《概率论与数理统计》第一章知识小结

附加知识： 排列组合知识小结： 一、计数原理

1.加法原理：分类计数。

2.乘法原理：分步计数。 二、排列组合

1.排列数（与顺序有关）：

)(),1()2)(1(n m m n n n n A m n ≤+---=Λ !n A n

n =，n A A n n

==10,1 如：25203456757=????=A ，12012345!5=????= 2.组合数(与顺序无关)：

!m A C m

n m n

=，m

n n m n C C -=

如：3512344567!447

4

7

=??????==A C ，211

2672757757=??===-C C C

3.例题：（1）从1，2，3，4，5这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___6034535=??=A ____种取法。 （2）从0，1，2，3，4这五个数字中，任取3个数字，组成一个没

有重复的3位数，共有___483442

414

=??=A A ____种取法。 （3）有5名同学照毕业照，共有__1201234555=????=A _种排法。 （4）有5名同学照毕业照，其中有两人要排在一起，那么共有

_48)1234()12(4422=?????=A A ___种排法。

（5）袋子里有8个球，从中任意取出3个，共有___38C ____种取法。

（6）袋子里有8个球，5个白球，3个红球。从中任意取出3个，

取到2个白球1个红球的方法有___1

325C C ____种。

38876

56321

C ??=

=??

第一章、基础知识小结

一、随机事件的关系与运算 1.事件的包含

设A ，B 为两个事件，若A 发生必然导致B 发生，则称事件B 包含于A ，记作B A ?。 2.和事件

事件“A,B 中至少有一个发生”为事件A 与B 的和事件，记作B A Y 或B A +。 性质：（1）B A B B A A Y Y ??

, ；

（2）若B A ?，则B B A =Y

3.积事件：事件A,B 同时发生，为事件A 与事件B 的积事件，记作B A I 或AB 。

性质：（1）,AB A AB B ??； （2）若B A ?，则A AB =

4.差事件：事件A 发生而B 不发生为事件A 与B 事件的差事件，记作()A B AB -。

性质：（1）A B A ?-； （2）若B A ?，则φ=-B A 5.互不相容事件：若事件A 与事件B 不能同时发生，即AB Φ=，则称事件A 与事件B 是互不相容的两个事件，简称A 与B 互不相容（或互斥）。

6.对立事件：称事件A 不发生为事件A 的对立事件，记作A 。 性质：（1）A A =； （2）Ω==Ωφφ,； （3）AB A B A B A -==- 设事件A,B ，若AB=Φ,A+B=?,则称A 与B 相互对立.记作

。

7.事件的运算律

（1）交换律：BA AB A B B A ==,Y Y （2）结合律：C B A C B A Y Y Y Y )()(=

C B A C B A I I I I )()(=

（3）分配律：)()()(C A B A C B A Y I Y I Y =

)()()(C A B A C B A I Y I Y I =

（4）对偶律：B A AB B A B A Y Y ==,。 二、古典概率： 基本事件总数

所包含的基本事件数A n r A P ==)( 三、有关概率的公式

1.1)(,0)(,1)(0=Ω=≤≤P P A P φ

2.对立事件的概率：)(1)(A P A P -=

3.和事件的概率：)()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 若φ=AB ，则)()()(B P A P B A P +=

+

4.差事件的概率：)()()(AB P A P B A P -=- 若

，则)()()(B P A P B A P -=-

5.积事件的概率：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 若A 与B 相互独立，则)()()(B P A P AB P =

6.条件事件的概率：()

(|)()

P AB P B A P A =

()

(|)()

P AB P A B P B =

7.全概率事件概率：

12,,,n A A A L 是样本空间E 上的一个划分，则

121122()()

()()

()(|)()(|)()(|)

n n n P B P A B P A B P A B P A P B A P A P B A P A P B A =+++=+++L L

)|()()|()()()()(A B P A P A B P A P B A P AB P B P +=+=

8.贝叶斯公式： )

()

|()()()()|(B P A B P A P B P B A P B A P i i i i ==

重贝努利事件概率：()(1),0,1,2,3,,k k

n k n n

P k C p p k n -=-=L

本章练习

1.设A,B 为随机事件，则事件“A ,B 至少有一个发生”可表示为 B.AB C.A B U

D.A B U

2.甲，乙两人向同一目标射击，A 表示“甲命中目标”，B 表示“乙命中

目标”，C 表示“命中目标”，则C=（ ） ∪B

3.甲、乙两个气象台独立地进行天气预报，它们预报准确的概率分别是和，则在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是________.

4.从0，1，2，3，4五个数字中不放回地取3次数，每次任取一个，则第三次取到0的概率为________.

5.设A ，B 是随机事件，7.0)(=A P ，()0.2P AB = ，则()P A B -=（ ）

A.0.1

设A ，B 是随机事件，

P(A)=,P(B)=，P(A ∪B)=，则P(AB)= . P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+(AB)=

7.设随机事件A 与B 相互独立，且()0,(|)0.6P B P A B >=，则()P A =______.

8.设随机事件A 与B 相互独立，且2.0)|(=B A P ，则)(A P =________.

9.甲、乙两人从装有6个白球4个黑球的盒子中取球，甲先从中任取一个球，不放回，而后乙再从盒中任取两个球，求:（1）甲取到黑球的概率；（2）乙取到的都是黑球的概率.

解：用A 表示“甲先取到一个黑球”，用B 表示“乙后取到两个黑球”，则

（1） 甲取到黑球的概率：

（2） 由题意得：

10.设某人群中患某种疾病的比例为20%.对该人群进行一种测试，若患病则测试结果一定为阳性；而未患病者中也有5%的测试结果呈阳性. 求：（1）测试结果呈阳性的概率；（2）在测试结果呈阳性时，真正患病的概率。

解：设A 表示“某人患某种疾病”，B 表示“测试结果为阳性”

11.（）有甲、乙两盒，甲盒装有4个白球1个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球.从甲盒中任取1个球，放入乙盒中，再从乙盒中任取2个球.(1)求从乙盒中取出的是2个黑球的概率；(2)己知从乙盒中取出的是2个黑球，问从甲盒中取出的是白球的概率.

解：设A表示“从甲盒中任取1个球是黑球”，B表示“从乙盒中取出的2个球是黑球”，则