(新课标)2019届高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.5几何概型课件理
近年高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10.4随机事件的概率课后作业理(20
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10．4 随机事件的概率［基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2017·湖南十三校二模)同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( ）A。
错误! B.错误! C。
错误! D.错误!答案B解析分别记《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》为A1,A2，A3，A4，从这四首歌中选出两首歌进行表演的所有可能结果为A1A2，A1A3，A1A4，A2A3，A 2A4，A3A4,共6个，其中A1未被选取的结果有3个，所以所求概率P＝错误!＝错误!。
故选B.2．(2018·广东中山模拟)从1，2，3，4,5这5个数中任取两个,其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数,上述事件中，是对立事件的是（）A．① B．②④ C．③ D．①③答案C解析从1,2,3,4,5这5个数中任取两个，有三种情况：一奇一偶,两个奇数，两个偶数．其中至少有一个是奇数包含一奇一偶,两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件，而①②④中的事件可能同时发生，不是对立事件,故选C。
(新课标)2019届高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.3随机
A∩B＝______ A∩B＝______ P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝ _______
对立事件
拓展：“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系：两个事件 A 与 B 是互 斥事件，有如下三种情况：①若事件 A 发生，则事件 B 就不发生；②若事件 B 发生，则事件 A 就不发生；③事件 A，B 都不发生．两个事件 A 与 B 是对立事 件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定互斥． 4．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：____________. (2)必然事件的概率 P(E)＝____________. (3)不可能事件的概率 P(F)＝____________. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝___________________. 推广： 如果事件 A1， A2， …， An 两两互斥(彼此互斥)， 那么事件 A1＋A2＋… ＋An 发生的概率， 等于这 n 个事件分别发生的概率的和， 即 P(A1＋A2＋…＋An) ＝____________________________. ②若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)＝_______________.
有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、 西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( A．互斥事件但非对立事件 B．对立事件但非互斥事件 C．互斥事件也是对立事件 D．以上都不对 )
解：由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是 互斥事件，但不是对立事件．故选 A.
第十章 第一章
集合与常用逻辑用语 计数原理、概率、随机变量及其分布
10．3 随机事在条件 S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件 S 的 ____________． (2) 在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件 S 的 ____________． 必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件 S 的确定事件． (3)在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件 S 的__________． (4)____________和____________统称为事件， 一般用大写字母 A， B，C，…表示．
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.1分类加法计数原理与分步
3．两个计数原理的区别 分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不 同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题， 其中各种方法______________，用其中______________都可以做完这件事； 分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法 ______________，只有______________才算做完这件事． 4．两个计数原理解决计数问题时的方法 最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——是需要分类还是需要 分步． (1)分类要做到“______________”．分类后再分别对每一类进行计数， 最后用分类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“______________”，即完成了所有步骤，恰好完成任务， 当然步与步之间要______________，分步后再计算每一步的方法数，最后 根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
(2)分两步：先选教师，共 3 种选法，再选学生，共 6＋8＝14 种选法．由分步乘法计数原理知总选法数为 3×14＝42(种)．
(3)老师、男同学、女同学各一人可分三步，每步方法数依次为 3、6、8 种．由分步乘法计数原理知选法数为 3×6×8＝144(种)．
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类型二 两个原理的综合应用
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有一项活动需在 3 名老师，6 名男同学和 8 名女同学中选 人参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？ (2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？ (3)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？
解：(1)只需一人参加，可按老师、男同学、女同学分三类，各 自有 3、6、8 种选法，总选法数为 3＋6＋8＝17(种)．
高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及分布列10.8n次独立重复试验与二项分布课件理
【变式训练 2】 某中学为丰富教职工生活，国庆节举 办教职工趣味投篮比赛，有 A，B 两个定点投篮位置，在 A 点投中一球得 2 分，在 B 点投中一球得 3 分．规则是：每 人投篮三次按先 A 后 B 再 A 的顺序各投篮一次，教师甲在 A 和 B 点投中的概率分别是12和13，且在 A，B 两点投中与否相 互独立．
P(A1)
＝
4 10
＝
2 5
，
P(A2)
＝
5 10
＝
1 2
，
所
以
P(B1) ＝ P(A1A2) ＝
P(A1)P(A2)＝25×12＝15，P(B2)＝P(A1 A2 ＋ A1 A2)＝P(A1 A2 )＋
(2)一个正方形被平均分成 9 个部分，向大正方形区域 随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧 3 个小正 方形区域的事件记为 A，投中最上面 3 个小正方形或正中间 的 1 个小正方形区域的事件记为 B，求 P(AB)、P(A|B)．
[解] 如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4， ∴n(AB)＝1，∴P(AB)＝19， P(A|B)＝nnABB＝14.
[解] (1)记事件 A1＝{从甲箱中摸出的 1 个球是红球}， A2＝{从乙箱中摸出的 1 个球是红球}，B1＝{顾客抽奖 1 次 获一等奖}，B2＝{顾客抽奖 1 次获二等奖}，C＝{顾客抽奖 1 次能获奖}．
由题意，A1 与 A2 相互独立，A1 A2 与 A1 A2 互斥，B1 与
B2 互斥，且 B1＝A1A2，B2＝A1 A2 ＋ A1 A2，C＝B1＋B2.因为
第10章 计数原理、概率、随机变量及分 布列
第8讲 n次独立重复试验与二项分布
板块一 知识梳理·自主学习
新教材高考数学全程一轮总复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第一节计数原理与排列组合学生用书
第一节计数原理与排列组合【课标标准】 1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列组合解决简单的实际问题．必备知识·夯实双基知识梳理(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．(2)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．2．排列与组合的概念(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照________排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．3．排列数与组合数公式(1)排列数公式＝________＝________(n，m∈N*，且m≤n)．规定0！＝1.(2)组合数公式＝________＝________(n，m∈N*，且m≤n)．规定＝1.4．排列数与组合数的性质；＝；；＝.[常用结论]分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类、相加分步、相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，缺一不可时标准应统一，避免出现重复或遗漏．夯实双基1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )2．(教材改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是( )A．12 B．24 C．64 D．813．(教材改编)用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．4．(易错)6名同学争夺3项冠军，不同的结果有________种．(用具体数字作答)5．(易错)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．关键能力·题型突破题型一两个计数原理例 1 (1)[2023·广东广州模拟]如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为( )A．480 B．600 C．720 D．840(2)有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)①每人恰好参加一项，每项人数不限；②每项限报一人，且每人至多参加一项；③每项限报一人，但每人参加的项目不限．题后师说2．涂色问题常用的两种方法巩固训练1(1)从数字1，2，3，4中取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为( )A．7 B．9C．10 D．13(2)[2023·河南安阳模拟]为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与三家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则不同的对接方案共有( )A．15种 B．16种C．17种 D．18种题型二排列问题例 2有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；(7)体体排成一排，甲必须排在乙前面；(8)全体排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．题后师说巩固训练2(1)[2023·江西临川一中模拟]为了贯彻落实党史学习教育成果，临川一中名师“学史力行”送教井冈山中学．现有理科语文、数学、英语、物理、化学、生物6名理科老师要安排在该中学理科1到6班上一节公开示范课，每个班级只安排一名老师上课且每个老师只在一个班上课，要求数学老师不能安排在1班，化学老师不能安排在6班，则不同的安排上课的方法数为( )A．720 B．504C．480 D．360(2)[2023·黑龙江哈九中模拟]习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计．哈九中落实讲话内容，组织研究性学习．在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报(不一定相邻)，那么不同的汇报安排种数为( )A．100 B．120C．300 D．600(3)[2023·河南安阳模拟]甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为( )A．240 B．192C．96 D．48(4)[2023·广东佛山模拟]“五经”是儒家典籍《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》《春秋》分开排的情况有________种．题型三组合问题例 3 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．题后师说组合问题的两类题型巩固训练3(1) [2023·安徽十校联考]如图，“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女)在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为( )A．14 B．18 C．30 D．36(2)[2023·河南安阳模拟]教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择．若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有( )A．60种 B．64种 C．72种 D．80种(3)[2023·山西师大附中模拟]现有16个不同小球，其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各4个，从中任取3个，要求这3个小球不能是同一颜色，且红色小球至多1个，不同的取法为________．(4)[2023·黑龙江大庆模拟]某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有________．专题突破10 分组、分配问题微专题1不等分问题例 1(1)[2023·安徽淮南一中模拟]为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有( ) A．18种B．36种C．68种D．84种(2)若将6名教师分到3所中学任教，其中一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．题后师说对于不等分问题，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．微专题2整体均分问题例 2(1)已知有6本不同的书，平均分成三堆，有________种不同的分配方法？(2)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．题后师说对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以(n为均分的组数)，避免重复计数．微专题3部分均分问题例 3 (1)5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，至多有2人参加，则不同的安排方法共有( )A．30种 B．90种C．120种 D．150种(2)[2023·广东河源模拟]某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是________．(3)[2023·河南新乡模拟]第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排六名志愿者去四个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆．且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有( )A．1 020种 B．1 280种C．1 560种 D．1 680种1.[2022·新高考Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )A．12种B．24种C．36种 D．48种2．[2021·全国乙卷]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )A．60种 B．120种C．240种 D．480种3．[2020·新高考Ⅰ卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( ) A．120种 B．90种C．60种 D．30种第一节计数原理与排列组合必备知识·夯实双基知识梳理1．（1）m＋n （2）m×n2．（1）一定顺序（2）作为一组3．（1）n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）（2）夯实双基1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．解析：从4本书中选3本有4种选法，把选出的3本书送给3名同学，有6种送法，所以不同的送法有：4×6＝24(种)．故选B.答案：B3．解析：由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有＝2种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个，有＝4×3×2＝24种排法，由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48个．答案：484．解析：每一项冠军的情况都有6种，故6名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是63＝216(种)．答案：2165．解析：分以下2种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有种不同的选法．(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有种不同的选法．所以不同的选法共有＝18＋12＝30(种)．答案：30关键能力·题型突破例1 解析：(1)依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类：若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有5种方法，再涂湖北有4种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有3种方法，最后涂湖南有3种方法，由分步乘法计数原理得不同的涂色方案有5×4×1×3×3＝180种，若安徽与陕西不同色，先涂陕西有5种方法，再涂湖北有4种方法，涂安徽有3种方法，涂江西、湖南也各有3种方法，由分步乘法计数原理得不同的涂色方案有5×4×3×3×3＝540 种方法，所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有180＋540＝720种．(2)①每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法36＝729种．②每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法6×5×4＝120种．③每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法63＝216种．答案：(1)C (2)见解析巩固训练1 解析：(1)其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形：①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个；②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个；③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222.∴共有3＋6＋1＝10个，故选C.(2)甲高校与用人单位对接的方案种数为3＋1＝4，同理，乙高校与用人单位对接的方案种数为4，故不同的对接方案共有4×4＝16种．故选B.答案：(1)C (2)B例2 解析：(1)从7人中选5人排列，有＝7×6×5×4×3＝2 520种排列方法．(2)分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有种方法，则共有＝5 040种排列方法．(3)先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有＝3 600种排列方法．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有＝576种排列方法．(5)(插空法)先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法，则共有＝1 440种排列方法．(6)把甲乙及中间三人看作一个整体，第一步先排甲乙两人有种方法，再从剩下的5人中选3人排列到中间，有种方法，最后把甲乙及中间三人看作一个整体，与剩余2人排列，有种方法，故共有＝720(种)．(7)(消序法)＝2 520.(8)(间接法)无限制排法有种，其中甲或乙在最左端或在最右端的排法为种，是甲在最左端且乙在最右端的排法，共有＝3 720(种)．巩固训练2 解析：(1)根据计数原理可以将事情分成两类：化学老师安排在1班和化学老师不安排在1班．①化学老师排在1班，先排1班，有1种方法，其余5个班的老师做全排列共有＝120种方法；②化学老师不在1班，先排1班，有4种方法，再排6班有4种方法，余下4个班有＝24种方法，所以共有：4×4×24＝384种方法，所以总的排列数为504.故选B.(2)先排B元素，有5种排法，然后排剩余5个元素共＝120，由于A、C、D顺序确定，所以不同的排法共有＝100.故选A.(3)丙在正中间(4号位)；甲、乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，考虑到甲、乙的顺序有种情况；剩下的4个位置其余4人坐有种情况；故不同的坐法的种数为＝192.故选B.(4)先将《周易》《尚书》《礼记》进行排列，共有再从产生的4个空位中选2个安排《诗经》《春秋》，共有种排法，所以满足条件的情形共有＝72种．答案：(1)B (2)A (3)B (4)72例3 解析：(1)一名女生，四名男生，故共有＝350种．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有＝165种．(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和有两名队长．故共有＝825种，或采用排除法：＝825种．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故共有＝966种．(5)分两类：第一类女队长当选：；第二类女队长不当选：故共有＝790种．巩固训练3 解析：(1)将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为其中两名女航天员在一个舱内的方案数为＝12，所以满足条件的方案数为30－12＝18种．故选B.(2)3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况为：＝4×4×4＝64种，又每家企业至少接待1名校长，故3名校长选的3家企业，不全相同，因为3名校长选的3家企业完全相同有＝4种，则不同的安排方法共有：64－4＝60种．故选A.(3)由题意，不考虑特殊情况，共有＝560种取法，其中每一种小球各取三个，有＝16种取法，两个红色小球，共有＝72种取法，故所求的取法共有560－16－72＝472种．(4)不妨设既会划左舷又会划右舷的2人为A、B，①若A和B两人均不去参加比赛，则选派方法有种；②若A和B两人只去一人参加比赛，(ⅰ)若只会划左舷的去两人，则选派方法为种；(ⅱ)若只会划右舷的去两人，则选派方法为种；③若A和B两人均去参加比赛，(ⅰ)若只会划左舷的去1人，则A和B两人均去划左舷，则选派方法为种；(ⅱ)若只会划左舷的去2人，则A和B两人中有一人去划左舷，另一人去划右舷，则选派方法为种；(ⅲ)若只会划左舷的去3人，则A和B两人均去划右舷，则选派方法为综上所述，不同的选派方法共有＝92种．答案：(1)B (2)A (3)472 (4)9210分组、分配问题专题突破○例1 解析：(1)根据题意，分派方案可分为两种情况：若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：＝18种方法；故一共有：36种分派方法．故选B.(2)将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有种取法．根据分步乘法计数原理，共有＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．答案：(1)B (2)360例2 解析：(1)6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为＝＝15.(2)先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有＝90种分配方法．答案：(1)15 (2)90例3 解析：(1)因为5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，至多有2人参加，所以5名大学生分成3组，每组的人数分别为1，2，2，所以不同的安排方式有＝90种．故选B.(2)先将5名学生分成4组共有＝10种，再将4组学生安排到4所不同的学校有＝24种，根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有10×24＝240种．(3)根据题意，若6名志愿者以“2，2，1，1”形式分为四个服务小组，共有若6名志愿者以“3，1，1，1”形式分为四个服务小组，＝480种分配方法．由分类加法计数原理知共有1 560种分配方法．故选C.答案：(1)B (2)240 (3)C真题展台——知道高考考什么？1．解析：先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法选甲的位置，共有＝24(种)不同的排列方式．故选B.答案：B2．解析：根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有种安排方法．故满足题意的分配方案共有＝240(种)．答案：C3．解析：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有；最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有＝60种．故选C.答案：C。
2019年高考数学一轮复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第1节 分类加法计数原理与分
第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理[考纲传真] (教师用书独具)1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．(对应学生用书第169页)[基础知识填充]1．分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1m2种方法，…，在第n类办法中有m n种方法．那么，完成这件事共有(也称加法原理)2．分步乘法计数原理完成一件事需要经过n m2种方法，…，做第n步有m n3区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( )[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有( )A．30 B．20 C．10 D．6D[从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类：①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．]3．书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从第1,2,3层分别各取1本书，则不同的取法种数为( )A．3 B．15C．21 D．120D[由分步乘法计数原理知，从第1,2,3层各取1本书，不同的取法种数为4×5×6＝120.故选D．]4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有( ) A．30个B．42个C．36个D．35个C[∵a＋b i为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．]5．如图1011，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路；从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线．图101132 [不同路线共有3×4＋4×5＝32(条)．](1)7 (2)13[(1)至少买其中一本的实质是买一本或买两本或买三本，故分三类完成．第一类：买一本有3种；第二类：买两本有3种；第三类：买三本有1种．共有3＋3＋1＝7(种)买法．(2)①当a＝0时，有x＝－b2，b＝－1,0,1,2，有4种可能；②当a≠0时，则Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，(ⅰ)当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；(ⅱ)当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；(ⅲ)当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．所以有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13个．]根据题目特点恰当选择一个分类标准分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类即标准明确，不重不漏[跟踪训练] 椭圆m ＋n＝1的焦点在x轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________.【导学号：79140337】10 [因为焦点在x轴上，所以m>n.以m的值为标准分类，可分为四类：第一类，m＝5时，使m>n，n有4种选择；第二类，m＝4时，使m>n，n有3种选择；第三类，m＝3时，使m>n，n有2种选择；第四类，m＝2时，使m>n，n有1种选择．由分类加法原理知，符合条件的椭圆共有4＋3＋2＋1＝10个．](1)(2016·全国卷Ⅱ)如图1012，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )图1012A．24 B．18C．12 D．9(2)从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．(1)B(2)18 6[(1)分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路程．(2)一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c 的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数．若二次函数为偶函数，则b ＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数．] 要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定[跟踪训练乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有________种(用数字作答)．(2)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数为________．(1)36 (2)10 [(1)从3人中选择两人同乘一部电梯有C 23＝3种选择，这两人乘坐的电梯有4种选择，最后1个乘坐的电梯有3种选择，所以不同的乘坐方式有3×4×3＝36种．(2)易知A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}，图1013A ．24B ．48C ．72D ．96(1)D (2)C [(1)个位数字是2或6时，不同的偶数个数为C 12·A 552＝120；个位数字是4，不同的偶数个数为A55＝120，则不同的偶数共有120＋120＝240个，故选D．(2)分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2＝24(种)涂法．②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48(种)涂法．故共有24＋48＝72种涂色方法．]在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，化抽象为直观.[跟踪训练对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )A．48 B．18C．24 D．36(2)(2017·杭州调研)已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对任意x∈A，y∈B，x<y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个.【导学号：79140338】(1)D(2)17[(1)分类讨论：第一类，对于每一条棱，都可以与两个面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第二类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．(2)当A＝{1}时，B有23－1种情况；当A＝{2}时，B有22－1种情况；当A＝{3}时，B有1种情况；当A＝{1,2}时，B有22－1种情况；当A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况，所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(个)．]。
(山东专用)新高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.1 分类加法计数原理
第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理课标要求考情分析1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．1.两个计数原理一般不单独命题，常与排列、组合交汇考查．2．题型以选择题、填空题为主，要求相对较低.知识点两种计数原理基本形式一般形式区别分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m1×m2×…×m n 种不同的方法1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．(√)(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法m i(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…m n种方法．(√)(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(√)2．小题热身(1)从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为(B)A．6B．5C．3D．2(2)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法共有(C)A．16种B．13种C．12种D．10种(3)小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有(A)A．7种B．8种C．6种D．9种(4)一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不同(除交汇点O外)的游览线路有48种．(用数字作答)(5)如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有32条不同的路线．解析：(1)“完成这件事”即选出1人当主持人，可分选女主持人和男主持人两类进行，分别有3种选法和2种选法，所以共有3＋2＝5种不同的选法．(3)要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张IC电话卡、买2张IC电话卡、买3张IC电话卡，而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC电话卡有2种方法，买2张IC电话卡有3种方法，买3张IC电话卡有2种方法．不同的买法共有2＋3＋2＝7(种)．(4)根据题意，从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法；参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任取一个，有2种选法．由分步乘法计数原理知，共有6×4×2＝48(种)不同游览线路．(5)不同路线共有3×4＋4×5＝32(条).考点一分类加法计数原理的应用【例1】(1)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1，若a∈{2,4,6,8}，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，这样的椭圆有________个．()C．28 D．32(2)我们把中间位数上的数字最大，而两边依次减小的多位数称为“凸数”．如132,341等，那么由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是________．【解析】(1)解法1：若焦点在x轴上，则a>b，a＝2时，有1个；a＝4时，有3个；a＝6时，有5个；a＝8时，有7个，共有1＋3＋5＋7＝16个．若焦点在y轴上，则b>a，b＝3时，有1个；b＝4时，有1个；b＝5时，有2个；b＝6时，有2个；b＝7时，有3个；b＝8时，有3个．共有1＋1＋2＋2＋3＋3＝12个．故共有16＋12＝28个．解法2：a＝b时有4种情况，故椭圆个数为4×8－4＝28个．(2)根据“凸数”的特点，中间的数字只能是3,4,5，故分三类，第一类，当中间数字为“3”时，此时有2种(132,231)；第二类，当中间数字为“4”时，从1,2,3中任取两个放在4的两边，故有6种；第三类，当中间数字为“5”时，从1,2,3,4中任取两个放在5的两边，故有12种；根据分类加法计数原理，得到由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是2＋6＋12＝20.【答案】(1)C(2)20方法技巧(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.1．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，则不同的取法共有(B) A．120种B．16种解析：书架上有3＋5＋8＝16(本)书，则从中任取1本书，共有16种不同的取法．故选B.2．将编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编号不能相同，则不同的放球方法有(B)A．16种B．12种C．9种D．6种解析：由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当1号与2号小球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1号与3号小球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1号与4号小球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2号与3号小球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2号与4号小球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当3号与4号小球放在同一盒子中时，有2种不同的放法．因此，由分类加法计数原理可知，不同的放球方法共有12种．故选B.考点二分步乘法计数原理的应用【例2】(1)已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，则P可表示坐标平面上第二象限的点的个数为()A．6 B．12C．24 D．36(2)有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，三个项目都有人报，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．【解析】(1)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a<0，所以有3种方法；第二步确定b，由于b>0，所以有2种方法．由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.(2)每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．【答案】(1)A(2)120方法技巧利用分步乘法计数原理解决问题的策略(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.(2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.1.如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有63种．解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况．2．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成18个不同的二次函数，其中偶函数有6个(用数字作答)．解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数．考点三两个计数原理的综合应用命题方向1计数问题【例3】高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有()A．A26×A45种B．A26×54种C．C26×A45种D．C26×54种【解析】根据题意，分2步进行分析：①先从6名同学中任选2人，去日月湖景区旅游，有C26种方案，②对于剩下的4名同学，每人都有5种选择，则这4人有5×5×5×5＝54种方案，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有C26×54种，故选D.【答案】 D命题方向2与几何有关的问题【例4】如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A．48B．18 C．24D．36【解析】第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．【答案】 D命题方向3涂色问题【例5】如图一个地区分为五个行政区域，现给该地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(用数字作答)【解析】由题意可知，当选用三种颜色着色时，由分步乘法计数原理得，有C14C13C12＝24(种)方法，当选用四种颜色着色时，由分步乘法计数原理得，有2C14C13C12C11＝48(种)方法，再据分类加法计数原理可得有24＋48＝72(种)方法．【答案】72方法技巧利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.1．(方向1)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同的放法共有(C)A．480种B．360种C．240种D．120种解析：根据题意，将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则必须有2个小球放入1个盒子，其余的小球各单独放入一个盒子，分2步进行分析：①先将5个小球分成4组，有C25＝10种分法；②将分好的4组全排列，放入4个盒子，有A44＝24种情况，则不同放法有10×24＝240种．故选C.2．(方向2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(B)A．60 B．48C．36 D．24解析：长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另外含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.3．(方向3)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有108种.解析：把区域分为三部分，第一部分1,5,9，有3种涂法．第二部分4,7,8，当5,7同色时，4,8各有2种涂法，共4种涂法；当5,7异色时，7有2种涂法，4,8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6种涂法．第三部分与第二部分一样，共6种涂法．由分步乘法计数原理，可得共有3×6×6＝108种涂法．。
2019版高考一轮总复习数学第10章 计数原理、概率、随机变量及分布列 10-6 板块一 知识梳理 自主学习
3．在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、
立体图形．( √ )
4．随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ )
5．与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有
关．( × )
6．从区间[1,10]内任取一个数，取到 1 的概率是 P＝
1 9.(
×
)
二、小题快练
1．[2017·新余模拟]如图，将半径为 1 的圆分成相等的
例 3 在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为 a，b， 则方程ax22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于
23的椭圆的概率为(
)
1
15
A.2
B.32
17 C.32
31 D.32
[解析] ∵ax22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于
23的椭圆，∴a>b>0，a<2b，它对应的平面区域如图中阴 影部分所示，则方程ax22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上且离心率
4 入孔中的概率是___9_π____．
解析
依题意，所求概率为 P＝π·13222＝94π.
板块二 典例探究·考向突破
考向 与长度有关的几何概型
例 1 [2015·山东高考]在区间[0,2]上随机地取一个数 x，
则事件“－1≤log1 2
x＋12≤1”发生的概率为(
四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往
圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为(
)
A.4π－1
1 B.π
C．1－1π
2 D. π
解析 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积 等于( 2)2－414×π×12－12×12＝4－π，又因为圆的面积等 于 π×12＝π，因此所求的概率等于4－ π π＝4π－1.
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1 π×1 × 2 π 解：不妨设正方形边长为 2，则所求为 ＝ . 8 2×2 故选 B.
(2016· 全国卷Ⅱ)从区间[0， 1]随机抽取 2n 个数 x1， x2， …， xn，y1，y2，…，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn， yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的 方法得到的圆周率π 的近似值为( ) 4n 2n 4m A. B. C. m m n 2m D. n
(2016· 全国卷Ⅱ) 某路口人行横道的信号灯为红 灯和绿灯交替出现， 红灯持续时间为 40 秒． 若一名行人来到 该路口遇到红灯， 则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 ( ) 7 A. 10 5 B. 8 3 C. 8 3 D. 10
解： 因为红灯持续时间为 40 秒． 所以这 名行人至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概 40－15 5 率为 ＝ .故选 B. 40 8
自查自纠
1．均等的 2．长度 面积 体积 几何概率模型 几何概型
构成事件A的区域的长度（面积或体积） 3.试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积）
(2016· 全国卷Ⅰ)某公司的班车在 7：30，8：00，8：30 发 车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车 站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 )
解：由 6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3， 3－（－2） 5 则 D＝[－2，3]，则所求概率为 ＝ . 5－（－4） 9 5 故填 . 9
(2015· 福建)如图，点 A 的坐标为(1， 0)，点 C 的坐标为(2，4)，函数 f(x)＝x2.若在矩 形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分 的概率等于________．
【点 拨】 ① 以 面积为度量的 几何概型 概率计算公式 ： P ＝ 事件A构成区域的面积 .②解此类问题的主要步骤为： 整个试验的全部结果构成区域的面积 列出条件组，画出图形，计算面积，再求概率．③多注意数形结合．
(2)甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某 处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟， 过时即可离去．则两人能会面的概率为 ____________．
解： 由题意可知 (xi ， yi)(i ＝ 1 ， 2 ， … ， n) 在如图所示的正方形中，两数平方和小于 1 的 点在如图所示的阴影中．由几何概型概率计算 π 4 m 4m 公式知 ＝ ，所以π＝ .故选 C. 1 n n
(2017· 江苏)记函数 f(x)＝ 6＋x－x2的定义域为 D.在区间[－4，5]上随机取一个数 x，则 x∈D 的概率是 ________．
解：依题意知点 D 的坐标为(1，4)，矩形 ABCD 的面积 S 1 32 7 2 2 ＝1×4＝4，阴影部分的面积 S 阴影＝4－ x dx＝4－ x |1＝4－ 3 3
1
S阴影 5 5 ＝ ，根据几何概型的概率计算公式得所求的概率 P＝ ＝ . 3 S 12 5 故填 . 12
类型一
以长度为度量的几何概型
解：由题意可知满足条件的时间段为 7 ： 50 ～ 8 ： 00， 20 1 8：20～8：30，共 20 分钟，由几何概型知所求概率为 ＝ . 40 2 故选 B.
(2017· 全国卷Ⅰ) 如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极 图，正方形内切圆中的黑色部分和白色 部分关于正方形的中心成中心对称．在 正方形内随机取一点，则此点取自黑色 部分的概率是( 1 A. 4 ) π B. 8 1 C. 2 π D. 4
第十章 第一章
集合与常用逻辑用语 计数原理、概率、随机变量及其分布
10．5 几何概型
1．随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满 足条件的数的机会是____________．利用计算器，Excel，Scilab 等都可以产生随 机数． 2．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__________(___________或 ____________) 成 比 例 ， 则 称 这 样 的 概 率 模 型 为 ________________ ， 简 称 ____________． 3．概率计算公式 在几何区域 D 中随机地取一点， 记事件“该点落在其内部的一个区域 d 内” 为事件 A，则事件 A 发生的概率 P(A)＝___________________________________． 求试验中几何概型的概率， 关键是求得事件所占区域 d 和整个区域 D 的几何 度量，然后代入公式即可求解．
【点拨】以线段长度为度量的几何概型概率 事件A对应的线段长 计算公式：P(A)＝ . 试验的全部结果对应的线段长
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2016· 山东)在[－1， 1]上随机地取一个数 k， 则 事件“直线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交”发生的概率为 ________．
解：由已知得，圆心(5，0)到直线 y＝kx 的距离小于半径， 3 3 － －4 4 |5k| 3 3 所以 2 <3， 解得－ <k< ， 由几何概型得 P＝ ＝ 4 4 1 －（－ 1 ） k ＋1 3 3 .故填 . 4 4
类型二
以面积为度量的几何概型
x＋y≤ 2， 2， 所
(1)(2016· 江苏新余模拟 ) 设不等式组x－y≥－ y≥0
向 M 内随机投一个点，则该点落在 N 内的概率为( π π π π A. B. C. D. 2 4 8 16 )
表示的区域为 M， 函数 y＝ 1－x2的图象与 x 轴所围成的区域为 N，
1 解： 区域 M 表示的是底为 2 2， 高为 2的三角形， 面积为 ×2 2 2 × 2＝2，区域 N 表示的是以原点为圆心，半径为 1 的半圆(在 x 轴上 π 1 2 方)，面积为 π×1 ＝ ，且易知圆在三角形内，由几何概型计算公 2 2 π 2 π 式有，点落在 N 内的概率为 P＝ ＝ ，故选 B. 2 4