湖南省长沙一中2015届高三月考试卷(一)数学(理)
湖南省长沙市周南中学2015届高三第一次月考_理数试卷
） D．3
解：由 F x x f x ，得 x f x ，设 g ( x) x f x ，则 g( x) f x xf x ．
1 x
1 x
f x xf x f x 0 ，∴ x 0 时， 0， ∵ x 0 时，有 f x x x
D E C B A
解：(Ⅰ)证明：取 BE 的中点 O，AE 的中点 F，连 OC，OF，DF， 则 2OF / / BA. ∵AB⊥平面 BCE，CD⊥平面 BCE，∴2CD / / BA， ∴OF / / CD，∴OC∥FD. ∵BC=CE，∴OC⊥BE，又 AB⊥平面 BCE. ∴OC⊥平面 ABE. ∴FD⊥平面 ABE. 从而平面 ADE⊥平面 ABE. (Ⅱ)二面角 A—EB—D 与二面角 F—EB—D 相等， 由(Ⅰ)知二面角 F—EB—D 的平面角为∠FOD。 BC=CE=2, ∠BCE=1200，OC⊥BE 得 BO=OE= 3 ，OC=1， ∴OFDC 为正方形，∴∠FOD= 45 ， ∴二面角 A—EB—D 的大小为 45 ． F
解：因为 AB1 AB2
，
从而有 AB1 AB2 ，
2
即 (OB1 OA) (OB2 OA) 0 ，化简为： OA OA OB1 OA OB2 OB1 OB2 ① 又 AP AB1 AB2 ，并且 AP OP OA ，
则有 OP OA (OB1 OA) (OB2 OA) ，即 OP OB1 OB2 OA ，平方：
16． （本小题满分 12 分） 在 ABC 中， 三内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c， 且 2b cos C 2a c ． （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）求 sin A sin C 的取值范围． a2 b2 c2 2a c ，即 a 2 c 2 b 2 ac ， 解：（Ⅰ）由余弦定理可得： 2b 2ab a2 c2 b2 1 ，由 B (0, ) 得 B ． ∴ cos B 2ac 2 3 2 A， （Ⅱ）由 B 得， C 3 3
湖南省师大附中2015届高三数学第一次月考试题 理(含解析)
某某省师大附中2015届高三数学第一次月考试题 理（含解析）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．已知集合M ＝{ |x x2－2x<0}，N ＝{ |x x<a}，若M ⊆N ，则实数a 的取值X 围是()A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0] 【知识点】子集的运算.A1 【答案解析】A 解析：因为2M {|x 2x 0}|02x x x ＝－，N ＝{ |x x<a}，M ⊆N ，所以2a，故选A.【思路点拨】先化简集合M ，再利用M ⊆N 即可.【题文】2．下列四个命题p1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x < ⎝ ⎛⎭⎪⎫13xp2：∃x ∈(0，1)，log 12x>log 13x p3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x p4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<log 13x 其中的真命题是()A ．p1，p3B ．p1，p4C ．p2，p3D ．p2，p4【知识点】命题的真假判断与应用．A2【答案解析】D 解析：对应命题p1可，分别作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象如图：由图象 可知：∀x ∈（0，+∞），⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，所以命题p1错误．p2：作出对数函数y1＝12logx，y2＝13logx的图象，由图象知：∃x∈（0，1），使命题p2正确．p3：作出函数y1＝12logx，y2＝(12)x的图象，由图象知命题p3不正确．P4：当x∈（0，13）时，13logx＞1，(12)x＜1，所以恒有13logx＞(12)x成立，所以命题P4正确．故选D．【思路点拨】分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题．p1可利用两个指数函数的图象进行判断．p2可以利用对数的图象来判断．p3可以利用对数和指数函数的图象来判断．p4：利用指数函数和对数函数的图象来判断．【题文】3．在如右图所示的程序框图中输入10，结果会输出()A．10 B．11 C．512 D．1 024【知识点】程序框图．L1【答案解析】D 解析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下；n=3，s=1，k=1，k≤n，是，s=1×2=2；k=2，k≤n，是，s=2×2=4= 22；k=3，k≤n，是，s=4×2=8= 32；…k=11，k≤n，否，输出s= 102．故选：D ．【思路点拨】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【题文】4．将函数f(x)＝sin x ＋cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为() A ．－π4 B.π4 C.3π4 D.5π4【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4【答案解析】C 解析：化简得sin cos 2sin 4y x xx，根据图象平移规律可得平移后函数2sin 4yx，又所得函数图象关于原点对称，∴4k，（k ∈Z ）,∴4k（k ∈Z ），当k=1时，取最小值为34,故选C.【思路点拨】化简得sin cos 2sin 4y x xx，根据图象平移规律可得平移后函数2sin 4y x，又所得函数图象关于原点对称解得取最小值为34.【题文】5．若实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧y≥2||x －1y≤x＋1，则z ＝x ＋3y 的最大值为()A ．9B ．11C ．12D ．16 【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】B 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y ，得133z y x ＝，平移直线133z y x ＝，由图象可知当133z y x ＝，经过点C 时，直线截距最大，此时z最大．由211y x yx 得23x y ，即C （2，3），此时z=x+3y=2+3×3=11， 故选：B ．【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用利用数形结合即可得到结论．【题文】6．不全相等的五个数a 、b 、c 、m 、n 具有关系如下：a 、b 、c 成等比数列，a 、m 、b 和b 、n 、c 都成等差数列，则a m ＋cn ＝()A ．－2B ．0C ．2D ．不能确定 【知识点】等差、等边数列.D2 D3【答案解析】C 解析：不妨令1,2,4,a b c 则3,32mn ，代入可得2a c m n，故选C.【思路点拨】不妨令1,2,4,a bc 则3,32mn ，代入可得结果.【题文】7．已知边长为1的正方形ABCD 位于第一象限，且顶点A 、D 分别在x 、y 的正半轴上(含原点)滑动，则OB →·OC →的最大值是() A ．1 B.22C ．2 D. 5 【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用．F3【答案解析】C 解析：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAX=2-θ，AB=1，故xB=cosθ+cos（2-θ）=cosθ+sinθ，yB=sin （2-θ）=cosθ，故OB →=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C （sinθ，cosθ+sinθ），即OC →=（sinθ，cosθ+sinθ），∴OB →·OC →=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，故OB →·OC →的最大值是2，故答案是 2．【思路点拨】令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上，可得出B ，C 的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可． 【题文】8．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为() A.34 B.32C. 3 D ．2 3【知识点】三视图.G2【答案解析】D 解析：如图所示，四面体为棱长为2的正四面体，2142sin 60232S.【思路点拨】根据题意转化为正方体内的正四面体，可知其棱长再求面积即可.【题文】9．若曲线C1：x2＋y2－2x ＝0与曲线C2：y(y －mx －m)＝0有4个不同的交点，则实数m 的取值X 围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞【知识点】圆的一般方程；圆方程的综合应用．H3 H4【答案解析】B 解析：曲线C1：(x －1)2＋y2＝1，图象为圆心为(1，0)，半径为1的圆；曲线C2：y ＝0，或者y －mx －m ＝0，直线y －mx －m ＝0恒过定点(－1，0)，即曲线C2图象为x 轴与恒过定点(－1，0)的两条直线．作图分析：k1＝tan 30°＝33，k2＝－tan 30°＝－33，又直线l1(或直线l2)、x 轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m ＝k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33. 【思路点拨】由题意可知曲线C1：x2+y2-2x=0表示一个圆，曲线C2：y （y-mx-m ）=0表示两条直线y=0和y-mx-m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y-mx-m=0要有2个交点，根据直线y-mx-m=0过定点，先求出直线与圆相切时m 的值，然后根据图象即可写出满足题意的m 的X 围．【题文】10．已知集合A ＝{}x |x ＝a0＋a1×3＋a2×32＋a3×33，其中ai ∈{}0，1，2()i ＝0，1，2，3且a3≠0，则A 中所有元素之和等于()A ．3 240B ．3 120C ．2 997D ．2 889 【知识点】数列的求和;分类计数原理.J1D4【答案解析】D 解析：由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法(均可取0，1，2)，a3有2种取法(可取1，2)，由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，∴当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有3×3×2＝18种方法，即集合A 中含有a0项的所有数的和为(0＋1＋2)×18；同理可得集合A 中含有a1项的所有数的和为(3×0＋3×1＋3×2)×18； 集合A 中含有a2项的所有数的和为(32×0＋32×1＋32×2)×18； 集合A 中含有a3项的所有数的和为(33×1＋33×2)×27； 由分类计数原理得集合A 中所有元素之和：S ＝(0＋1＋2)×18＋(3×0＋3×1＋3×2)×18＋(32×0＋32×1＋32×2)×18＋(33×1＋33×2)×27＝18(3＋9＋27)＋81×27＝702＋2 187＝2 889.故选D. 【思路点拨】由题意可知a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，利用数列求和即可求得A 中所有元素之和．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．【题文】11．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，∠A＝60°，则cos B ＝____．【知识点】正弦定理.C8【答案解析】63解析：∵在△ABC 中，a=15，b=10，A=60°，由正弦定理可得01510sin60sin B ，解得sinB=33．又因为b<a ，所以B<A，则6cos 3B，故答案为63.【思路点拨】先利用正弦定理求得sinB ，再利用平方关系解得cos B 即可.【题文】12．如右图，椭圆x216＋y212＝1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y 轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为____．【知识点】椭圆的应用；与二面角有关的立体几何综合题．H5 G11【答案解析】3 解析：连接A1O ∵A1 O ⊥y 轴，A O ⊥y 轴， ∴∠A1 O A2为两个面的二面角．|A1 O |=a=4，O F|=c=2，∴cos∠A1 O A2= 12c a ，∴∠A1 O A2= 3，故答案为3.【思路点拨】连接A1 O 根据椭圆的性质可知A1 O ⊥y 轴，A2 O ⊥y 轴，推断出∠A1 O A2为所求的二面角，利用椭圆的方程求得a 和c ，即|A1 O |和| O F|的值，进而在Rt△A1 O A2中利用求得cos∠A1 O A2进而求得∠A1 O A2． 【题文】13．若f(x)＋⎠⎛01f(x)dx ＝x ，则f(x)＝__ _．【知识点】定积分.B13【答案解析】x －14 解析：因为⎠⎛01f(x)dx 是个常数，不妨设为m ，所以f(x)＝x －m ，其原函数F(x)＝12x2－mx ＋C(C 为常数)，所以可得方程m ＝12－m ，解得m ＝14.故f(x)＝x －14.【思路点拨】根据已知条件设f(x)＝x －m 代入求出m 即可.【题文】14．在函数f(x)＝aln x ＋(x ＋1)2()x>0的图象上任取两个不同的点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，总能使得f(x1)－f(x2)≥4(x 1－x2)，则实数a 的取值X 围为__． 【知识点】函数的性质及应用；导数的概念及应用．B12【答案解析】⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：由题意f′(x)≥4对任意x>0恒成立，也就是 a≥()2x （1－x ）max ＝12.【思路点拨】由题意f′(x)≥4对任意x>0恒成立, 由此构造关于a 的不等式，可得实数a的取值X 围．【题文】15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，图中的实心点的个数1、5、12、22、…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形数记作a2＝5，第3个五角形数记作a3＝12，第4个五角形数记作a4＝22，……，若按此规律继续下去，则a5＝____，若an ＝145，则n ＝___.【知识点】归纳推理．M1【答案解析】35,10解析：第一个有1个实心点， 第二个有1+1×3+1=5个实心点，第三个有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点，第四个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点， …第n 个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3（n-1）+1=3(1)2n n +n 个实心点， 故当n=5时，3(1)2n n +n=30+5=35个实心点． 若an=145，即3(1)2n n +n=145，解得n=10故答案为：35，10．【思路点拨】仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数及an=145时，n 的值即可．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【题文】16．(本题满分12分) 设f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π6－2cos2π8x ＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象关于直线x ＝1对称，求当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43时y ＝g(x)的最大值．【知识点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．C3 C5【答案解析】(1) 8 (2) 32解析：(1)f(x)＝sinπ4xcos π6－cos π4xsin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π3，故f(x)的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(6分)(2)法一：在y ＝g(x)的图象上任取一点(x ，g(x))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g(x))． 由题设条件，点(2－x ，g(x))在y ＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4（2－x ）－π3＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－π4x －π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π3，当0≤x≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3 ，因此y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43 上的最大值为ymax ＝3cos π3＝32.(12分)法二： 因区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2， 且y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为y ＝f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上的最大值．由(1)知f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －π3.当23≤x≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为ymax ＝3sin π6＝32.(12分)【思路点拨】（1）f （x ）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f （x ）的最小正周期；（2）在y=g （x ）的图象上任取一点（x ，g （x ）），根据f （x ）与g （x ）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f （x ）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g （x ）的最大值． 【题文】17．(本题满分12分)某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A 、B 、C 三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A 、B 、C 测试的概率为分别为15、13、12， 且通过各次测试的事件相互独立．(1)若甲选手先测试A 项目，再测试B 项目，后测试C 项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望(用p1、p2、p3表示)；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．【知识点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．K5 K6【答案解析】(1) 即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为1115 (2) 按C→B→A 的顺序参加测试更有利于进入正赛．解析：(1)依题意，甲选手不能通过海选的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－12＝415， 故甲选手能通过海选的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－12＝1115.(3分)若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－12＝415，即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为1115.(5分)(2)依题意，ξ的所有可能取值为1、2、3.P(ξ＝1)＝p1，P(ξ＝2)＝(1－p1)p2，P(ξ＝3)＝(1－p1)(1－p2)p3. 故ξ的分布列为ξ 1 2 3Pp1(1－p1)p2(1－p1)(1－p2)p3(8分)Eξ＝p1＋2(1－p1)p2＋3(1－p1)(1－p2)p3(10分)分别计算当甲选手按C→B→A，C→A→B，B→A→C，B→C→A，A→B→C，A→C→B 的顺序参加测试时，Eξ的值，得甲选手按C→B→A 的顺序参加测试时，Eξ最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手选择将自己的优势项目放在前面，即按C→B→A 的顺序参加测试更有利于进入正赛．(12分) 【思路点拨】（1）求出甲同学不能通过海选的概率，利用对立事件的概率公式，可求甲同学能通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概没有影响，因为无论按什么顺序，甲同学不能通过海选的概率不变；（2）ξ的可能取值为1，2，3，求出相应概率，可得分布列与期望；利用参加海选测试次数少的选手进入正赛，可得结论． 【题文】18．(本题满分12分)如图，△ABC 的外接圆⊙O 的半径为5，CE 垂直于⊙O 所在的平面，BD∥CE，CE ＝4，BC ＝6，且BD ＝1，cos ∠ADB ＝101101. (1)求证：平面AEC⊥平面BCED ；(2)试问线段DE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．G10【答案解析】(1)见解析 (2) 存在点M ，且DM →＝13DE →时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121.解析：(1)证明：∵BD⊥平面ABC ∴BD⊥AB，又因为 BD ＝1，cos∠ADB＝101101. 故AD ＝101，AB ＝10＝直径长，(3分)∴AC⊥BC.又因为EC⊥平面ABC ，所以EC⊥BC.∵AC∩EC＝C ，∴BC⊥平面ACE ，又BC ⊂平面BCED ， ∴平面AEC⊥平面BCED.(6分)(2)法一：存在，如图，以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线CE 为z 轴建立空间直角坐标系，则有点的坐标，A(8，0，0)，B(0，6，0)，D(0，6，1)，E(0，0，4)． 则AD →＝(－8，6，1)，DE →＝(0，－6，3)，设DM →＝λDE →＝λ(0，－6，3)＝(0，－6λ，3λ)，0<λ<1 故AM →＝AD →＋DM →＝(－8, 6－6λ，1＋3λ) 由(1)易得平面ACE 的法向量为CB →＝(0，6，0)， 设直线AM 与平面ACE 所成角为θ，则sin θ＝|AM →·CB →||AM →|·|CB →|＝36－36λ64＋36（1－λ）2＋（1＋3λ）2·6＝22121，解得λ＝13.(10分)所以存在点M ，且DM →＝13DE →时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121. (12分)法二：(几何法)如图，作MN⊥CE 交CE 于N ，连接AN ，则MN⊥平面AEC ，故直线AM 与平面ACE 所成的角为∠MAN，且MN⊥AN，NC⊥AC.设MN ＝2x ，由直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121， 得AM ＝21x ，所以AN ＝17x.另一方面，作DK∥MN∥BC，得EN ＝x ，NC ＝4－x 而AC ＝8，故Rt△ANC 中，由AN2＝AC2＋NC2 得17x2＝64＋(4－x)2，∴x＝2，∴MN＝4，EM ＝2 5所以存在点M ，且EM ＝25时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121. (12分)【思路点拨】（1）由已知易得AB 是⊙O 的直径，则AC⊥BC 由线面垂直的判定定理可得CE⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理可得平面AEC⊥平面BCDE ；（2）方法一：过点M 作MN⊥CE 于N ，连接AN ，作MF⊥CB 于F ，连接AF ，可得∠MAN 为MA 与平面ACE 所成的角，设MN=x ，则由直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121，我们可以构造关于x 的方程，解方程即可求出x 值，进而得到点M 的位置．方法二：建立如图所示空间直角坐标系C-xyz ，求出平面ABC 的法向量和直线AM 的方向向量（含参数λ），由直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121，根据向量夹角公式，我们可以构造关于λ的方程，解方程即可得到λ值，进而得到点M 的位置． 【题文】19．(本题满分13分)等比数列{an}中的前三项a1、a2、a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．⎝ ⎛⎭⎪⎫5436108201216(1)求此数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn ＝3an －()－1nlg an ，求数列{bn}的前n 项和Sn. 【知识点】数列的求和；等比数列的性质．D3 D4【答案解析】(1) an ＝3·2n－1 (2) Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧9（2n －1）－n2lg 2，n 为偶数，9（2n －1）＋n －12lg 2＋lg 3，n 为奇数.解析：(1)经检验，当a1＝5或4时，不可能得到符合题中要求的等比数列；故有a1＝3，a2＝6，a3＝12，等比数列公比q ＝2， 所以an ＝3·2n－1.(5分)(2)由an ＝3·2n －1得bn ＝3an －()－1nlg an ＝9×2n －1－(－1)n []lg 3＋（n －1）lg 2.所以Sn ＝9(1＋2＋…＋2n －1)－⎣⎡⎦⎤()－1＋()－12＋…＋()－1n(lg 3－lg 2)－[]－1＋2－3＋…＋（－1）nn lg 2(9分)n 为偶数时，Sn ＝9×1－2n 1－2－n 2lg 2＝9(2n －1)－n2lg 2.n 为奇数时，Sn ＝9×1－2n 1－2＋(lg 3－lg 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n lg 2＝9(2n －1)＋n －12lg 2＋lg 3.所以， Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧9（2n －1）－n2lg 2，n 为偶数，9（2n －1）＋n －12lg 2＋lg 3，n 为奇数.(13分)【思路点拨】(1)先检验再利用等比数列的通项公式即可；（2）分情况讨论即可. 【题文】20．(本题满分13分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆Γ∶x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F 和上顶点B.(1)求椭圆Γ的方程；(2)如图，过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点， 求OM →·OQ →的最大值．【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题．H8 【答案解析】(1) x28＋y24＝1. (2) 2 3.解析：(1)在C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2中，令y ＝0得F(2，0)，即c ＝2，令x ＝0，得B(0，2)，b ＝2， 由a2＝b2＋c2＝8，∴椭圆Γ：x28＋y24＝1.(4分)(2)法一：依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x28＋y24＝1得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝221＋2k2.(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx （x －1）2＋（y －1）2＝2得：(1＋k2)x2－(2＋2k)x ＝0，∴x1＝2＋2k 1＋k2，∴OM →·OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x12，kx12·(x2，kx2)＝12(x1x2＋k2x1x2)＝221＋k 1＋2k2(k>0). (9分)＝22（1＋k ）21＋2k2＝22k2＋2k ＋11＋2k2.设φ(k)＝k2＋2k ＋11＋2k2，φ′(k)＝－4k2－2k ＋2（1＋2k2）2，令φ′(k)＝－4k2－2k ＋2（1＋2k2）2>0，得－1<k<12.又k>0，∴φ(k)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．∴当k ＝12时，φ(k)max＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32，即OM →·OQ →的最大值为2 3.(13分)法二：依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x28＋y24＝1得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝221＋2k2.(6分)OM →·OQ →＝(OC →＋CM →)·OQ →＝OC →·OQ → ＝(1，1)·(x2，kx2)＝(1＋k)x2＝221＋k1＋2k2(k>0)(9分)＝22（1＋k ）21＋2k2.设t ＝1＋k(t>1)，则（1＋k ）21＋2k2＝t22t2－4t ＋3＝12－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －232＋23≤32.当且仅当1t ＝23时，(OM →·OQ →)max ＝2 3.(13分)【思路点拨】(1) 在圆（x-1）2+（y-1）2=2中，令y=0，得F （2，0），令x=0，得B （0，2），由此能求出椭圆方程． (2) 依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2) ，把直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系代入，再结合基本不等式即可.【题文】21．(本题满分13分)已知函数f(x)＝ex －ax2－2x －1(x∈R)． (1)当a ＝0时，求f(x)的单调区间；(2)求证：对任意实数a<0，有f(x)>a2－a ＋1a.【知识点】利用导数求函数的单调区间；利用导数结合函数的单调性证明不等式.B3 B12 【答案解析】(1) (－∞，ln 2)是f(x)的单调减区间，(ln 2，＋∞)是f(x)的单调增区间． (2)见解析。
湖南省长沙一中2015届高三月考(一)数学(理)试题 Word版含答案
炎德英才大联考〃长沙一中2015届高三月考试卷（一）数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、若集合M ={}1,2，N ={}1,2,3，P ={},,x x ab a M b N =∈∈，则集合P 的元素个数为（ ）CA 、3B 、4C 、5D 、62、在南京青运会体操跳马比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次。
设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员没有站稳”可表示为（ ）DA 、p q ∨ Ｂ、()p q ∨⌝ C 、()()p q ⌝∧⌝ D 、()()p q ⌝∨⌝3、如右图所示方格纸中有定点O 、P 、Q 、E 、F 、G 、H ，则OP OQ + 等于（ ）DA 、OGB 、OHC 、EOD 、FO【解析】如图，以O 为坐标原点建立直角坐标系， 则OP OQ +()()()2,24,12,3=--+-=-=FO 。
4、复数()()32m i i +-+（m R ∈，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（ ）BA 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n 后， 输出的()31,72S ∈，则n 的值为（ ）BA 、5B 、6C 、7D 、86、若()112xf x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0x 是()0f x =的一个实根，()10,x x ∈-∞，()20,0x x ∈，则（ ）AA 、()10f x >，()20f x <B 、()10f x >，()20f x >C 、()10f x <，()20f x >D 、()10f x <，()20f x <7、若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位得到()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）CA 、8πB ．4π C 、38π D 、34π8、设,x y R ∈，p ：x y >，q ：()sin 0x y x y -+->，则p 是q 的（ ）CA 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】构造函数()sin f x x x =+，则()1cos 0f x x =+≥＇恒成立，于是()f x 在R 上单调递增；而()00f =，所以()00f x x >⇔>。
湖南省长沙市一中2015届高三第二次月考
湖南省长沙市一中2015届高三第二次月考高三2012-11-03 17:28湖南省长沙市一中2015届高三第二次月考语文试卷一、语言文字运用(12分，每小题3分)1．下面词语中加点的字，读音全部正确的一项是A．漂洗(piào)刷白（shuà）一丘之貉(hâ)返璞归真(pú)B．绥靖(suí)珐琅（fǎ）一哄而散(hîng)瞠目结舌(chēn)C．摒弃(bìng)坯子（pī）诘屈聱牙(jiã)拐弯抹角(mî)D．皲裂(jūn)腈纶（jīng）烜赫一时(xuǎn)唯唯诺诺(wěi)答案： D解析：A．漂洗(piǎo) ，一丘之貉(hã)；B．珐琅（fà），瞠目结舌(chēng)；C.诘屈聱牙(jí)2．下列词语中，没有错别字的一组是（）A．磕绊金刚钻崭露头角额手称庆B．英镑威摄力纠纠武夫以逸待劳C. 慈祥一滩血指手画脚真知卓见D．彗星笑咪咪关怀备至例行节约答案：A解析：B项，威慑力，赳赳武夫；C项，一摊血，真知灼见；D项，笑眯眯，厉行节约3．下列句子中加点的词语使用恰当的一项是（）A．.相比之下，中式快餐仍处于不瘟不火之状，缺乏自己严格的生产标准与特色，虽然在市场上占有一席之地，却难与自己的“洋对手”匹敌。
B．分析人士认为，在这个敏感的时期，征地拆迁补偿问题被提及，是国家释放出的更为严厉的新楼市政策即将粉墨登场的信号。
C．上海城隍庙的宗教节日就是上海城市全体居民的节日……每年的“三巡日” ，即城隍神出巡的日子，上海城内居民家中十室九空。
D．不少学生在作文中有滥抒情的现象：少年老成的“庄重严正”，无病呻吟的“潜吟轻唱”，没心没肺的“风花雪月”，完全没有了属于少年的真实自我。
答案：D。
A.瘟：戏曲沉闷乏味；火：比喻紧急急促。
不瘟不火指戏曲不沉闷乏味，也不急促，恰到好处。
B.粉墨登场：比喻坏人乔装打扮登上政治舞台。
湖南省师大附中高三数学上学期第一次月考试卷理(含解析)
湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]2．（5分）给出下面四个命题：p1：∃x∈（0，+∞），；p2：∃x∈（0，1），，p3：∀x∈（0，+∞），；p4：∀x∈（0，），x，其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p43．（5分）在如图所示的程序框图中输入10，结果会输出（）A．10 B．11 C．512 D．1 0244．（5分）将函数f（x）=sinx+cosx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为（）A．﹣B．C．D．5．（5分）若实数x、y满足条件，则z=x+3y的最大值为（）A．9 B．11 C．12 D．166．（5分）不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b 和b、n、c都成等差数列，则+=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．不能确定7．（5分）已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x、y的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．1 B．C．2 D．8．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．29．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）10．（5分）已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33}，其中a i∈{1，2，3}（i=0，1，2，3}且a3≠0，则A中所有元素之和等于（）A．3 240 B．3 120 C．2 997 D．2 889二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=．12．（5分）如图，椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为．13．（5分）若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）=．14．（5分）在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），总能使得f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2），则实数a的取值范围为．15．（5分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则a5=，若a n=145，则n=．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）设函数．（1）求f（x）的最小正周期．（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．17．（12分）某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为、、，且通过各次测试的事件相互独立．（1）若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；（2）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望（用p1、p、p3表示）；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．18．（12分）如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE=4，BC=6，且BD=1，cos∠ADB=．（1）求证：平面AEC⊥平面BCED；（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．19．（13分）等比数列a n中的前三项a1，a2，a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=3a n﹣（﹣1）n lga n，求数列{b n}的前n项和S n．20．（13分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2经过椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求•的最大值．21．（13分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣2x﹣1（x∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）求证：对任意实数a＜0，有f（x）＞．湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，根据N以及M为N的子集，确定出a的范围即可．解答：解：由M中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即M=（0，2），∵N={x|x＜a}，且M⊆N，∴a≥2，则a的范围为[2，+∞）．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）给出下面四个命题：p1：∃x∈（0，+∞），；p2：∃x∈（0，1），，p3：∀x∈（0，+∞），；p4：∀x∈（0，），x，其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4考点：命题的真假判断与应用．专题：探究型；数形结合．分析：分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题．p1可利用两个指数函数的图象进行判断．p2可以利用对数的图象来判断．p3可以利用对数和指数函数的图象来判断．p4：利用指数函数和对数函数的图象来判断．解答：解：对应命题p1可，分别作出函数的图象如图：由图象可知：∀x∈（0，+∞），，所以命题p1错误．p2：作出对数函数的图象，由图象知：∃x∈（0，1），使命题p2正确．p3：作出函数的图象，由图象知命题p3不正确．P4：当x∈（0，）时，，所以恒有成立，所以命题P4正确．故选D．点评：本题考查了全称命题和特称命题的真假判断，解决本题可以考虑使用数形结合的思想．3．（5分）在如图所示的程序框图中输入10，结果会输出（）A．10 B．11 C．512 D．1 024考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图写出每次循环s，k的取值，即可确定输出s的值．解答：解：运行程序，有s=1；k=1第1次循环：s=2，k=2第2次循环：s=4，k=3第3次循环：s=8，k=4第4次循环：s=16，k=5第5次循环：s=32，k=6第6次循环：s=64，k=7第7次循环：s=128，k=8第8次循环：s=256，k=9第9次循环：s=512，k=10第10次循环：s=1024，k=11输出s的值为1024．故答案为：D．点评：本题主要考察框图和程序算法，属于基础题．4．（5分）将函数f（x）=sinx+cosx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为（）A．﹣B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．解答：解：由题意可得，将函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得函数为y=sin（x++φ）为奇函数，则φ的最小值为，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的奇偶性，属于基础题．5．（5分）若实数x、y满足条件，则z=x+3y的最大值为（）A．9 B．11 C．12 D．16考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y，得，平移直线，由图象可知当，经过点C时，直线截距最大，此时z最大．由得，即C（2，3），此时z=x+3y=2+3×3=11，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6．（5分）不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b 和b、n、c都成等差数列，则+=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．不能确定考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得2m=a+b，2n=b+c，b2=ac，从而+====2．解答：解：由已知得2m=a+b，2n=b+c，b2=ac，∴+==[]===2．故选：C．点评：本题考查代数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．7．（5分）已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x、y的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．1 B．C．2 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1，故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAx=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ．故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴•=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，•的最大值是2，故选C．点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标，属于中档题．8．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：由三视图想象出空间几何体，代入数据求值．解答：解：如图所示，四面体为正四面体．是由边长为1的正方体的面对角线围成．其边长为，则其表面积为4×（××）=2．故选D．点评：本题考查了学生的空间想象力，属于中档题．9．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）考点：圆的一般方程；圆方程的综合应用．专题：压轴题；数形结合．分析：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y﹣mx﹣m=0要有2个交点，根据直线y﹣mx﹣m=0过定点，先求出直线与圆相切时m的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．解答：解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，解得m=±，而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．故选B．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．本题的突破点是理解曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线．10．（5分）已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33}，其中a i∈{1，2，3}（i=0，1，2，3}且a3≠0，则A中所有元素之和等于（）A．3 240 B．3 120 C．2 997 D．2 889考点：计数原理的应用；数列的求和．专题：综合题；排列组合．分析：由题意可知a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，利用数列求和即可求得A中所有元素之和．解答：解：由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法（可取1，2），由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，∴当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有3×3×2=18种方法，即集合A中含有a0项的所有数的和为（0+1+2）×18；同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为（3×0+3×1+3×2）×18；集合A中含有a2项的所有数的和为（32×0+32×1+32×2）×18；集合A中含有a3项的所有数的和为（33×1+33×2）×27；由分类计数原理得集合A中所有元素之和：S=（0+1+2）×18+（3×0+3×1+3×2）×18+（32×0+32×1+32×2）×18+（33×1+33×2）×27 =18（3+9+27）+81×27=702+2 187=2 889．故选D．点评：本题考查数列的求和，考查分类计数原理与分步计数原理的应用，考查分类讨论与转化思想的综合应用，属于难题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：由正弦定理可求得 sinB=，再由 b＜a，可得 B为锐角，cosB=，运算求得结果．解答：解：由正弦定理可得=，∴sinB=，再由 b＜a，可得 B为锐角，∴cosB==，故答案为：．点评：本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sinB=，以及B为锐角，是解题的关键．12．（5分）如图，椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为．考点：椭圆的应用；循环结构；二面角的平面角及求法．专题：综合题；压轴题．分析：确定椭圆中的几何量，确定二面角的平面角，利用点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，可求得cos∠A2OF1=，即可求得结论．解答：解：由题意，椭圆中a=4，c=，∠A2OF1为二面角的平面角∵点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点∴在直角△A2OF1中，cos∠A2OF1=∴∠A2OF1=即二面角的大小为故答案为：点评：本题考查椭圆与立体几何的综合，考查面面角，解题的关键是确定二面角的平面角．13．（5分）若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）=x﹣．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：利用待定系数法结合积分的基本运算即可得到结论．解答：解：因为f（x）dx是个常数，不妨设为m，所以f（x）=x﹣m，其原函数F（x）=x2﹣mx+C（C为常数），所以可得方程m=﹣m，解得m=．故f（x）=x﹣．故答案为：x﹣点评：本题主要考查函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．14．（5分）在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），总能使得f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2），则实数a的取值范围为a≥．考点：导数的几何意义．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，由f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2），可得≥4，即函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2）连续的斜率不小于4，即导数值不小于4，由此构造关于a的不等式，可得实数a的取值范围．解答：解：不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，∵f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2），∴≥4，∵f（x）=alnx+（x+1）2，（x＞0）∴f′（x）=+2（x+1）∴+2（x+1）≥4，∴a≥﹣2x2+2x∵﹣2x2+2x=﹣2（x﹣）2+≤∴a≥，故答案为：a≥点评：本题考查的知识点导数的几何意义，斜率公式，其中分析出f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2）的几何意义，是解答的关键．15．（5分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则a5=35，若a n=145，则n=10．考点：归纳推理．专题：图表型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数及a n=145时，n的值即可．解答：解：第一个有1个实心点，第二个有1+1×3+1=5个实心点，第三个有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点，第四个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点，…第n个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3（n﹣1）+1=+n个实心点，故当n=5时，+n=+5=35个实心点．若a n=145，即+n=145，解得n=10故答案为：35，10．点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察每个图形并从中找到通项公式．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）设函数．（1）求f（x）的最小正周期．（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），根据f（x）与g（x）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f（x）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g（x）的最大值．解答：解：（1）f（x）=sin xcos﹣cos xsin=sin x﹣cos x=（sin x ﹣cos x）=sin（x﹣），∵ω=，∴f（x）的最小正周期为T==8；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x）），由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而g（x）=f（2﹣x）=sin[（2﹣x）﹣]=sin[﹣x﹣]=cos（x+），当0≤x≤时，≤x+≤，则y=g（x）在区间[0，]上的最大值为g max=cos=．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．17．（12分）某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为、、，且通过各次测试的事件相互独立．（1）若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；（2）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望（用p1、p、p3表示）；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）先求出甲选手不能通过海选的概率，再由对立事件概率计算公式能求出甲选手能通过海选的概率．（2）依题意，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．解答：解：（1）依题意，甲选手不能通过海选的概率为：（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，故甲选手能通过海选的概率为：1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）=．若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，故无论按什么顺序，其能通过海选的概率都是．（2）依题意，ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ=1）=p1，P（ξ=2）=（1﹣p1）p2，P（ξ=3）=（1﹣p1）（1﹣p2）×1，∴ξ的分布列为：ξ 1 2 3P p1（1﹣p1）p2（1﹣p1）（1﹣p2）Eξ=p1+2（1﹣p1）p2+3（1﹣p1）（1﹣p2）p3，分别计算当甲选手按C→B→A，C→A→B，B→A→C，B→C→A，A→B→C，A→C→B的顺序参加测试时，Eξ的值几时甲选手按C→B→A的顺序参加测试时，Eξ最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手将自己的优势项目放在前面，即按C→B→A的顺序参加测试更有利用于进入正赛．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．18．（12分）如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE=4，BC=6，且BD=1，cos∠ADB=．（1）求证：平面AEC⊥平面BCED；（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得BD⊥AB，AD=，AB=10=直径，由此能证明平面AEC⊥平面BCED．（2）以C为原点，直线CA为x轴，CB为y轴，CE这z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段DE上存在点M，且时，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为．解答：（1）证明：∵BD⊥平面ABC，∴BD⊥AB，又∵BD=1，cos，∴AD=，AB=10=直径，∴AC⊥BC，又EC⊥平面ACE，BC⊂平面BCED，∴平面AEC⊥平面BCED．（2）解：存在．如图，以C为原点，直线CA为x轴，CB为y轴，CE这z轴，建立空间直角坐标系，则A（8，0，0），B（0，6，0），D（0，6，1），E（0，0，4），=（﹣8，6，1），=（0，﹣6，3），设=λ=（0，﹣6λ，3λ），0＜λ＜1，故=+=（﹣8，6﹣6λ，1+3λ），由（1）得平面ACE的法向量为=（0，6，0），设直线AM与平面CE所成角为θ，则sinθ===，解得．∴线段DE上存在点M，且时，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为．点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（13分）等比数列a n中的前三项a1，a2，a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=3a n﹣（﹣1）n lga n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得a1=3，a2=6，a3=12，公比q=2，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由，得b n=3a n﹣（﹣1）n lga n=9×2n﹣1﹣（﹣1）n[lg3+（n﹣1）lg2]，由此能求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）经检验，当a1=5或a1=4时，不可能得到符合题意的等比数列，∴a1=3，a2=6，a3=12，公比q=2，∴．（2）由，得b n=3a n﹣（﹣1）n lga n=9×2n﹣1﹣（﹣1）n[lg3+（n﹣1）lg2]，∴S n=9（1+2+…+2n﹣1）﹣[（﹣1）+（﹣1）2+…+（﹣1）n]（lg3﹣lg2），n为偶数时，S n=9×+（lg3﹣lg2）﹣（）lg2=9（2n﹣1）+．n为奇数时，=9（2n﹣1）+．∴S n=．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．20．（13分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2经过椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求•的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）在圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，令y=0，得F（2，0），令x=0，得B（0，2），由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设点Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，则==x0+y0，又，设b=x0+y0，与联立，得：，由此能求出的最大值．解答：解：（Ⅰ）在圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，令y=0，得F（2，0），即c=2，令x=0，得B（0，2），即b=2，∴a2=b2+c2=8，∴椭圆Γ的方程为：．（Ⅱ）设点Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，则==（1，1）•（x0，y0）=x0+y0，又，设b=x0+y0，与联立，得：，令△≥0，得16b2﹣12（12b2﹣8）≥0，解得﹣2．又点Q（x0，y0）在第一象限，∴当时，取最大值2．点评：本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归转化及函数与方程等数学思想．21．（13分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣2x﹣1（x∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）求证：对任意实数a＜0，有f（x）＞．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：证明题；导数的综合应用．分析：（1）求出函数f（x）的导函数f′（x），解出f′（x）＞0和f′（x）＜0，从而求出函数f（x）的单调区间；（2）构造新的函数，判断函数的单调性求出函数的最值，从而证明不等式．解答：解：（1）当a=0时，f（x）=e x﹣2x﹣1（x∈R），∵f′（x）=e x﹣2，且f′（x）的零点为x=ln2，∴当x∈（﹣∞，ln2）时，f′（x）＜0；当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0即（﹣∞，ln2）是f（x）的单调减区间，（ln2，+∞）是f（x）的单调增区间．（2）由f（x）=e x﹣ax2﹣2x﹣1（x∈R）得，f′（x）=e x﹣2ax﹣2，记g（x）=e x﹣2ax﹣2（x∈R），∵a＜0，∴g′（x）=e x﹣2a＞0，即f′（x）=g（x）是R上的单调递增函数，又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=e﹣2a﹣2＞0，故R上存在唯一的x0∈（0，1），使得f′（x0）=0，且当x＜x0时，f′（x）＜0；当x＞x0时，f′（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，则f（x）min=f（x0）=ex0﹣ax0﹣1，再由f′（x0）=0得ex0=2ax0+2，将其代入前式可得，f（x）min =，又令h（x0）==﹣a，由于﹣a＞0，对称轴，而x0∈（0，1），∴h（x0）＞h（1）=a﹣1，又＞0，∴h（x0）＞，故对任意实数a＜0，都在f（x ）＞．点评：本题是一道导数的综合题，考查了，利用导数求函数的单调区间，等价转化思想，不等式的证明．难度中等．- 21 -。
2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)第一次月考数学试卷(理科)
离心率相同，且点（ ，1）在椭圆 C1 上． （Ⅰ）求椭圆 C1 的方程； （Ⅱ）设 P 为椭圆 C2 上一点，过点 P 作直线交椭圆 C1 于 A、C 两点，且 P 恰为弦 AC 的中 点．求证：无论点 P 怎样变化，△AOC 的面积为常数，并求出此常数．
23．（13 分）（2015•咸阳一模）已知函数
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A．1 B．e+l C．3 D．e+3
8．（5 分）（2015•上海模拟）设 θ 为两个非零向量 ， 的夹角，已知对任意实数 t，| +t | 的最小值为 1．（ ）
A．若 θ 确定，则| |唯一确定 B．若 θ 确定，则| |唯一确定
C．若| |确定，则 θ 唯一确定 D．若| |确定，则 θ 唯一确定 9．（5 分）（2015•上海模拟）已知函数 f（x）=sinπx 的图象的一部分如左图，则右图的函数 图象所对应的函数解析式为（ ）
6．（5 分）（2009•临沂一模）使奇函数 f（x）=sin（2x+θ）+ cos（2x+θ）在[ ，0]上
为减函数的 θ 值为（ ）
A． B． C． D．
7．（5 分）（2015•南昌校级二模）设 x∈R，若函数 f（x）为单调递增函数，且对任意实数 x， 都有 f[f（x）ex]=e+1（e 是自然对数的底数），则 f（ln2）的值等于（ ）
，
上的一个动点，则 • 的取值范围是（ ）
A．[1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[1，2] 【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．
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【专题】数形结合．
【分析】先画出满足约束条件
的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入 •
湖南省长沙市第一中学2015-2016学年高一12月月考数学试题
高一数学12月月考试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1.已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝(B)A．{0}B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,0,1}2．lg5＋lg20的值为（ C ）A.lg7B.lg25C.1D.lg2lg5⨯3. 下图中，能表示函数y＝f(x)的图像的是(D)4．下列函数是偶函数的是：（Ｂ）A．xy= B．322-=xy C．21xy= D．]1,0[,2∈=xxy5．函数f(x)＝x＋1x的零点个数为(A)A．0B．1C．2D．36. 设αβ、是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（C）A．若lα⊥,αβ⊥，则lβ⊂B．若//lα,//αβ，则lβ⊂C．若lα⊥,//αβ，则lβ⊥D．若//lα,αβ⊥，则lβ⊥7．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是(A)A．(－∞，－4hslx3y3h∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－4，34C.⎝⎛⎦⎤－∞，－14∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－34，48. 某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为( B ).A.16B.13C.12D. 19.函数2|log|2xy=的图像大致是( Ｃ)10. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2EF =则下列结论中错误．．的是 （ D ） A ．AC BE ⊥ B ．//EF ABCD 平面C ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．异面直线,AE BF 所成的角为定值 二、填空题（每小题5分） 11. 函数213-=x y 的定义域为 ，值域为 .12．当a 为任意实数时，直线ax －y ＋1－3a ＝0恒过定点__(3,1)___．13.一条光线从点(6,4)P 射出，与x 轴相较于点(2,0)Q ，经x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为2y x =-+14.如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是34. 15.已知一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是(写出所有正确结论的编号) ①③④⑤ . ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体； ④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体.三、解答题：16. 已知函数1()f x x x=+，(Ⅰ) 证明()f x 在[1,)+∞上是增函数； (Ⅱ) 求()f x 在[1,4]上的最大值及最小值． 解：(Ⅰ) 设12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <,则21212111()()()()f x f x x x x x -=+-+122112(1)()x x x x x x -=- 121x x ≤< ∴210x x -> ∴121x x >，∴1210x x ->∴122112(1)()0x x x x x x --> ∴21()()0f x f x ->，即12()()f x f x <∴()y f x =在[1,)+∞上是增函数.。
长沙市一中2015届高三第四次月考试卷
长沙市一中2015届高三第四次月考试卷高三2009-12-11 16:56长沙市一中2015届高三第四次月考试卷语文命题：长沙市一中高三语文备课组时量：150分钟满分：150分一、语言知识及运用（共15分，每小题3分）1．下列词语中加点的字，读音全都正确的一组是A、力能扛(káng)鼎果脯(fǔ)量(liàng)体裁衣悭(qiān)吝B、芟(shān)夷大难沏(qī)茶拾(shí)级而上埋(mán)怨C、荷(hâ)枪实弹犒(kào)劳韦(wãi)编三绝症(zhēng)结D、牵强(qiǎng)附会分娩(miǎn)宵衣旰(gàn)食盘桓(yuán)2．下列句子中没有错别字的一句是A、南方，没有强烈的紫外线幅射，没有弥漫天际的黄沙烟尘，没有能冻断狗尾巴的酷寒。
B、16岁的邓森山、14岁的姚健两学生相继被“拯救训练营”殴打至死，让我们反思，急待拯救的，究竟是“坏”的孩子，还是坏的教育。
C、往事是一祯用岁月底片洗出的黑白相片，有着“只能意会”的内涵；是心香一瓣，散发着淡淡持久的幽香。
D、“不管前面是地雷阵还是万丈深渊，都将一往无前，义无反顾，鞠躬尽瘁，死而后已！”朱镕基的话语掷地有声。
3．依次填入下列各句横线处的词语，最恰当的一项是①、2009年7月10日在长沙举行的两岸经贸论坛将进一步巩固、深化、发展两岸党际交流。
②、交通肇事后报警并在现场等候处理的行为是否为自首，浙江省、北京市给出了两种截然不同的司法判决结果，这两个互相矛盾的认定，会混淆视听。
③、刚一入夏，蚂蚁就开始为遥远的冬天储备食物，以便在万物凋敝的冬季，同样可以丰衣足食。
，这就是蚂蚁的智慧。
A、机制必然未雨绸缪B、体制必定防患未然C、机制必定防患未然D、体制必然未雨绸缪4．下列各句中没有语病的一句是A、国庆60年盛典吸引了海外网民的广泛关注，他们通过中国网、国际在线、中国日报网等网站，纷纷对新中国成立60周年庆典活动的称赞和对新中国60岁生日的祝福。
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湖南省长沙一中2015届高三月考试卷（一） 数学（理）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、若集合M ={}1,2，N ={}1,2,3，P ={},,x x ab a M b N =∈∈，则集合P 的元素个数为（ ）C A 、3 B 、4 C 、5 D 、62、在南京青运会体操跳马比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次。
设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员没有站稳”可表示为（ ）DA 、p q ∨ Ｂ、()p q ∨⌝ C 、()()p q ⌝∧⌝ D 、()()p q ⌝∨⌝3、如右图所示方格纸中有定点O 、P 、Q 、E 、F 、G 、H ，则OP OQ + 等于（ ）DA 、OGB 、OHC 、EOD 、FO【解析】如图，以O 为坐标原点建立直角坐标系，则OP OQ +()()()2,24,12,3=--+-=-=FO 。
4、复数()()32m i i +-+（m R ∈，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（ ）B A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限5、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n 后， 输出的()31,72S ∈，则n 的值为（ ）BA 、5B 、6C 、7D 、8 6、若()112xf x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，0x 是()0f x =的一个实根，()10,x x ∈-∞， ()20,0x x ∈，则（ ）AA 、()10f x >，()20f x <B 、()10f x >，()20f x >C 、()10f x <，()20f x >D 、()10f x <，()20f x <7、若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位得到()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）CA 、8πB ．4π C 、38π D 、34π8、设,x y R ∈，p ：x y >，q ：()sin 0x y x y -+->，则p 是q 的（ ）CA 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】构造函数()sin f x x x =+，则()1cos 0f x x =+≥＇恒成立，于是()f x 在R 上单调递增； 而()00f =，所以()00f x x >⇔>。
因此()()sin 00f x y x y x y x y -=-+->⇔->。
9、当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）CA 、31,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B 、1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C 、31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D 、35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦10、已知()1,0A ，点B 在曲线G ：()ln 1y x =+上，若线段AB 与曲线M ：1y x=的交点恰好为AB 的中点，则称B 为曲线G 关于M 的一个关联点，记曲线G 关于M 的关联点的个数为a ，则（ ）BA 、0a =B 、1a =C 、2a =D 、2a > 【解析】方法一、依题意，可设点B 的坐标为()()00,ln 1x x +，则AB 中点C 的坐标为()0011,ln 122x x +⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由关联点的意义，点C 在曲线M 上，即()0012ln 121x x +=+，亦即()()001ln 14x x ++=。
设()ln x x x ϕ=，则()ln 1x x ϕ=+＇；令()0x ϕ>＇，解得1x e >；令()0x ϕ<＇，解得10x e <<； 于是函数()ln x x x ϕ=在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又当01x <<时，()ln x x x ϕ=0<，所以()4x ϕ=有唯一解。
故()()001ln 14x x ++=有唯一解。
从而曲线G 关于M 的关联点有且只有1个。
方法二、同法一，得()0012ln 121x x +=+，即()004ln 101x x +-=+。
构造函数()4ln x x xσ=-，则()x σ在()0,+∞上单调递增，且()14σ=-，()4ln410σ=->， 于是由()()140σσ<及单调性可知()x σ有唯一零点。
从而方程()004ln 101x x +-=+有唯一解，故曲线G 关于M 的关联点有且只有1个。
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
）11、已知角α的终边经过点()4,3-，则sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭= ；45-12、已知142a =，lg x a =，则x = ；13、若()f x =2132x x -，则满足()0f x <的x 取值范围为 ；()0,114、已知,,a b c 均为单位向量，且满足0a b ⋅=，则()()a b c a c ++⋅+的最大值是 ；215、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1,1,2,3,5,8,13，……其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。
该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性。
比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越接近黄金分割比0.6180339887…，人们称该数列{}n a 为“斐波那契数列”。
若把该数列{}n a 每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{}n b ，则： （1）在数列{}n b 中，第2014项的值是 ；3（2）数列{}n b 中，第2014个值为1的项的序号是 。
4027三、解答题（本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、（本小题满分12分）已知函数()2cos 2sin f x x x x a -+，a R ∈。
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围。
【解析】（Ⅰ）()2cos 2sin f x x x x a -+122cos 2122x x a ⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭2s i n 216x a π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭。
…………………4分 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==； …………………5分 又由22222k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈）解得36k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈），所以函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）。
…………………7分（Ⅱ）令()0f x =得2sin 2106x a π⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，即12sin 26a x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为x R ∈，所以22sin 226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，从而12sin 26a x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭[]1,3∈-。
由于函数()f x 有零点，故实数a 的取值范围为[]1,3-。
…………………12分17、（本小题满分12分）已知圆内接四边形ABCD 的边AB =1，BC =3，CD =DA =2。
（Ⅰ）求角C 的大小和BD 的长；2222cos 1312cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅=-，…………① 2222cos 54cos BD AB DA AB DA A C =+-⋅=+，……………②由①②得1cos 2C =，故60C =，相应的BD =7分（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果及题设，可知四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD BCDS SSAB DA A BC CD C =+=⋅+⋅ ()112232=⨯+⨯= …………………10分 由正弦定理，可得四边形ABCD的外接圆的半径2sin 603BD R ==。
…………………12分18、（本小题满分12分）某工厂的统计资料显示，产品次品率p 与日产量n （千件）（n N +∈，且198n ≤≤）（Ⅰ）将该厂日盈利额T （千元）表示为日产量n （千件）的函数关系式； （Ⅱ）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少千件？【解析】（Ⅰ）由题意得2100p n=-（n N +∈，且198n ≤≤），所以，在日产量n 千件中，次品有pn 千件，正品有（n pn -）千件，于是日盈利额()()4100n T n a n pn apn a n n ⎛⎫=--=- ⎪-⎝⎭（n N +∈，198n ≤≤）（千元）。
…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），()()4400104100100100T n n n n a n n ⎡⎤=-=--+⎢⎥--⎣⎦， 注意到()40010040100n n -+≥=-，所以()()4001041001044064100T n n a n ⎡⎤=--+≤-=⎢⎥-⎣⎦，即()64T n a ≤。
（其中等号当且仅当400100100n n-=-，即80n =时成立。
）故当80n =，即该厂的日产量定为80千件时，获得的盈利最大。
……………………12分19、（本小题满分13分）数列{}n a 满足：11a =，22a =，2221cos sin 22n nn n a a ππ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，n N +∈。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设212n n na b a -=，12n n S b b b =+++，证明：2n S <（n N +∈）。
【解析】（Ⅰ）∵11a =，22a =，∴由题设递推关系式，有223111cos sin1222a a a ππ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭， ()224121cos sin 24a a a ππ=++==。
一般地，当21n k =-（k N +∈）时，()()2221212121211cos sin 122k k k k k a aa ππ+----⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦，即21211k k a a +--=。
所以数列{}21k a -是首项为1公差为1的等差数列，因此21k a k -=。
……………3分当2n k =（k N +∈）时，222222221cos sin 222k k k k k a a a ππ+⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦， 所以数列{}2k a 是首项为2公比为2的等比数列，因此22k k a =。
………………5分故数列{}n a 的通项公式为()()21,21,22,2,n n n n k k N a n k k N +++⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩。