2017年湖南省长沙一中第二次招生数学试卷
湖南省长沙市一中岳麓中学2020-2021学年初三上学期入学考试数学试卷
7．估计 +1的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
8．如图，两个一次函数图象的交点坐标为 ，则关于x，y的方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法中,正确的是( )
A．两条直线被第三条直线所截,内错角相等B．对角线相等的平行四边形是正方形
三、解答题
19．计算：1 23.140
20．先化简，再求值： ，其中x满足x2－2x－2=0.
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE
（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=2，求△OEC的面积．
22．已知关于x的方程x 2m1xm 20．
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根 、 满足 1 112，求m的值.
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数ykxb的图象与x轴交点为A3, 0，与y轴交点为B，且与正比例函数 的图象交于点C（m,4）.
（1）求点C的坐标；
（2）求一次函数ykxb的表达式；
（2）设一周的销售利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并确定当销售单价为多少时一周的销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商场决定将一周销售T恤衫的利润全部捐给某村用于精准扶贫的水网改造项目，在商场购进该T恤衫的资金不超过6000元情况下，请求出该商场最大捐款数额是多少元？
25．如图，已知抛物线yx2bxc的图象与x轴交于A1, 0、B4, 0两点， 与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B点运动（运动到B点停止），过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC与点Q.
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(一)数学试题(解析版)
【解析】
【详解】当E,F排在前三位时， =24,当E,F排后三位时， =72，当E,F排3，4位时， =24，N=120种，选D.
6.函数 （ 且 ）在一个周期内的图象如图所示，将函数 图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 （）
A. B.1C.－1D.
参考数据：
参考时间轴：
A.宋B.唐C.汉D.战国
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件可得函数关系 ，取 即可计算得解.
【详解】依题意，当 时， ，而 与死亡年数 之间的函数关系式为 ，
则有 ，解得 ，于是得 ，
当 时， ，于是得： ，解得 ，
由 得，对应朝代为战国，
所以可推断该文物属于战国.
故选：D
（1）记 ，写出 ，并求出数列 的通项公式；
（2）求数列 的前2022项和 .
【答案】（1） ， ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 的定义求得 ，求出 ，由等比数列通项公式可得结论；
（2）由 得 ， ，然后用并项求和法结合等比数列前 项和公式计算．
【小问1详解】
，
又
【小问2详解】
，则
18.如图， 为 中点，曲线 上任一点到 点的距离相等， 在曲线 上且关于 对称.
长沙市一中2023届高三月考试卷（一）
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合 ，结合集合的补集及交集的定义即可求解.
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次段考(10月)数学试卷
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次段考（10月）数学试卷一、单选题1．已知复数3i1iz +=+，则z =（）AB C ．3D ．52．无论λ为何值，直线()()()234210x y λλλ++++-=过定点（）A ．()2,2-B ．()2,2--C ．()1,1--D ．()1,1-3．在平行四边形ABCD 中，()1,2,3A -，()4,5,6B -，()0,1,2C ，则点D 的坐标为（）A ．()5,6,1--B ．()5,8,5-C ．()5,6,1-D ．()5,8,5--4．已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（）A ．79-B ．79C ．29-D ．295．直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为（）A ．4210x y --=B ．4210x y -+=C ．4210x y ++=D ．4210x y +-=6．已知椭圆C ：()22104x y m m +=>的离心率为2，则m =（）A ．B ．C ．8或2D ．87．已知实数,x y 满足()22203y x x x =-+≤≤，则41y x ++的范围是（）A ．[]2,6B ．(][),26,-∞+∞ C ．92,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]9,2,4⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭8．已知平面上一点(5,0)M 若直线l 上存在点P 使||4PM =则称该直线为点(5,0)M 的“相关直线”，下列直线中不是点(5,0)M 的“相关直线”的是（）A ．3y x =-B ．2y =C ．430x y -=D ．210x y -+=二、多选题9．已知直线l ：20x y λλ+--=，圆C ：221x y +=，O 为坐标原点，下列说法正确的是（）A ．若圆C 关于直线l 对称，则2λ=-B ．点O 到直线lC ．存在两个不同的实数λ，使得直线l 与圆C 相切D ．存在两个不同的实数λ，使得圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1210．已知圆1F ：()()222328x y m m ++=≤≤与圆2F ：()()222310x y m -+=-的一个交点为M ，动点M 的轨迹是曲线C ，则下列说法正确的是（）A ．曲线C 的方程为22110064x y +=B ．曲线C 的方程为2212516x y +=C ．过点1F 且垂直于x 轴的直线与曲线C 相交所得弦长为325D ．曲线C 上的点到直线4510x ++=11．在边长为2的正方体ABCD A B C D -''''中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（）A ．AM 与DB ''所成角的余弦值为10B ．过A ，M ，D ¢三点的正方体ABCD A BCD -''''的截面面积为3C ．当P 在线段A C '上运动时，PB PM '+的最小值为3D ．若Q 为正方体表面BCC B ''上的一个动点，E ，F 分别为AC '的三等分点，则QE QF +的最小值为三、填空题12．通过科学研究发现：地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为1E ，2E ，则12E E =13．直线()243410a x ay +-+=的倾斜角的取值范围是.14．如图，设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若222PF F Q =，则直线1PF的斜率为.四、解答题15．已知两圆222610x y x y +---=和2210120x y x y m +--+=．求：(1)m 取何值时两圆外切？(2)当45m =时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．16．在ΔA 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1）求sin sin CA的值（2）若1cos ,24B b ==，求ΔA 的面积.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ．2PA AB AD ===，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，//BC AD ，4BC =，点M 为PC 中点，点E 为BC 边上的动点（Ⅰ）求证：//DM 平面PAB ．（Ⅱ）是否存在点E ，使得二面角P DE B --的余弦值为23？若存在，求出线段BE 的长度；若不存在，说明理由．18．某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.(1)由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第60百分位数；(2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在[)70,90内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[)70,80和[)80,90的概率；(3)若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m ，x ，21s ；n ，y ，22s .记总的样本平均数为w ，样本方差为2s ，证明：()(){}22222121s m s x w n s y w m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+.19．已知动直线l 与椭圆C:22132x y +=交于()11,P x y ，()22,Q x y 两个不同点，且OPQ ∆的面积OPQ S ∆,其中O 为坐标原点.(1)证明2212x x +和2212y y +均为定值;(2)设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；(3)椭圆C 上是否存在点D ，E ，G ，使得ODE ODG OEG S S S === 判断DEG △的形状；若不存在，请说明理由.。
湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测(一) 数学试题[含答案]
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长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合,集合,则（ ）{||1}A x x =<∣{B x y ==∣A B = A ．B ．C ．D ．(1,1)-(0,1)[0,1)(1,)+∞2．已知复数z 满足,则复数在复平面内对应的点位于（ ）i 12i z =-+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件有8个样本点，则（ ）A B +()P AB =A ．B ．C ．D ．231213164．己知等差数列的前5项和,且满足,则等差数列的公差为（ ）{}n a 535S =5113a a ={}n a A ． B ．C ．1D ．33-1-5．已知的展开式中的系数为80，则m 的值为（ ）51(2)my x y x ⎛⎫+-⎪⎝⎭24x y A ．B ．2C ．D ．12-1-6．如图，正方形中，是线段上的动点，且,则ABCD 2,DE EC P = BE (0,0)AP x AB y AD x y =+>>的最小值为（ ）11x y+A ．B ．C D ．47．设,则下列关系正确的是（ ）0.033,ln1.03,e 1103a b c ===-A ．B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c b a >>c a b>>8．已知，则1tan 1tan()tan 6,tan tan 3222tan 2αβαβπαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤⎛⎫-+-=-=⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭ ⎪⎝⎭（ ）cos(44)αβ+=A ． B ． C ． D ．7981-79814981-4981二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为,则下列说法正确的是（ ）lg 4.8 1.5E M =+A ．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级约为七级15.310B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为,地震释放的能量为,则数列是等比数列(1,2,,9,10)n n = an {}an 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P 在双曲线的右支上，现有四2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 个条件：①;②；③平分;④点P 关于原点对称的点为Q ,且120PF PF ⋅=1260F F P ∠=︒PO 12F PF ∠,能使双曲线C 的离心率为）12||PQ F F =1+A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④11．如图，是底面直径为2高为1的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转ABCD 1OO 1OO DA 1OO 到,则（ ）(0)θθπ≤≤111OO D A A ．圆柱的侧面积为 B ．当时，1OO 4π0θπ<<11DD A C⊥C ．当时，异面直线与所成的角为D ．3πθ=1A D 1OO 4π1A CD △三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．如图，某景区共有A ,B ,C ,D ,E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有___________种不同的检测顺序．13．已知函数在上是增函数，且，则的取()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f π⎛⎫- ⎪⎝⎭值的集合为___________．14．斜率为1的直线与双曲线交于两点A ，B ,点C 是曲线E 上的一点，满足2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>和的重心分别为的外心为R ,记直线的斜率为,,AC BC OAC ⊥△OBC △,,P Q ABC △,,OP OQ OR 123,,k k k 若，则双曲线E 的离心率为___________．1238k k k =-四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数．2()ln ()f x x ax x a =-++∈R （1）若,求函数的单调区间；1a =()f x （2）设函数在上有两个零点，求实数a 的取值范围（其中e 是自然对数的底数）()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．（15分）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面1111ABCD A B C D -ABCD 11CC D D 平面为线段的中点，且．11CC D D ⊥,ABCD E 1CD BE CE =（1）求证：平面;AD ⊥11BB D D（2）若,直线与平面的余弦4,2AB AD ==1A E 11BB D D 1D AB D --值．17．（15分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中．60a ≤认真完成不认真完成总计男生5aa女生总计60若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习0.10α=软笔书法的女生的人数．（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：．22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.100.050.01x α2.7063.8416.63518．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C 上一点，且到的距离2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,,(2,3)F F A 12,F F 之和为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段（不含端点）相交于点Q ,与椭圆C 相交于AB 点M ,N ,若为常数，求与面积的比值．2||||||MN AQ BQ ⋅AQM △AQN △19．（17分）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：12,,,n a a a (2,3,4,)n n =①；②．1230n a a a a ++++= 1231n a a a a ++++= （1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*2k k ∈N n a 12n k ≤≤（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*21k k +∈N n a 121n k ≤≤+（3）记n 阶“曼德拉数列”的前k 项和为,若存在,使,试{}n a (1,2,3,,)k S k n = {1,2,3,,}m n ∈ 12m S =问：数列能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理{}(1,2,3,,)i S i n = 由．长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C【解析】，故．故选C ．{11},{0}A xx B x x =-<<=≥∣∣{01}[0,1)A B x x =≤<= ∣2．D【解析】，212i (12i)ii 12i 2i 2i i iz z z -+-+⋅=-+⇒===+⇒=-所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D z 3．D【解析】根据概率公式计算可得；由概率的加法公式可614182(),(),()122123123P A P B P A B ====+==知,代入计算可得()()()()P A B P A P B P AB +=+-1()6P AB =故选：D 4．D【解析】,解得,故选D 5151151035;413S a d a a d a =+==+=13,1d a ==5．A 【解析】，55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭在的展开式中，由,51(2)x y x-155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅令，得r 无解，即的展开式没有的项；424r r -=⎧⎨=⎩51(2)x y x -24x y 在的展开式中，由,5(2)my x y -555155(2)()(1)2rr r r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅令,解得，5214r r -=⎧⎨+=⎩3r =即的展开式中的项的系数为,5(2)my x y -24x y 35335(1)240mC m --⋅=-又的展开式中的系数为80，5(2)()x my x y +-24x y 所以,解得,故选A ．4080m -=2m =-6．C【解析】正方形中，,则,ABCD 2DE EC = 2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=-而,则，AP x AB y AD =+ 2233AP xAB y AE AB x y AB y AE ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又点B,P ,E 共线，于是,即,而，213x y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭13yx +=0,0x y >>因此，1111443333y x y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取等号，3x y y x=y ==所以当时，．x y ==11x y +故选：C 7．C【解析】记．()e 1,(0)xf x x x =--≥因为,所以当时，,所以在上单调递增函数，()e 1xf x '=-0x >()0f x '>()f x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0f x f >=1xe x ->0.03e 10.03->记．()ln(1),(0)g x x x x =+-≥因为，所以在上单调递增函数，1()1011xg x x x-'=-=<++()g x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0g x g <=ln(1)x x +<ln1.030.03<所以．记．c b >()ln(1),(0)1xh x x x x=+-≥+因为，所以当时，，2211()1(1)(1)x h x x x x '=-=+++0x >()0h x '>所以在上单调递增函数，()h x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0h x h >=ln(1)1x x x +>+0.033ln1.0310.03103>=+所以,综上所述：．b a >c b a >>故选：C 8．A【解析】，1tan 1tan()tan 622tan 2αβαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤-+-=⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭．2221tan 2tan 2216tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫- ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭，2221tan 2tan2cos()226sin()1tan 2αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，221tan2cos()2cos()126,6sin()sin()cos()1tan 2αβαβαβαβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪--=⨯=⎪---- ⎪-⎝⎭，11sin(),sin cos cos sin 33αβαβαβ-=-=又因为，所以，tan tan 32παβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 3cos sin αβαβ=则,所以11cos sin ,sin cos 62αβαβ==2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=．241cos(22)12sin ()1299αβαβ+=-+=-⨯=．2179cos(44)2cos (22)1218181αβαβ+=+-=⨯-=-故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．ACD【解析】对于A:当时，由题意得,15.310E =15.3lg104.8 1.5M =+解得,即地震里氏震级约为七级，故A 正确；7M =对于B:八级地震即时，,解得,8M =1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=16.8110E =所以，16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B 错误；1.510对于C:六级地震即时，,解得,6M =2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=13.8210E =所以,16.83113.821010100010E E ===即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D:由题意得,lg 4.8 1.5(1,2,,9,10)n a n n =+= 所以，所以4.8 1.510n n a += 4.8 1.5(1) 6.31.511010n nn a ++++==所以，即数列是等比数列，故D 正确；6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++=={}an 故选：ACD 10．AD【解析】③平分且为中线，可得,PO 12F PF ∠PO 12PF PF =点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：可得,1212120,60,2PF PF F F P F F c ⋅=∠=︒=21,PF c PF ==，即离心率为，成立；2c a -=1c e a ===+若选②④：，点P 关于原点对称的点为Q ,1260F F P ∠=︒且，可得四边形为矩形，12||PQF F =12F QF P 即可得,1212,2PF PF F F c ⊥=12,PF c PF ==,即离心率为,成立；2c a -=1c e a ===+故选：AD 11．BC【解析】对于A,圆柱的侧面积为，A 错误；1OO 2112ππ⨯⨯=对于B,因为，所以,又,0θπ<<11DD D C ⊥111DD A D ⊥所以平面,所以,B 正确；1DD ⊥11A D C 11DD A C ⊥对于C,因为,所以就是异面直线与所成的角，因为，所以111A D OO ∥11DA D ∠1A D 1OO 113DO D π∠=为正三角形，所以,因为,所以，C 正确；11DO D △1111DD A D ==111A D DD ⊥114DA D π∠=对于D,作,垂足为E ,连接,所以平面,所以．1D E DC ⊥1A E DC ⊥11A D E 1A E DC ⊥在中，11Rt A D E △1A E ==≤=,所以,D 错误．1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯=△()1maxA CDS =△故选：BC ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．32【解析】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可．①走路线：3126547,3126745,3147526,3147625,3156247,3157426，共6种；BA ②走路线：4137526,4137625,4265137,4267315,4562137,4573126，共6种；BC ③走路线：7513426,7543126,7621345,7624315，共4种；BE 综上，共有种检测顺序．()266432⨯++=故答案为：3213．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由可知，，得，3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32442T nT πππ+=-=,21T n n π=∈+Z 所以,2||42n Tπω==+又函数在上是增函数，()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，所以，7212212T πππ≥-=6T π≥||12ω≤所以，的可能取值为．ω2,6,10±±±当时，由解得，0ω>2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω-+≤≤+∈Z 经检验，,6,10时不满足题意；2ω=当时，由解得,0ω<2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω+≤≤-+∈Z 经检验，时满足题意．2,6ω=--所以，的可能取值为．12f π⎛⎫-⎪⎝⎭1sin ,sin 11262122f f ππππ⎛⎫⎛⎫-==-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭14【解析】若直线与双曲线有两个交点G ,H ,设G ,H 的中点为K ，y kx m =+22221x y a b -=联立方程组，整理得,22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22222222220b a k x a kmx a m a b ----=可得,则，22222G H a km x x b a k +=-22222G H K x x a kmx b a k+==-又由在直线上，可得，(),K K K x y y kx m =+22222222K a km b my m b a k b a k =+=--所以，所以，22K OKK y b k x ka ==22GH OK b k k a ⋅=即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值，22b a如图所示，取的中点M ,N ,,AC BC 因为的重心P 在中线上，的重心Q 在中线上，OAC △OM OBC △ON所以,可得，12,OP OM OQ ON k k k k k k ====22$OM AC ON BCb k k k k a⋅=⋅=即，2122AC BCb k k k k a⋅=⋅=又由,可得，可得AC BC ⊥1AC BCk k ⋅=-22122b k k a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭因为,且的外心为，点R ,则R 为线段的中点，AC BC ⊥ABC △AB 可得，因为，所以，22OR ABb k k a ⋅=1AB k =22OR b k a=所以，所以，3212328b k k k a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ba =所以c e a ===．四、解答题（本题共6小题，共70分）15．解：（1）当时，的定义域为,1a =2()ln ,()f x x x x f x =-++(0,)+∞，2121()21x x f x x x x-++'=-++=令,则,解得,()0f x '>2210x x --<01x <<令,则,解得．()0f x '<2210x x -->1x >∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．()f x (0,1)(1,)+∞（2）令,则．2()ln 0f x x ax x =-++=ln xa x x=-令，其中，ln ()x g x x x =-1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则．2221ln ln 1()1x xx x x g x x x⋅-+-'=-=令,解得,令,解得．()0g x '>1e x <≤()0g x '<11ex ≤<的单调递减区间为，单调递增区间为,()g x ∴1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭(1,e]．min ()(1)1g x g ∴==又,函数在上有两个零点，111e ,(e)e e ee g g ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围是．a ∴11,e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦16．解：（1）在中，E 为线段的中点，且,所以,1BCD △1CD BE CE =1D E CE BE ==所以为直角三角形，且，所以,111,2BE CD BCD =△190CBD ∠=︒1D B BC ⊥因为底面为平行四边形，,所以,ABCD AD BC ∥1AD D B ⊥又因为四边形为矩形，所以,11CC D D 1D D DC ⊥因为平面平面,平面平面平面,11CC D D ⊥ABCD 11CC D D 1,ABCD DC D D =⊂11CC D D 所以平面,1D D ⊥ABCD 因为平面,所以,AD ⊂ABCD 1AD D D ⊥因为平面,11111,,D D D B D D D D B =⊂ 11BB D D 所以平面．AD ⊥11BB D D （2）因为平面平面,所以,AD ⊥11,BB D D BD ⊂11BB D D AD BD ⊥由（1）知平面,又平面,所以,11,D D AD D D ⊥⊥ABCD BD ⊂ABCD 1D D BD ⊥所以两两垂直，1,,DA DB DD 以D 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，DA DB所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，1DD 在中，,所以,Rt ADB △4,2AB AD ==DB ==设,则,1(0)DD t t =>1(0,0,0),(2,0,0),(2,0,),,(0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以,1,(2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭易知平面的一个法向量为,11BB D D (2,0,0)DA =设直线与平面所成的角为,1A E 11BB D D θ则,解得111sin cos ,||A E DAA E DA A E DA θ⋅====t =所以,11(0,0,(2,0,D AD =-设平面的法向量为1ABD (,,)m x y z =则，令,12020AB m x AD m x⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ x =m = 易知平面的一个法向量为,ABCD (0,0,1)n =则，cos ,||||m n m n m n ⋅===易知二面角是锐角，故二面角1D AB D --1D AB D --17．解：（1）根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a 5a a女生4605a -205a -80a-总计602080由题意可得，2244802060555516 2.7066020(80)15(80)a a a a a a a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--得．57.38a >易知a 为5的倍数，且，所以,60a ≤60a =所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）．806020-=（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为，24:163:2=所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有310632⨯=+（人），210432⨯=+所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，，4312266464444101010C C C C C 151808903(0),(1),(2)C 21014C 21021C 2107P X P X P X ============．134644441010C C C 2441(3),(4)C 21035C 210P X P X =======X 的分布列为：X 01234P114821374351210所以．183418()0123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=18．解：（1）由椭圆的定义得,所以．1228AF AF a +==4a =又为椭圆C 上一点，所以，(2,3)A 22491a b+=将代入，得,4a =212b =所以椭圆C 的标准方程为．2211612x y +=（2）因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以,直线的方程为．()2,3B --AB 32y x =设,则直线的方程为,()()2,311Q t t t -<<MN ()32y t k x t -=-联立得，可得,22116123(2)x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩()2222438(32)4(32)480k x kt k x t k ++-+--=由点Q 在椭圆内，易知，0∆>不妨令,则，()()1122,,,M x y N x y 221212228(23)4(32)48,4343kt k t k x x x x k k ---+=⋅=++所以．()()()()()()222222222121212224811612(32)||11443k k t k MN kx x k x x x x k⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+又,()2||||131AQ BQ t ⋅==-所以为常数，()()()222222224811612(32)||||||13431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-则需满足为常数，22221612(32)1k t k t+---（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即，解得．221612(32)k k +=-12k =-将代入，可得,得，12k =-1228(23)43kt k x x k -+=+124x x t +=1222x x t +=所以Q 为的中点，MN 所以．||1||AQM AQNS MQ S NQ ==△△19．解：（1）设等比数列的公比为q ．1232,,,,(1)k a a a a k ≥ 若，则由①得,得,1q ≠()21122101k k a q a a a q-+++==- 1q =-由②得或．112a k =112a k=-若,由①得，,得,不可能．1q =120a k ⋅=10a =综上所述，．1q =-或．11(1)2n n a k -∴=-11(1)2n n a k-=--（2）设等差数列的公差为d ,12321,,,,(1)k a a a a k +≥ ,123210k a a a a +++++= ,112(21)(21)0,02k k dk a a kd +∴++=+=即,120,k k a a d ++=∴=当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，0d =当时，据“曼德拉数列”的条件①②得，0d >，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，即，(1)122k k kd d -∴+=1(1)d k k =+由得，即，10k a +=110(1)a k k k +⋅=+111a k =-+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=-+-⋅=-∈≤++++N 当时，同理可得，0d <(1)122k k kd d -+=-即．1(1)d k k =-+由得,即，10k a +=110(1)a k k k -⋅=+111a k =+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=--⋅=-+∈≤++++N 综上所述，当时，,0d >()*1,21(1)n n a n n k k k k∴=-∈≤++N 当时，．0d <()*1,21(1)n n a n n k k k k=-+∈≤++N （3）记中非负项和为A ,负项和为B ,则,12,,,n a a a 0,1A B A B +=-=得，即．1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=1(1,2,3,,)2k S k n ≤= 若存在，使，由前面的证明过程知：{1,2,3,,}m n ∈ 12m S =，且． 12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ 1212m m n a a a +++++=- 若数列为n 阶“曼德拉数列”，{}(1,2,3,,)i S i n = 记数列的前k 项和为,则．{}(1,2,3,,)i S i n = k T 12k T ≤，1212m m T S S S ∴=+++≤又,1211,02m m S S S S -=∴==== ．12110,2m m a a a a -∴===== 又，1212m m n a a a +++++=- ，12,,,0m m n S S S ++∴≥ ，123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ 又与不能同时成立，1230n S S S S ++++= 1231n S S S S ++++= ∴数列不为n 阶“曼德拉数列{}(1,2,3,,)i S i n =。
2024届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷数学试题(含解析)
长沙市一中2024届高考最后一卷数学试卷本试卷总分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.若复数满足，则可以为（ ）A.B.C.D.3.已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）A.0.2B.0.3C.0.7D.0.84.已知直线，圆，则“”是“直线上存在点，使点在圆内”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在平行四边形中，，点为该平行四边形所在平面内的任意一点，则的最小值为（）A.6B.8C.10D.126.地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为，其中表示某地地震的里氏震级，表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为（ ）（参考数据：）A.6.3级B.6.4级C.7.4级D.7.6级{}2,{|ln 1}M xx N x x ==<∣…M N ⋂=[)2,e []2,1-[)0,2(]0,2z i z z =z 1i +1i -12i +12i-X ()2,Nμσ(2)(2)0.3,0P X k P X k k <-=>+=>(22)P X k <+=…:0l kx y -+=22:1O x y +=1k <l P P O ABCD 24AC BD ==P 2222||||||||PA PB PC PD +++ 0lg lg M A A =-M A 0A lg20.3≈7.已知双曲线的左､右焦点分别为为的渐近线上一点.若，则的离心率为（ ）B.2D.8.已知正方体的棱长为是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点的轨迹长度为（ ）B.3C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A.的最大值为2B.函数的图象关于直线对称C.不等式的解集为D.若在区间上单调递增，则的取值范围是10.某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，则（ ）A.乙组同学恰好命中2次的概率为B.甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率C.甲组同学命中次数的方差为D.乙组同学命中次数的数学期望为11.设无穷数列的前项和为，且.若存在，使成立，则（ ）A.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()()12,0,,0,F c F c P -C 12PF F 2212,3PF PF c ⋅=C 1111ABCD A B C D -2,M 1CC P DP BM ⊥11D P =P 2π()π,03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()f x ()f x ()1ππ6x k k ω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭Z ()32f x >()()61π2π,3k k k ωω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω10,3⎛⎤⎥⎝⎦2125,,,32561330232615{}n a n n S 212n n n a a a +++=*k ∈N 12k k k S S S ++>>1n k a a +…B.C.不等式的解集为D.对任意给定的实数，总存在，当时，三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数则不等式的解集为__________.13.已知椭圆的离心率为，过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若，则的焦距为__________.14.在直三棱柱中，是棱上一点，平面将直三棱柱分成体积相等的两部分.若四点均在球的球面上，则球的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）记的内角的对边分别为，已知.（1）若，求的值；（2）若是边上的一点，且平分，求的长.16.（15分）若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且.（1）求的通项公式；（2）设求数列的前项和.17.（15分）如图，在四棱台中，，.1n k S S +…0n S <{}*23n n k ∈+N ∣…p *0n ∈N 0n n >n a p<()321,1,1,x x x f x x ⎧+-⎪=>…()()224f x f x +<--2222:1(0)x y C a b a b+=>>12C C ,A B 12AB =C 111ABC A B C -14,AC BC AB AA E ====1CC 1AB E 111ABC A B C -11,,,A B A E O O ABC ,,A B C ,,a b c 2,4a b ==cos 2cos cos B A c C +=C D AB CD 1,cos 9ACB ACB ∠∠=-CD {}n c 2211n n n n n c c c kc c +++-=*,n k ∈N {}n c {}n a 1245515,,32816a a a a ==={}n a 1,,1,n n n a n b b n -⎧=⎨+⎩为奇数为偶数{}n b n n S 1111ABCD A B C D -AD ∥1,,2,3,4BC AB DD CD AD BC ⊥===30ADB ∠=（1）证明：平面平面；（2）若，四棱台，求平面与平面夹角的余弦值.18.（17分）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，（1）求的方程；（2）在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.19.（17分）已知函数.（1）求的最小值；（2）设函数，讨论零点的个数.长沙市一中2024届高考最后一卷选择题答案速查一､单选题1.D 【解析】因为，所以.2.B 【解析】设，则.由，得，所以，只有选项B11ADD A ⊥ABCD 1AA AD ⊥1111ABCD A B C D -112B C =ABCD 11CDD C 2:2(0)C y px p =>()0,2D l C ,A B l 135AB =C AB ,A B E DA AE DBEB=E ()()e 1,ln ,xf x xg x x mx m =-=-∈R ()f x ()()()h x f x g x =-()h x []()2,2,0,e M N =-=(]0,2M N ⋂=()i ,z a b a b =+∈R i za b -i z z =i i a b b a -=-+0a b +=符合要求.3.A 【解析】根据正态曲线的对称性，由，得，所以.4.B 【解析】由直线上存在点，使点在圆内，得直线与圆1，解得，即，所以“1”是“直线上存在点，使点在圆内”的必要不充分条件.5.C 【解析】设与的交点为，由，得，同理可得，所以，当点与点重合时，等号成立.6.B 【解析】 6.4.7.B 【解析】不妨设点在第一象限内，为坐标原点，由.，得.由，得点到，所以的一条渐近线的倾斜角为，其斜率为的离心率.8.D 【解析】如图，分别取的中点，连接.易知，，且，所以平面.由，得点在平面内.由，得点在以为球心，半径为1的球面上，因此动点的轨迹为平面与球的球面的交线，即在平面内的圆.连接，设点到平面的距离为，平面截球所得截面圆的半径为，则由得，且，则，因此动点(2)(2)P X k P X k <-=>+2μ=(22)0.50.30.2P X k <+=-=…l P P O l O 11k -<<()1,1k ∈-k <l P P O AC BD O PA PO OA =+222||||||2PA PO OA PO OA =++⋅ 222222222||||||2,||||||2,||||||2PB PO OB PO OB PC PO OC PO OC PD PO OD PO OD=++⋅=++⋅=++⋅ 2222||||||||PA PB PC PD +++=2222224||||||||||2()4||1010PO OA OB OC OD PO OA OB OC OD PO +++++⋅+++=+ …P O ()100002lg5000lg0.002lglg 4lg2lg2372lg221000M =-=-=---=-≈P O ()121PF PF PO OF ⋅=+()2222||3PO OF OP c c +=-=2OP c =12PF F 2P x C 60 C 2e =====1111,A D B C ,E F ,,DE EF CF BM CF ⊥BM CD ⊥CF CD C ⋂=BM ⊥CDEF DP BM ⊥P CDEF 11D P =P 1D P CDEF 1D CDEF DF 1D DEF h DEF 1D r 1D DEF V -=三棱锥1-F DED V 三棱锥1112332DEF h S ⋅=⨯⨯⨯ 21⨯122DEF S =⨯= h =r ==P二､多选题9.BCD 【解析】，故A 错误；令，得，所以函数的图象关于直线对称，故B 正确；不等式可化为，则，解得，因此原不等式的解集为，故C 正确；由，，解得.由在区间上单调递增，可得，解得，故D 正确.10.BCD 【解析】设“乙组同学恰好命中2次”为事件，则，故A 错误；设“甲组同学恰好命中2次”为事件，则.因为，故B 正确；因为甲组同学每次命中的概率都为，设甲组同学命中次数为，则，故，故C 正确；设乙组同学命中次数为随机变量，则的所有可能取值为0，，所以，()f x πππ,32x k k ω+=+∈Z 1ππ,6x k k ω⎛⎫=⋅+∈ ⎪⎝⎭Z ()f x ()1ππ6x k k ω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭Z ()32f x >πsin 3x ω⎛⎫+> ⎪⎝⎭ππ2π2π2π,333k x k k ω+<+<+∈Z ()61π2π,3k k x k ωω+<<∈Z ()()61π2π,3k k k ωω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z πππ2π2π232k x k ω-++……k ∈Z 5ππ2π2π66,k k x k ωω-+∈Z ……()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ5ππ,,2266ωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦103ω<…M ()125125125911125625625620P M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ()223214C 339P N ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭94209>23X 23,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()233D X =⨯⨯1233=Y Y 1,2,3125112(0)111,(1)12562025P Y P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-===⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5125125111(11162562563⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎝⎭，故，故D 正确.11.BCD 【解析】由，得.由题意知是等差数列，公差，所以是递减数列，所以是最大项，且随着的增加，无限减小，故A 错误､D正确；因为当时，；当时，，所以的最大值为，故B 正确；因为1），，所以当时，；当时，，故C 正确.三､填空题12. 【解析】由题意知在上单调递增.设，则在上也单调递增.又，所以原不等式可化为，所以原不等式的解集为.13.7 【解析】由，得，从而，所以椭圆的方程可化为，直线的方程为.联立得，则.设，则，所以，得，所以的焦距为.14.【解析】如图，连接.因为，所以，所以，所以，因此，即为的中点.取的中点的中点，连接，则，且，所以四边形为平行四边形，所以.因为，所以，所以平面，则平面.因为是的外心，且的外接圆半径，三棱锥的高.设球()()()912512,3202566P Y P M P Y =====⨯⨯=()119126012320320615E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=12k k k S S S ++>>21120,0,0k k k k a a a a +++++<>>{}n a 210k k d a a ++=-<{}n a 1a n n a 1n k +…0n a >2n k +…0n a <n S 1k S +21(2k S k +=+()12320,230k k k a S k a +++>=+<()()()122221222102k k k k a a S k k a a +++++=⨯+=+⋅+>22n k +…0n S >23n k +…0n S <(),4∞-()f x R ()()()24g x f x f x =++-()g x R ()()()460312g f f =+=-=()()4g x g <(),4∞-1e 2=2a c =b =C 22234120x y c +-=AB y x c =+222,34120,y x c x y c =+⎧⎨+-=⎩227880x cx c +-=222Δ644782880c c c =+⨯⨯=>()()1122,,,A x y B x y 2121288,77x x c x x c +=-=-24127c AB ====72c =C 27c =500π311,B C AC 1111113ABCBB ABC ABC A B C V V V --==三棱锥三棱锥三棱柱111116ACEB ABCA B C V V =三棱锥三棱柱112ABCB A CEB V V -=三棱锥三棱锥112BCB CEB S S = 112BB CE CC ==E 1CC 1AB ,M AB N ,,ME MN CN 112MN CE BB ==MN ∥CE MNCE ME ∥CN AC BC =CN AB ⊥CN ⊥11ABB A ME ⊥11ABB A M 11AA B 11AA B 3r MA ===11E AA B -1h ME CN ====的半径为，则，则5，所以球的体积.四､解答题15.解：（1）由题意得，所以.由正弦定理，得，即.又，所以.又，所以.因为，所以.（2）由，得，解得.由，得，即，所以.O R 222()r h R R +-=222r h R h+==O 34500ππ33V R ==2cos 4cos B A +=2cos c C cos cos 2cos a B b A c C +=sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=()sin 2sin cos A B C C +=()sin sin A B C +=sin 2sin cos C C C =sin 0C ≠1cos 2C =()0,πC ∈π3C =1cos 9ACB ∠=-212cos129ACB ∠-=-2cos 23ACB ∠=ABC ADC BDC S S S =+ 11sin sin 222ACB ab ACB b CD ∠∠=⋅+1sin 22ACB a CD ∠⋅⋅()2cos 2ACBab a b CD ∠=+22242cos1632249ACBab CD a b ∠⨯⨯⨯===++16.解：（1）由为“比差等数列”，得，从而.设，则，所以数列为等差数列.因为，所以为常数列，因此，，即，所以是首项为，公比为的等比数列，因此.（2）当为偶数时，；当为奇数时，.综上，17.（1）证明：因为，所以.在中，由正弦定理，{}n a 2211n n n n n a a a ka a +++-=211n n n na a k a a +++-=1n n na d a +=1n n d d k +-={}n d 52141433,22a a d d a a ===={}n d 132n d d ==132n na a +={}n a 583215382n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭n ()()121311312222n n n n n n S b b b b b b a a a --=+++=++++=++++ 22591849321192422214nn n nn n ⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎣⎦=⨯+=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-n ()11111313153133311112222821222n n n nn n n n n n n S S b b ++-++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+--+=+--⨯-=⨯+⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1333,,122231,.22n n nn n S nn ⎧-⎛⎫⨯+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+- ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数AD ∥BC 30DBC ADB ∠∠== BCD得，所以，所以，则由勾股定理，得.在中，由余弦定理，得.因为，所以，即.又平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知四棱台的下底面面积因为，所以上底面面积设四棱台的高为，则四棱台的体积为，所以.因为平面平面，平面平面，所以平面，所以两两垂直.sin sin CD BCDBC BDC∠∠=sinsin 1BC DBCBDC CD∠∠==90BDC ∠= BD ==ABD AB ==222AB AD BD +=90BAD ∠= AB AD ⊥111,,,AB DD AD DD D AD DD ⊥⋂=⊂11ADD A AB ⊥11ADD A AB ⊂ABCD 11ADD A ⊥ABCD 1111ABCD A B C D -113222ABD BCD S S S =+=+⨯⨯=1112B C BC =S '=1111ABCD A B C D -h 1111ABCD A B C D -()13h S S ='2h =11ADD A ⊥1,ABCD AA ⊥AD 11ADD A ⋂ABCD AD =1AA ⊥ABCD 1,,AB AD AA以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以.设平面的法向量为，则即令，得所以平面的一个法向量为.由题可知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面.18.解：（1）设.A 1,,AB AD AA x y z 13(0,3,0),4,0),0,,22DCD ⎛⎫ ⎪⎝⎭)130,,2,2DD DC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 11CDD C (),,n x y z =10,0,n DD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 320,20.y z y ⎧-+=⎪+=1x =y z ==11CDD C 1,n ⎛= ⎝ABCD ()0,0,1m =ABCD 11CDD C θ||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅== ABCD 11CDD C ()()1122,,,A x y B x y若直线的倾斜角为，则直线的方程为.联立得，则，且，所以因为，故的方程为.（2）存在，定直线为.由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为.联立得.由，得且，.不妨设，则，过点向轴作垂线，垂足分别为点，如图，则，l 135 l 2y x =-+22,2,y x y px =-+⎧⎨=⎩()24240x p x -++=22Δ(42)164160p p p =+-=+>121242,4x x p x x +=+=AB ==AB =6p =C 212y x =3y x =AB l ()20y kx k =+≠212,2,y x y kx ⎧=⎨=+⎩()2241240k x k x +-+=220,Δ(412)160k k k ≠=-->32k <0k ≠1212221244,k x x x x k k -+==()1200,,x x E x y <1020x x x <<<,,A E B y 111,,A E B 1112DA AA x DB BB x ==.因为，所以，整理得，所以.代入直线的方程得.因为，所以点恒在直线上.19.解：（1）的定义域为1，则当时，；当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，因此的最小值为.（2）.令，得.令，则与有相同的零点，且.令，0120AEx x EBx x -=-DA AEDBEB =011220x x x x x x -=-()120122x x x x x =+12012223x x x x x k==+-l 026233y k k k=⋅+=--003y x =E 3y x =()f x (),(f x x =+'R )e x 1x <-()0f x '<1x >-()0f x '>()f x (),1∞--()1,∞-+()f x ()111ef -=--()e ln 1x h x x x mx =-+-()0h x =ln 1e 0x x m x+-+=()ln 1e x x k x m x+=-+()h x ()k x ()()2221ln 1e ln e x x x x x k x x x'-++=-=()2e ln xr x x x =+则.因为当时，，所以在区间上单调递增.又，所以，使，且当时，，即；当时，，即，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，因此的最小值为.由，得，即.令，则在区间上单调递增.因为，所以，则，所以，从而，即()()212e x r x x x x =++'0x >()0r x '>()r x ()0,∞+()12e 1e 10,1e 0e r r -⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00r x =()00,x x ∈()0r x <()0k x '<()0,x x ∞∈+()0r x >()0k x '>()k x ()00,x ()0,x ∞+()k x ()0000ln 1e x x k x m x +=-+()00r x =0200e ln 0xx x +=001ln 001e ln e x xx x =()()1x f x ϕ=+()x ϕ()0,∞+011e x <<01ln 0x >()001ln x x ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭00ln x x =-00ln x x =-001e ,x x =所以的最小值，所以当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，因为，当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于，所以有两个零点.综上，当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.()k x ()0000ln1e 1x x k x m m x +=-+=+1m >-()k x 1m =-()k x 1m <-()00k x <x ()k x ∞+x ∞+()k x ∞+()k x 1m >-()h x 1m =-()h x 1m <-()h x。
【期中试卷】湖南省长沙一中教育集团2017届九年级上学期期中考试数学试卷
一中集团联考2016-2017学年度第一学期期中考试初三数学试卷时量：120分钟总分：120分命题：邓超校稿：文伟龙一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．﹣的倒数是（）A．﹣B．C．3 D．﹣32．下列计算正确的是（）A．3x2﹣4x2=﹣1 B．3x+x=3x2C．4x•x=4x2D．﹣4x6÷2x2=﹣2x3 3．据每日邮报报道，按照美国创业家伊隆•马斯克（Elon Musk）最近提出的“超级高铁”（Hyperloop）的设计，超级高铁的速度在理想状态下最高可以达到时速6500公里，预计从北京到纽约仅需2小时，但造价极高，每8公里造价高达620000000美元，数据620000000用科学记数法表示为（）A．6.2×109B．6.2×108 C．62×108 D．0.62×1094．下列说法不正确的是（）A．为了解全市中学生对长沙沙坪湘绣的知晓度的情况，适合用抽样调查B．若甲组数据方差S甲2=0.39，乙组数据方差S乙2=0.27，则乙组数据比甲组数据稳定C．某种彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定会中奖D．数据﹣1，1.5，2，2，4的中位数是26．下列关于x的方程中，没有实数解的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x﹣3=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x+5=07．双十一期间，某网店对一品牌服装进行优惠促销，将原价a元的服装以（0.8a﹣20）元售出，则以下四种说法中可以准确表达该商店促销方法的是（）A．将原价降低20元之后，再打8折B．将原价打8折之后，再降低20元C．将原价降低20元之后，再打2折D．将原价打2折之后，再降低20元8．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A．B．2 C．D．9．如图，点P是△ABC内一点，且PD=PE=PF，则点P是（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点10．下列说法正确的是（）A、平分弦的直径垂直弦.B、三角形的外心到三边的距离相等.C、等弧所对的圆周角相等.D、等腰三角形的外心和内心重合.（第8题图）（第9题图）（第11题图）11．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°12．如图，直线y=﹣x+5与双曲线y=（x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于C点，△BOC的面积是．若将直线y=﹣x+5向下平移1个单位，则所得直线与双曲线y=（x ＞0）的交点有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．0个，或1个，或2个（第12题图） （第16题图） （第18题图）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．因式分解：m 2n ﹣4mn +4n =______．数y=中，自变量x 的取值14．函范围是______．15．已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的母线长为______．16．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合于点A ，测得BC=4米，CA=2米，则树的高度为 ．17．设m ，n 是方程x 2﹣x ﹣2016=0的两个不等实数根，则m +n ﹣mn 的值为 ．18．如图，点P 是正比例函数y =x 与反比例函数y =（k ≠0）在第一象限内的交点，P A ⊥OP ，交x 轴于点A ，OA =6，则k 的值是______．三．解答题（共66分）20．先化简，再求值：12244222+-÷+-xx x x x x ，在0，1，2三个数中选一个你喜欢的数代入求值．21．端午节前夕，学校蛋糕房推出有A、B、C、D四种口味的粽子，为调查同学们对这四种口味的喜爱情况，随机做了问卷调查，并将调查情况全部回收后绘制成如下两幅统计图（尚不完整）请根据以上信息回答：（1）本次随机发放了份调查问卷；（2）请将上述两幅不完整的统计图补充完整；（3）若该学校共有2000人，请问喜欢A种口味粽子大约有多少人？（4）若某同学4种口味的粽子各买1个，它们的外包装完全一样，煮熟后他先后随机品尝了2个，请用列表或画树状图的方式，求他第2个品尝到A种口味粽子的概率．22．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当CQ平分时，求证DQ=QP；（2）在（1）的条件下，求AQ的长．23．长沙市马王堆蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由．24、已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧AD上取一点E,使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H．（1）求证：CA EH（2）连接AE,求证：CE 2=CD CB；（3）若∠ABC的值;25．已知抛物线C1：y=ax2-2amx+am2+2m+3（a＞0，m0）的顶点为A，将抛物线C1绕点Q（，2）旋转180得到抛物线C2，抛物线C2的顶点B在y轴上．（1）若点A在双曲线上，求抛物线C1的顶点坐标；（2）若a=，求抛物线C2的解析式；（3）若m=，E（1，3）,F（2，4），是否存在a使抛物线C1与线段EF有两个相异的交点，若存在，请求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.26．如图，抛物线与x 轴交于点A 、B ，且A 点的坐标为（1，0），与y 轴交于点D （0，3），C 为顶点．（1）求出点B 坐标及抛物线的解析式；（2）连接CD 交x 轴于点E ，P 为线段CD 上一点，当BP 最短时，求PE ；（3）若M 为CD 上一点，作MN ，交直线BC 于点N ，使以B 、M 、N 为顶点的三角形与相似，求出满足条件的点M 的坐标．O E x y。
湖南省长沙县、攸县、醴陵、浏阳四县一中2025届高三第二次联考数学试卷含解析
湖南省长沙县、攸县、醴陵、浏阳四县一中2025届高三第二次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π2．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为( )A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=3．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．1,C ．(),1-∞D ．(],1-∞4．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 5．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( )A ．1B ．2C ．3D ．56．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ） A ．29B ．2932-C ．1923-D ．57．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝8．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ） A ．33B ．233C ．3D ．239．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．在直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，23AB =，2BC =，点E 为BC 上一点，且AE xAB y AD =+，当xy 的值最大时，||AE =( )A ．5B ．2C ．302D ．2311．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④12．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．34二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年湖南省长沙市长沙一中高二(上)开学数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙一中高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x∈Z|x2+3x<4}，B={−1,2,5}，则A∪B中元素的个数为( )A. 1B. 4C. 6D. 72.命题“∃x∈Q，tanx2∈Q”的否定是( )A. ∀x∈Q，tanx2∉QB. ∀x∈Q，tanx2∈QC. ∃x∈Q，tanx2∈QD. ∀x∉Q，tanx2∈Q3.已知i是虚数单位，复数1−2i1−i的虚部为( )A. −12B. 32C. −12i D. 32i4.函数f(x)=ln|x|e x+e−x的图象大致为( )A. B.C. D.5.已知x>0，y>0，lg2x+lg8y=lg2，则1x +3y的最小值是( )A. 8B. 12C. 16D. 10+236.已知随机事件A，B，C中，A与B相互独立，B与C对立，且P(A)=0.3，P(C)=0.6，则P(A∪B)=( )A. 0.4B. 0.58C. 0.7D. 0.727.甲、乙、丙、丁四个人在一次比赛中只有一人得奖，在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖．乙：丙得奖．丙：乙说错了．丁：我没得奖．四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8.设a=log52，b=0.50.6，c=0.60.5，则( )A. c >b >aB. c >a >bC. b >a >cD. a >c >b二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=sin (2x +π6)，则下列结论正确的是( )A. f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)=sin (2x +π3)的图象B. 直线x =π3是f(x)图象的一条对称轴C. f(x)在[π4,π2]上单调递减D. f(x)的图象关于点(5π12,0)对称10.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是( )参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m ，−x ，s 21；n ，−y ，s 22.记样本平均数为−ω，样本方差为s 2，s 2=m m +n [s 21+(−x−−ω)2]+n m +n [s 22+(−y−−ω)2]A. 男生样本容量为50B. 每个女生被抽到的概率110C. 抽取的样本的均值为165D. 抽取的样本的方差为4311.如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为4，M 是侧面ADD′A′上的一个动点(含边界)，点P 在棱CC′上，且|PC′|=1，则下列结论正确的有( )A. 沿正方体的表面从点A 到点P 的最短距离为73B. 保持PM 与BD′垂直时，点M 的运动轨迹长度为32C. 若保持|PM|=25，则点M 的运动轨迹长度4π3D. 平面AD′P 截正方体ABCD−A′B′C′D′所得截面为等腰梯形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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2017年湖南省长沙一中第二次招生数学试卷一．填空题。
1．4小时26分钟＝（）小时8吨420千克＝（）吨2．在如图中，每次框出连续4个自然数，共可得到个不同的和．3．有10根圆柱形木头，要把每根都锯成3段，每锯一段需要3分钟，把10根木头锯完需要分钟．4．一个长方体的高减小2厘米后，成为一个正方体，那么表面积就减小48平方厘米，这个正方体的体积是立方厘米．5．已知如图中三角形的面积是10平方厘米，图中圆的面积是平方厘米．6．有一个深4分米的长方体容器，其内侧底面为边长3分米的正方形．当容器底面的一边升．紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出．容器内的水有7．甲走的路程比乙走的路程多，乙用的时间比甲多，那么甲乙的速度比是．二.选择题8．如果A是B的12倍，下列关系式正确的是（）A．A×12＝B B．B÷A＝12C．A÷12＝B9．下列各数中与9000最接近的数是（）A．8990B．0.91万C．9999D．0.89万10．被减数、减数与差，这三个数的和是124，那么被减数是（）A．124B．62C．4511．小明从A地到B地的平均速度是3米/秒，然后从B地原路返回，平均速度是7米/秒．那么，小明来回的平均速度是（）A．4.2B．4.8C．5D．5.412．晚饭后，爸爸去洗澡，热水器里装有250升水，他洗了6分，用了一半的水，然后停止洗澡，6分后，小明去洗澡，他也用了6分，把热水器内的水用完．下面（）幅图描述了热水器内水的体积是如何随时间而变化的．A．B．C．13．如图所示：用黑白两种颜色的正五边形地砖按下图所示的规律，变成若干个蝴蝶图案，则第7幅图案中的白色地砖有（）A．35块B．27块C．30块D．22块14．14、如图是一个边长为2厘米的正方形，这个正方形被分割成两个正方形M和N以及两个非正方形，如果M的面积是N的4倍，那么N的边长是（）A．厘米B．厘米C．厘米D．厘米三、解答题。
15．解方程15.8x+23＝183x﹣x＝0.1516．计算①1÷1+7.5+÷1②5﹣（2.375﹣1）﹣3③87×43+430×1④1+2+3+4．四、认真思考，耐心解一解．17．在三月学雷锋活动中，学校团委组织男女生共200名同学到市政广场参加义务劳动，其中男生人数比女生人数的2倍还少1人，求参加义务劳动的男、女生各多少人？18．一块长32厘米、宽25厘米的铁皮，从四个角各切掉一个边长为3厘米的正方形，然后做成盒子．这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多少立方厘米？（如图）19．如图1为大、小两个正方形，中心重叠于O点．将小正方形绕点O旋转45°，得到图2．其中阴影部分的面积a为9平方厘米、b为2平方厘米．问：两个正方形的面积各为多少？20．如图是一个残破的钟面．用软尺量得其边沿的弧长是15.7厘米，你能算出它的完整的钟面的面积吗？21．一批零件、甲、乙两人合作12天可以完成，他们合作若干天后，乙因事请假，乙这时只完成了总任务的．甲继续做，从开始到完成任务用了14天，请问乙请假几天？22．甲乙两车从AB两地同时相对开出，4小时后两车在距离中点120千米处相遇，已知甲车的速度是乙车的，甲乙两车的速度分别是多少？AB两地相距多少千米？2017年湖南省长沙一中第二次招生数学试卷参考答案与试题解析一．填空题。
1．8吨420千克＝（）4小时26分钟＝（）小时吨【分析】把8吨420千克换算成吨数，先把420千克换算成吨数，用420除以进率1000，得数再加上8；由复名数化单名数，把26分除以进率60化成时再与4小时相加．【解答】解：8吨420千克＝（8.42）4小时26分钟＝（4）小时吨故答案为：8.42，4．【点评】本题是考查质量的单位换算、时间的单位换算，单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率．个不同的和．2．在如图中，每次框出连续4个自然数，共可得到36【解答】解：40﹣2+1﹣3＝39﹣3＝36故共可得到36个不同的和．故答案为：36．【点评】考查了数与形结合的规律，本题要按照顺序依次计数，做到不重复不遗漏．3．有10根圆柱形木头，要把每根都锯成3段，每锯一段需要3分钟，把10根木头锯完需要60分钟．【分析】锯一段需要3分钟，即锯开一次需要3分钟；把每根木头锯成3段，需要锯3﹣1＝2次，所以10根木头需要锯2×10＝20次，由此即可解答．【解答】解：（3﹣1）×10×3，＝2×10×3，＝60（分钟）；答：把10根木头锯完需要60分钟．故答案为：60．【点评】锯木头问题中：锯的次数＝锯成的段数﹣1．4．一个长方体的高减小2厘米后，成为一个正方体，那么表面积就减小48平方厘米，这个正方体的体积是216立方厘米．【分析】根据题干分析可得，表面积比原来减少了48平方厘米是指减少了高为2厘米的长方体的4个侧面的面积．首先求出减少部分的1个侧面的面积，48÷4＝12平方厘米；由已知如果高减少2厘米，就成为一个正方体，说明原来长方体的底面是正方形；用12÷2＝6厘米，即可求出原来长方体的底面边长．再根据正方体的体积公式：v＝a3，把数据代入公式解答．【解答】解：原来长方体的底面边长是：48÷4÷2＝12÷2＝6（厘米）；正方体的体积是：6×6×6＝216（立方厘米）；答：这个正方体的体积是216立方厘米．故答案为：216立方厘米．【点评】此题考查了长方体和正方体的公式的运用，关键是由减少部分的面积求出长和宽，即正方体的棱长．5．已知如图中三角形的面积是10平方厘米，图中圆的面积是62.8平方厘米．【分析】根据图意可知，三角形的面积等于圆的半径2÷2，所以圆的半径2＝10×2＝20，再将这一数据代入圆的面积公式计算即可解答．【解答】解：3.14×（10×2）＝3.14×20＝62.8（平方厘米）答：圆的面积是62.8平方厘米．故答案为：62.8．【点评】本题主要考查圆的面积公式与三角形的面积公式，熟练掌握两个公式是解答本题的关键．6．有一个深4分米的长方体容器，其内侧底面为边长3分米的正方形．当容器底面的一边紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出．容器内的水有22.5升．【分析】先根据长方体的体积公式求出容器的容积；无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱，再根据棱柱的体积公式求出无水的部分的体积；相减即可求得容器内的水的体积．【解答】解：容器的容积：4×3×3＝36（立方分米）；无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱，底面积是3×3÷2＝4.5（平方分米），高是3分米．所以体积是 4.5×3＝13.5（立方分米）；所以容器内有水：36﹣13.5＝22.5立方分米＝22.5升．答：容器内的水有22.5升．故答案为：22.5．【点评】考查了组合图形的体积，本题容器内的水的体积＝容器的容积﹣无水的部分体积，难点是把无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱．7．甲走的路程比乙走的路程多，乙用的时间比甲多，那么甲乙的速度比是5：3．【分析】把乙走的路程看作单位“1”，则甲的路程为1+＝；把甲的时间是单位“1”，则乙的时间是1+＝；根据“路程÷时间＝速度”分别求出甲的速度与乙的速度，进而根据题意，用甲的速度与乙的速度相比即可．【解答】解：1+＝，1+＝，则：（÷1）：（1÷），＝：，＝（×15）：（×15），＝20：12，＝5：3；答：那么甲乙的速度比是5：3；故答案为：5：3．【点评】解答此题的关键：判断出单位“1”，根据路程、时间和速度三者之间的关系进行解答．二.选择题8．如果A是B的12倍，下列关系式正确的是（）A．A×12＝B B．B÷A＝12C．A÷12＝B【分析】根据A是B的12倍，根据乘法与除法的意义可知，A与B有如下关系：B×12＝A，A÷B＝12，A÷12＝B．【解答】解：根据分析，B×12＝A，A÷B＝12，A÷12＝B．故选：C．【点评】根据乘法与除法的互逆关系解答即可．9．下列各数中与9000最接近的数是（）A．8990B．0.91万C．9999D．0.89万【分析】分别求出A，B，C，D中各数与9000的差，看那个数与9000的差最小，就是最接近9000的数．【解答】解：A、9000﹣8990＝10；B、0.91万＝9100，9100﹣9000＝100；C、9999﹣9000＝999；D、0.89万＝8900，9000﹣8900＝100；可知8990与9000的差最小；故选：A．【点评】本题主要考查整数的大小比较，注意数与9000的差最小，就是最接近9000的数．10．被减数、减数与差，这三个数的和是124，那么被减数是（）A．124B．62C．45【分析】首先根据题意，可得：被减数+减数+差＝124，然后根据被减数＝减数+差，可得：被减数+被减数＝124，据此求出被减数是多少即可．【解答】解：因为被减数、减数与差，这三个数的和是124，所以被减数+减数+差＝124，又因为被减数＝减数+差，所以被减数+被减数＝124，所以被减数＝124÷2＝62故选：B．【点评】此题主要考查了被减数、减数、差的关系：被减数﹣减数＝差，被减数＝减数+差，减数＝被减数﹣差，要熟练掌握．11．小明从A地到B地的平均速度是3米/秒，然后从B地原路返回，平均速度是7米/秒．那么，小明来回的平均速度是（）A．4.2B．4.8C．5D．5.4【分析】如果把A地到B地的路程看作单位“1”，那么一个来回的路程为1×2＝2；根据“路程÷速度＝时间”分别求出去的时间和返的时间，进而根据“往返总路程÷往返总时间＝往返平均速度”进行解答即可．【解答】解：（1×2）÷（1÷3+1÷7），＝2÷，＝4.2（米/秒）；答：小明来回的平均速度是4.2米/秒．故选：A．【点评】解答此题的关键：把A地到B地的路程看作单位“1”，根据路程、速度和时间三者之间的关系分别表示出去的时间和返的时间，进而根据往返总路程、往返总时间和往返平均速度三者之间的关系进行解答即可；注意千万不要用（3+7）÷2这种错误的算法．12．晚饭后，爸爸去洗澡，热水器里装有250升水，他洗了6分，用了一半的水，然后停止洗澡，6分后，小明去洗澡，他也用了6分，把热水器内的水用完．下面（）幅图描述了热水器内水的体积是如何随时间而变化的．A．B．C．【分析】根据题意可知，将热水器中的水量看作单位“1”，爸爸用了水量的（250×）剩下的水是小明用去的，爸爸、小明共用去了（6+6）分钟，另为中间停止了6分钟，所以图中的时间应该是（6+6+6）分钟，列式解答再对照上图进行选择即可得到答案．【解答】解：热水器内剩余水量为：250×＝125（升），时间为：6+6+6＝18（分钟），答：爸爸洗完澡水箱内的水量是125升，爸爸和爸爸都洗完澡所用的时间是18分钟．故选：C．【点评】解答此题的关键是确定小军洗完澡后水箱内的水量与小明、爸爸都洗完澡所共有的时间．13．如图所示：用黑白两种颜色的正五边形地砖按下图所示的规律，变成若干个蝴蝶图案，则第7幅图案中的白色地砖有（）A．35块B．27块C．30块D．22块【分析】观察图形，发现，第一个图案有白色地砖6块，后边每多一个图案，则多4块白色地砖；由此确定第n个图案中有白色地砖的数量．【解答】解：第n个图案中有白色地砖（4n+2）块，则：4×7+2＝28+2＝30（块）答：第7幅图案中的白色地砖有30块．故选：C．【点评】此类题要能够结合图形，发现规律：在第一个图案的基础上，多一个图案，多4块白色地砖．14．14、如图是一个边长为2厘米的正方形，这个正方形被分割成两个正方形M和N以及两个非正方形，如果M的面积是N的4倍，那么N的边长是（）A．厘米B．厘米C．厘米D．厘米【分析】如图M的面积是N的4倍，则M的边长是N边长的2倍．M、N的边长之和等于大正方形的边长，把大正方形边长平均分成（1+2）份，N的边长占1份．【解答】解：因为M的面积是N的4倍所以M的边长是N边长的2倍2÷（1+2）＝2÷3＝（厘米）答：N的边长是厘米．故选：D．【点评】关键明白两个正方形的面积之比等于边长之比的平方．三、解答题。