C.12C 和13 C16、 下列反应中，属于取代反应的是(A. 乙醇在一定条件下与氧气反应生成乙醛 C.乙烯在一定条件下生成聚乙烯 17、 下列物质中不含共价键的是A . H2B. NaCl18、 下列过程涉及化学变化的是 A .碘的升华 B.石油分储19、 下列物质中能导电且属于电解质的是：A. 硝酸钾溶液 B .蔗糖 C .20. 下列物质中既能跟盐酸反应，又能跟氢氧化钠溶液反应且有气体生成的是( ) A . Na2CO3溶液B . NaHCO3 溶液C. Al(OH) 3D. Al21. 关于反应速率、反应限度的下列说法中错误的是A. 其它条件不变时，升高温度化学反应速率加快B. 其它条件不变时，增大浓度化学反应速率加快C. 化学反应达到反应限度时，反应物的浓度与生成物的浓度相等D. 化学反应达到反应限度时，正反应的速率与逆反应的速率相等 22、 下列气态氢化物最稳定的是A . HCl B. HBr C. HF D. HI23、 配制一定物质的量浓度的 Na2CO3溶液，下列操作正确的是A.称量时，将 Na2CO3固体直接放在托盘天平的右盘上11、下列离子方程式书写正确的是C. NaD. CuO B.金刚石和石墨 D. 乙烯和乙烷 )B.苯的硝化反应D.乙烯与漠的四氯化碳溶液反应C. KOH D . H2SC.用苯萃取漠水中的漠D.煤的干储( )金属铜 D .熔融的氯化钠B. 将Na2CO3固体在烧杯中溶解，所得溶液冷却到室温，再转移至容量瓶中C. 定容时如果加水超过了刻度线，.独.家用胶头滴管直接吸出多余部分D. 定容摇匀后发现溶液体积低于刻度线，再补加少量蒸储水至刻度线24、下列反应为氧化还原反应的是A . FeO+ 2HCl= FeCl 2+ H2OB . SO2 + H2O = H2SO3C. NaOH + HCl = NaCl + H2O D . 2F2+ 2H?O= 4HF +。
湖南省长沙市一中·雅礼中学2010届高三三月联考(数学理)
长沙市一中、雅礼中学高三联考试卷理科数学命题:长沙市一中高三理科数学备课组一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设U 为全集，M 、P 是U 的两个非空子集，且(),U M P P M P = 则ð等于（ ）A ．MB ．PC ．U P ðD ．∅2．A =2{||1|1,},{|log 1,},x x x B x x x -≥∈=>∈R R 则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3．如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ） A ．i ≤5B ．i ≤4C ．i ＞5D ．i ＞44．如图表示甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是（ ） A ．56分B ．57分C ．58分D ．59分5．如左图，在平面内两两等距离的一簇平行直线，任意相邻两平行直线间的距离为d (d ＞0)，向平面内任意抛掷一枚长为l (l ＜d )的小针，已知小针与平行线相交的概率P 等于右图中阴影部分面积与矩形的面积之比，则P 的值为（ ） A ．2ld πB ．2d l πC ．4l dπ D ．3l d π甲 乙 40 8 44 1 258 54 2 365 9566213 234 95416．若函数||3([,])x y x a b =∈的值域为[1，9]，则a 2 + b 2 – 2a 的取值范围是（ ）A ．[8，12]B ．C ．[4，12]D ．[2，7．已知m ，n ，s ，t ∈R +，m + n = 2，9m n s t +=，其中m 、n 是常数，当s + t 取最小值49时，m 、n 对应的点(m ，n )是双曲线22142x y -=一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．230x y +-=D ．230x y +-=8．在△ABC 中，若I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交BC 于D ，则AB : AC = BD : DC ，称为三角形的角平分线定理，已知AC = 2，BC = 3，AB = 4．且AI xAB yAC =+，利用三角形的角平分线定理可求得x + y 的值为（ ） A ．13B ．49C ．23D ．59二、填空题（本大题共7小题；每小题5分，共35分，将每小题的答案填在题中的横线上．）9．直线l 过点2)-及圆2220x y y +-=的圆心，则直线l 的倾斜角大小为 ．10．若12z =i ，且443201234(),x z a x a x a x a x a -=++++则a 2等于 ．11．下图是一个物体的三视图，已知俯视图中的圆与三角形内切，根据图中尺寸（单位：cm ），可求得a 的值为 cm ，该物体的体积为 cm 3．12．如图，AC 为⊙O 的直径，BD ⊥AC 于P ，PC = 2，PA = 8，则CD 的长为 ，cos ∠ACB = ．（用数字表示） 13．已知点A (1，0)，P 是曲线1x >上任一点，设P 到直线l ：12y =-的距离为d ，则|PA | + d 的最小值是 ．14．已知函数()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠且，(1)f x +为奇函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，则当1x >时，()f x 的递减区间是 ．15．下面的数组均由三个数组成，它们是：(1，2，3)，(2，4，6)，(3，8，11)，(4，16，20)，(5，32，37)，…，(a n ，b n ，c n )．（1）请写出c n 的一个表达式，c n = ；（2）若数列{c n }的前n 项和为M n ，则M 10 = ．（用数字作答） 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(2,),(cos ,cos ),p c a b q B C =-= p q ⊥ 且．（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值．17．（本小题满分12分）如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC =，M 为BC 的中点． （1）证明AM ⊥PM ；并求二面角P —AM —D 的大小； （2）求点D 到平面AMP 的距离．18．（本小题满分12分）一只口袋中装有标号为1、2、3、4的大小与重量相同的4个小球，从该口袋中每次取出1球，记下标号后再放回口袋，连续取三次．（1）求三次取出的小球的标号之和为5的概率；（2）设三次取出的小球的标号中最大的数字为X，求随机变量X的布分列和数学期望．19．（本小题满分13分）某市电信宽带网用户收费标准如下表：（假定每月初均可以和电信部门约定上网方案）有限包月制（限（1）若某用户某月上网时间为T小时，当T在什么范围内时，选择甲方案最合算？请说明理由（2）王先生因工作需要需在家上网，他一年内每月的上网时间T（小时）与月份n的函数关系为T = f (n) =3237(112,)4nn n+≤≤∈N．若公司能报销王先生全年的上网费用，问公司最少为此花费多少元？20．（本小题满分13分）如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，过点A 且与A F 1垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P 、Q 两点，满足85AP PQ =．（1）求椭圆的离心率；（2）若过A 、Q 、F 1三点的圆恰好与直线l ：30x +=相切，求椭圆方程．（3）在（2）的条件下，过F 2的直线l 与椭圆相交于异于椭圆左、右顶点的M ，N 两点，B 为椭圆的左顶点，求BM BN的取值范围．21．（本小题满分13分）已知函数f (x ) = ln (2 + 3x ) 23.2x -（1）求f (x )在[0，1]上的最大值；（2）若对11[,],|ln |ln[()3]062x a x f x x '∀∈-++>不等式恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若关于x 的方程f (x ) = –2x + b 在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围．长沙市一中、雅礼中学高三联考试卷理科数学答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设U 为全集，M 、P 是U 的两个非空子集，且(),U M P P M P = 则ð等于（ ）A ．MB ．PC ．U P ðD ．∅【解析】D 由(),.U UM P P P M P P =⊆=∅ 知,所以痧故选D ．2．A =2{||1|1,},{|log 1,},x x x B x x x -≥∈=>∈R R 则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【解析】B 由已知得(,0][2,),(2,),A B =-∞+∞=+∞ 若“x ∈B ”则必有“x ∈A ”，反之不成立，即得“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，故选B ． 3．如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ） A ．i ≤5B ．i ≤4C ．i ＞5D ．i ＞4【解析】D ；(11111)(2) = 1 + 2 + 22 + 23 + 24，（*） 在程序框图中，当i = 1时，S = 1 + 2×1 = 1 + 2，当i = 2时，S = 1 + 2 (1 + 2) = 1 + 2 + 22，…，由(*)式知i = 4时已完成计算，∴应填入条件i ＞4．∴故选D ．4．如图表示甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是（ ） A ．56分B ．57分C ．58分D ．59分【解析】B 由图可知甲的中位数为32，乙的中位数为25，故和为57．故选B ．5．如图，在平面内两两等距离的一簇平行直线，任意相邻两平行直线间的距离为d (d ＞0)，向甲 乙 40 8 44 1 258 54 2 365 9566213 234 9541平面内任意抛掷一枚长为l (l ＜d )的小针，已知小针与平行线相交的概率P 等于阴影面积与矩形的面积之比，则P 的值为（ ） A ．2l d πB ．2d l πC ．4l dπ D ．3l d π【解析】A 先求阴影部分的面积，22022sin (cos ),.2224ll l l l S d P d d ππαααππ==-===⎰所以故选A ．6．若||3([,])x y x a b =∈的值域为[1，9]，则a 2 + b 2 – 2a 的取值范围是（ ）A ．[8，12]B．C ．[4，12]D ．[2，【解析】C 由于||3([,])x y x a b =∈的值域是[1，9]，由指数函数的单调性．所以0≤|x |≤2，若a = –2，则b ∈[0，2]从而a 2 + b 2 – 2a ∈[8，12]，若b = 2，则a ∈[–2，0]．从而a 2 + b 2 – 2a ∈[4，12]．因此a 2 + b 2 – 2a ∈[4，12]．故选C ． 7．已知m ，n ，s ，t ∈R +，m + n = 2，9m n s t +=，其中m 、n 是常数，当s + t 取最小值49时，m 、n 对应点(m ，n )是双曲线22142x y -=一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．230x y +-=D ．230x y +-=【解析】A由已知得111()()(999m n mt ns s t s t m n m n s t s t ⎛⎫+=++=+++≥++= ⎪⎝⎭21,9由于s + t 的最小值是4,9因此214289=，又m + n = 2，所以m = n = 1．设以点(m ，n )为中点的弦的两个端点的坐标分别是1122(,),(,)x y x y ，则有121212121,222x x y y x x y y ++==+=+=即①．又该两点在双曲线上，则有22111,42x y -= 22221,42x y -=两式相减得12121212()()()()042x x x x y y y y +-+--=②，把①代入②得121212y y x x -=-，即所求直线的斜率是12，所求直线的方程是11(1),2y x -=-210x y -+=即．故选A ．8．在△ABC 中，若I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交BC 于D ，则AB : AC = BD : DC ，称为三角形的角平分线定理，已知AC = 2，BC = 3，AB = 4．且A I xA B yA C =+，利用三角形的角平分线定理可求得x + y 的值为（ ）A ．13B ．49C ．23D ．59【解析】C 在△ABC 中，I 为内心，联结AI 并延长交BC 于点D ．则BD ABDC AC=4122..233AD AB AC ===+ 故又BC = 3，则BD = 2，DC = 1．在△ABC 中，422422,..23993A I AB A I A D A B AC x y ID B D =====++= 即故故选C ． 二、填空题（本大题共7小题；每小题5分，共35分，将每小题的答案填在题中的横线上．） 9．直线l过点2)-及圆2220x y y +-=的圆心，则直线l 的倾斜角大小为 ． 【解析】120° 依题意得，圆2220x y y +-=的圆心为(0，1)，过点2)(0,1)-与的直线的斜率k =∴直线l 的倾斜角大小为120°．10．若12z =i ，且443201234(),x z a x a x a x a x a -=++++则a 2等于 ．【解析】3-+i 414(),r r r r T C x z -+=- 依题意4 – r = 2，即r = 2，222241()632a C z ⎛⎫∴=-=⨯-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭11．下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm ），可求得实数a 的值为 ，该物体的体积为 cm 3．6π+ 该物体为正三棱柱与球的组合体，可知324123326a v ππ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭12．如图，AC 为⊙O 的直径，BD ⊥AC 于P ，PC = 2，PA = 8，则CD 的长为 ，cos ∠ACB = ．（用数字表示）【解析】 由射影定理得CD 2 = CP ·CA = 2×10， ∴CDcos ∠ACB = sin ∠D=CP CD ==a13．已知点A (1，0)，P 是曲线2cos ()1cos 2x y θθθ=⎧∈⎨=+⎩R 上任一点，设P 到直线l ：12y =-的距离为d ，则|PA | + d 的最小值是 ．221cos 22cos ,2(02).y x y y θθθ=+==≤≤消去得其图象是一段抛物线，F 10,2⎛⎫⎪⎝⎭是其的焦点，l 是其准线，d = |PF |当A 、P 、F 三点共线时，|PA | + d 最小，其值是||AF =14．已知函数()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠且，(1)f x +为奇函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，则当1x >时，()f x 的递减区间是 7[,)4+∞ ．15．下面的数组均由三个数组成，它们是：(1，2，3)，(2，4，6)，(3，8，11)，(4，16，20)，(5，32，37)，…，(a n ，b n ，c n )．（1）请写出c n 的一个表达式，c n = ；（2）若数列{c n }的前n 项和为M n ，则M 10 = ．（用数字作答）【解析】c n = n + 2n ；2101 由1，2，3，4，5，……猜想a n = n ；由2，4，8，16，32，……猜想b n = 2n ；由每组数都是“前两个之和等于第三个”猜想c n = n + 2n ．从而M 10 = (1 + 2 + … + 10) + (2 + 22+ … + 210) =1010(101)2(21)2101.221⨯+-+=-三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(2,),(cos ,cos ),p c a b q B C =-= p q ⊥且．（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值．【解析】（1）p q ⊥ 由，可得(2)cos cos 0p q c a B b c =-+=，由正弦定理：sin cos 2sin cos sin cos 0,sin()2sin cos .C B A B B C C B A B -+=+=从而（3分） 又B + C =π– A ，sin(C + B ) = sin A ，且sin A ＞0，故1cos ,(0,),23B B B ππ=∈∴=又（6分）（2）由余弦定理b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cos B = a 2 + c 2 – ac ≥ac ，又b =ac ≤12（9分）故11sin 1222ABC S ac B =≤⨯= ，因此当a = c =ABC 的面积最大且最大值为（12分）17．（本小题满分12分）如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC =，M 为BC 的中点． （1）证明AM ⊥PM ；并求二面角P —AM —D 的大小； （2）求点D 到平面AMP 的距离．【解析】（1）取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD∴PE ⊥AM（3分）∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE 、△ECM 、△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得2223,,90,EM AM AE EM AM AE AME ===∴+=∴∠=︒AM EM ∴⊥ （4分）∴AM ⊥平面PME ，∴PM ⊥AM ，∴∠PME 是二面角P —AM —D 的平面角， （6分）PE = PD sin60°，∴tan 1,45,PE PME PME EM ∠===∴∠=︒ ∴二面角P —AM —D 为45°． （8分）（2）设点D 到平面PAM 的距离为d ，连接DM ，则V P —ADM = V D —PAM ，111,332ADM PAM ADM S PE S d S AD CD ∴=== 而在Rt △PEM 中，由勾股定理可求得PM =1113(10)3,233PAM S AM PM d d ∴==∴⨯⨯⨯= 分即点D 到平面PAM （12分）另解（1）以D 点为原点，分别以直线DA 、DC 为x 轴、y 轴，建立如图所示的这空间直角坐标系D —xyz ，依题意，得D (0，0，0)，P (0，1，C (0，2，0)，A 0，0)，M 2，0)（2分）(0,1,(PM AM ∴=-==-=,(0,,.PM AM PM AM AM PM ∴==⊥∴⊥ 即（4分）设n = (x，y，z)，且n⊥平面PAM，则0,(,,),0,0,(,,)(0 PM x y zAM x y z⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩即nn0,,20,,y zy x⎧+==⎪∴⎨+=⎪⎪⎩⎩取y = 1，=得n（7分）取P = (0，0，1)，∵P⊥平面ABCD，∴cos<n，p>=||||==n Pn P结合图形可知，二面角P—AM—D为45°（9分）（2）设点D到平面PAM的距离为d，由（1）可知=n，与平面PAM垂直，则d=||||DA nn==（12分）18．（本小题满分12分）一只口袋中装有标号为1、2、3、4的大小相同的4个小球，从该口袋中每次取出1球，记下标号后再放回口袋，连续取三次．（1）求三次取出的小球的三个标号之和为5的概率；（2）设三次取出的小球的标号中最大的数字为X，求随机变量X的布分列和数学期望．【解析】由题设每次取出的小球的标号为i (i = 1、2、3、4)其概率14P=（1分）（1）记取出的小球的标号组合为(1，1，3)和(1，2，2)为事件A，B且A、B互斥，（2分）则所求事件的概率P1 = P (A + B) = P (A) + P (B) =22113311113444432C C⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4分）（2）X的可知取值为1、2、3、4 （5分）311(1)464P X⎛⎫===⎪⎝⎭（6分）33312331117(2)44464P X C C⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7分）333333111133333311111119(3).44444464P X C C C C A⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（9分）333133311137(4)63.44464P X C A⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（10分）则X的分布列如下表EX = 1×164+ 2×764+ 3×1964+ 4×3764= 5516． （12分）19．（本小题满分13分）某市电信宽带网用户收费标准如下表：（假定每月初均可以和电信部门约定上网方案）有限包月制（限（1）若某用户某月上网时间为T 小时，当T 在什么范围内时，选择甲方案最合算？并说明理由（2）王先生因工作需要需在家上网，他一年内每月的上网时间T （小时）与月份n 的函数关系为T = f (n ) =3237(112,)4n n n +≤≤∈N ．若公司能报销王先生全年的上网费用，问公司最少会为此花多少元？【解析】（1）当T ≤30时，选择丙方案合算；当T ＞30时，由30 + 3 (T – 30)≤50，得30＜T ≤2363，此时选择丙方案合算；（2分）当2363≤T ≤60时，选择乙方案合算；（4分）当T ＞60时，由50 + 3 (T – 60)≤70，得60＜T ≤2663，此时选择乙方案合算；当T ≥2663，选择甲方案合算．（6分） 综上可得，当T 2(66,)3∈+∞时，选择甲方案合算．（7分）（2）因为3(1)(),4f n f n +-=所以{f (n )}为首项f (1) = 60，公差d =34的等差数列，且每月上网时间逐月递增．令32372866,9439n T n +=≥≥得，可知前9个月选择乙方案，最后3个月选择甲方案上网花费最少．（9分）此时，一年的上网总费用为991132379[503(60)]370450(1)44n n n n ==++-+⨯=+-+∑∑21045081210741(=++=元)即一年内公司最少会为王先生花费上网费741元（13分）20．（本小题满分13分）如图设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，过点A 与A F 1垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P 、Q 两点，且85AP PQ =．（1）求椭圆的离心率；（2）若过A 、Q 、F 1三点的圆恰好与直线l：30x +=相切，求椭圆方程．（3）过F 2的直线l 与椭圆相交于异于椭圆左、右顶点的M ，N 两点，B 为椭圆的左顶点，求BM BN 的取值范围． 【解析】（1）设点Q (x 0，0)，F 1(–c ，0)， 其中c(0,).A b 85AP PQ =，得222000285853,,1.131313132x P x b x a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①而22000(,),(,),,0,0,.b FA c b AQ x b FA AQ FA AQ cx b x c==-⊥∴=∴-==②由①②知2b 2 = 3ac ，∴2c 2 + 3ac – 2a 2 = 0．∴2e 2 + 3e – 2 = 0，∴1.2e =（4分）（2）满足条件的圆心2222222,0,,(,0)222b c b c a c c O c O c c c c ⎛⎫----''==∴ ⎪⎝⎭ 圆半径222.22b a c r a c+=== 由圆与直线l：|3|30,,2c x a ++==相切得又a = 2c ， ∴c = 1，a = 2，b221.43x y +=（8分）（3）（i ）当MN ⊥x 轴时()33331,,1,,2,0,3,,3,,2222M N B BM BN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--∴==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭27.4BM BN ∴=（ii ）当MN 与x 轴不垂直时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)l 的方程为y = k (x – 1) (k ≠0)代入椭圆方程得()22222212122284124384120,,,4343k k k x k x k x x x x k k -+-+-=+==++则12y y =2221212121122(1)(1)(),(2,),(2,),x k x x k x x k x x k BM x y BN x y --=-++=+=+此时BM BN = 222212121212122272()4(1)(2)()443k x x x x y y k x x k x x k k ++++=++-+++==+22727344k<+．从而2704BM BN <≤ （13分）21．（本小题满分13分）已知函数f (x ) = ln (2 + 3x ) 23.2x -（1）求f (x )在[0，1]上的最大值；（2）若对11[,],|ln |ln[()3]062x a x f x x '∀∈-++>不等式恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若关于x 的方程f (x ) = –2x + b 在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围．【解析】（1）33(1)(31)1()3,()01().23323x x f x x f x x x x x -+-''=-====-++令得或舍去（1分） ∴当110,()0,()1,()0,()33x f x f x x f x f x ''≤<><≤<时单调递增;当时单调递减． （3分）11ln336f ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭为函数f (x )在[0，1]上的最大值．（4分） （2）由33|ln |ln[()3]0ln lnln ln ,2323a x f x x a x a x x x'-++>>-<+++得或① （5分）设232333()ln ln ln ,()ln ln ln ,2332323x x xh x x g x x x x x+=-==+=+++依题意知a ＞h (x )或a ＜g (x )在x ∈11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，222233(23)3323126()0,()(26)0,3(23)3(23)2323x x x xg x h x x x x x x x x x x ++-+''==>=+=>++++ （6分） ∴g (x )与h (x )都在11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，要使不等式①成立，当且仅当1171,ln ln .26125a h a g a a ⎛⎫⎛⎫><>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或即或（9分）（3）由2233()2ln(23)20.()ln(23)2,22f x x b x x x b x x x x b ϕ=-+⇒+-+-==+-+-令2379()32,,()0,()2323x x x x x x x x ϕϕϕ⎡-''=-+=∈>⎢++⎣⎦令当时于是在上递增；,()0,()x x x ϕϕ⎤⎤'∈<⎥⎥⎣⎦⎣⎦当时于是在上递减.（11分）而(0),(1),()2()0[0,1]f x x b x ϕϕϕϕϕ>>∴=-+=⎝⎭⎝⎭即在上恰有两个不同实根等价于(0)ln 20717ln(20,ln 5ln(26261(1)ln 502b b b b ϕϕϕ⎧⎪=-≤⎪⎪=+->∴+≤<-⎨⎪⎝⎭⎪⎪=+-≤⎩ （13分）。
湖南省长沙市一中09-10学年高二下学期入学考试(数学文)
长沙市第一中学2009—2010学年度第二学期入学摸底考试·文选数学试题卷总分：150分一、选择题：（本大题6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．在复平面内，复数(1)i i-对应的点所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知命题p ：m ∃∈R ，30m≤，则命题p 的否定是（ ）A ．不存在m ∈R ，使30m> B ．m ∃∈R ，30m> C ．m ∀∈R ，30m≤ D ．m ∀∈R ，30m>3．已知圆1:()3x P y θθθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩为参数，则圆心P 及半径r 分别为 （ ）A ．圆心()1,3P ，半径10r =B ． 圆心()1,3P ，半径r =C ．圆心()1,3P -，半径r =D ． 圆心()1,3P -，半径10r = 4．以下的极坐标方程表示直线的是（ ）A ．θρcos 2a = )0(>aB ．)sin (cos 9θθρ+=C ．3=ρD ．1sin 3cos 2=+θρθρ 5．函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是（ ）A ．)2,(-∞B ．(0，3)C ．),2(+∞D ． (1，4)6．设△ABC 为等腰三角形，∠ABC =120º，若以A 、B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的 离心率=e（ ）A ．1+22B ．1+32 C ．1+ 2 D ．1+ 3二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 7．设函数()sin f x a x =在点3x π=处的导数为2，则a = ．8．设椭圆)0,0(12222>>=+n m n y m x 的右焦点与抛物线x y 82=的焦点相同，离心率为21，则此椭圆的标准方程为 ．9．x < 0时，22x x+的最大值为 ．10．点()2,1M 直线0l y --=的距离是 ．11．边长为a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于 ；将这个结论推广到空间是：棱长为a 的正四面体内任一点到各面距离之和等于 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A （-6，0），C （6，0），顶点B 在椭圆22110064x y += 上，则sin Bsin A sinC=+ ．长沙市第一中学2009—2010学年度第二学期入学摸底考试·文选数学答题卷一、 选择题：（本大题6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 7．8.9.10． 11. ， 12.5小题，共52分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步13．（本小题满分10分）已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F 和2F ,上一点到1F 和2F 的距离之和为12，圆k C :0214222=--++y kx y x )(R k ∈的圆心A 1B 1D 1C 1ABCD为点k A ．(1)求椭圆G 的方程； (2)求21F F A k 的面积．14．（本小题满分10）长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形, AA 1=4， (1)指出BD 1与平面ABCD 所成角,并求出它的正切值； (2)指出 二面角D 1-AC-D 的平面角,并求出它的正切值； (3)求证：AC ⊥BD 1 ．15．（本小题满分10分）为了美化环境，构建两型社会，市城建局打算在广场上建造一个绚丽多彩的矩形花园，中间有三个完全一样的矩形花坛，每个花坛．．．．面积均为294平方米，花坛四周的过道均为2米，如图所示，设矩形花坛的长为x ，宽为y ，整个矩形花园面积为S（1）试用x 表示S ；（2）为了节约用地，当矩形花坛的长为多少米时，新建矩形花园占地最少，占地多少平米？16．（本题满分共11分）已知函数2()ln ()f x x a x a R =-∈，（1）当1-=a 时，求函数()f x 在点1x =处的切线方程及)(x f 的单调区间； （2）求函数()f x 的极值．17．（本题满分11分）已知双曲线E 以抛物线C ：)1(42-=x y 的顶点为右顶点，以C 的焦点为右焦点，以原点O 为中心．（Ⅰ）求双曲线E 的方程；（Ⅱ）若AB 是双曲线E 经过原点O 的弦， MN 是经过焦点且平行于MN 的弦，求证：||||2MN AB 为定值．D C 1C长沙市第一中学2009—2010学年度第二学期入学摸底考试·文选数学参考答案一．选择题：（本大题6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.二．填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7． 48.2211612x y += 10．122， 12.35三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）13．【解析】（1）设椭圆G 的方程为：22221x y a b+= （0a b >>）半焦距为c;则2122a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩ , 解得6a c =⎧⎪⎨=⎪⎩, 22236279b a c ∴=-=-= 所求椭圆G 的方程为：221369x y +=.(2 )点K A 的坐标为(),2K - 121211222K A F F S F F =⨯⨯=⨯V 14．（1； （2）； （3）略15．解（1）由题意(4)(38)312832S x y xy y x =++=+++由294294xy y x==，则 得294329412832S x x=⨯+⨯++ 122949148x x⨯=++，（(0,)x ∈+∞）（2）2'22122948(441)8x S x x⨯-=-+=, 令'0S =，则21x =，（21x =-舍去）''210,210,x S S x S S <<<>>当0时,单调递减;当时,单调递增所以21x =时， S 最少，为1250答：当矩形花坛的长为21米时，所建矩形花园占地最少，占地1250平方米. 16．解：（1）当a = -1时，21()ln ,()2,f x x x f x x x'=+=+∴(1) 3.f '=函数()f x 在点x = 1处的切线方程为y －1= 3（x －1），即y =3x －2当0>x 时，012)(>+='xx x f ，∴函数)(x f 在（0，+∞）上是增函数，而)(x f 的定义域为(0,)+∞，则函数)(x f 的单调增区间为(0,)+∞，不存在递减区间．（2）函数)(ln )(2R a x a x x f ∈-=的定义域为（0，+∞），xa x x f -='2)(，①当0≤a 时，)(,0)(x f x f ∴>'在（0，+∞）上是增函数；函数)(x f 无极值②当0>a 时，由0)(>'x f ，得22ax >，由220,0)(a x x f <<<'得， ∴当22ax =时，)(x f 有极小值)2ln ln 1(21)22(+-=a a a f 综上，当0≤a 时，)(x f 无极值；当0>a 时，)(x f 有极小值)2ln ln 1(21+-a a ，无极大值17．解：（Ⅰ）E ：1322=-y x （Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M ,),(),,(4433y x B y x A由题意可知，直线MN 的斜率存在且不为0，设MN ：y =k (x –2)，则AB ：kx y =，⎩⎨⎧-==-)2(3322x k y y x 消去y ，并整理得：0344)3(2222=++--k x k x k 342221-=+k k x x ，3342221-+=k k x x |MN |=]4))[(1(||1212212212x x x x k x x k -++=-+=|3|)1(6)]334(4)34)[(1(22222222-+=-+--+k k k k k k k⎩⎨⎧==-3322kx y y x 消去y ，并整理得：2233k x -=， ∵02>x ∴32<k|AB |=224323)1(32||1k k x x k -+=-+ ∴23)1(63)1(12||||22222=-+-+=k k k k MN AB 为定值。
完整word版,2010年湖南省普通高中学业水平考试试卷(数学)_3936
2010 年湖南省一般高中学业水平考试一试卷数学本试卷包含选择题、填空题和解答题三部分，共 3 页。
时量120 分钟，满分100 分。
注意事项:1．答题前，考生务势必自己的姓名、准考据号写在答题卡和本试题卷的封面上。
2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试卷和底稿纸上作答无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3．本卷共 3 页，如缺页，考生须实时报告监考老师，不然结果自负。
4．考试结束后, 将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10 小题，每题 4 分，满分40 分。
在每题给出得四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．已知会合M 1,2 ,N12,3 ，则M N = ( )A ．1,2 B．2,3 C．1,3 D．1,2,32．已知a、b、c R ，a b，则（）A ．a c b c B．a c b c C．a c b c D．a c b c3.以下几何体中，正视图、侧视图和俯视图都同样的是（）A ．圆柱B．圆锥C．球D．三棱锥2 y 24．已知圆 C 的方程是x 1 2 4，则圆心坐标与半径分别为（）A．1,2 ，r 2 B．1, 2 ，r 2 C．1,2 ，r 4 D．1, 2 ，r 4 5．以下函数中，是偶函数的是（）A ． f x x B．f x 1xC． 2f x x D．f x sin x6．如下图的圆盘由八个全等的扇形组成，指针绕中心旋转，可能随机停止，则指针停止在暗影部分内的概率是（）A ．12B．14C．16D．187．化简2sin cos =（）A ．1 sin 2 B． 1 sin C．1 sin 2 D．1 sin8．在ABC中，若CA CB 0 ，则ABC是（）A ．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形9．已知函数 f x = xa （a 0且a 1），f 1 2 ，则函数 f x 的分析式是（）A ． f x = x4 B．f x = 14xC． f x = x2 D． f x =12x10．在ABC中，a、b、c分别为角A、B 、C 的对边，若 A 60 ，b 1，c 2，则a =（）A ．1 B． 3 C．2 D．7二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4小题，每题 5 分，满分20 分．11．直线y 2x 2 的斜率是．12．已知若图所示的程序框图，若输入的x值为1，则输出的y值是．13．已知点x，y 在如下图的暗影部分内运动，则z 2x y 的最大值是．14．已知平面向量 a (4，2) ，b (x，3) ，若a ∥b ，则实数x 的值为．15.张山同学的家里开了一个小卖部，为了研究气温对某种冷饮销售量的影响，他采集了这一段时间内这类冷饮每日的销售量y（杯）与当日最高气温x （ C ）的有关数据，经过描述散点图，发现y 和x 体现线性有关关系，并求的回归方程为y = 2x 60，假如气象预告某天的最高气温为34 C ，则能够展望该天这种饮料的销售量为杯。
2010年湖南学业水平模拟试卷及答案
2010年长沙市一中学业水平考试模拟试卷（三）数 学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分．时量120分钟．满分100分．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y 的定义域为（ ）A ．RB ．),4(+∞C ．)4,(-∞D ．),4()4,(+∞-∞2．已知角α的终边经过点P(﹣3，4)，则下列计算结论中正确的是 （ ）A ．4tan 3α=-B ． 4sin 5α=-C ．3cos 5α=D ．3sin 5α=3．设集合A={ x | 0 < x ≤3 }，B={x | x ≤0}，则A ∪B =（ ）A ．{ x | 0 < x ≤3 }B ．{ 0 }C ．{ x | x ≤3 }D ．R 4．已知a =(1,sin ),α b =(cos ,1)α-，且a ⊥b ，则锐角α的大小为 （ ）A ．6πB ．3πC ．4πD ．512π5．阅读流程图，则输出结果是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．136．如图，有一个几何体的正视图与侧视图都是底为6cm ，腰为5cm 的等腰三角形，俯视图是直径为6cm 的 圆，则该几何体的体积为（ ）A ．12πcm 3B ．24πcm 3C ．36πcm 3D ．48πcm 37．袋中有5个球，其中3个是红球，2个是白球，从中任取2个球，这2个球都是红球的概率是（ ）A ．110B ．310C ．710D ．378．已知函数()l n f x x x =+有唯一的零点，则其零点所在区间为 第5题 正视图 侧视图俯视图第6题（ ）A ．（0 ，1）B ．（1 ，2）C ．（2 ，3）D ． （3 ，4）9．已知实数x y 、满足约束条件110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则其围成的平面区域的面积为（ ）A ．8B ．4C ．2D ． 110．已知)(x f 是定义在]5,5[-上的偶函数，且)1()3(f f > ，则下列各式中一定成立的是 （ ）A ．)5()0(f f <B ．)3()1(f f <-C ．)2()3(f f >D ．)0()2(f f > 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11．从56名男教师和42名女教师中，采用分层抽样的方法，抽出一个容量为14的样本．那么这个样本中的男教师的人数是 . 12．等差数列{}n a 中, 265,33,a a ==则4a =_________． 13．如图，AE xAD yAB =+，则 x +y ＝ ．14． 在△ABC 中，若222,b c a bc +-=则A = ．15．若函数52)(2++=x ax x f 在),4(∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是 _________．三．解答题：本大题共6小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）某市为了保障民生，防止居民住房价格过快增长，计划出台合理的房价调控政策，为此有关部门抽样调查了100个楼盘的住房销售价格，右表是这100个楼盘住房销售均价（单位：千元／平米）的频率分布表，根据右表回答以下问题： （1）求右表中a ，b 的值；（2）请将下面的频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市居民住房销售价格在4千元／平米到8千元／平米之间的概率．第13题图17．（本小题满分8分）已知函数()sin f x x x =． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图像上所有的点向右平移3π个单位，得到函数()g x 的图像，写出()g x 的解析式，并求()g x 在x ∈(0，π)上的单调递增区间． 18．（本小题满分8分）如图，已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1 ⊥平面ABC ，AB=BC ，∠ABC=90°，D 为AC 中点．（1）求证：BD ⊥AC 1 ；（2）若AA 1=AC 1与平面ABC 所成的角．销售均价（千元 / 平米）0.20.32345789（第18题图）A 1AB 1C 1BCD19．（本小题满分8分）已知数列{a n}中，a1=1 ，a2=3，且点（n，a n）满足函数y = kx + b．（1）求k，b的值，并写出数列{a n}的通项公式；（2）记2n ab=，求数列{b n}的前n和S n．n20．（本小题满分10分）已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M（1,）．（1）求圆C的方程；（2）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线40+-=的距离的最小值；x y（3）若直线l与圆C相切，且l与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，求△ABC的面积最小时直线l的方程．2010年长沙市一中学业水平考试模拟试卷（三）参考答案与评分标准一、选择题：（每小题4分，共40分）B AC CD A B A D B二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
数学_2010年湖南省长沙市某校高考数学三模试卷(文科)(含答案)
2010年湖南省长沙市某校高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U ={−2, −1, 0, 1, 2}，A ={−2, −1, 0}，B ={0, 1, 2}，则(∁U A)∩B =( ) A {0} B {−2, −1} C {1, 2} D {0, 1, 2}2. 椭圆x 216+y 27=1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( )A 32B 16C 8D 43. 已知函数f(x)=log 13(2x 2+x)，则f (x)的单调递增区间为（ ）A (−∞, −14)B (−14, +∞)C (0, +∞)D (−∞, −12) 4. 如果执行程序框图，那么输出的t =( )A 96B 120C 144D 3005. 已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m // l ，m ⊥α，则l ⊥α； ②若m // l ，且m // α，则l // α；③若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，则l // m // n ； ④若α∩γ=m ，β∩γ=l ，且α // β，则m // l ． 其中真命题是（ ）A ①②B ①③④C ①④D ②④6. 若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是（ ）A 2cm 3B 4cm 3C 6cm 3D 12cm 37. 已知偶函数f(x)在区间[0, +∞)单调递增，则满足f(2x −√2)<f(√2)的x 取值范围是（ ）A (−∞, 0)B (0,√2)C (0,2√2)D (√2，+∞)8. 设G 是△ABC 的重心，且(sinA)⋅GA →+(sinB)⋅GB →+(sinC)⋅GC →=0→，则B 的大小为（ ）A 45∘B 60∘C 30∘D 15∘二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．9. 若(a −2i)i =b −i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a +b =________．10. 为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图：据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在[15, 25)内的人数为________．11. 已知曲C 的极坐标方程ρ＝2sinθ，设直线L 的参数方程，（t 为参数）设直线L 与x 轴的交点M ，N 是曲线C 上一动点，求|MN|的最大值________．12. 已知点P(x, y)在线性区域{x +y ≥0x −y +2≥0内，则点P(x, y)到点A(−2, 3)的距离|PA|的最小值为________．13. 掷两枚骰子，它们的各面分别刻有1，2，2，3，3，3，则掷得的点数之和为4的概率为________14. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)=________．15.如图是函数f(x)=sinπx x 2−bx+c的图象的一部分，若图象的最高点的纵坐标为43，则b +c =________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 已知向量m→=(1,sin(ωx+π3))，n→=(2,2sin(ωx−π6))（其中ω为正常数）（1）若ω=1,x∈[π6，2π3]，求m→ // n→时tanx的值；（2）设f(x)=m→⋅n→−2，若函数f(x)的图象的相邻两个对称中心的距离为π2，求f(x)在区间[0,π2]上的最小值．17. 口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（1）甲、乙按以上规则各摸一个球，求事件“甲赢且编号的和为6”发生的概率；（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．18. 在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，棱EF // BC且EF=12BC．（1）证明：FO // 平面CDE；（2）设BC=2√3，CD=2，OE=√3，求EC与平面ABCD所成角的正弦值．19. 已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+12a n＝1(n∈N∗)（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log3(1−S n+1)(n∈N∗)，求适合方程1b1b2+1b2b3+⋯+1b n b n+1=2551的n的值．20. 已知函数f(x)=13x3−x2+3，x∈[−1, t](t>−1)，函数g(t)=13(t−2)2，t>−1（1）当0<t<1时，求函数f(x)的单调区间和最大、最小值；（2）求证：对于任意的t>−1，总存在x0∈(−1, t)，使得x=x0是关于x的方程f′(x)= g(t)的解；并就k的取值情况讨论这样的x0的个数．21. 已知四点O(0, 0)，F(0,12)，M(0, 1)，N(0, 2)．点P(x0, y0)在抛物线x2=2y上（1）当x0=3时，延长PN交抛物线于另一点Q，求∠POQ的大小；（2）当点P(x0, y0)(x0≠0)在抛物线x2=2y上运动时，ⅰ）以MP为直径作圆，求该圆截直线y=12所得的弦长；ⅱ）过点P作x轴的垂线交x轴于点A，过点P作该抛物线的切线l交x轴于点B．问：是否总有∠FPB=∠BPA？如果有，请给予证明；如果没有，请举出反例．2010年湖南省长沙市某校高考数学三模试卷（文科）答案1. C2. B3. D4. B5. C6. A7. B8. B9. 110. 6011. ：12. 32√213. 51814. 6115. 216. 解：(1)m→ // n→时，sin(x−π6)=sin(x+π3)，sinxcos π6−cosxsinπ6=sinxcosπ3+cosxsinπ3则√32sinx−12cosx=12sinx+√32cosx√3−1 2sinx=√3+12cosx，所以tanx=√3+1√3−1=2+√3（2）f(x)=2sin(ωx−π6)sin(ωx+π3)=2sin(ωx−π6)cos[(ωx+π3)−π2]=2sin(ωx−π6)cos(ωx−π6)=sin(2ωx−π3)．（或f(x)=2sin(ωx−π6)sin(ωx+π3)=2(√32sinωx−12cosωx)(12sinωx+√32cosωx)=2(√34sin2ωx−√34cos2ωx+12sinωxcosωx)=−√32cos2ωx+12sin2ωx=sin(2ωx−π3)∵ 函数f(x)的图象的相邻两个对称中心的距离为π2∴ f(x)的最小正周期为π，又ω为正常数，∴ 2π2ω=π，解之，得ω=1．故f(x)=sin(2x−π3)．因为x∈[0,π2]，所以−π3≤2x−π3≤2π3．故当x=−π3时，f(x)取最小值−√3217. 解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为(1, 5)，(2, 4)(3, 3)，(4, 2)，(5, 1)共5个．又甲、乙二人取出的数字共有5×5=25等可能的结果，∴ P(A)=525=15．即编号的和为6的概率为15．（2）这种游戏规则不公平．设甲胜为事件B，乙胜为事件C，则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：(1, 1)，(1, 3)，(1, 5)，(2, 2)，(2, 4)，(3, 1)，(3, 3)，(3, 5)，(4, 2)，(4, 4)，(5, 1)，(5, 3)，(5, 5)．∴ 甲胜的概率P(B)=1325，从而乙胜的概率P(C)=1−1325=1225．由于P(B)≠P(C)，∴ 这种游戏规则不公平．18. 解：（1）证明：取CD中点M，连接OM．在矩形ABCD中，OM= // 12BC，又EF= // 12BC，则EF= // OM，连接EM，于是四边形EFOM为平行四边形．∴ FO // EM又∵ FO⊄平面CDE，且EM⊂平面CDE，∴ FO // 平面CDE（2）连接FM，由（1）和已知条件，在等边△CDE中，CM=DM，EM⊥CD且EM=√3，又EF=12BC=√3．因此平行四边形EFOM 为菱形， 过E 作EG ⊥OM 于G∵ CD ⊥EM ，CD ⊥OM ， ∴ CD ⊥平面EOM ， ∴ CD ⊥EG因此EG ⊥平面ABCD所以∠EGC 为EC 与底面ABCD 所成角在△EOM 中OM =ME =OE =√3，则△EOM 为正三角形． ∴ 点E 到平面ABCD 的距离为EG =32， 所以sin∠ECG =EG EC=34即EC 与平面CDF 所成角的正弦值为34．19. 当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1+12a 1=1，得a 1=23．当n ≥2时，∵ S n =1−12a n ，S n−1=1−12a n−1，∴ S n −S n−1=12(a n−1−a n )，即a n =12(a n−1−a n )．∴ a n =13a n−1．∴ {a n }是以23为首项，13为公比的等比数列．故a n =23⋅(13)n−1=2⋅(13)n ． 1−S n =12a n =(13)n ，b n =log 3(1−S n+1)=log 3(13)n+1=−n −1，1b n b n+1=1(n +1)(n +2)=1n +1−1n +21b 1b 2+1b 2b 3++1b n b n+1=(12−13)+(13−14)++(1n +1−1n +2)=12−1n +2 解方程12−1n+2=2551，得n ＝10020. 解：（1）因为f′(x)=x 2−2x =x(x −2)由f′(x)>0⇒x >2或x <0；由f′(x)<0⇒0<x <2， 所以当0<t <1时，f(x)在(−1, 0)上递增，在(0, t)上递减 因为f(−1)=53，f(0)=3，f(2)=83−4+3=53， 而f(0)>f(t)>f(2)，所以当x =−1时，函数f(x)取最小值f(−1)=53，当x =0时，函数f(x)取最大值f(0)=3，（2）因为f′(x)=x 2−2x ，所以x 2−2x =13(t −2)2，令p(x)=x 2−2x −13(t −2)2，从而把问题转化为证明方程p(x)=x 2−2x −13(t −2)2=0在(−1, t)上有解， 并讨论解的个数因为p(−1)=3−13(t −2)2=−13(t +1)(t −5)，p(t)=t(t −2)−13(t −2)2=23(t +1)(t −2)， 所以①当t >5或−1<t <2时，p(−2)⋅p(t)<0，所以p(x)=0在(−2, t)上有解，且只有一解 ②当2<t <5时，p(−2)>0且p(t)>0，但由于p(0)=−13(t −2)2<0，所以p(x)=0在(−2, t)上有解，且有两解③当t =2时，p(x)=x 2−2x =0⇒x =0或x =2，所以p(x)=0在(−2, t)上有且只有一解x =0；当t =5时，p(x)=x 2−2x −3=0⇒x =−1或x =3，所以p(x)=0在(−1, 5)上也有且只有一解x =3综上所述，对于任意的t >−1，总存在x 0∈(−1, t)，满足f ′(x 0)=g(t)，且当t ≥5或−1<t ≤2时，有唯一的x 0适合题意； 当2<t <5时，有两个x 0适合题意．21. 解：（1）当x 0=3时，y 0=92，P(3,92)，k PN =56直线PN:y =56x +2代入x 2=2y ，得x 2−53x −4=0，x =−43，3， 所以Q(−43，89)，OP →⋅OQ →=3×(−43)+92×89=0，所以∠POQ =90∘（2）ⅰ）以MP 为直径的圆的圆心为(x02，12y 0+12)，|MP|=√x 02+(y 0−1)2=√2y 0+(y 0−1)2=√y 02+1， 所以圆的半径r =12√y 02+1，圆心到直线y =12的距离d =|12y 0+12−12|=|12y 0|；故截得的弦长l =2√r 2−d 2=2√14y 02+14−14y 02=1（2）总有∠FPB =∠BPA ． 证明：y =x 22，y ′=x ，k l =y′|x=x 0=x 0，所以切线l 的方程为y −x 022=x 0(x −x 0)，即y =x 0x −x 022令y =0，得x =x 02，所以点B 的坐标为B(x02，0)点B 到直线PA 的距离为d 1=|x 0|2，下面求直线PF 的方程因为F(0,12)，所以直线PF 的方程为y −12=x 022−12x 0(x −0)，整理得(x 02−1)x −2x 0y +x 0=0所以点B 到直线PF 的距离为d 2=|(x 2−1)x 02+x |√(x 0−1)2+(2x 0)2=|(x 2+1)x02|√(x 0+1)2=|x 0|2，所以d 1=d 2所以∠FPB =∠BPA。
数学-高二湖南浏阳一中2010年下期高二第三次阶段性测试(数学文)
11、已知 ，则不等式 的解集是
12、设实数x、y满足 ，则 的最小值为10
13、中心在原点，一个焦点是(-5,0)，一条渐近线是直线4x-3y=0的双曲线方程是
14、已知双曲线x2－ ＝1，过P(2，1)点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为__6___
19、已知命题：“ ，都有不等式 成立”是真命题（13分）
（1）求实数 的取值集合 ；
（2）设不等式 的解集为 ，若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
20.已知正方形 的一边 在直线 上,顶点 在抛物线 上,求正方形的边长.（13分）
21、已知椭圆的中心在原点，一个焦点F1(0，－2 )，且离心率e满足： ，e， 成等比数列．（13分）
∵l与椭圆交于不同的两点M，N，
∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)＞0
即m2－k2－9＜0①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)
∴ ，
∴m＝ ②
把②代入①式中得
－(k2＋9)＜0
∴k＞ 或k＜－
∴直线l倾斜角α∈( ， )∪( ， )
(1)求椭圆方程；
(2)是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x＝－
平分．若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．
答 案
一、选择题
1、D2、D3、B4、C5、D6、C7、B8、C
二、填空题（每题5分，共35分）
9、焦点在直线 上的抛物线的标准方程是 或 .
其对应的准线方程是
解： 得 解得 ∴ =a1+ =
{ }是以-2位首项， 为公差的等差数列∴Tn=-2n+ =
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2010年长沙市一中学业水平考试模拟试卷（三）数 学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分．时量120分钟．满分100分．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 函数24y x =-的定义域为 （ ） A ．R B ．),4(+∞ C ．)4,(-∞ D ．),4()4,(+∞-∞ 2．已知角α的终边经过点P(﹣3，4)，则下列计算结论中正确的是 （ ）A ．4tan 3α=-B ． 4sin 5α=-C ．3cos 5α=D ．3sin 5α=3．设集合A={ x | 0 < x ≤3 }，B={x | x ≤0}，则A ∪B = （ ）A ．{ x | 0 < x ≤3 }B ．{ 0 }C ．{ x | x ≤3 }D ．R 4．已知a =(1,sin ),α b =(cos ,1)α-，且a ⊥b ，则锐角α的大小为 （ ）A ．6πB ．3πC ．4πD ．512π5．阅读流程图，则输出结果是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．136．如图，有一个几何体的正视图与侧视图都是底为6cm ，腰为5cm 的等腰三角形，俯视图是直径为6cm 的 圆，则该几何体的体积为 （ ） A ．12πcm 3 B ．24πcm 3 C．36πcm3 D ．48πcm 37．袋中有5个球，其中3个是红球，2个是白球，从中任取2个球，这2个球都是红球的概率是（ ）A ．110B ．310C ．710D ．378．已知函数()ln f x x x =+有唯一的零点，则其零点所在区间为 （ ）A ．（0 ，1）B ．（1 ，2）C ．（2 ，3）D ． （3 ，4）第5题开始 结束x=2 y=2x+1 b=3y-2输出b 正视图 侧视图俯视图 第6题 ·9．已知实数x y 、满足约束条件110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则其围成的平面区域的面积为 （ ）A ．8B ．4C ．2D ． 110．已知)(x f 是定义在]5,5[-上的偶函数，且)1()3(f f > ，则下列各式中一定成立的是 （ ）A ．)5()0(f f <B ．)3()1(f f <-C ．)2()3(f f >D ．)0()2(f f > 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11．从56名男教师和42名女教师中，采用分层抽样的方法，抽出一个容量为14的样本．那么这个样本中的男教师的人数是 .12．等差数列{}n a 中, 265,33,a a ==则4a =_________． 13．如图，AE xAD yAB =+，则 x +y ＝ ．14． 在△ABC 中，若222,b c a bc +-=则A = ．15．若函数52)(2++=x ax x f 在),4(∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是_________．三．解答题：本大题共6小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）某市为了保障民生，防止居民住房价格过快增长，计划出台合理的房价调控政策，为此有关部门抽样调查了100个楼盘的住房销售价格，右表是这100个楼盘住房销售均价（单位：千元／平米）的频率分布表，根据右表回答以下问题： （1）求右表中a ，b 的值；（2）请将下面的频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市居民住房销售价格在4千元／平米到8千元／平米之间的概率．分组 频数 频率 [2，3) 5 0.05 [3，4) 10 0.10 [4，5) a 0.15 [5，6)240.24 [6，7) 18 0.18 [7，8) 12 b [8，9)8 0.08 [9，10) 8 0.08 合计100 1.00销售均价（千元 / 平米）频率 / 组距0.10.20.32345678910第13题图17．（本小题满分8分）已知函数()sin 3cos f x x x =+． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图像上所有的点向右平移3π个单位，得到函数()g x 的图像，写出()g x 的解析式，并求()g x 在x ∈(0，π)上的单调递增区间． 18．（本小题满分8分）如图，已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1 ⊥平面ABC ，AB=BC ，∠ABC=90°，D 为AC 中点．（1）求证：BD ⊥AC 1 ；（2）若AB=2，AA 1=23，求AC 1与平面ABC 所成的角．19．（本小题满分8分）已知数列{a n }中，a 1 =1 ，a 2=3，且点（n ，a n ）满足函数y = kx + b ． （1）求k ，b 的值，并写出数列{a n }的通项公式；（第18题图）A 1AB 1C 1BCD（2）记2n a n b =，求数列{b n }的前n 和S n ．20．（本小题满分10分）已知圆C 的圆心在坐标原点，且过点M （1,3）．（1）求圆C 的方程；（2）已知点P 是圆C 上的动点，试求点P 到直线40x y +-=的距离的最小值；（3）若直线l 与圆C 相切，且l 与x ，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，求△ABC 的面积最小时直线l 的方程．2010年长沙市一中学业水平考试模拟试卷（三）参考答案与评分标准一、选择题：（每小题4分，共40分）B AC CD A B A D B二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11. 8 12. 19 13. 1 14. 60° 15. a ≥0 三、解答题：16．(本小题满分6分)解析：（1）a =15 ， b =0.12 …………………………………………………… 2分（2）频率分布直方图如图 ……………………………… 4分该市居民住房销售价格在4千元／平米到8千元／平米之间的概率为0.69 …… 6分17．(本小题满分6分)解析：（1）()2sin()3f x x π=+，周期为：2π ………………………………… 3分（2）()2,g x sin x = …………………………………………… 6分 ()g x 在（0，π）上的递增区间为(0,)2π…………………8分18．(本小题满分8分)（1）证明：∵AA 1 ⊥平面ABC ， ∴AA 1 ⊥BD又∵AB=BC ，D 为AC 中点，∴AC ⊥BD∴BD ⊥平面ACC 1 A 1 ∴BD ⊥AC 1 ……………………4分 （2）∵AA 1 ⊥平面ABC ，∴CC 1 ⊥平面ABC ∴AC 1与平面ABC 所成的角为∠C 1AC ∵AB=BC ，∠ABC=90°，AB=2，∴AC=2 又AA 1=23，∴CC 1 =23 ∴tan ∠C 1AC=12332CC AC ==，∴∠C 1AC=60°．……… 8分19．(本小题满分8分)解析：（1）将（1 ，a 1），（2 ，a 2）代入y = kx + b 中得：12321k b k k b b =+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=-⎩⎩ (2)分21n a n ∴=- ………………………………………… 4分 （2）212,2,na n n nb b -=∴= 2(1)121212242n n n n b b +-+-∴===， …………………………… 6分 {}n b ∴是公比为4的等比数列，销售均价（千元 / 平米）频率 / 组距0.10.20.32345678910（第18题图）A 1AB 1C 1BCD又12b =2(14)2(41)143n n n S --∴==- ………………………………………… 8分 20．(本小题满分10分)解析：（1）圆C 的半径为132|CM |=+=， ……………………… 2分 所以圆C 的方程为224x y +=………………………………………………………3分（2）圆心到直线l 的距离为22-42211||d ==+，……………………………………4分所以P 到直线l ：40x y +-=的距离的最小值为：222-…………………… 6分 （3）设直线l 的方程为：y kx b =+，因为l 与x ，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，则0,0k b <>，且(,0),(0,)bA B b k-，又l 与圆C 相切，则C 点到直线l 的距离等于圆的半径2，即：222||2441b b k k =⇒=++， ①， 而21()22ABCb b S b k k-=-= ② ……………… 8分 将①代入②得2(44)112()4()42ABCk S k k k k k-+==-+≥-=-- ，当且仅当k=﹣1时取等号，所以当k=﹣1时，△ABC 的面积最小，此时22448,22b k b =+==，直线l 的方程为：22y x =-+……………… 10分频率 / 组距0.10.20.3。