计数原理与概率统计(精华)

[解析]用茎叶图表示的结果如下：
甲组
乙组
7 6 58
853 7 23
865 8 998
210 9 233
第5页
3、众数、中位数、平均数 众数：频率分布最大值对应的样本数据. 在[例 4]中，成绩为 85 时所对应的人数是 4 ，为最多，则 85 就是本例的众数. 在[例 5]中，成绩为73,88,89,92,93 所对应的人数是 2 ，为最多，所以73,88,89,92,93 这 5 个数都是本例的众数. 中位数：样本数据累积到频率等于 0.5 时所对应的样本数据. 在[例 4]中，先将数据按顺序排列，总人数为 30 ，平分后是 15 ，那么在人数等于 15.5 时，对应的数据是：第 15 个和第 16 个数据的平均值，即： 85 85 85 2 故：本例的中位数是 85 . 在[例 5]中，共有 20 个样本，按顺序排列后为： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 65 67 68 72 73 73 75 78 85 86 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 成绩 88 88 89 89 90 91 92 92 93 93 在 20 个样本中，其中间的数为第 10 个和第 11 个数据的平均值 即： 86 88 87 ，故：本例的中位数是 87 . 2 平均数：样本数据的算术平均值就是样本的平均数. 在[例 4]中，成绩的总和除以总人数 30 的结果，就是本例的平均数. 成绩总和为 2418 ，则 2418 80.6 ，故本例的平均数是 80.6 . 30 在[例 4]中，成绩的总和除以总人数 20 的结果，就是本例的平均数. 成绩总和为 1647 ，则 1647 82.35 ，故本例的平均数是 82.35 . 20
3 30
(75,70]
3 30
(70, 65]
10 30
(65, 60]
4 30
(60, 55]
频数(人数)
2
2
2
1
频率
2
2
2
1
30
30
30
30
9
10
88
87
19
20
82
81
29
30
58
50
(80,75]
2 2 30 (55, 50]
1 1 30
第4页
⑷ 作直方图.
频率/组距 0.06
0.04
0.02
计数原理与概率统计
一、三种抽样方法
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.
1、简单随机抽样
在有限个总数 N 中，随意抽取一个样本，然后在剩余的总数 N 1中再随意抽取一个
样本，这样连续地进行 n 次随意抽取，共抽取 n （ n N ）个样本，这种方法就是简单随
机抽样.
简单随机抽样的特点：
⑴ 总数 N 有限；
10
10
第一个人没抽中 A 的可能性是 9 ，余下 9 个中的 8 个是不中奖的，则此时第二个人
10
没有抽中 A 的可能性： 9 8 8 ； 10 9 10
上述两者之和就是总的第二个人没抽中 A 的可能性： 1 9 8 9 . 10 10 9 10
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C>由第三个人来抽，此时余 8 张牌. 由于前两个人抽中的总的可能性是 2 ，两个人没 10
[解析]本例就是采取系统抽样.
将个班的同学随机编号，分别是： 01,02,..., 40 ；
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按规则，假设抽取尾号为 5 的同学，则各班编号为 05,15, 25, 35 的同学就被荣幸抽中.
5 个班共有 20 个同学成为抽取样本，这 20 个同学学习成绩可以反映学校这 200 名学生
的平均水平，这就是系统抽样.
由④⑥： ( xi yi ) x yi k xi2 nk( x)2
i
i
i
即： ( xi yi ) nx y k xi2 nk( x)2
i
i
( xi yi ) nx y
故： k i
⑦
xi2 n( x)2
i
同样，由⑥： x y k( x)2 bx
即： b y k x ⑧ 由⑦和⑧就得到了线性回归方程①式.
⑶ 作频率分布表；
⑷ 作直方图.
注意：直方图的面积总和为 1
[例 4]这是某班同学的某次考试成绩：
排名 1
2
3
4
5
6
7
8
成绩 99
95
95
94
93
90
88
88
排名 11
12
13
14
15
16
17
18
成绩 86
86
85
85
85
85
84
83
排名 21
22
23
24
25
26
27
28
成绩 77
76
75
70
65
65
2、系统抽样
将总体平均分成几部分，如总体 N 平均分成 n 等分，每部分都有 N 个样品，一般取 n
k N 为整数. 如果 k 不是整数，可以调整 n 或者调整 N . 调整 n 使 k N 成为整数好
n
n
理解，调整 N 就是去掉一些样本使 k N 成为整数. 这时按一定规则从各部分种抽取一 n
0
50 60 70 80 90 100 成绩
这里，每个成绩区出现的人数就是频数，频数所占的比例就是频率.
即：频率=(某成绩区的人数)/(总人数)
组距就是成绩区间的间隔，这里组距为 5 .
横坐标为成绩，纵坐标为对应成绩的频率除以组距.
这样，就保证了直方图的阴影面积总和等于 1 .
2、茎叶图
在样本数据较少的情况下，用茎叶图表示分布，更能直观表达数据的特点.
20 名， B 部分有 30 名，C 部分有 150 名. 现在，要抽取 40 名的抽样，那么，各部分各 取多少名？
[解析]本例就是采取分层抽样.
分层抽样就是按比例抽取.
A
部分所占比例为：
pA
20
20 30
150
1 10
；
B
部分所占比例为：
pB
20
30 30
150
3 20
；
C
部分所占比例为：
pC
i
i
i
i
即 ： ( xi yi ) k xi2 nbx ④
i
i
由③：
b b
i
( yi kxi b)2
i
2( yi kxi b) 0
即： ( yi kxi b) 0 i
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即： yi k xi b nk x nb ⑤
i
i
i
由⑤： x yi nk( x)2 nbx ⑥ i
有抽中 A 的可能性： 8 7 7 ； 10 8 10
上述两者之和就是总的第三个人没抽中 A 的可能性： 2 8 7 9 . 10 10 8 10
D>由此推下去，可以归纳出：这 10 人抽中 A 的可能性都是 1 ，抽不中 A 的可能性都 10
是 9 ，因此这 10 人中奖的概率相等. 10
63
60
作出直方图.
[解析]按直方图的做法
⑴ 求极差：
本组成绩最大为 99 ，最小为 50 ，故极差为 99-50=49
⑵ 定组距；
如果将组距定位 5 分，则可以分成 10 组
⑶ 作频率分布表；
分组(成绩) [100, 95] (95,90] (90,85] (85,80]
频数(人数)
3
3
10
4
频率 分组(成绩)
-1.0
时间
13
14
15
16
17
18
气温(℃) 1.0
4.0
5.0
4.5
4.0
3.2
时间
19
20
21
22
23
24
气温(℃) 2.8
1.0
-0.2 -1.5 -2.2 -3.0
[解析]建立直角坐标系，横坐标为时间，纵坐标为温度，如图
气温
4.0 2.0
0 2.0
2
4
6
8
10
12
14
20
150 30
150
3 4
.
故各部分抽取人数为：
xA
pA
40
1 10
40
4；
xB
pB
40
3 40 20
6
；
xC
pC
40
3 40 4
30 .
二、三种分布图
直方图、茎叶图、散点图.
1、直方图
直方图就是频率分布图，由一组直方条组成，所以叫直方图.
直方图的具体做法：
⑴ 求极差：
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⑵ 定组距；
这种采用偏差平方和最小的方法叫最小二乘法.
三、三种事件与事件之间的关系
这就是标准差.
6、线性回归与最小二乘法
如果一个散点图的点分布在一条直线附近，那么这两个变量就具有某种线性关系，我
们称这两个变量具有线性关系，这条直线叫回归直线，找到这条直线的方法就是 线性回
归. 设这条直线方程为： y k x b ① 散点的数据为 ( xi , yi ) ，其中 i 1, 2, ..., n 对应于散点在回归直线上的点为 ( xi , yi ) 那么散点与直线偏差的平方为：i ( yi yi )2 ( yi kxi b)2 当所有的偏差平方和最小时，求出 k 和 b ，就得到回归直线方程.
定数量的样本，这样的抽取方法称为系统抽样.
[例 2]某校三年级共有 200 名学生，可以将它们均分成 4 个班，每班 50 人. 也可以将它们均分 成 5 个班，每班 40 人. 还可以将它们大致均分成 6 个班，每班 33 ~ 34 人，等等. 假设现在分成了 5 个班，每班 40 人，现在要了解学生的学习成绩，每班抽取 4 人，那 么，按系统抽样该如何呢？