高中计数原理与概率计数原理
最新-2021版数学一轮高中全程复习方略课件：第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布96 精品
2．如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，H 分别是棱 A1B1，D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合)，且 EH∥A1D1，过 EH 的 平面与棱 BB1，CC1 相交，交点分别为 F，G.设 AB＝2AA1＝2a， EF＝a，B1E＝2B1F.在长方体 ABCD－A1B1C1D1 内随机选取一点， 则该点取自于几何体 A1ABFE－D1DCGH 内的概率为________．
5．(2017·重庆卷)某校早上
开始上课，假设该校学生
小张与小王在早上
～
之间到校，且每人在该时间段
的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的
概率为________(用数字作答)．
解析：设小张与小王的到校时间分别为
后第 x 分钟、
第 y 分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面
解 析 ： 点 Q 取 自 △AED 或 △BEC 内 部 的 概 率 P ＝ S△ASE矩D形＋ABSC△DBEC＝12.故选 A.
答案：A
3．已知函数 f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]，则 f(x)为增函数 的概率为( )
1234 A.5 B.5 C.5 D.5
解析：∵f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]． ∴f(x)在[1,4]上是增函数． ∴f(x)为增函数的概率为 P＝4－4－－11＝35. 答案：C
因为2－2a22da＝16a3－22 ＝83，所以阴影部分的面积为 4×2＋83 32
＝332，所以所求概率 P＝4×3 4＝23，故选 D. 答案：D
谢谢观看
下课
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对
称，得 S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率 P＝SS正黑 方形 π
高一数学 概率知识点
高一数学概率知识点概率是数学中的一个重要分支，它研究的是随机试验中各种可能结果发生的相对频率。
在高一数学中，概率是一个重要的知识点。
本文将从基本概念、概率计算、条件概率以及概率统计等方面介绍高一数学中的概率知识点。
一、基本概念概率是一个描述事件发生可能性的数值。
在概率的基本理论中，有如下几个基本概念：1.试验：试验是指可以在相同条件下重复进行的某一过程。
2.样本空间：样本空间是指试验的所有可能结果构成的集合，用S表示。
3.事件：事件是样本空间的子集，表示试验的某一特定结果或者结果的集合。
通常用大写字母A，B，C等表示事件。
二、概率计算在概率的计算中，我们需要了解如下几个常见概率模型：1.等可能概型：即指在样本空间的每个基本事件（即样本点）发生的可能性相等，它是最简单的概率模型。
2.几何概型：即指交集、并集等概率问题，涉及到图形的面积、体积等概率计算。
3.计数原理：即通过排列、组合等方法计算事件的概率。
三、条件概率条件概率是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
四、概率统计概率统计是概率理论在实际问题中的应用。
具体包括以下几个方面：1.频率与概率的比较：通过大量实验的结果来逼近真实的概率。
2.大数定律：指随着实验次数的增加，频率逐渐接近概率的现象。
3.独立性：独立事件指事件A发生与否不影响事件B发生的概率。
4.贝叶斯定理：是用于在给定其他相关事件的条件下，计算事件的条件概率的一种方法。
综上所述，概率知识是高中数学中重要的一个知识点。
通过理解基本概念、掌握概率计算方法、熟悉条件概率的计算以及了解概率统计的应用，可以帮助我们更好地理解和应用概率知识，解决实际问题。
在学习中要注重理论与实践相结合，通过大量的练习提升自己的概率计算能力。
希望同学们能够认真学习概率知识，掌握解题方法，提高数学水平。
2015届高考数学(理·湖北)二轮专题复习课件【6】计数原理、概率与统计
热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)
的影响及计数原理、概率与统计自身的特征, 此类试题 的背景与日常生活最贴近, 联系也最为紧密, 不管是从内容 上, 还是从思想方法上, 都体现着应用的观念与意识, 考查学 生处理数据的能力、处理或然问题的方法, 考查学生对概率 事件的识别及概率计算, 以及分类与整合、化归与转化、或 然与必然思想的运用, 考查学生的阅读与理解能力、分析问 题解决问题的能力 .
= 50, 设第三组
= 0. 36, 解得 x=12, 故选 C .
热点重点) 设样本数据 x1, x 2, „, x 10 的均值和方差分 别为 1 和 4, 若 yi=x i+a( a 为非零常数, i =1, 2, „, 10) , 则 y1, y2, „, y10 的均值和方差分别为( A. 1+a, 4B. 1+a, 4+a C. 1, 4D. 1, 4+a ) .
热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)
第 20 题: 离散型 大 随机变量的分布 第 20 题: 正态分 题 列、期望及方差,布, 线性规划综合 概率加法公式 第 20 题: 随机事件 的概率、 二项分布 的概率、均值
热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)
【考向预测】
计数原理、概率与统计是高中数学的一个重要学习内 容, 也是高考考查的必考重点内容之一 . 本部分考查的内容 主要有: 抽样方法, 统计图表 ( 样本频率分布表与直方图、 茎叶 图) , 统计特征数字( 平均数、方差、中位数、众数) , 变量间的 关系、回归分析; 两个计数原理、排列组合的应用; 二项展开 式通项及二项式系数的性质与计算; 随机事件的概率、古典 概型、几何概型; 离散型随机变量的分布列、二项分布、正 态分布, 离散型随机变量的数学期望与方差. 由于新课标
最新-2021版高考数学理一轮总复习课件：第十一章计数原理和概率 111 精品
(2)5名学生争夺3项比赛的冠军，获得冠军的可能情况种数 有多少？
【解析】 每个冠军只能有一个获得，而每人可获得多个冠 军，所以“冠军”相当于“客”，“学生”相当于店，3人住5间 店，共有53种可能的情况．
【答案】 125种
(3)三封信投入到4个不同的信箱中，共有多少种不同的投 法．
【解析】 方法一：只要三封信都投进了信箱，这件事就算完 成，故分三步：
④若位置二与三相同，则信息为1 111； ⑤若位置二与四相同，则信息为1 100； ⑥若位置三与四相同，则信息为1 010.共6个． 故与信息0 110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个 数为1＋4＋6＝11.
方法二：若0个相同，共有1个； 若1个相同，共有C41＝4(个)； 若2个相同，共有C42＝6(个)． 故共有1＋4＋6＝11(个)． 【答案】 11个
答案 B 解析 由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层 到四层有2种选择，∴由分步计数原理可知走法种数为23＝8.
2．已知{1，2}⊆X⊆{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的
集合 X 共有( )
A．2 个
B．6 个
C．4 个
D．8 个
答案 D
解析 由题意知集合X中的元素1，2必取，另外，从3，4，5
6．(2017·衡水中学调研卷)为了应对美欧等国的经济制裁， 俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求 甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为 ________．
答案 182 解析 甲、乙中裁一人的方案有C21C83种，甲、乙都不裁的方 案有C84种，故不同的裁员方案共有C21C83＋C84＝182种．
课前自助餐
分类计数原理的推广 完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的 方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法……在第 n 类办法中 有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法．
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.1分类加法计数原理与分步
3．两个计数原理的区别 分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不 同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题， 其中各种方法______________，用其中______________都可以做完这件事； 分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法 ______________，只有______________才算做完这件事． 4．两个计数原理解决计数问题时的方法 最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——是需要分类还是需要 分步． (1)分类要做到“______________”．分类后再分别对每一类进行计数， 最后用分类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“______________”，即完成了所有步骤，恰好完成任务， 当然步与步之间要______________，分步后再计算每一步的方法数，最后 根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
(2)分两步：先选教师，共 3 种选法，再选学生，共 6＋8＝14 种选法．由分步乘法计数原理知总选法数为 3×14＝42(种)．
(3)老师、男同学、女同学各一人可分三步，每步方法数依次为 3、6、8 种．由分步乘法计数原理知选法数为 3×6×8＝144(种)．
第十六页，共25页。
类型二 两个原理的综合应用
第十五页，共25页。
有一项活动需在 3 名老师，6 名男同学和 8 名女同学中选 人参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？ (2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？ (3)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？
解：(1)只需一人参加，可按老师、男同学、女同学分三类，各 自有 3、6、8 种选法，总选法数为 3＋6＋8＝17(种)．
高中数学计数原理
高中数学计数原理计数原理是数学中的一个重要概念，它在解决组合、排列和概率等问题时起着至关重要的作用。
在高中数学教学中，计数原理的应用也是非常广泛的。
本文将对高中数学计数原理进行系统的介绍和讲解，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
一、基本概念。
计数原理是指在一定条件下，通过对个体进行分类、分解、排列和组合等方法，确定事件的总数的一种数学方法。
在实际问题中，常常需要根据计数原理来确定某一事件的发生总数。
在计数原理中，最基本的概念就是排列和组合。
排列是指从给定的n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，这个过程称为排列。
而组合是指从给定的n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑顺序，这个过程称为组合。
二、排列。
1. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，这个过程称为排列。
2. 排列的计算公式为Anm=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1。
在实际问题中，排列常常用于解决有序排列的问题，比如从5个不同的球中取出3个球，按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方式。
三、组合。
1. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑顺序，这个过程称为组合。
2. 组合的计算公式为Cnm=n!/(m!(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1。
在实际问题中，组合常常用于解决不考虑顺序的问题，比如从8个不同的人中选出3个人组成一个委员会，共有多少种不同的组合方式。
四、应用举例。
1. 案例一，某班有10名学生，要从中选出3名学生组成一个小组，问共有多少种不同的组合方式？解答，根据组合的计算公式，Cn3=10!/(3!(10-3)!)=120，所以共有120种不同的组合方式。
【课堂新坐标】(安徽专用)高考数学(理)一轮总复习课件第十章计数原理、概率、随机变量及其分布 第
)
B． 8 种 D．16 种
如下图，甲第一次传给乙时有 5 种方法，同
理，甲传给丙也可以推出 5 种情况，综上有 10 种传法．
【答案】
C
4． 在某种信息传输过程中， 用 4 个数字的一个排列(数字 允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数 字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字 相同的信息个数为( A．10 C．12 ) B．11 D．15
【尝试解答】
根据 a，b 的限制范围分类讨论，利用
分类加法计数原理计算．
【尝试解答】
a，b∈{－1,0,1,2}．
b (1)当 a＝0 时，有 x＝－ ，b＝－1,0,1,2 有 4 种可能． 2 (2)当 a≠0 时，则 Δ＝4－4ab≥0，ab≤1， ①若 a＝－1 时，b＝－1,0,1,2 有 4 种不同的选法． ②若 a＝1 时，b＝－1,0,1，有 3 种可能； ③若 a＝2 时，b＝－1,0，有 2 种可能． ∴有序数对(a，b)共有 4＋4＋3＋2＝13(个)．
变式训练 1 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友一本，则不同 的赠送方法共有( A．4 种 C．18 种 ) B．10 种 D．20 种
【解析】 赠送一本画册，3 本集邮册．需从 4 人中选取 一人赠送画册，其余送邮册，有 C1 4种方法． 赠送 2 本画册，2 本集邮册，只需从 4 人中选出 2 人送画
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
)
根据两个计数原理的含义， (1)(4)不正确，
2．(人教 A 版教材习题改编)某班新年联欢会原定的 6 个 节目已排成节目单，开演前又增加了 3 个新节目，如果将这 3 个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( A．504 C．336
高考数学复习专题14计数原理与概率统计二项式定理备考策略
二项式定理备考策略主标题：二项式定理备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
关键词：二项式定理，二项式系数，项系数，备考策略难度：2重要程度：4考点一 通项公式及其应用【例1】 (1)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. (2)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a 等于( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1 解析 (1)T r ＋1＝C r 5(x )5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝()x C r rr 6525`51--，令52－56r ＝0，得r ＝3，∴A ＝－C 35＝－10. (2)(1＋ax )(1＋x )5＝(1＋x )5＋ax (1＋x )5， 又(1＋x )5中含有x 与x 2的项为T 2＝C 15x ，T 3＝C 25x 2.∴展开式中x 2的系数为C 25＋a ·C 15＝5，∴a ＝－1.答案 (1)－10 (2)D【备考策略】 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．考点二 二项式系数的性质与各项系数和【例2】 (1)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )．A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________．审题路线 (1)先赋值求a 0及各项系数和，进而求得n 值，再运用二项式系数性质与通项公式求解．(2)根据二项式系数性质，由C 2n ＝C 6n ，确定n 的值，求出1x 2的系数． 解析 (1)∵(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，则(1＋1)n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝64，∴n ＝6，又(1＋x )6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x )6的展开式系数最大项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.(2)由题意知，C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8.∴T r ＋1＝C r 8·x 8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8·x 8－2r ， 当8－2r ＝－2时，r ＝5，∴1x 2的系数为C 58＝C 38＝56.答案 (1)B (2)56【备考策略】 (1)第(1)小题求解的关键在于赋值，求出a 0与n 的值；第(2)小题在求解过程中，常因把n 的等量关系表示为C 3n ＝C 7n ，而求错n 的值．(2)求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.考点三 二项式定理的应用【例3】设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )． A ．0 B ．1 C ．11 D ．12解析 512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ， ∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011能被13整除． 且512 012＋a 能被13整除，∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除．因此a 可取值12.答案 D【备考策略】 (1)本题求解的关键在于将512 012变形为(52－1)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．。
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高中计数原理与概率计数原理 一、知识导学1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有1m种不同的方法，
在第2类办法中，有2m种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有nm种不同的方法，那么完成这件事共有N＝1m＋2m＋……＋nm种不同的方法.2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有1m种不同的方法，做第2步，有2m种不同的方法，……做第ｎ步，有nm种不同的方法，那么完成这件事共有N＝1m×2m×…×nm种不同的方法.注：分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理二、疑难知识导析1．分类原理中分类的理解：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复.2．分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成.3．两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.如果完成一件事有ｎ类办法，这ｎ类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理.如果完成一件事，需分成ｎ个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步计数原理.4．在具体解题时，常常见到某个问题中，完成某件事，既有分类，又有分步，仅用一种原理不能解决，这时需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线.5．在有些问题中，还应充分注意到在完成某件事时，具体实践的可行性.例如：从甲地到乙地 ，要从甲地先乘火车到丙地，再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题中，必须注意到发车时刻，所限时间，答案较多.三、经典例题导讲[例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （ ）A．12 种 B．7种 C．24种 D．49种错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的4个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案. ∴选B-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- ---------------------------------------------------------精品 文档---------------------------------------------------------------------
错因:没有审清题意．本题不仅要考虑从哪个门进，还需考虑从哪个门出，应该用分步计数原理去解题.正解：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49种. ∴应选D．[例2]从1,2，3，…,10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有多少个？错解：根据构成的等差数列的公差，分为公差为1、2、3、4四类.公差为1时，有8个；公差为2时，首先将数字分成1,3，5,7,9，和2,4，6,8，10两组，再得到满足要求的数列共3＋3＝6个；公差为3时，有1,4，7和4,7，10和3,6，9以及2,5，8，共4个；公差为4时，只有1,5，9和2,6，10两个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列8＋6＋4＋2＝20个.错因：上述解答忽略了1,2，3与3,2，1它们是不同的数列， 因而导致考虑问题不全面，从而出现漏解. 这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．正解：根据构成的等差数列的公差，分为公差为±1、±2、±3、±4四类.公差为±1时，有8×2＝16个；公差为±2时，满足要求的数列共6×2＝12个；公差为±3时，有4×2＝8个；公差为±4时，只有2×2＝4个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列16＋12＋8＋4＝40个.[例3]三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到几个不同的三位数（6不能作9用）.
解：解法一 第一步，选数字.每张卡片有两个数字供选择，故选出3个数字，共有32＝8种选法.第二步，排数字.要排好一个三位数，又要分三步，首先排百位，有3种选择，由于排出的三位数各位上的数字不可能相同，因而排十位时有2种选择，排个位只有一种选择.故能排出3×2×1＝6个不同的三位数.由分步计数原理，共可得到8×6＝48个不同的三位数.解法二：第一步，排百位有6种选择， 第二步，排十位有4种选择， 第三步，排个位有2种选择. 根据分步计数原理，共可得到6×4×2＝48个不同的三位数.注：如果6能当作9用，解法1仍可行.[例4]集合A＝｛1,2，3,4｝，集合B＝｛－1，－2｝，可建立多少个以A为定义域B为值域的不同函数？分析：函数是特殊的映射，可建立映射模型解决.
解： 从集合A到集合B的映射共有42=16个，只有都与－1，或－2对映的两个映射不符合题意，故以A为定义域B为值域的不同函数共有16－2＝14个.或
[例5] 用0，1,2，3,4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个数字不重复的大于3000，小于5421的四位数？
14)!2(22342224ACCC-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- ---------------------------------------------------------精品 文档---------------------------------------------------------------------
解：（1）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个. （2）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×6×6＝180个. （3）分三步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③个位数字也有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4＝48个. （4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5＝25个；③三位数，共有5×5×4＝100个.因此，比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131个 （5）分四类：①千位数字为3,4之一时，共有2×5×4×3＝120个；②千位数字为5，百位数字为0,1，2,3之一时，共有4×4×3＝48个；③千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有2×3＝6个；④还有5420也是满足条件的1个.故所求自然数共120＋48＋6＋1＝175个评注：排数字问题是最常见的一种题型，要特别注意首位不能排0.四、典型习题导练1．将4个不同的小球放入编号为1、2、3的三个不同的盒子中，其中每个盒子都不空的放法共有（ ）
A．43种 B．34种 C．18种 D．36种2．集合A＝｛1,2，－3｝，B＝｛－1，－2,3，4｝，从A、B中各取1个元素作为占点P的坐标.（1）可以得到多少个不同的点？（2）在这些点中位于第一象限的点有几个？3. 在1,2，3,4，7,9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数与真数，能得到多少个不同的对数值？4. 在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有多少个？5．某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？6. 某地提供A、B、C、D四个企业供育才中学高三年级3个班级进行社会实践活动，其中A是明星企业，必须有班级去进行社会实践，每个班级去哪个企业由班级自己在四个企业中任意选择一个，则不同的安排社会实践的方案共有多少种？§9.2 排列与组合一、知识导学1.排列：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列.2.全排列：ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个不同元素的全排列.3. 排列数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有排列的个数叫做从ｎ个
不同元素中取出ｍ个元素的排列数.用符号mnA表示.4. 阶乘：正整数1到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，用ｎ！表示. 规定：0！＝15.组合：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素并成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合.