高考数学压轴专题长沙备战高考《计数原理与概率统计》知识点训练及答案

【高中数学】数学高考《计数原理与概率统计》复习资料

一、选择题

1．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ） A ．

13

B ．

14

C ．

15

D ．

12

【答案】A 【解析】 【分析】

根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可. 【详解】

由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率11333315

5C C A 9A 20P ==,其中学生丙第一个出场的概率13

3325

5C A 3A 20P ==,所以所求概率为21

13P P P ==. 故选：A 【点睛】

本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题,属于中等题型.

2．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v

共线的概率为( ) A ．

1

3

B ．

14

C ．

16

D ．

112

【答案】D 【解析】 【分析】

由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r

共线的基本事件的个数，利用

古典概型及其概率的计算公式，即可求解。 【详解】

由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636?=种结果，

又由向量(,),(3,6)p m n q ==u r r

共线，即630m n -=，即2n m =，

满足这种条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6)，共有3种结果，

所以向量p u r 与q r 共线的概率为31

3612

P =

=，故选D 。 【点睛】

本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础

题。

3．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（

表示一根阳线，

表示一根阴线），从

八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（ ）

A ．

314

B ．27

C ．

928

D ．

1928

【答案】A 【解析】 【分析】

列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率. 【详解】 根据题意一共有：

乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑； 巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑； 离艮、离兑；艮兑，28种情况.

满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.

故632814p =

=. 故选：A . 【点睛】

本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.

4．下列四个结论中正确的个数是

（1）对于命题0:p x R ?∈使得2

010x -≤，则:p x R ??∈都有210x ->；

（2）已知2

(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=

（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为

?23y

x =-； （4）“1x ≥”是“1

2x x

+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ?∈使得

2010x -≤，则:p x R ??∈都有210x ->，是错误的；

（2）中，已知(

)2

2,X N σ

~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所

以 (2)0.5P X >=是正确的；

（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质

和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为?23y

x =-是正确；

（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，

所以“1x ≥”是“1

2x x

+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】

本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．

112

B ．

115

C ．

118

D ．

114

【答案】D 【解析】 【分析】

先得到随机抽取两个不同的数共有28种，再得出选取两个不同的数，其和等于20的共有2中，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】

由题意，在不超过20的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19，共有8个数，

随机选取两个不同的数，共有2

828C =种，

其中随机选取的两个不同的数，其和为20的有31720,71320+=+=，共有2种， 所以概率为212814

P ==. 故选：D . 【点睛】

本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用组合数的公式求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

6．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完全相同的概率是（ ） A ．

14

B ．

13

C ．

12

D ．

23

【答案】D 【解析】 【分析】

先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】

三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有23

3()27C =种不

同

结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有221

33218C C C ??=种，故由古典概型的概率计

算公式可得所求概率为182273

=. 故选：D 【点睛】

不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.

7．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）

A ．2，5

B ．5，5

C ．5，8

D ．8，8

【答案】C 【解析】

试题分析：由题意得5x =，1

16.8(915101824)85

y y =+++++?=，选C. 考点：茎叶图

8．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为三角形ABC 的BC ，AB 和AC ．若10BC =，8AB =，6AC =，

ABC V 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅱ的概率为（ ）

A ．92524π

π+

B ．

16

2524

π+

C ．

252425π

π

+

D ．

48

4825π

+

【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到结论.

【详解】

由题意，如图：Ⅰ所对应的面积为11

86242

S =??=， Ⅱ所对应的面积29252482422

S πππ=++

-=， 整个图形所对应的面积9252482422

S ππ

π=++=+， 所以，此点取自Ⅱ的概率为484825P π

=+.

故选：D. 【点睛】

本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题.

9．若1()n

x x

+的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A ．252 B ．70

C ．256x

D ．256x -

【答案】B 【解析】

由题意可得26

n n C C =，所以8n =，则展开式中二项式系数最大的项为第五项，即

44445881

()70T C x C x

===，故选B.

10．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第

二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3

C ．0.58

D ．0.958

【答案】D 【解析】

分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可.

详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =?=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =??=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ．

点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.

11．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（ ） A ．35种 B ．30种 C ．28种 D ．25种

【答案】B 【解析】 【分析】

首先算出7名党员选3名去甲村的全部情况，再计算出全是男性党员和全是女性党员的情况，即可得到既有男性，又有女性的情况. 【详解】

从7名党员选3名去甲村共有3

7C 种情况，3名全是男性党员共有3

4C 种情况，

3名全是女性党员共有3

3C 种情况，

3名既有男性，又有女性共有333

74330C C C --=种情况.

故选：B 【点睛】

本题主要考查组合的应用，属于简单题.

12．把15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（ ） A ．18

B ．28

C ．38

D ．42

【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3. 个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案． 【详解】

根据题意，15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，

先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球， 则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题， 将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有

2887

282

C ?=

=种不同的放法， 即有28个不同的符合题意的放法； 故选B ． 【点睛】

本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题．

13．已知不等式5

01

x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“01x <”的概率为（ ）． A ．

14 B ．

13

C ．

12

D ．

23

【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

分析：解分式不等式得集合P ，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果.

详解：(5)(1)050101x x x x x -+

+≠+?

， ∴{}|15P x x =-<<，

||111x x

∴1(1)15(1)3

P --=

=--．

选B ．

点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，

有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

14．2020(1)(1)i i +--的值为（ ） A ．0 B ．1024

C ．1024-

D ．10241-

【答案】A 【解析】 【分析】

利用二项式定理展开再化简即得解. 【详解】 由题得原式

=

112233191920112233191920

20202020202020201++i )1i )C i C i C i C i C i C i C i C i ++++--+-+-+L L （（ =11

33

55

1919

202020202()C i C i C i C i ++++L

=11

33

55

53

31

1

3

2020202020202(++)C i C i C i C i C i C i ++++L =11

33

55

5

5

33

1

2020202020202(C )C i C i C i i C i C i +++---L =0. 故选:A 【点睛】

本题主要考查二项式定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

15．设01p <<，随机变量ξ的分布列是

则当p 在(0,1)内增大时，“()E ξ减小”是“()D ξ增加”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】D 【解析】 【分析】

首先求()E ξ和()D ξ，然后换元()t E ξ=，

()2

21331321

222228

D t t t ξ??=-++=--+ ???，利用函数的单调性，判断充分必要条件.

【详解】

由题意可知：()()2

21210p p p p -+-+= ， 且()2

011p <-<，()0211p p <-<，2

01p <<

解得：01p <<，

()()()2

211121341E p p p p p ξ=-?-+?-+?=-，

()()()()()()2

2

2

2

2141114121341D p p p p p p p ξ=----+--?-+--?????????????

288p p =-+，

设()411,3E p t ξ=-=∈-，

2

21113884422t t D t t ξ++??=-?+?=-++ ?

?? ()2

1122

t =-

-+， 当()1,1t ∈-时，D ξ增大，当()1,2t ∈时，D ξ减小， 所以当E ξ减小时，不能推出D ξ增加； 设()2

880,2D p p t ξ=-+=∈，

2

1822p t ?

?--+= ???，

2

1228t p -??-= ???

，

当102p <<

时，12p =，此时1412

E ξ?=- ?，当D t ξ=增加时，E ξ也增加，

当

112p ≤<时，12p =+1412E ξ?=+- ?，当D t ξ=增加时，E ξ减小，

所以当D ξ增加，不能推出E ξ减小.

综上可知：“E ξ减小”是“D ξ增加”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】

本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调性，属于中档题型.

16．已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r

，现将一粒黄豆随机撒在△ABC

内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ）

A．2

3

B．

1

2

C．

1

3

D．

1

4

【答案】B

【解析】

【分析】

推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的

1

2

．从而S△PBC=

1

2

S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．

【详解】

以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，

则PB PC

+

u u u r u u u r

=PD

u u u r

，

∵20

PB PC PA

++=

u u u r u u u r u u u r r

，∴2

PB PC PA

+=-

u u u r u u u r u u u r

，

∴2

PD PA

=-

u u u r u u u r

，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，

∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的

1

2

．

∴S△PBC=

1

2

S△ABC．

∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：

P=PBC

ABC

S

S

V

V

=

1

2

．

故选B．

【点睛】

本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．

17．某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：

则下列结论正确的是（）

A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少

B ．与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍

C ．2015年与2018年艺体达线人数相同

D ．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】

设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案. 【详解】

设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S .

对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ?=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；

对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ?=，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；

对于选项C ，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ?=.不达线人数有所增加.故选D. 【点睛】

本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．

18．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种

【答案】C 【解析】 【分析】

根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有

222A =种，剩余的3门全排列，即可求解.

【详解】

由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4

节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有2

22A =种， 剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有3

36A =种，

所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636??=种不同的排法.

故选：C. 【点睛】

本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

19．已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*a N ∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3E ξ=，则D ξ= ( ) A ．

12

B ．1

C ．

32

D ．2

【答案】B 【解析】

由题意2ξ=或4，则221

[(23)(43)]12

D ξ=

-+-=，故选B ．

20．在矩形ABCD 中，AB AD >，在CD 上任取一点P ，使ABP △的最大边是AB 的概率为

3

5

，则在折线A-D-C-B 上任取一点Q ，使ABQ △是直角三角形的概率为（ ） A ．

611

B ．

511

C ．

59

D ．

49

【答案】A 【解析】 【分析】

由题意设5AB =，由几何概型概率公式结合勾股定理可得3AD =，再由几何概型概率公式即可得解. 【详解】

如图，矩形是对称的，设P 在线段MN 上时，ABP △的最大边为AB ， 则此时AM BN AB ==， 设5AB =，则3MN =，

所以1DN CM ==，4DM =，5AM =， 由勾股定理知3AD =，

当Q 在AD 或BC 上时，ABQ △为直角三角形， 故所求概率为6

11

AD BC p AD CD BC +==++.

故选：A.

【点睛】

本题考查了几何概型概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题.